Circunferência é o conjunto dos pontos equidistantes de um ponto (centro) Corda é um segmento de...
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Circunferência
Matemática – 9.º ano
Circunferência é o conjunto dos pontos equidistantes de um ponto (centro)
Corda é um segmento de recta que une dois pontos da circunferência
Diâmetro é toda a corda que passa pelo centro da circunferência
O diâmetro é a maior das cordas
O diâmetro divide a circunferência em duas semi-circunferências
Diâmetro
Corda
Raio
Raio é um segmento de recta que une um ponto da circunferência ao seu centro
Circunferência
Matemática – 9.º ano
Ângulo ao Centro e Arco de Circunferência
Um ângulo formado por dois raios designa-se
ângulo ao centro (o vértice do ângulo coincide
com o centro da circunferência)
c
A
B
Qualquer porção da circunferência determinada
por dois dos seus pontos, que são os extremos
do arco designa-se Arco de circunferência.
Nota – Quando falamos em arco, sem nada
acrescentar referimo-nos ao arco menor
AB
Circunferência
Matemática – 9.º ano
Ao ângulo ao centro ACB corresponde a
corda [AB] e o arco [AB] e vice-versa.
Numa circunferência, qualquer ângulo que
não seja ao centro diz-se excêntrico.
Pág.12 – exercício 1
Observa a circunferência de centro O da
figura: a) Identifica quatro ângulos ao centro.
b) Indica dois pares de ângulos ao
centro geometricamente iguais.
c) Classifica quanto aos lados o triângulo
[EOD].
; ;AOB BOC COD e EOD
BOC FOE
AOB EOD
Triângulo isósceles
Circunferência
Matemática – 9.º ano
- a cada ângulo ao centro corresponde um arco e vice-versa
Numa circunferência:
- A arcos iguais correspondem cordas e ângulos ao centro iguais
- A ângulos ao centro iguais correspondem arcos e cordas iguais
- A cordas iguais correspondem arcos e ângulos ao centro iguais
- A amplitude de um arco é igual à amplitude do ângulo ao centro correspondente
C
F G
H
I
C
A
BE
D
Circunferência
Matemática – 9.º ano
Observa a figura onde [MT] [EA].
Pág.13 – exercício 3
Prova que MA AT TE EM
Resposta:
Esta afirmação é verdadeira porque se
trata dos comprimentos dos lados de um
quadrado, pois como [MT] e [EA] são
diâmetros da circunferência, representam
as diagonais de um quadrado, por serem
iguais.
MA AT TE EM
Circunferência
Matemática – 9.º ano
Na figura abaixo, [AD] é um diâmetro da circunferência de
centro O, é a bissectriz do ângulo BOD.
Pág.13 – exercício 4
a) Calcula
b) Que podemos concluir em relação a
Porquê?
c) E em relação a Porquê?
60ºAOB e OC
.BOC e COD
, , .AB BC CD
, .AB BC e CD
2AO cmd) Supondo que , calcula o comprimento do arco AB.
A amplitude dos arcos é 60º porque a amplitude dos ângulos ao centro correspondentes também é 60º.
Os comprimentos das cordas são iguais porque a arcos e ângulos ao centro iguais correspondem cordas iguais
2
2
4 22 , 2 4 log .
6 6 3
PSe AO cm r cm e d cm o AB cm
60º ; 60ºBOC COD
P d
Circunferência
Matemática – 9.º ano
Observa as figuras e determina, em cada caso, os valores de x e y.
Pág.23 – exercício 1 a) e c)
30º 2 10º
2 10º 30º
1 40º
40º
x x
x x
x
x
x y
a)
c)
x+30º 2x - 10º
30º 30ºy e x
Ângulos verticalmente opostos
Circunferência
Matemática – 9.º ano
Ângulo inscrito
Um ângulo formado por duas cordas designa-
se ângulo inscrito (o vértice do ângulo
coincide com um ponto da circunferência)E
c
F
D
A amplitude de um ângulo inscrito é igual
a metade da amplitude do arco
compreendido entre os seus lados
O ângulo ao centro tem de amplitude 80º, logo a amplitude do arco correspondente também é 80º, o que significa que a amplitude do ângulo inscrito é igual a metade da do arco correspondente (80º/2=40º).
80º
Circunferência
Matemática – 9.º ano
Observa a figura e indica:
Pág.15 – exercício 6
AOCa) Um ângulo ao centro;
b) Um ângulo inscrito;
c) Um arco de circunferência;
d) Um raio de circunferência;
e) Uma corda da circunferência.
ABC
AB
OC
AB
Circunferência
Matemática – 9.º ano
Considera a circunferência de centro O.
Pág.15 – exercício 7
34º ( )COB ângulos verticalmente opostos
a) [AB] e [DC] são diâmetros. Porquê?
b) Se , calcula:
b1)
b2)
b3)
b4)
Porque são cordas que passam pelo centro. 34ºAOD COB
b5)
ABDDB
ADB
BAD
34º17º
2ABD
180º 34º 146ºDB
180º 34º 146º73º
2 2( 1 )
146º73º
2
( 146º )
BAD
ângulos de isósceles
BAD
ângulo inscrito correspondente a BD que é
360º 146º 34º 180º
90º2 2
ADB
Circunferência
Matemática – 9.º ano
Abre agora o programa Geogebra, no teu computador, e verifica o exercício anterior começando por:
traçar uma recta (com 2 pontos);
desenhar uma circunferência (centro sobre um ponto e raio no outro);
marcar os pontos A e B;marcar o ângulo AOD de 34º e os pontos D e C; marcar a corda DB;verificar todos os resultados.
Circunferência
Matemática – 9.º ano
Ângulo inscrito
Propriedades:
Os ângulos inscritos no mesmo arco de
circunferência são geometricamente
iguais.
Qualquer ângulo inscrito numa semi-
circunferência é recto.
Circunferência
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O triângulo [MAR] representado na figura é rectângulo em A e os seus
três vértices pertencem à circunferência.
Pág.17 – exercício 12
Sabendo que e que
calcula .
MA QM 30ºMRA
QAR
30º 2 60º log 60º
90º ( )
180º
180º 60º
2 2120
60º2
MA MA o QM
M AR ângulo inscrito numa semi circunferência
então MQR
MQR MQQAR QAR
QAR QAR
Circunferência
Matemática – 9.º ano
Abre novamente o programa Geogebra e verifica o exercício anterior começando por:
traçar uma recta com dois pontos; desenhar uma circunferência (centro sobre um ponto e raio no
outro); marcar os pontos M e R; traçar o ângulo MRA de 30º; marcar o ponto A e a corda [MA]; verificar que o ângulo MAR é 90º; traçar uma recta perpendicular a MR e marcar o ponto Q; verificar todos os resultados.
Circunferência
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Eixo de simetria de uma circunferência
Qualquer recta que passe pelo centro de uma
circunferência é eixo de simetria da circunferência.
Circunferência
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Qualquer recta que passe pelo centro de uma circunferência
divide ao meio as cordas que lhe são perpendiculares, assim
como os ângulos ao centro e os arcos correspondentes.
Numa circunferência, arcos e
cordas compreendidos entre
cordas paralelas são
geometricamente iguais.
Circunferência
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A tangente a uma circunferência
é perpendicular à recta que
passa pelo centro e pelo ponto
de tangência.
tangente
90º
Pág. 21 ex.16
a) b)
ponto de tangência
Circunferência
Matemática – 9.º ano
Pág. 21 ex.17
a) b) c)
Circunferência
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Polígono é o conjunto de pontos do plano limitado por uma linha
fechada, formada por segmentos de recta unidos pelas extremidades.
Polígono Não Polígono
Os polígonos podem ser côncavos ou convexos.
Côncavo Convexo
Polígonos
Circunferência
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Polígono regular
Um polígono regular é todo o polígono convexo com as seguintes
características:
todos os seus lados têm a mesma
medida (são congruentes);
todos os seus ângulos internos têm
a mesma amplitude (são congruentes).
Diagonal de um Polígono
Diagonal de um polígono é qualquer
segmento de recta cujos extremos são
vértices não consecutivos do polígono.
Polígonos
Circunferência
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Polígonos Regulares
Polígono N.º LadosÂngulo ao Centro
Ângulo Interno
Triângulo equilátero 3 120º 60º
Quadrado 4 90º 90º
Pentágono 5 72º 108º
Hexágono 6 60º 120º
... ... ... ...
... N 360º/N= 180 - Ângulo ao centro
Circunferência
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A soma das amplitudes dos ângulos internos de um polígono
(convexo) de n lados é igual a (n-2) 180º.
triângulo
Si = (3 - 2) 180º = = 1 180º = = 180º Pentágono
Si = (5 - 2) 180º = = 3 180º = = 540º
Hexágono Si = (6 - 2) 180º = = 4 180º = = 720º
PolígonosConcluímos que:
Circunferência
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PolígonosConcluímos que:
Num polígono convexo, qualquer que
seja o número de lados, a soma dos
ângulos externos é sempre 360º.
Circunferência
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Polígonos inscritos numa circunferência
Polígono N.º lados N.º triângulosSoma dos ângulos internos
Triângulo 3 1 180º
Quadrilátero 4 2 2 × 180º = 360º
Pentágono 5 3 3 × 180º = 540º
Hexágono 6 4 4 × 180º = 720º
Heptágono 7 ? ?
Octagono 8 ? ?
Circunferência
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PolígonosConcluímos que:
A amplitude do ângulo ao centro correspondente ao lado de um
polígono regular de n lados é
Um polígono diz-se inscrito numa circunferência se esta contém todos os
seus vértices. A circunferência diz-se circunscrita ao polígono.
360º
n
360º72º
5DOC
Circunferência
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Polígonos Regulares
Polígono N.º LadosÂngulo ao Centro (Ac)
Ângulo Interno (Ai)
Triângulo equilátero 3 120º 60º
Quadrado 4 90º 90º
Pentágono 5 72º 108º
Hexágono 6 60º 120º
... ... ... ...
... N Ac = 360º/N Ai = 180 - Ac
Circunferência
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Página 31 – ex. 2 a)
Polígonos
( 2) 180º 720º
180º 360º 720º
180º 720º 360º
1080º
180º6
: .
n
n
n
n
n
R O polígono é um hexágono
Página 31 – ex. 3
(5 2) 180º
3 180º
540º
540ºint 108º
5: int 108º.
5 360º
360º
572º
: 72º .
Si
Si
Si
ângulo erno
R O ângulo erno é
n
n
n
R O ângulo externo é
Circunferência
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Página 31 – ex. 6
Polígonos
( 2) 180º
(6 2) 180º
4 180º
720º
Si n
Si
Si
Si
Página 31 – ex. 7
720º
3 20º 30º 70º 720º
5 720º 20º 30º 70º
600120º
5: 120º.
Se Si então
x x x
x
x x
R O valor de x é
) 360º 60º 6
: .
a
R O polígono é um hexágono regular
) 360º 110º 3
: .
b
R O polígono é um triângulo regular
) 360º 36º 10
: .
c
R O polígono é um decágono regular
) 360º 90º 4
: .
d
R O polígono é um quadrado
Circunferência
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Como se pode determinar a área de um polígono regular qualquer?
Dividimos o pentágono em cinco triângulos isósceles geometricamente iguais.
Chama-se apótema de um polígono regular ao segmento de recta que une o centro do polígono com o ponto médio de qualquer um dos lados.
[ABCDE] é um pentágono regular inscrito na circunferência.
o apótema do pentágono coincide com a altura de cada triângulo.h
Polígonos
Circunferência
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A área do polígono regular [ABCDE] pode ser obtida multiplicando por 5 a área de um dos triângulos em que dividimos o pentágono.
ABCDE AOBA 5 A
AOB
apA
2
ap
l lado do pentágono.
ABCDE
Logo,
apA 5
2
Polígonos
Circunferência
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ABCDE
PA ap
2
poligono regular
PA ap
2
ABCDE
apA 5
2
representa o perímetro do pentágono
ABCDE
apA P
2
De modo análogo prova-se que:
P = perímetro do polígono
ap = apótema de um polígono
Polígonos
Circunferência
Matemática – 9.º ano
poligono regular
PA ap
2
PolígonosPágina 33
2
12 8 96
96 8
2768
2
384
P cm cm
A
A
A cm
ex. 252 2 2 2 2 2
2
10 5
100 25 75
c h c c
c c cm
2
10 6 60
60 75
2
30 75
P cm cm
A
A cm
ex. 24
ex. 26
2160 20 32001600
2 2A A A cm
Apótema
Circunferência
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Chama-se ISOMETRIA a uma transformação geométrica em que são conservados os comprimentos dos segmentos de recta e as amplitudes dos ângulos
- Translação
Transforma uma figura F noutra figura F’ (imagem de F) tendo como referência um vector
- Reflexão
Transforma uma figura F noutra figura F’ (imagem de F) conhecendo um eixo (recta) de simetria
- Rotação
Transforma uma figura F noutra figura F’ (imagem de F) tendo um centro de rotação (ponto) e a amplitude (ângulo) da rotação
Circunferência
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Intuitivamente, todos nós sabemos o que é uma
rotação, até porque usamos esse termo no dia-a-dia,
quando nos referimos por exemplo:
• uma roda dentada de uma máquina;
• aos ponteiros de um relógio;
• à roda de um veículo;
• à hélice de um avião;
• ao movimento de rotação que a Terra faz em
torno de si mesmo;
Simetria
Circunferência
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Associado ao conceito de rotação está o conceito de
ângulo orientado.
Deste modo, convencionou-se que o sentido contrário
ao do movimento dos ponteiros de um relógio é o
sentido positivo, enquanto que o sentido do movimento
dos ponteiros de um relógio é o sentido negativo.
Sentido positivo
ângulo orientado +90º
Sentido negativo
ângulo orientado -90º
Circunferência
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A figura [A’B’C’D’E’] resulta
da rotação de centro O e
amplitude 90º da figura
[ABCDE].
Por seu lado, a figura
[ABCDE] resulta da rotação
de centro O e amplitude -90º
da figura [A’B’C’D’E’]
Circunferência
Matemática – 9.º ano
Uma Rotação de centro O e amplitude -
R(O,) é a aplicação que ao ponto O faz
corresponder o próprio O e a cada ponto A da
figura original faz corresponder um ponto A’,
tal que 'ˆ' AOAeOAOA
O que é uma Rotação?
No exemplo ao lado a amplitude do ângulo é 60º
Circunferência
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Circunferência
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