CinemáTica Rotacional

PROBLEMAS RESOLVIDOS DE FSICA Prof. Anderson Coser Gaudio Departamento de Fsica Centro de Cincias Exatas Universidade Federal do Esprito Santo http://www.cce.ufes.br/anderson [email protected] ltima atualizao: 21/07/2005 15:50 H

RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.

FSICA 1

Captulo 11 - Cinemtica Rotacional

Problemas

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42

Problemas Resolvidos de Fsica Prof. Anderson Coser Gaudio Depto. Fsica UFES

Problemas Resolvidos 04. Uma roda gira com acelerao angular dada por

3 24 3at bt = onde t o tempo e a e b so constantes. Se a roda possui velocidade angular inicial 0, escreva as equaes para (a) a velocidade angular da roda e (b) o ngulo descrito, como funo do tempo. (Pg. 225)

Soluo. (a) Vamos partir da equao dada:

3 24 3d at btdt =

( )3 24 3d at bt = dtdt ( )

0

3 2

04 3

td at bt

=

4 30 at bt = 4 30 at bt = + (b) Vamos partir do resultado do item (a):

4 30d at btdt = +

( )4 30d at bt = + dtt dt ( )

0

4 300

td at b

= +

5 4

0 0 5 4at btt = +

5 4

0 0 5 4at btt = + +

[Incio]

05. Qual a velocidade angular (a) do ponteiro de segundos, (b) do ponteiro de minutos e (c) do

ponteiro de horas de um relgio? (Pg. 225)

Soluo. (a)

( )2 0,104719 rad/s

60 st = = = "

0,105 rad/s (b)

( ) 32 1,7453 10 rad/s

60 60 st = = = "

________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Fsica 1 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 11 Cinemtica Rotacional

2


31,75 10 rad/s (c)

( ) 42 1,4544 10 rad/s

12 60 60 st = = = "

41, 45 10 rad/s

[Incio] 09. Uma roda de 30 cm de raio possui oito raios. Ela est montada em um eixo fixo e gira razo de

2,5 rev/s. Voc deseja atirar uma flecha de 24 cm de comprimento atravs da roda, paralelamente ao seu eixo, sem tocar seus raios. Admita que tanto a flecha como os raios so muito finos; veja a Fig. 14. (a) Qual a velocidade mnima que a flecha pode ter? (b) importante o ponto, entre o eixo e a borda da roda, que voc mira? Em caso afirmativo, qual a melhor localizao?

(Pg. 225)

Soluo. (a) A condio mnima para que a flecha consiga passar pela roda que o tempo para a flecha percorrer seu prprio comprimento (l), tf, deve ser igual ao tempo requerido para a roda percorrer 1/8 de sua circunferncia, tr: f rt t= 1/ 8l

v = 8v l= 4,8 m/sv = (b) A distncia que a flecha passa pela roda medida a partir do centro no importante. Embora o espao disponvel para a flecha passar prxima ao centro seja menor, a velocidade tangencial da roda nessa regio tambm proporcionalmente menor.

[Incio] 14. Como parte de uma inspeo de manuteno, a turbina de um motor a jato posta a girar de

acordo com o grfico mostrado na Fig. 15. Quantas revolues esta turbina realizou durante o teste?


3


(Pg. 225)

Soluo. Vamos dividir o intervalo total de 5 s em trs subintervalos: A (0 s 1 s), B (1 s 3,5 s) e C (3,5 s 5 s). Em A e C o movimento acelerado e em B o movimento com velocidade angular constante. O nmero de revolues pode ser calculado diretamente pela varivel , uma vez que se use em rev/s e em rev/s2. O nmero total de revolues ser: A B C = + + Clculo de A: 0 0

1 ( )2

t = + +

( )01 1( ) 0 300 rev/s (1 )2 2A A A t s = + = + 1.500 revA = Clculo de B: B 0 t = + ( )300 rev/s (2,5 )B Bt s = = 11.250 revB = Clculo de C: 0 0

1 ( )2

t = + +

( )01 1( ) 0 3.000 rev/s 0 (1,5 )2 2C C C t s = + = + + 2.250 revC = Logo: 11.250 rev = evidente que esta mesma resposta pode ser obtida de maneira mais confortvel a partir do grfico (t) t, que foi dado. Vejamos: ( )( )

tt

ddt =

( ) ( )t td dt =


4


0

( ) ( )

t

t ttdt =

Portanto, a rea compreendida no grfico (t) t, no intervalo entre t0 e t corresponde ao deslocamento angular . Como o grfico apresentado um trapzio, sua rea ser: ( )

2B b hA +=

Onde B a base maior e b a base menor do trapzio.

[ ](5 s 0) (3,5 s 1 s) (3.000 rev/s) 0( )2 2

i st t + + = = 11.250 rev =

[Incio] 29. Um pino rosqueado com 12,0 voltas/cm e dimetro 1,18 cm montado horizontalmente. Uma

barra com um furo rosqueado de forma a se ajustar ao pino aparafusada nele; veja a Fig. 17. A barra gira a 237 rev/min. Quanto tempo levar para a barra se mover 1,50 cm ao longo do pino?

(Pg. 226)

Soluo. A velocidade (v) com que a barra avana no pino dada por:

lvt

= =

Nesta equao a velocidade angular da barra, a densidade linear de voltas da rosca e l a distncia que a barra avana num tempo t. Logo:

0,07594 minltt= = "

4,6 st

[Incio] 34. Um mtodo antigo de se medir a velocidade da luz utiliza uma roda dentada girante. Um feixe

de luz passa por uma fenda na borda da roda, como na Fig. 18, propaga-se at um espelho distante e retorna roda no tempo exato para passar atravs da fenda seguinte na roda. Uma destas rodas dentadas possui raio de 5,0 cm e 500 dentes em sua borda. Medidas tomadas quando o espelho se encontrava distncia de 500 m da roda indicaram uma velocidade de 3,0


5


105 km/s. (a) Qual era a velocidade angular (constante) da roda? (b) Qual era o mdulo da velocidade linear de um ponto em sua borda?

(Pg. 226)

Soluo. (a) O tempo de ida e volta da luz igual ao tempo que a roda leva para girar = 2/500 rad. Para a luz:

2

luz

s Lv ct t

= = =

2luzLtc

= (1) Para a roda:

2500. rodat t

= =

2500roda

t = (2) Igualando-se (1) e (2):

2 2500

Lc

=

3.769,911 rad/s500

cl

= = " 33,8 10 rad/s (b) 188, 4955 m/sv r= = " 21,9 10 m/sv

[Incio] 35. Uma roda A de raio rA = 10,0 cm est acoplada por uma correia B roda C de raio rC = 25,0 cm,

como mostra a Fig. 19. A roda A aumenta sua velocidade angular razo uniforme de 1,60 rad/s2. Determine o tempo necessrio para que a roda C atinja uma velocidade rotacional de 100 rev/min; suponha que no haja deslizamento da correia. (Dica: Se a correia no desliza, os


6


mdulos das velocidades lineares na borda das duas rodas so iguais.)

(Pg. 227)

Soluo. O tempo procurado pode ser obtido a partir da equao de movimento acelerado da roda C: 0 t = + 0C C Ct = + C

C

t = (1) Embora as aceleraes angulares das rodas C (C) e A (A) sejam diferentes, suas aceleraes tangenciais (aC e aA) so iguais, pois a mesma acelerao da correia B. A Ca a= A A C Cr r = A AC

C

rr

= (2) Substituindo-se (1) em (2):

16,3624 sC CA A

rtr

= = "

16, 4 st

[Incio] 36. As lminas de um moinho de vento partem do repouso e giram com acelerao angular de 0,236

rad/s2. Quanto tempo passa at que um ponto da lmina assuma os mesmos valores para os mdulos da acelerao centrpeta e da acelerao tangencial? (Pg. 227)

Soluo. A condio para que a acelerao centrpeta e a acelerao tangencial sejam iguais : C Ta a= 2r r = = O tempo para atingir essa velocidade partindo do repouso : 0 t = + ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Fsica 1 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 11 Cinemtica Rotacional

7


0 t = + 2

1 2,0584 st = = = = " 2,06 st

[Incio] 41. Um objeto se move no plano de xy de forma que x = R cos t e y = R sen t, sendo x e y as

coordenadas do objeto, t o tempo e R e constantes. (a) Elimine t entre estas equaes para encontrar a equao da curva na qual o objeto se move. Que curva essa? Qual o significado da constante ? (b) Derive as equaes de x e y em relao ao tempo para encontrar as componentes x e y da velocidade do corpo, vx e vy. Combine vx e vy para encontrar o mdulo, a direo e o sentido de v. Descreva o movimento do objeto. (c) Derive vx e vy com relao ao tempo para obter o mdulo, a direo e o sentido da acelerao resultante. (Pg. 227)

Soluo. (a) Vamos elevar ao quadrado a equao de x. cosx R t= 2 2 2cosx R t= ( )2 2 21 senx R t=

22

2sen 1xtR

= (1) Agora vamos fazer o mesmo com a equao de y: seny R t= 2 2 2seny R t= (2) Substituindo-se (1) em (2): 2 2 2y R x= 2 2 2x y R+ = (3) A Eq. (3) corresponde equao de uma circunferncia. A constante ajusta a freqncia dos ciclos das funes trigonomtricas seno e cosseno. Em termos fsicos, a freqncia ou velocidade angular do objeto que se move ao longo da trajetria circular. Veja o esquema a seguir:

x

y

yr

x


8


(b)

senxdx v Rdt

t = =

cosydy v Rdt

t = = Logo, o vetor velocidade vale: sen cosx yv v R t R t = + = +v i j i j

)

O mdulo de v vale:

( ) (2 2sen cosv R t R = + t 2 2 2 2 2 2sen cosv R t R t = + 2 2sen cosv R t t = + v R= Sabendo-se que: cos senx y R t R t = + = +r i j i j

)

O produto escalar entre r e v vale: ( ) (cos sen sen cosR t R t R t R t = + +r v i j i j

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) (

cos sen cos cos

sen sen sen cos )R t R t R t R t

R t R t R t R t

= + ++ +

r v i i i j

j i j j

2 2sen cos 0 0 sen cosR t t R t t = + + +r v 0 =r vComo: cos 0Rv = =r v Onde o ngulo entre os vetores r e v. Como cos = 0, isso implica em = 90o. Logo, r e v so ortogonais. Portanto, como r radial, v deve ser tangencial trajetria circular. Veja o esquema a seguir:

x

y

yr

x

v

vxvy

(c)

2 2cosx xdv a R tdt

x = = =


9


2 2seny ydv

a R tdt

y = = = Logo: 2 2x ya a x y = + = a i j i jEsta equao mostra que a tem a mesma direo de r, porm com o sentido contrrio. Ou seja, a aponta no sentido radial. O mdulo de a vale:

( ) ( )2 22 2 2 2a x y x = + = + 2y 2a r= Veja o esquema a seguir:

x

y

y

r

x

a

ax

ay

[Incio]


10

CinemáTica Rotacional

Documents

Transcript of CinemáTica Rotacional