_C+ílculo
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CÁLCULO IIEquipe:
Eduardo Pingarilho
Gabriel Claudino
Leonardo Houat
Nayara Figueiredo
Paula Dos Anjos
Walter Cancela
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1- COORDENADAS POLARES
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COORDENADAS POLARES
Um sistema de coordenadas representa um pontono plano, e para isso, utiliza um par ordenado denúmero chamados de coordenadas
Normalmente se usa o sistema de coordenadascartesianas, onde as distâncias são dirigidas apartir de dois eixos perpendiculares
Neste trabalho será utilizado um sistema decoordenadas criadas por Newton, o sistema de
coordenadas polares
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COORDENADAS POLARES
Ponto de origem conhecido como pólo, que édenominado de O.
Desenha-se um raio começando em O , chamadode eixo polar, que normalmente representa o eixo“x” positivo do plano cartesiano.
Se P for um ponto qualquer no plano, seja r adistancia de O ate P e seja θ o ângulo,
normalmente em radianos, o ponto P será
representado pelo par ordenado (r, θ ), sendo r e θas coordenadas polares do ponto P,comodemonstrado na figura 1.
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COORDENADAS POLARES
A partir da figura 2, pode-se fazer uma relaçãoentre as coordenadas polares e as cartesianas,onde o pólo corresponde a origem e o eixo polarcoincide com o eixo x positivo, se o ponto P possuircoordenadas cartesianas (x,y) e polares (r, θ),podemos concluir que:
cos θ= x/r sen θ=y/r,
logo, x=r.cos θ y= r.sen θ
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podemos encontrar r e θ a partir de x e y usandoas seguintes equações:
r² = x²+y² tg θ= y/x
Sua principal utilidade ocorre quando a região deintegração é limitada por uma espiral, cardióide ourosácea.
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2- INTEGRAIS DUPLAS EM COORDENADAS POLARES Algumas integrais são mais fáceis de serem
calculadas através de coordenadas polares, issoocorre principalmente nas integrais duplas cujosintegrados envolvem x²+y² no plano cartesiano,pois ele se torna simplesmente r² nas coordenadaspolares.
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EXEMPLO: Pede-se para integrar a função f(x,y)= x²+y² em
uma circunferência de raio 1 localizada na origem.
Resolvendo-a por coordenadas cartesianas, aequação ficaria:
ʃ ʃ D x²+y² dA= 4 ʃ 0¹ʃ 0(1-y²)¹ /2 x²+y² dx dy,
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INTEGRAIS DUPLAS EM COORDENADAS POLARES
Convertendo para coordenadas polares, ereconhecendo que a mesma função também édada por f (r cosθ , r sem θ ) = r², teremos:
ʃ ʃ D
x²+y² dA= 4 ʃ 0
π/2 ʃ o
1 r².r dr dθ = 4ʃ o
1 r³ dr ʃ 0π/2 dθ= π/2
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3- COORDENADAS CILÍNDRICAS E ESFÉRICAS
: São dois sistemas de coordenadas semelhantesaos de coordenadas polares, com a diferença deserem utilizados em três dimensões (possuem um
altura z), sendo muito utilizado no calculo devolumes e integrais triplas.
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3.1- COORDENADAS CILÍNDRICAS: Neste sistema, o ponto P é representado pela tripla
ordenada (r,θ,z), onde r e θ são as coordenas
polares sobre o plano xy, e z é a distancia do plano
xy ao ponto P.
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EXEMPLO DE COORDENADA CILÍNDRICA
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COORDENADAS CILÍNDRICAS:
Podemos fazer a conversão de coordenadascilíndricas para coordenadas retangulares, usandoas equações abaixo:
X= r. cos θ y=r.sen θ z=z. Enquanto para converter de retangular para
cilíndrico, utiliza-se: r²=x²+y² tg θ= y/x z=z.
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INTEGRAIS TRIPLAS EMCOORDENADAS CILINDRICAS
São uteis especialmente em casos de sólidossemelhantes a cilindros, principalmente quando afunção envolve expressões x²+y², como serámostrado na próxima figura.(coloque a figura do
trabalho escrito aqui)
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INTEGRAIS TRIPLAS EMCOORDENADAS CILINDRICAS
EXEMPLO 2: Pede-se para calcular um Solido E que esta
contido no cilindro x²+y²=1, abaixo do plano z =4 eacima do paraboide z =1 –x²-y², sendo a densidadeconstante em todos os pontos, calcule a massa deE.
Como a densidade é proporcional a distancia doeixo z, a função densidade é
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INTEGRAIS TRIPLAS EMCOORDENADAS CILINDRICAS
, sendo K a constante deproporcionalidade. Portanto a formula da massa será:
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INTEGRAIS TRIPLAS EMCOORDENADAS CILINDRICAS
O que será mais pratico que usando o plano decoordenadas retangulares, pois como jámostramos, neste caso eliminamos uma incógnitae tiramos uma incógnita do limite da integral.
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3.2- COORDENADAS ESFÉRICAS
Neste sistema, o ponto P é representado pela triplaordenada (p ,θ,ϕ), onde p = |OP | é a distancia daorigem ao ponto P, θ representa o mesmo ângulo
que nas coordenadas cilíndricas e ϕ é o ângulo
formado pelo eixo positivo z e a reta OP .
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EXEMPLO DE COORDENADA ESFÉRICA
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COORDENADAS ESFÉRICAS
A relação de coordenadas retangulares e esféricaspode ser vista pela figura 5. Dos triângulos OPQ eOPP’, temos:
z=p . cos ϕ r=p . sen ϕ Como x= r.cosθ e y=r.senθ, conclui-se que para
converter de coordenadas esféricas pararetangulares, utiliza-se as seguintes equações:
x=p sen ϕ cosθ y= p sen ϕ senθ z=p. cos ϕ e a formula da distância mostra que : p ²=x²+y²+z²
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FIGURA QUE MOSTRA A RELAÇÃO ENTRE AS COORDENADAS ESFÉRICAS E CILÍNDRICAS
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COORDENADAS ESFÉRICAS
O sistema de coordenadas esférico é útilprincipalmente em problemas onde a simetria é emrelação a um ponto. Ex: Esferas, semiplanos esemicones.
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4- INTEGRAIS TRIPLAS EM COORDENADAS ESFÉRICAS
Há integrais triplas que se resolvem de forma maispratica por coordenadas esféricas e cilíndricas aoinvés das coordenadas retangulares.
Triplas Cilindricas: Como o nome já diz, essasintegrais são uteis especialmente em casos desólidos semelhantes a cilindros, principalmentequando a função envolve expressões x²+y².
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EXEMPLO:
INTEGRAIS TRIPLAS EM COORDENADAS
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INTEGRAIS TRIPLAS EM COORDENADAS ESFÉRICAS
Sabemos que a sua integral de volume emcoordenadas retangulares é dada por:
INTEGRAIS TRIPLAS EM COORDENADAS
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INTEGRAIS TRIPLAS EM COORDENADAS ESFÉRICAS
ao convertermos a mesma para coordenadascilíndricas teremos:
, sendo esta a formula para a integração tripla emcoordenadas cilíndricas.
INTEGRAIS TRIPLAS EM COORDENADAS
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INTEGRAIS TRIPLAS EM COORDENADAS ESFÉRICAS
EXEMPLO 3:Calcule ʃ ʃ ʃ D e (x²+y²+z²)³/ ² dV, onde B é uma bola:As coordenadas esfericas são muito convenientesnesse caso, pois: x²+y²+z²=p², Então tem-se:
INTEGRAIS TRIPLAS EM COORDENADAS
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INTEGRAIS TRIPLAS EM COORDENADAS ESFÉRICAS
Que mostrou-se ser uma solução muito maissimplificada ao problema em questão, pois se fosseutilizada as coordenadas retangulares, obteríamosa seguinte integral:
o que seria muito mais trabalhoso.
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CONCLUSÃO
Pode-se observar ao final dos exemplos, queapesar do trabalho para aprender um novo planode coordenadas e a converter de um plano para ooutro, em muitos casos esse esforço se torna
pequeno em comparação a redução de trabalhoque esse plano de coordenadas proporciona emseus casos específicos, servindo como umaalternativa para o sistema cartesiano.