Ciência e Tecnologia de Vácuo Aula 2 Teoria Cinética Distribuição de Velocidades Moleculares As...

Ciência e Tecnologia de Vácuo Aula 2

Teoria Cinética Distribuição de Velocidades Moleculares

• As constantes colisões entre as moléculas produzem uma variada distribuição de velocidades.

• Na colisão entre 2 moléculas, com velocidades v1 e v2, a energia cinética total é conservada, ou seja:

• mesmo se as velocidades 1 e 2 forem diferentes.

fi

vvmvvm

22

22

21

22

21


• A distribuição de velocidades de Maxwell e Boltzmann é expressa por:

• O termo fv representa o número (a fração) de moléculas com velocidade entre v e v+dv, por unidade de velocidade.

• Derivando fv em função da velocidade v, resulta em:

kT

mv

v evkTmf

dvdn

n22

23

21

2

241

022

4 232

3

21

2

kTmv

v ekTmvv

kTm

dvdf


• A velocidade mais provável será então:

• que representa que mais moléculas tem esta velocidade (vp) do que qualquer outro valor de velocidade. O valor de vp é diferente da velocidade média aritmética (vm) e da velocidade quadrática média (v2

m).

21

2

mkTvp


• A velocidade média (aritmética) é encontrada segundo uma média ponderada:

• A velocidade quadrática média é obtida de modo análogob:

p

v

v

m vmkT

dvf

dvvfv 128,122 21

21

0

0

pqm

v

v

vmkTvv

mkT

dvf

dvfvv 225,133 21

0

0

2

2


• Cada uma dessas velocidades é de interesse por representar a conduta de um gás dependendo do tipo de processo sob consideração.

• Quando as moléculas influenciam diretamente o processo através da sua velocidade (ex: fluxo de gases), a média aritmética é utilizada.

• Quando a energia cinética das moléculas influenciam no processo (pressão) a velocidade quadrática média deverá ser utilizada.

OBS: a velocidade quadrática média difere da velocidade média (aritmética) pois é resultado das raiz quadrada da soma de quadrados de velocidades: vqm=(v1

2+v22+...vn

2)1/2


• A velocidade média do oxigênio pode ser obtida, sabendo que k/m=R/M, e que o peso molecular é M = 32 g/mol, e que T = 300 K, temos:

sm10.45,4

sm 10.45,122

2

214

21

21

m

m

v

MT

MRTv


• Já a velocidade quadrática média do oxigênio pode ser obtida, sabendo que k/m=R/M, e que o peso molecular é M = 32 g/mol, e que T = 300 K, temos:

sm

MRT

mkTvqm 44,48333 2121

Teoria Cinética Taxa de Incidência Molecular

• Em uma dimensão a distribuição de velocidades é dada por:

• O número de moléculas que colidem com um elemento de superfície (área) perpendicular a direção x, por unidade de tempo é dado por:

kT

mv

xvx

xx

ekTmvf

dvdn

n22

1 2

2)(1

0

xxdnv


• Temos:

• Sabendo que o número de moléculaspor unidade de volume é:• E que:

scmmkTn

.moléculas 2

2 2

21

21

RTpNn A

21

21

22

mkTvm

21

21

212

mkTvm


• Resulta em:

• Se for feito um furo de área A na parede do recipiente que contem o gás, e se externamente a densidade de moléculas for zero, o número de moléculas do gás que deixam o recipiente será de:

scmmoléculas

MTpnvm .

10.513,341

22122

snA

MTAnvAq m

moléculas 10.64,341 21

3

Teoria Cinética Livre Caminho Médio

• Durante o movimento as moléculas colidem entre si. A distância média percorrida por uma molécula entre colisões sucessivas é chamda de livre caminho médio.

• Uma molécula tendo um diâmetro 2d e uma velocidade v, percorre uma distância v.dt no tempo dt. Se a molécula caminhar v.dt, varerrá um volume dado por:

2d

v.dt

dtvddV ... 2

Teoria Cinética Livre Caminho Médio

• A condição para haver uma colisão com outra molécula é que o centro dessa última se encontre em algum lugar dentro desse volume. Toda vez que isso acontecer, a densidade do gás será dada por:

movimento em estiverem gás do moléculas

as todasquando 2

1por domultiplicaser deve que ,..

: temos, que sabendo e ,..

1v.dt

:por dado será médio caminho livre o e...

1

2

2

2

pdkT

kTpn

nd

dtvdVN

cmdtorrp

Teoria Cinética Viscosidade de um Gás

• Considere que um gás esteja confinado entre duas placas, uma estacionária e a outra se movendo com velocidade vo, conforme o desenho abaixo:

F

yv

vo


• Cada camada de gás exerce uma força tangencial nas camadas adjacentes, tendendo a retardar o movimento da mais rápida e aumentar a velocidade da mais lenta. Essa propriedade do gás é chamada de viscosidade e as forças devidas a viscosidade chamam-se de forças viscosas. Podemos entender o conceito de viscosidade como uma interação entre camadas que se processa por meio das colisões entre as moléculas do gás.

• Se duas placas forem suficientemente extensas, a velocidade v do gás dependerá somente de y:

)(yvv


• Experimentalmente verifica-se que a força viscosa F em qualquer ponto do fluido é dada pela equação:

• Onde A é a área da camada (igual a área das placas) e η é a viscosidade do gás.

• Num tubo longo de seção reta circular no qual se estabelece um fluxo de gás as camadas de fluxo tem a forma de cascas cilíndricas cujo eixo comum é o eixo do tubo.

dydvAF


• Num tubo longo de seção reta circular no qual se estabelece um fluxo de gás as camadas de fluxo tem a forma de cascas cilíndricas cujo eixo comum é o eixo do tubo.

rv


• A velocidade do gás é máxima no eixo e se anula nas paredes. O perfil de velocidades é uma parábola. O valor de η para um determinado gás, em função da temperatura absoluta T, do diâmetro molecular d e da massa m, pode ser expresso por:

r v

21

3232

31

mkTd

nmvmÉ interessante que a viscosidade de um gás aumenta com a

temperatura

Tecnologia de Vácuo

• Tecnologia de vácuo trata de gases em movimento, portanto é fundamental que façamos previsões qualitativas e quantitativas sobre seus escoamentos

Escoamento de Gases

Velocidade de bombeamento

• A velocidade de bombeamento (S) é definida como o volume de gás que atravessa uma seção tranversal de um tubo, num dado intervalo de tempo.

PQ

sL S

ΔtΔV

• O produto da pressão (P) vs. a velocidade de bombeamento (S) resulta no fluxo - Q.

Fluxos

PQ

sTorr.L

ΔtΔVp Q

Q p.S

P2S2 = QP1S1 = Q

1 2

Fluxos

• O fluxo é constante em qualquer secção de uma tubulação. Isto implica que P e S variam ao longo de uma tubulação.

dtdNkT

dtdpV

dtdVp

dtdNkT

dtdVp

regime estacionário, dp/dt = 0

Corrente Molecular

• Da derivação da equação de estados para um gás ideal teremos:

tVpQ

dtdNkTQ

NkTpV

slC

A B

BA PP

Condutância• Um fluxo de gás é formado quando há uma diferença de

pressão entre duas secções quaisquer, A e B, de uma tubulação. A direção deste fluxo se dá sempre da maior para a menor pressão. A condutância é então definida como:

BAAB PP

QC

Impedância

• A “resistência” à passagem de um gás por uma tubulação é chamada de impedância. Esta é definida como o inverso da condutância. Então temos:

ABAB C

Z 1

Condutânciasem

Série e em Paralelo

C1 C2

Q Q

P1 P2P3

Condutância em Série

• A representação da variação da condutância em série é mostrado na figura abaixo:


A condutância é dada por:

322

211 ,

PPQC

PPQC

(PA > PB)BA PP

QC

C1 C2

Q Q

P1 P2P3

31 PPQCtotal


Manipulando as últimas equações teremos:

Resultando em:

2131

11CC

QPPtotalCQPP 31

21

111CCCtotal

• A representação da variação da condutância em paralelo é mostrado na figura abaixo:

Q1

Q2

C1

C2

PA PB

Condutância em Paralelo

Condutância em Paralelo

As condutâncias nos tubos são:

BA

totaltotal PP

QC

;; 22

11

BABA PPQC

PPQC

BA ppQQCC

2121

21 CCCtotal

Condutância

21 CCCtotal

21

111CCCtotal

Série

Paralelo

A B

Q

Variação de S ao longo de uma tubulação

A velocidade de bombeamento de qualquer parte de uma tubulação pode ser determinada em função de uma velocidade de bombeamento conhecida.

AA P

QS B

B PQS


Invertendo as equações temos:

Subtraindo obtemos:

QP

Se

QP

SB

B

A

A

11

BAAB PP

QC

AB

BA

BA CQPP

SS111

ABB

BABA CS

SCS

CS C

AB

B AB1 S SA B

Esta equação nos diz que a velocidade de bombeamento na região de mais alta pressão é sempre menor que a velocidade de bombeamento na região de mais baixa pressão.


Como,

Por hoje é só ! ! !

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