CE2 – Estabilidade das Construções II Análise Matricial de ... · Análise Matricial de...
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CE2 – Estabilidade das Construções II Análise Matricial de Estruturas (D) (A) (B) (C) FORMULAÇÃO PÓRTICO PLANO (2-D) Determine, para a viga poligonal contínua indicada abaixo, as rotações nos apoios e os esforços reativos e internos solicitantes (momentos fletores, forças normais e cortantes). Dados: módulo de elasticidade do aço E = 205x10 6 kN/m 2 , perfil quadrado vazado com lado a = 140x10 −3 m e espessura da parede t = 20x10 −3 m, sendo a área da seção transversal A = 9,6x10 −3 m 2 e o momento de inércia à flexão em relação ao eixo centroidal I = 23,68x10 −6 m 4 . São fornecidas as matrizes de rigidez globais para os elementos do pórtico plano: − − − − − − − − = = 4EI/L 6EI/L 0 2EI/L 6EI/L 0 6EI/L 12EI/L 0 6EI/L 12EI/L 0 0 0 EA/L 0 0 EA/L 2EI/L 6EI/L 0 4EI/L 6EI/L 0 6EI/L 12EI/L 0 6EI/L 12EI/L 0 0 0 EA/L 0 0 EA/L BC AB 2 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 k k − − − − − − − − = 4EI/L 0 6EI/L 2EI/L 0 6EI/L 0 EA/L 0 0 EA/L 0 6EI/L 0 12EI/L 6EI/L 0 12EI/L 2EI/L 0 6EI/L 4EI/L 0 6EI/L 0 EA/L 0 0 EA/L 0 6EI/L 0 12EI/L 6EI/L 0 12EI/L CD 2 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 k 33,33 kN m 4 m 6 m 3 m 60,00 kN m 21/setembro/2017 Página 1/7
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CE2 – Estabilidade das Construções II Análise Matricial de Estruturas
(D)
(A)
(B) (C)
FORMULAÇÃO PÓRTICO PLANO (2-D)
Determine, para a viga poligonal contínua indicada abaixo, as rotações nos apoios e os esforços reativos e internos solicitantes (momentos fletores, forças normais e cortantes). Dados: módulo de elasticidade do aço E = 205x106 kN/m2, perfil quadrado vazado com lado a = 140x10−3 m e espessura da parede t = 20x10−3 m, sendo a área da seção transversal A = 9,6x10−3 m2 e o momento de inércia à flexão em relação ao eixo centroidal I = 23,68x10−6 m4.
São fornecidas as matrizes de rigidez globais para os elementos do pórtico plano:
−
−−−
−
−
−
−
==
4EI/L6EI/L02EI/L6EI/L0
6EI/L12EI/L06EI/L12EI/L0
00EA/L00EA/L
2EI/L6EI/L04EI/L6EI/L0
6EI/L12EI/L06EI/L12EI/L0
00EA/L00EA/L
BCAB
22
2323
22
2323
kk
−
−
−
−
−
−−−
=
4EI/L06EI/L2EI/L06EI/L
0EA/L00EA/L0
6EI/L012EI/L6EI/L012EI/L
2EI/L06EI/L4EI/L06EI/L
0EA/L00EA/L0
6EI/L012EI/L6EI/L012EI/L
CD
22
2323
22
2323
k
33,33 kN m
4 m 6 m
3 m
60,00 kN m
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CE2 – Estabilidade das Construções II Análise Matricial de Estruturas
EXERCÍCIO 1 Dada a treliça plana sobre apoio elástico, cujas matrizes de rigidez das barras são esquematizadas na figura abaixo, pede-se:
a) Os deslocamentos nodais; b) O esforço normal na BARRA AB (comprimida); c) A segurança à flambagem da BARRA AB, considerando-se apenas a flambagem no plano da
estrutura. Operar com precisão da ordem de 10−3 mm para os deslocamentos.
FORMULÁRIO
Deslocamentos nodais (estrutura) Esforços internos solicitantes:
UUUU UKF ⋅= ABABAB ukf ⋅= (GLOBAL) ABABAB fTf ⋅= (LOCAL)
Verificação da segurança à flambagem:
GPa
mm kN
L64)dD(E
sN 2
443
AB
−
⋅
−⋅⋅≤⋅π
RESOLUÇÃO
a) UUUU UKF ⋅=
mm444,0U
mm190,1U
U
U
8331
3162
0
60
2
1
2
1
+=
+=→
⋅
+−
−+=
+
b) ABABAB ukf ⋅= ABABAB fTf ⋅=
−
+
=
−
+
+
−
⋅=
−
+
+
−
=
+⋅
+−−+
−++−
−++−
+−−+
=
0
kN7,51
0
kN7,51
9,36
9,36
9,36
9,36
f
f
f
f
9,36
9,36
9,36
9,36
0
190,1
0
0
31313131
31313131
31313131
31313131
f
f
f
f
AB
4
3
2
1
4
3
2
1
T
kN7,51−=→ ABN
c)
61,1s288264
)0506(052s7,51 2
443=→
⋅
−⋅⋅≤⋅−π
onde: s é o coeficiente de segurança à flambagem;│NAB│é a força normal na BARRA AB; D é o diâmetro externo da seção tubular; d=(D−2t) é o diâmetro interno da seção tubular e t é a espessura da parede do tubo.
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EXERCÍCIO 2 Com base no comportamento à flambagem observado na treliça plana sobre apoio elástico do EXERCÍCIO 1, responda, comparativamente, qual efeito será sentido com relação à segurança à flambagem:
a) no caso da estrutura ser vinculada rigidamente nos apoios (mola com rigidez infinita); b) no caso em que se utilizem barras de alumínio com seção transversal equivalente.
Dado: módulo de elasticidade do alumínio E = 70 GPa; c) qual a solução técnica a ser adotada para assegurar que a estrutura de alumínio não apresente
flambagem, mantendo-se a seção transversal das barras? Esboce a solução a ser adotada.
RESOLUÇÃO
a) A segurança à flambagem terá um aumento significativo, cerca de 20%, em consequência da
redução da força normal na BARRA AB. O projeto estrutural não precisará ser refeito.
b) A segurança à flambagem reduzir-se-á para o nível alarmante s=0,55, que levará à necessidade de se refazer o projeto estrutural.
55,0s288264
)0506(70s7,51 2
443=→
⋅
−⋅⋅≤⋅−π
c) Para assegurar que a estrutura de alumínio não apresente flambagem deve-se reduzir à metade o comprimento de flambagem das barras comprimidas com a especificação de um travejamento interno, elevando-se a segurança à fla mbagem para o nível desejado s=2,20.
20,2s141464
)0506(70s7,51 2
443=→
⋅
−⋅⋅≤⋅−π
NOTA IMPORTANTE: As diferenças observadas entre os valores dos esforços normais calculados manualmente e computacionalmente (Programa FTOOL) são devidas aos erros de arredondamento.
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EXERCÍCIO 3 Dada a treliça plana sobre apoio elástico, cujas matrizes de rigidez das barras são esquematizadas na figura abaixo, pede-se:
a) Os deslocamentos nodais; b) O esforço normal na BARRA AB (comprimida); c) A segurança à flambagem da BARRA AB, considerando-se apenas a flambagem no plano da
estrutura. Operar com precisão da ordem de 10−3 mm para os deslocamentos.
FORMULÁRIO
Deslocamentos nodais (estrutura) Esforços internos solicitantes:
UUUU UKF ⋅= ABABAB ukf ⋅= (GLOBAL) ABABAB fTf ⋅= (LOCAL)
Verificação da segurança à flambagem:
GPa
mm kN
L64)dD(E
sN 2
443
AB
−
⋅
−⋅⋅≤⋅π
RESOLUÇÃO
a) UUUU UKF ⋅=
mm778,0U
mm826,0U
U
U
8580
80160
0
70
2
1
2
1
−=
−=→
⋅
+−
−+=
−
b) ABABAB ukf ⋅= ABABAB fTf ⋅=
−
+
=
−++−
⋅=
−++−
=
−
⋅
+−−+−++−−++−+−−+
=
0kN5,92
0kN5,92
1,661,661,661,66
ffff
1,661,661,661,66
000826,0
80808080808080808080808080808080
ffff
AB
4
3
2
1
4
3
2
1
T
kN5,92−=→ ABN
c)
76,3s288264
)0608(052s5,92 2
443
=→⋅
−⋅⋅≤⋅−π
onde: s é o coeficiente de segurança à flambagem;│NAB│é a força normal na BARRA AB; D é o diâmetro externo da seção tubular; d=(D−2t) é o diâmetro interno da seção tubular e t é a espessura da parede do tubo.
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EXERCÍCIO 4 Com base no comportamento à flambagem observado na treliça plana sobre apoio elástico do EXERCÍCIO 3, responda, comparativamente, qual efeito será sentido com relação à segurança à flambagem:
a) no caso da estrutura ser vinculada rigidamente nos apoios (mola com rigidez infinita); b) no caso em que se utilizem barras de alumínio com seção transversal equivalente.
Dado: módulo de elasticidade do alumínio E = 70 GPa; c) qual a solução técnica a ser adotada para assegurar que a estrutura de alumínio não apresente
flambagem, mantendo-se a seção transversal das barras? Esboce a solução a ser adotada.
RESOLUÇÃO
a) A segurança à flambagem terá um aumento significativo, cerca de 50%, em consequência da redução da força normal na BARRA AB. O projeto estrutural deverá ser refeito, para atender o quesito econômico.
b) A segurança à flambagem reduzir-se-á para o nível s=1,27, abaixo dos níveis exigidos pelas normas técnicas especializadas, que levará à necessidade de se refazer o projeto estrutural.
27,1s288264
)0608(70s5,93 2
443=→
⋅
−⋅⋅≤⋅−π
c) Para assegurar que a estrutura de alumínio não apresente flambagem deve-se reduzir à metade o comprimento de flambagem da barra comprimida com a especificação de um travejamento interno, elevando-se a segurança à flambagem para o nível desejado s=5,08.
08,5s141464
)0608(70s5,93 2
443=→
⋅
−⋅⋅≤⋅−π
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EXERCÍCIO 5 Dada a treliça plana sobre apoio elástico, cujas matrizes de rigidez das barras são esquematizadas na figura abaixo, pede-se:
a) Os deslocamentos nodais; b) O esforço normal na BARRA AB (comprimida); c) A segurança à flambagem da BARRA AB, considerando-se apenas a flambagem no plano da
estrutura. Operar com precisão da ordem de 10−3 mm para os deslocamentos.
FORMULÁRIO
Deslocamentos nodais (estrutura) Esforços internos solicitantes:
UUUU UKF ⋅= ABABAB ukf ⋅= (GLOBAL) ABABAB fTf ⋅= (LOCAL)
Verificação da segurança à flambagem:
GPa
mm kN
L64)dD(E
sN 2
443
AB
−
⋅
−⋅⋅≤⋅π
RESOLUÇÃO
a) UUUU UKF ⋅=
mm170,0U
mm436,0U
U
U
14657
57114
0
40
2
1
2
1
−=
−=→
⋅
+−
−+=
−
b) ABABAB ukf ⋅= ABABAB fTf ⋅=
−
+
=
+
+
−
−
⋅=
+
+
−
−
=
−
⋅
++−−
++−−
−−++
−−++
=
0
kN9,34
0
kN9,34
9,24
9,24
9,24
9,24
f
f
f
f
9,24
9,24
9,24
9,24
0
0
0
436,0
57575757
57575757
57575757
57575757
f
f
f
f
AB
4
3
2
1
4
3
2
1
T
kN9,34−=→ ABN
c)
70,3s288264
)0406(052s9,34 2
443=→
⋅
−⋅⋅≤⋅−π
onde: s é o coeficiente de segurança à flambagem;│NAB│é a força normal na BARRA AB; D é o diâmetro externo da seção tubular; d=(D−2t) é o diâmetro interno da seção tubular e t é a espessura da parede do tubo.
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EXERCÍCIO 6 Com base no comportamento à flambagem observado na treliça plana sobre apoio elástico do EXERCÍCIO 5, responda, comparativamente, qual efeito será sentido com relação à segurança à flambagem:
a) no caso da estrutura ser vinculada rigidamente nos apoios (mola com rigidez infinita); b) no caso em que se utilizem barras de alumínio com seção transversal equivalente.
Dado: módulo de elasticidade do alumínio E = 70 GPa; c) qual a solução técnica a ser adotada para assegurar que a estrutura de alumínio não apresente
flambagem, mantendo-se a seção transversal das barras? Esboce a solução a ser adotada.
RESOLUÇÃO
a) A segurança à flambagem terá um aumento pois os deslocamentos nodais irão diminuir e,
consequentemente, haverá redução da força normal na BARRA AB. O projeto estrutural não precisará ser refeito.
b) A segurança à flambagem reduzir-se-á para o nível s=1,26, abaixo dos níveis exigidos pelas normas técnicas especializadas, que levará à necessidade de se refazer o projeto estrutural.
26,1s288264
)0406(70s9,34 2
443=→
⋅
−⋅⋅≤⋅−π
c) Para assegurar que a estrutura de alumínio não apresente flambagem deve-se reduzir à metade o comprimento de flambagem das barras comprimidas com a especificação de um travejamento interno, elevando-se a segurança à flambagem para o nível desejado s=5,05.
05,5s141464
)0406(70s9,34 2
443=→
⋅
−⋅⋅≤⋅−π
NOTA IMPORTANTE: As diferenças observadas entre os valores dos esforços normais calculados manualmente e computacionalmente (Programa FTOOL) são devidas aos erros de arredondamento.
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EXERCÍCIO 7 Dada a treliça plana sobre apoio elástico, cujas matrizes de rigidez das barras são esquematizadas na figura abaixo, pede-se:
a) Os deslocamentos nodais; b) O esforço normal na BARRA AB (comprimida); c) A segurança à flambagem da BARRA AB, considerando-se apenas a flambagem no plano da
estrutura. Operar com precisão da ordem de 10−3 mm para os deslocamentos.
FORMULÁRIO
Deslocamentos nodais (estrutura) Esforços internos solicitantes:
UUUU UKF ⋅= ABABAB ukf ⋅= (GLOBAL) ABABAB fTf ⋅= (LOCAL)
Verificação da segurança à flambagem:
GPa
mm kN
L64)dD(E
sN 2
443
AB
−
⋅
−⋅⋅≤⋅π
RESOLUÇÃO
a) UUUU UKF ⋅=
mm896,0U
mm948,1U
U
U
12457
5757
0
60
2
1
2
1
−=
−=→
⋅
+−
−+=
−
b) ABABAB ukf ⋅= ABABAB fTf ⋅=
−
+
=
+
−
−
+
⋅=
+
−
−
+
=
−⋅
+−−+
−++−
−++−
+−−+
=
0
kN0,84
0
kN0,84
0,60
0,60
0,60
0,60
f
f
f
f
0,60
0,60
0,60
0,60
0,896-
0
948,1
0
57575757
57575757
57575757
57575757
f
f
f
f
AB
4
3
2
1
4
3
2
1
T
kN0,84−=→ ABN
c)
54,1s288264
)0406(052s0,84 2
443=→
⋅
−⋅⋅≤⋅−π
onde: s é o coeficiente de segurança à flambagem;│NAB│é a força normal na BARRA AB; D é o diâmetro externo da seção tubular; d=(D−2t) é o diâmetro interno da seção tubular e t é a espessura da parede do tubo.
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EXERCÍCIO 8 Com base no comportamento à flambagem observado na treliça plana sobre apoio elástico do EXERCÍCIO 7, responda, comparativamente, qual efeito será sentido com relação à segurança à flambagem:
a) no caso da estrutura ser vinculada rigidamente nos apoios (mola com rigidez infinita); b) no caso em que se utilizem barras de alumínio com seção transversal equivalente.
Dado: módulo de elasticidade do alumínio E = 70 GPa; c) qual a solução técnica a ser adotada para assegurar que a estrutura de alumínio não apresente
flambagem, mantendo-se a seção transversal das barras? Esboce a solução a ser adotada.
RESOLUÇÃO
a) A segurança à flambagem não sofrerá alteração. O projeto estrutural estará perfeitamente
adequado para esta nova condição de contorno.
b) A segurança à flambagem reduzir-se-á para o nível alarmante s=0,53, que levará à necessidade de se refazer o projeto estrutural.
53,0s288264
)0406(70s0,84 2
443=→
⋅
−⋅⋅≤⋅−π
c) Para assegurar que a estrutura de alumínio não apresente flambagem deve-se reduzir à metade o comprimento de flambagem das barras comprimidas com a especificação de um travejamento interno, elevando-se a segurança à fla mbagem para o nível desejado s=2,10.
10,2s141464
)0406(70s0,84 2
443=→
⋅
−⋅⋅≤⋅−π
NOTA IMPORTANTE: As diferenças observadas entre os valores dos esforços normais calculados manualmente e computacionalmente (Programa FTOOL) são devidas aos erros de arredondamento.
21/setembro/2017 Página 8/12
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EXERCÍCIO 9 Dada a treliça plana sobre apoio elástico, cujas matrizes de rigidez das barras são esquematizadas na figura abaixo, pede-se:
a) Os deslocamentos nodais; b) O esforço normal na BARRA AB (comprimida); c) A segurança à flambagem da BARRA AB, considerando-se apenas a flambagem no plano da
estrutura. Operar com precisão da ordem de 10−3 mm para os deslocamentos.
FORMULÁRIO
Deslocamentos nodais (estrutura) Esforços internos solicitantes:
UUUU UKF ⋅= ABABAB ukf ⋅= (GLOBAL) ABABAB fTf ⋅= (LOCAL)
Verificação da segurança à flambagem:
GPa
mm kN
L64)dD(E
sN 2
443
AB
−
⋅
−⋅⋅≤⋅π
RESOLUÇÃO
a) UUUU UKF ⋅=
mm126,0U
mm502,0U
U
U
6817
1764
0
30
2
1
2
1
+=
−=→
⋅
++
++=
−
b) ABABAB ukf ⋅=
kN6,23
kN6,23
0
kN6,23
0
0
0
502,0
0
470470
0000
470470
0000
f
f
f
f
AB
4
3
2
1
−=→
+
−=
−⋅
+−
−+=
N
c)
28,1s400264
)0304(052s6,23 2
443=→
⋅
−⋅⋅≤⋅−π
onde: s é o coeficiente de segurança à flambagem;│NAB│é a força normal na BARRA AB; D é o diâmetro externo da seção tubular; d=(D−2t) é o diâmetro interno da seção tubular e t é a espessura da parede do tubo.
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EXERCÍCIO 10 Dada a treliça plana sobre apoio elástico, cujas matrizes de rigidez das barras são esquematizadas na figura abaixo, pede-se:
a) Os deslocamentos nodais; b) O esforço normal na BARRA AB (comprimida); c) A segurança à flambagem da BARRA AB, considerando-se apenas a flambagem no plano da
estrutura. Operar com precisão da ordem de 10−3 mm para os deslocamentos.
FORMULÁRIO
Deslocamentos nodais (estrutura) Esforços internos solicitantes:
UUUU UKF ⋅= ABABAB ukf ⋅= (GLOBAL) ABABAB fTf ⋅= (LOCAL)
Verificação da segurança à flambagem:
GPa
mm kN
L64)dD(E
sN 2
443
AB
−
⋅
−⋅⋅≤⋅π
RESOLUÇÃO
a) UUUU UKF ⋅=
mm733,0U
mm942,0U
U
U
2721
2180
0
60
2
1
2
1
−=
−=→
⋅
+−
−+=
−
b) ABABAB ukf ⋅=
kN6,55
kN6,55
0
kN6,55
0
0
0
942,0
0
590590
0000
590590
0000
f
f
f
f
AB
4
3
2
1
−=→
+
−=
−⋅
+−
−+=
N
c)
33,1s300064
)0506(052s6,55 2
443=→
⋅
−⋅⋅≤⋅−π
onde: s é o coeficiente de segurança à flambagem;│NAB│é a força normal na BARRA AB; D é o diâmetro externo da seção tubular; d=(D−2t) é o diâmetro interno da seção tubular e t é a espessura da parede do tubo.
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EXERCÍCIO 11 Dada a treliça plana sobre apoio elástico, cujas matrizes de rigidez das barras são esquematizadas na figura abaixo, pede-se:
a) Os deslocamentos nodais; b) O esforço normal na BARRA AB (comprimida); c) A segurança à flambagem da BARRA AB, considerando-se apenas a flambagem no plano da
estrutura. Operar com precisão da ordem de 10−3 mm para os deslocamentos.
FORMULÁRIO
Deslocamentos nodais (estrutura) Esforços internos solicitantes:
UUUU UKF ⋅= ABABAB ukf ⋅= (GLOBAL) ABABAB fTf ⋅= (LOCAL)
Verificação da segurança à flambagem:
GPa
mm kN
L64)dD(E
sN 2
443
AB
−
⋅
−⋅⋅≤⋅π
RESOLUÇÃO
a) UUUU UKF ⋅=
mm018,1U
mm497,1U
U
U
2517
1765
0
80
2
1
2
1
+=
+=→
⋅
+−
−+=
+
b) ABABAB ukf ⋅=
kN9,71
kN9,71
0
kN9,71
0
0
0
497,1
0
480480
0000
480480
0000
f
f
f
f
AB
4
3
2
1
−=→
−
+=
+⋅
+−
−+=
N
c)
)(57,0s300064
)0450(052s9,71 2
443FLAMBOU=→
⋅
−⋅⋅≤⋅−π
onde: s é o coeficiente de segurança à flambagem;│NAB│é a força normal na BARRA AB; D é o diâmetro externo da seção tubular; d=(D−2t) é o diâmetro interno da seção tubular e t é a espessura da parede do tubo.
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CE2 – Estabilidade das Construções II Análise Matricial de Estruturas
EXERCÍCIO 12 Dada a treliça plana sobre apoio elástico, cujas matrizes de rigidez das barras são esquematizadas na figura abaixo, pede-se:
a) Os deslocamentos nodais; b) O esforço normal na BARRA AB (comprimida); c) A segurança à flambagem da BARRA AB, considerando-se apenas a flambagem no plano da
estrutura. Operar com precisão da ordem de 10−3 mm para os deslocamentos.
FORMULÁRIO
Deslocamentos nodais (estrutura) Esforços internos solicitantes:
UUUU UKF ⋅= ABABAB ukf ⋅= (GLOBAL) ABABAB fTf ⋅= (LOCAL)
Verificação da segurança à flambagem:
GPa
mm kN
L64)dD(E
sN 2
443
AB
−
⋅
−⋅⋅≤⋅π
RESOLUÇÃO
a) UUUU UKF ⋅=
mm739,1U
mm408,2U
U
U
3626
2652
0
80
2
1
2
1
+=
−=→
⋅
++
++=
−
b) ABABAB ukf ⋅= ABABAB fTf ⋅=
−
+
=
−
−
+
+
⋅=
−
−
+
+
=
−⋅
++−−
++−−
−−++
−−++
=
0
kN6,87
0
kN6,87
6,62
6,62
6,62
6,62
f
f
f
f
6,62
6,62
6,62
6,62
0
408,2
0
0
26262626
26262626
26262626
26262626
f
f
f
f
AB
4
3
2
1
4
3
2
1
T
kN6,87−=→ ABN
c)
)(52,0s288264
)0405(052s6,87 2
443FLAMBOU=→
⋅
−⋅⋅≤⋅−π
onde: s é o coeficiente de segurança à flambagem;│NAB│é a força normal na BARRA AB; D é o diâmetro externo da seção tubular; d=(D−2t) é o diâmetro interno da seção tubular e t é a espessura da parede do tubo.
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CE2 – Estabilidade das Construções II Análise Matricial de Estruturas
EXERCÍCIO 1 Determinar pelo Método dos Elementos Finitos os diagramas de momentos fletores e de forças cortantes da VIGA AB, apresentando seus valores máximos e mínimos. Dado EI=86400 kNm2. Operar com precisão da ordem de 10−4 mm para os deslocamentos.
−
−−−
−
−
=
4EI/L6EI/L2EI/L6EI/L
6EI/L12EI/L6EI/L12EI/L
2EI/L6EI/L4EI/L6EI/L
6EI/L12EI/L6EI/L12EI/L
22
2323
22
2323
ABk
ABABAB
UUUU
ukf
UKF
⋅=
⋅=
−
+
+
+
=
/12pL
pL/2
/12pL
pL/2
2
2
0f
RESOLUÇÃO
UUUU UKF ⋅=
[ ] [ ] [ ]12 U4EI/L/12pL ⋅=−
[ ] [ ] [ ] rad10852,1UU8640061 411
−×−=→⋅=−
0ABABAB fukf +⋅=
−
+
+
+
+
×−⋅
∗∗∗
∗∗−∗
∗∗∗
∗∗∗
=
−
61
42
61
42
0
0
10852,1
0
43200
24003
86400
324004
4
3
2
1
f
f
f
f
−
+
+
=
−
+
+
+
+
−
+
−
−
=
24
30
0
18
61
42
61
42
8
6
16
6
4
3
2
1
f
f
f
f
p = 12 kN/m
L = 4 m
(A)(B)
R R2 3
p = 12 kN/m
L = 4m
R U1 1
p
pL12
2 pL12
2
pL 2
pL 2
ESFORÇOS DE ENGASTAMENTOPERFEITO (auto-equilibrados)
pL12
2
pL 2
pL 2
pL12
2
= +
p = 12 kN/m
18 kN
L = 4m
30 kN
24 kNm
18
301,5m
V (kN)
M (kNm)
13,524
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CE2 – Estabilidade das Construções II Análise Matricial de Estruturas
EXERCÍCIO 2 Determinar pelo Método dos Elementos Finitos os diagramas de momentos fletores e de forças cortantes da VIGA AB, apresentando seus valores máximos e mínimos. Dado EI=86400 kNm2. Operar com precisão da ordem de 10−3 mm para os deslocamentos.
−
−−−
−
−
=
4EI/L6EI/L2EI/L6EI/L
6EI/L12EI/L6EI/L12EI/L
2EI/L6EI/L4EI/L6EI/L
6EI/L12EI/L6EI/L12EI/L
22
2323
22
2323
ABk
ABABAB
UUUU
ukf
UKF
⋅=
⋅=
−
+
+
+
=
/12pL
pL/2
/12pL
pL/2
2
2
0f
RESOLUÇÃO
UUUU UKF ⋅=
[ ] [ ] [ ]12 U4EI/L/12pL ⋅=+
[ ] [ ] [ ] rad10250,6UU5760063 411
−×+=→⋅=+
0ABABAB fukf +⋅=
−
+
+
+
+
×+
⋅
+∗∗∗
−∗∗∗
+∗∗∗
+∗∗∗
=
− 63
36
63
36
10250,6
0
0
0
57600
14400
28800
14400
44
3
2
1
f
f
f
f
+
+
+
=
−
+
+
+
+
+
−
+
+
=
0
27
54
54
63
36
63
36
36
9
18
9
4
3
2
1
f
f
f
f
p=12 kN/m
L=6m(A) (B)
R R1 2
p=12 kN/m
L=6m
R U3 1
p
pL12
2 pL12
2
pL 2
pL 2
ESFORÇOS DE ENGASTAMENTOPERFEITO (auto-equilibrados)
pL12
2
pL 2
pL 2
pL12
2
= +
p = 12 kN/m
45 kN
L = 6m
27 kN
54 kNm
27V (kN)
M (kNm)
30,375
54
452,25m
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CE2 – Estabilidade das Construções II Análise Matricial de Estruturas
EXERCÍCIO 3 Determinar pelo Método dos Elementos Finitos os diagramas de momentos fletores e de forças cortantes da VIGA AB, apresentando seus valores máximos e mínimos. Dado EI=86400 kNm2. Operar com precisão da ordem de 10−3 mm para os deslocamentos.
−
−−−
−
−
=
4EI/L6EI/L2EI/L6EI/L
6EI/L12EI/L6EI/L12EI/L
2EI/L6EI/L4EI/L6EI/L
6EI/L12EI/L6EI/L12EI/L
22
2323
22
2323
ABk
ABABAB
UUUU
ukf
UKF
⋅=
⋅=
−
+
+
+
=
/12pL
pL/2
/12pL
pL/2
2
2
0f
RESOLUÇÃO
UUUU UKF ⋅=
[ ] [ ] [ ]13 U12EI/LpL/2 ⋅=−
[ ] [ ] [ ] m10481,1UU1620024 311
−×−=→⋅=−
0ABABAB fukf +⋅=
−
+
+
+
+
×−
⋅
∗∗∗+
∗∗∗−
∗∗∗+
∗∗∗+
=
−
61
24
61
24
0
0
0
10481,1
32400
16200
32400
16200 3
4
3
2
1
f
f
f
f
−
+
−=
−
+
+
+
+
−
+
−
−
=
64
48
32
0
61
24
61
24
48
24
48
24
4
3
2
1
f
f
f
f
p = 12 kN/m
L = 4m
(A) (B)
U R1 1 R R2 3
p
pL12
2 pL12
2
pL 2
pL 2
ESFORÇOS DE ENGASTAMENTOPERFEITO (auto-equilibrados)
pL12
2
pL 2
pL 2
pL12
2
= +
p = 12 kN/m
L = 4m
p = 12 kN/m
L = 4m
48 kN
48
V (kN)
M (kNm)
64
64 kNm 32 kNm
32
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CE2 – Estabilidade das Construções II Análise Matricial de Estruturas
EXERCÍCIO 4 Dada a treliça plana sobre apoio elástico, cujas matrizes de rigidez das barras são esquematizadas na figura abaixo, pede-se:
3ª Questão-T4 (3,0 pontos) Determinar pelo Método dos Elementos Finitos os diagramas de momentos fletores e de forças cortantes da VIGA AB, apresentando seus valores máximos e mínimos. Dado EI=86400 kNm2. Operar com precisão da ordem de 10−3 mm para os deslocamentos.
−
−−−
−
−
=
4EI/L6EI/L2EI/L6EI/L
6EI/L12EI/L6EI/L12EI/L
2EI/L6EI/L4EI/L6EI/L
6EI/L12EI/L6EI/L12EI/L
22
2323
22
2323
ABk
ABABAB
UUUU
ukf
UKF
⋅=
⋅=
−
+
+
+
=
/12pL
pL/2
/12pL
pL/2
2
2
0f
RESOLUÇÃO
UUUU UKF ⋅=
[ ] [ ] [ ]13 U12EI/LpL/2 ⋅=−
[ ] [ ] [ ] m10500,7UU480036 311
−×−=→⋅=−
0ABABAB fukf +⋅=
−
+
+
+
+
×−⋅
∗−∗∗
∗+∗∗
∗−∗∗
∗−∗∗
=
−
63
36
63
36
0
10500,7
0
0
14400
4800
14400
4800
3
4
3
2
1
f
f
f
f
+
+
+
=
−
+
+
+
+
+
−
+
+
=
72
0
144
72
63
36
63
36
108
36
108
36
4
3
2
1
f
f
f
f
p=12 kN/m
L=6m(A) (B)
R R1 2 U1 R 3
p
pL12
2 pL12
2
pL 2
pL 2
ESFORÇOS DE ENGASTAMENTOPERFEITO (auto-equilibrados)
pL12
2
pL 2
pL 2
pL12
2
= +
p=12 kN/m
L=6m
p = 12 kN/m
L = 6m
72 kN
72V (kN)
M (kNm)144
72 kNm 144 kNm
72
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CE2 – Estabilidade das Construções II
Análise Matricial de Estruturas
EXERCÍCIO 1 Dado o modelo de treliça plana sobre apoio elástico sujeita a recalque de apoio de acordo com o esquema abaixo, pede-se:
a) O número de graus de liberdade ativos? b) O número de graus de liberdade impedidos? c) O vetor carregamento externo ativo FU? d) O vetor carregamento externo reativo FR (formato literal)? e) O vetor deslocamento UU (formato literal)? f) O vetor deslocamento prescrito UR?
Considerar dois graus de liberdade por nó: translação horizontal e translação vertical. Apresentar os resultados segundo o sistema de unidades consistentes: kN, m e kPa.
RESOLUÇÃO
a) O número de graus de liberdade ativos? 24 b) O número de graus de liberdade impedidos? 8 c) O vetor carregamento externo ativo FU?
( ) [
]000000000000
0201001001001002010TU
+−−−−−+=F
d) O vetor carregamento externo reativo FR?
( ) [ ]87654321TR RRRRRRRR=F
e) O vetor deslocamento UU?
( ) [
]242322212019181716151413
121110987654321TU
UUUUUUUUUUUU
UUUUUUUUUUUU
=U
f) O vetor deslocamento prescrito UR?
( ) [ ]00001010010100 33TR −− ×−×−=U
(A) (B) (C) (D) (E)
(F) (G) (H) (I) (J) (K)
(L) (M)
(N) (O)
(P) (Q)
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CE2 – Estabilidade das Construções II
Análise Matricial de Estruturas
EXERCÍCIO 2 Dado o modelo de treliça plana sobre apoio elástico sujeita a recalque de apoio de acordo com o esquema abaixo, pede-se:
a) O número de graus de liberdade ativos? b) O número de graus de liberdade impedidos? c) O vetor carregamento externo ativo FU? d) O vetor carregamento externo reativo FR (formato literal)? e) O vetor deslocamento UU (formato literal)? f) O vetor deslocamento prescrito UR?
Considerar dois graus de liberdade por nó: translação horizontal e translação vertical. Apresentar os resultados segundo o sistema de unidades consistentes: kN, m e kPa.
RESOLUÇÃO
a) O número de graus de liberdade ativos? 24 b) O número de graus de liberdade impedidos? 8 c) O vetor carregamento externo ativo FU?
( ) [
]0010000000000
1001001001001001020TU
−
−−−−−−+=
F
d) O vetor carregamento externo reativo FR?
( ) [ ]87654321TR RRRRRRRR=F
e) O vetor deslocamento UU?
( ) [
]242322212019181716151413
121110987654321TU
UUUUUUUUUUUU
UUUUUUUUUUUU
=U
f) O vetor deslocamento prescrito UR?
( ) [ ]00001020010100 33TR −− ×−×−=U
(A) (B) (C) (D) (E) (F)
(G) (H) (I) (J) (K) (L)
(N) (O) (P) (Q)
(M)
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CE2 – Estabilidade das Construções II
Análise Matricial de Estruturas
EXERCÍCIO 3 Dado o modelo de treliça plana sobre apoio elástico sujeita a recalque de apoio de acordo com o esquema abaixo, pede-se:
a) O número de graus de liberdade ativos? b) O número de graus de liberdade impedidos? c) O vetor carregamento externo ativo FU? d) O vetor carregamento externo reativo FR (formato literal)? e) O vetor deslocamento UU (formato literal)? f) O vetor deslocamento prescrito UR?
Considerar dois graus de liberdade por nó: translação horizontal e translação vertical. Apresentar os resultados segundo o sistema de unidades consistentes: kN, m e kPa.
RESOLUÇÃO
a) O número de graus de liberdade ativos? 24 b) O número de graus de liberdade impedidos? 8 c) O vetor carregamento externo ativo FU?
( ) [
]03003000300300020
0000000000010TU
+++++
+=
F
d) O vetor carregamento externo reativo FR?
( ) [ ]87654321TR RRRRRRRR=F
e) O vetor deslocamento UU?
( ) [
]242322212019181716151413
121110987654321TU
UUUUUUUUUUUU
UUUUUUUUUUUU
=U
f) O vetor deslocamento prescrito UR?
( ) [ ]33TR 10100101000000 −− ×−×−=U
(A) (B) (C) (D) (E) (F)
(G) (H) (I) (J) (K) (L) (M)
(N) (O)
(P) (Q)
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Análise Matricial de Estruturas
EXERCÍCIO 4 Dado o modelo de treliça plana sobre apoio elástico sujeita a recalque de apoio de acordo com o esquema abaixo, pede-se:
a) O número de graus de liberdade ativos? b) O número de graus de liberdade impedidos? c) O vetor carregamento externo ativo FU? d) O vetor carregamento externo reativo FR (formato literal)? e) O vetor deslocamento UU (formato literal)? f) O vetor deslocamento prescrito UR?
Considerar dois graus de liberdade por nó: translação horizontal e translação vertical. Apresentar os resultados segundo o sistema de unidades consistentes: kN, m e kPa.
RESOLUÇÃO
a) O número de graus de liberdade ativos? 25 b) O número de graus de liberdade impedidos? 8 c) O vetor carregamento externo ativo FU?
( ) [
]000000003000030
000300000203000TU
−−
−+−=
F
d) O vetor carregamento externo reativo FR?
( ) [ ]87654321TR RRRRRRRR=F
e) O vetor deslocamento UU?
( ) [
]25242322212019181716151413
121110987654321TU
UUUUUUUUUUUUU
UUUUUUUUUUUU
=U
f) O vetor deslocamento prescrito UR?
( ) [ ]00001015000 3TR −×−=U
(B) (C)
(D)
(E) (F)
(A)
(G) (H) (I) (J)
(K) (L) (M) (N) (O) (P)
(Q) (R)
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CE2 – Estabilidade das Construções II
Análise Matricial de Estruturas
EXERCÍCIO 1 Dado o modelo de pórtico plano sobre apoio elástico sujeito a recalque de apoio de acordo com o esquema abaixo, pede-se:
a) O número de graus de liberdade ativos? b) O número de graus de liberdade impedidos? c) O vetor carregamento externo ativo FU? d) O vetor carregamento externo reativo FR (formato literal)? e) O vetor deslocamento UU (formato literal)? f) O vetor deslocamento prescrito UR?
Considerar três graus de liberdade por nó: translação horizontal, translação vertical e rotação. Apresentar os resultados segundo o sistema de unidades consistentes: kN, m e kPa.
RESOLUÇÃO
a) O número de graus de liberdade ativos? 12 b) O número de graus de liberdade impedidos? 7 c) O vetor carregamento externo ativo FU?
( ) [ ]000010001000030TU −−+=F
d) O vetor carregamento externo reativo FR?
( ) [ ]7654321TR RRRRRRR=F
e) O vetor deslocamento UU?
( ) [ ]121110987654321TU UUUUUUUUUUUU=U
f) O vetor deslocamento prescrito UR?
( ) [ ]0010100101000 33TR −− ×−×−=U
(A) (B) (C)
(D) (E)
(F)
(G)
21/setembro/2017 Página 1/4
CE2 – Estabilidade das Construções II
Análise Matricial de Estruturas
EXERCÍCIO 2 Dado o modelo de pórtico plano sobre apoio elástico sujeito a recalque de apoio de acordo com o esquema abaixo, pede-se:
a) O número de graus de liberdade ativos? b) O número de graus de liberdade impedidos? c) O vetor carregamento externo ativo FU? d) O vetor carregamento externo reativo FR (formato literal)? e) O vetor deslocamento UU (formato literal)? f) O vetor deslocamento prescrito UR?
Considerar três graus de liberdade por nó: translação horizontal, translação vertical e rotação. Apresentar os resultados segundo o sistema de unidades consistentes: kN, m e kPa.
RESOLUÇÃO
a) O número de graus de liberdade ativos? 19 b) O número de graus de liberdade impedidos? 8 c) O vetor carregamento externo ativo FU?
( ) [ ]001500000100000050000TU −−−=F
d) O vetor carregamento externo reativo FR?
( ) [ ]87654321TR RRRRRRRR=F
e) O vetor deslocamento UU?
( ) [ ]19181716151413121110987654321TU UUUUUUUUUUUUUUUUUUU=U
f) O vetor deslocamento prescrito UR?
( ) [ ]3TR 10100000000 −×−=U
(A) (C)
(E) (F)
(H)
(B)
(D)
(G) (I)
(J)
(K)
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CE2 – Estabilidade das Construções II
Análise Matricial de Estruturas
EXERCÍCIO 3 Dado o modelo de pórtico plano sobre apoio elástico sujeito a recalque de apoio de acordo com o esquema abaixo, pede-se:
a) O número de graus de liberdade ativos? b) O número de graus de liberdade impedidos? c) O vetor carregamento externo ativo FU? d) O vetor carregamento externo reativo FR (formato literal)? e) O vetor deslocamento UU (formato literal)? f) O vetor deslocamento prescrito UR?
Considerar três graus de liberdade por nó: translação horizontal, translação vertical e rotação. Apresentar os resultados segundo o sistema de unidades consistentes: kN, m e kPa.
RESOLUÇÃO
a) O número de graus de liberdade ativos? 10 b) O número de graus de liberdade impedidos? 6 c) O vetor carregamento externo ativo FU?
( ) [ ]0000400002010TU +−+=F
d) O vetor carregamento externo reativo FR?
( ) [ ]654321TR RRRRRR=F
e) O vetor deslocamento UU?
( ) [ ]10987654321TU UUUUUUUUUU=U
f) O vetor deslocamento prescrito UR?
( ) [ ]000101000 3TR −×−=U
(A) (B) (C)
(D) (E)
(F)
21/setembro/2017 Página 3/4
CE2 – Estabilidade das Construções II
Análise Matricial de Estruturas
EXERCÍCIO 4 Dado o modelo de pórtico plano sobre apoio elástico sujeito a recalque de apoio de acordo com o esquema abaixo, pede-se:
a) O número de graus de liberdade ativos? b) O número de graus de liberdade impedidos? c) O vetor carregamento externo ativo FU? d) O vetor carregamento externo reativo FR (formato literal)? e) O vetor deslocamento UU (formato literal)? f) O vetor deslocamento prescrito UR?
Considerar três graus de liberdade por nó: translação horizontal, translação vertical e rotação. Apresentar os resultados segundo o sistema de unidades consistentes: kN, m e kPa.
RESOLUÇÃO
a) O número de graus de liberdade ativos? 15 b) O número de graus de liberdade impedidos? 7 c) O vetor carregamento externo ativo FU?
( ) [ ]0004010000200020000TU −−++=F
d) O vetor carregamento externo reativo FR?
( ) [ ]7654321TR RRRRRRR=F
e) O vetor deslocamento UU?
( ) [ ]151413121110987654321TU UUUUUUUUUUUUUUU=U
f) O vetor deslocamento prescrito UR?
( ) [ ]33TR 105000010100 −− ×−×−=U
(C)
(A)
(D) (E)
(B)
(F)
(G) (H)
21/setembro/2017 Página 4/4
13 de agosto de 2017 Página 1 de 5
CE2 – Estabilidade das Construções II
Análise Matricial de Estruturas
TRELIÇA C/ SISTEMA TENSOR DE CABO
Para a treliça de alumínio, formada por elementos tubulares e sujeita a uma carga concentrada de 200 kN aplicada no ponto (B), pede-se o deslocamento vertical no ponto de aplicação da carga e a tensão no cabo BD, nas seguintes situações: a) o cabo desativado; b) o cabo ajustado perfeitamente entre os pontos BD, antes da aplicação da carga; c) após a ativação do sistema tensor do cabo com o deslocamento prescrito no apoio (D) igual a +10 mm.
Dados: módulo de elasticidade do alumínio E = 70x106 kPa, módulo de elasticidade do
aço E = 200x106 kPa, área da seção transversal tubular A TUBO = 706,86 mm2, área da
seção transversal do cabo A CABO = 78,54 mm2 e tensão de ruptura do cabo
σR= 2000 MPa. A matriz de rigidez no sistema global de coordenadas para o elemento
genérico ij é dada por:
⋅−⋅−⋅⋅−−
−⋅−⋅⋅−−⋅
=
αααααααααααα
αααααααααααα
22
22
22
22
coscos
coscoscoscos
coscos
coscoscoscos
sensensensen
sensen
sensensensen
sensen
EAij
lk
Utilizar as unidades consistentes: kN (kilonewton), m (metro), kPa (kilopascal). Operar
com três (03) casas decimais.
13 de agosto de 2017 Página 2 de 5
CE2 – Estabilidade das Construções II
Análise Matricial de Estruturas
TRELIÇA C/ SISTEMA TENSOR DE CABO
Obtidas as matrizes de rigidez dos elementos estruturais, deve-se remanejar tais
coeficientes para a matriz de rigidez da estrutura (graus de liberdade ordenados).
a) deslocamento vertical no ponto de aplicação da carga para o cabo desativado
200 kN
(A) (B)
(C). (D)
R1 R2
R3 U1
R4 U2
R5 R6
R1 R2 R3 U1
R1
R2
R3
U1
R1 R2 R4 U2
R1
R2
R4
U2
R4 U2 R3 U1
R4
U2
R3
U1
R3 U1 R5 R6
R3
U1
R5
R6
−
−⋅=
1010
0000
1010
0000
24740ACk
−−−−−−
−−
⋅=
5,05,05,05,0
5,05,05,05,0
5,05,05,05,0
5,05,05,05,0
17494CBk
−
−⋅=
1010
0000
1010
0000
7854BDk
−
−
⋅=
0000
0101
0000
0101
24740ABk
U1
33487
8747 −8747
−8747
U1
U2
−200
U2
U1
U20
.
U1 31x10 m= − −3
U2= −8x10 m−3
F K UU UU U= .
200 kN
(a)
31mm
8mm
13 de agosto de 2017 Página 3 de 5
CE2 – Estabilidade das Construções II
Análise Matricial de Estruturas
b) deslocamento vertical no ponto de aplicação da carga para o cabo ajustado perfeitamente entre os pontos BD e a tensão normal no cabo BD
U1
33487
16601 −8747
−8747
U1
U2
−200
U2
U1
U20
.
U1 14x10 m= − −3
U2= −3,6x10 m−3
F K UU UU U= .
200 kN
(b)
14mm
3,6mm
CA
BO
−
−⋅=
1010
0000
1010
0000
7854BDk
f k uBD BD BD= .
= −0,014
0
f4
f3
f2
f1
.
0
0
=
f4
f3
f2
f1
−110
0
0
+110110 kN
CA
BO
(B)
(D)
110 kN
σ = BD BD
BD
f
A= 110000 N
78,54 mm2
σ =BD 1400 MPa
13 de agosto de 2017 Página 4 de 5
CE2 – Estabilidade das Construções II
Análise Matricial de Estruturas
c) deslocamento vertical no ponto de aplicação da carga após a ativação do sistema
tensor do cabo com o deslocamento prescrito no apoio (D) igual a +10 mm e a tensão normal no cabo BD
U1
33487
16601 −8747
−8747
U1
U2
−200
U2
U1
U20
.
U1 8,5x10 m= − −3
U2= −2,2x10 m−3
F K UU UU U = . + K UUR R.
200 kN
8,5mm
2,2mm
CA
BO
+U1−7854
U2
0
00
0
+−
10x103
R5 R5
.
(c )
+10mm
−
−⋅=
1010
0000
1010
0000
7854BDk
f k uBD BD BD= .
= −0,0085
0
f4
f3
f2
f1
.
0
+0,010
=
f4
f3
f2
f1
−145,3
0
0
+145,3145,3 kN
CA
BO
(B)
(D)
145,3 kN
σ = BD BD
BD
f
A=
145300 N
78,54 mm2
σ =BD 1850 MPa
R6
13 de agosto de 2017 Página 5 de 5
CE2 – Estabilidade das Construções II
Análise Matricial de Estruturas
Deve-se observar que o deslocamento prescrito de 10 mm no apoio (D) reduziu o
deslocamento do nó (B) de 14 mm para 8,5 mm (variação de 5,5mm). O acionamento
do sistema tensor levou ao aumento da força normal no cabo de 110,0 kN para
145,3 kN (aumento de 35,3 kN). Por conta deste aumento de força normal, ocorrerá um
alongamento adicional no cabo:
mm5,454,78200000
200035300
CABO
BDBD =⋅⋅=⋅=∆
EA
LNL
que somado à variação de deslocamento de 5,5mm produz o deslocamento prescrito
no apoio (D) igual a 10 mm.
Como consideração final, deve-se tomar cuidado na operação de retesamento do cabo,
pois com deslocamento prescrito de 10 mm (sobre o comprimento de 2000mm) a tensão
normal passou de 1400 MPa para 1850 MPa, chegando muito próximo da sua tensão
de ruptura f R= 2000 MPa. Portanto, deve-se verificar o risco de acidentes operacionais
com modelo de elementos finitos.
−
−
−
−
=
−−−
−
LEILEILEILEILEILEILEILEI
LEALEALEILEILEILEILEILEILEILEI
LEALEA
/4/6/2/6/6/12/6/12
///2/6/4/6/6/12/6/12
//
22
2323
22
2323
00
00
0000
00
00
0000
k
EXEMPLO Dada a viga contínua, indicada a seguir, considerando-se o recalque de 1 mm do apoio B, pede-se:a) os deslocamentos nodais;b) as reações de apoio;c) os esforços nas barras e os diagramas correspondentes.Dados: E= 24 x 106 kN/m2, I=3,6 x 10-3 m4 (20cm x 60cm)
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
1/19255/325
1/19Anexo A Funções de InterpolaçãoElemento de pórtico plano com recalqueProblema complementar
1/19
12kN/m
4m 6m 2m
A C DB−1mm
CE2 – Estabilidade das Construções IIANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS
12kN/m 12kN/m 12kN/m
4m 6m 2m
16kNm 16kNm 36kNm 36kNm 4kNm 4kNm
24kN 24kN 36kN 36kN 12kN 12kN
16kNm 20kNm 32kNm 4kNm
24kN 60kN 48kN 12kN
R1 R2 R3 R4 R5 U1 R6 R7 U2 R8 R9 R10
A B B C C D
A B C D
A B C D
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
Vetor carregamento
1/19255/325
1/19Anexo A Funções de InterpolaçãoElemento de pórtico plano com recalqueProblema complementar
2/19
CE2 – Estabilidade das Construções IIANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS
F0 = −
0
24−
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
R9
R10
16−
0
0
−48
0
−12
4
FU =
20−
32
U1
U2
16kNm 20kNm 32kNm 4kNm
24kN 60kN 48kN 12kN
R1 R2 R3 R4 R5 U1 R6 R7 U2
R8 R9 R10
+
+
+
1
2 3
60−
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
1/19255/325
1/19Anexo A Funções de InterpolaçãoElemento de pórtico plano com recalqueProblema complementar
3/19
CE2 – Estabilidade das Construções IIANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS
Matriz de rigidez
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
kAB =
R1 R2 R3 R4 R5 U1
R1R2R3R4R5U1
kBC =
R4 R5 U1 R6 R7 U2
R6R7U2
kCD =
R6 R7 U2 R8 R9 R10
R8R9R10
03240043200
032400−
86400
01440057600
014400−
28800
01440028800
014400−
57600
0129600172800
012960086400
−
A B C DR1 R2 R3 R4 R5 U1 R6 R7 U2 R8 R9 R10
−1mm
0
16200
32400
−
−0
16200
−32400
04800−
14400
04800 14400
1/19255/325
1/19Anexo A Funções de InterpolaçãoElemento de pórtico plano com recalqueProblema complementar
4/19
CE2 – Estabilidade das Construções IIANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS
KUU =
86400
57600
57600 28800
28800 172800
U1 U2
U2
U1KRU
=
0 0
32400
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
R9
R10
0
0
14400
0
0
−14400129600
−129600
0
86400
43200
0
32400−14400
0
−14400
0
0
0
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
1/19255/325
1/19Anexo A Funções de InterpolaçãoElemento de pórtico plano com recalqueProblema complementar
5/19
CE2 – Estabilidade das Construções IIANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
KUR =
* * * * −+
3240014400 * * * * *
*
R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 R9 R10
* * * 14400 0 * * * * U2
U1
KRR =
* * * * 0 * * * * *
*
R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 R9 R10
* * * −16200 0 * * * *
* * * * −32400 * * * * *
* * * * 0 * * * *
* * * *++162004800 * * * * *
* * * *
0
* * * *
* * * * * * * * *
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
R9
R10
* * * * * * * * *
* * * * 0 * * * *
* * * * * * * * *
*
0
−4800
*
*0
1/19255/325
1/19Anexo A Funções de InterpolaçãoElemento de pórtico plano com recalqueProblema complementar
6/19
CE2 – Estabilidade das Construções IIANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS
Deslocamentos nodais
F U = KUU .U U
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
+ KUR .U R
rad
U1= −0,312 x 10−3 rad
U2= +0,240 x 10−3
⋅−⋅
∗∗∗∗∗∗∗∗∗
∗∗∗∗∗+−∗∗∗∗+
⋅
=
+
− −
0
0
0
0
0
101
0
0
0
0
14400
14400)32400(
U
U
23040028800
28800144000
32
20 3
2
1
⋅
=
+
−
−+
⋅
=
+
−
2
1
2
1
U
U
23040028800
28800144000
4,46
38
4,14
18
U
U
23040028800
28800144000
32
20
1/19255/325
1/19Anexo A Funções de InterpolaçãoElemento de pórtico plano com recalqueProblema complementar
7/19
CE2 – Estabilidade das Construções IIANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS
Rz = −0,312 x 10−3 rad
Rz = +0,240 x 10−3 rad
PROGRAMA FTOOLDESLOCAMENTOS NODAIS
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
Uy = −1 x 10−3 rad
1/19255/325
1/19Anexo A Funções de InterpolaçãoElemento de pórtico plano com recalqueProblema complementar
8/19
CE2 – Estabilidade das Construções IIANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS
Reações de apoio
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
F R = + K U FRU U
0. K URR R . +
0 0
32400 0
0
14400
0
0
115200
−129600
0
86400
43200
0
18000−
0
−14400
0
0
0
+
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
R9
R10
=0,240x10+ −3
0,312x10− −3
0
R5
−16200
−32400
0
++162004800
0
0
0
−4800
0
1,000x10− −3 +
0
24
16
0
0
48
0
12
−4
60
1/19255/325
1/19Anexo A Funções de InterpolaçãoElemento de pórtico plano com recalqueProblema complementar
9/19
CE2 – Estabilidade das Construções IIANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
R9
R10
= +
0
+24
16+
0
0
+48
0
+12
−4
60+
0
−10,1
−13,5
0
0
0
+32,1
+9,1
−31,1
+20,7
+
0
+16,2
+32,4
0
0
0
0
+4,8
0
−21,0
R1 = 0
R2 = 30,1 kN+
R3 = 34,9 kNm+
R4 = 0
R5 = 48,1 kN+
R6 = 0
R7 = 84,9 kN+
R8 = 0
R9 = 19,1 kN−
R10 = 16,7 kNm+
1/19255/325
1/19Anexo A Funções de InterpolaçãoElemento de pórtico plano com recalqueProblema complementar
10/19
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
CE2 – Estabilidade das Construções IIANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS
PROGRAMA FTOOLREAÇÕES DE APOIO
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
1/19255/325
1/19Anexo A Funções de InterpolaçãoElemento de pórtico plano com recalqueProblema complementar
11/19
CE2 – Estabilidade das Construções IIANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS
Esforços na Barra AB
fAB = + k u fAB
AB 0AB.
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
1/19255/325
1/19Anexo A Funções de InterpolaçãoElemento de pórtico plano com recalqueProblema complementar
12/19
f1f2f3f4
f5f6
=
0000
−1x10−3
0,312x10− −3
02416
+024
−16
f1f2f3f4
f5f6
=
0+24+16
+0
+24−16
0+6,1
+18,90
+5,4
=
0+30,1
0+17,9−10,6
03240043200
032400−
86400
0
16200
32400
−
−0
16200
−32400
−6,1
+34,9
CE2 – Estabilidade das Construções IIANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
1/19255/325
1/19Anexo A Funções de InterpolaçãoElemento de pórtico plano com recalqueProblema complementar
13/19
12kN/m
4m 34,9 kNm
30,1kN 17,9kN
A B10,6kNm
x V/p 30,1/12 2,51mMX = = =
∆ = = = M V x /2 30,1 2,51/2 37,75kNm MX. .
M M M 34,9 37,75 2,85kNmMX 1= −∆ = − + = +
CE2 – Estabilidade das Construções IIANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS
Esforços na Barra BC
fBC = + k u fBC
BC 0BC.
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
1/19255/325
1/19Anexo A Funções de InterpolaçãoElemento de pórtico plano com recalqueProblema complementar
14/19
f1f2f3f4
f5f6
=
0−1x10−3
00
0,312x10− −3
03636
+036
−36
f1f2f3f4
f5f6
=
0+36+36
+0
+36−36
0−5,8−25,5
0
−9,6
=
0+30,2+10,5
0+41,8−45,6
0,240x10+ −3
01440057600
014400−
28800
01440028800
014400−
57600
04800−
14400
04800 14400
+5,8
CE2 – Estabilidade das Construções IIANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
1/19255/325
1/19Anexo A Funções de InterpolaçãoElemento de pórtico plano com recalqueProblema complementar
15/19
12kN/m
6m 10,5kNm
30,2kN 41,8kN
B C45,6kNm
x V/p 30,2/12 2,52mMX = = =
∆ = = = M V x /2 30,2 2,52/2 38,0kNm MX. .
M M M 10,5 38,0 27,5kNmMX 1= −∆ = − + =
CE2 – Estabilidade das Construções IIANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS
Esforços na Barra CD
fCD = + k u fCD
CD 0CD.
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
1/19255/325
1/19Anexo A Funções de InterpolaçãoElemento de pórtico plano com recalqueProblema complementar
16/19
f1f2f3f4
f5f6
=
00
00
+
f1f2f3f4
f5f6
=
0+12+4
+0
+12−4
0+31,1+41,5
0−31,1+20,7
=
0,240x10+ −3
0129600172800
012960086400
−
0
0124
012−4
0+43,1+45,5
0−19,1+16,7
CE2 – Estabilidade das Construções IIANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
1/19255/325
1/19Anexo A Funções de InterpolaçãoElemento de pórtico plano com recalqueProblema complementar
17/19
12kN/m
2m 45,5kNm
43,1kN 19,1kN
C D16,7kNm
x V/p 43,1/12 3,6mMX = = =
x 2 (fora do intervalo)MX >
CE2 – Estabilidade das Construções IIANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS
DIAGRAMA DE FORÇAS CORTANTESPROGRAMA FTOOL
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
1/19255/325
1/19Anexo A Funções de InterpolaçãoElemento de pórtico plano com recalqueProblema complementar
18/19
CE2 – Estabilidade das Construções IIANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS
DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORESPROGRAMA FTOOL
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
1/19255/325
1/19Anexo A Funções de InterpolaçãoElemento de pórtico plano com recalqueProblema complementar
19/19
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Análise Matricial de Estruturas
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PROBLEMAS COMPLEMENTARES
PROBLEMA 1
Para a treliça hiperestática, indicada na Figura 1a, determinar pelo Método dos Elementos Finitos:
a) o deslocamento vertical do ponto A e o deslocamento horizontal do ponto B; b) a força reativa horizontal no apoio C; c) os esforços normais nas barras.
São dados o módulo de elasticidade do aço E= 205 GPa e seção transversal composta por um tubo
circular com diâmetro externo D= 20 mm e espessura da parede do tubo t=2 mm. São fornecidas as
matrizes de rigidez do elemento da treliça (Figura 1b). Unidades consistentes: N, mm, MPa (=N/mm2).
Figura 1a Treliça hiperestática com apoio elástico e matriz de rotação (global/local)
Barra AB
Dados: E=205x106 kN/m2; A=113,097x10-6 m2; L= 3 m; α=−53,13º (Unidades: kN, m, kN/m2=kPa)
Barra AC
Dados: E=205x106 kN/m2; A=113,097x10-6 m2; L= 5,1 m; α=−28,07º (Unidades: kN, m, kN/m2=kPa)
Barra BC
Dados: E=205x106 kN/m2; A=113,097x10-6 m2; L= 2,7 m; α=0º (Unidades: kN, m, kN/m2=kPa)
Apoio elástico BD
Dado: k=4000 kN/m
20mm
2mm
2,4 m
1,8 m 2,7 m
27 kN
SEÇÃO TRANSVERSALTÍPICA (TUBULAR)
(A)
(B) (C )(D)
k=4000 kN/m
2782 -3710 -2782 3710-3710 4946 3710 -4946-2782 3710 2782 -37103710 -4946 -3710 4946
3539 -1888 -3539 1888-1888 1007 1888 -1007-3539 1888 3539 -18881888 -1007 -1888 1007
8587 0 -8587 00 0 0 0
-8587 0 8587 00 0 0 0
4000 -4000-4000 4000
=ABK
=ACK
=BCK
=BDK
−
−=
cosθsen
sencosθ
cosθsen
sencosθ
T
θθ
θθ
00
00
00
00
ij
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Figura 1b Matrizes de rigidez dos elementos da treliça plana no sistema global PROBLEMA 2
Para a treliça hiperestática, indicada na Figura 2a, determinar pelo Método dos Elementos Finitos:
a) o deslocamento vertical do ponto A e os deslocamentos horizontal e vertical do ponto B; b) a força reativa horizontal no apoio C; c) os esforços normais nas barras.
São dados o módulo de elasticidade do aço E= 205 GPa e seção transversal composta por um tubo
circular com diâmetro externo D= 20 mm e espessura da parede do tubo t=2 mm. São fornecidas as
matrizes de rigidez do elemento da treliça (Figura 2b). Unidades consistentes: kN, m, kPa (=kN/m2).
Figura 2a Treliça hiperestática com apoios elásticos e matriz de rotação (global/local)
Barra AB
Dados: E=205x106 kN/m2; A=113,097x10-6 m2; L= 3 m; α=−53,13º (Unidades: kN, m, kN/m2=kPa)
Barra AC
Dados: E=205x106 kN/m2; A=113,097x10-6 m2; L= 5,1 m; α=−28,07º (Unidades: kN, m, kN/m2=kPa)
Barra BC
Dados: E=205x106 kN/m2; A=113,097x10-6 m2; L= 2,7 m; α=0º (Unidades: kN, m, kN/m2=kPa)
Apoio elástico horizontal BD e apoio elástico vertical BE
Dados: kBD=4000 kN/m e kBE=8000 kN/m
20mm
2mm
2,4 m
1,8 m 2,7 m
27 kN
SEÇÃO TRANSVERSALTÍPICA (TUBULAR)
(A)
(B) (C )(D)
(E)
k=8000 kN/mk=4000 kN/m
2782 -3710 -2782 3710-3710 4946 3710 -4946-2782 3710 2782 -37103710 -4946 -3710 4946
3539 -1888 -3539 1888-1888 1007 1888 -1007-3539 1888 3539 -18881888 -1007 -1888 1007
8587 0 -8587 00 0 0 0
-8587 0 8587 00 0 0 0
4000 -4000-4000 4000
8000 -8000-8000 8000
=ABK
=ACK
=BCK
=BEK
−
−=
cosθsen
sencosθ
cosθsen
sencosθ
T
θθ
θθ
00
00
00
00
ij
=BDK
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Figura 2b Matrizes de rigidez dos elementos da treliça plana no sistema global
GABARITO
PROBLEMA 1
a) Determinação dos deslocamentos
2x1)( 2x2)((2x1)
UUUU UKF ⋅=
×+=×−== −
−
m1029,1U
m1035,5U3
2
31
UU
b) Determinação das reações de apoio
2x1)( 5x2)((5x1)
URUR UKF ⋅=
27 kN
R U1 1
U R2 2 R R3 4R5
2782 -3710 -2782 3710-3710 4946 3710 -4946-2782 3710 2782 -37103710 -4946 -3710 4946
=ABK
3539 -1888 -3539 1888-1888 1007 1888 -1007-3539 1888 3539 -18881888 -1007 -1888 1007
=ACK
8587 0 -8587 00 0 0 0
-8587 0 8587 00 0 0 0
=BCK
4000 -4000-4000 4000
=BDK
U2R5
U2 R5
U2 R2 R3 R4
U2R2R3R4
R1 U1 R3 R4
R1U1R3R4
R1 U1 U2 R2
R1U1U2R2
4946 3710
8587
1007
4000
U1 U2
U1
U2
3710 2782
-27
0
U1
U2
= .
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−==−=
==
=
kN16,5R
kN39,5R
kN18,21R
kN68,21R
kN36,26R
5
4
3
2
1
RF
c) Determinação das forças normais nas barras
c.1) BARRA AB
4x1)( 4x4)((4x1)
ABABAB UKF ⋅=
4x1)( 4x4)((4x1)
ABABAB fTf ⋅=
(TRAÇÃO)
-8587
-1888
-1007
-4000
-3710 -2782
-4946 -3710
U1 U2
R1
R2
.R3
R4
R5
R1
R2
R3
R4
R5
1888
-5,35x10-3
+1,29x10-3
2782 -3710 -2782 3710-3710 4946 3710 -4946-2782 3710 2782 -37103710 -4946 -3710 4946
=ABK
R1 U1 U2 R2
R1U1U2R2
mm
0
1029,1
1035,5
0
3
3
AB
××−
= −
−U kN
68,21
26,16
68,21
26,16
AB
−−
=→ F
2,4 m
1,8 m
(A)
(B)
α = arctan 2,4 1,8AB = 53,13− o
−
−
=
6,08,000
8,06,000
006,08,0
008,06,0
ABT2,4 m
1,8 m
(A)
(B)
360 = arctan 2,4 1,8
o−αAB = 306,87o
kN
00,0
59,7
00,0
59,7
A B
+
−
=→ fk N
68,21
26,1 6
6 8,2 1
2 6,1 6
A B
−−
=F
−
−
=
6,08,000
8,06,000
006,08,0
008,06,0
ABT
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c.2) BARRA AC
4x1)( 4x4)((4x1)
ACACAC UKF ⋅=
4x1)( 4x4)((4x1)
ACACAC fTf ⋅=
(COMPRESSÃO) c.3) BARRA BC
4x1)( 4x4)((4x1)
BCBCBC UKF ⋅=
(COMPRESSÃO)
3539 -1888 -3539 1888-1888 1007 1888 -1007-3539 1888 3539 -18881888 -1007 -1888 1007
=ACK
R1 U1 R3 R4
R1U1R3R4
mm
0
0
1035,5
03
AC
×−=
−U kN
39,5
10,10
39,5
10,10
AC
−−
=→ F
(A)
(C )
2,4 m
4,5 m
α = arctan 2,4 4,5AC = 28,07− o
−
−
=
88,047,000
47,088,000
0088,047,0
0047,088,0
ACT
kN
00,0
42,11
00,0
42,11
AC
−=→ fk N
3 9,5
1 0,1 0
3 9,5
1 0,1 0
A C
−−
=F
−
−
=
88,047,000
47,088,000
0088,047,0
0047,088,0
ACT
8587 0 -8587 00 0 0 0
-8587 0 8587 00 0 0 0
=BCK
U2 R2 R3 R4
U2R2R3R4
×
=
−
0
0
0
1029,1 3
B CU kN
0
08,11
0
08,11
BC
−=→ F
(B) (C )αBC = 0o
=
1000
0100
0010
0001
B CT
kN
00,0
08,11
00,0
08,11
B C
−=→ fk N
0
0 8,11
0
0 8,11
B C
−=F
=
1000
0100
0010
0001
B CT
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PROBLEMA 2
a) Determinação dos deslocamentos
3x1)( 3x3)((3x1)
UUUU UKF ⋅=
⋅
−−−−
=
−
3
2
1
U
U
U
1294637104946
3710153693710
494637105953
0
0
27
m
1046,2U
1017,1U
1031,7U
33
32
31
U
×−=×+=×−=
=−
−
−
U
27 kN
R1 U1 U2
R U1 1
U U2 3 R R2 3
U3
R1U1U2U3
3539 -1888 -3539 1888-1888 1007 1888 -1007-3539 1888 3539 -18881888 -1007 -1888 1007
=ACK
R1 U1 R2 R3
R1U1R2R3
8587 0 -8587 00 0 0 0
-8587 0 8587 00 0 0 0
=BCK
U2 U3 R2 R3
U2U3R2R3
U2R4
U2 R4
U3R5
U3 R5
R4
R5
2782 -3710 -2782 3710-3710 4946 3710 -4946-2782 3710 2782 -37103710 -4946 -3710 4946
=ABK
4000 -4000-4000 4000
=BDK
−
−
80008000
80008000=BEK
(A)
(B)(C)
(E)
(D)
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b) Determinação das reações de apoio
3x1)( 5x3)((5x1)
URUR UKF ⋅=
×−××−
⋅
−−
−−−−
=
−
−
−
3
3
3
5
4
3
2
1
1046,2
1017,1
1031,7
800000
040000
001007
085871888
371027825598
R
R
R
R
R
kN
6,19R
7,4R
4,7R
9,23R
5,28R
5
4
3
2
1
R
=−=
=−=
=
=→ F
27 kN
R U1 1
U U2 3 R R2 3R4
R5
(A)
(B) (C)
(E)
(D)
28,50 kN
23,90 kN
7,40 kN
4,70 kN
19,60 kN
Força externa ativaForças externas reativas
−
−
−
−
=
−−−
−
LEILEILEILEILEILEILEILEI
LEALEALEILEILEILEILEILEILEILEI
LEALEA
/4/6/2/6/6/12/6/12
///2/6/4/6/6/12/6/12
//
22
2323
22
2323
00
00
0000
00
00
0000
k
EXEMPLO Dada a viga contínua, indicada a seguir, pede-se:a) os deslocamentos nodais;b) as reações de apoio;c) os esforços nas barras e os diagramas correspondentes.Dados: E= 24 x 106 kN/m2, I=3,6 x 10-3 m4 (20cm x 60cm)
12kN/m
4m 6m 2m
A B C D
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1/22255/325
1/22Anexo A Funções de InterpolaçãoElemento de pórtico plano – Problema complementar 1/20
12kN/m 12kN/m 12kN/m
4m 6m 2m
16kNm 16kNm 36kNm 36kNm 4kNm 4kNm
24kN 24kN 36kN 36kN 12kN 12kN
16kNm 20kNm 32kNm 4kNm
24kN 60kN 48kN 12kN
R1 R2 R3 R4 R5 U1 R6 R7 U2 R8 R9 R10
A B B C C D
A B C D
A B C D
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
1/22255/325
1/22Anexo A Funções de InterpolaçãoElemento de pórtico plano – Problema complementar 2/20
Vetor carregamento
CE2 – Estabilidade das Construções IIANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS
F0 = −
0
24−
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
R9
R10
16−
0
0
−48
0
−12
4
FU =
20−
32
U1
U2
16kNm 20kNm 32kNm 4kNm
24kN 60kN 48kN 12kN
R1 R2 R3 R4 R5 U1 R6 R7 U2
R8 R9 R10
+
+
+
1
2 3
60−
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
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1/22255/325
1/22Anexo A Funções de InterpolaçãoElemento de pórtico plano – Problema complementar 3/20
CE2 – Estabilidade das Construções IIANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS
kAB =
R1 R2 R3 R4 R5 U1
R1R2R3R4R5U1
kBC =
R4 R5 U1 R6 R7 U2
R6R7U2
kCD =
R6 R7 U2 R8 R9 R10
R8R9R10
03240043200
032400−
86400
01440057600
014400−
28800
01440028800
014400−
57600
0129600172800
012960086400
−
A B C DR1 R2 R3 R4 R5 U1 R6 R7 U2 R8 R9 R10
Matriz de rigidez
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
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1/22255/325
1/22Anexo A Funções de InterpolaçãoElemento de pórtico plano – Problema complementar 4/20
CE2 – Estabilidade das Construções IIANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS
KUU =
86400
57600
57600 28800
28800 172800
U1 U2
U2
U1KRU
=
0 0
32400
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
R9
R10
0
0
14400
0
0
−14400129600
−129600
0
86400
43200
0
32400−14400
0
−14400
0
0
0
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
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1/22Anexo A Funções de InterpolaçãoElemento de pórtico plano – Problema complementar 5/20
CE2 – Estabilidade das Construções IIANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS
230400
28800
28800
144000
=20−
32 U2
U1
Deslocamentos nodais
F U = KUU .U U
U2 1,603 10=+ x −4 rad
U1 1,709 10=− x −4 rad
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1/22Anexo A Funções de InterpolaçãoElemento de pórtico plano – Problema complementar 6/20
CE2 – Estabilidade das Construções IIANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS
Rz = −1,709 x 10−4 rad
Rz = +1,603 x 10−4 rad
PROGRAMA FTOOLDESLOCAMENTOS NODAIS
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1/22255/325
1/22Anexo A Funções de InterpolaçãoElemento de pórtico plano – Problema complementar 7/20
CE2 – Estabilidade das Construções IIANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS
Reações de apoio
0 0
32400 0
0
14400
0
0
115200
−129600
0
86400
43200
0
18000−
0
−14400
0
0
0
+
0
24
16
0
0
48
0
12
−4
60
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
R9
R10
=1,603x10+ −4
1,709x10− −4
R1 = 0
R2 = +18,5 kN
R3 = +8,6 kNm
R4 = 0
R5 = +65,4 kN
R6 = 0
R7 = +68,9 kN
R8 = 0
R9 = 8,8 kN−
R10 = +9,8 kNm
FR = + K U FRU U
0.
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1/22255/325
1/22Anexo A Funções de InterpolaçãoElemento de pórtico plano – Problema complementar 8/20
CE2 – Estabilidade das Construções IIANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS
PROGRAMA FTOOLREAÇÕES DE APOIO
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1/22255/325
1/22Anexo A Funções de InterpolaçãoElemento de pórtico plano – Problema complementar 9/20
CE2 – Estabilidade das Construções IIANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS
f1f2f3f4
f5f6
=
03240043200
032400−
86400
00000
1,709x10− −4
02416
+024
−16
f1f2f3f4
f5f6
=
02416
+024
−16
0−5,5−7,4
05,5
−14,8
=
018,58,6
029,5
−30,8
Esforços na Barra AB
fAB = + k u fAB
AB 0AB.
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
1/22255/325
1/22Anexo A Funções de InterpolaçãoElemento de pórtico plano – Problema complementar 10/20
CE2 – Estabilidade das Construções IIANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS
12kN/m
4m 16kNm
24kN 24kN
A B16kNm
7,4kNm
5,5kN
A B14,8kNm
5,5kN
+
(AUTO-EQUILIBRADO)
16kNm 16kNm
24kN 24kN
A B
f0AB
02416
024
−16
=
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
1/22255/325
1/22Anexo A Funções de InterpolaçãoElemento de pórtico plano – Problema complementar 11/20
CE2 – Estabilidade das Construções IIANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS
12kN/m
4m 8,6kNm
18,5kN 29,5kN
A B30,8kNm
x V/p MX = = = 18,5/12 1,54m
∆ = M V x /2 MX. .= = 18,5 1,54/2 14,26kNm
M M M MX 1= −∆ = − = 8,6 14,26 5,66kNm
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
1/22255/325
1/22Anexo A Funções de InterpolaçãoElemento de pórtico plano – Problema complementar 12/20
CE2 – Estabilidade das Construções IIANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS
Esforços na Barra BC
fBC = + k u fBC
BC 0BC.
f1f2f3f4
f5f6
=
00
00
1,709x10− −4
03636
+036
−36
f1f2f3f4
f5f6
=
03636
+036
−36
0−0,2−5,2
00,24,3
=
035,830,8
036,2
−31,7
1,603x10+ −4
01440057600
014400−
28800
01440028800
014400−
57600
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
1/22255/325
1/22Anexo A Funções de InterpolaçãoElemento de pórtico plano – Problema complementar 13/20
CE2 – Estabilidade das Construções IIANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS
12kN/m
6m 36kNm
36kN 36kN
B C36kNm
5,2kNm
0,2kN
B C4,3kNm
0,2kN
+
(AUTO-EQUILIBRADO)
36kNm 36kNm
36kN 36kN
B C
f0BC
03636
036
−36
=
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
1/22255/325
1/22Anexo A Funções de InterpolaçãoElemento de pórtico plano – Problema complementar 14/20
CE2 – Estabilidade das Construções IIANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS
x V/p MX = = = 35,8/12 3,0m
∆ = M V x /2 MX. .= = 35,8 3,0/2 53,7kNm
M M M MX 1= −∆ = − = 30,8 53,7 22,9kNm
12kN/m
6m 30,8kNm
35,8kN 36,2kN
B C31,7kNm
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
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1/22255/325
1/22Anexo A Funções de InterpolaçãoElemento de pórtico plano – Problema complementar 15/20
CE2 – Estabilidade das Construções IIANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS
Esforços na Barra CD
fCD = + k u fCD
CD 0CD.
f1f2f3f4
f5f6
=
00
00
03636
+036
−36
f1f2f3f4
f5f6
=
0124
+012−4
020,827,7
0−20,813,8
=
032,831,7
0−8,89,8
1,603x10+ −4
0129600172800
012960086400
−
0
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
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CE2 – Estabilidade das Construções IIANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS
12kN/m
2m 4kNm
12kN 12kN
C D4kNm
27,7kNm
20,8kN
C D13,8kNm
+
(AUTO-EQUILIBRADO)
4kNm 4kNm
12kN 12kN
C D
f0CD
0124
012−4
=20,8kN
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
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CE2 – Estabilidade das Construções IIANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS
12kN/m
2m 31,7kNm
32,8kN 8,8kN
C D9,8kNm
x V/p MX = = = 32,8/12 2,7m
xMX > 2 (fora do intervalo)
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
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CE2 – Estabilidade das Construções IIANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS
DIAGRAMA DE FORÇAS CORTANTESPROGRAMA FTOOL
Método dos Elementos Finitos aplicado à Engenharia de Estruturas: Teoria e Prática
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CE2 – Estabilidade das Construções IIANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS
DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORESPROGRAMA FTOOL
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CE2 – Estabilidade das Construções IIANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS
13/agosto/2017 Página 1/11
CE2 – Estabilidade das Construções II Análise Matricial de Estruturas
EXEMPLO 5.1 Para a treliça hiperestática, indicada na Figura 1, utilizando a Formulação do Elemento Finito de Treliça Plana, determine:
a) DESLOCAMENTOS NODAIS; b) REAÇÕES DE APOIO; c) ESFORÇOS NORMAIS nas barras, indicando a sua origem (tração ou compressão); d) TENSÕES NORMAIS nas barras e verifique a SEGURANÇA AO ESCOAMENTO da estrutura. Caso
a segurança ao escoamento não seja atendida para a tensão admissível σADM = 150 MPa, escolher a seção transversal tubular mais econômica cuja espessura da parede do tubo é igual a 10% do diâmetro externo;
e) SEGURANÇA À FLAMBAGEM da estrutura. Caso o critério de segurança à flambagem não seja atendido o para o coeficiente de segurança à flambagem s = 1,5, determinar os COMPRIMENTOS DE FLAMBAGEM necessários para atender a segurança requerida. Recomendação técnica: a partir dos comprimentos de flambagem obtidos, calcule o número de divisões necessárias nas barras para definição do travejamento interno.
Dados: módulo de elasticidade do aço E = 205 GPa, seção transversal tubular com diâmetro externo D = 20 mm e espessura de parede t=2mm.
Figura 1 Esquema estático da treliça hiperestática plana
Formulário:
• Matriz de rigidez do elemento genérico ij de treliça plana:
αα⋅αα−α⋅α−
α⋅ααα⋅α−α−
α−α⋅α−αα⋅α
α⋅α−α−α⋅αα
⋅=
22
22
22
22
ij
sensencossensencos
sencoscossencoscos
sensencossensencos
sencoscossencoscos
LEAk
20mm2mm
2,4 m
1,8 m 2,7 m
27 kN
SEÇÃO TRANSVERSALTÍPICA (TUBULAR)
(A)
(B) (C )
x
y
13/agosto/2017 Página 2/11
CE2 – Estabilidade das Construções II Análise Matricial de Estruturas
• Critério das tensões admissíveis:
MPa
mmN/
D36,04
A
*N 2ADM
2σ≤
⋅
π=
sendo: │N*│ a força normal, em módulo, na barra mais carregada.
• Critério de instabilidade:
GPa
kN/mm
L
D59,064
IEsN
2
2
42
ij
⋅
π=⋅⋅π
≤⋅
sendo: │Nij│ a força normal, em módulo, na barra comprimida; I o momento de inércia à flexão da seção tubular especificada no Item (d);
13/agosto/2017 Página 3/11
CE2 – Estabilidade das Construções II Análise Matricial de Estruturas
RESOLUÇÃO
No caso das estruturas treliçadas, modeladas por elementos finitos, as incógnitas do problema estrutural são: deslocamentos translacionais (U=graus de liberdade ativos) e forças reativas (R=graus de liberdade impedidos). Deste modo, absorvendo-se as condições de contorno do problema, chega-se a U=2 e R=4 (R > 3 configura um problema 1x hiperestático), totalizando 6 incógnitas para o problema atual (2 incógnitas por nó).
As matrizes de rigidez das barras, em unidades consistentes (kN, m, kPa=kN/m2), são dadas por:
BARRA AB (E = 205x10−6 kN/m2; A=113,097x10−6 m2; L=3m; α=306,870o)
2
2
1
1
AB
2211
R
U
U
R
4946370949463709
3709278237092782
4946370949463709
3709278237092782
RUUR
−−
−−
−−
−−
=k
BARRA AC (E = 205x10−6 kPa; A=113,097x10−6 m2; L=5,1 m; α=331,928o)
4
3
1
1
AC
4311
R
R
U
R
1006188710061887
1887353918873539
1006188710061887
1887353918873539
RRUR
−−
−−
−−
−−
=k
BARRA BC (E = 205x10−6 kPa; A=113,097x10−6 m2; L=2,7 m; α=0o)
4
3
2
2
BC
4322
R
R
R
U
0000
0858608586
0000
0858608586
RRRU
−
−
=k
27 kN
(A)
(B) (C )
R U1 1
U R2 2 R R3 4
2,4 m
1,8 m
(A)
(B)
360 arctan 2,4 1,8
o−α =AB = 306,870o
x
x(A)
(C )
2,4 m
4,5 m
360 arctan 2,4 4,5
−α =AC = 331,928o
(A)x
(A)
x
(B) (C )αBC = 0o
x x=
13/agosto/2017 Página 4/11
CE2 – Estabilidade das Construções II Análise Matricial de Estruturas
A montagem da MATRIZ DE RIGIDEZ DA ESTRUTURA, após ordenação dos graus de liberdade (iniciando-se pelos deslocamentos) e partição em submatrizes, é dada por:
UKF ⋅=
⋅
=
R
U
RRRU
URUU
R
U
U
U
KK
KK
F
F,
sendo:
4
3
2
1
2
1
RRRU
URUU
432121
R
R
R
R
U
U
100618870188701006
1887121250353985861887
004946370937094946
188735393709632127825596
0858637092782113683709
100618874946559637095952
R R R R U U
−−
−−−
−−
−−−
−−−
−−−
=
=
KK
KKK
a matriz de rigidez da estrutura e:
4
3
2
1
2
1
4
3
2
1
R
U
R
R
R
R
U
U
R
R
R
R
0
27
−
=
=
F
FF e
4
3
2
1
2
1
2
1
R
U
R
R
R
R
U
U
0
0
0
0
U
U
=
=
U
UU
o vetor carregamento e o vetor deslocamento, respectivamente, da estrutura.
a) DESLOCAMENTOS NODAIS
RURUUUU UKUKF ⋅+⋅=
RUR2
1
U
U
113683709
37095952
0
27UK ⋅+
⋅
=
−
Resolvendo-se o sistema linear, tem-se:
×=
×−==
−
−
m1086,1U
m1069,5U3
2
31
UU
0
13/agosto/2017 Página 5/11
CE2 – Estabilidade das Construções II Análise Matricial de Estruturas
b) REAÇÕES DE APOIO
RRRURUR UKUKF ⋅+⋅=
RRR3
3
4
3
2
1
1086,1
105,69
01006
85861887
37094946
27825596
R
R
R
R
UK ⋅+
×
×−⋅
−
−
−−
−−
=
−
−
Multiplicando-se as matrizes, chega-se a:
−=
=
kN7,5
kN7,26
kN2,21
kN7,26
R
R
R
R
4
3
2
1
RF
Figura 2 Deslocamentos nodais e esforços reativos
Equações de equilíbrio:
08,1277,27,54,27,26:0
07,52,210,27:0
07,267,26:0
≈⋅−⋅−⋅=
≈++−=
=−=
∑
∑
∑
BM
V
H
As equações de equilíbrio da estática foram atendidas (erros de arredondamento).
(A)
(B)(C )
x
y
26,7 kN
5,7 kN
26,7 kN
21,2 kN
−5,69 mm
1,86 mm
0
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CE2 – Estabilidade das Construções II Análise Matricial de Estruturas
c) ESFORÇOS NORMAIS
• BARRA AB: ESFORÇOS NO SISTEMA GLOBAL
ABABAB ukf ⋅=
sendo:
2
2
1
1
3
3
ABAB
4
3
2
1
AB
R
U
U
R
0
1086,1
105,69
0
4946370949463709
3709278237092782
4946370949463709
3709278237092782
×
×−=
−−
−−
−−
−−
=
=−
−
ukf
f
f
f
f
=
−=
−=
=
=→
×
×−⋅
−−
−−
−−
−−
=
−
−
kN2,21
kN9,15
kN2,21
kN9,15
0
1086,1
105,69
0
4946370949463709
3709278237092782
4946370949463709
3709278237092782
4
3
2
1
AB3
3
4
3
2
1
f
f
f
f
f
f
f
f
f
• BARRA AB: ESFORÇOS NO SISTEMA LOCAL
ABABAB fTf ⋅=
sendo:
=
−=
−=
=
=
−
−=
=
kN2,21
kN9,15
kN2,21
kN9,15
)870,306(cos)870,306(sen00
)870,306(sen)870,306(cos00
00)870,306(cos)870,306(sen
00)870,306(sen)870,306(cos
4
3
2
1
ABAB
4
3
2
1
AB
f
f
f
f
f
f
f
f
fTf
=
−=
=
=
=→
−
−⋅
−
−
=
0
kN6,26
0
kN6,26
2,21
9,15
2,21
9,15
6,08,000
8,06,000
006,08,0
008,06,0
4
3
2
1
AB
4
3
2
1
f
f
f
f
f
f
f
f
f (compressão)
(B)
(A)
(B)
(A)
x
y
x
y
15,9 kN21,2 kN
15,9 kN
21,2 kN
26,6 kN0
26,6 kN
0
COMPRESSÃO
13/agosto/2017 Página 7/11
CE2 – Estabilidade das Construções II Análise Matricial de Estruturas
• BARRA AC: ESFORÇOS NO SISTEMA GLOBAL
ACACAC ukf ⋅=
sendo:
4
3
1
1
3
ACAC
4
3
2
1
AC
R
R
U
R
0
0
105,69
0
1006188710061887
1887353918873539
1006188710061887
1887353918873539
×−=
−−
−−
−−
−−
=
=−
ukf
f
f
f
f
=
−=
−=
=
=→
×−⋅
−−
−−
−−
−−
=
−
kN7,5
kN7,10
kN7,5
kN7,10
0
0
105,69
0
1006188710061887
1887353918873539
1006188710061887
1887353918873539
4
3
2
1
AC
3
4
3
2
1
f
f
f
f
f
f
f
f
f
• BARRA AC: ESFORÇOS NO SISTEMA LOCAL
ACACAC fTf ⋅=
sendo:
=
−=
−=
=
=
−
−=
=
kN7,5
kN7,10
kN7,5
kN7,10
)928,331(cos)928,331(sen00
)928,331(sen)928,331(cos00
00)928,331(cos)928,331(sen
00)928,331(sen)928,331(cos
4
3
2
1
ACAC
4
3
2
1
AC
f
f
f
f
f
f
f
f
fTf
=
−=
=
=
=→
−
−⋅
−
−
=
0
kN2,12
0
kN2,12
7,5
7,10
7,5
7,10
882,0471,000
471,0882,000
00882,0471,0
00471,0882,0
4
3
2
1
AC
4
3
2
1
f
f
f
f
f
f
f
f
f (compressão)
(C )
(A)
x
y
(C )
(A)
x
y
10,7 kN5,7 kN
10,7 kN
5,7 kN
12,2 kN 0
0
12,2 kN
COMPRESSÃO
13/agosto/2017 Página 8/11
CE2 – Estabilidade das Construções II Análise Matricial de Estruturas
• BARRA BC: ESFORÇOS NO SISTEMA GLOBAL
BCBCBC ukf ⋅=
sendo:
4
3
2
23
BCBC
4
3
2
1
BC
R
R
R
U
0
0
0
101,86
0000
0858608586
0000
0858608586
×
=
−
−
=
=
−
ukf
f
f
f
f
=
−=
=
=
=→
×
⋅
−
−
=
−
0
kN0,16
0
kN0,16
0
0
0
10,861
0000
0858608586
0000
0858608586
4
3
2
1
BC
3
4
3
2
1
f
f
f
f
f
f
f
f
f
• BARRA BC: ESFORÇOS NO SISTEMA LOCAL
BCBCBC fTf ⋅=
sendo:
=
−=
=
=
=
−
−=
=
0
kN0,16
0
kN0,16
)0(cos)0(sen00
)0(sen)0(cos00
00)0(cos)0(sen
00)0(sen)0(cos
4
3
2
1
BCBC
4
3
2
1
BC
f
f
f
f
f
f
f
f
fTf
=
−=
=
=
=→
−⋅
=
0
kN0,16
0
kN0,16
0
0,16
0
0,16
1000
0100
0010
0001
4
3
2
1
BC
4
3
2
1
f
f
f
f
f
f
f
f
f (compressão)
(B) (C )
x x=
y y=
COMPRESSÃO16,0 kN 16,0 kN
0 0
13/agosto/2017 Página 9/11
CE2 – Estabilidade das Construções II Análise Matricial de Estruturas
Figura 3 Esforços normais nas barras de treliça hiperestática (kN)
d) TENSÃO NORMAL NA BARRA MAIS CARREGADA
MPa
mmN/
D36,04
A
*N 2ADM
2σ≤
⋅
π=
MPa150MPa2,235MPa1500236,0
4
26600 ADMMÁX
2
MÁX =σ>=σ→≤
⋅⋅
π
−=σ
VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AO ESCOAMENTO
mm2,5t
mm25DMPa150
D36,04
26600
2
ADM
=
=→=
⋅⋅
π
−=σ
e) VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA À FLAMBAGEM
BARRA AB
GPa
kN/mm
L
D59,064
IEsN
2
2
42
AB
⋅
π=⋅⋅π
≤⋅
5,110,0s3000
2559,064
052s6,62
2
42
<=→
⋅⋅
π⋅⋅π
≤⋅ (RISCO DE FLAMBAGEM)
13/agosto/2017 Página 10/11
CE2 – Estabilidade das Construções II Análise Matricial de Estruturas
→=
=→
⋅⋅
π⋅⋅π
≤⋅mm3000L
mm758L
L
2559,064
0525,16,62
AB
FL
2FL
42
4 DIVISÕES
BARRA AC
GPa
kN/mm
L
D59,064
IEsN
2
2
42
AC
⋅
π=⋅⋅π
≤⋅
5,107,0s1005
2559,064
052s2,12
2
42
<=→
⋅⋅
π⋅⋅π
≤⋅ (RISCO DE FLAMBAGEM)
→=
=→
⋅⋅
π⋅⋅π
≤⋅mm5100L
mm1119L
L
2559,064
0525,12,12
AB
FL
2FL
42
5 DIVISÕES
BARRA BC
GPa
kN/mm
L
D59,064
IEsN
2
2
42
BC
⋅
π=⋅⋅π
≤⋅
5,120,0s2700
2559,064
052s0,16
2
42
<=→
⋅⋅
π⋅⋅π
≤⋅ (RISCO DE FLAMBAGEM)
→=
=→
⋅⋅
π⋅⋅π
≤⋅mm2700L
mm977L
L
2559,064
0525,10,16
AB
FL
2FL
42
3 DIVISÕES
Figura 4 Travejamento interno da treliça hiperestática para atender a segurança à flambagem s=1,5
27 kN25mm
2,5mm
SEÇÃO TRANSVERSALTÍPICA (TUBULAR)
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CE2 – Estabilidade das Construções II Análise Matricial de Estruturas
Figura 5 Esforços normais nas barras da treliça hiperestática (kN)
Figura 6 Configuração deformada e esforços reativos
CE2 – Estabilidade das Construções II Análise Matricial de Estruturas
GABARITO
Barra AB
Dados: E = 205x106 kN/m2; A = 9,6x10−3 m2; I = 23,68x10−6 m4; L = 4 m; α=0o (Unidades: kN, m)
Barra BC
Dados: E = 205x106 kN/m2; A = 9,6x10−3 m2; I = 23,68x10−6 m4; L = 6 m; α=0o (Unidades: kN, m)
Barra CD
Dados: E = 205x106 kN/m2; A = 9,6x10−3 m2; I = 23,68x10−6 m4; L = 3 m; α=90o (Unidades: kN, m)
492000,0000 0,0000 0,0000 -492000,0000 0,0000 0,00000,0000 910,2000 1820,4000 0,0000 -910,2000 1820,40000,0000 1820,4000 4854,4000 0,0000 -1820,4000 2427,2000
-492000,0000 0,0000 0,0000 492000,0000 0,0000 0,00000,0000 -910,2000 -1820,4000 0,0000 910,2000 -1820,40000,0000 1820,4000 2427,2000 0,0000 -1820,4000 4854,4000
328000,0000 0,0000 0,0000 -328000,0000 0,0000 0,00000,0000 269,6889 809,0667 0,0000 -269,6889 809,06670,0000 809,0667 3236,2667 0,0000 -809,0667 1618,1333
-328000,0000 0,0000 0,0000 328000,0000 0,0000 0,00000,0000 -269,6889 -809,0667 0,0000 269,6889 -809,06670,0000 809,0667 1618,1333 0,0000 -809,0667 3236,2667
2157,5111 0,0000 -3236,2667 -2157,5111 0,0000 -3236,26670,0000 656000,0000 0,0000 0,0000 -656000,0000 0,0000
-3236,2667 0,0000 6472,5333 3236,2667 0,0000 3236,2667-2157,5111 0,0000 3236,2667 2157,5111 0,0000 3236,2667
0,0000 -656000,0000 0,0000 0,0000 656000,0000 0,0000-3236,2667 0,0000 3236,2667 3236,2667 0,0000 6472,5333
=ABk
=BCk
=CDk
21/setembro/2017 Página 2/7
CE2 – Estabilidade das Construções II Análise Matricial de Estruturas
A montagem da MATRIZ DE RIGIDEZ DA ESTRUTURA, após ordenação dos graus de liberdade (iniciando-se pelos deslocamentos) e partição em submatrizes, é dada por:
UKF ⋅=
⋅
=
R
U
RRRU
URUU
R
U
U
U
KK
KK
F
F,
sendo:
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
2
1
RU
UU
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
U
U
267,32360
00
267,32360
067,809067,809
267,32360
067,809333,1011
00
0200,2427
0400,1820
00
9708,8001618,133
1618,1338090,667
+
+
−−
−
+−
+
+
++
++
=
=
K
KK
+
=
=
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
R
U
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
60,00
33,33-
F
FF
21/setembro/2017 Página 3/7
CE2 – Estabilidade das Construções II Análise Matricial de Estruturas
a) DESLOCAMENTOS NODAIS
RURUUUU UKUKF ⋅+⋅=
RUR
2
1
U
U
800,9708133,1618
133,1618667,8090
60
33,33UK ⋅+
⋅
++
++=
+
−
Resolvendo-se o sistema linear, tem-se:
×+=
×−==
−
−
rad10103,7U
rad10540,5U
32
31
UU
b) REAÇÕES DE APOIO
RRRURUR UKUKF ⋅+⋅=
+
+
−
−
+
−
−
=⋅+
×+
×−⋅
+
+
−−
−
−
+
+
=
−
−
kNm23,0
0
kN23,0
kN1,3
kN23,0
kN11,3
0
kNm13,4
kN10,1
0
10103,7
10540,5
267,32360
00
267,32360
067,809067,809
267,32360
067,809333,1011
00
0200,2427
0400,1820
00
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
RRR3
3
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
UK
0
0
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CE2 – Estabilidade das Construções II Análise Matricial de Estruturas
c) ESFORÇOS NORMAIS
• BARRA AB: ESFORÇOS NO SISTEMA GLOBAL
ABABAB ukf ⋅=
−
+
−
−
=→
×−
⋅=
− kNm26,9
kN10,1
0
kNm13,4
kN10,1
0
10540,5
0
0
0
0
0
AB
3
AB
6
5
4
3
2
1
fk
f
f
f
f
f
f
−5,540x10−3 rad 7,103x10−3 rad
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CE2 – Estabilidade das Construções II Análise Matricial de Estruturas
• BARRA BC: ESFORÇOS NO SISTEMA GLOBAL
BCBCBC ukf ⋅=
+
−
−
+
=→
×+
×−⋅=
−
−
kNm0,14
kN1,3
0
kNm6,4
kN1,3
0
10103,7
0
0
10540,5
0
0
BC
3
3
BC
6
5
4
3
2
1
fk
f
f
f
f
f
f
• BARRA CD: ESFORÇOS NO SISTEMA GLOBAL
CDCDCD ukf ⋅=
+
+
+
−
=→
×+⋅=
−
kNm23,0
0
kN23,0
kNm46,0
0
kN23,0
0
0
0
10103,7
0
0
CD
3
CD
6
5
4
3
2
1
fk
f
f
f
f
f
f
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CE2 – Estabilidade das Construções II Análise Matricial de Estruturas
Figura 1 Diagrama de Momentos Fletores (kN.m)
Figura 2 Diagrama de Forças Cortantes (kN)
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