controle de caos em uma treliça de mises com memória de forma
Excel Treliça
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UNESPFaculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguet
Guaratinguet2012
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MARCOS SEITI SUZUKI
ANLISE ESTRUTURAL DE TRELIAS ESPACIAIS NO SOFTWARE EXCEL UTILIZANDO O MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Trabalho de Graduao apresentado ao Conselho de Curso de Graduao em Engenharia Mecnica da Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguet, Universidade Estadual Paulista, como parte dos requisitos para obteno do diploma de Graduao em Engenharia Mecnica.
Orientadores: Prof. Dr. Fernando de Azevedo Silva
Guaratinguet2012
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S968aSuzuki, Marcos Seiti
Anlise estrutural de trelias espaciais no software Excel utilizando o mtodo dos elementos finitos / Marcos Seiti Suzuki Guaratinguet : [s.n], 2011.
124 f : il. Bibliografia: f. 103
Trabalho de Graduao em Engenharia Mecnica Universidade Estadual Paulista, Faculdade de Engenharia de Guaratinguet, 2011.
Orientador: Prof. Dr. Fernando de Azevedo Silva
1. Teoria das estruturas 2. Mtodo dos elementos finitos I. Ttulo
CDU 624.04
-
de modo especial, aos meus pais pelo apoio e conselhos que
contriburam para meu progresso.
-
AGRADECIMENTOS
Em primeiro lugar agradeo quele que no possui nome, mas conhecido por
vrios nomes,
minha famlia pela pacincia e apoio que me ajudou a chegar a este momento,
ao meu orientador, Prof. Dr. Fernando de Azevedo Silva pela ajuda, apoio e
conselhos que foram fundamentais para realizao deste trabalho,
a todos os professores desta conceituada instituio pelo compartilhamento de
conhecimentos que se mostraram de grande valor e nicos,
a todos os funcionrios da instituio,
s amizades da faculdade
e aos amigos de repblica pelo companheirismo nos bons e maus momentos.
-
Faa o que tem que fazer e deixe os outros
discutirem se certo ou no.
Bill Watterson
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SUZUKI, M. S. Anlise estrutural de trelias espaciais no software Excel
utilizando o mtodo dos elementos finitos. 2012. 124 f. Trabalho de Graduao
(Graduao em Engenharia Mecnica) Faculdade de Engenharia do Campus de
Guaratinguet, Universidade Estadual Paulista, Guaratinguet, 2012.
RESUMO
O presente trabalho tem a finalidade de desenvolver um programa para realizar anlise
estrutural de trelias espaciais. O programa a ser implementado baseado nos
conceitos do mtodo dos elementos finitos e utilizou os recursos de programao do
Visual Basic for Applications (VBA) para o Software Excel. Sendo o Excel um
software de fcil acesso, baixo custo, capacidade de realizar clculos matriciais e com
recursos avanados de programao VBA possvel desenvolver uma soluo
econmica, eficiente e precisa para anlise estrutural de trelias espaciais.
Primeiramente apresentado o mtodo dos elementos finitos e a trelia espacial. Na
sequencia desenvolvido alguns algoritmos importantes para serem usados durante o
desenvolvimento do programa alm do uso de alguns recursos do VBA. E para validar
a qualidade, eficincia e preciso de seus resultados, estes so comparados com o
consagrado software comercial Ansys.
PALAVRAS-CHAVE: Trelia espacial. Simulao Numrica. Mtodo dos
Elementos Finitos. Programao em VBA.
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SUZUKI, M. S. Structural analysis of space truss in Excel software using the
finite element method. 2012. 124 f. Monograph (Undergraduate Degree in
Mechanical Engineering) Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguet,
Universidade Estadual Paulista, Guaratinguet, 2012.
ABSTRACT
The following paper means to develop a program to make structural analysis of space
trusses. The program to be implemented was based on the concepts of the finite
element method and used the programing resources of Visual Basic for Applications
(VBA) for the Excel Software. Being Excel a software of easy access, low cost,
capacity to make matrix calculations and with advanced resources of VBA
programing, it is possible to develop an economic solution, efficient and precise for
structural analysis of space trusses. Firstly is presented a finite elemento method and
the space truss. Then is developed a few important algorithms to be used during the
development of the program and also the use of a few resources of VBA. And to
validate the quality, efficiency and precision of the results, these are compared with
the established commercial software Ansys.
KEYWORDS: Space Truss. Numeric Simulation. Finite Element Method.
Programming in VBA.
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LISTA DE FIGURAS
Figura 1 Domnio ..................................................................................................................20
Figura 2 Gerao de Malha ...................................................................................................22
Figura 3 Tronco Cnico.........................................................................................................22
Figura 4 Deslocamento nodal em funo do comprimento x................................................23
Figura 5 Convergncia dos elementos para soluo exata ....................................................24
Figura 6 Tenso em funo do comprimento x .....................................................................24
Figura 7 Matriz ordem mxn...................................................................................................26
Figura 8 Vetor-coluna ordem m ............................................................................................26
Figura 9 Vetor-linha ordem n ................................................................................................26
Figura 10 Matriz Identidade ..................................................................................................27
Figura 11 Matriz Transposta .................................................................................................27
Figura 12 Matriz multiplicada por escalar.............................................................................28
Figura 13 Adio e Subtrao das matrizes...........................................................................28
Figura 14 Multiplicao entre matrizes .................................................................................29
Figura 15 Sistema de equaes..............................................................................................29
Figura 16 Sistema equaes na forma matricial....................................................................29
Figura 17 Soluo por meio de operaes elementares.........................................................32
Figura 18 Obteno de matriz inversa...................................................................................33
Figura 19 Reflexo do ponto (x,y,z) nos trs planos .............................................................35
Figura 20 Reflexo ao eixo X................................................................................................36
Figura 21 Reflexo na Origem ..............................................................................................37
Figura 22 Rotao em torno do eixo Z..................................................................................37
Figura 23 Matriz no Excel .....................................................................................................40
Figura 24 1 Passo para operao com matriz no Excel ........................................................40
Figura 25 2 Passo para operao com matriz no Excel ........................................................40
Figura 26 3 Passo para operao com matriz no Excel ........................................................40
Figura 27 Soma no Excel.......................................................................................................41
Figura 28 Escalar no Excel ....................................................................................................41
Figura 29 Multiplicao no Excel..........................................................................................41
Figura 30 Determinante no Excel ..........................................................................................41
Figura 31 Matriz inversa no Excel.........................................................................................41
Figura 32 Transposta no Excel ..............................................................................................41
-
Figura 33 Elemento mola ......................................................................................................43
Figura 34 Dois elementos mola .............................................................................................44
Figura 35 Diagrama de corpo-livre .......................................................................................45
Figura 36 Elemento barra elstica .........................................................................................47
Figura 37 Tronco cnico do Exemplo 4 ................................................................................51
Figura 38 Planilha para soluo do Exemplo 4 .....................................................................52
Figura 39 Discretizao do tronco cnico do Exemplo 4......................................................53
Figura 40 Planilha usando as equaes (81), (82), (85) e (56) (Exemplo 4).........................54
Figura 41 Matriz de rigidez com condio de contorno aplicada no Excel (Exemplo 4).....55
Figura 42 - Inversa no Excel (Exemplo 4)................................................................................55
Figura 43- Vetor dos carregamentos nodais (Exemplo 4)........................................................56
Figura 44 Deslocamento nodais no Excel (Exemplo 4) ........................................................56
Figura 45 Ps-processamento no Excel (Exemplo 4)............................................................57
Figura 46 Deslocamentos nodais em funo do comprimento x (Exemplo 4)......................58
Figura 47 Tenses em funo do comprimento x (Exemplo 4) ............................................58
Figura 48 (a) Trelia no ideal (b) Trelia ideal....................................................................59
Figura 49 Estrutura no rgida ...............................................................................................60
Figura 50 Estrutura rgida......................................................................................................60
Figura 51 Trelia simples ......................................................................................................60
Figura 52 Trelia rgida com geometria quadriltera ............................................................61
Figura 53 Tipos de Trelia plana...........................................................................................61
Figura 54 Trelia espacial .....................................................................................................62
Figura 55 Trelia espacial, totalmente montada no cho, do Centro de Exposies do
Anhembi dias antes de ser erguida por guindastes ...................................................................62
Figura 56 Vista area do Centro de Exposies do Anhembi ...............................................63
Figura 57 Vista interna do Centro de Exposies do Anhembi ............................................63
Figura 58 Junta esfrica MERO ............................................................................................63
Figura 59 Junta em cruzeta ................................................................................................63
Figura 60 Junta com ponta amassada.................................................................................63
Figura 61 Estrutura no sistema global XYZ..........................................................................64
Figura 62 - Elemento no sistema local xyz...............................................................................64
Figura 63 ngulos diretores de um elemento........................................................................65
Figura 64 Janela de cdigo do Visual Basic..........................................................................69
Figura 65 Barra de ferramentas do Visual Basic...................................................................70
-
Figura 66 Caixa de ferramentas de controle..........................................................................70
Figura 67 Grava Macros ....................................................................................................71
Figura 68 Janela Gravar Macro .............................................................................................71
Figura 69 Parar Gravao......................................................................................................71
Figura 70 Executar Macro .....................................................................................................71
Figura 71 Janela Executar Macro ..........................................................................................72
Figura 72 - Mdulo...................................................................................................................72
Figura 73 Modo Design.........................................................................................................73
Figura 74 Boto de Comando................................................................................................73
Figura 75 Propriedades..........................................................................................................73
Figura 76 Janela de Propriedades ..........................................................................................74
Figura 77 Editor Visual Basic para o Boto de Comando.....................................................75
Figura 78 Boto de Rotao ..................................................................................................75
Figura 79 Janela de Propriedade do Boto de Rotao .........................................................76
Figura 80 Frmulas das Matrizes de rotao e translao e Zoom .......................................79
Figura 81 Matrizes de rotao e translao e Zoom..............................................................79
Figura 82 Coordenadas do n................................................................................................80
Figura 83 Coordenadas projetadas no plano Z ......................................................................81
Figura 84 Elementos e ns ....................................................................................................81
Figura 85 - Elementos e ns .....................................................................................................81
Figura 86 Coordenadas dos elementos projetados no plano Z ..............................................82
Figura 87 Representao grfica no Excel ............................................................................84
Figura 88 Tela dos dados iniciais ..........................................................................................88
Figura 89 Trelia - Exemplo 5...............................................................................................89
Figura 90 Informaes do Exemplo 5 na planilha do Excel..................................................89
Figura 91 Representao grfica da trelia (Exemplo 5) ......................................................90
Figura 92 Matrizes geradas para soluo do Exemplo 5 .......................................................90
Figura 93 Resultados (Exemplo 5) ........................................................................................91
Figura 94 - Representao grfica da deformao (Exemplo 5) ..............................................92
Figura 95 Deslocamento nodais via Ansys (Exemplo 5) .......................................................92
Figura 96 Foras e Tenses axiais em cada elemento via Ansys (Exemplo 5)......................93
Figura 97 Reaes dos ns via Ansys (Exemplo 5) ...............................................................93
Figura 98 Representao grfica da deformao via Ansys (Exemplo 5) .............................93
Figura 99 Trelia espacial (Exemplo 6) ................................................................................94
-
Figura 100 - Representao grfica da trelia Espacial (Exemplo 6).......................................95
Figura 101 - Representao grfica da deformao (Exemplo 6) ............................................96
Figura 102 - Representao grfica da deformao via Ansys (Exemplo 6) ............................96
Figura 103 Trelia espacial (Exemplo 7) ..............................................................................98
Figura 104 - Representao grfica da deformao (Exemplo 7) ..........................................101
Figura 105 - Representao grfica da deformao via Ansys (Exemplo 7) ..........................101
Figura 106 Planilha Dados ..................................................................................................105
Figura 107 - Coordenadas ......................................................................................................106
Figura 108 Ns dos Elementos............................................................................................106
Figura 109 Grfico da Trelia .............................................................................................107
Figura 110 Transladar, Rotacionar e Zoom.........................................................................107
Figura 111 Outras informaes ...........................................................................................108
Figura 112 - Soluo .............................................................................................................108
Figura 113 Aba resultado ....................................................................................................109
Figura 114 Grfico de deformao......................................................................................109
Figura 115 Matrizes.............................................................................................................110
Figura 116 Clulas ocultas ..................................................................................................111
Figura 117 Clulas ocultas ..................................................................................................112
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LISTA DE QUADROS
Quadro 1 Principais funes do Excel para clculo matricial ...............................................41
Quadro 2 Frmulas Exemplo 4..............................................................................................52
Quadro 3 Frmulas Exemplo 4..............................................................................................54
Quadro 4 Tipos de Variveis (Fonte: Ajuda do Visual Basic) ..............................................76
Quadro 5 Estruturas de Controle ...........................................................................................78
Quadro 6 Reaes Ansys e Planilha (Exemplo 5) .................................................................94
Quadro 7 Deslocamentos nodais Ansys e Planilha (Exemplo 5) ...........................................94
Quadro 8 Foras e tenses axiais Ansys e Planilha (Exemplo 5) ..........................................94
Quadro 9 Dados do Exemplo 6 .............................................................................................95
Quadro 10 - Dados do Exemplo 6 ............................................................................................95
Quadro 11 Resultado do Exemplo 6 reaes nodais .............................................................95
Quadro 12 Resultado do Exemplo 6, deslocamentos nodais.................................................95
Quadro 13 - Resultado do Exemplo 6, fora e tenso axial .....................................................96
Quadro 14 Coordenadas (Exemplo 7) ...................................................................................97
Quadro 15 Elementos (Exemplo 7) .......................................................................................97
Quadro 16 - Resultado do Exemplo 7, reaes nodais .............................................................98
Quadro 17 - Resultado do Exemplo 7, deslocamentos nodais .................................................99
Quadro 18 - Resultado do Exemplo 7, foras e tenses axiais.................................................99
Quadro 19 Clulas Nmero de elementos e Numero de ns...............................................111
Quadro 20 Frmulas colunas G, H e I .................................................................................111
Quadro 21 Frmulas coluna X ............................................................................................112
Quadro 22 Frmulas coluna AA, AB e AC.........................................................................112
Quadro 23 Frmulas coluna AD, AE e AF .........................................................................112
Quadro 24 Frmulas coluna AG, AH e AI..........................................................................112
Quadro 25 Frmulas coluna AJ e AK .................................................................................112
Quadro 26 Frmulas coluna AN e AO ................................................................................112
Quadro 27 Frmulas coluna AP e AQ.................................................................................112
Quadro 28 Frmulas coluna AR e AS.................................................................................113
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LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
CAD - Computer Aided DesignCAE - Computer Aided EngineeringMEF - Mtodo dos Elementos FinitosVBA - Visual Basic for Applications
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SUMRIO
1 INTRODUO ........................................................................................................17
2 CONCEITOS TERICOS ELEMENTOS FINITOS..........................................18
2.1 Histrico (SORIANO, 2003)...................................................................................18
2.2 Teoria do Mtodo dos Elementos Finitos................................................................19
2.2.1 Funcionamento do Mtodo de Elementos Finitos................................................20
2.2.2 Comparao entre solues exatas e solues por Elementos Finitos .................21
2.2.3 Procedimentos gerais para anlise por elementos finitos.....................................25
3 LGEBRA MATRICIAL E EXCEL.....................................................................26
3.1 Nomenclaturas Usadas ............................................................................................27
3.2 Operaes com Matrizes .........................................................................................28
3.3 Sistema de Equaes e Matrizes..............................................................................29
3.4 Solues...................................................................................................................30
3.4.1 Obteno de Sistemas Equivalentes atravs de Operaes Elementares .............30
3.4.2 Inverso de matriz ................................................................................................32
3.5 Transformaes Lineares.........................................................................................34
3.5.1 Reflexes ..............................................................................................................35
3.5.2 Rotao .................................................................................................................37
3.5.3 Translao.............................................................................................................38
3.5.4 Projeo ................................................................................................................38
3.5.5 Escala....................................................................................................................39
3.6 Uso do Excel............................................................................................................39
4 MATRIZ DE RIGIDEZ, ELEMENTO TIPO MOLA E BARRA ......................42
4.1 Elemento Mola Linear .............................................................................................42
4.2 Elemento Barra Elstica ..........................................................................................47
4.3 Energia de Deformao e 1 Teorema de Castigliano.............................................49
5 TRELIA..................................................................................................................59
5.1 Trelia Plana ............................................................................................................59
5.1.1 Trelia Simples .....................................................................................................60
5.2 Trelias Espaciais ....................................................................................................61
-
5.3 Formulao do Elemento finito para problemas de Trelia Espacial......................64
5.3.1 Sistema de Coordenadas Locais e Globais...........................................................64
5.3.2 Matriz Transformada ............................................................................................65
6 VBA NO EXCEL E ALGORITMOS .....................................................................69
6.1 Gravar uma Macro...................................................................................................70
6.2 Caixa de Ferramentas de Controle ..........................................................................73
6.3 Declarando Variveis ..............................................................................................76
6.4 Declarando Arrays ou Matrizes...............................................................................78
6.5 Estruturas de Controle .............................................................................................78
6.6 Algoritmos ...............................................................................................................79
7 RESULTADOS.........................................................................................................88
8 CONCLUSO.........................................................................................................102
REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ....................................................................103
BIBLIOGRFIA .......................................................................................................104
APNDICE A ............................................................................................................105
A.1 Uso da Planilha ....................................................................................................105
A.2 Frmulas da Planilha ...........................................................................................106
A.3 Cdigo Fonte .......................................................................................................113
-
17
1 INTRODUO
O Mtodo de Elementos Finitos (MEF) um eficiente mtodo numrico de
resoluo de problemas em meios contnuos. Mtodo muito difundido e utilizado para
resoluo de elementos mecnicos, eletromagnticos, fluidos e transferncia de calor.
Porm foi na anlise de elementos mecnicos que este mtodo mais se desenvolveu e
mais difundido.
Modernos softwares de anlise de problemas de engenharia, conhecidos como
CAE (Computer Aided Engineering), usufruem do MEF. Alguns exemplos destes
softwares so o Ansys, Nastran, Abaqus, Cosmos entre outros.
Antes da evoluo da computao os problemas de engenharia eram analisados
em escala reduzida em laboratrios, o que era muito dispendioso. Apesar dos conceitos
da bsae do MEF ter originado em meados de 1930 sua aplicao prtica era invivel,
porque para atingir a preciso necessria os clculos matriciais eram demasiadamente
grandes para serem realizados manualmente. Somente com o advento do computador,
no ps-guerra (dcada de 1950 em diante) que o MEF comeou a ser utilizada e
desenvolvida efetivamente. Atualmente a anlise laboratorial de muitos problemas de
engenharia deixaram de ser necessrios, pois os resultados computacionais utilizando
MEF so to prximos do real que se podem considerar exatos no ramo da engenharia,
isso tem reduzido muito o custo dos projetos.
Este trabalho ir mostrar a aplicao dos conceitos de MEF na anlise de
qualquer estrutura treliada por meio do software Microsoft Excel e recursos de
programao do Visual Basic for Aplication (VBA).
O Excel est presente na maioria dos computadores que utilizam a plataforma
Microsoft Windows, portanto a anlise de problemas de engenharia proposta no
trabalho possui grande portabilidade de um computador para outro. O Excel possui
recursos de calculo matricial, recursos de programao por meio do VBA entre outras
ferramentas que facilita a aplicao do MEF.
Este trabalho est voltado para a anlise de trelias espaciais e tem o intuito de
mostrar recursos do software Excel para anlise do problema fsico usando MEF.
-
18
2 CONCEITOS TERICOS ELEMENTOS FINITOS
2.1 Histrico (SORIANO, 2003)
A teoria do MEF surgiu em 1955 como evoluo da anlise matricial de modelos
reticulados (concebida no incio da dcada de 1930 na indstria aeronutica britnica),
juntamente com a disponibilidade dos computadores digitais devido a necessidade de
projetar estruturas de modelos contnuos. Foi concebido inicialmente por engenheiros
aeronuticos com a inteno de realizar anlises de distribuio de chapas da asa do
avio. Formulado pioneiramente por Argyris e Kesley em 1955 (republicada em 1960)
e por Turner, Clough, Martin e Topp (1956).
Em 1962 Gallagher, Padlog e Bijlaard foram os primeiros realizar anlise
tridimensional de tenses por MEF, foi quando se considerou tambm o efeito da
temperatura em slidos de forma complexa.
Em 1963 Gallagher e Padlog introduziram o deslocamento de vigas e placas ao
MEF, foi considerado o efeito da no linearidade geomtrica e a determinao de
cargas crticas.
As primeiras formulaes at ento eram feitos por formulao direta, pois partia
de uma abordagem fsica e intuitiva e utilizava os princpios dos deslocamentos. No
tinha critrio que garantisse a convergncia para a soluo exata.
Em 1963 Melosh apresenta o MEF partindo da minimizao da grandeza escalar
funcional da energia potencial total. Em 1965 Veubuke apresentou a formulao do
mtodo partindo de outras funcionais da mecnica dos slidos deformveis. Porm a
base do mtodo j havia sido formulada por Lord Rayleigh em 1870, Walther Ritz em
1909 e por Richard Courant em 1943, percebeu-se ento que o MEF um caso
particular do mtodo de Rauleigh-Ritz. Denominou-se este mtodo como formulao
variacional.
A formulao variacional permitiu a resoluo de diversos problemas em meios
porosos, transferncia de calor e eletrostticos, alm dos de meio continuo.
Em 1967 Zienkiewicz e Cheug publicam o primeiro livro inteiramente dedicado
ao mtodo de elementos finitos.
-
19
Aps a formulao variacional verifica-se que o mtodo pode ser formulado
diretamente a partir de equaes diferenciais e respectivas condies de contorno de
problema continuo com a aplicao do mtodo de Galerkin que um dos mtodos de
resduos ponderados. Foi denominado formulao de resduos.
Portanto, as equaes algbricas podem ser obtidas atravs de formulaes
diretas, variacional ou residual.
2.2 Teoria do Mtodo dos Elementos Finitos
Ele a base da tecnologia CAE (Computer Aided Engineering) que auxilia no
projeto e anlises de problemas envolvendo estruturas mecnicas (unidimensional,
bidimensional, tridimensional) lineares ou no-lineares, dinmicas ou estticas,
transferncia de calor, eletromagntico, etc. O mtodo uma forma econmica para
obter resultados e anlise desses problemas, pois muitas vezes dispensa a construo
de modelos em escala e realizao de diversos ensaios dispendiosos.
O Mtodo dos Elementos Finitos (MEF), s vezes chamado de Anlise de
Elementos Finitos, segundo Hutton (2004) uma tcnica computacional para obter
solues aproximadas de problemas de valores de contorno, comumente usado na
engenharia. Apesar de obter uma soluo aproximada pode-se considerar exata na
engenharia, graas aos avanos tecnolgicos alcanados. Os problemas de valor de
contorno so equaes diferenciais com uma ou mais variveis dependentes, estas
variveis precisam satisfazer certas restries, as chamadas condies de contorno. Os
problemas de valores de contorno tambm so conhecidas como problemas de varivel
de campo. Variveis de campo so variveis dependentes da equao diferencial. E as
condies de contorno so variveis de campo com valores especficos. Para cada
problema fsico existe um tipo de varivel de campo, alguns exemplos so o
deslocamento, a temperatura, o fluxo de calor entre outros.
-
20
2.2.1 Funcionamento do Mtodo de Elementos Finitos
Para melhor ilustrar o funcionamento do MEF considere um volume feito de um
material (ou materiais) com propriedades fsicas conhecidas, como mostra a Figura 1
(a). Este volume representa o domnio de um problema de valor de contorno a ser
resolvido. Para simplificar assume-se um caso bidimensional com uma varivel de
campo genericamente representado por yx, que est definida em qualquer ponto
yxP , qualquer que seja equao (ou equaes) que rege o domnio, e capaz de
satisfazer exatamente qualquer ponto. Ou seja, capaz de obter solues exatas para
qualquer que seja o ponto yxP , dentro do domnio. Porm para obter solues em
domnios de geometria complexa demorado e pode ser invivel. Para estes casos o
MEF prope uma poderosa tcnica para obteno de solues aproximadas e junto da
computao digital possvel encontrar solues para problemas de engenharia
complexos com boa preciso.
Figura 1 Domnio (adaptado de HUTTON 1 st ed. p. 2)
Considerando agora um elemento triangular de tamanho finito representando um
subdomnio como mostra Figura 1 (b). A varivel de campo segundo Hutton (2004)
para este subdomnio ser:
332211 ,,,, yxNyxNyxNyx (1)
-
21
Onde 1 , 2 e 3 sero valores da varivel de campo (incgnitas ou condies de
contorno) para os respectivos ns 1, 2 e 3 e 1N , 2N e 3N so funes de interpolao
para estes ns. O problema foi simplificado e limitado a um pequeno subdomnio
representado por trs ns, a sua soluo mais fcil e rpida de ser encontrada, pois
geometricamente mais simples. Porm simples demais para representar todo o
domnio para isso criado diversos elementos finitos triangulares conforme Figura 1
(c), desse modo aproxima-se mais do domnio original e consequentemente
aproximando da soluo exata.
Os diversos elementos finitos interligados pelos ns garantem a continuidade da
varivel de campo. Hutton (2004) diz que no caso de uma descontinuidade, um gap,
no domnio pode significar uma separao de material em problemas estruturais ou
diferentes temperaturas para um mesmo n no caso da transferncia de calor. A
continuidade das variveis de campo necessria para formulao dos elementos
finitos, e por este motivo que muitos problemas utilizam variveis de campos que no
interessam ao usurio. No caso de problemas estruturais so usados o deslocamento
como varivel de campo para a formulao do elemento finito, porm o interesse
maior est nas deformaes e tenses. A deformao definida em termos da primeira
derivada do deslocamento e a deformao no continua ao longo do domnio. E de
acordo com a intensidade desta descontinuidade possvel verificar a preciso e
convergncia da soluo obtida.
2.2.2 Comparao entre solues exatas e solues por Elementos Finitos
O processo de representao do domnio por elementos finitos conhecido como
gerao de malha (em ingls meshing) e o resultado desta gerao de malhas de
elementos finitos so as malhas de elementos finitos (em ingls finit element mesh).
Geralmente, so usados elementos que no possuem lados curvos o que torna
impossvel gerar uma malha de elementos que cubram todo o domnio conforme a
Figura 2.
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22
Figura 2 Gerao de Malha (adaptado de HUTTON 1 st ed. p. 4)
Ao diminuir o tamanho dos elementos e consequentemente aumentando sua
quantidade essa nova representao ser capaz de abranger melhor o domnio.
Intuitivamente est sendo feito um refinamento (incremento) da malha de elemento
finito e por consequncia convergindo a soluo para a soluo exata.
Para exemplificar tal caracterstica considere um tronco cnico slido engastado
em uma extremidade e sujeita a um carregamento na outra extremidade conforme
mostra a Figura 3.
Figura 3 Tronco Cnico (adaptado de HUTTON 1 st ed. p. 5)
Foi considera como elementos finitos barras cilndricas de comprimentos iguais
variando somente as reas conforme mostra Figura 3 (b). A seguir esto alguns
grficos mostrando o comportamento do sistema para a soluo exata e para diferentes
quantidades de elementos finitos empregados.
Para obteno da soluo exata necessrio realizar integrao do raio ao longo
do comprimento para encontrar o deslocamento. Obviamente para este problema a
soluo no to complexa, mas para problemas com geometria mais detalhada a
-
23
soluo exata invivel. Os grficos a seguir ilustraro a eficincia e preciso do
MEF.
A Figura 4 mostra o deslocamento real do tronco e dos elementos finitos ao
longo do comprimento. Note que quanto maior o nmero de elementos finitos maiores
a convergncia para a curva da soluo exata isso pode ser melhor visto na Figura 5.
Na Figura 6 possvel perceber a descontinuidade existente no MEF para este
problema, a tenso no continua como o deslocamento.
Variao de Delta
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2x
Del
ta
Delta RealDelta (MEF) para 1 elementosDelta (MEF) para 2 elementosDelta (MEF) para 5 elementosDelta (MEF) para 20 elementos
Figura 4 Deslocamento nodal em funo do comprimento x
-
24
Convergncia do Delta
0,0040
0,0079
0,0143
0,0178
0,01890,0193
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0 5 10 15 20
N de Elementos
Del
ta (x
=L)
Soluo ExataDeltas
Figura 5 Convergncia dos elementos para soluo exata
Tenso
0
2
4
6
8
10
12
0 0,5 1 1,5 2 2,5x
Tens
o
Tenso (MEF) para 1 elementoTenso (MEF) para 2 elementoTenso (MEF) para 5 elementoTenso (MEF) para 20 elemento
Figura 6 Tenso em funo do comprimento x
O refinamento para este problema poderia ser feito com mais de 20 elementos,
porm necessrio o usurio compreender as necessidades exigidas para cada projeto
e depender tambm da experincia e conhecimento terico de cada engenheiro.
Lembrando que quanto maior o refinamento maior ser o uso de capacidade e tempo
-
25
computacional alm do custo maior com mo-de-obra e dependendo do projeto
analisado esse refinamento no se faz necessrio vai depender do engenheiro saber a
prioridade.
2.2.3 Procedimentos gerais para anlise por elementos finitos
As etapas descritas a seguir, de acordo com Moaveni (2003) e Hutton (2004), so
seguidas para o uso do MEF, mesmo os softwares comerciais seguem tais passos
apesar de s vezes no estarem to evidentes. As etapas so:
Fase de Pr-Processamento descreve e define o problema, nesta fase inclui:
1) Criar e discretizar o domnio em elementos finitos, ou seja, dividir o problema
em ns e elementos, conhecido tambm como gerao de malhas;
2) Usar uma funo que descreva o fenmeno fsico do comportamento de um
elemento;
3) Desenvolver equaes para o elemento;
4) Montar a matriz global de rigidez;
5) Aplicar as condies de contorno, condies iniciais e carregamentos;
6) Definir propriedades dos elementos;
Citando uma mxima da computao, garbage in, garbage out em portugus
entra lixo, sai lixo. Esta fase a mais importante, se o problema for definido errado
no esperada uma soluo correta.
Fase de Soluo
7) Achar a soluo das equaes lineares ou no-lineares desse modo obtendo os
resultados nodais, como tambm os valores de deslocamento nos diferentes ns (no
caso de problemas estruturais) ou as diferentes temperaturas nos ns (no caso de
problemas de transferncia de calor).
Ps-processamento
8) Obter outras informaes, como tenses principais, fluxo de calor, modelos
dinmicos animados, modelos coloridos, etc.
Caber ao engenheiro dizer se a soluo est satisfatria e condizente com a
teoria j conhecida.
-
26
3 LGEBRA MATRICIAL E EXCEL
Antes de dar continuidade ao desenvolvimento do mtodo faz-se necessrio a
apresentao de conceitos bsicos de calculo matricial, e como este trabalho prope o
uso do Excel com o MEF, ser explicado, quando possvel, o uso de matriz no
Excel.
O uso de matriz muito comum no meio computacional para resolver sistemas
de equaes lineares e realizar transformaes lineares. A matriz uma tabela
bidimensional de ordem m x n (m linhas e n colunas) e no caso unidimensional so
chamados de vetor. Tanto a matriz quanto o vetor esto dentro de uma categoria
chamada array na programao de computadores.
Os array mantm elementos de dados de mesmo tipo, pode assumir dimenses
maiores que a matriz (bidimensional), cada elemento possui uma posio dentro do
array, e para acessar determinado elemento necessrio conhecer sua posio
identificada por ndices no caso das matrizes e vetores elas so representadas da
seguinte forma:
mnmm
n
n
aaa
aaaaaa
A
...
.....
21
22221
11211
Figura 7 Matriz ordem mxn
mv
vv
V 21
Figura 8 Vetor-coluna ordem m
nvvvV 21Figura 9 Vetor-linha ordem n
Por convenincia as matrizes sero representadas por colchetes [] e os vetores {}
por chaves. Por meio dos ndices conhece-se a posio de cada elemento no caso do
elemento na primeira linha e segunda coluna da matriz da Figura 7 o elemento a12representado pelos ndices 1 e 2.
-
27
3.1 Nomenclaturas Usadas
Matriz quadrada so as matrizes de ordem n x n.
Diagonal principal da matriz so todos os elementos aij da matriz quadrada onde
i=j.
Diagonal secundria da matriz so todos os elementos aij da matriz quadrada de
ordem n onde i+j=n+1.
Matriz identidade In so matrizes quadradas de ordem n x n com a diagonal
principal formada por elementos iguais a 1 e os outros elementos igual a 0, conforme
mostra a Figura 10.
1...00
0..100...01
nI
Figura 10 Matriz Identidade
A matriz identidade quando multiplicada por outra matriz de ordem compatvel
no altera a matriz, por exemplo, MIn=M=ImM sendo a matriz M de ordem m x n.
Matriz inversa, a matriz A-1 dita inversa de A quando o produto entre as
matrizes resulta na matriz identidade (AA-1=I).
Sendo A matriz de ordem m x n com elementos aij a transposta At ser de ordem
n x m e elementos aji, ou seja, os elementos da linha de A so as colunas de At e as
colunas de A so as linhas de At, conforme mostra Figura 11.
nmnn
m
m
ttransposta
mnmm
n
n
aaa
aaaaaa
A
aaa
aaaaaa
A
...
.....
...
.....
21
22212
12111
21
22221
11211
Figura 11 Matriz Transposta
Note que a diagonal principal, quando a matriz for quadrada, permanece
inalterada.
Matriz simtrica ocorre quando A=At, portanto s ocorre em matrizes quadrada.
-
28
3.2 Operaes com Matrizes
Multiplicao por escalar possvel efetuar uma multiplicao de uma matriz
por um nmero escalar real qualquer, para isso basta multiplicar todos os elementos da
matriz pelo nmero. A diviso pode ser feita multiplicando o inverso do nmero
escalar aos elementos da matriz. Porm nunca se deve dividir um nmero escalar por
uma matriz. Veja a Figura 12.
mnmm
n
n
mnmm
n
n
kakaka
kakakakakaka
aaa
aaaaaa
kkA
...
.....
...
.....
21
22221
11211
21
22221
11211
Figura 12 Matriz multiplicada por escalar
Adio e subtrao entre matrizes so feitas somente entre matrizes de mesma
ordem, considere A e B, ambas as matrizes, de ordem m x n somando (ou subtraindo)
os elementos de mesma posio. Ou seja, AB=C onde os elementos cij=aijbij. Veja o
resultado na Figura 13.
mnmnmmmm
nn
nn
mnmm
n
n
mnmm
n
n
bababa
babababababa
bbb
bbbbbb
aaa
aaaaaa
BA
...
.....
...
.....
...
.....
2211
2222222121
1112121111
21
22221
11211
21
22221
11211
Figura 13 Adio e Subtrao das matrizes
Multiplicao entre matrizes s pode ser feita se, e somente se, a matriz A de
ordem m x p multiplicar uma matriz B de ordem p x n, a matriz resultante desta
operao ser a matriz C de ordem m x n onde os elementos cij so dados pela equao
(2):
pjipjijiij bababac ...2211 (2)
O resultado ser conforme Figura 14.
-
29
pnpp
n
n
mpmm
p
p
bbb
bbbbbb
aaa
aaaaaa
AB
...
.....
...
.....
21
22221
11211
21
22221
11211
pnmpnmnmpmpmmpmpmm
pnpnnpppp
pnpnnpppp
bababababababababa
babababababababababababababababababa
............
...........
............
221122221211212111
222212122222212211221221121
121211121221212111121121111
Figura 14 Multiplicao entre matrizes
3.3 Sistema de Equaes e Matrizes
Os sistemas de equaes so facilmente representados na forma matricial, e
consequentemente podem ser manuseadas e resolvidas no computador.
Considere um sistema de equaes genrica representada na Figura 15:
mnmnmm
nn
nn
cxaxaxa
cxaxaxacxaxaxa
...
......
2211
22222121
11212111
Figura 15 Sistema de equaes
Para representar na forma de matriz o sistema de equaes acima, uma matriz
representar os coeficientes das equaes mantendo sua posio na linha e na coluna
correspondente, essa matriz ir multiplicar a matriz coluna (ou vetor) com as variveis,
essa multiplicao ser igual matriz coluna contendo os termos independentes. A
aparncia final do sistema de equaes da Figura 15 na forma de matriz ser conforme
Figura 16.
mnmnmm
n
n
c
cc
x
xx
aaa
aaaaaa
2
1
2
1
21
22221
11211
...
.....
Figura 16 Sistema equaes na forma matricial
-
30
Um dos pr-requisitos para que um sistema de equaes lnear tenha uma nica
soluo a quantidade de incgnitas ser igual quantidade de equaes, portanto as
matrizes geralmente sero quadradas e tero ordem m x n com m=n.
3.4 Solues
De acordo com a Figura 16 possvel obter a soluo do sistema de equaes
linear simplesmente encontrando a inversa da matriz e multiplicando ao vetor com
termos independentes.
Aqui ser apresentado um mtodo para obteno da soluo do sistema de
equaes matricial.
3.4.1 Obteno de Sistemas Equivalentes atravs de Operaes Elementares
Dois sistemas so ditos equivalentes se um sistema de equaes possui a mesma
soluo do outro. E possvel obter sistemas equivalentes realizando as seguintes
operaes elementares:
I Permuta entre duas equaes.
II Multiplicao de uma equao por um nmero real diferente de zero.
III Substituio de uma equao previamente multiplicada por nmero real
diferente de zero e somada outra equao.
E por meio do uso sucessivo e finito dessas operaes elementares possvel
chegar soluo do sistema.
Exemplo 1
Veja a seguir um exemplo do procedimento.
Todas as operaes so descritas indicando a linha que est sofrendo alterao e
a operao que esta sendo feita. Abaixo cada linha est sendo multiplicada por um
nmero para que todos os coeficientes de x sejam iguais a 1.
-
31
21
41
21
3
2
1
24482
16224
10642
L
L
L
zyx
zyx
zyx
No caso de permuta entre linhas o procedimento conforme mostrado abaixo. A
linha 2 e 3 sero trocadas entre si.
23
1224
422
532L
zyx
zyx
zyx
Substituio de equaes somada com outra equao mostrada abaixo.
133
122
422
1224
532
LLL
LLL
zyx
zyx
zyx
32
21
3
2
12
72
30
720
532
L
L
zyx
zyx
zyx
233
32
370
27
20
532
LLLzyx
zyx
zyx
176
3
617
61700
27
20
532
Lzyx
zyx
zyx
Note que abaixo da diagonal principal formaram-se zeros, at este ponto o
processo conhecida como Eliminao de Gauss.
Agora ser realizado substituies por equaes somadas com outra equao
previamente multiplicada por um valor real, diferente de zero, para obter zeros acima
da diagonal principal.
10027
20
532
21
3
322
311
zyx
zyx
zyxLLL
LLL
100300802 211 2
zyxzyxzyx LLL
100300200
zyxzyxzyx
-
32
Note que o procedimento a ser seguido zerar as variveis abaixo da diagonal
principal e depois zerar as variveis acima da diagonal principal, o resultado ser a
matriz identidade.
132
100010001
zyx
Portanto a soluo do sistema o sistema equivalente representado pela matriz
identidade que obtida por meio do uso finito de operaes elementares. Para facilitar
a visualizao geralmente o sistema de equaes representado usando uma matriz
com os coeficientes e os termos independentes separadas por um trao vertical
conforme a figura a seguir.
m
selementareoperaes
mmnmm
n
n
s
ss
c
cc
aaa
aaaaaa
2
1
2
1
21
22221
11211
1...00
0..100...01
...
.....
Figura 17 Soluo por meio de operaes elementares
3.4.2 Inverso de matriz
Outra forma de obter a soluo do sistema de equaes pode ser atravs da
inversa da matriz, como mostrado na sequncia abaixo.
CXA (3)
CAXAA 11 (4)
CAXI 1 (5)
Da mesma forma que uma sequncia finita de operaes elementares pode
transformar uma matriz na matriz identidade, a matriz identidade pode ser
transformada na matriz inversa usando essa mesma sequncia de operaes. Para
facilitar visualmente o processo a matriz identidade colocada do lado da matriz a ser
invertida separada por um trao vertical. Conforme mostra Figura 18.
-
33
1AIIA selementareoperaes
Figura 18 Obteno de matriz inversa
Exemplo 2
Para exemplificar ser usada a matriz do sistema do Exemplo 1.
244821622410642
zyxzyxzyx
21
3
41
2
21
1
100010001
482224642
L
L
L
23
21
41
21
21
21
000000
2411
321L
133
122
0000
00
1241321
41
21
21
21
21 LLL
LLL
32
3
21
2
00
00
0120321
41
21
21
21
21
27
23 L
L
23300
00
1010
321
61
31
41
41
21
37
21
LLL 17634
16
112
7
41
41
21
617
21 0
00
0010
321
L
321
22
311 3
343
171
347
41
41
21
21 0
00
10010
321LLL
LLL 211 2
343
171
347
347
341
345
349
173
344
100010021 LLL
343
171
347
347
341
345
345
348
346
100010001
Para comprovar que esta a matriz inversa, situado no lado direito do trao
vertical, basta multiplic-la pela matriz dos coeficientes. O resultado ser a matriz
identidade.
100010001
482224642
343
171
347
347
341
345
345
348
346
A soluo do sistema pode ser obtida usando a equao (5).
132
241610
343
171
347
347
341
345
345
348
346
zyx
Existem casos em que a matriz no possui inversa, ou seja, o sistema no possui
uma nica soluo ou simplesmente no possui soluo. O sistema linear pode receber
as seguintes classificaes quanto soluo:
-
34
Para o caso do sistema linear compatvel determinado existir uma nica soluo,
a matriz com os coeficientes ser inversvel. E a soluo na forma matricial tem a
seguinte aparncia:
132
100010001
zyx
Para o sistema linear compatvel indeterminado existir mais de uma soluo,
geralmente infinitas. Costuma ter menos equaes que o nmero de variveis, portanto
no possui inversa. O resultado aps a sequncia de operaes elementares ter a
seguinte aparncia:
032
000010001
zyx
Para o sistema linear incompatvel no existir soluo, portanto no ter inversa.
Geralmente possui igualdades incoerentes. O resultado aps a sequencia de operaes
elementares ter a seguinte aparncia:
132
000010001
zyx
3.5 Transformaes Lineares
As transformaes lineares so funes que trabalham com espaos vetoriais, ou
seja, so funes vetoriais. Seu uso muito comum em softwares que trabalham com
grficos vetorizados como softwares CAD e jogos.
Sejam V e W espaos vetoriais,
uma transformao linear se as seguintes propriedades ocorrerem:
I T(u+v)=T(u)+T(v)
Sistema Linear-Compatvel(possui soluo)
-Incompatvel
-Determinado (possui uma soluo)-Indeterminado (possui mais de uma soluo)
-
35
II T(ku)=kT(u)
para Vvu, e Rk .
Na computao o uso das transformaes lineares se d atravs da forma
matricial. A seguir algumas transformaes mais utilizadas.
3.5.1 Reflexes
3.5.1.1 Reflexo em relao aos planos coordenados
Figura 19 Reflexo do ponto (x,y,z) nos trs planos
A equao (6) refere-se a reflexo ao plano XOY, equao (7) ao plano XOZ e
equao (8) ao plano YOZ.
zyx
100010001
(6)
zyx
100010001
(7)
zyx
100010001
(8)
-
36
3.5.1.2 Reflexo em relao aos eixos coordenados
Figura 20 Reflexo ao eixo X
zyx
100010001
(9)
zyx
100010001
(10)
zyx
100010001
(11)
-
37
3.5.1.3 Reflexo na origem
Figura 21 Reflexo na Origem
zyx
100010001
(12)
3.5.2 Rotao
Figura 22 Rotao em torno do eixo Z
As equaes (13), (14) e (15) representam rotao em torno do eixo z, y e x
respectivamente.
-
38
zyx
sensen
zz
zz
1000cos0cos
(13)
zyx
sen
sen
xx
xx
cos0010
0cos(14)
zyx
sensen
yy
yy
cos0cos0
001(15)
3.5.3 Translao
A translao feita conforme equao (16), necessrio aumentar uma linha no
vetor das coordenadas x, y e z devido ao tamanho da matriz transformao.
11000100010001
zyx
vvv
z
y
x
(16)
Os vx, vy e vz sero os valores somados s respectivas coordenadas.
Uma forma alternativa para translao :
zyx vvv
zyx100010001
1 (17)
3.5.4 Projeo
Esta transformao mais utilizada para que elementos tridimensionais sejam
exibidos no monitor, plotter, etc. A matriz transformao abaixo representa a projeo
-
39
no plano z=0. Para projetar em outros planos basta usar a matriz identidade e substituir
o valor 1 por zero no respectivo plano a ser projetado.
zyx
000010001
(18)
A equao (18) representa uma projeo paralela ortogonal. As linhas da vista da
projeo so paralelas entre si e perpendicular ao plano de projeo.
Existem duas formas de projeo as paralelas e em perspectivas. Dentro dessas
categorias existem subcategorias. Somente citando alguns tipos existem a isomtrica,
bi-mtrica e tri-mtrica essas esto na categoria projees paralelas, as projees
perspectivas as linhas da projeo convergem para um ponto, conhecido como ponto
de fuga.
3.5.5 Escala
Transformaes usando escalas so usadas para reduo e aumento de objetos.
zyx
vv
v
z
y
x
000000
(19)
Outra forma de usar a escala multiplicar o vetor por um valor escalar.
3.6 Uso do Excel
Neste tpico ser apresentado o uso do Excel para realizar clculos matriciais.
Cada linha e coluna das clulas do Excel podem ser consideradas linhas e colunas
de uma matriz. A Figura 23 mostra valores destacados no quadro vermelho e pode ser
considerada uma matriz de ordem 3x3. Esses valores so os mesmo usados nos
Exemplo 1e Exemplo 2.
-
40
Figura 23 Matriz no Excel
Sero mostradas algumas operaes que pode ser feita com matrizes.
De forma geral as operaes com matrizes no Excel seguem os seguintes passos:
1 Passo: Selecionar clulas vazias com a quantidade de linha e colunas da
matriz resultante, conforme Figura 24.
Figura 24 1 Passo para operao com matriz no Excel
2 Passo: Digitar na barra de formulas a frmula.
Figura 25 2 Passo para operao com matriz no Excel
3 Passo: Segurar os botes Ctrl+Shift e depois aperte Enter.
Figura 26 3 Passo para operao com matriz no Excel
Note a presena de chaves em torno da frmula, na barra de formula, essa a
representao de matriz no Excel. Qualquer modificao na frmula dessa nova matriz
preciso selecionar todas as clulas envolvidas.
O quadro abaixo mostrar algumas operaes que pode ser feitas no Excel em
portugus.
-
41
Quadro 1 Principais funes do Excel para clculo matricialOperao Barra de Formula ExemploSoma =Clulas1+Clulas2
Figura 27 Soma no ExcelProduto
Escalar
=Escalar*Clulas
Figura 28 Escalar no ExcelProduto
Matricial
=MATRIZ.MULT(Clulas1;Clulas2)
Figura 29 Multiplicao no ExcelDeterminante =MATRIZ.DETERM(Clulas)
Figura 30 Determinante no ExcelMatriz
Inversa
=MATRIZ.INVERSO(Clulas)
Figura 31 Matriz inversa no ExcelTransposta =TRANSPOR(Clulas)
Figura 32 Transposta no Excel
O determinante o nico caso de operao com matriz que no necessita seguir
os passos anteriores.
-
42
4 MATRIZ DE RIGIDEZ, ELEMENTO TIPO MOLA E BARRA
O calculo matricial a forma pela qual o MEF trabalha. E por essa razo foi
adotado e popularizou-se no meio computacional. A matriz de rigidez a matriz de
maior importncia dentro do mtodo. nela que esto embutidas as principais
informaes para a soluo do problema, como tipo de elemento finito usado,
geometria, propriedade dos materiais, conexo entre os elementos, ou seja, a matriz de
rigidez traduz o comportamento do sistema. Conforme o estimulo externo atuante
sobre o sistema a ser analisado, a matriz de rigidez mostrar como o sistema reagir.
Os estmulos externos so diversos, para cada tipo de problema pode ser empregado
um ou mais tipo, alguns exemplos so: carregamento, fora, fluxo de calor, etc.
O uso do termo rigidez bem apropriado, pois a matriz mostrar tambm o
quanto difcil ou fcil tirar o sistema de seu estado inicial, de forma paralela pode-se
comparar a matriz de rigidez ao mdulo de rigidez da mola, quanto maior seu valor
mais difcil para comprimi-la ou tracion-la e quanto menor o valor mais fcil para
deform-la.
O uso da mola nestas analogias no uma coincidncia, ela utilizada como
forma comparativa nos estudos mais bsicos de MEF e Resistncia dos Materiais.
4.1 Elemento Mola Linear
Este o elemento mais simples e comumente usado para introduzir no estudo do
MEF.
A mola linear como um mero dispositivo mecnico capaz de suportar esforos
axiais somente, e sua deformao, quando submetido a trao ou compresso,
diretamente proporcional a fora aplicada, representada pela equao (20).
kF (20)
onde F a fora, k a constante de proporcionalidade conhecida como constante de
-
43
Figura 33 Elemento mola (adaptado de HUTTON 1 st ed. p. 20)
A formulao do elemento mola feito de por meio direto, sem necessidade de
demonstrao matemticas ou clculos complexos.
Os elementos conectam-se pelos ns i e j estes podem sofrer deslocamento ui e ujcausadas pelas foras fi e fj respectivamente. Por convenincia arbitrado a direo do
eixo coordenado x coincidente com a deformao axial do elemento. Por enquanto
ser tratado somente o sistema de coordenadas unidimensional.
As equaes a seguir descrevem o comportamento do sistema:
ij uu (21)
Substituindo (21) em (20):
)( ij uukkf (22)
Para o equilbrio jiji ffff 0 reescrevendo a equao (22) para termos
das foras em cada n:
)( iji uukf (23)
)( ijj uukf (24)
As equaes (23) e (24) forma um sistema de equaes que escritas na forma
matricial ser:
j
i
j
i
ff
uu
kkkk
(25)
De forma simplificada ser expressa como:
fuke (26)
Onde,
kkkk
ke(27)
-
44
Onde [ke] representa a matriz de rigidez do sistema, {u} o vetor com os
deslocamentos nodais e {f} o vetor com as foras nodais do elemento.
A matriz de rigidez (27) de ordem 2x2 significa que o elemento possui 2
deslocamentos nodais ou 2 graus de liberdade.
Um sistema ou elemento que possui N graus de liberdade corresponder a uma
matriz de rigidez quadrada de ordem NxN.
Esta foi a representao de um nico elemento e para o casos em que feita a
representao de um elemento isoladamente do resto do sistema so usados os termos
sistema local ou do elemento. Por exemplo, [ke] a matriz de rigidez do elemento
ou matriz de rigidez do sistema local, isso ocorre tambm com o sistema de
coordenadas existir um sistema de coordenadas local para cada elemento.
A soluo do problema reduz-se a um simples calculo matricial do tipo:
fku e1 (28)
O elemento mola formulada isoladamente no possui soluo, seria necessrio a
restrio do seu movimento em um dos ns ou conectado a outro elemento de um
sistema maior. Ao tentar resolver este sistema matricial ser encontrado um sistema
linear compatvel indeterminado. E como necessria uma soluo em especfico
necessrio restringir o movimento em um ou mais ns. E essas restries so as
chamadas condies de contorno.
At o momento foi analisado o elemento individualmente do sistema global.
Porm para encontrar a soluo do sistema global necessrio relacionar elemento a
outro, para isso necessrio montar o sistema de equaes matricial global que ser
chamado de sistema global.
Para mostrar o desenvolvimento da soluo ser mostrado no exemplo a seguir:
Exemplo 3
Considere um sistema formado por duas molas, definido conforme a Figura 34:
Figura 34 Dois elementos mola (adaptado de HUTTON 1 st ed. p. 23)
-
45
O sistema possui 3 ns (portanto 3 deslocamentos ou 3 graus de liberdade), os 2
elementos mola esto conectadas por um dos ns.
Analisando cada elemento individualmente encontra-se o seguinte diagrama de
corpo-livre.
Figura 35 Diagrama de corpo-livre (adaptado de HUTTON 1 st ed. p. 24)
Considerando o diagrama de corpo-livre individualmente de cada elemento em
equilbrio expressa-se a condio de equilbrio para cada mola usando a equao (25).
)1(2
)1(1
)1(2
)1(1
11
11
ff
uu
kkkk
(29)
)2(3
)2(2
)2(3
)2(2
22
22
ff
uu
kkkk
(30)
possvel notar algumas relaes entre o sistema global com os sistemas locais
acima, que so:
1)1(
1 Uu (31)
2)2(
2)1(
2 Uuu (32)
3)2(
3 Uu (33)O sistema global possui a matriz de rigidez global da ordem 3x3, j que possui 3
ns e portanto 3 graus de liberdade. Desse modo necessrio tornar a matriz de rigidez
do sistema local para o tamanho compatvel (3x3). Para isso adiciona-se 0 (zeros) nas
respectivas linha e colunas das matrizes locais no qual falta a representao da varivel
deslocamento. O sistema deste exemplo ficar do seguinte modo:
000000
)1(2
)1(1
3
2
1
11
11
ff
UUU
kkkk
(34)
)2(3
)2(2
3
2
1
22
22
0
00
000
ff
UUU
kkkk (35)
Fazendo a soma de (34) e (35) encontra-se:
-
46
)2(3
)2(2
)1(2
)1(1
3
2
1
22
2211
11
0
0
fff
f
UUU
kkkkkk
kk
(36)
Pelo diagrama de corpo-livre possvel saber:
1)1(
1 Ff (37)
2)2(
2)1(
2 Fff (38)
3)2(
3 Ff (39)Fazendo as devidas substituies de (37), (38)e (39) em (36) encontra-se o
seguinte sistema global:
3
2
1
3
2
1
22
2211
11
0
0
FFF
UUU
kkkkkk
kk(40)
A maneira simplificada de representar o sistema :
}{}]{[ FUK (41)
Note que foram usadas letras minsculas nos elementos do sistema locais e
maisculas para o sistema global, alm de numeraes para diferenciar ns dos
elementos mola.
Para encontrar a soluo do sistema falta aplicar a condio de contorno.
Considere que o n 1 est engastado, portanto no sofrer deslocamento. Para aplicar a
condio de contorno basta eliminar as linhas e colunas da matriz e dos vetores na
posio correspondente ao n restringido, neste caso o as linhas 1 da matriz de rigidez
e vetores e coluna 1 da matriz de rigidez. O sistema matricial ficar:
3
2
3
2
22
221
FF
UU
kkkkk
(42)
Agora basta inverter a matriz de rigidez e multiplicar pelo vetor das foras.
3
2
21
21
1
11
3
2
1
11
FF
kkkk
k
kkUU
(43)
-
47
4.2 Elemento Barra Elstica
O elemento barra elstica ou simplesmente barra tambm conhecida como Spar,
Link ou Truss (trelia) muito similar a mola, porm possui uma formulao mais
geral, tambm possui mais aplicaes, como estruturas treliadas, prticos
bidimensionais e tridimensionais. Suporta somente esforos axiais como o elemento
mola.
Para fazer a formulao deste elemento finito necessrio realizar algumas
consideraes:
- a barra reta
- o material obedece a lei de Hooke
- as foras aplicadas ocorrem somente nas suas extremidades
- sofre somente esforos axiais. Toro, momento e flexo no so transmitidos
ao longo dos elementos devido suas conexes. Para isso ocorrer consideram-se os
elementos conectados por pinos ou juntas esfricas, permitindo a rotao dos
elementos em torno do n.
A formulao a seguir apresentada por Hutton (2004, p. 32).
A Figura 36 representa uma barra de comprimento L, o deslocamento axial
coincidente a coordenada x. Os ns 1 e 2 localizados nas extremidades e o
deslocamento ao longo da barra descrito por uma funo u(x), o n 1 est engastado
e no sofre deslocamento. A funo nos ns 1 e 2 satisfaz ui(x=0)=0 e uj(x=L)=1. Esta
uma funo continua u(x) que pode ser expressa em termos de ui e uj e considerando a
existncia das funes de interpolao Ni(x) e Nj(x) encontra-se a funo (44).
jjii uxNuxNxu )()( (44)
Figura 36 Elemento barra elstica (adaptado de HUTTON 1 st ed. p. 32)
-
48
Para encontrar as funes de interpolao sero usados os seguintes valores de
contorno:
iuxu )0( juLxu )( (45)Usando as equaes (44) e (45) encontra-se os seguintes condies de contorno
que precisam satisfazer as funes de interpolao.
1)0(iN 0)0(jN (46)0)(LNi 1)(LN j (47)
Por se tratar de um elemento com 2 graus de liberdade pode-se usar um
polinmio linear para descrever cada funo de interpolao:
xaaxNi 10)( (48)xbbxN j 10)( (49)
Aplicando as condies (46) e (47) nas funes (48) e (49) encontra-se:
LxxNi 1)( (50)
LxxN j )( (51)
A funo u(x) reescrita ficar:
ji uLxu
Lxxu 1)( (52)
Na forma matricial:
j
iji u
uxNxNxu )()()( (53)
A partir dos conceitos de resistncia dos materiais, uma barra de seco A,
cumprimento L e sofrendo um carregamento P
dado por:
dxAEFd
L
0
(54)
Considerando o elemento com seco constante o ser:
AEFL
(55)
Onde E o modulo de elasticidade do material. A constante de rigidez da mola
equivalente ser:
LAE
Fk (56)
-
49
Geralmente usado a deformao do material nos clculos da resistncia do
material, como a formulao trabalha com deslocamento necessrio relacionar a
deformao com o deslocamento. Considerando a barra elstica com uma deformao
uniaxial sabe-se que:
dxdu
x (57)
Aplicando (52) em (57):
Luu ij
x (58)
A tenso axial, pela lei de Hooke, dada por:
Luu
EE ijxx (59)
A fora axial :
ijx uuLAEAF (60)
Considerando as foras nodais fi e fj em equilbrio fi+fj=0, atravs de (60) tem-se:
iji uuLAEf (61)
ijj uuLAEf (62)
Expressando o sistema formado por (61) e (62) na forma matricial:
j
i
j
i
ff
uu
LAE
1111
(63)
A matriz de rigidez dada por:
1111
LAEke (64)
4.3 Energia de Deformao e 1 Teorema de Castigliano
A formulao a seguir apresentada por Hutton (2004, p. 38).
Outra forma de se obter a formulao de que envolve deslocamento dos ns
atravs do uso da Energia de Deformao combinado com o 1 Teorema de
Castigliano. O trabalho mecnico de deformao W de um ponto 1 ao ponto 2 dado
por:
-
50
rdFW2
1
(65)
onde:
kdzjdyidxrd (66)Reescrevendo (66):
kdzFjdyFidxFWz
zz
y
yy
x
xx
2
1
2
1
2
1
(67)
Considerando um elemento s com deformao uniaxial, F=k o trabalho
mecnico para uma nica direo dado por:
dkW0
(68)
2
21 kW (69)
Aplicando (56) em (69):
2
21
LAEW (70)
Aplicando (55) em (69):2
21
AEFL
LAEW (71)
2
21
AEFL
LAEW (72)
VW21
(73)
Onde V o volume deformado da barra e 21 a energia de deformao por
unidade de volume ue. A energia de deformao por unidade de volume dada por:
due0
(74)
A energia de deformao U dada por:n
iiWU
1(75)
No caso uniaxial com uma nica carga sendo aplicada:
VWU21
(76)
O 1 Teorema de Castigliano afirma que a derivada parcial da energia de
deformao em relao ao deslocamento do n i igual a fora aplicado neste n:
-
51
ii
Uf (77)
Combinando as equaes (58), (59) e (74):
222
2 222
121
21
ijijij
xxx uuuuLAEAL
Luu
EALEVU (78)
Aplicando o 1 Teorema de Castigliano em relao a cada n:
ijii
uuL
AEfU (79)
ijjj
uuL
AEfU (80)
Note que as equaes (79) e (80) so iguais a (61) e (62).
O Exemplo 4 mostra a utilizao dos conceitos do elemento barra e os
procedimentos utilizados em MEF atravs do Excel.
Exemplo 4
Ser usado um tronco cilndrico cnico, as informaes j foram usadas
anteriormente no tpico 2.2.2, veja a Figura 37.
Figura 37 Tronco cnico do Exemplo 4 (adaptado de HUTTON 1 st ed. p. 36)
O raio ao longo do cone dado por:
LrrLxrxr 00 (81)
A rea A(x) ao longo de x ser:2
002
LrrLxrxrxA (82)
-
52
Atravs da equao (54) o deslocamento devido fora F dado por:11
2
00
i
i
i
i
x
xL
x
x rrLxr
dxEFdx
ExAF
(83)
)(1
)(1
)( 000100
2
rrxLrrrxLrrrEFL
LiLiL
(84)
Usando o Excel e as equaes (84) e (59) para obter a o deslocamento e tenso ao
longo do comprimento ser obtido o resultado da Figura 38. Est a soluo exata do
problema.
Figura 38 Planilha para soluo do Exemplo 4
As clulas marcadas em amarelo podem ser modificadas, facilitando a avaliao
de troncos cnicos cilndricos de dimenses e propriedades diferentes por meio
iterativo.
Para facilita a reproduo da planilha abaixo no Quadro 2 esto descrito as
frmulas mais relevantes. Os termos em destaque em negrito sero os nicos valores a
mudarem em cada clula.Quadro 2 Frmulas Exemplo 4Clulas FrmulasA9 =$B$4/20+A8B9 =$E$2*$B$4^2/(PI()*$E$3*$H$4)*(1/($H$3-A9*$H$4)-1/($H$3-$A$8*$H$4))C9 =B9*$E$3/$B$4
Para o uso de MEF as seguintes etapas foram executadas:
-
53
Pr-processamento
Discretizar o domnio da soluo em elementos finitos (gerao de malha), a
barra ser discretizada em ns e elementos conforme Figura 39. A exatido do
problema ser dada pela quantidade de ns e elementos adotados. Est sendo
assumindo 20 elementos de comprimentos iguais e 21 ns, as reas mdias estipuladas
so dadas por:
21 ii
iAAA (85)
Figura 39 Discretizao do tronco cnico do Exemplo 4 (adaptado de HUTTON 1 st ed. p. 36)
Usar o elemento mais apropriado para descrever o comportamento do sistema,
neste caso ser o elemento do tipo barra elstica j formulada anteriormente, descrita
pelo sistema matricial (63).
Montar a matriz rigidez global:
2121
212120
544
4433
3322
2211
11
0000000000
0000000000000000000000
kkkkk
kkkkkkk
kkkkkkkk
kk
Keq (86)
-
54
Para obter a soluo ser aplicada a condio de contorno. Como a barra est
engastada, portanto u1=0 tambm informado que na outra extremidade da barra
possui um carregamento F. Ento o sistema de equaes lineares fica:
Fuu
uuuu
kkkkk
kkkkkkk
kkkkkkk
0
0000
00000000
00000000000000
21
20
5
4
3
2
2121
212120
544
4433
3322
221
(87)
Completando a outra parte da planilha e usando as equaes (81), (82), (85) e
(56), o resultado ser como apresentado na Figura 40.
Figura 40 Planilha usando as equaes (81), (82), (85) e (56) (Exemplo 4)
Para facilita a reproduo da planilha no Quadro 3 esto descrito as frmulas
mais relevantes. Os termos em destaque em negrito sero os nicos valores a mudarem
em cada clula.Quadro 3 Frmulas Exemplo 4Clulas FrmulasE8 =0E9 =SE(($B$4/$H$2+E8)>$B$4;$B$4;$B$4/$H$2+E8)F8 =$B$2-E8*$H$4/$B$4G8 =PI()*F8^2I9 =(G8+G9)/2J9 =I9*$E$3/($B$4/$H$2)
-
55
Para aplicar a condio de contorno na matriz de rigidez elimina-se a 1 linha e a
1 coluna da matriz, j que no n um seu deslocamento est restrito, na planilha ficar
da seguinte forma de acordo com a equao matricial (87):
Figura 41 Matriz de rigidez com condio de contorno aplicada no Excel (Exemplo 4)
Fase de Soluo
Resolver o sistema de equaes, para resolver o sistema de equaes lineares
basta inverter a matriz de rigidez descrito em (87) (j com a condio de contorno
aplicada) e multiplic-la pelo vetor das foras nodais.
'' 1' fKueq
(88)
Onde 1'eq
K a inversa da matriz de rigidez com as condies de contorno.
A matriz inversa pelo Excel usando a funo MATRIZ.INVERSO ser:
Figura 42 - Inversa no Excel (Exemplo 4)
O vetor das foras nodais ser:
-
56
Figura 43- Vetor dos carregamentos nodais (Exemplo 4)
Multiplicando a matriz e o vetor com a funo MATRIZ.MULT ser obtida os
deslocamentos .
Figura 44 Deslocamento nodais no Excel (Exemplo 4)
Ps-processamento
No ps-processamento sero obtidas outras informaes.
A informao que pode ser obtida atravs dos deslocamentos a tenso normal,
dada pela equao (59). Atravs do Excel ser obtido o seguinte resultado:
-
57
Figura 45 Ps-processamento no Excel (Exemplo 4)
Outra informao que pode ser obtida so as foras de reao Ri nos ns da barra, fornecida por:
fuKR eq (89)Tem-se ento:
Fuu
uuuuu
kkkkk
kkkkkkk
kkkkkkkk
kk
RR
RRRRR
0
00000
0000000000
0000000000000000000000
21
20
5
4
3
2
1
2121
212120
544
4433
3322
2211
11
21
20
5
4
3
2
1
(90)
Obtm-se a soluo:
00
0000
21
20
5
4
3
2
1 F
RR
RRRRR
(91)
-
58
Para verificar a convergncia dos dados veja os grficos abaixo:
0
0,002
0,004
0,006
0,008
0,01
0,012
0,014
0 0,5 1 1,5 2 2,5x
Del
taMEF com 20 elementos
Figura 46 Deslocamentos nodais em funo do comprimento x (Exemplo 4)
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0 0,5 1 1,5 2 2,5
x
Tens
o
Figura 47 Tenses em funo do comprimento x (Exemplo 4)
-
59
5 TRELIA
Segundo Beer e Johnston Jnior (1980) a trelia um tipo de estrutura da
engenharia comumente usado em construo de prdios e pontes onde se busca uma
soluo ao mesmo tempo prtica, econmica e esttica. Uma trelia ideal consiste de
barras retas conectadas e articuladas nas juntas. Conectadas somente nas extremidades,
sendo assim, nenhuma barra continua aps uma junta, como mostra a Figura 48 (b)
diferentemente da Figura 48 (a) em que o segmento AB constitudo de uma nica
barra.
Figura 48 (a) Trelia no ideal (b) Trelia ideal (adaptado de BEER e JOHNSTON JNIOR 3 ed.)
As cargas nas trelias so aplicadas nas juntas, raramente so aplicadas ao longo
das barras, pois suas barras so delgadas e no resistem tais esforos.
As juntas podem ser unidas por pinos, solda, rebites ou parafusos, porm para
efeito didtico elas so consideradas pinadas e articuladas. Desta forma os nicos
esforos suportados pela trelia so os esforos axiais.
Os materiais utilizados na sua construo podem ser tubos de ao, alumnio,
perfil L, barras de metal, estruturas de madeira, etc.
Na anlise dessas estruturas geralmente ignora-se o peso da estrutura, pois a
carga aplicada geralmente muito maior.
5.1 Trelia Plana
As trelias planas ou bidimensionais so estruturas treliadas em que todos seus
elementos podem ser representados num mesmo plano.
-
60
A trelia na Figura 49 quando submetido a uma carga provavelmente sofrer uma
deformao na sua estrutura original. A trelia na Figura 52 sob a mesma carga sofrer
somente a deformao do material, somente seu comprimento, este tipo de trelia
conhecida como trelia rgida, denomina-se rgida, pois ela no entrar em colapso
(desde que no ultrapasse os limites de resistncia do material). O objetivo de um
projetista ser sempre construir uma trelia rgida.
Figura 49 Estrutura no rgida (adaptado de BEER e JOHNSTON JNIOR 3 ed.)
Figura 50 Estrutura rgida (adaptado de BEER e JOHNSTON JNIOR 3 ed.)
5.1.1 Trelia Simples
Segundo Beer e Johnston Jnior (1980) a trelia triangular a trelia rgida mais
elementar e a partir dela pode-se construir trelias rgidas maiores, para isto basta
adicionar mais duas barras a trelia triangular ligadas em diferentes ns existentes e
interligadas a um novo n conforme Figura 51. O processo pode ser repetido diversas
vezes e sempre obter uma trelia rgida. Trelias constitudas desta forma so
conhecidas como trelias simples. Mas nem sempre as trelias simples so constitudas
por formas triangulares. Como mostra a Figura 52 a trelia rgida e construda
adicionado duas barras e no constitudo somente de geometria triangular.
Figura 51 Trelia simples (adaptado de BEER e JOHNSTON JNIOR 3 ed.)
-
61
Figura 52 Trelia rgida com geometria quadriltera (adaptado de BEER e JOHNSTON JNIOR 3 ed.)
Nem sempre trelias rgidas so simples como o caso da trelia Fink e
Baltimore mostrado na Figura 53. Todas as outras da figura so trelias simples, j que
podem ser construdas conforme a descrio anterior.
Figura 53 Tipos de Trelia plana (fonte: BEER e JOHNSTON JNIOR 3 ed. p. 219)
5.2 Trelias Espaciais
Toda vez que barras retas so unidas de forma a construir uma configurao
tridimensional denomina-se a estrutura como trelia espacial.
-
62
A forma mais elementar dentre as trelias espaciais formada por 6 barras e 4
ns formando assim um tetraedro. De forma anloga trelia simples bidimensional,
adicionando mais trs barras a trelia tetradrica pode-se obter uma estrutura rgida
maior conhecida como trelia espacial simples. Como mostra a Figura 54 Abaixo.
Figura 54 Trelia espacial (fonte: BEER e JOHNSTON JNIOR 3 ed. p. 227)
O uso da de estruturas espaciais, em especial as trelias, muito recente, sua
primeira aplicao comercial ocorreu na dcada de 30 pela indstria alem MERO. Na
dcada de 60 surgem outras empresas europeias e americanas que utilizaram tambm
essas estruturas espaciais.
No Brasil um marco na engenharia e arquitetura nacional ocorreu entre as
dcadas de 60 e 70, foi a construo do Centro de Exposies do Anhembi, em So
Paulo, primeira trelia espacial em grandes dimenses, este marco impulsionou o uso
destas estruturas em todo pas.
Figura 55 Trelia espacial, totalmente montada no cho, do Centro de Exposies do Anhembi dias antes de ser erguida por guindastes. (fonte: http://eventoemfoco.wordpress.com/2009/07/08/espacial-do-
anhembi-ainda-no-chao)
-
63
Figura 56 Vista area do Centro de Exposies do Anhembi (fonte: http://www.anhembi.com.br/) Figura 57 Vista interna do Centro de Exposies do Anhembi (fonte: http://www.anhembi.com.br/)
Por causa da fcil fabricao dos elementos, montagem, transporte e sua
viabilidade econmica o uso da trelia espacial em grandes ambientes tem sido bem
comum em todo o mundo.
As formas mais comuns para conectar os elementos so mostradas nas figuras a
seguir.
Figura 58 Junta esfrica MERO Figura 59 Junta em cruzeta
Figura 60 Junta com ponta amassada
Para que a as cargas aplicadas nas estruturas concentrem-se nos ns os tipos de
conexes mais apropriadas e mais condizente com a teoria, so as representadas na
Figura 58 e Figura 59. Porm a forma mais usada a apresentada na Figura 60 por
serem as mais econmicas, este tipo de conexo impede a rotao em torno dos ns
causando esforos como toro, momento e flexo, alm no terem uma boa esttica.
-
64
5.3 Formulao do Elemento finito para problemas de Trelia Espacial
O elemento finito a ser utilizado a barra elstica, j descrita e formulada no
capitulo anterior. Porm, at o momento foram usadas coordenadas unidimensionais
para formular os elementos, agora que ser apresentada a estrutura tipo trelia usando
MEF faz-se necessrio o uso das coordenadas bidimensionais e tridimensionais.
5.3.1 Sistema de Coordenadas Locais e Globais
comum na modelagem em CAD trabalhar com sistema de coordenadas locais e
globais, principalmente em desenhos tridimensionais, no intuito de facilitar o
modelamento.
Figura 61 Estrutura no sistema global XYZ
Figura 62 - Elemento no sistema local xyz
Na Figura 61 mostrada uma estrutura no sistema de coordenadas global XYZ
(com letras maisculas). Isolando a barra formada pelos ns 1 e 4 foi arbitrado um
sistema de coordenadas local xyz (letras minsculas) para facilitar a formulao do
elemento finito, onde o zero coincidente com o n 1 e o eixo x coincidente com eixo
-
65
axial da barra. O elemento finito ser exatamente o mesmo que a barra elstica j
apresentada. O sistema de equaes matricial ser a (92) exatamente igual a (63).
4
1
4
1
1111
ff
uu
LAE (92)
possvel realizar esse mesmo processo para todas as outras barras e obter um
sistema de coordenadas locais para cada elemento e um sistema de equaes matriciais
para cada elemento. Porm para montar o sistema global necessrio converter cada
sistema de coordenadas local no sistema de coordenadas global. Essa converso feita
pela matriz transformada.
5.3.2 Matriz Transformada
Na Figura 63 exibida uma barra de comprimento L com sistema de coordenadas
, X Y Z so os
ngulos formados por em relao ao sistema global (estes ngulos tambm so
conhecidos como ngu