Cbc - Anos Finais - Matemática

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1- Introduo

A presente reviso do CBC no pretende alterar sua concepo ou estrutura. A essncia de nossa matriz curricular continua sendo os Contedos Bsicos

Comuns, elaborados no incio dos anos 2000. A verso, ora construda, Currculo Bsico Comum, conta com o esforo coletivo de inmeros colegas profes-

sores, analistas, tcnicos da SEE/MG e SRE, especialistas e acadmicos que participaram de perto de sua construo.

Como professores que somos, sabemos que o tempo traz mudanas e uma proposta curricular, documento vivo, deve se adequar, renovar-se, mesmo que

guardando o essencial de sua proposta e objetivo. a ideia de rupturas e permanncias to cara a ns, professores de Matemtica. O presente instrumento,

que a partir desta reformulao, passa a se denominar Currculo Bsico Comum, fruto das ideias que temos ouvido em inmeras visitas s escolas e das

capacitaes que temos realizado que nos permitiram o contato com professores por esse imenso e diverso Estado.

Inclumos alguns tpicos e habilidades que julgamos atender s principais demandas dos professores em exerccio. So tpicos e habilidades que garanti-

ro uma maior e mais eficiente transio entre os diferentes ciclos de aprendizagem. Alguns tpicos que, na verso original, eram complementares ns os

tratamos como obrigatrios nessa verso, pois contemplam campos conceituais importantes. No tema Variao entre Grandezas, algumas habilidades

que, na verso original, pertenciam ao EM foram trazidas para o nono ano, garantindo assim uma transio harmnica entre essas etapas da Educao

Bsica . Tambm inclumos o campo Orientaes Pedaggicas cujo contedo procura no alterar a proposta original, apenas ser um instrumento que faci-

lite o trabalho do professor, contribuindo para a aplicao da proposta curricular e, consequentemente, aperfeioando o processo de ensino e aprendizagem.

O campo Orientaes Pedaggicas traz sugestes para o professor trabalhar as habilidades referentes a cada tpico. A principal fonte em que nos basea-

mos para construir essas orientaes foi o CRV Orientaes Pedaggicas (disponvel em http://crv.educacao.mg.gov.br). As sugestes ali contidas parti-

ram da experincia de sala de aula de nossos analistas, professores e de outras fontes. As sugestes pedaggicas contidas nesse campo no pretendem,

de forma alguma, esgotar as diversas possiblidades para se ensinar as habilidades propostas. So apenas indicativos de possibilidades. O professor deve

enriquecer o trabalho com as habilidades a partir de sua experincia, sensibilidade e de acordo com a realidade de cada escola e regio, principalmente,

considerando seu aluno e seu nvel de desempenho.

Ressalta-se que, nessas orientaes pedaggicas, alm de nossa grande preocupao com o ensino da Matemtica e das habilidades a ela relacionadas,

tivemos o cuidado de incentivar a competncia leitora e escritora de nossos alunos. Portanto h a indicao frequente do uso do prprio livro didtico e de

textos de diversos gneros textuais e outros recursos que permitam o crescimento de nossos alunos como bons leitores e escritores.

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O campo contedo tem como objetivo relacionar as habilidades dos CBC aos contedos de Matemtica, em sua forma tradicional, uma vez que, s se de-

senvolvem habilidades por meio do trabalho com os contedos a elas relacionados. Assim, como nas Orientaes Pedaggicas, no tivemos a preocupao

de listar todos os contedos implcitos nas habilidades, mas indicar possibilidades, facilitando o trabalho do professor.

Destacamos que, por diversas vezes, sugerimos o trabalho interdisciplinar. Acreditamos que o trabalho conjunto uma metodologia significativa para poten-

cializar o processo de ensino e aprendizagem. Muitos de nossos contedos e habilidades guardam interfaces com os demais componentes curriculares e a

construo do trabalho conjunto deve ser uma preocupao permanente de todo o corpo docente da escola.

Finalmente, ao incluirmos a Gradao Introduzir, Aprofundar e Consolidar I, A, C - para o desenvolvimento das habilidades, ao longo dos anos de es-

colaridade, distribuda para cada habilidade/contedo, em seu respectivo ano/ciclo de escolaridade, reafirmamos o que j tem sido prtica cotidiana dos

nossos colegas professores de anos iniciais. Ao iniciar uma habilidade/contedo, introduzir uma habilidade atravs de novo conhecimento, o professor

deve mobilizar conhecimentos prvios, contextualizando, despertando a ateno e o apreo do aluno para a temtica. Em momento seguinte de aprendiza-

gem, faz-se necessrio aprofundar essa habilidade, num trabalho sistematizado, relacionando essas aprendizagens ao contexto e a outros temas prxi-

mos. Finalmente, consolidar aquela aprendizagem, tambm com atividades sistematizadas, significa torn-la um saber significativo para o aluno, com o qual

ele possa contar para desenvolver outras habilidades, ao longo de seu processo educacional. Essas definies, j comuns nos anos iniciais do Ensino Fun-

damental, a partir das orientaes contidas nos Cadernos de Alfabetizao da SEE-MG/CEALE e confirmadas na proposta pedaggica do PACTO Pacto

Nacional pela Alfabetizao na Idade Certa, que so referncias, portanto, para o trabalho de alfabetizadores, ns as adaptamos para o ensino nos anos

finais do Ensino Fundamental.

Guardadas as particularidades do ensino de Matemtica nos anos finais do Ensino Fundamental, o importante que o professor permanentemente, ao longo

do processo de ensino e aprendizagem, possibilite a seus alunos desenvolver as habilidades, avalie como se deu o processo e faa as retomadas e as inter-

venes pedaggicas necessrias, para que todos possam avanar numa trajetria escolar de aprendizagem.

2- Consideraes Didtico-Metodolgicas

Para alcanar os objetivos bsicos da Matemtica e a consolidao das suas competncias, necessrio que adotemos estratgias pedaggicas de ensino

adequadas etapa escolar, considerando-se a vivncia escolar desses alunos, as aprendizagens desenvolvidas, as caractersticas e nsias dessa fase de

vida. Buscamos na Resoluo SEE/MG n 2197/2012 a estruturao em ciclos dos Anos Finais dentro do Ensino Fundamental e o que preciso garantir

para o prosseguimento da vida escolar:

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Art. 28 O Ensino Fundamental, com durao de nove anos, estrutura-se em 4 (quatro) ciclos de escolaridade, considerados como blocos pedaggicos se-

quenciais:

I - Ciclo da Alfabetizao, com a durao de 3 (trs) anos de escolaridade, 1,2 e 3 ano;

II - Ciclo Complementar, com a durao de 2 (dois) anos de escolaridade, 4 e 5 ano;

III - Ciclo Intermedirio, com durao de 2 (dois) anos de escolaridade,6 e 7 ano;

IV - Ciclo da Consolidao, com durao de 2 (dois) anos de escolaridade,8 e 9 ano.

Art. 29 Os Ciclos da Alfabetizao e Complementar devem garantir o princpio da continuidade da aprendizagem dos alunos, sem interrupo, com foco na

alfabetizao e letramento, voltados para ampliar as oportunidades de sistematizao e aprofundamento das aprendizagens bsicas, para todos os

alunos, imprescindveis ao prosseguimento dos estudos.

Art. 30 Os Ciclos Intermedirio e da Consolidao devem ampliar e intensificar, gradativamente, o processo educativo no Ensino Fundamental, bem como

considerar o princpio da continuidade da aprendizagem, garantindo a consolidao da formao do aluno nas competncias e habilidades indispensveis ao

prosseguimento de estudos no Ensino Mdio.

Para complementar essa reflexo, transcrevemos parte das consideraes sobre as caractersticas dos alunos descritas no CBC inicial (2008), presentes na

concepo das Diretrizes Curriculares Nacionais - Resoluo CNE n 7/2010 e na Resoluo SEE/MG n 2.197/ 2012.

Sabemos que, nos dois primeiros anos dessa etapa da escolaridade, convivem alunos com caractersticas muitas vezes ainda bastante infantis e adoles-

centes, ou mesmo alunos mais velhos, que j passaram por uma ou vrias experincias de reprovao ou de interrupo dos estudos, sendo que, dentre

esses, muitos j trabalham e assumem responsabilidades perante a famlia. No caso dos adolescentes, as significativas mudanas que afetam seu desen-

volvimento fsico, emocional e psicolgico repercutem fortemente no seu comportamento o qual, na escola, muitas vezes interpretado pelos professores

como insolncia, gerando conflitos no relacionamento entre ambos. Acrescentem-se a isso a instabilidade, o medo e a insegurana, que caracterizam as

reaes dos adolescentes frente a situaes diversas. Nessa fase tambm intensifica-se a competncia para questionar, acirra-se a crtica pouco fundamen-

tada, que faz com que coloquem em dvida a importncia de certos valores, atitudes e comportamentos e, inclusive, a necessidade de certas aprendiza-

gens.

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No caso da Matemtica, contrariando as consideraes do pargrafo anterior, h uma forte tendncia em fazer do 6 ano uma reviso dos contedos estu-

dados nos anos anteriores. Essa reviso, na maioria das vezes infindvel, causa desinteresse aos alunos e, paradoxalmente ao que se pretendia com ela,

contribui para o fracasso escolar comprovado pelos elevados ndices de reprovao e /ou evaso que aparecem nesse ano.

J no ano seguinte (7 ano), alguns contedos novos so explorados, o que garante, de certo modo, um maior interesse por parte dos alunos. Porm, dife-

rentemente do trabalho realizado nos anos anteriores, o vnculo da Matemtica com as situaes do cotidiano, a possibilidade de levantar hipteses, de ar-

riscar-se na busca de resultados sem a tutela do professor, vo ficando cada vez mais distantes, gerando em muitos casos o divrcio entre o aluno e o co-

nhecimento matemtico.

Nos dois ltimos anos (8 e 9 anos), muitos alunos ainda esto s voltas com mudanas corporais, momentos de inquietao emocional e psicolgica, que

repercutem na vida afetiva, na sexualidade, nas relaes com a famlia e tambm na escola. Junto a esses problemas, comea a se configurar uma nova e

grande expectativa - a continuidade dos estudos e o futuro profissional. Convm lembrar que muitos desses alunos j tero ingressado no mercado de traba-

lho, geralmente desenvolvendo atividades pouco qualificadas e ansiosos por melhores condies de vida.

A perspectiva de ingresso na juventude, alm de expectativas quanto ao futuro, traz para os alunos desses dois ltimos anos do ciclo novas experincias e

necessidades. O conhecimento do mundo e as experincias de vida, ao contrrio dos anos anteriores, acontecem no crculo do grupo, fora da tutela dos

pais. Isso faz com que esses jovens ampliem suas percepes e tornem-se mais independentes e autnomos diante de certas vivncias: administrar as pr-

prias economias, transitar sozinhos por novos espaos, participar das decises familiares, decidir sobre as atividades de lazer, etc.

Sob o ponto de vista cognitivo, a observao ganha em detalhes, ampliam-se as competncias para pensar de forma mais abstrata, para tomar algumas

decises, para abstrair significados e ideias de maior complexidade, para argumentar expressando ideias e pontos de vista com mais clareza. Outro aspecto

que se acentua ampliao da competncia para compreender e utilizar recursos tecnolgicos e audiovisuais. Ao mesmo tempo que os alunos se organi-

zam melhor para produzir em grupo, tambm ampliam-se suas possibilidades de realizao de trabalhos individuais.

Nesses ltimos dois anos, acentua-se, tambm, o interesse dos jovens por alguns temas sociais tais como cidadania, sade, orientao sexual, meio ambi-

ente, trabalho e consumo.

Diante de um quadro complexo como esse, necessrio refletir sobre o que possvel fazer no sentido de minimizar os problemas que caracterizam esse

ciclo, canalizando para a aprendizagem toda a ebulio desse esprito emotivo, instvel e questionador do aluno nessa fase de desenvolvimento.

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3- Orientaes Pedaggicas

Como objetivos para Matemtica no Ensino Fundamental, reafirmamos aqueles j explicitados no instrumento CBC de 2008:

Identificar os conhecimentos matemticos como meios para compreender e transformar o mundo sua volta e perceber o carter de jogo intelectual, carac-

terstico da Matemtica, como aspecto que estimula o interesse, a curiosidade, o esprito de investigao e o desenvolvimento da competncia para resolver

problemas;

Fazer observaes sistemticas de aspectos quantitativos e qualitativos do ponto de vista de relaes entre eles, utilizando para isso o conhecimento ma-

temtico (aritmtico, geomtrico, mtrico, estatstico, combinatrio, probabilstico); selecionar, organizar e produzir informaes relevantes para interpret-las

e avali-las criticamente.

Resolver situaes-problema, sabendo validar estratgias e resultados, desenvolvendo formas de raciocnio e processos como deduo, induo, intuio,

analogia, estimativa e utilizando conceitos e procedimentos matemticos, bem como instrumentos tecnolgicos disponveis.

Comunicar-se matematicamente, ou seja, descrever, representar e apresentar resultados com preciso e argumentar sobre suas conjecturas, fazendo uso

da linguagem oral e estabelecendo relaes entre ela e diferentes representaes matemticas;

Estabelecer conexes entre temas matemticos de diferentes campos, e entre esses temas e conhecimentos de outras reas curriculares;

Sentir-se seguro da prpria competncia e construir conhecimentos matemticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverana na busca de solues;

Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente na busca de solues para problemas propostos, identificando aspectos consen-

suais ou no na discusso de um assunto, respeitando o modo de pensar e aprendendo com eles.

Especialmente na fase em que se encontram os alunos, o ensino de Matemtica pode contribuir muito para que adquiram responsabilidades, hbitos e m-

todos de estudo. Isto porque a aquisio do conhecimento matemtico demanda trabalho individual e coletivo, competncia de concentrao e reflexo, dis-

ciplina e perseverana e discusso, busca de soluo em grupo e para o grupo, com compartilhamento das ideias e resolues . Em contrapartida, pode ser

uma fonte de prazer intelectual em cada soluo encontrada e desafio superado.

Portanto as metodologias utilizadas devem priorizar um papel ativo do aluno, estimulando a leitura de textos matemticos, os estudos dirigidos, o trabalho em

grupo e os recursos didticos de carter ldico como jogos, exposies, murais de problemas e curiosidades matemticas e, quando disponveis, recursos

computacionais para uso em geometria dinmica e experimentos de clculo.

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Deve-se evitar a formalizao excessiva e concentrar-se no desenvolvimento de habilidades conceituais e manipulativas, estimulando o uso de mecanismos

informais como intuio, analogia, reconhecimento de padres, anlise de casos particulares e generalizao, aproximao, estimativas. Por outro lado, no

8 e 9 anos, quando j se atingiu alguma maturidade, adequado e desejvel introduzir de modo gradativo o mtodo lgico dedutivo, apresentando e reque-

rendo do aluno demonstraes simples em lgebra e geometria.

4- Resoluo de Problemas

Um dos principais objetivos do ensino de Matemtica, em qualquer nvel, o de desenvolver habilidades para a soluo de problemas. Esses problemas

podem advir de diferentes situaes que exijam o domnio da linguagem matemtica e a construo de argumentos que permitam ao aluno elaborar propos-

tas concretas a partir dos conhecimentos adquiridos ao longo do ensino fundamental. No primeiro caso, necessria uma boa competncia de usar a lin-

guagem matemtica para interpretar questes formuladas verbalmente. Por outro lado, problemas interessantes, que despertam a curiosidade dos alunos,

podem surgir dentro do prprio contexto matemtico quando novas situaes podem ser exploradas e o conhecimento aprofundado, num exerccio contnuo

da imaginao e investigao.

Por situao-problema entendemos problemas que envolvem o processo de traduo do enunciado, seja contextualizado ou no, em linguagem matemtica,

e a tomada de deciso sobre quais ferramentas matemticas sero usadas em sua resoluo.

Estes problemas so aqueles que levam a uma compreenso do que realmente Matemtica, pois se passam em um ambiente onde coexistem os modos

de pensamento formal e intuitivo, bem como as linguagens formal e verbal. Eles estimulam o trabalho em grupo, a crtica dos modelos adotados e o confron-

to dos resultados obtidos com o enunciado original do problema.

A soluo de uma ampla variedade de problemas desenvolve a competncia de abstrao do aluno, bem como a habilidade de atribuir significado aos con-

ceitos abstratos estudados.

O constante desenvolvimento das habilidades para a soluo de problemas envolve as seguintes estratgias, que devem tornar-se hbito para o aluno:

Usar figuras, diagramas e grficos, tanto de forma analtica quanto intuitiva.

Expressar oralmente ou por escrito, com suas prprias palavras, propriedades matemticas, atribuindo significado aos conceitos abstratos e formulando por

meio do uso da linguagem simblica questes expressas verbalmente.

Perceber padres em situaes aparentemente diversas.

Estudar casos especiais mais simples usando-os para elaborar estratgias de resoluo de casos mais complexos ou gerais.

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Fazer uso do mtodo de tentativa e erro, elaborando novas estratgias de soluo a partir da anlise crtica dos erros.

Usar a simbologia matemtica (sentenas) com variveis e equaes, usar a analogia como ferramenta de trabalho, recorrendo a mtodos j utilizados e

adaptando-os para a resoluo de novos problemas.

Trabalhar de trs para diante, supondo conhecida a soluo de um problema e deduzir suas propriedades para obter um caminho para encontr-la.

Compartilhar e discutir observaes e estratgias de outros alunos, adquirindo assim experincia e novas perspectivas (insights) para abordar um pro-

blema.

5- Avaliao

O professor, ao planejar, orientar, observar, instigar, organizar e registrar as atividades em sala de aula, rene um conjunto de parmetros que o habilita a

fazer uma avaliao contnua de todo o processo de aprendizagem. Nesse processo, esto envolvidos ele prprio, os alunos, o material e a metodologia uti-

lizados. Isso permite ao professor reformular a cada momento suas prticas pedaggicas e melhor adapt-las s condies de sala de aula.

A avaliao deve ser parte integrante desse processo. Alm do que foi mencionado acima, o professor deve buscar, selecionar e registrar situaes e proce-

dimentos que possam ser avaliados de modo a contribuir efetivamente para o crescimento do aluno. Essa observao e registro, juntamente com outros m-

todos de verificao de aprendizagem (provas, portflios, trabalho em grupo, listas de exerccios e outros ),nos quais so ressaltados os aspectos mais rele-

vantes e importantes das unidades, devem fazer parte das estratgias de ensino.

Sabe-se que a questo da avaliao muito delicada e que pode afetar a autoestima do aluno, especialmente no caso de adolescentes. Dessa forma, deve-

se ter uma atitude positiva e construtiva em relao avaliao. O professor deve incentivar e abrir espao para que os alunos exponham, oral ou de forma

escrita, suas observaes, suas dificuldades e seus relatos sobre as atividades e contedos trabalhados, enfim, suas aprendizagens.

A construo das competncias, isto , das qualificaes amplas e mltiplas tem carter dinmico e mobiliza aes representadas por habilidades. So elas,

entre outras: representar, investigar, comunicar, explicar. Algumas competncias so comuns a todos os Componentes Curriculares e ganham significado

especial em Matemtica, tais como:

- Dominar diferentes linguagens, dentre elas, a linguagem matemtica;

- Saber se informar em fontes diferentes;

- Expressar resultados;

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- Argumentar com consistncia terica;

- Apontar contradies;

- Identificar incoerncias conceituais e manifestar preferncias.

O desenvolvimento dessas competncias requer dos professores um trabalho cuidadoso, sistemtico, articulado com os demais componentes curriculares e

muita sensibilidade s diferenas de ritmo de aprendizagem dos seus alunos. A sua avaliao deve-se valer de atividades que envolvam situaes prticas,

articuladas com seu desenvolvimento.

As novas propostas de ensino-aprendizagem visam superar a aula puramente expositiva; valoriza aulas dialogadas, com questes e problemas que deman-

dam a observao, o estabelecimento de relaes e atitudes de pensar e descobrir. Fazem parte destas novas prticas pedaggicas, explicitados na coluna

Orientaes Pedaggicas, o trabalho em grupo, os debates em sala de aula, o exerccio do dilogo, da polmica e da argumentao, as visitas tcnicas, a

utilizao de recursos multimdias. Essas estratgias permitem a exposio de pontos de vista diferentes e exigem a formao de atitudes que vo desde o

respeito diversidade de opinies, a capacidade de ouvir e levar em conta o argumento do outro, colaborao na feitura de trabalhos coletivos. Portanto os

instrumentos de avaliao visam contemplar aspectos e atitudes de educao na esfera da sociabilidade dos alunos, dando especial ateno ao desenvolvi-

mento de compromisso com o seu grupo, com a comunidade escolar, assim como com o patrimnio cultural local, do Pas e do mundo.

Conforme estabelece a Resoluo SEE/MG n 2197/2012,

Art. 69 A avaliao da aprendizagem dos alunos, realizada pelos professores, em conjunto com toda a equipe pedaggica da escola, parte integrante da

proposta curricular e da implementao do currculo, redimensionadora da ao pedaggica, deve:

I - assumir um carter processual, formativo e participativo;

II - ser contnua, cumulativa e diagnstica;

III - utilizar vrios instrumentos, recursos e procedimentos;

IV - fazer prevalecer os aspectos qualitativos do aprendizado do aluno sobre os quantitativos;

V - assegurar tempos e espaos diversos para que os alunos com menor rendimento tenham condies de ser devidamente atendidos ao longo do ano

letivo;

VI - prover, obrigatoriamente, intervenes pedaggicas, ao longo do ano letivo, para garantir a aprendizagem no tempo certo;

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VII - assegurar tempos e espaos de reposio de temas ou tpicos dos

Componentes Curriculares, ao longo do ano letivo, aos alunos com frequncia insuficiente;

VIII - possibilitar a acelerao de estudos para os alunos com distoro idade ano de escolaridade.

Prev-se que a avaliao inclua os diversos instrumentos, alm das provas, as observaes e registros dos professores, atividades em grupos e individuais,

permitindo acompanhar atravs de fichas individuais o desenvolvimento das habilidades de raciocnio, o processo de construo de cada aluno, assim como

incentivar a construo pelos alunos de trabalhos (portflios, memorial) que propiciem a formao da autonomia e reflexo sobre o processo de construo

do saber histrico e do sentido desse conhecimento para suas vidas, como evidencia a Resoluo 2.197/12:

Art. 70 Na avaliao da aprendizagem, a Escola dever utilizar procedimentos, recursos de acessibilidade e instrumentos diversos, tais como a observao,

o registro descritivo e reflexivo, os trabalhos individuais e coletivos, os portflios, exerccios, entrevistas, provas, testes, questionrios, adequando-os faixa

etria e s caractersticas de desenvolvimento do educando e utilizando a coleta de informaes sobre a aprendizagem dos alunos como diagnstico para as

intervenes pedaggicas necessrias.

Pargrafo nico. As formas e procedimentos utilizados pela Escola para diagnosticar, acompanhar e intervir, pedagogicamente, no processo de aprendiza-

gem dos alunos, devem expressar, com clareza, o que esperado do educando em relao sua aprendizagem e ao que foi realizado pela Escola, devendo

ser registrados para subsidiar as decises e informaes sobre sua vida escolar.

A nova proposta de avaliao apresenta-se para professores e alunos, como um instrumento de aprendizagem, de investigao, de diagnstico da aprendi-

zagem, de subsdio para a interveno pedaggica e de formao contnua, e isso representa uma mudana significativa na cultura e prticas escolares.

Como parte do processo de ensino-aprendizagem e, como tal, a avaliao da aprendizagem na perspectiva da interveno pedaggica e da aprendizagem

no tempo certo, deve levar em conta as competncias pedaggicas e as competncias sociais a serem adquiridas pelos alunos.

No primeiro caso (competncias pedaggicas), cabe avaliao fornecer aos professores as informaes sobre como est ocorrendo a aprendizagem em

relao compreenso dos conhecimentos, como, por exemplo, os raciocnios e anlises desenvolvidos e o domnio de certas estratgias. Alm dessas,

questes mais especificamente relacionadas com o grau de envolvimento do aluno no processo, tais como: Procura resolver problemas? Usa estratgias

criativas? Faz perguntas? Justifica as respostas obtidas? Comunica suas estratgias com clareza? Questiona os pontos que no compreende ou com os

quais no concorda? etc.; tambm devem ser observadas. Essas informaes devero servir para o professor:

Orientar-se na elaborao de aes pedaggicas mais diversificadas objetivando atender aos diferentes nveis de aprendizagem;

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Trabalhar diferentes nveis de aprofundamento e complexidade ao mesmo tempo;

Orientar os alunos quanto aos currculos diferenciados.

Considerando o exposto acima, conclumos que a avaliao no deve se resumir somente a provas individuais e a resultados expressos por notas, pois es-

sas so insuficientes ou mesmo inadequadas para mensurar a maioria das habilidades que estamos propondo desenvolver em nossos alunos. Assim, suge-

rimos que a avaliao em Matemtica ultrapasse os limites quantitativos e se d nos diversos momentos da aprendizagem, a saber, nas atividades individu-

ais e de grupo, dentro da sala de aula, nas tarefas de casa, nas tarefas orais, nas participaes em feiras e oficinas, etc. No entanto, achamos que as provas

individuais ainda desempenham um papel importante no processo, pois essas tambm ajudam o aluno a refletir sobre suas competncias e limitaes e ser-

vem de orientao aos esforos necessrios para superar as dificuldades. Alm disso, a correo dessas provas por parte do professor em sala de aula, com

a participao dos alunos, proporciona uma excelente atividade de reviso dos conhecimentos. Dessa maneira, os erros propiciam uma oportunidade para

que os alunos possam aprender a partir deles. O erro na resoluo de um problema ou em uma avaliao deve ser encarado como uma oportunidade ideal

de reviso de conceitos e estratgias de soluo. extremamente importante que uma tentativa consciente de resolver um problema, mesmo incorreta, seja

to respeitada quanto uma soluo correta. Quando o aluno percebe que, mesmo errando, seu esforo bem recebido e que ele contribuiu positivamente

para o trabalho do professor e da turma, sua autoconfiana aumenta e ele percebe que o erro uma oportunidade de crescimento.

A postura adequada do professor, frente a um erro do aluno, deve ser, primeiramente, oportunizar ao aluno expor claramente seu raciocnio. Isto feito, o pro-

fessor deve mostrar que algo est errado, no criticando o raciocnio, mas mostrando que a soluo no atende ao enunciado do problema. Aps isto, o ra-

ciocnio, deve ser colocado em discusso aberta com a turma, e as sugestes de correo devem ser registradas e discutidas, dando a elas o mesmo valor

do raciocnio inicial. Idealmente, uma soluo correta deve vir da turma; o professor pode ento intervir, analisando as etapas da discusso e apresentando

solues alternativas, caso adequado.

As observaes, que o professor julgar necessrias registrar, podem ser anotadas, por exemplo, em fichas individuais, com o objetivo de fornecer um mape-

amento do desenvolvimento do aluno ao longo do ciclo. Por outro lado, o professor no deve passar a maior parte do seu tempo de trabalho se dedicando a

registrar essas observaes. Convm deixar claro que o objetivo a aprendizagem. Ele deve distinguir quais as informaes so importantes para a reflexo

da sua prtica e quais as informaes devem ser repassadas aos alunos. Para estes, as informaes devem fornecer elementos importantes que os auxiliem

a refletir e a autorregular seu processo de aprendizagem.

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J no segundo caso (competncias sociais), a avaliao tem como funo auxiliar e orientar os alunos quanto ao desenvolvimento das atitudes, das compe-

tncias e das habilidades que so exigidas socialmente: responsabilidade, solidariedade, valorizao do trabalho coletivo, perseverana, competncia de

tomar decises, etc.

Resumindo, a avaliao deve levar em conta as competncias pedaggicas e sociais e, em ambos os casos, refletir com clareza em que momento da apren-

dizagem se encontra o aluno: competncia adquirida, competncia em fase de aquisio ou competncia a ser reforada, favorecendo, dessa forma, ao de-

senvolvimento das aes de interveno pedaggica, para que o aluno seja atendido em suas dificuldades e a aprendizagem acontea no tempo certo.

6- CBC de Matemtica

Eixo Espao e Forma Competncia Utilizar o conhecimento geomtrico para realizar a leitura e a representao da realidade e agir sobre ela. Tema Relaes Geomtricas entre Figuras Planas

TPICOS HABILIDADES CONTEDOS ORIENTAES PEDAGGICAS

CICLOS

INTERMEDIRIO DA CONSOLIDAO

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1. Figuras espaciais

1.1. Diferenciar figuras planas (bidimensionais) e figuras no planas (tridimensionais).

Slidos geom-tricos Poliedros Corpos redon-dos Elementos de um poliedro (faces, arestas e faces)

Inicialmente, com uma abordagem ainda informal e com atividades de experi-mentao, o professor pode propor aos alunos atividades para investigar as formas geomtricas tridimensionais, as semelhanas e diferenas entre elas e as relaes entre seus elementos. Posteriormente o professor deve professor propor atividades com a manipulao de embalagens variadas, montagem e desmontagem de caixas, construo de slidos a partir de suas planificaes contando seus vrtices, faces e arestas que desenvolvem a visualizao espa-cial do aluno. Nesse caso a utilizao de canudinhos ou palitos de churrasco para a construo dos esqueletos dos slidos tambm um bom recurso para que os alunos construam essas habilidades. O fato de muitas vezes o aluno no dominar habilidades relativas identificao de elementos de um poliedro, classificao de figuras tridimensionais e ao reconhecimento de slidos geomtricos a partir de sua planificao mostra a necessidade de fazer um trabalho sistemtico com a manipulao de materiais concretos, a utilizao de softwares adequados e o desenho de figuras geom-tricas em vrias perspectivas at que o aluno consiga sistematizar todo o co-nhecimento. bom ressaltar que o trabalho com os slidos geomtricos nesse nvel de ensi-no no deve se restringir apenas montagem e desmontagem de embalagens e nomeao de vrtices, arestas e faces. Slidos formados pela composio

A A C

1.2. Identificar figuras espaciais: poliedros e no poliedros.

I A A C

1.3. Classificar poliedros e corpos redondos;

I A A C

1.4. Identificar elemen-tos de um poliedro: vr-tices, arestas e faces.

I A A C

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dos slidos usuais, slidos perfurados ou sem quinas podem tambm ser cons-trudos e explorados pelos alunos. Alm disso, o trabalho com vistas de objetos deve ser intensificado com o objetivo de desenvolver a habilidade de visualiza-o espacial. Desde os primeiros anos do Ensino Fundamental devem ser exploradas atividades que possibilitem ao aluno estabelecer relaes entre figuras espaciais e suas representaes planas, envolvendo a observao das figuras sob diferentes pontos de vista, construindo e interpretando suas representaes. (BRASIL, 1998, p.65). Segundo alguns autores, a habilidade de visualizar figuras espaciais deve ser considerada uma habilidade to importante como as habilidades numrica e algbrica.

2. Planifi-cao de figuras tridimensi-onais

2.1. Reconhecer a plani-ficao de figuras tridi-mensionais.

Planificao Slidos geom-tricos

O estudo das planificaes de blocos retangulares deve ser feito, de prefern-cia, em paralelo ou simultaneamente com o tpico figuras planas. O professor, usando sua experincia, poder intercalar uma ou mais planificaes na explo-rao dos conceitos de ponto, segmento, quadrado, retngulo, ngulo reto, e outros. Especificamente, para as planificaes, uma estratgia que costuma dar bons resultados desafiar cada aluno para, tendo em mos uma embalagem de pa-pelo de creme dental ou sabonete, por exemplo - tente desenhar, sem des-montar, a planificao correspondente. A comparao dos desenhos com a caixa desmontada dar margem a uma rica discusso dos erros e acertos nas tentativas feitas. Utilizando cpias de moldes frequentemente encontrados nos livros textos o professor pode, em sequncia, propor aos alunos que faam as montagens correspondentes. Aps essas atividades de manipulao, e usando uma das planificaes o pro-fessor pode dirigir uma discusso coletiva com perguntas tais como: Que formas tm as faces dos blocos retangulares? Que relao existe entre as faces opostas? Quantas arestas tem um bloco retangular? As arestas so todas do mesmo tamanho? Outro aspecto importante a ser explorado o da existncia de mais de uma soluo para o problema de planificar um bloco retangular, que pode ser desen-volvido em uma atividade desafiadora em que os alunos com 6 retngulos e usando fita adesiva construam blocos retangulares, organizando-os de manei-ras diversas. Atividade similar pode ser desenvolvida com 6 quadrados de cartolina com os alunos sendo desafiados a organiz-los de tal forma que, usando fita adesiva, seja possvel montar um cubo. Encerrando o estudo o professor pode aproveitar as montagens feitas com as planificaes para explorar um pouco mais as propriedades dos blocos retangu-lares e sistematiz-las num resumo.

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2.2. Construir figuras tridimensionais a partir de suas planificaes.

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A

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2.3. Ampliar o estudo dos slidos geomtricos e de suas planificaes.

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3. Figuras Planas

3.1. Identificar segmen-to, ponto mdio de um segmento, tringulo e seus elementos, polgo-nos e seus elementos, circunferncia, disco, raio, dimetro, corda, retas tangentes e se-cantes.

Ponto, reta, plano, polgo-nos, circunfe-rncia e disco.

importante desenvolver com os alunos as habilidades relativas ao processo de utilizao do conhecimento geomtrico para ler, representar a realidade e agir sobre ela, exercitando a anlise de conceitos intuitivos de ponto, reta, pla-no, curva e as definies decorrentes de segmento, ponto mdio de um seg-mento, polgonos, circunferncia e disco. Para isso sugerimos utilizar material concreto simultaneamente, com as planificaes de blocos retangulares o que permitir ao aluno fazer a transio entre os objetos tridimensionais, muito fami-liares para representaes mais abstratas das figuras planas. Como atividade ldica, uma boa proposta organizar um campeonato de torrinhas ou outros jogos. Dessa forma, as ideias intuitivas de ponto, reta, plano, segmento, curva, ngulo, polgonos se tornaro mais claras e distintas e assim as habilidades de visualizao sero aprimoradas e desenvolvidas. Utilizando como suporte as capacitaes oferecidas pela SEE/MG sugerimos desenvolver em sala as ativi-dades propostas nas oficinas geomtricas realizadas e disponveis no site do CRV como "Oficina das diferentes Vistas" e a "Oficina do Geoplano" realizadas em 2011 e 2012 respectivamente para todos os professores da rede. O uso do material concreto importante nessa fase, como, por exemplo: cartes com formas poligonais diferentes para serem agrupados segundo alguma proprieda-de (mesmo nmero de lados, lados paralelos, lados perpendiculares, etc.). A observao das marcas deixadas pelas dobraduras feitas em folhas de papel tambm auxilia na compreenso dos conceitos estudados. Por exemplo: ao se dobrar novamente uma folha de papel de tal forma que a duas partes da marca de uma primeira dobradura coincidam o aluno poder perceber que as duas marcas (retas) so perpendiculares e que os ngulos por elas formados so todos iguais. Outra atividade experimental- usando palitos, canudinhos, dobra-duras ou as peas do Tangram solicitar dos alunos a construo de figuras que satisfaam certas propriedades - que tenham dois lados paralelos ou que tenham dois lados perpendiculares, por exemplo - e colocar em discusso os resultados obtidos. Alm do Tangram, cujas peas podem ser feitas de cartoli-na, outros objetos tais como embalagens, blocos de madeira, caixas de sapato, caixas de fsforo podero ser usados como modelos para auxiliar os alunos desse nvel na compreenso dos conceitos estudados. Em particular, para os conceitos de paralelismo e perpendicularidade vale a pena estimular os alunos a os identificarem em situaes simples onde natu-ralmente surgem tais conceitos, como por exemplo: a sala de aula, os objetos escolares, mapas, etc. O conceito de ngulo deve estar associado s ideias de giro como os pontei-ros de um relgio, por exemplo - ou de mudana de direo. O uso do compasso para traar circunferncias deve ser estimulado porque alm de auxiliar no desenvolvimento da habilidade motora ele facilita a compre-enso dos conceitos de raio, centro e do fato de que a distncia de qualquer ponto sobre a circunferncia ao seu centro ser sempre igual ao seu raio. Para as alturas de um tringulo recomenda-se que o professor d ateno aos

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3.2. Reconhecer as principais propriedades dos tringulos issceles e equilteros, e dos principais quadrilteros: quadrado, retngulo, paralelogramo, trapzio, losango.

Tringulos e quadrilteros

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3.3. Reconhecer as propriedades do ponto de encontro das media-nas (baricentro), alturas (ortocentro) e das bisse-trizes (Incentro) de um tringulo.

Cevianas de um tringulo

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3.4. Identificar simetrias de figuras em relao a uma reta ou em relao a um ponto.

Simetrias I A A C

3.5. Identificar ngulo como mudana de dire-o.

ngulos I A C

3.6. Identificar retas concorrentes, perpendi-culares e paralelas.

Posies relati-vas entre duas retas

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3.7. Reconhecer e des-crever objetos do mun-do fsico utilizando ter-

Figuras geom-tricas

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mos geomtricos. casos especiais dos tringulos retngulos e obtusngulos. Pode ser proveitoso como um exerccio de abstrao, estimular os alunos na identificao dos conceitos estudados em situaes reais tais como: quais figu-ras geomtricas planas esto associadas a uma criana empinando um papa-gaio e quais so os elementos dessas figuras? Quais figuras geomtricas pla-nas aparecem nas marcas de um campo de futebol? Outro exerccio similar pedir aos alunos que deem exemplos de situaes reais que possam ser identi-ficadas com as figuras estudadas. Para o estudo com os tringulos issceles e equilteros, uma estratgia focar inicialmente os tringulos issceles e com o auxlio de experimentos tais como dobraduras, recortes ou softwares de geometria dinmica orientar os alunos para a descoberta das propriedades. Por exemplo: ao se dobrar um tringulo issceles ABC com AB = AC de tal forma que o vrtice B coincida com o vrtice C e analisar os resultados dessa dobradura possvel levar os alunos a obte-rem, informalmente, algumas das propriedades desejadas: os ngulos na base tm a mesma medida, a dobra (vinco) a altura e tambm a bissetriz do ngulo oposto base e a mediana relativa base, etc. Vale a pena trabalhar alguns contraexemplos para convencer os alunos que se o tringulo no for issceles aquelas propriedades no se verificam. Explorando o fato de que o tringulo equiltero um tringulo issceles particular pode-se obter suas propriedades como aplicao reiterada das propriedades dos trin-gulos issceles. Para ampliar o contedo desse tpico sugerimos as seguintes leituras: 1) O ensino de geometria na escola fundamental: trs questes para a formao do professor dos ciclos iniciais. Maria das Graas Gomes Barbosa et al. Belo Horizonte: Autntica, 2001. O livro faz uma reflexo sobre a prtica do ensino de geometria fundamentando-se em trs questes: O que se ensina de geome-tria?, Por que se ensina geometria? e Como se ensina geometria. 2) O conceito de ngulo e o ensino de geometria. Maria Ignez Diniz e Ktia Smole. So Paulo: CAEM IME-USP, 1993. O livro faz uma reflexo sobre o ensino de ngulo, salientando sua importncia para a compreenso da maioria das propriedades das figuras e das relaes geomtricas. 3) Fundamentos da matemtica elementar. Osvaldo Dolce et al. Volume 9. So Paulo: Atual, 2006. O livro faz um estudo mais aprofundado sobre os contedos de geometria do ensino fundamental e mdio. 4) Tpicos de histria da Matemtica para uso em sala de aula: Geometria. Eves Howard. So Paulo: Atual, 1993. O livro traz uma viso da geometria, abordando aspectos do conhecimento histrico e da evoluo das ideias mate-mticas. 5) Ornamentos e criatividade: uma alternativa para ensinar geometria plana. Maria Salett Biembengut, et al. So Paulo: PURB, 1996. O livro apresenta um estudo sobre geometria, relacionando-a com as formas existentes na natureza ou nas artes, o que permite uma aprendizagem atrelada a significados. .

3.8. Reconhecer a altura de um tringulo relativa a um de seus lados.

Tringulos e seus elementos

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4. ngulos formados entre para-lelas e transver-sais

4.1 Utilizar termos ngu-lo, retas paralelas, transversais e perpendi-culares para descrever situaes do mundo fsico ou objetos.

Representaes geomtricas

O trabalho com a nomenclatura dos conceitos geomtricos possibilitar ao alu-no ampliar suas competncias de representao dos objetos que visualiza no espao onde vive. Isso fundamental para o uso da geometria em outras reas como a leitura de mapas e croquis, a compreenso e representao de dados cartogrficos presentes na Geografia. Para isso sugerimos que sejam realiza-das atividades que explorem o vocabulrio e a linguagem. Traduzir em verbetes geomtricos o que ele observa ao vislumbrar uma escultura ou obra de arte, utilizando da linguagem geomtrica para sustentar o seu texto. Nesse momento, queremos ressaltar que desenvolver as habilidades de "ler e escrever" um compromisso de todas as reas e, em Matemtica, significa minimizar a distn-cia entre a matemtica ensinada na escola e a praticada na realidade do aluno. Para que a leitura e a escrita aconteam nas aulas de Matemtica, sugerimos rever a prtica pedaggica atual, repensar as atividades propostas, a forma de apresentao dos contedos e a organizao dos trabalhos escolares, de ma-neira que envolvam as diferentes expresses da linguagem matemtica na construo dos conceitos, noes e do prprio pensamento. Contudo isso s ser possvel com a utilizao correta da nossa lngua falada e escrita, e aps esclarecer comunidade escolar a importncia e utilidade que a matemtica tem na compreenso de muitos dos processos vividos pelos indivduos. Uma estratgia interessante possibilitar aos alunos a identificao dos conceitos bsicos da geometria explorando fotos, gravuras e mapas e realizando na esco-la, por exemplo, um projeto "Fotografando a geometria ao redor da escola". As relaes entre ngulos formados por retas paralelas e transversais podem ser verificadas, de incio, experimentalmente atravs da utilizao de trs palitos articulados que podem ser movimentados para a verificao experimental das condies de paralelismo. As relaes de igualdade entre os ngulos alternos internos, alternos externos do mesmo modo devem ser verificadas, de incio, tambm experimentalmente atravs de recortes e superposio. No estgio seguinte, em conexo com o estudo de medidas de um ngulo, o professor pode pedir aos alunos que confirmem os experimentos com a realizao de medidas usando o transferidor. Surge aqui a oportunidade de se discutir com a turma as razes das provveis diferenas das medidas causadas pela impreci-so dos instrumentos de medir ou pelo descuido no seu uso. Para ampliar o contedo desse tpico sugerimos as seguintes leituras: 1) Descobrindo padres em mosaicos. Ruy Madsen Barbosa. So Paulo: Atual, 1993. O livro permite ampliar conhecimentos sobre pavimentao no plano. 2) Uma histria da simetria na Matemtica. Ian Stewart. Rio de janeiro: Zahar, 2012. O livro apresenta de maneira atraente e de fcil compreenso a constru-o da teoria de simetria.

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4.2 Reconhecer as rela-es entre os ngulos formados por retas pa-ralelas com uma trans-versal.

ngulos entre retas paralelas cortadas por uma transversal

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4.3 Utilizar as relaes entre ngulos formados por retas paralelas com transversais para obter a soma dos ngulos internos e externos de um polgono.

ngulos inter-nos de um pol-gono

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5. Con-gruncia de tringu-los

5.1 Reconhecer trin-gulos congruentes a partir dos critrios de congruncia.

Congrun-cia de Tri-ngulos

Esse estudo deve ter como objetivo desenvolver, intuitiva e informalmente os concei-tos de reflexo, translao e rotao de figuras planas lanando mo de diferentes recursos como papel transparente, recortes ou, se possvel, um software de geometria dinmica como Cabri-Gomtre ou GeoGebra ou ainda Tabula de forma a permitir que o aluno identifique num conjunto de figuras, com nfase nos tringulos, aquelas que coincidem por superposio. Sugerimos tambm a realizao de oficinas didticas que explorem a congruncia de figuras . Aps as atividades de superposio, o aluno j deve ser capaz de intuir que dois tri-ngulos so congruentes se eles possuem todos os lados e todos os ngulos corres-pondentes congruentes. Esse o momento para desafiar os alunos para o fato de que no necessrio conhecer a congruncia dos trs lados e dos trs ngulos para con-cluir que os tringulos so congruentes. Uma atividade que pode ser feita com os alunos : Propor que construam tringulos usando rgua, compasso e transferidor ou um sof-tware quando possvel - conhecidas as medidas de: a) seus trs lados, b) dois lados e do ngulo compreendido entre eles e c) dois ngulos e o lado compreendido entre eles. Depois da construo eles podero verificar a congruncia dos diferentes trin-gulos construdos. Essa atividade, interessante por si mesma, tambm til para relembrar ou introduzir a construo geomtrica de tringulos usando rgua e com-passo. Assim, com orientao do professor, os alunos podem concluir que basta co-nhecer a igualdade das medidas de trs dos seis elementos de dois tringulos para se decidir ou no pela congruncia deles. Para convenc-los de que esses trs elemen-tos no podem ser quaisquer, pode-se apelar para os contraexemplos: ngulo, ngulo, ngulo e ngulo, lado e lado oposto. Para ampliar o contedo desse tpico sugerimos as seguintes leituras: 1) Iniciao lgica matemtica. Edgard de Alencar Filho. So Paulo: Nobel, 2002. O livro apresenta um estudo mais detalhado sobre as demonstraes em matemtica e os procedimentos lgicos que as envolvem. 2) A Prtica Educativa: Como Ensinar: Antoni Zabala. 3) CQD: explicaes e demonstraes sobre conceitos, teoremas e frmulas essenci-ais da Geometria. So Paulo: Livraria da Fsica, 2010. O livro apresenta demonstra-es e explicaes sobre alguns conceitos, teoremas e frmulas usadas em geome-tria. Destinado aqueles que desejam entender a lgica que h por trs das demons-traes. Amplie tambm as pesquisas atravs dos sites: 1) www.matematica.br Pgina para quem deseja aprender mais sobre matemtica de forma divertida e vendo a sua utilidade no cotidiano. 2) www.matematica.com.br A pgina faz clculo online de rea e volumes de figu-ras geomtricas e traz simulado com exerccios de vestibulares. 40 www.math.com o site disponibiliza softwares gratuitos para download. Alm disso, conta com programas para elaborar grficos a partir de equaes e grficos animados.

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5.2 Resolver proble-mas que envolvam critrios de congrun-cia de tringulos.

Casos de Congrun-cia de tri-ngulos

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5.3 Utilizar congrun-cia de tringulos para descrever proprieda-des de quadrilteros: quadrados, retngulos, losangos e paralelo-gramos.

Proprieda-des dos quadrilte-ros

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6. Constru-es Geo-mtricas

6. 1 Reconhecer o ponto mdio de um segmento, a media-triz de um segmen-to, a bissetriz de um ngulo com figuras obtidas a partir de simetrias.

Mediatriz de um segmento e bissetriz de um ngulo

importante permitir que o aluno perceba que a linguagem grfica universal, pois independe dos idiomas e proporciona compreenso imediata e interpretao exata dos smbolos usados. Por exemplo, um tcnico brasileiro pode construir fielmente algo projetado por um tcnico chins com base apenas em seus desenhos. Da mesma forma, uma pessoa pode ir a qualquer lugar, orientando-se somente por mapas e si-nais visuais. Adquirir o conhecimento que permita compreender a linguagem grfica e comunicar-se com ela , hoje, essencial. Esse tpico, mesmo no obrigatrio pode proporcionar essa competncia e promover o entendimento de outros conhecimentos, em todos os campos da atividade humana. Sugerimos explorar a histria da evoluo do homem, por exemplo, constatando com os alunos que qualquer que seja a nossa definio de Homo sapiens, ele deve ter tido algumas ideias geomtricas. Explore outros campos do conhecimento, por exemplo, as cincias da natureza, e mostre aos alunos que formas geomtricas aparecem tanto na natureza inanimada, como na vida orgnica. Um dos exemplos mais antigos de uma construo geomtrica intencional talvez seja a construo de uma cela de colmeia, mas o gemetra mais capaz no seio dos animais, segundo alguns biomatemticos com certeza a aranha. Como atividade inicial, objetivando a familiarizao dos alunos com o uso do compas-so o professor pode sugerir que eles tracem algumas circunferncias com centros e raios diferentes. Em sequncia, o professor pode introduzir o tpico pedindo a um aluno de um grupo que desenhe no seu caderno um segmento AB e a seguir que seus pares desenhem um segmento de comprimento igual ao do colega. A mesma atividade pode se repetir com um ngulo. A seguir o professor pode desafi-los a repetir o exerccio usando somente o compasso e a rgua sem o auxlio de medidas diretas. Usando sua experi-ncia o professor pode, ento, a partir da, escolher como orientar os alunos no uso do compasso e da rgua na soluo desses dois problemas bsicos e preparatrios para a construo dos tringulos e de outras futuras construes. Considerando o tempo disponvel, o nvel de conhecimento da turma e as condies existentes na escola, o professor poder avanar um pouco mais em outras construes, como por exemplo, bissetriz de um ngulo, perpendicular a uma reta por um ponto nela e fora dela, qua-drados, retngulos e hexgonos, sempre que possvel com o auxlio de um software de geometria dinmica. Os desenhistas costumam ter procedimentos prticos para o traado de perpendiculares e paralelas usando somente rgua e esquadros. Trabalhe com os alunos construes com esses materiais. Para ampliar o contedo desse tpico sugerimos as seguintes leituras: 1) Aprendendo matemtica com o Cabri Geomter II. Jorge Cssio Costa Nbrega. ABC-BSB, 2003. O livro apresenta uma alternativa pedaggica promovendo o uso da tecnologia no caso o computador e um software especfico para a aprendizagem de diversos conceitos geomtricos. 2) Construes geomtricas: exerccios e solues. Srgio Lima Netto. Rio de Janeiro: SBM, 2010. O livro apresenta solues de problemas envolvendo construes geom-tricas sendo que as ilustraes contribuem para a compreenso dos conceitos e ideias envolvidas.

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6.2 Construir per-pendiculares, para-lelas e mediatriz de um segmento usando rgua e compasso.

Retas perpen-diculares Re-tas paralelas Mediatriz de um segmento

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6.3 Construir um tringulo a partir de seus lados, com rgua e compasso.

Tringulos I A C

6.4 Construir com rgua e compasso: a bissetriz de um ngulo, transporte de ngulos e de segmentos.

Bissetriz de um ngulo ngulos Segmentos de retas.

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6.5 Construir trin-gulos issceles e equilteros, quadri-lteros e hexgo-nos regulares.

Tringulos Quadrilteros Polgonos

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7. Teorema de Tales e semelhan-a de tri-ngulos

7.1 Resolver proble-mas que envolvam o teorema de Tales.

Teorema de Tales

Desenvolver essas habilidades permitir ao aluno compreender e reconhecer as tcni-cas de ampliao e reduo de figuras planas como uma das aplicaes do Teorema de Tales. Sugerimos a elaborao, a partir do livro didtico de sequncias didticas que possam ampliar o campo conceitual. Comece com perguntas do tipo: 1) Para voc, o que so figuras semelhantes? 2) Desenhe duas figuras semelhantes. 3) Construa um polgono maior, mas semelhante ao polgono dado. Explique como

voc fez. E assim proponha atividades que construam a ideia de alterar medidas preservando a forma. Uma forma curiosa e interessante contar a histria do pantgrafo. Artistas e arquitetos tm utilizado pantgrafos por mais de quatro sculos para ampliar desenhos. Enquanto fotocopiadoras e computadores tm substitudo a funo profis-sional dos pantgrafos, pessoas ainda utilizam esses aparelhos como hobby para ampliar suas figuras favoritas em telas, papel ou outro meio para pinturas, trabalhos em lpis e at em acolchoamentos. Os pantgrafos atuais ampliam as figuras desde 125% at 10 vezes seus tamanhos originais. Construa um pantgrafo com os alunos. Em seguida, apresente aos alunos alguns exerccios exploratrios em que os alunos comparem medidas inteiras de segmentos compreendidos entre paralelas e procurem descobrir a relao existente entre elas. Aps essas atividades, o professor pode ori-ent-los na formulao, ainda que imprecisa, do Teorema de Tales. Depois disso, o enunciando formal do teorema pode e deve ser apresentado. O cuidado com as medidas inteiras, conveniente numa primeira abordagem, pode ser abandonado depois do esclarecimento de que possvel, usando-se exclusivamente argumentos geomtricos, demonstrar que as concluses obtidas com as medidas inteiras so absolutamente gerais, isto , valem para medidas no inteiras. O profes-sor pode avaliar a convenincia de, em algumas de suas turmas, de demonstrar o Teorema de Tales em um caso particular usando congruncia e propriedades dos paralelogramos. O estudo de semelhana deve ser precedido de atividades que levem os alunos a perceberem a distino entre o significado matemtico do termo semelhante do seu significado ser parecido com no senso comum. Uma delas estimular uma discus-so tendo como referncia modelos de tringulos semelhantes ou no recortados em cartolina. Dois tringulos issceles ou retngulos, por exemplo, so parecidos, mas podem no ser semelhantes. Em sequncia, uma das alternativas para a continuao do estudo apresentar, ento a definio formal de semelhana de tringulos. Ao perceber que seus alunos assimi-laram o conceito o professor pode desafi-los a encontrar um critrio mais econmi-co de identificao que dispense a verificao das seis condies impostas pela defi-nio. Com sua experincia o professor encontrar, durante essa discusso, o mo-mento oportuno e a melhor estratgia de introduzir os critrios de semelhana de tri-ngulo e de associ-los ao Teorema de Tales. Supondo que os alunos tenham uma razovel familiaridade com os conceitos e as tcnicas de ampliao e reduo derivadas do estudo do Teorema de Tales, outra

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7.2 Reconhecer trin-gulos semelhantes a partir dos critrios de semelhana.

Casos de semelhan-a de trin-gulos

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7.3 Resolver proble-mas que envolvam semelhana de trin-gulos.

Aplicaes da seme-lhana de tringulos

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alternativa para se introduzir o estudo de semelhana de tringulos defini-la como: Um tringulo M semelhante a um tringulo T, se M uma ampliao ou uma redu-o do tringulo T explorando-a com exemplos e contraexemplos. No se pode deixar de enfatizar que se dois tringulos so semelhantes ento existe entre eles uma rela-o de proporcionalidade que traduzida em termos numricos pela razo de seme-lhana. A associao da razo de semelhana com o fator de ampliao ou reduo do tringulo pode auxiliar, em muito, a compreenso desse fato importante muitas vezes negligenciado. Para ampliar o contedo desse tpico sugerimos as seguintes leituras: 1) Semelhana no mera coincidncia. Nilson Jos Machado - Coleo "Vivendo a Matemtica" So Paulo: Scipione, 2000. O livro faz uma reflexo enriquecedora para o estudo desse tpico. 2) Matemtica, histria, aplicaes e jogos matemticos. Fausto Arnaud Sampaio. Campinas: Papirus, 2005. O livro apresenta diversas relaes entre a matemtica e suas aplicaes nas mais variadas reas, permitindo vincular o conhecimento mate-mtico com situaes prticas. 3) Sada pelo tringulo. Ernesto Rosa Neto. So Paulo: tica, 2001. Atravs de uma histria divertida, o autor explora o tpico semelhana de tringulos. 4) Histria da Matemtica. Carl Benjamin Boyer. So Paulo: Edgard Blucher, 1996. O livro apresenta aspectos da histria da Matemtica das origens at meados do sculo XX. Em particular, nesse livro possvel encontrar mais informaes sobre Tales de Mileto e a contribuio de seu trabalho no desenvolvimento da Matemtica. 5) Quebra cabeas geomtricos e formas planas. Ana Maria Kaleff et al. Niteri: UFF, 1997. O livro tem como objetivo mostrar ao professor como estabelecer situaes, utilizando quebra cabeas, planos construdos com materiais de baixo custo. Atravs de atividades, levar o aluno a identificar, reconhecer e comparar formas e distncias, visualizar figuras e analisar suas caractersticas. 6) site http://www.ehow.com.br/proprio-pantogrfo-como_11755/. Nesse site possvel a visualizao da construo de um pantgrafo.

8. Teorema de Pitgo-ras

8.1 Utilizar semelhan-a de tringulos para descrever as relaes mtricas no triangulo retngulo.

Relaes mtricas no tringulo retngulo

As habilidades construdas nesse tpico permitiro ao aluno utilizar os conceitos perti-nentes ao Teorema de Pitgoras, e a partir deles resolver situaes-problema no m-bito escolar e fora dele. Para o bom desenvolvimento dessas habilidades, sugerimos que o professor explore, com os alunos, situaes concretas, destacando a relao entre as reas dos quadrados construdos sobre os lados do tringulo retngulo. Na ausncia de um programa de geometria dinmica, isso poder ser realizado, por exemplo, com o auxlio de recortes de quadrados em papel quadriculado convenien-temente preparados lados medindo 3, 4 e 5 unidades, ou 5, 12 e 13 ou 6, 8 e 10 para os tringulos retngulos. Citamos algumas atividades que permitiro a constru-o da lgica que servir de referncia para a demonstrao do teorema de Pitgoras. 1) Atividade de pesquisa sobre Pitgoras e sua viso de mundo. 2) Utilizao de narrativas ficcionais trechos do livro O teorema do papagaio de Denis Quedj.

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8.2 Utilizar semelhan-a de tringulos para obter o teorema de Pitgoras.

Teorema de Pitgo-ras

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8.3 Resolver proble-mas que envolvam as

Aplicaes das rela-

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relaes mtricas no tringulo retngulo.

es mtri-cas no tringulo retngulo

3) Situaes-problema prximas s enfrentadas pelos pitagricos. Esse resgate com-bina a histria da Matemtica e a resoluo de problemas em uma s abordagem de ensino e pode ser uma tima oportunidade interdisciplinar com a Histria. 4) Atividade sobre os nmeros pitagricos. Levar o aluno a encontrar outros ternos de nmeros inteiros que sejam lados de um tringulo retngulo. 5) Resoluo de exerccios do prprio livro didtico que visem aplicar o teorema de Pitgoras em diferentes contextos. 6)Atividade utilizando a oficina pedaggica sobre "Jogos Matemticos", oferecida aos professores pela SEE/MG em 2013, na qual foi apresentada o jogo "Corrida Pitagri-ca" que desenvolve as aplicaes imediatas do teorema. To logo o professor julgue que seus alunos assimilaram o significado geomtrico do teorema qual seja a rea do quadrado construdo sobre a hipotenusa de um tringulo retngulo igual a soma das reas dos quadrados construdos sobre os catetos e a sua correspondente traduo algbrica , ento, o momento de propor alguns proble-mas de aplicao direta do resultado. bastante provvel que as verificaes experi-mentais convenam a maioria dos alunos da validade do teorema. Sua demonstrao, no entanto, outra oportunidade para que eles, mesmo que no sejam capazes de repeti-la com todos os detalhes, tenham outro contato com o mtodo dedutivo e de como esse mtodo valida e generaliza resultados experimentais particulares. , tam-bm, mais um exemplo de como conhecimentos j adquiridos no caso a semelhana de tringulos d suporte a novos saberes. Dependendo do tempo disponvel e do interesse dos alunos o professor pode apresentar mais uma demonstrao, dentre as muitas existentes, do mesmo teorema. Para ampliar o contedo desse tpico sugerimos as seguintes leituras: 1) Almanaque das curiosidades matemticas. Ian Stewart. Rio de Janeiro: Jorge Zahar, 2009. O livro aborda a histria de Pitgoras e seu teorema. 2) Descobrindo padres pitagricos. Ruy Madsen Barbosa. So Paulo: Atual, 1993. O livro permite ampliar conhecimentos sobre o teorema de Pitgoras e suas demonstra-es.

8.4 Resolver proble-mas aplicando teore-ma de Pitgoras.

Aplicaes do teorema de Pitgo-ras

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8.5 Resolver proble-mas que envolvam as razes trigonomtricas seno, cosseno e tan-gente.

Razes trigonom-tricas no tringulo retngulo

8.6 Identificar ngulos centrais e inscritos em uma circunferncia.

ngulos na circunfe-rncia

8.7 Relacionar medi-das de ngulos cen-trais, inscritos e arcos em uma circunfern-cia.

Relaes entre as medidas dos ngu-los na cir-cunferncia

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Eixo Grandezas e Medidas Competncia Construir noes de grandezas e medidas para a compreenso da realidade e a soluo de problemas do cotidiano. Tema Unidades de medidas


CICLOS


6 7 8 9

1. Medidas de com-primento

1.1 Utilizar noes de medidas de com-primento convencio-nais e no convenci-onais.

Medidas linea-res

Oportunizar uma vivncia histrica, contar aos alunos que desde tempos antigos h a necessidade de um consenso no que se refere padronizao dos sistemas de medidas. Diante da diversidade de medidas e medidores, a sociedade viu-se atin-gida por mtodos arbitrrios causadores de prejuzos e injustias nos mais diversos aspectos, um exemplo, a ferramenta medidora, em que era utilizada partes do corpo como: mo (palmo), dedo (polegada), brao (braa e cvado), etc. Como havia varincia de tamanho dos elementos citados anteriormente, no se conse-guiam medidas precisas, resultando em inmeras controvrsias matemticas"". Nesse momento, convide o professor de Histria e juntos explorem a revoluo francesa e o fato de que em 1789 foi feito um pedido pelo Rei da Frana aos mem-bros da Academia de Cincias daquela nao para que formulassem um sistema de medidas unificado. Assim, entrou em vigor naquele pas o sistema de medidas de base decimal com trs unidades titulares: o metro, para medir o comprimento, o litro, para medir a capacidade e o quilograma, para medir a massa. No ano de 1960 o sistema francs foi adotado mundialmente como Sistema Internacional de Medi-das (SI). O novo sistema passou a ser utilizado por quase todos os pases do mun-do, com exceo de alguns, por sua praticidade e pela linguagem universal. No Brasil, o SI tornou-se obrigatrio no ano de 1962. Alm do aspecto histrico, a utili-zao de material concreto e de situaes de pesquisa, convide os alunos a pensar em diferentes situaes e nas unidades de medida mais adequadas para cada uma. Pergunte por exemplo : Que unidade de medida voc usaria para: a) medir o comprimento do seu dedo polegar?; b) descobrir se um mvel que comprou cabe no canto da sua sala?; c) saber quanto de iogurte h na bandeja com 4 copinhos?; d) medir o piso de sua cozinha?; e) verificar o consumo de energia eltrica de sua casa?; f) descobrir o gasto de gua de sua casa?; g) verificar se sua temperatura est normal ou se est com febre?; h) saber quanto de suco cabe na jarra?; i) me-dir o rodap de sua sala? Convide os alunos a pensar em outras situaes nas quais se usam medidas e conversar com seus colegas sobre o processo de medio, os instrumentos de medir e o tipo de medida adequado. Para iniciar o trabalho com as medidas de comprimento, conveniente ter como foco o conceito de medir = comparar. Nesse incio, o professor pode utilizar unida-des no padronizadas de medida, tais como palitos, canudinhos, palmos, passos e propor atividades que levem os alunos a perceber que:

C

1.2 Relacionar o metro com seus ml-tiplos e submltiplos.

Sistema mtrico decimal

C

1.3 Realizar conver-ses entre unidades de medidas de com-primento.


I A A C

1.4 Resolver situa-es-problema sele-cionando os instru-mentos e unidades de medida adequa-dos preciso que se requer

Utilizao de instrumentos de medicas de acordo com as unidades de medida

A A A A

1.5 Fazer estimativas de medidas lineares.

Estimativas A A A A

1.6 Resolver proble-mas que envolvam o permetro de figuras planas.

Permetro A A A C

28

O nmero que indica a medida de um dado comprimento varia conforme a unida-de de medida escolhida para a comparao. Ao escolher uma unidade de medida, essa unidade pode no caber exatamente um nmero inteiro de vezes no comprimento a ser medido. Para se obter uma me-dida mais precisa, surge ento a necessidade de dividir a unidade escolhida em partes iguais, de modo que uma dessas partes caiba um nmero exato de vezes no pedao que ficou faltando ou sobrando na medida anterior. Nesse caso, o nmero que expressar a medida no ser um nmero natural, podendo ser racional ou irracional. Nessas atividades importante que se discutam as ideias bsicas do processo de medir, a escolha da unidade conveniente e as transformaes de unidades sem uso de regras. Para o trabalho com o metro, seus mltiplos e submltiplos, recomenda-se o se-guinte: Ressaltar a relao decimal entre eles; No enfatizar o trabalho com os mltiplos e submltiplos do metro, pouco utiliza-dos na vida prtica como o caso do dam e do hm; Utilizar instrumentos de medida diversos, tais como: rgua, fita mtrica, trena, etc., para que os alunos sejam levados a trabalhar a relao entre o metro, o cen-tmetro e o milmetro atravs da observao desses instrumentos. Para o trabalho com as redues de unidade, dependendo da turma, recomenda-se usar o Quadro Valor do Lugar, tal como foi feito com os nmeros decimais. O objetivo enfatizar que as transformaes de unidades so feitas multiplicando-se ou dividindo- se por potncias de 10 convenientes. Sugere-se tambm no estudo das medidas de comprimento, caso a escola possua computadores, um software de geometria dinmica como o Cabri ou Tabulae, por exemplo. Atravs do recurso medir, os alunos podem desenhar figuras diversas e comprovar propriedades j estabelecidas, como por exemplo: em um tringulo a medida de um lado sempre menor que a soma das medidas dos outros dois. O tema permetro deve ser introduzido sempre com situaes contextualizadas. Em seguida, o professor pode pedir que os alunos calculem o permetro de figuras geomtricas conhecidas tais como o tringulo, o quadrado e o retngulo. Inicial-mente, os alunos podem apresentar suas respostas somando as medidas de todos os lados, mas depois de alguns exerccios os alunos muito provavelmente percebe-ro que possvel descobrir algumas frmulas que agilizam esses clculos. O professor dever intervir e orientar a organizao e sistematizao dessas frmu-las. O ponto mais delicado desse estudo a deduo da frmula do comprimento do circulo. Uma estratgia que costuma trazer bons resultados antecip-la de algu-mas atividades experimentais tais como: medir, com barbante, por exemplo, objetos de contornos circulares pratos, cd e discos de papelo de raios diferentes e anotar numa tabela os resultados - que sero aproximados - das medidas do comprimento, do dimetro e do raio desses

29

objetos. As medidas podem ser em centmetros e conveniente que os resultados sejam devidamente ordenados. feita a tabela o professor sugerir aos alunos que calculem a razo entre o com-primento e o dimetro do mesmo objeto e comparem os resultados. de se esperar que os alunos percebam que essas razes ficam todas elas prxi-mas do nmero 3. O professor deve destacar essa regularidade e informar aos alunos que essa razo sempre igual ao nmero, cujo valor at casas decimais 3,14. Ser oportuna uma referncia histrica de que tal fato j era conhecido na antigui-

dade e porque esse nmero ficou conhecido pela letra grega .

Deduzida a frmula do comprimento da circunferncia, ou seja, C = 2r, o profes-sor pode ento trabalhar com problemas prticos de aplicao dessa frmula. Para ampliar o contedo desse tpico sugerimos as seguintes leituras:

1) O que o nmero ? Artigo do livro Meu professor de Matemtica e outras his-trias. Elon Lages Lima. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemtica. 2) Geometria Euclidiana Plana. Joo Lucas Marques Barbosa. Rio de Janeiro: So-ciedade Brasileira de Matemtica. O livro apresenta os conceitos, definies e as demonstraes dos principais contedos de geometria plana.

2. Medidas de rea

2.1 Utilizar noes de medidas de rea convencionais e no convencionais.

Medidas bidi-mensionais

Nesse tpico, importante novamente discutir, junto aos alunos, os conceitos bsi-cos do processo de medir, contextualizar historicamente a escolha do metro como unidade padro para as medidas de comprimentos, pois desta forma os alunos percebero que a matemtica faz parte do cotidiano e se conscientizaro da impor-tncia de se estabelecer uma unidade padro universal. Sugerimos realizar uma sequncia didtica que quebre o senso comum aos alunos que apresentem dificul-dades com a transformao de unidades de medidas quando se refere rea. A ideia desenvolver atividades simples com a palavra-chave do sistema mtrico decimal, utilizando pequenas fichas e trabalhando o contedo rea de forma que o aluno possa visualizar e compreender que 1m no 100 cm, erro comumente encontrado. Um exemplo utilizar 10 fichas quadriculadas de 1 em 1 centmetro. necessrio que cada aluno tenha uma rgua e que a turma tenha uma trena de pelo menos 1m de comprimento. Recomenda-se usar cartolinas de diferentes cores para que o aluno possa visualizar a representao geomtrica do decmetro. Deve-se fazer, de papel Kraft resistente, um quadrado de lado 1m onde as 10 fichas sero encaixadas e a partir da apresentar indagaes, como por exemplo: Qual a medida do lado de cada quadradinho da ficha em centmetros? Qual a rea de cada quadradinho em centmetros quadrados? Qual a medida do lado de cada ficha em centmetros? Qual a rea de cada ficha em centmetros? Qual a medida do lado da ficha em decmetros? Qual a rea de cada ficha em decmetros quadra-dos? Aps encaixar as 10 fichas cobrindo o quadrado de papel Kraft, apresentar as seguintes perguntas: Qual a medida do lado do quadrado em centmetros? Qual a medida da rea do quadrado em centmetros quadrados? Qual a medida do lado do quadrado em

A C

2.2 Relacionar o metro quadrado com seus mltiplos e submltiplos.


I C

2.3 Realizar conver-ses entre unidades de medidas de rea.


I A A C

2.4 Resolver situa-es-problema sele-cionando os instru-mentos e unidades de medida adequa-dos preciso que se requer.

Instrumentos e unidades de medida

A A A A

2.5 Fazer estimativas de reas.

Estimativas A A A A

30

2.6 Resolver proble-mas que envolvam a rea de figuras pla-nas: tringulo, qua-drado, retngulo, paralelogramo, tra-pzio, discos ou figuras compostas por algumas dessas.

reas

decmetros? Qual a medida da rea do quadrado em metros quadrados? Qual a medida do lado do quadrado em metros? correto afirmar que 1m = 100 cm? Em seguida, o objetivo a obteno de frmulas para o clculo de reas das prin-cipais figuras planas: retngulo, quadrado, paralelogramo, tringulo, trapzio, disco e de figuras compostas por algumas delas, que podem ser deduzidas atravs da rea do retngulo e da composio e da decomposio de reas j estabelecidas. A deduo da frmula da rea do crculo a mais delicada. Para alunos do funda-mental um caminho o professor decomp-lo em, por exemplo, 20 setores iguais e disp-los lado a lado formando um quase paralelogramo. Para a deduo dessas frmulas fundamental utilizar papel quadriculado e figuras recortadas em cartoli-na. importante que o professor esteja atento para o fato de que muitos alunos fazem confuso entre permetro e rea e suas respectivas unidades de medida. Para ampliar o contedo desse tpico sugerimos as seguintes leituras: 1)Fundamentos da Matemtica Elementar. Volume 9. Osvaldo Doce e Jos Nicolau Pompeo. So Paulo: Atual, 2006. O livro oferece a possibilidade de aprofundamen-to no estudo das reas de figuras planas. 2) Temas e problemas elementares. Elon Lages Lima e outros. Rio de Janeiro: SBM, 2005. O livro contm um captulo especfico sobre o tema reas.

A A A A

2.7 Resolver proble-mas que envolvam a rea lateral ou total de figuras tridimensi-onais.

reas laterais e totais de figuras tridimensionais

A A A A

3. Medidas de massa

3.1 Utilizar noes de medidas de mas-sa convencionais e no convencionais.

Definio de massa

Discutir os conceitos bsicos do processo de pesar e debater o fato de que existe um grupo de medidas que medem a massa de corpos e objetos. So as medidas de massa que tem como unidade fundamental o grama, mas, socialmente mais usado o quilograma o que se mede nos corpos a massa que eles possuem e no o seu peso. As pessoas costumam falar peso no lugar de massa; mas, na verdade so grandezas diferentes. O peso a fora da gravidade que age sobre a massa. a fora de atrao da terra sobre os corpos. Perguntar aos alunos, se j viram fotos do homem flutuando quando pisou no solo lunar. Uma sugesto discutir esse tema e lev-los a explicar que, nesse caso, peso nulo, pois na lua a fora de gra-vidade no atua. Deixar claro que no uso dirio, costumamos falar peso para signi-ficar massa. Oportunizar a leitura em sala de aula, pois ler tambm tarefa mate-mtica e apresentar tarefas para que os alunos completem, por exemplo, um texto, usando as palavras grama e quilograma. Por exemplo: a) Luiz pesa 62 ____________ e 345 ______________. b) Carolina comprou 750 ______________ de presunto. c) A lata contm 325 ______________ de molho. d) O frango pesou 2 ______________. e) Encontrei no supermercado, pacotes de caf com 1 __________, 500 ___________ e 250 ___________. Ao completar, o aluno percebe que usa a unidade quilograma quando h mais massa.

A C

3.2 Relacionar o grama com seus mltiplos e submlti-plos.


A C

3.3 Realizar conver-ses entre unidades de medidas de mas-sa.


A A A C



A A A A

3.5 Fazer estimativas Estimativas A A A A

31

de massa.

3.6 Resolver proble-mas que envolvam clculo de massa.

Medidas de massa

A A A A

4. Medidas de volume e capaci-dade

4.1 Utilizar noes de medidas de volu-me convencionais e no convencionais.

Medidas de volume

Do mesmo modo como foi feito com as medidas de comprimento e de superfcie, recomenda-se trabalhar inicialmente com unidades de capacidade e de volume no padronizadas para s depois introduzir o litro e o metro cbico como unidades pa-dro. Para esse estudo, uma sugesto utilizar o vdeo: http://www.youtube.com/watch?v=12db8Q-NGvM e solicitar aos alunos que te-nham em mos recipientes de diferentes formas e tamanhos (xcaras, copinhos de plstico, pequenos frascos e embalagens plsticas vazias e certa quantidade de gua, gros ou de areia) para vivenciarem diversas experimentaes e responde-ram pergunta : Qual o espao ocupado por cada um desses objetos? Sugeri-mos ampliar o campo conceitual explorando outros recursos, como o livro Terra roxa e outras terras Revista de Estudos Literrios em que a poetisa Hilda Hilst usa a geometria para dar formas ao pensar e descrever o desconhecido, para isso, usa formas conhecidas dos alunos. Essa uma rica oportunidade de trabalhar interdisciplinarmente com o professor de Literatura e Lngua Portuguesa e exercitar o ler e escrever em Matemtica. Tambm sugerimos que o docente estabelea com os alunos discusses dos conceitos bsicos do processo de medir volumes e competncia e oportunize ao aluno atividades que lhe possibilitem decidir quais medidas so as mais adequadas em vrias situaes. Sugerimos tambm acessar o site :http://g1.globo.com/pernambuco/vestibular em que h uma reportagem interessante e bastante contextualizada em que um professor de matemtica ensina a relao entre volume e capacidade usando can-teiro de obras como cenrio para dicas de como calcular a capacidade de um sli-do. Depois das atividades experimentais, o professor pode apresentar o m

3 como uma

unidade padro e trabalhar com a turma seus mltiplos e submltiplos. A analogia com o estudo de mltiplos e submltiplos de comprimento e rea pode auxiliar na compreenso das transformaes dessas unidades. Para medir o espao de um recipiente qualquer tal como caixas de sapato ou de papelo conveniente usar unidades diversas tais como caixinhas de fsforo ou ento at mesmo as peas do material dourado, para verificar a necessidade de uma unidade padro. Assim como foi feito no caso do metro quadrado, usando papelo, por exemplo, o aluno pode construir, com a ajuda do professor, um cubo de aresta igual a 1 m. Para destacar a relao do dm

3 com o litro recomendvel

que se tenha mo um recipiente cbico de 1 dm de aresta, de preferncia trans-parente e graduado, para uso em alguns experimentos de comparao de medi-das. Um material didtico que pode ser de grande valia durante o estudo dos mltiplos e

A C

4.2 Relacionar o metro cbico com seus mltiplos e submltiplos.


I C

4.3 Relacionar o decmetro cbico com o litro e o milili-tro.


I A A C

4.4 Realizar conver-ses entre unidades de medidas de volu-me/capacidade.


I A A C

4.5 Escolher ade-quadamente mlti-plos ou submltiplos do metro cbico para efetuar medidas.

Mltiplos e submltiplos do metro cbico

A A A A



A A A A

4.7 Fazer estimativas de volumes e capa-cidades.

Estimativas A A A A

32

4.8 Resolver proble-mas que envolvam clculo de volume ou capacidade de blo-cos retangulares, expressos em unida-de de medida de volume ou em uni-dades de medida de capacidade: litros ou mililitros.

Volumes

submltiplos do m3 o chamado material dourado. Com seu uso os alunos podem

observar diretamente a relao que existe entre eles, ou seja, concluir que a rela-o entre essas medidas milesimal. No estudo dos mltiplos e submltiplos do m

3 e do litro, o professor deve dar nfa-

se queles usados com mais frequncia. Como se sabe, a apresentao de toda a escala de mltiplos e submltiplos tem sua importncia para salientar sua relao com o sistema de numerao decimal. No entanto, raramente se usa, por exemplo, o hm

3 e dam

3 ou o decilitro e hectolitro.

I A A A

5. Medidas de ngulo

5.1 Utilizar o grau como unidade de medida de ngulo.

ngulos e me-didas

O estudo dos ngulos pode ser desenvolvido estabelecendo analogia com os es-portes (por exemplo, manobra dos campeonatos de skate 900) ou de expresses como "ele teve uma guinada na vida de 360" ou ainda as medidas cartogrficas de posio (latitude e longitude), mostrar a presena das medidas de ngulos no dia a dia. Em seguida, o professor pode informar que, similarmente ao que foi feito com a unidade de medida metro, houve um acordo entre os estudiosos em se convencio-nar que a unidade padro de medida de ngulo seria obtida pela diviso do ngu-lo reto em noventa ngulos de medidas iguais e que a medida de um desses no-venta ngulos seria chamado de grau. Dessa forma ficou convencionado que a medida do ngulo reto de noventa graus cuja notao, tambm convencionada, de 90. O professor, caso julgue conveniente, poder apresentar mais detalhes histricos sobre a escolha do grau como unidade padro de medida de ngulo. Sugerimos uma sequncia didtica que tem por objetivo conhecer o sistema de medio dos ngulos e suas fraes. Para execut-la uma boa estratgia : 1) Mostrar a lgica (o algoritmo) da decomposio dos graus em minutos e segun-dos e operaes com eles. 2) Depois desta exposio os alunos devem fazer as operaes. 3) Enfatizar o conceito de numerao baseada no nmero 60. Outra sugesto utilizar uma calculadora cientfica e mostrar a utilizao da tecla dms, propondo vrias atividades. A atividade pode ser proposta, utilizando a ofici-na pedaggica sobre "Jogos Matemticos", oferecida aos professores pela SEE/MG em 2013, em que foi apresentada o jogo "Domin Geomtrico" que de-senvolve as habilidades necessrias s operaes com medidas de ngulos. Em seguida, deve ser apresentado o transferidor, explicando-se sua utilidade e a maneira de us-lo para medir ngulos e, dando continuidade, propor atividades diversas, que incluam, por exemplo, a medida de ngulos de polgonos convexos e polgonos no convexos, de abertura de uma porta, bem como a construo de ngulos de medidas dadas utilizando a rgua e o transferidor. Caso a escola dis-ponha de um laboratrio de informtica recomenda-se o uso de um programa de

I C

5.2 Utilizar instru-mentos para medir ngulos.

Transferidor e outros instru-mentos

I C



I A A C

5.4 Fazer estimativas de ngulos.

Estimativas A A A A

5.5 Resolver proble-mas que envolvam clculo de ngulos em figuras geomtri-cas.

ngulos e reso-luo de pro-blemas

A A A A

5.6 Resolver proble-mas que envolvam o clculo de medida de ngulos em diferen-tes figuras planas e/ou espaciais.

ngulos, medi-das e resoluo de problemas

A A A A

33

geometria dinmica como, por exemplo, o Cabri. Em programas desse tipo pos-svel realizar inmeras atividades que auxiliam, em muito, o desenvolvimento desse tpico. Para ampliar o contedo desse tpico sugerimos os os textos ngulos, Operaes com medidas de ngulos, Transformaes com medidas de ngulo encontrados no site: http://educacao.uol.com.br/planosula/fundamental/matemtica.

6. Medidas de tempo e dinheiro

6.1 Reconhecer ho-rrios (in-cio/trmino/durao) de fatos e eventos.

Medidas de tempo

indiscutvel o impacto social dos conhecimentos matemticos no cotidiano das pessoas. Sabendo que famlias devem conseguir organizar a sua situao financei-ra e que no Brasil essa questo ainda pouco focada apesar de ser um pas que cresce economicamente e sua populao comprando cada vez mais. Existem di-versas formas de se conseguir comprar, com dinheiro, cheque, carto de crdito. A questo a ser discutida de que forma estas mercadorias esto sendo adquiridas. Na maioria das vezes a aquisio feita de forma parcelada e sem a percepo do real valor que est sendo pago.. Nesses momentos os conhecimentos de Matem-tica Financeira e o conhecimento do sistema monetrio so muito importantes. Segundo os PCN :[...] fundamental que nossos alunos aprendam a se posicionar criticamente diante dessas questes e compreendam que grande parte do que se consome produto do trabalho, embora nem sempre se pense nessa relao no momento em que se adquire uma mercadoria. preciso mostrar que o objeto de consumo, [...], fruto de um tempo de trabalho, realizado em determinadas condi-es. [...] Habituar-se a analisar essas situaes fundamental para que os alunos possam reconhecer e criar formas de proteo contra a propaganda enganosa e contra os estratagemas de marketing que so submetidas os potenciais consumi-dores. (BRASIL, 1998, p.35) .Sugerimos ento que o professor promova seminrios ,jris simulados e atividades em grupo para discutir os conceitos bsicos do siste-ma monetrio e das medies do tempo, para que os alunos percebam que tempo e dinheiro esto conectados com necessidades reais do dia a dia. Para ampliar o contedo desse tpico sugerimos as seguintes leituras: 1) Breve histria da medida de tempo. Marcos Jos Chiquetto. So Paulo: Scipio-ne, 1996. O livro apresenta a histria da medida de tempo, abordando seu surgi-mento e a maneira como se deu, alm de dar enfoque s profundas alteraes que acarretou na vida das pessoas.

C

6.2 Relacionar dife-rentes unidades de medida de tempo (horas e submlti-plos, dias, meses, anos e outros).

Medidas de tempo

C

6.3 Reconhecer o sistema monetrio.

Sistema mone-trio

C

6.4 Resolver proble-mas estabelecendo troca entre cdulas e moedas do sistema monetrio.

Sistema mone-trio

C

6.5 Fazer estimativas monetrias e de tempo.

Estimativas de tempo e dinhei-ro

C

34

Eixo Nmeros e Operaes /lgebra e Funes Competncia Construir significados para os diferentes campos numricos, modelar e resolver problemas do cotidiano usando representaes algbricas e reconhecendo relaes entre grandezas. Tema Conjuntos Numricos


CICLOS


6 7 8 9

1. Conjunto dos nme-ros natu-rais

1.1 Reconhecer, no contexto social, dife-rentes significados dos nmeros natu-rais.

Histria dos nmeros e do sistema de nu-merao. Reta numrica e n-meros naturais.

Sugerimos que esse tpico seja trabalhado a partir de uma abordagem da evoluo histrica, usando textos que exploram os primrdios da civilizao, a pr-histria, os antigos sistemas de numerao. Segundo a autora Mrcia Cruz : (...) as narrati-vas so fontes praticamente inesgotveis para a produo do significado, utiliz-las como recurso didtico nas aulas de Matemtica uma tentativa de articular conve-nientemente a tcnica e o significado dos temas que ensinamos. [CRUZ, 2003, p.287] por isso insistimos na leitura e escrita em sala de aula e nesse momento um bom caminho a leitura de diversos paradidticos que explorem a ideia da cons-truo, da histria e da utilidade dos nmeros. Outra sugesto utilizar textos de jornais, revistas ou do prprio livro didtico que levem o aluno s diferentes funes e significados dos nmeros naturais. Escolher um texto e copi-lo sem os nmeros importante para que os alunos sintam a sua falta deles e tambm percebam os diferentes significados desses nmeros. O cdigo de barras um exemplo para a utilizao dos nmeros na codificao. A localizao de um objeto na terra sendo dada a latitude e a longitude um exemplo da sua utilizao para transmitir infor-maes informar. O site oficial da prefeitura fornece dados e informaes numri-cas importantes a respeito das cidades para o aluno conhecer, tais como: popula-o, quantidade de escolas, de hospitais, de hotis, tarifas de transporte, etc. Es-ses dados podem ser coletados em um laboratrio de informtica, para que os alunos possam compar-los com os de outras cidades e com a capital do estado em que moram, e expostos posteriormente em um cartaz. A conexo dos nmeros com a Histria pode ser feita atravs da anlise da certi-do de nascimento de cada aluno, atravs da busca das vrias informaes que ela fornece. Como nosso sistema de numerao decimal e posicional trabalhar inicialmente com dinheiro, que faz parte do co

Cbc - Anos Finais - Matemática

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