Decomposição em frações parciais

Caso 2 – O polinômio do denominador possui fatores lineares repetidos

Referencial teórico

Considere uma função racional própria onde Q(x) possui fatores lineares repetidos. Se possuir “r” cópias, então produzirá uma soma na forma:

𝐴1

𝑥−𝑥𝑖+

𝐴2

(𝑥−𝑥 𝑖 )2+⋯

𝐴𝑟

(𝑥−𝑥 𝑖 )𝑟

Para os fatores lineares que não repetem usamos o que foi discutido no Caso 1.

Exemplos sobre a forma da decomposição

Exemplo 1 – Decompor em frações parciais a função racional dada

Precisamos encontrar os valores das constantes A, B e C.

Qual o significado das estrelas?

Ao clicar nas interrogações (?) você terá a oportunidade de ver uma explicação detalhada. Use se precisar.

como encontrar a outra constante?

Para encontrar a outra constante não podemos usar o mesmo método que usamos para encontrar os valores de A e C. Para isso, partiremos do princípio que a igualdade seguinte

Deve valer para TODOS os valores de “” que não anulam o denominador. Assim, exceto e poderá fazer com que “” assuma qualquer outros valores. Por exemplo: podemos fazer com que na igualdade acima (poderia ser outro valor qualquer – que não torne o denominador nulo. Ficará assim

Hmmm... E por que será que não posso usar o mesmo método aqui?

como encontrar a outra constante?

2

4 . (4−3 )2=𝐴4

+𝐵4−3

+𝐶

(4−3 )2

De onde virá o seguinte:

Como e então, substituindo, ficaremos com:

Não terá dificuldade em perceber que . Desse modo

E como usar o maxima para checar se o cálculo está correto?

Comandos do MAXIMA

Clique no ícone para adicionar uma imagemf : expressão(atribui à letra “f” a expressão a ser decomposta).

partfrac(f, variável)(comando para decomposição em frações parciais).

FimProf. Luís Cláudio LA

O que significam as estrelas?

As estrelas estão sendo usadas para mostrar a você quais constantes podemos encontrar pelo método rápido.

As que não têm estrela são aquelas que irá encontrar o valor dela atribuindo um valor qualquer (que não anule o denominador) para a variável “x”, estabelecendo uma relação entre todos os parâmetros que se encontram nos numeradores. Daí, usando os valores já conhecidos, você descobrirá o valor das constantes sem a estrela. Isso ficará claro com os exemplos.

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Ficou com dúvida?Na igualdade

Multiplicando ambos os membros por “” ficaremos com

Depois de simplificar ficará assim:

Essa relação deve ser válida para todos os valores de “x” que não anulem o denominador. Em particular, se a primeira e a segunda parcela do segundo membro serão anuladas e ficaremos com

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Ficou com dúvida?Na igualdade

Multiplicando ambos os membros por “” ficaremos com

Depois de simplificar ficará assim:

Essa relação deve ser válida para todos os valores de “x” que não anulem o denominador. Em particular, se a segunda e a terceira parcela do segundo membro se anularão e ficaremos com

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Por que não podemos usar o mesmo procedimento para encontrar “B”?Na igualdade

Multiplicando ambos os membros por “” ficaremos com

Depois de simplificar ficará assim:

O natural aqui era fazer , mas não podemos pois esse valor anula o denominador. Por isso não é possível encontrar o valor de B diretamente.

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