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Módulo 3Cartas de controle para variáveis: construção e
interpretação. Estudos de normalidade, estabilidade e capacidade.
Cartas de controle – Sistema americano(Walter Shewhart - 1927)
� Segundo Shewhart, o processo sob controle supõe (premissas):
�Que a característica de qualidade tem uma Distribuição Normal(segundo a proposição de Gauss), e que essa distribuição permaneceestável no tempo (média e desvio padrão constantes).
� A partir daí, Shewhart elaborou o modelo gráfico das cartas de controle, coma faixa de estabilidade (controle), entre os limites superior e inferior decontrole do processo, LSC e LIC, equivalendo à média, mais ou menos 3desvios padrões da linha média (LM), ou seja, contendo cerca de 99,7% dosdados. Esse modelo é válido até hoje.
Zona I
Zona I
Zona II
Zona II
LM
LIC
LSC
x
x
x
x
x
x
x
x
99,73%
µµµµ-3σσσσ
µµµµ+3σσσσ
µµµµ
N°°°° da amostra (ou tempo)
Cartas de controle - Componentes
� Cada carta usa um parâmetro (um para indicar a centralização do processo, média oumediana, e outro para indicar a sua variação, amplitude total ou desvio padrão), contém:
�Uma escala da medição, no eixo vertical, numa dada unidade de medida;
�Uma escala de tempo (ou ordem seqüencial da amostra), no horizontal;
�Os limites inferior e superior de controle do processo (LIC e LSC), em conjuntocom a linha média (LM);
�A projeção dos valores amostrais de um parâmetro, através de pontos unidos porsegmentos de reta, para permitir a análise da tendência.
Cartas de controle - Construção
Coleta de dados
Cálculo dos limites de controle
Análise de
estabilidade
Análise de
capacidade
Ação
no
local
Ação
no
sistema
Controle contínuo do
processo
Sim
Não
Não
Sim
O fluxo mostrado vale para qualquer tipo de carta (variável ou atributo).
Limites de controle e de especificação
� Limites de controle do processo (LIC e LSC):�Resultam do processo de fabricação empregado;
�Refletem o que o processo é capaz de realizar;
�Só são usados nas cartas de controle, para se analisara estabilidade do processo.
� Limites de especificação (LIE e LSE):�São estabelecidos pelo cliente ou pela engenharia;
�Representam aquilo que se exige do produto, para queele atenda a finalidade desejada;
�Só são usados em análises de capacidade, apósgarantir-se que o processo está estabilizado.
�É um erro freqüente, usar esses dois tipos de limites simultaneamente. Recomenda-se nunca misturá-los, ou seja, limites de controle nas cartas de controle e limites de especificação só nas análises de capacidade!!!
Cartas de controle - Tipos
� Cartas para variáveis: envolvem medições decaracterísticas, de processos ou de produtos. Exemplos:velocidade de avanço de um torno, temperatura de umbanho, Ph de uma mistura, vazão de um tanque,pressão de um condensador, espessura de uma chapa,dureza de um material, medida de um torque, etc.
� Cartas para atributos: envolvem classificações dosprodutos, em duas categorias. Exemplos: produtobom/ruim, lote aprovado/rejeitado, calibrador passa/não-passa, uma lâmpada acende/não acende, etc.
� Cada um desses tipos tem pelo menos quatro subtipos,que serão analisados detalhadamente. Neste Módulo 3,nossa preocupação é conhecer as Cartas para variáveis.
Cartas para variáveis
Resultado
Ambiente de
trabalho
Métodos de
trabalho
Pessoal
Máquinas e
equipamentos Materiais
Medição do resultado
processo, numa dada
unidade de medição (mm,
kgf, ºC, etc)
Processo
Cartas de
controle
Cartas para variáveis - Tipos
� Cartas X e R (Média e amplitude), as mais usadas, pela razoável simplicidade;
� Cartas X e S (Média e desvio padrão), as mais precisas, embora envolvam cálculos mais difíceis;
� Cartas X e R (Mediana e amplitude), as mais imprecisas, mas recomendadas quando se tem pessoal com baixa escolaridade;
� Cartas Xind e Rmóvel (Valor individual e amplitude móvel), recomendadas para medições demoradas, assim como para ambientes homogêneos.
Obs.: Sempre usadas aos pares, sendo uma para análise de centralização e a outra análise de dispersão.
~
Cartas para variáveis - Comparações
Exige cuidados especiais, quando a distribuição do processo não se apresenta simétrica. Não é tão sensível às alterações do processo.
Para medições demoradas, caras e testes destrutivos. Adequada para materiais com certa homogeneidade num certo ponto ou momento.
Xind, Rmóv
Mediana é um estimador mais fraco que a média.
Mais fácil no controle contínuo, com menos cálculos.
X, R
S apresenta maior dificuldade de cálculo (uso de calculadora).
S é mais seguro para analisar a variação do processo.
X, S
R indica com menos segurança a variabilidade do processo.
Facilidade na elaboração dos cálculos.
X, R
DesvantagensVantagensTipo
~~
Fluxograma do CEP - Variáveis
Possível se-parar em sub-
grupos?
Usar carta deval. individuais
As médiaspodem ser cal-
culadas?
O tam. daamostra é seis
ou mais?
As variân-cias podem ser cal-
culadas?
Usar carta deMediana/Ampl.
Usar carta deMédia/Ampl.
Usar carta deMédia/Var.
Usar carta deMédia/Ampl.
Sim
Não
Não
Sim
Sim
Não
Sim
Não
Variáveis
Definircaracterística
Variáveis ouAtributos?
Variáveis
Cartas para variáveis – Condições básicas
1. Verificar se o processo está sob controle (estável).
� É a fase inicial do programa de controle;
� Os limites de controle são calculados, com base nosvalores obtidos nas amostras iniciais;
� A variação dos valores amostrais, além daquela atribuídaao acaso, indica falta de estabilidade.
2. Verificar se o processo permanece sob controle.
� Visa manter a fabricação, em certo nível de qualidade;
� A variação dos valores amostrais deve manter as posições dos limites de controle (em caso negativo, o processo perdeu estabilidade, ou seja, saiu de controle).
Cartas da média e da amplitude(Amostragem)
� Tamanho da amostra (n):
�Três a cinco elementos (deve ser constante);
�Deve-se ter a mínima variação, entre os elementos da amostra.
� Freqüência da amostragem:
�A princípio, ela deve ocorrer em intervalos curtos;
�À medida que o processo estabiliza, a freqüência pode serdiminuída (maior tempo entre amostras).
� Quantidade de amostras (k):
�20 a 25 amostras são suficientes, para se ter uma boa estimativada localização e da dispersão da população (pelo menos 80 dadosmedidos).
Cartas X e R - ExemploC l i e n t e :
C a r a c t e r í s t i c a :
N o m e d a O p e r a ç ã o :
C o r :
E s p e c i f i c a ç ã o d e E n g e n h a r i a :
C ó d i g o :
E q u i p . / M a q . N o :
S e t o r :
X = L S C = L I C =A m o s t r a : U n i d a d e s p o r :M É D I A S
A M P L I T U D E SR = L S C = L I C =
D a t a
H o r a
1
2
3
4
5
X - b a r r a
R
C i a . X Y Z
D i â m e t r o d o e i x o
U s i n a g e m d o e i x o
P r a t a
( 1 0 + / - 0 , 5 ) m m
1 . 0 2 . 3 6 . 4 4 - 0 9
3 0 3
T o r n e a r i a
3 h o r a
2 8 / 0 2 2 8 / 0 2 2 8 / 0 2 2 8 / 0 2 2 8 / 0 2 2 8 / 0 2 2 8 / 0 2 2 8 / 0 2 2 8 / 0 2 2 8 / 0 2 2 8 / 0 2 2 8 / 0 2
7 : 0 0 8 : 0 0 9 : 0 0 1 0 : 0 0 1 1 : 0 0 1 2 : 0 0 1 3 : 0 0 1 4 : 0 0 1 5 : 0 0 1 6 : 0 0 1 7 : 0 0 1 8 : 0 0
1 0 , 6 9
1 0 , 8 0
1 0 , 3 9
1 0 , 2 0
1 0 , 6 2 7
0 , 4 1
1 0 , 3 0
1 0 , 7 2
1 0 , 4 0 7
0 , 5 2
1 0 , 4 2
1 0 , 6 1
1 0 , 5 4
1 0 , 5 2 3
0 , 1 9
1 0 , 9 8
1 0 , 2 7
1 0 , 5 0
1 0 , 5 8 3
0 , 7 1
1 0 , 6 1
1 0 , 5 2
1 0 , 6 7
1 0 , 6 0 0
0 , 1 5
1 0 , 5 7
1 0 , 4 6
1 0 , 5 0
1 0 , 5 1 0
0 , 1 1
1 0 , 4 4
1 0 , 2 9
9 , 8 6
1 0 , 1 9 7
0 , 5 8
1 0 , 2 0
1 0 , 2 9
1 0 , 4 1
1 0 , 3 0 0
0 , 2 1
1 0 , 4 6
1 0 , 7 6
1 0 , 7 4
1 0 , 6 5 3
0 , 3 0
1 0 , 1 1
1 0 , 3 3
1 0 , 9 8
1 0 , 4 7 3
0 , 8 7
1 0 , 2 9
1 0 , 5 7
1 0 , 6 5
1 0 , 5 0 3
0 , 3 6
1 0 , 8 3
1 1 , 0 0
1 0 , 6 5
1 0 , 8 2 7
0 . 3 5
1 0 , 5 1 7
0 , 3 9 7 n ã o h á1 , 0 2 2
0 , 0 0
0 , 5 0
1 , 0 0
1 , 5 0
M é d i a
L S C
1 0 , 9 2 3 1 0 , 1 1 1
1 0 , 0 0
1 0 , 2 5
1 0 , 5 0
1 0 , 7 5
1 1 , 0 0 L S C
L I C
M é d i a
6
X
R
Cabeçalho
Carta da média
Carta da amplitude
Dados medidos
Média e amplitude
Amostra e limites da
média
Limites da amplitude
Diário de bordo - Exemplo
� Todas as modificações de pessoas, ambiente, materiais, máquinas ou métodos devem ser anotadas pelo operador.
� Tais anotações ajudarão na análise da estabilidade e na tomada de eventuais ações corretivas para sinais de instabilidade assinalados na carta. Incentivar o operador a preenchê-lo corretamente.
� Normalmente é colocado no verso das cartas de controle.
ComentárioHoraData
Cartas X e R – Limites de controle
k
X....XXX k21 +++
=
n
X...XXX n21 +++
= R = Xmáximo - Xmínimo
LSC
LIC
LM
k
R...RRR k21 +++
=
A) Cálculo da média e da amplitude, de cada amostra, feito pelos operadores, e colocação nas cartas:
B) Cálculos das médias das médias e das amplitude, feitos pelos analistas do CEP, e colocação nas cartas, além dos quatro limites de controle (onde A2, D3 e
D4 são tabelados, em função do tamanho das amostras):
R . DLIC
R . DLSC
3R
4R
=
=
R . AXLIC
R . AXLSC
2X
2X
−=
+=
Cartas para variáveis – Tabelas de fatores
Carta Carta A2 d2 D3 D4 A3 C4 B3 B4
2 1,880 1,128 - 3,267 2,659 0,7979 - 3,2673 1,023 1,693 - 2,574 1,954 0,8862 - 2,5684 0,729 2,059 - 2,282 1,628 0,9213 - 2,2665 0,577 2,326 - 2,114 1,427 0,9400 - 2,0896 0,483 2,534 - 2,004 1,287 0,9515 0,030 1,9707 0,419 2,704 0,076 1,924 1,182 0,9594 0,118 1,8828 0,373 2,847 0,136 1,864 1,099 0,9650 0,185 1,8159 0,337 2,970 0,184 1,816 1,032 0,9693 0,239 1,76110 0,308 3,078 0,223 1,777 0,976 0,9727 0,284 1,71611 0,285 3,173 0,256 1,744 0,927 0,9754 0,321 1,679
Tamanho Amostra
Cartas ( e R ) Cartas ( e S )Carta R Carta S
__
X__
X__
X__
X
Carta Carta XA2 d2 D3 D4 E2 d2 D3 D4
2 1,880 1,128 - 3,267 2,660 1,128 - 3,2673 1,187 1,693 - 2,574 1,772 1,693 - 2,5744 0,796 2,059 - 2,282 1,457 2,059 - 2,2825 0,691 2,326 - 2,114 1,290 2,326 - 2,1146 0,548 2,534 - 2,004 1,184 2,534 - 2,0047 0,508 2,704 0,076 1,924 1,109 2,704 0,076 1,9248 0,433 2,847 0,136 1,864 1,054 2,847 0,136 1,8649 0,412 2,970 0,184 1,816 1,010 2,970 0,184 1,81610 0,362 3,078 0,223 1,777 0,975 3,078 0,223 1,777
Tamanho Amostra
Cartas de Medianas ( e R ) Carta de Individuais ( Xind e Rmov )
Carta R Carta RX~
X~
~
Interpretação das cartas para variáveis, segundo o Manual do CEP da 1ª. edição
Ponto acima ou abaixo dos limites de controle
7 ou mais ciclos consecutivos entre os limites
Muitos (ou poucos) pontos concentrados perto da média (ideal: 2/3 dos pontos no terço central)
Tendência crescente(ou decrescente) de 7 ou mais pontos consecutivos
7 ou mais pontos consecutivos acima (ou abaixo) da linha média, mesmo estando entre os limites
Exemplos de interpretação –Carta das médias
-4
- Ajuste de máquina diferente;- Mudança no processo, no método ou na matéria prima;- Quebra de componente da máquina.
- Mudança de temperatura (gradual);- Desgaste do equipamento;- Desgaste do ferramental.3
- Erro na marcação dos pontos;- Dados estimados ou forjados;- Instrumento de medição não adequado.
- Matéria prima não uniforme;- Oscilação no fornecimento de energia para o equipamento.
Exemplos de interpretação –Carta das amplitudes
-4
- Equipamento sobrecarregado;- Quebra de componente da máquina;- Instrumento de medição desregulado.
- Matéria prima muito heterogênea;- Aplicação de métodos diferentes;- Quebra de componente.
- Mudanças de turno;- Alternância entre dispositivos/operadores.
- Perda na uniformidade na MP;- Desgaste do equipamento;- Instrumentos de medição danificados.
Critérios para causas especiais –(Segundo o Manual da 2ª. edição)
� 1 ponto fora de 3 desvios padrão da linha central
� 7 pontos consecutivos no mesmo lado da linha central
� 6 pontos seguidos, todos crescentes ou decrescentes (?)
� 14 pontos seguidos, alternadamente acima e abaixo
� 2 pontos em 3 acima de 2 desvios padrão da linha central (mesmolado)
� 4 pontos em 5 acima de 1 desvio padrão da linha central (mesmo lado)
� 15 pontos consecutivos dentro de 1 desvio padrão da linha central(qualquer lado)
� 8 pontos consecutivos acima de 1 desvio padrão da linha central(qualquer lado)
� (?): Este valor 6 ainda é passível de acerto, pois o manual não deixaclaro se vai manter o antigo valor 7, ou se altera para 6.
Minitab – Cartas X e R
Indicar coluna
de dados
Indicar tamanho
da amostra
Stat > Control charts > Variables charts for subgroups > Xbar- R
Minitab – Definição dos testes
Xbar - R Chart > Options > Tests
5 testes
(TS 16949 – Ed. 1)
3 outros testes
(TS 16949 – Ed. 2)
Xbar R: Options – Estimate e Scale - Stamp (opcional)
Usado quando se quer eliminar
amostras do cálculo de
parâmetros
Usado para
PPAP
Usado para cartas R
Indicar (opcional) a coluna
identificadora das amostras (título)
Minitab - Cartas
Sample
Sample M
ean
10987654321
100
80
60
40
__X=76,35
UCL=109,22
LCL=43,48
Sample
Sample Range
10987654321
60
45
30
15
0
_R=17,48
UCL=57,10
LCL=0
1
Xbar-R Chart of Diâmetro
Pontos vermelhos, eventuais,
indicam sinais de instabilidade
Detalhamento na janela de sessão
(“session”)
Exercício – Peso de uma peça, em gramas
Dia 6 Dia 7 Dia 8 Dia 9 Dia 10 Dia 11 Dia 12 Dia 13 Dia 14 Dia 1513 10,1 12,2 10,8 9,8 11,2 9,2 10,4 10,8 1211 11 10,5 11,2 13 13 11 11,4 9,2 11,312 11,5 9,3 11,1 13,1 10,1 11,3 11,8 11,4 11,9
12,5 9,7 10,8 12,8 11,2 12 10,2 11,2 12 11,610,5 12,5 11,5 10 10,8 11,1 9,3 10 10,2 10,39,5 11,2 12,7 9,5 11 9,3 11,7 10,2 10,4 12,511 11 9,5 11,5 11,5 10,2 12,4 10,5 9,4 12
11,6 9 11,1 11,4 13,5 12,5 9,8 13,4 10,5 12,413,7 10,4 11,2 12,8 11,2 10,5 13,4 11,2 11,2 119,8 10,8 11 13,1 12,6 11 11,2 10,5 10,6 10,3
Dia 16 Dia 17 Dia 18 Dia 19 Dia 20 Dia 21 Dia 22 Dia 23 Dia 24 Dia 2512,5 12,4 11,3 10,8 10,8 11,4 10,6 11,4 10,7 11,3
9,1 13,4 11,6 13,1 12,6 10,2 11,2 12,2 10,5 99,6 14 11,2 11,2 11,3 11,4 9,8 11,8 9,7 11,210,4 12,6 12,2 11,8 9,4 9,4 11,2 12,7 10,5 10,49,3 11,3 11,2 11,5 13 13 12 11,7 11,5 1410,8 11,5 10,7 11,7 11,5 10,8 10,2 12,6 10,2 11,212,9 10,8 10,4 9,8 10,7 9,4 11,9 11,5 10,2 11,514,2 10,2 12,8 10,5 10,2 11,2 10,3 10,7 11,4 10,111 10,5 11,2 10 12,2 11,5 10,2 10,2 10,7 1310 11,8 11 12,6 11,8 13,6 10,9 13,6 10 11,4
Dadas as 20 amostras diárias, com 10 peças cada, construir e interpretar as cartas da média e da amplitude. A seguir, analisar a capacidade (histograma).
Exercício do peso - Cálculos
Média 11,5 10,7 11,0 11,4 11,8 11,1 11,0 11,1 10,6 11,5Ampl. 4,2 3,5 3,4 3,6 3,7 3,7 4,2 3,4 2,8 2,2Média 11,0 11,9 11,4 11,3 11,4 11,2 10,8 11,8 10,5 11,3Amplit. 5,1 3,8 2,4 3,3 3,6 4,2 2,2 3,4 1,8 5,0
1) Na tabela acima, estão calculadas as médias e amplitudes, das 20 amostras.
2) Então: Média das médias = (11,5 + 10,7 + 11,0 + ....)/20 ≅ 11,205g;
Média das amplitudes = (4,2 + 3,5 + 3,4 + ....)/20 ≅ 3,475g.
3) Daí: Carta das médias – LSC = 11,205 + 0,308 x 3,475 ≅ 12,276g;
LIC = 11,205 – 0,0308 x 3,475 ≅ 10,134g.
Carta das amplitudes – LSC = 1,777 x 3,475 ≅ 6,175;
LIC = 0,223 x 3,475 ≅ 0,775.
onde: 0,308, 1,777 e 0,223 são tirados da tabela do slide 17 (amostra = 10).
4) Construir os 2 gráficos, lançando os limites (LIC e LSC), as linhas médias (LM), os pontos (cada média e cada amplitude) e unir os pontos.
5) Analisar os gráficos, com base nos 5 testes (ou 8) mostrados no slide 18. Neste caso, o processo foi aprovado em todos, donde ele é considerado estável (vide próximo slide).
Exercício do peso – Solução (cartas)
Dia 24Dia 22Dia21Dia 18Dia 16Dia 14Dia 12Dia 10Dia 8Dia 6
12,0
11,5
11,0
10,5
10,0
Data
Média amostra
l
__X=11,205
LSC=12,276
LIC=10,134
Dia 24Dia 22Dia21Dia 18Dia 16Dia 14Dia 12Dia 10Dia 8Dia 6
6,0
4,5
3,0
1,5
0,0
Data
Amplitude amostra
l
_R=3,475
LSC=6,175
LIC=0,775
Carta Xbar-R do Peso
�Processo estável (sob controle), pois foi aprovado em todos os 5 testes (ou 8).
�Perceba que nenhum ponto saiu em vermelho.
Exercício do peso – Solução (histograma)
� Supondo que o cliente tenha como especificação do peso 9,5 a 13,5g, analisar,através do histograma, se o processo é capaz (atende as necessidades do cliente).
14,2513,5012,7512,0011,2510,509,759,00
25
20
15
10
5
0
Peso
Frequência
LSE=13,5LIE=9,5
Média 11,21
D.Padrão 1,135
N 200
Histograma do Peso
Apesar do processo ser estável, ele não atende às especificações do cliente (LIE e LSE), daí ele não ser considerado capaz. Depois, veremos como obter os índices de capacidade (Cp e Cpk) e as porcentagens de rejeição.
Cartas média e desvio padrão (X e S)
� Os cálculos são semelhantes à carta anterior, porém o cálculo de S (desvio padrão) émais difícil, embora tenha mais precisão para estimar a variação.
� As constantes A3, B3 e B4 são dadas nas tabelas já mostradas.
amostra) cada(p/ 1n
)X(XS
k
X...XXX
2
i
ik21
−
−=
+++=
∑
S.BLIC
S.BLSC
3S
4S
=
=
S.AXLIC
S.AXLSC
3X
3X
−=
+=
Média e desvio padrão
MINITAB:
Stat > Control charts > Variables charts for subgroups
> Xbar- S
Exercício – Peso (média e desvio padrão)
� Usando os mesmos dados do exercício anterior (peso), construir as cartas damédia e do desvio padrão.
� Para facilitar, estamos fornecendo, para cada amostra, sua média e seudesvio padrão:
� Respostas (vide próximo slide):
�A3 = 0,976; B3 = 0,284; B4 = 1,716 (para n = 10);
�Média das médias = 11,205g;
�Média dos desvios padrões = 1,093g;
�LSC = 12,271g e LIC = 10,139g (carta das médias);
�LSC = 1,876g e LIC = 0,310g (carta dos desvios padrões);
�Processo sob controle (estável).
Média 11,5 10,7 11,0 11,4 11,8 11,1 11,0 11,1 10,6 11,5 D.P. 1,4 1,0 1,1 1,2 1,2 1,2 1,4 1,0 0,9 0,8 Média 11,5 10,7 11,0 11,4 11,8 11,1 11,0 11,1 10,6 11,5 D.P. 1,4 1,0 1,1 1,2 1,2 1,2 1,4 1,0 0,9 0,8
Exercício do peso, com D.P. - Resposta
Dia 24Dia 22Dia21Dia 18Dia 16Dia 14Dia 12Dia 10Dia 8Dia 6
12,0
11,5
11,0
10,5
10,0
Data
Média amostra
l
__X=11,205
LSC=12,271
LIC=10,139
Dia 24Dia 22Dia21Dia 18Dia 16Dia 14Dia 12Dia 10Dia 8Dia 6
2,0
1,5
1,0
0,5
Data
Desv
io padrã
o amostra
l
_S=1,093
LSC=1,876
LIC=0,310
Carta Xbar-S do Peso
Interpretação: Processo estável.
Carta de valores individuais e amplitude móvel (Xind e Rmov)
� Trabalha-se com valores individuais do processo, sendo os mesmos plotadosdiretamente na carta e a amplitude (Rmov) geralmente é calculada para cada par sucessivo de dados registrados, sendo denominada amplitude móvel.
etc ,3221ik21 )X(X ),XX(:R
k
X...XXX −−
+++=
R.DLIC
R.DLSC
3R
4R
=
=
R.EXLIC
R.EXLSC
2X
2X
−=
+=
Valor individual e
amplitude móvel
MINITAB:
Stat > Control charts > Variables charts for individuals > I-MR
Exercício - Baterias
�Na fabricação da massa para usar em placas de baterias automotivas, mede-se o percentual de chumbo livre na massa (valores na tabela, em %).
�Admitindo que a especificação para esse chumbo seja de 25 a 32 %, pede-se analisar se o processo está estável e capaz. Usar carta de individuais.
Dia 11/jan 11/jan 11/jan 11/jan 11/jan 11/jan 12/jan 12/jan 14/jan 14/janHora 8 9 10 11 13 14 9 10 8 9Valor 26 28 24 21 24 23 25 24 26 24
Dia 14/jan 14/jan 14/jan 16/jan 16/jan 16/jan 16/jan 17/jan 17/jan 17/janHora 10 11 13 13 14 15 16 13 14 15Valor 25 26 25 24 25 24 26 24 25 23
�Dados: Média dos valores individuais = 24,6%; Média das amplitudes móveis = 1,737%; A3 = 2,660; D3 = 0; D4 = 3,267 (para n = 2, pos a amplitude móvel foi calculada para cada par (2) de valores consecutivos.
�Respostas: Processo estável, com limites da carta de individuais = 29,22% e 19,98%, e limites da carta de amplitude móvel = 5,675 e 0.
�Lembrar que: estabilidade é diferente de capacidade!!!
Exercício das baterias – Resposta (cartas)
17-14h16-16h16-14h14-13h14-10h14-8h12-9h11-13h11-10h11-8h
28
26
24
22
20
Dia-horas
Valor individual
_X=24,6
LSC=29,22
LIC=19,98
17-14h16-16h16-14h14-13h14-10h14-8h12-9h11-13h11-10h11-8h
6,0
4,5
3,0
1,5
0,0
Dia-horas
Amplitude m
óvel
__MR=1,737
LSC=5,675
LIC=0
Carta I-MR da % Pb
Interpretação: Processo estável (ou sob controle).
Exercício das baterias – Histograma
323028262422
7
6
5
4
3
2
1
0
% Pb
Frequência
LIE=25 LSE=32
Média 24,6
D. Padrão 1,465
N 20
Histograma da % Pb
Apesar do processo ser estável, ele não atende às especificações do cliente (LIE e LSE), daí ele não ser considerado capaz. Depois, veremos como obter os índices de capacidade (Cp e Cpk) e as porcentagens de rejeição.
Carta da mediana e da amplitude (X , R)
~
� Substitui a carta da média e da amplitude, quando o operador tem uma dificuldade muito grande em realizar o cálculo da média.
� As constantes das fórmulas são dadas nas mesmas tabelas já mostradas.
k21k21 k / )R .... RR(R
k
X~
...X~
X~
X~
+++=+++
=
R.DLIC
R.DLSC
3R
4R
=
=
R.A~
X~
LIC
R.A~
X~
LSC
2X~
2X~
−=
+=
Obs.: O Minitab não tem essa opção.
Capacidade do processo
� A análise da capacidade do processo é feita através do cálculo de alguns medidores, como Cpk Cp, Ppk, Pp.
� LIE e LSE = limites de especificação, inferior e superior (cliente).
� Antes de se iniciar a análise de capacidade, é necessário realizar o estudo de sua normalidade e de sua estabilidade!!!
LSELIE LSELIE
Processo capaz de cumprir as especificações
Processo não capaz de cumprir as especificações
Capacidade, para PPAP (Pp e Ppk )
� O índice Pp analisa apenas a relação entre a variabilidade doprocesso e os limites de especificação (LIE e LSE).
� O PPAP (Processo de aprovação de peças de produção) é usadopara aprovar amostras, junto ao cliente, antes de produzir em rotina.
� O índice Ppk denota a variabilidade do processo e, também, acentralização dos valores analisados, em relação às especificações(fornece mais informações do que o Pp).
onde: = estimativa do desvio padrão do processo
n = número de elementos da amostra
σ̂6
LIELSEPp
−=
1n
)X(Xσ̂
2
i
−
−=∑
σ̂3
LIEX;
σ̂3
X - LSEMínPpk
−=
Capacidade, para Rotina (Cp e Cpk )
�O índice Cp analisa apenas a relação entre a variabilidade doprocesso e os limites de especificação (LIE e LSE).
�O índice Cpk denota a variabilidade do processo e, também, acentralização dos valores analisados, em relação às especificações(fornece mais informações do que o Cp).
onde:
= desvio padrão estimado, inerente ao processo
d2 = tabelado, em função de n (tamanho da amostra)
σ̂6
LIELSECp
−= [ ]ps pipk C e CMín C =
σ̂3
LIEXCpi
−=
σ̂3
XLSECps
−=
2d
Rσ̂ =
Exemplo: Comparação entre Cpk e Cp
A) Cpk :
B) Cp :
Caso 1Cpk = 2,67
Caso 2Cpk = 3,33
Caso 3Cpk = 1,33
Caso 4Cpk = 0,67
Caso 5Cpk = 0
Cp = 3,33 Cp = 3,33 Cp = 3,33 Cp = 3,33 Cp = 3,33
Caso 1X = 1,002σσσσ = 0,001
Caso 2X = 1,000σσσσ = 0,001
Caso 3X = 1,006σσσσ = 0,001
Caso 4X = 0,992σσσσ = 0,001
Caso 5X = 1,010σσσσ = 0,001
LSE = 1,010
LIE = 0,990
Tolerância1,000 ± 0,010
Interpretações dos indicadores
� Pp e Ppk ≥ 1,67: O processo atende às especificações, iniciar produção;
� 1,33 ≤ Pp e Ppk < 1,67: O processo atende às especificações, tendocuidado com características importantes, até obter Cpk ≥ 1,33;
� Ppk < 1,33: O processo não atende às especificações (tentar melhorá-lo, antes de colocá-lo em produção).
� Cp e Cpk ≥ 1,33: O processo atende às especificações.
� Cpk < 1,33: O processo não atende às especificações e necessita demelhoria (há refugos e retrabalho).
� Observações:�Cp é sempre maior ou igual a Cpk.
�Quanto maior o Cpk, menor a variabilidade e mais centrado o processo seencontra, com relação às especificações.
�Quando o processo está centrado, e tem pequena variabilidade: Cp = Cpk.
�Os cálculos de Cp e de Cpk só têm validade, se o processo seguir umadistribuição normal (idem para Pp e Ppk).
PPAP
Rotina
Capacidade de máquina (Cm e Cmk)
−−
=−
=σ̂3
LIEX ;
σ̂3
XLSEminC
σ̂6
LIELSEC mkm
$σσσσ = estimativa do desvio padrão total do processo e n = nº de elementos do processo 1n
)X(Xσ̂
2
i
−
−=∑
Interpretações:�Cm e Cmk ≥ 1,67: A máquina atende à necessidade, iniciar o run-at-rate.�1,33 ≤ Cm e Cmk < 1,67: A máquina atende à necessidade, iniciar o run-at-rate tendo cuidado especial com as características mais importantes do processo até que um Pmk ≥ 1,67 seja atingido.�Cmk < 1,33: A máquina não atende à necessidade, deve-se tentar melhorá-la, antes de iniciar o run-at-rate.�Aqui, o número de amostras é pequeno (intenção é conhecer só a variabilidade da máquina), donde a coleta deve ser feita num curto espaço de tempo.
Relação entre Cpk , σ (Sigma) e PPM
CPK ±
Sigma
% dentro da
tolerância
Quant. de
defeitos
(PPM)
0,33 1 68,268948 317.310
0,67 2 95,4499876 45.500
1,00 3 99,7300066 2.699
1,33 4 99,9936628 64
1,67 5 99,9999425 0,6
2,00 6 99,9999998 0,002
Capacidade do processo, no Minitab
Indicar a coluna
de dados
Indicar o tamanho
da amostra
Indicar LIE
Indicar LSE
Stat > Quality tools > Capability analysis > Normal
Minitab (estimate e options)
Usado para o Cpm
(indicar um valor)
Escolher as formas
Within usado para
rotina e Overall para
PPAP
Usada para carta Xbar e R
Usada para carta Xbar e S
Usada para PPAP
Usada para carta Xind, Rmov
Normalmente usa-se 2
Exercício do peso - Resolução
1. Já havíamos visto, no cálculo da estabilidade: Média das médias amostrais =11,205g e média das amplitudes = 3,475g.
2. Os limites da especificação são dados pelo cliente: 9,5 e 13,5g.
3. Então o desvio padrão inerente do processo (within):
4. Índice Cp = (13,5 – 9,5) / (6 x 1,13) ≅ 0,59 < 1,33 (não capaz).
5. Cpi = (11,205 – 9,5)/(3 x 1,13) ≅ 0,50 Cps = (13,5 – 11,205)/(3 x 1,13) ≅ 0,68,daí o índice Cpk = 0,50 (menor dos dois) < 1,33 (não capaz).
6. Rejeições, usando a tabela da distribuição normal, calculando antes o escorereduzido, z = (Xi - µ)/σ:
� zs = (13,5 -11,205)/1,13 = 2,03, então 2,11% (tabela), acima do LSE;
� Zi = (9,5 -11,205)/1,13 = -1,51, então 6,55% (tabela), abaixo do LIE.
7. Comparar esses cálculos manuais, com os do Minitab (próximo slide).
1,13g83,475/3,07/dRσ̂ 2 ≅==
Minitab – Exemplo do peso
14,2513,5012,7512,0011,2510,509,759,00
LIE LSE
LIE 9,5
LSE 13,5
Média amostral 11,205
Amostra N 200
D.Padrão (Within) 1,12898
Dados do processo
C p 0,59
C pi 0,50
C ps 0,68
C pk 0,50
C apacidade potencial (Within)
% < LIE 6,50
% > LSE 3,00
% Total 9,50
Performance observ ada
% < LIE 6,55
% > LSE 2,10
% Total 8,65
Performance Within (teórica, normal)
Capacidade do processo (Peso)
Performance observada é baseada no histograma e a “within” na curva
normal
Índices de capacidade
Processo não capaz.
Capacidade para outras cartas de variáveis
� As expressões de cálculo de Pp , Ppk , Cp e Cpk são as mesmas.
� Apenas o cálculo do desvio padrão inerente do processo, no caso deCp e Cpk , muda:
onde: C4 e d2 são tabelados, em função do tamanho da amostra (n).
� As interpretações continuam sendo as mesmas.
casos) demais (nos /dRσ̂
S),X carta da caso (no /CSσ̂
2
4
=
=
Minitab, capacidade “sixpack”
Stat > Quality tools > Capability sixpack > Normal
191715131197531
12
11
10
Média amostral
__X=11,205
LSC=12,276
LIC=10,134
191715131197531
5,0
2,5
0,0Amplitude amostral
_R=3,475
LSC=6,175
LIC=0,775
2015105
14
12
10
Amostra
Valores
14,25
13,50
12,75
12,00
11,25
10,509,
759,00
LSL USL
LSL 9,5
USL 13,5
Specifications
1412108
Within
O v erall
Specs
D.Padrão 1,12898
C p 0,59
C pk 0,5
Within (rotina)
D. Padrão 1,13539
Pp 0,59
Ppk 0,5
C pm *
O verall (PPA P)
Capacidade sixpack do processo (Peso)Carta Xbar (médias)
Carta R (amplitudes)
Últimos 20 grupos
Histograma da capacidade
PPNPv : < 0,005
Capacidade (plotagem)
Fim do Módulo 3