Cartas de controle para soma acumulada

20
AZEVEDO CONSULTORIA E PROJETOS LTDA Cartas de Controle para Soma Acumulada: Teoria e Prática J. Azevedo – Tel: (35) 34711463 – [email protected] Pág. 1 de 20 1. Como funcionam as Cartas de controle para Soma Acumulada O Controle Estatístico do Processo (CEP) é uma poderosa ferramenta de monitoramento e melhoria de processos, utilizada por muitas empresas dos mais diversos ramos de atividade. As cartas de controle usadas com maior freqüência, tais como R ou , são denominadas genericamente cartas de Shewhart. Essencialmente, estas cartas utilizam a informação da última amostra para gerar os alarmes, ou seja, ignoram a informação contida no conjunto de amostras observadas. Há regras que procuram identificar e utilizar a informação do conjunto de amostras 1 , porém seu uso afeta justamente uma das principais vantagens das cartas de Shewhart: a simplicidade. As cartas de controle para soma acumulada (CCSA’s), propostas originalmente por Page (1954), são uma alternativa às cartas de Shewhart e incorporam toda a informação contida nas observações realizadas. Há CCSA’s para variáveis contínuas e discretas e, no caso das primeiras, para a média e para a variabilidade. Para ilustrar a idéia básica das CCSA’s considerese o caso da média amostral. Sejam k amostras de tamanho n de uma distribuição normal com média μ 0 . A soma acumulada até o késimo ponto dos desvios da média amostral em relação à média da distribuição será = = k i i k x S 1 0 ) ( µ Se a média do processo se mantém constante, é de se supor que os desvios em relação à média variem de forma aleatória, sendo ora positivos, ora negativos. Assim, a soma acumulada deve variar em torno de zero. Se a média do processo muda para μ 1 0 , as médias amostrais aumentam e tende a haver mais valores positivos do que negativos nas parcelas da soma acumulada, que passa a exibir uma tendência positiva. Da mesma forma, se a média do processo diminui, a soma acumulada mostrará uma tendência negativa. Como no caso das cartas de Shewhart, a questão que se coloca é como identificar os limites a partir dos quais a variação da soma acumulada não pode ser considerada puramente casual, devendo ser atribuída a uma causa assinalável. 1 Nelson (1984) descreve um conjunto de 8 testes que podem ser utilizados para decidir quando a presença de uma causa especial deve ser investigada. Os testes consideram que a característica observada possui distribuição normal e assumem que estão sendo usados limites de controle 3sigma. 1. Um ponto fora dos limites de controle. 2. Nove pontos consecutivos no mesmo lado da linha central. 3. Seis pontos consecutivos em ordem crescente ou em ordem decrescente. 4. Quatorze pontos consecutivos alternandose a cada observação o maior e o menor valor. 5. Dois de três pontos consecutivos a mais de dois desvios padrão no mesmo lado da linha central 6. Quatro de cinco pontos consecutivos a mais de um desvio padrão no mesmo lado da linha central. 7. Quinze pontos consecutivos a menos de um desvio padrão da linha central (de qualquer lado). 8. Oito pontos consecutivos a mais de um desvio padrão da linha central (de qualquer lado).

description

Este documento apresenta a teoria básica das cartas de controle para soma acumulada e mostra como são implementadas.

Transcript of Cartas de controle para soma acumulada

Page 1: Cartas de controle para soma  acumulada

AZEVEDO CONSULTORIA E PROJETOS LTDA Cartas de Controle para Soma Acumulada: Teoria e Prática 

J. Azevedo – Tel: (35) 3471‐1463 –  [email protected]  Pág. 1 de 20   

1. Como funcionam as Cartas de controle para Soma Acumulada  O  Controle  Estatístico  do  Processo  (CEP)  é  uma  poderosa  ferramenta  de monitoramento  e melhoria  de processos, utilizada por muitas empresas dos mais diversos ramos de atividade.   As cartas de controle usadas com maior freqüência, tais como  ‐R ou  ‐ , são denominadas genericamente cartas de  Shewhart.  Essencialmente,  estas  cartas utilizam  a  informação da última  amostra para  gerar os alarmes, ou seja, ignoram a informação contida no conjunto de amostras observadas.   Há regras que procuram  identificar e utilizar a  informação do conjunto de amostras1, porém seu uso afeta justamente uma das principais vantagens das cartas de Shewhart: a simplicidade.   As  cartas de  controle para  soma acumulada  (CCSA’s), propostas originalmente por Page  (1954),  são uma alternativa às cartas de Shewhart e  incorporam toda a  informação contida nas observações realizadas. Há CCSA’s para variáveis contínuas e discretas e, no caso das primeiras, para a média e para a variabilidade.   Para ilustrar a idéia básica das CCSA’s considere‐se o caso da média amostral. Sejam k amostras de tamanho n de uma distribuição normal com média µ0. A soma acumulada até o k‐ésimo ponto dos desvios da média amostral em relação à média da distribuição  será  

  ∑=

−=k

iik xS

10 )( µ  

 Se a média do processo se mantém constante, é de se supor que os desvios em relação à média variem de forma aleatória, sendo ora positivos, ora negativos. Assim, a soma acumulada deve variar em torno de zero.   Se a média do processo muda para µ1 > µ0, as médias amostrais aumentam e tende a haver mais valores positivos do que negativos nas parcelas da soma acumulada, que passa a exibir uma tendência positiva. Da mesma forma, se a média do processo diminui, a soma acumulada mostrará uma tendência negativa.   Como no caso das cartas de Shewhart, a questão que se coloca é como  identificar os  limites a partir dos quais a variação da soma acumulada não pode ser considerada puramente casual, devendo ser atribuída a uma causa assinalável.  

1 Nelson (1984) descreve um conjunto de 8 testes que podem ser utilizados para decidir quando a presença de uma causa especial deve ser  investigada. Os  testes consideram que a característica observada possui distribuição normal e assumem que estão sendo usados limites de controle 3‐sigma.     1. Um ponto fora  dos limites de controle. 2. Nove pontos consecutivos no mesmo lado da linha central.  3. Seis pontos consecutivos em ordem crescente ou em ordem decrescente. 4. Quatorze pontos consecutivos alternando‐se a cada observação o maior e o menor valor.  5. Dois de três pontos consecutivos a mais de dois desvios padrão no mesmo lado da linha central 6. Quatro de cinco pontos consecutivos a mais de um desvio padrão no mesmo lado da linha central.  7. Quinze pontos consecutivos a menos de um desvio padrão da linha central (de qualquer lado).  8. Oito pontos consecutivos a mais de um desvio padrão da linha central (de qualquer lado).                                  

Page 2: Cartas de controle para soma  acumulada

AZEVEDO CONSULTORIA E PROJETOS LTDA Cartas de Controle para Soma Acumulada: Teoria e Prática 

J. Azevedo – Tel: (35) 3471‐1463 –  [email protected]  Pág. 2 de 20   

 

2. Parametrização d e θ  Johnson e Leone  (1962) descrevem os princípios matemáticos em que se baseia a construção das CCSA e apresentam as fórmulas utilizadas para calcular os limites de controle. Em geral, usa‐se uma máscara em V cuja origem é colocada sobre um dos pontos do gráfico da soma acumulada. A Figura 1 ilustra o formato da máscara.  

 

Figura 1 –Máscara em V usada nas CCSA’s – parametrização d e θ 

 Se algum dos pontos anteriores estiver fora das linhas que formam o V, considera‐se que o processo saiu do estado de controle estatístico no ponto sobre o qual está a origem da máscara.  As dimensões da máscara são definidas por d  (distância da origem ao vértice) e θ (ângulo de abertura para cada lado do V); as fórmulas usadas para calcular estes parâmetros dependem da escala utilizada nos eixos.   A situação mais comum é registrar o número da amostra (i  = 1, 2, 3,...,m) no eixo das abscissas, usando uma escala unitária,  e  registrar o  valor  da  soma  acumulada  Sm  no  eixo  das ordenadas,  utilizando uma  escala adequada, conforme discutido a seguir.  Se ∆  é o menor desvio  absoluto da média que  se deseja detectar, α  a probabilidade de um  erro  Tipo  I (detectar um desvio da média quando de fato não houve desvio = falso alarme) e β é  a  probabilidade  de um erro Tipo II (não detectar um desvio da média quando de fato houve desvio), calcula‐se: 

θ

Pontos nesta área indicam perda de controle estatístico

d

Origem

Page 3: Cartas de controle para soma  acumulada

AZEVEDO CONSULTORIA E PROJETOS LTDA Cartas de Controle para Soma Acumulada: Teoria e Prática 

J. Azevedo – Tel: (35) 3471‐1463 –  [email protected]  Pág. 3 de 20   

 

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

∆=

rarctg

d

x

2

1ln22

θ

αβ

δ

σδ

 

 onde r é uma constante que relaciona as escalas horizontal e vertical; recomenda‐se que o valor de r esteja 

entre  xσ  e 2 xσ . 

  Se β << 1, como é, em geral, o caso, pode‐se utilizar  

  2ln2δα

−=d  

 A Tabela 1 mostra os valores de d e θ em função de δ para diversos valores de α, considerando um gráfico 

onde r = 2 xσ ;   é  importante observar que para um teste bilateral α é a probabilidade em cada uma das 

caudas da distribuição.    

r=2 xσ    α (para um teste unilateral) 

0,050000  0,025000  0,010000  0,005000  0,001350 δ  θ (rad)  d 0,20  0,0500  149,79  184,44  230,26  264,92  330,38 0,40  0,0997  37,45 46,11 57,56 66,23 82,60 0,60  0,1489  16,64  20,49  25,58  29,44  36,71 0,80  0,1974  9,36  11,53  14,39  16,56  20,65 1,00  0,2450  5,99 7,38 9,21 10,60 13,22 1,20  0,2915  4,16 5,12 6,40 7,36 9,18 1,40  0,3367  3,06  3,76  4,70  5,41  6,74 1,60  0,3805  2,34 2,88 3,60 4,14 5,16 1,80  0,4229  1,85 2,28 2,84 3,27 4,08 2,00  0,4636  1,50  1,84  2,30  2,65  3,30 2,20  0,5028  1,24  1,52  1,90  2,19  2,73 2,40  0,5404  1,04 1,28 1,60 1,84 2,29 2,60  0,5764  0,89  1,09  1,36  1,57  1,95 2,80  0,6107  0,76  0,94  1,17  1,35  1,69 3,00  0,6435  0,67 0,82 1,02 1,18 1,47 

Tabela 1 – Parâmetros de CCSA’s para médias amostrais 

Após calcular os valores de d e θ, ou obtê‐los da tabela, é necessário marcar os pontos correspondentes à soma  acumulada  e  traçar  o  gráfico  das  retas  que  representam  os  limites  de  controle;    isto  requer  a determinação das equações destas retas.   Se a origem está centrada no ponto  (xi,Si), a  reta do  limite superior de controle  (LSC) é aquela que passa pelos pontos (xi,Si+dtg(θ)) e (xi+d, Si) e a reta do  limite  inferior de controle (LIC) é   aquela que passa pelos pontos (xi,Si‐dtg(θ)) e (xi+d, Si).   Lembrando que a equação de uma reta  que passa pelos pontos (m1,n1) e (m2,n2) é dada por  

Page 4: Cartas de controle para soma  acumulada

AZEVEDO CONSULTORIA E PROJETOS LTDA Cartas de Controle para Soma Acumulada: Teoria e Prática 

J. Azevedo – Tel: (35) 3471‐1463 –  [email protected]  Pág. 4 de 20   

 12

1221

12

12

mmmnmnx

mmnny

−−

+−−

=    

 e fazendo as substituições correspondentes, resulta que as retas dos limites de controle são definidas por:  

 )()()()()()(

θθθθ

tgdxiSxtgLICtgdxSxtgLSC

i

ii

+−++=+++−=

 

 Exemplo  1:  Um  forno  de  refusão    utilizado  em    uma  linha    de montagem  de  PCBA’s,  deve manter  a temperatura em uma de suas zonas em 180 ºC. Periodicamente a temperatura média é calculada através da leitura de quatro sensores  instalados nesta zona. Os resultados das 30 últimas medições são mostrados na Tabela 2, que  inclui ainda as médias e a amplitude de variação amostrais e a soma acumulada. Admitindo que se deseja detectar um deslocamento na média  igual a um desvio padrão, e   que α = 0,00135, traçar a CCSA (considerando os 30 pontos)  e posicionar a máscara nas amostras de número 10, 20 e 30, comentando o resultado.   

Amostra  x1  x2  x3  x4  R  Sm 1  179,07  181,20  182,48 175,25 179,50 7,23  ‐0,502  174,06  182,15  180,19 180,80 179,30 8,09  ‐1,203  177,48  176,92  178,18  182,00  178,65  5,08  ‐2,56 4  177,12  177,57  181,46  186,88  180,76  9,76  ‐1,80 5  175,90  176,87  181,23 180,25 178,56 5,33  ‐3,246  180,36  173,12  180,92  178,41  178,20  7,80  ‐5,03 7  182,59  180,54  183,27  177,64  181,01  5,63  ‐4,02 8  172,12  175,70  184,93 175,68 177,11 12,81  ‐6,929  180,33  180,54  179,76 186,73 181,84 6,97  ‐5,0810  183,55  183,39  182,11  177,34  181,60  6,21  ‐3,48 11  180,73  181,69  174,03  184,99  180,36  10,96  ‐3,12 12  181,00  180,06  177,40 176,63 178,77 4,37  ‐4,3513  175,65  177,92  183,59  181,52  179,67  7,94  ‐4,68 14  181,35  180,21  179,17  173,40  178,53  7,95  ‐6,14 15  176,70  175,57  179,12 183,92 178,83 8,35  ‐7,3216  176,01  183,24  182,59  184,16  181,50  8,15  ‐5,82 17  177,47  180,44  177,80  179,29  178,75  2,97  ‐7,07 18  178,97  179,81  175,60 175,19 177,39 4,62  ‐9,6719  179,61  179,14  185,77 186,10 182,66 6,96  ‐7,0220  179,68  179,27  179,25  180,38  179,65  1,13  ‐7,37 21  178,53  178,11  177,60  180,87  178,78  3,27  ‐8,60 22  180,63  181,60  179,99 186,64 182,22 6,65  ‐6,3823  183,53  179,46  183,43  182,52  182,24  4,07  ‐4,15 24  178,26  189,11  176,04  182,43  181,46  13,07  ‐2,69 25  177,58  175,20  182,64 181,57 179,25 7,44  ‐3,4426  182,66  180,82  176,28 178,63 179,60 6,38  ‐3,8427  181,81  183,13  189,75  180,53  183,81  9,22  ‐0,04 28  177,21  179,61  178,18 182,40 179,35 5,19  ‐0,6929  175,42  180,38  179,35 178,97 178,53 4,96  ‐2,1630  182,44  183,72  181,90  187,58  183,91  5,68  1,75 

Tabela 2 – Medições da temperatura do forno 

 Solução: A soma acumulada Sm dos desvios em relação à média esperada (µ=180) é calculada por  

Page 5: Cartas de controle para soma  acumulada

AZEVEDO CONSULTORIA E PROJETOS LTDA Cartas de Controle para Soma Acumulada: Teoria e Prática 

J. Azevedo – Tel: (35) 3471‐1463 –  [email protected]  Pág. 5 de 20   

  ∑=

−=m

iim xS

1

)( µ  

 e  está  indicada  na  última  coluna  da  Tabela  2. A  tabela  contém  ainda  a  amplitude  de  variação  de  cada amostra; a média destas amplitudes é  , usado para estimar o desvio padrão amostral por  

  6532,14059,2

808,6

2

==nd

Rxσ

  onde d2 é uma constante tabelada2.  Como se deseja que a carta detecte rapidamente variações na média com magnitude de um desvio padrão, 

usa‐se δ =1;   fazendo r =2  xσ  encontra‐se 

 

 

215,13100135,0ln2ln2

25,041

4222)(

22 =−=−=

===×

=∆

=

δα

δσ

δσθ

d

rtg

x

x

 

 Uma  vez  definidas  as  dimensões  da  máscara,  através  dos  parâmetros  d  e  θ,  pode‐se  “corrê‐la”  (eletronicamente) sobre os valores de Sm, determinando as retas limite conforme explicado anteriormente.  Por exemplo, se a máscara for colocada sobre o ponto  S10 as retas limite serão dadas pelas equações:  

28375,925,025,0)215,1310()48,3(25,0)0()()(

32375,225,025,0)215,1310()48,3(25,0)()()(

−+==×+−−++=+−++=

+−==×++−+−=+++−=

xxtgdxiSxtgLIC

xxtgdxSxtgLSC

i

ii

θ

θθ

 

 A Figura 2 mostra os Sm marcados no gráfico e a máscara posicionada sobre S10. Vê‐se que os pontos S1 a S10 estão entre as retas limite, o que indica que o processo está em controle estatístico.  

2 A constante d2 expressa a relação entre o intervalo de variação e o desvio padrão de uma variável aleatória normalmente distribuída, e é uma aproximação adequada para tamanhos de amostra n ≤  10. Os valores desta constante estão listados abaixo:  

n  2  3  4  5  6  7  8  9  10 d2  1,128  1,693  2,059  2,326 2,534 2,704 2,847 2,970  3,078

 

Page 6: Cartas de controle para soma  acumulada

AZEVEDO CONSULTORIA E PROJETOS LTDA Cartas de Controle para Soma Acumulada: Teoria e Prática 

J. Azevedo – Tel: (35) 3471‐1463 –  [email protected]  Pág. 6 de 20   

 

Figura 2 – CCSA para temperatura do forno; máscara sobre S10 

 Repetindo o processo para determinação das equações das retas limites, é possível “mover” a máscara para outros  pontos.  A  Figura  3  e  a  Figura  4  mostram  a  CCSA  com  a  máscara  sobre  S20  e  sobre  S30, respectivamente.  

Page 7: Cartas de controle para soma  acumulada

AZEVEDO CONSULTORIA E PROJETOS LTDA Cartas de Controle para Soma Acumulada: Teoria e Prática 

J. Azevedo – Tel: (35) 3471‐1463 –  [email protected]  Pág. 7 de 20   

 

Figura 3 ‐ CCSA para temperatura do forno; máscara sobre S20 

 O gráfico da Figura 3 demonstra que o processo continua em controle estatístico entre S11 e S20.  

 

Figura 4 ‐ CCSA para temperatura do forno; máscara sobre S30 

 Há  evidência  de  que  o  processo  saiu  do  controle  estatístico  em  algum  ponto  entre  S21  e  S30. Movendo (eletronicamente)  a máscara  sobre  o  gráfico  verifica‐se  que  a  primeira  indicação  da  perda  de  controle 

Page 8: Cartas de controle para soma  acumulada

AZEVEDO CONSULTORIA E PROJETOS LTDA Cartas de Controle para Soma Acumulada: Teoria e Prática 

J. Azevedo – Tel: (35) 3471‐1463 –  [email protected]  Pág. 8 de 20   

estatístico ocorreu no ponto S23. Numa situação real, deveria ser feita neste momento uma investigação para determinar a causa especial que estaria influenciando o processo.  

3. Parametrização h e k  Outros autores preferem especificar a máscara usando os parâmetros h e k, ao invés de d e θ. Lucas (1976)  prefere esta   alternativa, e define h e k conforme mostrado na   Figura 5, onde se verifica que h é a semi‐abertura da máscara na origem e k a inclinação da reta limite.   

 Figura 5 ‐ Máscara  em V para CCSA's ‐ parametrização h e k 

 É fácil concluir que, usando uma escala unitária nos dois eixos, tem‐se:  

 )(

)(θθ

dtghtgk

==

 

 

Porém o mais usual é que uma unidade de variação no eixo das abscissas corresponda a m  xσ  unidades de 

variação no eixo das ordenadas, e neste caso  

 )(

)(θσθσ

dtgmhtgmk

x

x

==

 

 

θ

Pontos nesta área indicam perda de controle estatístico

h

Origem

k

Page 9: Cartas de controle para soma  acumulada

AZEVEDO CONSULTORIA E PROJETOS LTDA Cartas de Controle para Soma Acumulada: Teoria e Prática 

J. Azevedo – Tel: (35) 3471‐1463 –  [email protected]  Pág. 9 de 20   

A escolha de h e k se baseia no Comprimento Médio da Corrida3 (CMC), que é o número médio de pontos registrados  até  que  ocorra  um  sinal  de  alarme.  Espera‐se  que  o  CMC  seja  grande  quando  a média  do processo estiver entre os  limites desejados, e que o CMC seja pequeno quando houver uma alteração da média além daqueles limites.   Por exemplo, em uma carta de controle   com limites de controle 3σ, a probabilidade de um alarme falso é de 0,0027.  Isto equivale a dizer que, mesmo estando o processo em controle, espera‐se um alarme  falso aproximadamente a cada 370 pontos. E equivale também a dizer que o CMC quando o processo está em controle é aproximadamente igual a 370.   Admita‐se que a média do processo se altere de µ para µ+σ e que o tamanho da amostra seja n = 5. Neste caso,  a  curva  característica  de  operação4  (CCO)  de  uma  carta  ,  mostrada  na  Figura  6,  indica  que  a probabilidade de que um ponto fique entre os limites de controle é de cerca de 85%. Logo, a probabilidade de que um ponto fique fora destes limites é de 15%, o que implica em um CMC de ~ 6,7.   

Figura 6 ‐ Curva característica de operação para uma carta   

 A principal vantagem das CCSA’s é que  são capazes de detectar pequenos desvios da média muito mais rapidamente do que as cartas de Shewhart. Ou seja, para pequenos desvios da média, as CCSA’s tem um CMC menor do   que o das cartas de Shewhart, conforme mostrado na Tabela 3. Esta tabela mostra o CMC antes que seja detectado um ponto acima do limite superior de controle, quando ocorre um aumento de δ 

desvios padrão amostrais na média do processo, ou seja, quando esta média muda de µ para µ+δ xσ . 

   α

  0,010  0,005 0,00135 

3 Em inglês, Average Run Length ou ARL. 4 A CCO é um gráfico que mostra a probabilidade de um erro Tipo II (aceitar a hipótese nula H0 quando H0  é falsa) para diversos valores do deslocamento da média do processo (em desvios padrão) e tamanhos de  amostra. Neste caso, um erro Tipo II seria concluir que a média do processo se manteve constante, quando na realidade houve alteração. 

Page 10: Cartas de controle para soma  acumulada

AZEVEDO CONSULTORIA E PROJETOS LTDA Cartas de Controle para Soma Acumulada: Teoria e Prática 

J. Azevedo – Tel: (35) 3471‐1463 –  [email protected]  Pág. 10 de 20   

δ  x‐barra  CCSA x‐barra CCSA x‐barra CCSA 0,50  29,5  36,8 52,7 42,4 161,0  52,9 0,75  17,4  16,4 29,5 18,8 81,8  23,5 1,00  10,8  9,2 17,4 10,6 44,0  13,2 1,25  7,1  5,9 10,8 6,8 25,0  8,5 2,00  4,9  4,1 7,1 4,7 7,1  5,9 

Tabela 3 – Comparação do CMC entre cartas de Shewhart e as CCSA’s 

 Lucas  (1976)  fornece nomogramas e  tabelas que permitem a determinação de h e  k em  função do CMC desejado. É necessário conhecer ou definir o valor nominal da média do processo (µ), o desvio absoluto em relação à média a partir do   qual se deseja  indicar rapidamente um sinal de alarme  (∆) e o desvio padrão 

amostral ( xσ ). 

 Vance  (1986)  apresenta  um  programa  em  FORTRAN  que  permite  o  cálculo  do  CMC  para  as  cartas  de controle para soma acumulada através de um algoritmo mais preciso do que o utilizado para criar as tabelas inclusas  em  Lucas  (1976). O autor  converteu o programa de  FORTRAN para Visual Basic  for Applications (VBA),  gerando uma  tabela bastante detalhada para o CMC,   em  função de h*,  k* e    δ  (Ver Apêndice  I, Tabela I‐1).  A metodologia proposta por Lucas (1976) para construir a CCSA, com pequenas modificações, é a seguinte:  

1. Calcular k=∆/2 

2. Calcular k* = k/ xσ  

3. Selecionar a tabela correspondente ao valor de k* (ver Tabela I‐1) e procurar na primeira coluna o valor de h* correspondente ao valor desejado para o CMC quando δ = 0 (processo em controle); um valor  típico  para  o  CMC  nesta  situação  é  500.  Pode  ser  necessário  usar  uma  interpolação  para determinar h*. 

4. Calcular h = h* xσ  

5. Entrar  com  os  valores  de  h  e  k    na  tabela  e  verificar  o  CMC  para  todos  os  valores  de  δ,  determinando se a máscara atende os requisitos da aplicação; pode ocorrer que o CMC seja maior 

que o valor desejado, quando δ = ∆/ xσ . Neste caso, tentar outro valor para k e repetir o processo. 

 Após determinar os valores de h e k, é necessário marcar os pontos correspondentes à soma acumulada e traçar o gráfico das retas que representam os limites de controle.  Se a origem está centrada no ponto  (xi,Si), a  reta do  limite superior de controle é aquela que passa pelos pontos (xi,Si+h) e (xi+(h/k), Si) e a reta do limite inferior de controle é  aquela que passa pelos pontos (xi,Si‐h) e (xi+(h/k), Si). Isto leva às retas definidas por::  

 kkhxiSkxLICkkhxSkxLSC

i

ii

))/(())/((

+−++=+++−=

 

 Exemplo  2:  :  Uma  indústria  de  alimentos  fornece  seu  produto  acondicionado  em  pacotes  de  500  g;  foi estabelecido  que  o  desvio  absoluto máximo  do  peso,  em  qualquer  direção,    deveria  ser  de  5  gramas.  A empresa está iniciando a  implementação de uma CCSA para a máquina  de empacotamento, utilizando um tamanho de amostra n = 6. A cada 30 minutos, seis pacotes fechados são escolhidos aleatoriamente e seu conteúdo é pesado; os dados coletados nas primeiras 25 amostragens, bem como as médias amostrais, o 

Page 11: Cartas de controle para soma  acumulada

AZEVEDO CONSULTORIA E PROJETOS LTDA Cartas de Controle para Soma Acumulada: Teoria e Prática 

J. Azevedo – Tel: (35) 3471‐1463 –  [email protected]  Pág. 11 de 20   

intervalo de  variação e a  soma acumulada, estão  listados naTabela 4. Construir a CCSA  com base nestes dados.  

Amostra  x1  x2  x3  x4  x5  x6  R  Sm 1  498,49  497,23  498,23 506,69 504,52 504,02 501,53 9,46  1,53 2  489,70  501,27  497,15 501,76 503,90 502,90 499,45 14,20  0,98 3  499,96  498,55  496,18  497,84  504,08  500,18  499,46  7,90  0,44 4  502,82  502,83  498,94  508,12  497,91  499,86  501,75  10,21  2,19 5  505,17  499,03  496,48 490,59 498,95 497,72 497,99 14,58  0,18 6  503,12  502,90  502,61  500,26  499,60  500,01  501,42  3,52  1,60 7  495,60  500,19  501,41  503,00  500,63  488,70  498,25  14,30  ‐0,15 8  500,25  484,49  495,10 502,14 505,33 491,06 496,39 20,84  ‐3,76 9  498,24  500,28  499,96 501,83 494,45 495,19 498,32 7,38  ‐5,44 10  501,61  501,28  506,43  496,68  505,61  508,63  503,37  11,95  ‐2,07 11  503,48  498,92  503,99 501,18 497,88 497,05 500,42 6,94  ‐1,65 12  499,97  504,77  496,83 505,20 494,24 498,52 499,92 10,96  ‐1,73 13  502,61  495,07  500,83  500,56  504,10  502,75  500,98  9,03  ‐0,75 14  507,31  502,23  498,14  501,66  505,81  506,50  503,61  9,17  2,86 15  507,15  501,58  505,58 492,44 509,08 500,43 502,71 16,64  5,57 16  499,53  512,27  493,00  503,15  500,23  495,39  500,59  19,27  6,16 17  505,86  497,13  498,97  500,74  507,05  496,95  501,11  10,10  7,27 18  500,54  511,81  506,31 493,18 499,53 495,86 501,21 18,63  8,48 19  500,01  510,42  496,34 498,13 508,05 502,53 502,58 14,08  11,06 20  498,05  497,17  498,43  501,07  501,84  504,90  500,24  7,73  11,30 21  494,30  496,03  492,87  494,40  508,32  504,07  498,33  15,45  9,63 22  499,65  501,18  497,59 504,13 499,14 507,58 501,55 9,99  11,18 23  508,81  509,08  497,87  498,02  499,77  489,92  500,58  19,16  11,76 24  493,20  506,40  503,47  506,29  502,74  493,92  501,00  13,20  12,76 25  492,47  505,49  496,79 498,72 499,69 491,34 497,42 14,15  10,18 

 Tabela 4 – Medições do peso dos pacotes 

 Solução: A média esperada é µ=500 e o desvio máximo absoluto  é ∆ = 5 gramas. Calculando o amplitude  de 

variação média, encontra‐se  R = 12,35. Para n=6, calcula‐se o desvio padrão da média amostral por  

  9897,16*534,2

35,12

2

===nd

Rxσ  

  Seguindo a metodologia proposta, inicia‐se a escolha da carta fazendo  

  5,225

2==

∆=k   

 Normalizando o valor de k  

  2565,19897,1

5,2* ===x

kkσ

 

 Na Tabela I‐1 as colunas, da terceira em diante, mostram o valor do CMC para diferentes valores de δ (desvio da média amostral em  relação à meta, medido em número de desvios padrão amostrais); a primeira e a segunda  colunas  mostram  os  valores  de  h*  e  k*,  respectivamente;  cada  linha  corresponde  a  uma combinação diferente destes dois parâmetros.   

Page 12: Cartas de controle para soma  acumulada

AZEVEDO CONSULTORIA E PROJETOS LTDA Cartas de Controle para Soma Acumulada: Teoria e Prática 

J. Azevedo – Tel: (35) 3471‐1463 –  [email protected]  Pág. 12 de 20   

Neste caso, é razoável usar k*=1,25 como tentativa inicial; procura‐se na tabela as linhas que correspondem ao valor k*=1,25 e a seguir o valor de h* para o qual o CMC no estado de controle (δ=0) satisfaz os requisitos da aplicação.  Vê‐se que o CMC para h* = 2,00 e k* = 1,25 é de ~383, muito próximo do valor de 370, correspondente à carta de controle com limites 3‐sigma especificada originalmente; a região da tabela onde se encontra este valor está ampliada na Figura 7. O CMC de 383 significa que, em média, apenas um alarme falso será gerado a cada 383 amostras.      

    δ h*  k*  0,00 0,25 0,50 0,75   . . . . . . . . 

 . . . . . . . .   . . . . . . . .   . . . . . . . .   . . . . . . . .  . . . . . . . .    . . . . . . . .   . . . . . . . . 

1,50  1,25  110,74 80,16 41,32 20,97   . . . . . . . . 

1,75  1,25  204,67 136,66 62,23 28,54   . . . . . . . . 

2,00  1,25  383,01 233,26 93,18 38,49  . . . . . . . .  

2,25  1,25  721,25 396,90 138,63 51,42   . . . . . . . . 

2,50  1,25  1359,83 671,54 205,00 68,16   . . . . . . . . 

 . . . . . . . .   . . . . . . . .   . . . . . . . .   . . . . . . . .  . . . . . . . .   . . . . . . . .   . . . . . . . . 

Figura 7 – Visão ampliada da Tabela I‐1: h* = 2,00; k* = 1,25; δ = 0,00 

 

A  seguir  verifica‐se  se,  para  o  valor  do  CMC  correspondente  ao  valor  de  δ  = ∆/ xσ   também  atende  os 

requisitos. Tem‐se:  

  5130,29897,15

==∆

=xσ

δ  

 Consultando novamente aTabela I‐1, vê‐se que o CMC nesta situação é de 2,30; a região da tabela onde se encontra este valor está ampliada na Figura 8. O CMC de 2,30 significa que um desvio de 5 gramas no peso dos pacotes será detectado, em média, na segunda ou terceira amostra após sua ocorrência.  

    δ h*   k*   . . . . . . . .  2,00 2,50 3,00   . . . . . . . . 

 . . . . . . . .   . . . . . . . .   . . . . . . . .   . . . . . . . .  . . . . . . . .    . . . . . . . .   . . . . . . . . 

1,50  1,25   . . . . . . . .  2,73 1,90 1,48   . . . . . . . . 

1,75  1,25   . . . . . . . .  3,06 2,10 1,61   . . . . . . . . 

2,00  1,25  . . . . . . . .   3,39 2,30 1,76  . . . . . . . .  

2,25  1,25   . . . . . . . .  3,73 2,51 1,91   . . . . . . . . 

2,50  1,25   . . . . . . . .  4,06 2,71 2,06   . . . . . . . . 

 . . . . . . . .   . . . . . . . .   . . . . . . . .   . . . . . . . .  . . . . . . . .   . . . . . . . .   . . . . . . . . 

Figura 8 – Visão ampliada da Tabela I‐1: h* = 2,00; k* = 1,25; δ = 2,50 

 Transformando os valores normalizados h* e k* para seus equivalentes não normalizados, h e k, encontra‐se 

Page 13: Cartas de controle para soma  acumulada

AZEVEDO CONSULTORIA E PROJETOS LTDA Cartas de Controle para Soma Acumulada: Teoria e Prática 

J. Azevedo – Tel: (35) 3471‐1463 –  [email protected]  Pág. 13 de 20   

 

 49,29897,125,1*

97,49897,15,2*=×=×==×=×=

x

x

kkhh

σσ

 

 A soma acumulada dos desvios em relação à média esperada (µ=500) é mostrada na Tabela 5. Centrando a máscara no ponto correspondente à última amostra e aplicando as equações definidas anteriormente para as retas limite, obtêm‐se:  

039.5749,249,2)]49,2/97,4(25[1910,1049,2))/((

49,7749,249,2]49,2/97,4(25[1910,1049,2))/((

−+==×+−++=+−++=

+−==×+++−=+++−=

xxkkhxSkxLIC

xxkkhxSkxLSC

ii

ii

 

 A Figura 9 mostra a CCSA  resultante, e permite concluir que no período considerado o processo estava em controle estatístico.   

 

Figura 9 – CCSA para o peso dos pacotes (h=4,97; k=2,49) 

 É  interessante  observar  que  o MINITABTM  utiliza  esta  parametrização  e  requer  h*  e  k*  como  entradas opcionais;  caso  estes  parâmetros  não  sejam  fornecidos,  os  valores  h*=4,0  e  k*=0,5  (ARL  =  168)  são utilizados. A Figura 10 mostra a  CCSA gerada pelo MINITABTM, com os parâmetros  “default”.  

Page 14: Cartas de controle para soma  acumulada

AZEVEDO CONSULTORIA E PROJETOS LTDA Cartas de Controle para Soma Acumulada: Teoria e Prática 

J. Azevedo – Tel: (35) 3471‐1463 –  [email protected]  Pág. 14 de 20   

 

Figura 10 ‐ CCSA para o peso dos pacotes (h=4,0; k=0,5) 

Page 15: Cartas de controle para soma  acumulada

AZEVEDO CONSULTORIA E PROJETOS LTDA Cartas de Controle para Soma Acumulada: Teoria e Prática 

J. Azevedo – Tel: (35) 3471‐1463 –  [email protected]  Pág. 15 de 20   

APÊNDICE I: Tabela de parâmetros h e k para construção da máscara em V      PARÂMETROS PARA CONSTRUÇÃO DA MÁSCARA EM V 

  δh*  k*  0,00 0,25  0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75  2,00  2,50  3,000,25  0,25  1,60 1,57  1,50 1,41 1,31 1,23 1,16 1,10  1,06  1,02  1,010,50  0,25  2,08 2,02  1,88 1,70 1,52 1,38 1,26 1,17  1,11  1,04  1,010,75  0,25  2,71 2,60  2,35 2,05 1,77 1,55 1,39 1,26  1,17  1,07  1,021,00  0,25  3,52 3,34  2,91 2,45 2,06 1,76 1,54 1,37  1,26  1,11  1,041,25  0,25  4,54 4,23  3,57 2,90 2,37 1,98 1,71 1,51  1,36  1,17  1,071,50  0,25  5,79 5,30  4,30 3,38 2,70 2,23 1,90 1,66  1,48  1,24  1,111,75  0,25  7,30 6,54  5,09 3,87 3,04 2,48 2,10 1,82  1,61  1,33  1,162,00  0,25  9,09 7,94  5,92 4,37 3,38 2,74 2,30 1,99  1,76  1,44  1,232,25  0,25  11,19 9,50  6,78 4,88 3,72 2,99 2,51 2,16  1,91  1,56  1,322,50  0,25  13,64 11,22  7,67 5,38 4,06 3,25 2,71 2,34  2,06  1,68  1,422,75  0,25  16,47 13,09  8,56 5,88 4,39 3,50 2,92 2,51  2,21  1,81  1,533,00  0,25  19,74 15,12  9,47 6,38 4,73 3,75 3,12 2,68  2,36  1,93  1,643,25  0,25  23,51 17,30  10,39 6,88 5,06 4,00 3,32 2,85  2,51  2,05  1,753,50  0,25  27,84 19,62  11,32 7,38 5,39 4,25 3,52 3,01  2,65  2,16  1,853,75  0,25  32,83 22,10  12,26 7,88 5,73 4,50 3,71 3,18  2,79  2,27  1,954,00  0,25  38,54 24,71  13,20 8,38 6,06 4,75 3,91 3,34  2,93  2,38  2,054,25  0,25  45,08 27,47  14,15 8,88 6,39 5,00 4,11 3,51  3,07  2,49  2,134,50  0,25  52,56 30,35  15,10 9,38 6,73 5,25 4,31 3,68  3,21  2,59  2,214,75  0,25  61,10 33,37  16,06 9,88 7,06 5,50 4,51 3,84  3,36  2,70  2,305,00  0,25  70,84 36,52  17,02 10,37 7,39 5,75 4,71 4,01  3,50  2,81  2,385,50  0,25  94,61 43,18  18,95 11,37 8,06 6,25 5,11 4,34  3,79  3,04  2,566,00  0,25  125,40 50,33  20,89 12,37 8,73 6,75 5,51 4,68  4,07  3,26  2,746,50  0,25  165,23 57,95  22,85 13,37 9,39 7,25 5,91 5,01  4,36  3,48  2,937,00  0,25  216,65 66,04  24,81 14,37 10,06 7,75 6,31 5,34  4,64  3,71  3,117,50  0,25  282,96 74,60  26,78 15,37 10,73 8,25 6,71 5,68  4,93  3,93  3,308,00  0,25  368,39 83,63  28,76 16,37 11,39 8,75 7,11 6,01  5,21  4,15  3,489,00  0,25  619,87 103,12  32,73 18,37 12,73 9,75 7,91 6,68  5,79  4,59  3,8410,00  0,25  1035,77 124,55  36,71 20,37 14,06 10,75 8,71 7,34  6,36  5,04  4,20

  δh*  k*  0,00 0,25  0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75  2,00  2,50  3,000,25  0,50  2,18 2,11  1,95 1,75 1,55 1,39 1,27 1,18  1,11  1,04  1,010,50  0,50  2,96 2,83  2,52 2,16 1,84 1,59 1,41 1,27  1,18  1,07  1,020,75  0,50  4,07 3,82  3,26 2,67 2,19 1,83 1,58 1,40  1,27  1,11  1,041,00  0,50  5,60 5,15  4,19 3,27 2,58 2,11 1,78 1,54  1,38  1,17  1,071,25  0,50  7,71 6,89  5,30 3,95 3,02 2,41 2,00 1,71  1,51  1,25  1,111,50  0,50  10,54 9,11  6,59 4,68 3,48 2,73 2,23 1,90  1,66  1,34  1,161,75  0,50  14,32 11,87  8,04 5,46 3,96 3,06 2,48 2,10  1,82  1,46  1,242,00  0,50  19,27 15,25  9,63 6,27 4,44 3,39 2,74 2,30  1,99  1,58  1,322,25  0,50  25,73 19,29  11,35 7,09 4,93 3,73 2,99 2,51  2,16  1,71  1,432,50  0,50  34,09 24,08  13,18 7,94 5,42 4,06 3,25 2,71  2,34  1,85  1,542,75  0,50  44,89 29,70  15,13 8,80 5,91 4,40 3,50 2,92  2,51  1,99  1,663,00  0,50  58,80 36,24  17,20 9,67 6,40 4,73 3,75 3,12  2,68  2,12  1,77

Page 16: Cartas de controle para soma  acumulada

AZEVEDO CONSULTORIA E PROJETOS LTDA Cartas de Controle para Soma Acumulada: Teoria e Prática 

J. Azevedo – Tel: (35) 3471‐1463 –  [email protected]  Pág. 16 de 20   

    PARÂMETROS PARA CONSTRUÇÃO DA MÁSCARA EM V 

  δh*  k*  0,00 0,25  0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75  2,00  2,50  3,003,25  0,50  76,71 43,83  19,38 10,56 6,90 5,06 4,00 3,32  2,85  2,25  1,893,50  0,50  99,78 52,58  21,68 11,45 7,39 5,39 4,25 3,52  3,01  2,37  2,003,75  0,50  129,48 62,66  24,09 12,36 7,89 5,73 4,50 3,71  3,18  2,50  2,104,00  0,50  167,68 74,22  26,63 13,29 8,38 6,06 4,75 3,91  3,34  2,62  2,194,25  0,50  216,80 87,46  29,29 14,21 8,88 6,39 5,00 4,11  3,51  2,74  2,294,50  0,50  279,95 102,58  32,07 15,15 9,38 6,73 5,25 4,31  3,68  2,86  2,384,75  0,50  361,11 119,83  34,97 16,10 9,88 7,06 5,50 4,51  3,84  2,99  2,485,00  0,50  465,39 139,49  38,00 17,05 10,38 7,39 5,75 4,71  4,01  3,11  2,575,50  0,50  771,39 187,35  44,42 18,97 11,37 8,06 6,25 5,11  4,34  3,37  2,776,00  0,50  1276,12 249,25  51,34 20,90 12,37 8,73 6,75 5,51  4,68  3,62  2,986,50  0,50  2108,31 329,17  58,75 22,85 13,37 9,39 7,25 5,91  5,01  3,87  3,187,00  0,50  3479,91 432,24  66,67 24,82 14,37 10,06 7,75 6,31  5,34  4,12  3,387,50  0,50  5739,57 565,04  75,08 26,79 15,37 10,73 8,25 6,71  5,68  4,37  3,588,00  0,50  9459,78 736,02  84,00 28,76 16,37 11,39 8,75 7,11  6,01  4,62  3,789,00  0,50  25617,86 1239,03  103,33 32,73 18,37 12,73 9,75 7,91  6,68  5,12  4,1810,00  0,50  68817,92 2070,52  124,66 36,71 20,37 14,06 10,75 8,71  7,34  5,62  4,58

  δh*  k*  0,00 0,25  0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75  2,00  2,50  3,000,25  0,75  3,11 2,97  2,63 2,24 1,89 1,62 1,43 1,28  1,18  1,07  1,020,50  0,75  4,47 4,18  3,54 2,86 2,31 1,90 1,62 1,42  1,28  1,11  1,040,75  0,75  6,51 5,95  4,77 3,64 2,81 2,24 1,85 1,58  1,40  1,18  1,071,00  0,75  9,61 8,51  6,38 4,60 3,39 2,62 2,12 1,78  1,54  1,26  1,111,25  0,75  14,28 12,14  8,45 5,72 4,05 3,05 2,41 2,00  1,71  1,36  1,171,50  0,75  21,28 17,22  11,01 7,00 4,77 3,50 2,73 2,24  1,90  1,48  1,241,75  0,75  31,73 24,18  14,10 8,41 5,52 3,97 3,06 2,48  2,10  1,61  1,332,00  0,75  47,17 33,55  17,77 9,96 6,31 4,45 3,39 2,74  2,30  1,76  1,442,25  0,75  69,85 45,97  22,04 11,63 7,13 4,93 3,73 2,99  2,51  1,91  1,562,50  0,75  102,98 62,26  27,00 13,42 7,96 5,42 4,06 3,25  2,71  2,06  1,682,75  0,75  151,22 83,46  32,72 15,32 8,81 5,91 4,40 3,50  2,92  2,21  1,813,00  0,75  221,38 110,94  39,31 17,34 9,68 6,40 4,73 3,75  3,12  2,36  1,933,25  0,75  323,39 146,49  46,89 19,49 10,56 6,90 5,06 4,00  3,32  2,51  2,053,50  0,75  471,76 192,37  55,59 21,76 11,46 7,39 5,39 4,25  3,52  2,65  2,163,75  0,75  687,64 251,54  65,58 24,16 12,37 7,89 5,73 4,50  3,71  2,79  2,274,00  0,75  1001,77 327,75  77,03 26,68 13,29 8,38 6,06 4,75  3,91  2,93  2,384,25  0,75  1458,85 425,84  90,12 29,32 14,22 8,88 6,39 5,00  4,11  3,07  2,494,50  0,75  2123,80 551,99  105,09 32,09 15,15 9,38 6,73 5,25  4,31  3,21  2,594,75  0,75  3090,91 714,17  122,17 34,99 16,10 9,88 7,06 5,50  4,51  3,36  2,705,00  0,75  4497,03 922,56  141,67 38,01 17,05 10,38 7,39 5,75  4,71  3,50  2,81

  δh*  k*  0,00 0,25  0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75  2,00  2,50  3,000,25  1,00  4,68 4,38  3,70 2,98 2,39 1,96 1,65 1,44  1,29  1,12  1,040,50  1,00  7,12 6,51  5,20 3,95 3,01 2,36 1,92 1,62  1,42  1,18  1,070,75  1,00  11,09 9,83  7,35 5,23 3,78 2,85 2,25 1,85  1,59  1,27  1,111,00  1,00  17,65 15,03  10,39 6,88 4,72 3,43 2,63 2,12  1,78  1,38  1,17

Page 17: Cartas de controle para soma  acumulada

AZEVEDO CONSULTORIA E PROJETOS LTDA Cartas de Controle para Soma Acumulada: Teoria e Prática 

J. Azevedo – Tel: (35) 3471‐1463 –  [email protected]  Pág. 17 de 20   

    PARÂMETROS PARA CONSTRUÇÃO DA MÁSCARA EM V 

  δh*  k*  0,00 0,25  0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75  2,00  2,50  3,001,25  1,00  28,58 23,14  14,60 8,95 5,82 4,07 3,05 2,42  2,00  1,51  1,251,50  1,00  46,92 35,70  20,31 11,49 7,07 4,78 3,50 2,73  2,24  1,66  1,341,75  1,00  77,73 54,94  27,92 14,54 8,47 5,53 3,97 3,06  2,48  1,82  1,462,00  1,00  129,33 84,00  37,93 18,14 10,00 6,32 4,45 3,39  2,74  1,99  1,582,25  1,00  215,34 127,37  50,94 22,36 11,65 7,13 4,93 3,73  2,99  2,16  1,712,50  1,00  357,94 191,46  67,76 27,25 13,43 7,96 5,42 4,06  3,25  2,34  1,852,75  1,00  593,34 285,57  89,43 32,92 15,33 8,81 5,91 4,40  3,50  2,51  1,993,00  1,00  980,94 423,22  117,31 39,47 17,35 9,68 6,40 4,73  3,75  2,68  2,123,25  1,00  1618,52 624,23  153,20 47,01 19,50 10,56 6,90 5,06  4,00  2,85  2,253,50  1,00  2667,31 917,53  199,38 55,69 21,76 11,46 7,39 5,39  4,25  3,01  2,373,75  1,00  4392,71 1345,28  258,80 65,65 24,16 12,37 7,89 5,73  4,50  3,18  2,504,00  1,00  7230,69 1968,80  335,22 77,08 26,68 13,29 8,38 6,06  4,75  3,34  2,624,25  1,00  11893,62 2877,11  433,48 90,16 29,32 14,22 8,88 6,39  5,00  3,51  2,744,50  1,00  19537,15 4199,31  559,78 105,12 32,09 15,15 9,38 6,73  5,25  3,68  2,864,75  1,00  32020,38 6122,52  722,08 122,20 34,99 16,10 9,88 7,06  5,50  3,84  2,995,00  1,00  52283,23 8917,39  930,58 141,69 38,01 17,05 10,38 7,39  5,75  4,01  3,11

  δh*  k*  0,00 0,25  0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75  2,00  2,50  3,000,25  1,25  7,41 6,79  5,44 4,13 3,14 2,44 1,98 1,66  1,44  1,19  1,070,50  1,25  11,98 10,67  8,04 5,71 4,10 3,05 2,37 1,93  1,63  1,28  1,110,75  1,25  20,01 17,18  12,01 7,94 5,37 3,82 2,86 2,25  1,86  1,40  1,181,00  1,25  34,46 28,27  18,09 11,03 7,01 4,74 3,43 2,63  2,12  1,54  1,261,25  1,25  61,04 47,32  27,35 15,27 9,06 5,84 4,08 3,05  2,42  1,71  1,361,50  1,25  110,74 80,16  41,32 20,97 11,57 7,08 4,78 3,50  2,73  1,90  1,481,75  1,25  204,67 136,66  62,23 28,54 14,60 8,48 5,53 3,97  3,06  2,10  1,612,00  1,25  383,01 233,26  93,18 38,49 18,18 10,00 6,32 4,45  3,39  2,30  1,762,25  1,25  721,25 396,90  138,63 51,42 22,38 11,66 7,13 4,93  3,73  2,51  1,912,50  1,25  1359,83 671,54  205,00 68,16 27,27 13,43 7,96 5,42  4,06  2,71  2,062,75  1,25  2558,20 1128,94  301,60 89,76 32,93 15,33 8,81 5,91  4,40  2,92  2,213,00  1,25  4794,90 1886,89  442,01 117,58 39,47 17,35 9,68 6,40  4,73  3,12  2,36

  δh*  k*  0,00 0,25  0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75  2,00  2,50  3,000,25  1,50  12,39 11,07  8,39 5,99 4,30 3,18 2,46 1,98  1,66  1,29  1,120,50  1,50  21,31 18,44  13,06 8,70 5,88 4,14 3,06 2,38  1,93  1,42  1,180,75  1,50  38,16 31,75  20,76 12,80 8,10 5,40 3,82 2,86  2,25  1,59  1,271,00  1,50  71,08 56,33  33,60 19,00 11,18 7,03 4,75 3,43  2,63  1,78  1,381,25  1,50  137,44 102,71  55,18 28,35 15,39 9,07 5,84 4,08  3,05  2,00  1,511,50  1,50  274,82 191,56  91,58 42,39 21,07 11,58 7,09 4,78  3,50  2,24  1,661,75  1,50  565,31 363,24  152,94 63,31 28,62 14,61 8,48 5,53  3,97  2,48  1,822,00  1,50  1187,95 695,56  255,95 94,23 38,54 18,19 10,00 6,32  4,45  2,74  1,992,25  1,50  2530,38 1336,27  427,87 139,62 51,46 22,38 11,66 7,13  4,93  2,99  2,162,50  1,50  5420,83 2561,72  713,06 205,90 68,18 27,27 13,43 7,96  5,42  3,25  2,34

  δh*  k*  0,00 0,25  0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75  2,00  2,50  3,00

Page 18: Cartas de controle para soma  acumulada

AZEVEDO CONSULTORIA E PROJETOS LTDA Cartas de Controle para Soma Acumulada: Teoria e Prática 

J. Azevedo – Tel: (35) 3471‐1463 –  [email protected]  Pág. 18 de 20   

    PARÂMETROS PARA CONSTRUÇÃO DA MÁSCARA EM V 

  δh*  k*  0,00 0,25  0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75  2,00  2,50  3,000,25  1,75  21,86 19,00  13,57 9,10 6,17 4,34 3,20 2,46  1,98  1,44  1,190,50  1,75  40,03 33,60  22,35 13,96 8,89 5,92 4,15 3,06  2,38  1,63  1,280,75  1,75  76,77 61,83  37,93 21,89 12,99 8,13 5,41 3,82  2,86  1,86  1,401,00  1,75  154,17 118,22  66,20 35,00 19,18 11,20 7,03 4,75  3,43  2,12  1,541,25  1,75  323,81 234,41  118,54 56,87 28,53 15,41 9,08 5,84  4,08  2,42  1,711,50  1,75  709,22 480,04  216,90 93,56 42,54 21,08 11,59 7,09  4,78  2,73  1,901,75  1,75  1612,44 1009,70  403,53 155,18 63,44 28,63 14,61 8,48  5,53  3,06  2,102,00  1,75  3781,20 2165,70  758,80 258,41 94,33 38,55 18,19 10,00  6,32  3,39  2,30

  δh*  k*  0,00 0,25  0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75  2,00  2,50  3,000,25  2,00  40,75 34,36  23,07 14,53 9,30 6,21 4,35 3,20  2,46  1,66  1,290,50  2,00  79,39 64,53  40,29 23,64 14,19 8,93 5,92 4,15  3,07  1,93  1,420,75  2,00  162,72 126,77  73,08 39,65 22,13 13,02 8,14 5,41  3,82  2,25  1,591,00  2,00  350,99 260,49  137,54 68,50 35,25 19,21 11,21 7,03  4,75  2,63  1,781,25  2,00  796,14 559,07  268,17 121,60 57,13 28,55 15,41 9,08  5,84  3,05  2,001,50  2,00  1895,39 1249,68  539,84 220,94 93,81 42,56 21,09 11,59  7,09  3,50  2,24

 Tabela I‐1 – Tabela de CMC’s em função de h* e k*, para diversos valores de  δ 

  

Page 19: Cartas de controle para soma  acumulada

AZEVEDO CONSULTORIA E PROJETOS LTDA Cartas de Controle para Soma Acumulada: Teoria e Prática 

J. Azevedo – Tel: (35) 3471‐1463 –  [email protected]  Pág. 19 de 20   

APÊNDICE II: Geração da Tabela de parâmetros h e k  

Pode ser demonstrado [Page(1954)] que  o comprimento médio de corrida para uma CCSA que inicia em 0 é dado por: 

 

Onde 

 

 

Sendo  a função densidade de probabilidades  dos incrementos da soma acumulada. Admitindo que f(x)  tenha  distribuição  normal  com média  µ  e  variância  unitária,  as  equações  de N(z)  e  P(z)  podem  ser escritas como 

 

 

A  geração da  tabela  envolve  a  solução numérica deste  sistema de  equações. As  integrais  são  calculadas utilizando o método da quadratura gaussiana com 24 pontos;  isto  requer a solução de um sistema de 24 equações  lineares  para  cada  valor mostrado,  tornando  bastante  demorada  a  criação  desta  tabela  nos microcomputadores disponíveis atualmente (Jun/2008). 

Page 20: Cartas de controle para soma  acumulada

AZEVEDO CONSULTORIA E PROJETOS LTDA Cartas de Controle para Soma Acumulada: Teoria e Prática 

J. Azevedo – Tel: (35) 3471‐1463 –  [email protected]  Pág. 20 de 20   

 

Referências Bibliográficas  

1. JOHNSON, N. L.   e LEONE, F.C.,   1962. “Cumulative Sum Control Charts – Mathematical Principles Applied to their Construction and Use”. in  Industrial Quality Control, Vol 18, June 1962.    

2. LUCAS,  J. M.,  1976.  “The  Design  and  Use  of  V‐Mask  Control  Schemes”.  in  Journal  of  Quality Technology, Vol. 8, No. 1, January 1976.    

3. NELSON, LLOYD S., 1984. “The Shewhart Control Chart – Tests  for Special Causes”.  in  Journal of Quality Technology, Vol. 16, No. 4, October 1984.    

4. PAGE, E. S., 1954. “Continuous Inspection Schemes”. in Biometrics, Vol. 41     

5. VANCE, L. C., 1986. “Average Run Lengths of Cumulative Sum Control Charts for Controlling Normal Means”. in Journal of Quality Technology, Vol. 18, No. 3, July 1986.