Carlos Amaral Cristiano Quevedo Andrea Curitiba, Abril de ...

Introdução - EstabilidadeO Conceito de Estabilidade

Análise de Estabilidade via Função de Transferência Análise de Estabilidade via Espaço de Estado

Aula 9

Carlos AmaralCristiano Quevedo Andrea

UTFPR - Universidade Tecnológica Federal do ParanáDAELT - Departamento Acadêmico de Eletrotécnica

Curitiba, Abril de 2012.

UTFPR - DAELT Sistema de Controle



Resumo

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Introdução - Estabilidade

O Conceito de Estabilidade

Análise de Estabilidade via Função de Transferência

Análise de Estabilidade via Espaço de Estado




Assegurar a estabilidade em malha fechada é questão central no projeto de sistema de controle, Um sistema estável deve apresentar uma saída limitada para uma dada entrada limitada, A estabilidade de um sistema relaciona-se com as raízes da equação característica da função de transferência do sistema, O método de Routh-Rorwitz é introduzido como ferramenta útil na determinação de estabilidade de sistemas.




Do ponto de vista prático, sistema instáveis não tem utilidade, logo, projeto em sistemas de controle devem resultar sistemas estáveis em malha fechada, Algumas plantas são instáveis em malha aberta. Entretanto, utilizando a realimentação, pode-se estabilizar estes sistemas. Para plantas estáveis em malha aberta utiliza-se a realimentação para atingir desempenho em regime transitório e em regime permanente. Analisando-se sistemas realimentados, pode-se dizer se eles são estáveis ou não. Este tipo de caracterização estável/não estável é denominado de estabilidade absoluta, Dado um sistema estável em malha fechada, é possível caracterizar adicionalmente o grau de estabilidade e isto éreferido como estabilidade relativa.




O conceito de estabilidade pode ser ilustrado pela figura abaixo:

Deslocando ligeiramente o cone ilustrado em (a), o mesmo volta a sua posição de equilíbrio, neste caso os sistema é estável, Em (b), deslocando-se o ligeiramente o cone, ele gira sobre sua geratriz e deste modo se deslocando de sua posição original. Neste caso é dito que o sistema tem estabilidade neutra, Em (c), se o cone for abandonado ele cai para um dos lados. Neste caso o sistema é dito ser instável.




A estabilidade em sistemas dinâmicos é semelhante ao caso do cone, Especificamente, segue-se da definição de estabilidade que um sistema é linear se e somente se o valor absoluto da resposta impulsional, g(t ), integrada sobre uma faixa infinita for finita,

|g(t)|dt ⇒ Finita

A localização dos pólos de um sistema no plano s indica a resposta transitório resultante, Pólos no semiplano s esquerdo resultam em respostasdecrescentes a perturbações de entrada, De modo semelhante, pólos simples sobre o eixo jω e no semiplano da direita resultam em respostas neutras e crescentes respectivamente, a uma perturbação de entrada.




ESTABILIDADE NO PLANO s

EXEMPLO - SISTEMA PASSOU DE ESTÁVEL PARA INSTÁVEL




Uma função de transferência de malha fechada pode ser descrita como:

sendo q(s) = ∆(s) = 0 a equação característica cuja as raízes são pólos de malha fechada do sistema. A resposta a uma entrada impulso, considerando N = 0 é dada da seguinte forma,




Note na expressão anterior que σk são os pólos do sistema de malha fechada. Deste modo, uma condição necessária e suficiente para um sistema com realimentação ser estável é que todos os pólos da função de transferência do sistema tenha parte real negativa.

Um sistema é estável se todos os pólos estiverem no semiplano s esquerdo,

Caso o sistema possua pólos no semiplano s direito, então, serádenominado de instável, Se a equação característica possuir raízes simples sobre o eixo imaginário com todas as outras raízes no semiplano s esquerdo, a saída em regime permanente terá oscilações mantidas para uma entrada limitada. Neste caso, se a entrada for senoidal com frequência igual a magnitude das raízes no eixo jω, a saída será instável.

O sistema do item anterior é denominado de marginalmente estável, uma vez que somente certas entradas limitadas farão a saída ser ilimitada.




O sistema é dito instável se possuir raiz no semiplano s direito ou possui raízes jω repetidas,

Considere o sistema SISO (Single Input Single Output) descritoa seguir:

sendo g(t ) a resposta impulsiva. Uma entrada u(t ) é dito limitada se

|u(t)| ≤ um < ∞.

BIBO (BOUND INPUT BOUND OUTPUT) ESTABILIDADE Um sistema é dito BIBO estável se para toda entrada limitada aplicada existe uma saída limitada correspondente. Esta estabilidade somente é definida para resposta ao estado zero e é aplicável somente se o sistema está inicialmente relaxado.




TeoremaO sistema SISO descrito em (1) é BIBO estável se e somente se g(t ) é absolutamente integrável em [0, ∞), ou

sendo M uma constante.

TeoremaSe o sistema com resposta impulsiva g(t ) é BIBO estável, então, quando t → ∞,

1 A saída resultante por u(t ) = a, para t ≥ 0, se aproxima de G(0)a,sendo G(s) a transformada de Laplace de g(t ).

2 A saída resultante por u(t ) = sen(ω0t ), para t ≥ 0, se aproxima de

|G(jω0)|sen(ω0t + ∠G(jω0)).




TeoremaUm sistema SISO com função de transferência própria, G(s), éBIBO estável se e somente se todos os pólos de G(s) tem parte real negativa ou equivalentemente pertença ao semiplano s esquerdo.

Em geral, para analisar a estabilidade em sistemas descritos na forma de função de transferência temos que encontrar as raízes do polinômio característico. Neste contexto, quando o polinômio tem grau 2 ou 1, o cálculo da raiz ésimples. Entretanto quando o grau do polinômio aumenta torna-se complicado encontrar as raízes por métodos analíticos, e deste modo analisar a estabilidade nestes casos. Assim, para estas situações, o critério de estabilidade de Houth-Horwitz é uma ferramenta muito importante. No critério de estabilidade de Houth-Horwitz não é necessário calcular as raízes do polinômio característico no processo de análise de estabilidade em sistemas dinâmicos.




CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE HOUTH-HORWITZ Considere a equação característica de um sistema,

∆(s) = q(s) = ansn + an−1sn−1 + · · · + a1s + a0 = 0. (2)

Reescrevendo-se (2), temos,

an(s − r1)(s − r2) · · · (s − rn) = 0. (3)

Aplicando a propriedade distributiva em (3), obtém

ansn − an(r1 + r2 + · · · + rn)sn−1 + an(r1r2 + r2r3 + r1r3 · · · )sn−2+−an(r1r2r3 + r1r2r4 · · · )sn−2 + · · · + an(−1)nr1r2r3 · · · rn = 0. (4)

Analisando (4) observamos que todos os coeficientes dopolinômio devem ter o mesmo sinal se todos as raízesestiverem no semiplano s esquerdo.




Ainda, em (4) é necessário para um sistema estável que todos os coeficientes sejam não-nulos. Os dois requisitos citados anteriormente são necessários, mas não suficiente. O critério de estabilidade de Houth-Horwitz é uma metodologia necessária e suficiente para analisar a estabilidade em sistemas dinâmicos lineares. Considere a equação característica dada por:

A equação acima pode ser descrita na forma tabular do seguinte modo,




sendo,

OCRITÉRIO DE ROUTH-RORWITZ ESTABELECE QUE O NÚMERO DE RAÍZES DE q(s) COM PARTE REAL POSITIVA ÉIGUAL AO NÚMERO DE TROCA DE SINAIS DA PRIMEIRA COLUNADA TABELA DE ROUTH.




Exemplo:

OCRITÉRIO DE ROUTH-RORWITZ ESTABELECE QUE O NÚMERO DE RAÍZES DE q(s) COM PARTE REAL POSITIVA ÉIGUAL AO NÚMERO DE TROCA DE SINAIS DA PRIMEIRA COLUNADA TABELA DE ROUTH.




CASO 1 - NENHUM ELEMENTO NULO NA PRIMEIRA COLUNA




CASO 2 - ZEROS NA PRIMEIRA COLUNA ENQUANTO ALGUNS DOS OUTROS ELEMENTOS DA LINHA QUE CONTÉM UM ZERO NA PRIMEIRA COLUNA SÃO NÃO NULOS




CASO 3 - ZEROS NA PRIMEIRA COLUNA, E OS OUTROS ELEMENTOS DA LINHA QUE CONTÊM ZERO SÃO TAMBÉM IGUAIS A ZERO

O Caso 3 ocorre nas seguintes situações: q(s) = (s + σ)(s − σ) ou q(s) = (s + jω)(s − jω).

Este problema e contornado utilizando o polinômio auxiliar. Considere o sistema de terceira ordem,




Quando K = 8 o sistema é marginalmente estável, isto é, possui duas raízes sobre o eixo jω. Neste caso, este exemplo se enquadra no caso 3, em outras palavras, existe uma linha com zeros na tabela de Routh. O polinômio auxiliar, U(s), é a equação que precede a linha de zeros. Assim,

CASO 4 - EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA COM RAÍZES REPETIDAS NO EIXO jωConsidere o seguinte polinômio característico,




sendo ∈→ 0. Observe a ausência da troca de sinal, o que éuma condição que indica falsamente que o sistema émarginalmente estável. O polinômio auxiliar da linha s1 é(s2 + 1) e o polinômio auxiliar da linha s3 é(s4 + 2s2 + 1) = (s2 + 1)2, indicando raízes repetidas sobre o eixo jω, logo o sistema é instável.




Exemplo Entrega: Considere o seguinte sistema de controle.

qual a relação entre K e a para que o sistema ilustrado acima seja estável? Resp:

a≤ (60−K)(K +6) 36K

(5)




ESTABILIDADE RELATIVA DE SISTEMAS DE CONTROLE COM REALIMENTAÇÃO

A verificação da estabilidade via critério de Routh-Hurwitz fornece apenas uma resposta parcial a questão de estabilidade. Caso o sistema seja estável, é necessário verificar a estabilidade relativa, isto é, é necessário investigar o amortecimento relativo de cada uma das raízes da equação característica.




Na Figura ilustrada a seguir, a raíz r2 é mais estável do que as raízes r1 e r1.




Deslocamento de EixosConsidere:

q(s) = s3 + 4s2 + 6s + 4 Seja sn = s + 2. Neste caso o arranjo de Routh não obtém ocorrência de zeros na primeira coluna. Entretanto para o caso de sn = s + 1 tem-se:




Considere o sistema descrito na forma de espaço de estado,

x (t ) = Ax (t ) + Bu(t )

y (t ) = Cx (t ) + Du(t ) (6)

com função de transferência dado por,

G(s) = C(sI − A)−1B + D

ou

G(s) = 1

det(sI − A) C [adj (sI − A) B] + D


(7)



O sistema descrito em (6) possui a seguinte solução,

Resposta a Entrada Zero | {z } Resposta ao Estado Zero

Neste caso a análise de estabilidade é realizada da seguinte maneira:

Considerando a Resposta a Entrada Zero (estabilidade interna):

Marginalmente estávelAssintoticamente estável

Considerando a Resposta ao Estado Zero (estabilidade externa):

BIBO estabilidade




ESTABILIDADE INTERNA Considere o sistema relaxado descrito como:

x (t ) = Ax (t ) (8)

O sistema descrito em (8) é marginalmente estável se todas os autovalores de A tem parte real negativa ou nula. Sendo as raízes com parte real nula raiz simples do polinômio mínimo de A. Por outro lado, o sistema (8) é assintoticamente estável se todos os autovalores de A tem parte real negativa.

ESTABILIDADE EXTERNA

Foi visto que cada pólo de G(s) é também um autovalor de A. Assim, se todo autovalor de A tem parte real negativa, então todo pólo de G(s) tem pólo com parte real negativa e assim (6) é BIBO estável.




OUTRA INTERPRETAÇÃO DE ESTABILIDADE


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