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Capítulo 5

Análise de Dados

As entrevistas realizam-se cerca de três a quatro semanas, após a conclusão do

desenvolvimento da proposta curricular, depois das férias escolares da Páscoa, durante a

aula de Estudo Acompanhado. Do guião da entrevista (em anexo) fazem parte cinco

questões. Durante a entrevista todos os alunos tiveram ao seu dispor um computador

portátil, uma calculadora e folhas de papel.

Pedro

Apresentação

Pedro é um jovem de onze anos, alegre e descontraído, que gosta de praticar

desporto. Vive com os pais e com três irmãos perto da escola. Revela orgulho no

trabalho da mãe, professora e investigadora universitária que se encontra a terminar a

tese de doutoramento, facto a que se refere com frequência, discutindo até alguns

assuntos académicos que lhe interessam. Nas conversas mais informais que tivemos ao

longo dos dois anos lectivos em que fui sua professora percebi que gosta de ler, fazendo

leituras direccionadas para os assuntos que lhe agradam no momento, e gosta de

desenhar e de desafios. Também estuda música e pratica desporto com regularidade.

Ao nível escolar Pedro sempre se revelou um bom aluno, especialmente em

Matemática, que indica ser uma das suas disciplinas preferidas. Confiante nos seus

conhecimentos, envolve-se facilmente nas tarefas propostas, especialmente nas que o

desafiam. É um “resolvedor” de problemas de Matemática, a que ele chama “desafios”.

Evidenciando sempre a necessidade de compreender o que está a fazer, procura dar

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sentido à Matemática que conhece. Revela um considerável sentido de número. A

propósito de um trabalho sobre História da Matemática, ficou fascinado pelas relações

geométricas e numéricas no livro Matemática: A Ciência dos Padrões de Keith Devlin.

Bastante autónomo em relação aos seus colegas de turma, procura quase sempre a

minha orientação quando esgota os seus recursos. Manifesta-se por vezes de um modo

subtil, pedindo a minha opinião, não querendo dar a conhecer o seu desconhecimento.

Penso que a sua confiança e o desenvolvimento do seu conhecimento matemático

ficaram marcados pelo facto de ter percebido, no ano lectivo anterior, que eu valorizo

diferentes modos de resolução das tarefas, desde que o aluno explique o seu raciocínio.

Como faz as tarefas com alguma rapidez, continua a procurar outra forma de as realizar

(usando desenhos, esquemas e números). Algumas vezes, confere a forma como

resolvemos uma tarefa na aula, com a forma como a mãe o faz e com a forma que ele

“tinha descoberto” e que ele acha a mais fácil. Penso que isso lhe deu um grande poder

na capacidade de estabelecer relações entre os vários assuntos tratados ao longo do 2.º

ciclo. Embora utilize um léxico mais rico que a maioria dos colegas, releva sempre

dificuldade na expressão escrita, tanto na ortografia como na construção frásica, o que

por vezes o impede de obter melhores resultados nos trabalhos escritos. Na oralidade o

seu desempenho foi sempre bom e a sua argumentação evidencia a apropriação de um

conjunto de conhecimentos que consegue articular de um modo claro.

Na sala de aula, Pedro nem sempre revela um comportamento de colaboração,

nomeadamente no trabalho de grupo. Gosta de trabalhar apenas com alguns dos colegas.

Tem alguma dificuldade em lidar e ajudar os colegas que revelam dificuldades, não

entendendo porque motivo eles não compreendem o que para si é claro e evidente. No

início do ano lectivo anterior adverti-o algumas vezes sobre a forma desagradável e

pouco correcta como se pronunciou sobre os trabalhos dos colegas.

Pedro utiliza com alguma desenvoltura o computador para produzir textos

(Word), trabalhar dados (Excel) e usar outros programas didácticos. Também recorre

frequentemente à Internet, tanto para pesquisar informações como para comunicar com

os colegas.

Identificar situações de proporcionalidade

No primeiro grupo de questões pretendia que o aluno identificasse, em diferentes

sistemas de representação, as situações de proporcionalidade e as situações em que essa

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relação não existe. Assim como conhecer o(s) processo(s) usados pelo aluno em cada

uma das situações.

Questão 1.1. Dados apresentados numa tabela

A 2,5 4,3 5 B 7,5 12,9 15

Pedro: (Observando por breves instantes a tabela) Então... Mas tenho de usar o Excel? Este tem poucos [dados] e eu já sei que existe proporcionalidade.

Professora: Não tens de usar. Estão aqui estes materiais à tua disposição, só usas o que quiseres. Como sabes que existe proporcionalidade nesta situação?

Pedro: (Não usa qualquer material) Então, primeiro vi a [linha] A e a [linha] B (aponta para as linhas correspondentes às variáveis A e B). Vi o último par de números.

Professora: Quais? Pedro: (Aponta para a última coluna da tabela) Ao multiplicar 5 por 3 dá

15… Tenho quase a certeza que sim [que existe proporcionalidade]. Com esta conta acreditei que o mesmo se passa com os outros [pares] números e dá, em 7,5 há 3 vezes 2,5. Aqui é igual, basta saber a tabuada para isso, 3 [parte decimal de 4,3] vezes 3 dá 9 [parte decimal de 12,9] e 3 vezes 4 é 12. “Tá” certo.

Professora: Consegues identificar a constante de proporcionalidade? Pedro: É 3, se dividir 15 por 5 dá 3. Também acontece com os outros

[pares de] números.

O aluno responde com alguma rapidez, dizendo existir uma relação

proporcional, entre as grandezas A e B. Baseia a sua afirmação na identificação de uma

relação multiplicativa entre os números das linhas da tabela. Esta identificação acontece

sequencialmente através da (i) identificação de uma relação multiplicativa entre o par

numérico que apresenta números inteiros, “multiplicar 5 por 3 dá 15”, apesar de este ser

o último par numérico da tabela; depois (ii) conjectura que a mesma relação acontece

nos primeiros pares numéricos da tabela (números decimais ) quando diz “acreditei que

o mesmo se passa com os outros”; e por fim (iii) verifica a veracidade da conjectura.

Todos os cálculos foram feitos mentalmente, sem qualquer apoio escrito, apesar dos

dados envolverem números decimais, ainda que pequenos. É evidente que faez uso do

seu conhecimento sobre números nomeadamente sobre os múltiplos de três.

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Apesar do Pedro responder peremptoriamente que existe proporcionalidade,

segundo Post, Behr e Lesh (1988) o facto de o aluno observar uma relação numérica

simples não significa que raciocine proporcionalmente.

No entanto, num momento posterior também identifica a constante de

proporcionalidade como o quociente entre os valores das grandezas B e A, isto é existe

reconhece a existência de outra regularidade entre os valores da tabela.

É manifesto que o aluno usa um raciocínio de natureza funcional pois manifesta

realizar operações entre as grandezas.

Questão 1.2. Dados apresentados em formato de texto

Se uma impressora demora exactamente 12 minutos a imprimir a cores 14 panfletos, então em 30 minutos imprime 32 panfletos.

Pedro: Então… (Lê a frase, novamente em voz baixa) Então… Oh stora, aqui não está nenhuma pergunta!

Professora: Sim, isto é uma afirmação. O que eu quero saber é se nesta situação existe ou não uma relação proporcional.

Pedro: Se existe? Ah… Então é só pensar uma “beca”. Então neste caso, passamos do 12 para o 30 [minutos] e de 14 para 32 [panfletos], certo?

Professora: Estás a perguntar se são duas situações diferentes? Pedro: Então eu acho que não dá [não há proporcionalidade]. Não há

nenhuma [razão] constante entre o número de panfletos e os minutos. Professora: Porquê? Como chegaste a essa conclusão? Pedro: Não há. Então os múltiplos de 12 são logo 24, 36 e de 14 dá 28,

42. Professora: És capaz de explicar melhor o que estás a pensar? Pedro: Então porque se em 12 minutos vai 14 panfletos então em 30

minutos não vai 32. Professora: Mas diz-me como chegaste a essa conclusão. (Pedro não

arrisca outra resposta. Representa os dados numa tabela e os cálculos que realiza com recurso à calculadora)

Professora: Podes dizer como estás a pensar? Como apareceu o 2,5? Pedro: Então… (Utiliza a calculadora) 30 a dividir por 12 dá 2,5. E agora

vou ver se isto dá na outra [situação]. E não dá porque (Utiliza a calculadora) 14 vezes 2,5 dá 35.

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Professora: Estou a ver que construíste uma tabela semelhante à anterior, na linha A tens o tempo e na B os panfletos, mas estes cálculos que apresentas são diferentes dos que realizaste na questão anterior.

Pedro: Mas assim também dá, por causa que a multiplicação do denominador de uma com o numerador da outra fracção é igual à multiplicação dos que faltam.

Professora: Então 2,5 é a constante de proporcionalidade? Pedro: É. Ah… Não, não é. Porque aqui estamos dentro da mesma coisa

[variável], dos minutos ou dos panfletos.

Nesta questão, que inicialmente eu presumia ser de fácil compreensão por

apresentar uma situação aparentemente comum, Pedro necessita de mais tempo para

responder comparativamente à questão anterior. Identifica as grandezas envolvidas e

numa primeira abordagem, faz uso do seu conhecimento sobre múltiplos, de um modo

intuitivo, pois diz convictamente que não existe proporcionalidade embora a sua

explicação/justificação oral seja pouco consistente. Aparentemente, usa uma estratégia

de comparação entre as razões, utilizando os múltiplos de 12 e 14, mas não consegue

explicá- la. Perante a minha insistência para explicar melhor como está a pensar

abandona esta estratégia mais informal, constrói uma tabela semelhante à apresentada

por mim na questão anterior, em que a grandeza A é o tempo e a grandeza B é o número

de panfletos. Esta organização dos dados parece ter sido importante para o aluno

procurar uma regularidade de um modo mais perceptível. Apesar de ter construído uma

tabela, o modo como estabelece as relações entre os dados não é semelhante à forma

como o fez na questão 1.1.. Parece-me que o aluno, afinal, não abandona totalmente a

sua estratégia inicial, pois procura encontrar uma regularidade dentro das grandezas

(coeficiente 2,5) e não entre grandezas. O aluno mostra compreender que pode

encontrar regularidades dentro de uma grandeza e entre grandezas, quando existe uma

relação proporcional. Mostra compreender, também, que a constante de

proporcionalidade é a regularidade que encontra quando opera, utilizando a divisão,

entre grandezas.

A demora em responder a esta questão pode ser explicada pela dificuldade em

matematizar uma situação formulada em duas frases desligadas uma da outra,

nomeadamente no texto principal da questão e no da alínea. Este facto não foi

ponderado durante a elaboração do guião da entrevista. Um outro factor de demora é a

inexistência de proporcionalidade directa, pois a construção de um argumento

“negativo” é mais exigente do ponto de vista cognitivo, quando comparado com a

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construção de um argumento “positivo” (p. ex., indicar a constante de

proporcionalidade).

Questão 1.3. Dados apresentados num gráfico

Pedro: (Coloca a caneta sobre os pontos do gráfico) Então… Eu acho que há [proporcionalidade]. Mas é melhor usar a régua.

Professora: Para quê? Pedro: Para ver se passa mesmo aqui, nos zeros [origem]. (Traça uma linha

sobre os pontos).

Aqui está a linha de proporcionalidade. E agora vamos tirar a prova dos nove! (Com a calculadora começa a dividir os valores dos pares ordenados, distância pelo tempo)

Professora: Então?! Pedro: Dá tudo vinte, existe um número constante, é 20.

O aluno reconhece as características de um gráfico, que representa uma relação

proporcional. Usa a régua para se certificar que os pontos se encontram sobre uma recta

que passa na origem, que designa como “linha de proporcionalidade”. Mas esta

verificação parece não ter satisfeito o aluno, pois procura uma regularidade numérica

quando diz “tirar a prova dos nove”, isto é, procura a constante de proporcionalidade

embora esta não tenha sido pedida, ao dividir a grandezas distância pelo tempo.

Questão 1.4. Dados apresentados em formato de texto

Pedro: (Em silêncio, olhando para a frase, supostamente leu o problema.

Leu o problema voz alta). Então… Para ver se existe proporcionalidade entre as [o número] refeições e as gramas [quantidade de comida]. Então… A coisa, aí… A tabela é realmente muito boa. (Constrói uma tabela)

Professora: E o que é que nós estamos a relacionar?

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Pedro: Diga. Professora: O que é que nós estamos a relacionar? Pedro: As gramas na refeição… Para saber se existe a mesma proporção

das gramas e entre todas as rações que ele come, ai, refeições. (Utiliza a calculadora). Então veremos, 275 para 2040.

Professora: Olha que não é 2040 mas sim 2400. Pedro: Ah sim 2400. Agora vou fazer uma coisa que eu não costumo

utilizar… Que é, que é capaz de ser eficaz aqui, que é fazer 275 vezes 8… Não está a dar [2400]. E agora 2400 a

Eu acho que não há proporcionalidade directa, porque se houvesse proporcionalidade directa, este [2400] a dividir por 8 tinha de dar 275 e não dá (Completa a tabela).

Após identificar as grandezas “quantidade de comida” e “número de refeições”,

Pedro constrói uma tabela alternativa em que as grandezas são “quantidade de comida

por refeição” e “quantidade de comida em oito refeições”. Ainda que não represente na

tabela as grandezas que diz estar a relacionar, parece saber exactamente o que fazer, isto

é, pretende conhecer a quantidade de ração ao fim de oito refeições.

Através de um processo mais longo e exigente em termos de cálculo, o aluno diz

que vai “fazer uma coisa que não costuma utilizar” e determina (i) a quantidade de

ração ao fim das oito refeições (2200g) quando a quantidade de comida por refeição é

275g e (ii) a quantidade de comida em cada refeição (300g) quando a quantidade ao fim

das oito refeições é 2400g. A construção de uma situação de natureza proporcional, na

qual oito refeições surge como constante de proporcional e a consequente comparação

com as condições do problema levam o Pedro a concluir que não existe

proporcionalidade. O relato do seu raciocínio mostra claramente que o aluno distingue

as situações de natureza proporcional daquelas em que essa relação não existe. Uma

observação pouco atenta sobre o trabalho do aluno poderia considerar a sua resposta

como insatisfatória ou errada, mas pelo contrário, o aluno resolve o problema com

objectividade, embora de uma forma alternativa que está longe de ser a mais simples,

utilizando raciocínio proporcional.

A tabela que o aluno apresenta não é concordante com o seu raciocínio, parece

funcionar nesta situação como uma mera estrutura de representação que orienta o seu

trabalho.

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Também neste problema se constata alguma demora na resposta do aluno que

poderá estar condicionada pelos factores já enunciados na análise da questão 1.2., isto é

dificuldade em matematizar uma situação formulada em duas frases desligadas uma da

outra e a inexistência de proporcionalidade directa.

Questão 1.5. Dados apresentados em suporte pictórico

Pedro: (Observa as imagens.) Já percebi. Professora: Já? Pedro: Aqui não há proporcionalidade porque se 4 bolas dá 1 estrela, 8

bolas teria de dar 2 estrelas e aqui só estão 6 bolas.

Pedro é bastante rápido a responder oralmente a esta questão. Esta rapidez

parece estar associada ao suporte pictórico em que a questão era apresentada, embora os

dados correspondessem a número inteiros menores que dez.

Mais uma vez o aluno, estabelece uma relação de natureza proporcional para

responder que aquela que lhe é apresentada não o é. É interessante verificar que o aluno,

não estabelece relações de natureza escalar (bolas-bolas e estrela s-estrelas) como

poderiam eventualmente sugerir as imagens, mas sim relações de natureza funcional

(bolas-estrelas). A sua resposta parece condicionada pela comparação das razões entre o

número de bolas e o número de estrelas

Questão 1.6. Dados apresentados num gráfico

Pedro: Então…aqui, nem é preciso vermos mais nada, não existe

[proporcionalidade] porque não há uma linha proporcional. Professora: Mas, mas o que queres dizer com linha proporcional? Pedro: Aqui (aponta para o ponto (0; 0,5)). Não está no ponto 0 por 0.

Então era o tamanho do bicho, ai, do insecto quando, no dia que nasce. E depois não vai ficar uma recta assim (aponta para a linha recta que desenhou na questão 1.3.).

O aluno fazendo uso do seu conhecimento sobre as características gráficas de

uma relação proporcional, tais como “ponto 0 por 0” e “recta”, responde prontamente

que não existia proporcionalidade.

Questão 1.7. Dados apresentados na forma de fracção

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Pedro: “Tou” aqui, a partir do 1, 1 vezes 2,5 claro que dá 2,5…e se 2,5 vezes 5 dá também 12,5, claro!...Mas agora (utiliza a calculadora) 4,5 a dividir por 2,5 não dá igual a este aqui [22,5:12,5]. Ai!...(esfrega a cabeça e parece não acreditar no resultado que observa no visor da máquina). Hum…Então, assim não há, dá 2,016!

Professora: Não queres voltar a realizar os cálculos? E quanto é 22,5 a dividir por 4,5?

Pedro: Então…hum, mas eu já fiz. Então…afinal há (aponto os valores com o lápis para evitar que voltasse a enganar-se na inserção dos dígitos). Há de certeza proporcionalidade porque este [22,5:4,5] é 5. Este [12,5:2,5] também e este [5:1] , claro.

Professora: É sempre cinco? Pedro: É a constante de proprociodali (ri), esta palavra enrola a língua

(ri). Sim é cinco a constante, resulta do resultado das fracções. Professora: Resultado das fracções! Podes explicar o que é que isso quer

dizer? Pedro: Então… É porque dividimos o numerador pelo denominador, é o

resultado da divisão.

Para averiguar a existência de proporcionalidade o aluno investiga a

equivalência entre as razões, para isso usa entre o primeiro par de razões o cálculo

mental e posteriormente a calculadora. A procura de uma regularidade é travada por um

erro de inserção dos dígitos na calculadora. Parece acreditar que existe, quer através dos

seus gestos quer pelo modo indignado como diz “Hum…Então, assim não há, dá

2,016!”. Pedro realiza o cálculo duas vezes e nas duas vezes troca a ordem de inserção

dos dígitos na calculadora, em vez de 22,5 insere 25,2, talvez pela pressa que tem

sempre em querer resolver as tarefas. Por isso sugiro- lhe que opte pela divisão entre os

termos da razão. Após a realização do cálculo, o Pedro identifica de imediato outra

regularidade entre os dados, resultante da divisão entre os termos das razões, que são

designadas pelo aluno como fracções. A este valor obtido associa a constante de

proporcionalidade.

Síntese

Pedro consegue identificar as situações em que existe relações proporcionais e

as situações em que tal relação não existe. Pelo relato que o aluno faz da forma como

está a pensar, parece indiscutível que não está a usar qualquer regra ou algoritmo, pelo

contrário, manifesta conhecer a existência de regularidades entre os dados de relações

proporcionais e são essas regularidades que procura. Manifesta conhecer a existência de

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regularidades dentro da mesma grandeza e entre grandezas, pelo que parece usar

estratégias de natureza escalar ou funcional, em função do problema, da leitura que faz

do problema e do seu próprio conhecimento sobre os números que estão a ser usados.

Quando questionado sobre a qual das regularidades corresponderia a constante de

proporcionalidade, o aluno não hesita em reconhecê- la como aquela que se obtêm

através da divisão entre as duas grandezas em estudo.

O seu desempenho não foi semelhante na identificação das diferentes relações

proporcionais. A celeridade da sua resposta parece estar condicionada pelo seu

conhecimento sobre os números que surgem nos dados dos problemas, pelas relações

numéricas que consegue estabelecer com maior ou menor dificuldade e pela

necessidade de usar meios auxiliares de cálculo. Penso ser importante, reconhecer no

seu testemunho, a sua intuição numérica, isto é, o aluno presume, através de processos

mentais, a existência de proporcio nalidade antes de verificar a sua existência, o que é

evidente seu comportamento de desalento e indignação, quando os resultados errados

de um cálculo não confirmam a sua intuição. Quando o sistema de representação dos

dados é um gráfico, recorre às características, entretanto aprendidas durante as aulas,

evidenciadas pelas relações de natureza proporcional, isto é, os pontos situam-se sobre

uma linha recta que passa na origem dos eixos, a qual é designada pelo aluno como

linha de proporcionalidade. Contudo, talvez pela sua pouca experiência em trabalhar

com sistemas gráficos, este parece não ter sido suficiente para justificar a existência de

proporcionalidade, pois foi averiguar qual seria a constante de proporcionalidade, para

confirmar a sua existência.

Em relação às situações não proporcionais, o aluno não foi tão célere em

identificar as que se apresentam em formato de texto comparativamente às que são

apresentadas em outros sistemas de representação. Quando os dados são apresentados

neste formato de texto o aluno revela necessidade de os representar noutro sistema de

representação (tabela). A necessidade de mais tempo pode ser atribuída ao facto de a

construção de um argumento “negativo” ser cognitivamente mais exigente em

comparação com a construção de um argumento “positivo”. Penso ser curioso o facto de

o aluno identificar algumas relações não proporcionais, com a construção de uma

situação proporcional utilizando os dados disponíveis no problema (questões 1.4. e

1.5.).

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Sistemas de representação

A questão 2 foi preparada, visando conhecer o sistema de representação que os

alunos preferem usar para representar os dados e os motivos para essa preferência.

Contudo, esta questão de estudo pode ser avaliada em diferentes questões, analisadas ao

longo da entrevista. Por exemplo, para responder a algumas das questões anteriores, o

aluno utiliza a tabela para estruturar os dados.

A questão 2 apresentava uma situação em que uma receita tinha sido

pronunciada oralmente ao telefone.

Questões 2.1. e 2.2. Dados apresentados em formato de texto

Pedro: (Lê o problema duas vezes em voz baixa.) O que é que quer dizer? Ah! Mas é só entre bolacha e as amêndoas?! E os outros [ingredientes]? Também têm de estar em proporção.

Professora: Como lês-te são ingredientes de uma receita e… Pedro: Mas têm de estar em proporção. Ah! Então… Começo pelas

bolachas e amêndoas e depois bolachas com as outras coisas [ingredientes]. É preciso de certeza mais amêndoas porque aqui [receita] só dá para 8 bolachas, são poucas (ri)!

Professora: Mas considera o facto de isto ter sido parte de uma conversa telefónica, em que só se falou das quantidades de bolachas e de amêndoa. Como é que achas que o chefe anotou esta parte da receita?

Pedro: Pois… Então… É capaz de ter feito uma tabela. Professora: Uma tabela? Pedro: Sim. Hum… Então… Põe as bolachas lá em cima, depois as

coisas, ingredientes em cada linha. Então… Depois quando quer mais bolachas é só ver a quantidade dos outros por ali abaixo.

Professora: Era assim que farias se fosses o chefe Bernardo? Pedro: Sim, porque a tabela dá para resolver tudo. Professora: Como assim? O que queres dizer com dá para resolver tudo? Pedro: Na tabela… Porque eu acho que na tabela conseguimos ver mais

facilmente [os dados] e [resolver] rapidamente cada problema. Professora: Podes representar os dados do problema? Pedro: “Tá” (constrói uma tabela).

Aqui o B, o B de bolachas, a linha da quantidade de bolachas e o A é a linha da quantidade de amêndoas. Isto, para as pessoas saberem o que é que estes números querem dizer. É assim que eu acho que ele podia ter feito a tabela.

Professora: Ok. Podes continuar.

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Continua a responder.

Pedro: Sim, dá. Outra forma? Professora: Em que outras formas é tu poderias representar estes dados? Pedro: Gráfico, pode ser. Professora: Num gráfico? Pedro: Sim, então… (Começa a esboçar um gráfico) Professora: Não queres usar o Excel? Pedro: Hum… São poucos os números e eu sei fazer assim, então já fiz

muitos… ”Memo” só para experimentar. Professora: Se preferes, por mim está bem. Pedro: Vai ficar bem, stora. Professora: Então no eixo vertical tens? Pedro: Aqui? (Aponta para o eixo vertical.) Aqui tenho o número de

bolachas e aqui (apontou para o eixo horizontal) as gramas de amêndoa. Ah! Já percebi, tenho de pôr a legenda das linhas dos eixos. Então… E agora vou ver uma coisa. Que é… Vejo o ponto para as 6 [bolachas] e para 390 g. (Esfrega a cabeça.)

Professora: Onde vais marcar as 390 g de amêndoa? Pedro: Então… Só tenho de ver quanto vale agora cada quadradinho. Eu

acho que isto dá. (Faz alguns cálculos mentais. Não o interrompo, solicitando que diga os cálculos de forma audível, para que não se perca.) Acho que é, descobri que é 60g cada quadradinho (começa a marcar os valores no eixo X). 60 vezes 2 dá 120, 60 vezes 3 dá 180, 60 vezes 4 dá 240, 60 vezes 5 dá 300, 60 vezes 6 dá 360. Ah… Não é 60, este aqui tinha de ser 390g porque é o que corresponde a 6 bolachas.

Professora: Tens a certeza? Pedro: Pois é. É, eu tenho a certeza. (Utiliza a calculadora.) Se não é 60,

então 390 a dividir 6, é 65. É 65 cada quadradinho, era lá perto (Risca os valores escritos no eixo horizontal.). Bem… Então… Agora já posso pôr [desenhar] a linha proporcional com o ponto dos zeros e este das 6 bolachas. Agora este aqui, tem de ser 520 porque esta na direcção das oito bolachas (marca o ponto (520,8)). E este aqui tem de ser 1300g de amêndoa.

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Professora: Que é Pedro? Que cara é essa. Pedro: (Sorri.) Oh stora. Então… Eu ás vezes sou “bué” estúpido. Com

o Excel isto tinha sido mais rápido. Professora: Agora já está feito. Pedro: Então… Agora tenho de dizer outras formas de pôr os dados? Professora: Conheces outras? Pedro: Ah. Vamos ver… Só se for como aquela, aqui, esta aqui

[representação na forma de fracção]. (Indica a questão 1.7). Ficava 6 barra 390 igual a 8 barra 520 igual a 20 barra 1300… Ou então ao contrário [inversão dos termos].

Pedro refere que a tabela constitui a forma mais eficiente para representar os

dados e alargando o âmbito do problema diz que nas linhas abaixo do número de

bolachas pode colocar as quantidades respectivas dos outros ingredientes. Ainda

segundo a sua opinião, a tabela é uma estrutura poderosa que o ajuda conjuntamente a

escolher e verificar o tipo de cálculos (divisão ou multiplicar) que deve realizar. Esta

opinião do aluno, sobre a tabela ser a melhor forma de representação dos dados,

também pode ser verificada na opção que faz por este sistema, nas questões 1.2.,1.4.e

2.3.. A sua opinião, no que se refere à escolha do cálculo aritmético a realizar é visível,

quando refere que “foi só multiplicar ou dividir para descobrir o que queria”, enquanto

resolve a questão 4.

Para além destes sistemas de representação o aluno diz conhecer o gráfico e a

representação em fracção e não refere quer a representação pictórica quer a

representação em formato de texto.

O aluno parece dar grande importância à representação gráfica, pois diz já ter

construído muitos gráficos em suporte de papel. Sem qualquer pedido para o fazer,

começa a construir um gráfico. Revela gosto pelo trabalho que desenvolve e mais uma

vez mobiliza o seu conhecimento sobre estimativas e cálculo mental para dar sentido ao

seu trabalho, isto é, para encontrar a quantidade de amêndoas que representa cada

unidade do eixo X. É interessante verificar que o aluno domina a leitura de um gráfico a

um nível mais estruturado, isto é, após traçar a sua “linha proporcional” com o recurso

apenas de dois pontos, usa-a juntamente com o número de bolachas para indicar no eixo

X o valor 520g e 1300g de amêndoa.

Estratégias usadas para resolver problemas de proporcionalidade

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Questão 2.3. Dados apresentados em formato de texto

Pedro: Então…que quantidade de bolachas pode fazer Bernardo com 1950g de

amêndoa? Eh pá…vou ter de fazer na forma como a Leonor fez na correcção do teste.

Professora: A Leonor? Então e tu não sabes nenhuma? (Pedro enganasse pois não se refere a Leonor mas sim a Violeta)

Pedro: Sei, mas sinceramente acho a forma dela mais simples. Professora: Então vá, diz lá como estás a pensar fazer. Pedro: (Começa a fazer alguns cálculos mentalmente) Então… 1300 é múltiplo

de 100 e 1950 é múltiplo de 50, deve haver aqui… (Passam alguns momentos) Hum, metade de 1300 é 650.

Professora: Talvez seja melhor apresentares algum esquema para te guiar. Pedro: É quanto o que há de amêndoas? Professora: 1950g Pedro: Então já “tá” o resultado final. Professora: Então? Pedro: São 30 bolachas. Professora: Explica-me lá como estás a pensar. Pedro: Então é assim. Afinal até é bastante simples. (Constrói uma tabela.) Professora: Mas esta tabela está na base daquilo em que estavas a pensar? Pedro: Sim, faço-a na cabeça. Então…vamos ver há 20 bolachas por cada

1300[g] de amêndoas. A metade de 20 é 10 e 1300 a dividir por dois dá 650. Agora se fizermos 1300 mais 650 vai dar 1950. Então ao 20 junto a sua metade e dá 30.

Professora: Está bem. Mas esta é que era a estratégia da Leonor? Pedro: Ah (ri)… Não. Já não me lembro bem como era. Só me lembro que era

maneira muito rápida de fazer. Professora: OK. Mas será que conseguirias resolver esta questão sem usar a

adição? (Aponto para a adição que o aluno regista) Pedro: Então… Só se for… Eu acho que sei, por exemplo, multiplicar por um e

meio porque 30 é 20 mais a metade de 20 e aqui também. (Aponta para a linha referente à quantidade de amêndoa) Também 1950 a dividir por 1300 dá 1,5.

Professora: Será… Pedro: E… (Entusiasmado) E também posso saber a amêndoa para uma

bolacha. Era só dividir 1300 por 20… (Utiliza a calculadora) E dá 65. Depois… 1950 divido por este [65] dá 30.

Professora: Pronto Pedro, ok. Já sei que quando começas a investigar, vais por aí fora sem parar. Deixa-me perguntar qual destas estratégias é que costumas utilizar.

Pedro: Hum… Então… Não sei bem. Acho que depende. Professora: E depende do quê? Pedro: Ai. Não sei stora, depende dos dias. (Ri) Eu acho que… Talvez da forma

dos números, se eu sei como eles são. Eu agora vi que podia fazer menos

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contas mas quando li a pergunta…foi, comecei logo a fazer contas de cabeça e a ver como é que isto funcionava.

Antes de dar qualquer resposta o aluno tenta lembrar-se de um procedimento de

cálculo utilizado frequentemente por uma colega de turma, mas apenas se recorda algo

que designa por “ mais simples” e “muito rápida” A sua colega Violeta utiliza o

algoritmo do produto cruzado e apresentou este procedimento de cálculo na aula,

durante a correcção de algumas situações problemáticas. Talvez Pedro tenha pensado

utilizar este procedimento de cálculo pelo facto de os dados deste problema envolverem

números inteiros maiores que os utilizados nas questões anteriores.

Numa primeira abordagem ao problema, o aluno faz uso do cálculo mental e do

seu conhecimento sobre múltiplos e divisores e procura evidenciar alguma das

regularidades que ele sabe existir. Nesta abordagem, Pedro revela fazer uso de

raciocínios aditivo e multiplicativo, “metade de 20 é 10 e 1300 a dividir por dois dá

650. Agora se fizermos 1300 mais 650 vai dar 1950. Então ao 20 junto a sua metade e

dá 30.” Para chegar à resposta. Com sua resposta é possível conferir que a representação

dos dados numa tabela não assegura que o aluno desenvolva o seu trabalho através de

um raciocínio exclusivamente multiplicativo.

Por saber que Pedro gosta de investigar outras formas de resolver problemas,

coloquei- lhe o desafio de resolver o mesmo problema mas sem usar o raciocínio aditivo.

O seu entusiasmo não se fez esperar, perante os dados colocados na tabela, o aluno

apresenta outra estratégia de resolução, utilizando um raciocínio multiplicativo de

natureza escalar, isto é, dentro de cada grandeza (número de bolachas e quantidade de

amêndoas). Identifica o factor escalar (1,5) rapidamente mercê da sua capacidade de

cálculo.

Logo em seguida, Pedro refere outra estratégia, desta vez utiliza um raciocínio

multiplicativo de natureza funcional, isto é, entre as grandezas (número de bolachas e

quantidade de amêndoas) e identifica também a constante de proporcionalidade.

Quando questiono Pedro, sobre a sua preferência relativamente a cada uma das

estratégias, ele não se manifesta por qualquer uma nem revela qualquer comparação em

termos de simplicidade e rapidez como tinha qualificado a estratégia (algoritmo do

produto cruzado) usada pela Violeta. Penso que sua escolha, atendendo ao que o aluno

relata, depende da sua compreensão do problema, da sua capacidade de o matematizar e

dos esquemas cognitivos que desenvolveu.

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Na resposta a esta questão, Pedro revela como já esperava que sucedesse a sua

capacidade de revolver problemas utilizando várias estratégias, o que lhe oferece uma

maior possibilidade de estabelecer conexões com outros assuntos. Penso que esta

atitude do aluno surge da compreensão que pode resolver qualquer problema se lhe der

sentido. Fica assim livre para usar exclusivamente os seus conhecimentos, desvincula-se

de regras e algoritmos, os bons resultados que obtêm através deste seu modo de “fazer

matemática” impulsionam-no ainda mais para um trabalho matemático com

compreensão.

Questão 3.1. Dados apresentados em formato de texto

Pedro: (Lê o problema em voz baixa) Eh, tão fácil! Então é assim… Ah, se 5

vezes 5 é igual a 25… E cada equipa é de cinco. Ah… Vamos ver em rapariga, rapariga, rapariga vezes 5 ou seja, 3 (aponta para esse dado no texto do problema) vezes 5 é igual a 15.

Professora: Estou a ver. Pedro: E 2 vezes 5 são 10 [rapazes]. Logo, então são 15 raparigas.

O aluno exprime surpresa pela facilidade do problema. Penso que esta facilidade

está relacionada com a rapidez com que estabelece relações entre os dados do problema

que eram números inteiros pequenos e múltiplos de dez. Oralmente refere usar o seu

conhecimento sobre múltiplos, evidenciando a existência de uma constante (5) quando

relaciona as grandezas número de raparigas e número de jovens por equipa. É manifesto

que usa raciocínio multiplicativo de natureza funcional. Pelo seu relato é visível que usa

a estratégia do factor unitário.

Questão 3.2. Dados apresentados em formato de texto

Pedro: Então… Em 5 há 3 para 2. Tal como é em 10 há 6 para 4. (Acrescenta um zero aos números 10, 6 e 4) Já sei quanto é que é.

Professora: Como é, como apareceu o 100? Pedro: É um múltiplo da 10, 10 vezes 10 dá 100. Por isso há 40% de

rapazes nas equipas.

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Pedro resolve rapidamente e facilmente o problema, utiliza uma estrutura

própria para representar os dados e faz uso da equivalência entre razões para responder.

Mais uma vez é se verifica que a rapidez com que executa os cálculos resulta do seu

conhecimento sobre múltiplos.

Questão 4. Dados apresentados numa tabela incompleta

Pedro: Ai… Então… Como é que eu fiz isto antes? Professora: Não sei. Pedro: Ah… Aqui… Já sei como é que é, 60 a dividir por 15 tem 4.

Agora 21 a dividir por 4 (utilizou a calculadora) dá 5,25. Aqui, tem de ser 20,05 a multiplicar por 4 e dá 80,2.

Professora: Então e esta coluna? Não gostas da fracção? Pedro: Ah! Ah… Passo para decimal, um meio é 0,5 que multiplicado por 4 dá

2. Então… Já está. Professora: És capaz de descrever resumidamente o que estiveste a fazer? Pedro: “Tá”. Então… Com o par de números de A e de B, os que estavam nesta

coluna, consegui saber a constante de proporcionalidade. Depois foi só multiplicar ou dividir para descobrir o que queria.

O aluno tenta recordar estratégias que já usou. Após breves instantes identifica

mentalmente a constante de proporcionalidade, evidenciando mais uma vez o seu

raciocínio multiplicativo de natureza funcional. Efectua depois, sem hesitar,

multiplicações para calcular os valores da grandeza B e divisões para calcular os valores

da grandeza A, utilizando naturalmente a estratégia do factor unitário.

Questão 5. Dados apresentados em formato de texto ao qual se anexou linhas com os

comprimentos respectivos aos dados

Pedro: (Lê o problema pausadamente) Então vou fazer assim… Acho que já arranjei uma forma. Mas vou fazer uma tabela.

Professora: Podes representar os dados como quiseres. Pedro: Então… 7,5 a dividir por 3, dá 2,5. Agora vou fazer 14,75 vezes 2,5 e o

resultado, que é o que a enguia come, é 36,875. Professora: E o que é que estás a relacionar? Pedro: Então… O tamanho da enguia com a quantidade de comida. Professora: Mas não é isso que representas na tabela. Pedro: Não! É, é. Professora: Então as letras C e B não correspondem às enguias? Estás a

relacionar a enguia C com a B.

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Pedro: Pois… Então… Mas o tamanho e peso de comida para cada uma. Mas assim também dá porque existe proporcionalidade. E já acabei.

Professora: Ok. Obrigado.

Pedro identifica rapidamente e mentalmente a constante de proporcionalidade,

evidenciando mais uma vez o seu raciocínio multiplicativo de natureza funcional.

Utiliza novamente a estratégia do factor unitário para responder à questão. Quando o

aluno representa os dados e a resposta numa tabela, parece estar confuso sobre a

organização das grandezas na tabela, mas esse parece suficientemente convencido que a

relação proporcional se mantêm, talvez pelas experiências desenvolvidas nas aulas que

mostram a igualdade entre o produto dos meios e o produto dos extremos. O facto de

existirem linhas com o comprimento exacto de cada enguia parece não influenciar o seu

raciocínio.

Síntese

Relativamente ao tipo de estratégia que o aluno usa para resolver problemas

sobre proporcionalidade, parece não haver um padrão de resolução. Talvez esta situação

resulte quer do facto de ter sempre em conta a situação problema na sua globalidade,

quer ao que vou chamar de intuição numérica. Para este aluno a resposta tem de

satisfazer por fazer sentido e ser aceitável.

Ao longo da entrevista foi possível verificar que utiliza raciocínios aditivos e

multiplicativos, distinguindo bem a essência das situações em que os aplica.

Faz uso frequente de tabelas horizontais, o que poderia levar a supor que

houvesse uma prevalência do raciocínio escalar sobre o raciocínio funcional, mas tal

parece não se verificar pois Pedro, refere que existe um conjunto de relações de

igualdade que se podem obter quando os valores representam situações proporcionais.

Resolve a questão 2.3. utilizando um processo em que estão presentes o

raciocínio aditivo e multiplicativo. Quando lhe pedi para verificar a possibilidade de o

resolver a tarefa sem usar a adição, identificou de imediato duas formas de o fazer,

trabalhando apenas dentro das grandezas ou entre grandezas, às quais podemos associar

o método da equivalência entre razões e o método da razão unitária. São estas duas

estratégias que usa para resolver todas as restantes questões. Para usar estas estratégias

o aluno nem sempre faz uso de registos escritos e/ou registos formais. Contudo, não é

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compreensível porque escolhe cada uma destas estratégias, quando se comparam os

relatos das respostas às questões 3.1., 3.2. e 5.