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Antnio Pestana Elementos de Topografia v1.20 Junho de 2006

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6 Medio de distncias no terreno A medio de distncias no terreno feita segundo alinhamentos rectos. Um alinhamento

recto a linha que resulta da interseco da superfcie do terreno com um plano vertical. Portanto, a projeco horizontal de um alinhamento sempre um segmento de recta. A medio de distncias no terreno pode ser feita por dois processos distintos: a medio directa e a medio indirecta.

Na esmagadora maioria das situaes, a medio das distncias ser feita segundo segmentos que no so horizontais; por esta razo frequentemente necessrio determinar o seu valor

em projeco horizontal. Este clculo, denominado reduo ao horizonte, obriga ao conhecimento do valor do ngulo que o segmento, segundo o qual foi medida a distncia, forma com os planos

horizontais.

6.1 Medio directa

A medio directa de distncias obriga a que o topgrafo se desloque sobre o terreno ao longo de todo o alinhamento recto a medir35; nos trabalhos correntes, a extenso do alinhamento recto comparada com o comprimento de uma fitas mtrica ou, mais raramente, uma cadeia. As medies de alta preciso so feitas com fios de nvar36 suspensos; neste caso, essencial entrar em linha de conta com a deformada do fio, o que obriga utilizao de dispositivos de suspenso adequados e a uma cuidadosa avaliao da tenso exercida nos extremos do fio.

6.2 Medio indirecta por processos clssicos

Diz-se que se efectuou a medio indirecta de uma distncia quando a medida foi obtida sem

ser necessrio percorrer toda a extenso do correspondente alinhamento recto. Quando so utilizadas tcnicas da Topografia clssica37, o aparelho de medida colocado num dos extremos do segmento e no outro extremo colocado um acessrio sobre o qual so feitas leituras que permitem a determinao da distncia pretendida.

Actualmente, os aparelhos mais correntemente utilizados na medio indirecta de distncias

so os dotados de luneta estadimtrica e os dotados de distancimetro electrnico.

35 Se o comprimento a medir for curvo, ento ter de ser decomposto num nmero

conveniente de alinhamentos rectos.

36 O nvar uma liga de ao e nquel (30% de nquel), que possui um coeficiente de

dilatao trmica muito pequeno (10-6/C) 37

No mbito deste texto ser considerado que as tcnicas da Topografia clssica no englobam as modernas tcnicas de radionavegao por satlite (de que o posicionamento GNSS o tipo mais divulgado).


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6.2.1 Lunetas estadimtricas

As lunetas estadimtricas permitem a medio de distncias segundo a linha de visada distncias esta que designaremos por Di com base num princpio geomtrico muito simples

(semelhana de tringulos, ver Figura 47) que denominaremos princpio fundamental da estadimetria.

Figura 47: O princpio fundamental da estadimetria.

A luneta estadimtrica possui, no seu interior, um retculo (por construo perpendicular linha de visada38) constitudo por uma lmina de vidro na qual esto gravados a diamante um conjunto de finssimos traos denominados fios estadimtricos. A construo da luneta tal que sempre sobre o plano do retculo que se forma a imagem virtual dos objectos com ela observados. Assim, sempre possvel ter uma imagem onde figurem, perfeitamente focados, tanto os fios do retculo como o objecto observado. A distncia g, que separa os fios estadimtricos extremos (medida sobre o retculo) e a distncia d (aproximadamente igual distncia focal da luneta), so fixadas pelo fabricante e so constantes para uma dada luneta. O nmero gerador39 G dado pela projeco dos fios estadimtricos extremos sobre uma rgua graduada a mira40ou estdia colocada paralelamente a g. A constante k, igual a d/g, denomina-se constante estadimtrica, e por comodidade para o utilizador correntemente tornada igual a 50, 100 ou 200.

Assim, o princpio fundamental da estadimetria ser:

Eq. (15) k= = d Di Di Gg G

38 Tambm denominada eixo ptico da luneta.

39 O nmero gerador sempre um nmero positivo.

40 Mais correctamente denominada mira falante.

linha de visada

g G

d

D


50

O ngulo o ngulo estadimtrico ou ngulo paraltico e relaciona-se com a constante estadimtrica pela frmula:

Eq. (16) 1 k cot2 2

=

Se k=100 (o valor mais usual), ento ter-se- = 0.63666 grados.

Figura 48: Os fios estadimtricos.

6.2.2 As frmulas taqueomtricas

Figura 49: Distncia segundo a linha de visada, distncia horizontal e altura trigonomtrica.

As frmulas que, com base na medio indirecta de distncias e na medio de ngulos verticais, permitem calcular distncias horizontais e desnveis, denominam-se frmulas taqueomtricas41.

A necessidade de determinar a projeco horizontal das distncias medidas (Dh) obriga determinao de um ngulo vertical. O conhecimento da distncia segundo a linha de visada (Di) e do ngulo que esta direco forma com os planos horizontais (), permitir tambm determinar o desnvel vencido pela linha de visada, denominado altura trigonomtrica (h). Conforme veremos, a altura

41 Os taquemetros so instrumentos que permitem medir indirectamente distncias, bem

como ngulos verticais e horizontais.

fio estadimtrico superior

fio estadimtrico inferior

fio estadimtricoesquerdo

fio estadimtricodireito

fio mdio

fio vertical

Di

h

Dh


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trigonomtrica ir permitir calcular o desnvel entre pontos (H). Um nivelamento efectuado com recurso s frmulas taqueomtricas denomina-se nivelamento trigonomtrico (ver Nivelamentos).

6.2.2.1 Os ngulos verticais

Os ngulos verticais so usualmente medidos sobre um crculo graduado que defina um plano vertical. Em Topografia, estes ngulos podero ser medidos relativamente a uma de trs origens,

a saber:

ngulos de inclinao Medidos relativamente aos planos horizontais

ngulos zenitais z Medidos relativamente ao znite

ngulos nadirais n Medidos relativamente ao nadir

Figura 50: ngulos verticais e sua relao com o crculo trigonomtrico.

Da anlise do crculo trigonomtrico (ver Figura 50), resultam as seguintes relaes:

Eq. (17) sen cos cos = = z n

Eq. (18) cos sen sen = =z n

6.2.2.2 Instrumentos dotados de luneta estadimtrica (taquemetros clssicos) A aplicao do princpio fundamental da estadimetria ver Figura 47 e Eq. (15) implica,

conforme se viu, o paralelismo entre g e a mira. Esse paralelismo no fcil de garantir na prtica, particularmente quando estivermos a executar visadas inclinadas relativamente horizontal. A experincia mostra que quando a mira colocada horizontalmente mais fcil garantir uma razovel

perpendicularidade entre esta e a linha de visada.

No entanto, a utilizao de uma mira horizontal torna o trabalho de levantamento muito moroso, para alm de exigir que o porta-miras transporte, no apenas a mira mas tambm um

ZNITE

NADIR

linha d

e visa

da

z

n

horizontal

vertical

z

CRCULO TRIGONOMTRICO

linha d

e visa

da

n


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dispositivo onde ela possa ser apoiada. Portanto, na esmagadora maioria das situaes, preferida a

utilizao de miras colocadas verticalmente. Porm, se a mira for colocada verticalmente j se no pode admitir a perpendicularidade entre a linha de visada e a mira, o que obriga, para a determinao da distncia Di, a introduzir alteraes ao princpio fundamental da estadimetria.

a) Frmulas taqueomtricas para mira horizontal

Figura 51: Leituras sobre uma mira horizontal.

Sejam E e P pontos do terreno, definindo um segmento recto EP relativamente ao qual se pretende determinar a distncia horizontal Dh e o desnvel HEP. O instrumento est colocado no ponto

E e a mira colocada sobre o ponto P. Seja i a altura do instrumento42 e A a altura a que a mira est do solo. Tendo em ateno que k=Di G e que EP 0+ =i h A H , teremos:

42 Distncia, medida na vertical, que separa o centro ptico da luneta do ponto E

(denominado estao).

G=1,588-1,412=0,176 m

fio direito (f1)

fio mdio (f2)

fio esquerdo(f3)

14 15

: 1,588 m

1,500 m

1,412 m

:

:

Leituras na mira:

16


53

Figura 52: Taqueometria clssica com mira horizontal.

Eq. (19) k cos k sen k sen= = =Dh G G z G n

Eq. (20) EP k sen k cos k cosH i G A i G z A i G n A = + = + =

b) Frmulas taqueomtricas para mira vertical

Figura 53: Leituras sobre uma mira vertical.

A colocao da mira na posio vertical no permite a aplicao directa do princpio fundamental da estadimetria ao clculo da distncia Di. necessrio determinar a projeco do nmero gerador (G=f3-f1) sobre um segmento perpendicular linha de visada. Pode admitir-se que os raios luminosos que passam pelos fios estadimtricos superior e inferior so aproximadamente paralelos linha de visada; deste modo podemos escrever que a referida projeco dada aproximadamente por

cosG . Relativamente s equaes derivadas no ponto anterior, bastar substituir G por cosG , e notar que altura acima do ponto P a que a linha de visada intercepta a mira dada pela leitura do fio mdio. Assim, teremos:

E

P

Dh

H

hA

Di

z

n

mira horizontal

i

linha de visada

G

EP

19

18

17

Leituras na mira:

fio superior (f3)

fio mdio (f2)

fio inferior (f1)

1,878 m

1,789 m

1,700 m

G=1,878-1,700=0,178 m

:

:

:


54

Eq. (21) 2 2 2k cos k sen k senDh G G z G n= = =

Eq. (22) EP k sen cos 2 k sen cos 2 k sen cos 2H i G f i G z z f i G n n f = + = + =

Figura 54: Taqueometria clssica com mira vertical.

6.2.2.3 Instrumentos dotados de distancimetro electrnico (taquemetros electrnicos e estaes totais) A presena do distancimetro electrnico torna desnecessria a aplicao do princpio

fundamental de estadimetria para a determinao da distncia segundo a visada (Di). As frmulas podem ser obtidas a partir das equaes para mira horizontal Eq. (19) e Eq. (20). Note-se que agora A substitudo por bh (a altura do basto) que representa a altura a que o prisma est do solo.

G

E

P

Dh

H

hf2

Di

z

n

Gcos

mira vertical

DETALHE

i

linha de visada

EP


55

E

P

Dh

H

hh

Di

z

n

i

linha de visada

EP

basto

prisma reflector

b

Figura 55: Taqueometria com medio electrnica de distncias.

Eq. (23) cos sen sen= = =Dh Di Di z Di n

Eq. (24) EP sen cos cosb b bH i Di h i Di z h i Di n h = + = + =


56

Utilizao do taquemetro electrnico Wild TC 50043 (a)

(b)

(c)

43 Este taquemetro electrnico do tipo estao total, dado que efectua electronicamente as

leituras angulares (ngulos verticais e horizontais).


57

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

(i)


58

(j)

(k)

Legendas: (a) (b) e (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k)

Abertura do trip

Colocao sobre o ponto estao (utilizao do fio de prumo) Fixao do taquemetro ao prato do trip

Nivelamento do taquemetro (calagem da nivela esfrica) Verificao da colocao sobre o ponto estao (utilizao do prumo ptico) Medio da altura do instrumento

Pontaria ao prisma reflector

Basto, prisma reflector e alvo auxiliar

Visor do taquemetro, com afixao das leituras lineares e angulares

Registo manual das leituras

Aulas laboratoriais do curso de Engenharia Geotcnica e Geoambiente, Maio de 2003 Fotografias de Nuno Cristelo

6.2.3 Medio electrnica de distncias (MED) Os equipamentos de medio electrnica de distncias os distancimetros electrnicos

vieram revolucionar a prtica da Topografia. Tradicionalmente, a medio de distncias por processos indirectos era evitada face medio de ngulos. Os distancimetros electrnicos, capazes de precises, na medio indirecta de distncias, nunca antes imaginadas, vieram tornar a medio de

distncias uma alternativa medio de ngulos.

Os aparelhos MED avaliam as distncias determinando o tempo que certos tipos de ondas electromagnticas as demoram a percorrer. Consoante as caractersticas das ondas utilizadas, assim os equipamentos MED so constitudos por um emissor/receptor (obrigando utilizao de um


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dispositivo de reflexo antenas parablicas ou prismas de reflexo) ou dois aparelhos distintos, o emissor e o receptor.

ou T

distncia (x) ou instante (t)

Figura 56: Grfico de uma onda.

Uma onda uma funo de duas variveis, o tempo (t) e uma distncia (x). Se a representao grfica da onda for feita para constantet = , o traado repetir-se- a intervalos iguais ,

denominado comprimento de onda. Se a representao for feita para constantex = , o grfico da funo vai repetir-se a intervalos iguais T, denominados perodo da onda. O inverso do perodo

denomina-se frequncia e usualmente expresso em Hertz (1 Hz=1 s1)

Os distancimetros electrnicos emitem usualmente ondas modeladas. De um modo muito

resumido, a modelao de um fenmeno ondulatrio poder ser entendida como o resultado da sobreposio de uma onda dita modeladora a uma outra que se denomina onda portadora. A portadora seleccionada tendo em ateno as suas caractersticas de propagao e penetrao face ao tipo de

utilizao prevista para o aparelho. A onda modeladora por vezes denominada sinal horrio utilizada para determinar o intervalo de tempo que medeia entre a emisso e a recepo.

6.2.3.1 Tipos de fenmenos ondulatrios utilizados

corrente a classificao dos equipamentos MED nas duas categorias que se seguem:

o Equipamentos electro-pticos: utilizam luz incoerente visvel ou invisvel, neste ltimo caso usualmente na gama do infravermelho ou luz coerente (laser)

o Equipamentos electromagnticos: utilizam ondas rdio e microondas

Na realidade, as ondas luminosas, independentemente do seu tipo (isto , luz visvel ou invisvel, coerente ou incoerente) so tambm fenmenos electromagnticos, mas com frequncias muito diferentes da apresentada pelas ondas rdio e pelas microondas.


60

6.2.3.2 Tipos de propagao das ondas

a) Ondas de baixa frequncia (30 Mhz)

Figura 58: Trajectos de propagao das ondas de alta-frequncia.

So usadas na medio de distncias curtas (inferiores a 100 Km). Portanto, so as usadas pelos distancimetros utilizados em Topografia. Nestes equipamentos, a medio da distncia dever ser feita apenas recorrendo a ondas directas. As ondas reflectidas na troposfera ou na ionosfera (ondas dispersas) sofrem o fenmeno de disperso scattering e so causa de erros; pela mesma razo, tambm as ondas que eventualmente sofram reflexo na superfcie terrestre (ondas reflectidas) devem ser evitadas (ver Figura 58)

Emissor Receptor

Onda reflectidaOnda de superf cie

Onda directaSuperfcie terrestre

Ionosfera

Emissor Receptor

Onda

disper

sa

Onda directa

Onda reflectida

Superfcie


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6.2.3.3 Tipos de ondas electromagnticas utilizados, em termos de frequncia

Ondas Longas (sistemas hidrogrficos Decca e Loran)

Comprimentos de onda da ordem das centenas de metros; portanto so ondas de baixa frequncia. No so significativamente afectados pelas condies meteorolgicas na troposfera, mas so muito

sensveis s caractersticas electromagnticas da superfcie terrestre. Por esta razo s devem ser empregues sobre superfcies homogneas caso dos oceanos e aps calibrao. Utilizam para

as medies apenas as ondas de superfcie. So usadas fundamentalmente em levantamentos hidrogrficos e oceanogrficos. No creio que sejam modeladas????

Microondas A portadora uma microonda, com comprimentos de onda da ordem dos centmetros (frequncias superiores a 3GHz). Propagao rectilnea; boa penetrao atmosfrica mas por vezes ocorrem problemas com reflexes no terreno. Para as medies dos intervalos de tempo usada uma onda de mais baixa frequncia

(inferior a 10 MHz). So usadas para medies de at 30 50 Km, sendo usualmente a extenso da linha de vista a condicionante.

Luz visvel, incoerente ou luz coerente (laser)

O comprimento de onda da portadora da ordem dos 0.5 microns

(106 metros). A onda modeladora tem uma frequncia muito mais baixa. Apresentam uma relativamente fraca penetrao atmosfrica, mas raramente se verificam reflexes indesejveis. As medies so feitas usando a onda directa. O alcance inferior ao das microondas

dado que a energia da onda mais rapidamente absorvida pela atmosfera.

Infravermelhos So as ondas mais usadas em Topografia. A portadora uma radiao da zona do infravermelho prximo, tendo portanto um comprimento de onda da ordem de 1 mcron. Apresentam boa penetrao atmosfrica (os efeitos da temperatura e da humidade so pequenos). A medio efectuada sobre a onda directa. A mais importante causa de atenuao do sinal a disperso (scatter). O alcance destes instrumentos tambm limitado pela potncia dos emissores de infravermelhos utilizados; so tpicos alcances na

ordem dos 5 Km. Em condies de temperatura e humidade elevadas pode verificar-se um significativo acrscimo na absoro da energia do sinal o que provoca uma sensvel diminuio no

alcance.


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6.3 Breve anlise intuitiva dos erros na medio de distncias

A medio de uma distncia , como qualquer outra medio, afectada por erros sistemticos e por erros acidentais. Os erros causados pela incorrecta utilizao dos instrumentos de medida no vo ser objecto das consideraes que se seguem44.

Os erros acidentais podero ser evitados, ou pelo menos minorados, utilizando prticas que a experincia demonstra serem adequadas, bem como repetindo as medies, processo que permitir

detectar erros grosseiros e determinar valores mdios . Como estes erros no so previsveis, a sua anlise e tratamento apenas possvel com recurso Estatstica.

Se admitirmos uma graduao uniformemente constante do instrumento de medida, ento poderemos afirmar que os erros sistemticos se revestem de duas caractersticas fundamentais: apresentam sempre a mesma grandeza relativa e do-se sempre no mesmo sentido. Seja L o valor medido e L* o seu valor exacto45. Com base nestas grandezas, define-se erro absoluto L da medio como sendo igual a:

Eq. (25) * = L L L .

O erro absoluto , no caso mais geral, decomponvel em duas parcelas: uma (L0), independente do comprimento medido, devida a um incorrecto posicionamento da origem da escala, e outra, dependendo do valor medido, devida ao facto das divises da escala utilizada no serem perfeitas, apresentando todas elas a mesma diferena relativamente s divises de escala perfeita (veja-se a Figura 59).

Figura 59: Situaes possveis na medio de um segmento com uma escala uniformemente constante

44 Estes erros eliminam-se de um modo simples: aprendendo a operar devidamente os

instrumentos antes de os utilizar!

45 No meio fsico nada conhecido com exactido. Entenda-se por valor exacto um valor

que foi determinado com uma preciso claramente superior quela com que se determinou L.

A B

0 5 10 15 20

L

L0

0 5 10 15 20

escala perfeita

0 5 10 15 20

escala imperfeita com erro na origem

escala imperfeita sem erro na origem


63

Se admitirmos que a medio executada por um operador qualificado utilizando equipamento em boas condies, ento de crer que L0 ser nulo46. Nestas condies, o erro cometido apenas directamente proporcional ao valor da medio. O coeficiente de proporcionalidade o erro

relativo () e ser dado por = L L . O valor do erro relativo uma caracterstica do instrumento e constante quando o equipamento utilizado em idnticas circunstncias. Medies distintas, efectuadas pelo mesmo instrumento em condies idnticas, apresentaro o mesmo erro relativo. Assim, se

utilizarmos um instrumento cujo erro relativo para medir um segmento e encontrarmos o valor D, ento teremos * = = D D D D e portanto:

Eq. (26) * (1 )= D D

Se utilizarmos o mesmo instrumento para medir reas, para deduzir as correspondentes

expresses basta recordar que uma rea sempre o produto de dois comprimentos. Sejam 1D e 2D os valores medidos que permitiram determinar a rea 1 2= A D D . Vir portanto:

Eq. (27) * * * 21 2 (1 )A D D A= =

Nos instrumentos utilizados na medio directa de distncias a determinao do valor de

conceptualmente muito simples: basta considerar para comprimento medido o comprimento nominal do segmento, isto , aquele que se obtm utilizando na medio o instrumento em anlise, e considerar como valor exacto (correcto) o valor obtido para comprimento desse segmento utilizando instrumentos e tcnicas de medio que garantam uma preciso muito superior preciso do instrumento analisado.

Para os instrumentos utilizados na medio indirecta de distncias, o problema j de mais difcil resoluo dado que, entre outros factores, ser necessrio ter em considerao as condies meteorolgicas na ocasio das medies e, para certos instrumentos electrnicos, as caractersticas

electromagnticas ambientais. Para condies de utilizao correntes e precises usuais, os fabricantes de equipamentos electrnicos para medio indirecta de distncias fazem-nos acompanhar de tabelas de mltipla entrada que permitem estimar o erro relativo das medies efectuadas.

A preciso das medies efectuadas com lunetas estadimtricas depende, fundamentalmente, da preciso com que foram medidos os nmeros geradores e os ngulos verticais. A preciso na

medio de ngulos desde sempre foi o ponto forte dos equipamentos topogrficos. Vamos admitir que a influncia dos erros cometidos na medio dos ngulos verticais desprezvel face ao efeito dos erros cometidos na avaliao dos nmeros geradores.

46 Na realidade, tal nunca acontece exactamente. No entanto, este erro tomar sempre valores

pequenos e que se revestiro de caractersticas aleatrias que o transferem para a categoria dos erros acidentais.


64

A determinao de G afectada pela qualidade de construo do instrumento, nomeadamente qualidade da ptica da luneta e preciso da constante estadimtrica k, pela preciso da graduao da mira utilizada e pela preciso com que as leituras sobre a mira so efectuadas. Esta ltima

depende da distncia a que o instrumento se encontra da mira, da ampliao e luminosidade da imagem obtida pela luneta, das condies atmosfricas e, dentro de certos limites, da acuidade visual do operador. Por simplicidade, vamos admitir que as qualidades de construo da luneta e da mira so irrepreensveis, que as condies atmosfricas so as ideais e que o operador tem uma viso normal. Assim, o erro na avaliao das distncias vai depender fundamentalmente da preciso das leituras que o

operador faz sobre a mira. As miras mais correntemente utilizadas so graduadas em centmetros; corrente a execuo de leituras com estimativa do milmetro.

Se as visadas efectuadas no forem exageradamente longas face s caractersticas pticas da

luneta utilizada, poderemos aceitar que, para cada leitura efectuada sobre a mira f se pode definir um intervalo de 2 milmetros de amplitude, centrado em f, que garantidamente47 contm o valor exacto dessa leitura. Isto , sendo f* o valor exacto da leitura, teremos:

Eq. (28) [ ]* 1 mm , 1 mmf f f +

O nmero gerador obtido por subtraco de duas leituras, ambas executadas em idnticas

condies (veja-se a Figura 53). Assim, o erro que afectar G variar entre 0 e 2 mm. Portanto, na situao mais desfavorvel, o erro cometido na determinao da distncia segundo a linha de visada

ser de k2 mm.

Em trabalhos correntes de Topografia, utilizando instrumentos de mdia preciso dotados de

luneta estadimtrica, no conveniente fazer visadas com comprimentos superiores a cerca de 100 metros. Para esta distncia, e para k=100 (o valor mais usual), o erro relativo ser da ordem de 0,4%. Note-se tambm que no ser possvel utilizar estes equipamentos para executar levantamentos

regulares em escalas superiores a 1/1000.

47 Na Fsica nada garantido! Deve entender-se que a probabilidade do intervalo assim

definido conter o valor exacto da leitura, quando efectuada por um operador competente, muito grande, por exemplo 95% ou 99%.

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