Cap10 - Parte 3 - Anova Dois Caminho De Classificação
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Análise de
Variância
Dois Caminhos de
Classificação
Análise de Variância Dois Caminhos de Classificação
Neste caso serão comparados dois componentes simultaneamente:
TRATAMENTO;
BLOCO.
Dois Caminhos de Classificação* Banco de Dados *
Tratamento Bloco
1 2 3 • • • k
1 X 1 , 1 X 1 , 2 X 1 , 3 X 1 , K
2 X 2 , 1 X 2 , 2 X 2 , 3 X 2 , K
3 X 3 , 1 X 3 , 2 X 3 , 3 X 3 , K
• • •
n X n , 1 X n , 2 X n , 3 X n , K
Neste caso são dois quadros de Hipóteses, de Tratamentos, a saber:
Dois Caminhos de Classificação* Quadro de Hipóteses *
====
MédiaMesmaapossuisTratamentoostodosNem:H
T...TTT:H
1
K3210 T i se refere ao i-ezimo tratamento
Dois Caminhos de Classificação* Quadro de Hipóteses *
E de Blocos:
====
MédiaMesmaapossuicosBloostodosNem:H
B...BBB:H
1
K3210 B j se refere ao j-ezimo Bloco
Dois Caminhos de Classificação* Graus de Liberdade *
Tratamento: k – 1 (k é a quantia de tratamentos);
Bloco: b - 1 ( b = quantia de blocos ).
Do Total da Amostra: n – 1
Do Resíduo: n – k – b + 1
ANOVA 2 (Two Way)* Quadro Analítico *
Fonte de Variação
Soma de Quadrados
Graus de Liberdade
Quadrado Médio F
Entre Tratamentos
SQE k – 1 1−
=kSQE
QME QMRQME
FTRAT =
Entre Blocos SQB b – 1 1−
=bSQB
QMB QMRQMB
FBLOCO =
Resíduo SQR n – k – b + 1 1+−−
=bkn
SQRQMR
Total SQT n - 1
ANOVA 2 (Two Way)* Soma de Quadrados *
SQT ( Soma de Quadrados Totais)
]geralmédiaadenotax[)xx(SQTi
j,i∑ −= 2
SQE (Soma de Quadrados Entre Tratamentos)
[ ]∑ −= iTratamentodoMédiaaDenotaX)XX(SQE *,I*,I2
ANOVA 2 (Two Way)* Soma de Quadrados *
SQR ( Soma de Quadrados dos Resíduos)
SQBSQESQTSQR −−=
SQB (Soma de Quadrados Dentro do Bloco)
[ ]∑ −= jBlocodoMédiaaDenotaX)XX(SQB j,*j,*2
ANOVA 2 (Two Way)* Exemplo *
Pesquisa: Avaliar a Sorção no Clareamento de
Dentes. (Simulada). Comentário Sobre Esta Pesquisa.
Existem Vários Tipos de Solvente para ser Aplicado,
vamos simular Quatro;
Também existem diversas Técnicas de Aplicação, serão
simulados para Três.
ANOVA 2 (Two Way)* Exemplo * Dados Simulados
Quadro 1 – Valor de Sorção Por Solvente e Por Técnica
Solvente Técnica
A B C D
1 19,9 32,3 30,7 22,6
2 19,7 21,9 22,4 22,3
3 17,2 16,7 19,0 16,8
ANOVA 2 (Two Way)* Exemplo *
Testar se Existe Diferença ou Não na
Sorção por Tipo de Solvente;
Testar se o Valor da Sorção é influenciado
ou não pela Técnica Utilizada em sua
Aplicação.
ANOVA 2 (Two Way)* Exemplo * Solução.
Acreditando que a Sorção, tanto por tipo de Solvente, bem como por técnica empregada tenha Distribuição Normal, vem que:
1. São Quatro Tratamentos (Solvente);2. Foram utilizados Três Blocos (Técnicas);
Chega que o Teste a ser usado é Análise de Variância, em Tratamento e em Bloco (Dois Caminhos).
ANOVA 2 (Two Way)* Exemplo * Médias
Geral
12
816322622019422730716921332217719919 ,,,,,,,,,,,,x
+++++++++++=
7921,x =
Quadro 1 – Valor de Sorção Por Solvente e Por Técnica
Solvente Técnica
A B C D
1 19,9 32,3 30,7 22,6
2 19,7 21,9 22,4 22,3
3 17,2 16,7 19,0 16,8
ANOVA 2 (Two Way)* Exemplo * Médias
De cada Solvente (Tratamento)
93183
217719919,
,,,x ASolv =++= 0324
3
019422730,
,,,x CSolv =++=
63233
716921332,
,,,x BSolv =++= 5720
3
816322622,
,,,x DSolv =++=
Quadro 1 – Valor de Sorção Por Solvente e Por Técnica
Solvente Técnica
A B C D
1 19,9 32,3 30,7 22,6
2 19,7 21,9 22,4 22,3
3 17,2 16,7 19,0 16,8
ANOVA 2 (Two Way)* Exemplo * Médias
De cada Técnica (Bloco)
38264
6227303329191 ,
,,,,x Téc =+++=
58214
3224229217192 ,
,,,,x Téc =+++=
43174
8160197162173 ,
.,,,x Téc =+++=
Quadro 1 – Valor de Sorção Por Solvente e Por Técnica
Solvente Técnica
A B C D
1 19,9 32,3 30,7 22,6
2 19,7 21,9 22,4 22,3
3 17,2 16,7 19,0 16,8
ANOVA 2 (Two Way)* Exemplo * Soma de Quadrados
Quadro 1 – Valor de Sorção Por Solvente e Por Técnica
Solvente Técnica
A B C D
1 19,9 32,3 30,7 22,6
2 19,7 21,9 22,4 22,3
3 17,2 16,7 19,0 16,8
Devido ao Total (Lembre: Média Geral = 21,79)
2222 7921816792121779217197921919 ),,(...),,(),,(),,(SQTotal −++−+−+−=
75278,SQTotal=
ANOVA 2 (Two Way)* Exemplo * Soma de Quadrados
Devido ao Tratamento:
Lembrete: Médias
Geral Tratamento 1
(Solvente A)
Tratamento 2
(Solvente B)
Tratamento 3
(Solvente C)
Tratamento 4
(Solvente D)
21,79 19,93 23,63 24,03 20,57
Devido ao Tratamento (Solvente)
2222 79215720792103247921632379219319 ),,(),,(),,(),,()Solvente(SQTrat −+−+−+−=
0918,)Solvente(SQTrat =
ANOVA 2 (Two Way)* Exemplo * Soma de Quadrados
Devido ao Bloco:
Devido ao Bloco (Técnica)
222 792143177921582179213823 ),,(),,(),,()Técnica(SQBloco −+−+−=
1240,)Técnica(SQBloco =
Lembrete: Médias
Geral Bloco 1 (Técnica 1) Bloco 2 (Técnica 2) Bloco 3 (Técnica 3)
21,79 19,93 23,63 24,03
ANOVA 2 (Two Way)* Exemplo * Soma de Quadrados
Devido ao Resíduo
Do Resíduo
Como: SQR = SQT – SQB – SQtrat
Vem: SQR = 278,75 – 18,09 – 40,12 = 220,54
ANOVA 2 (Two Way)* Exemplo * Quadro
Fonte de Variação
Soma de Quadrados
Graus de Liberdade
Quadrado Médio F
Tratamento 18,09 4 – 1 = 3 0363
0918,
,QMTrat == 1640
7636
036,
,,
FTrat ==
Bloco 40,12 3 - 1 = 2 06202
1240,
,QMB == 5460
7636
0620,
,,
FBloco ==
Resíduo 220,54 11 -3 – 2 = 6 76366
54220,
,QMR ==
Total 278,75 12 – 1 = 11
ANOVA 2 (Two Way)* Exemplo * Uso da Tabela
Tratamento:
Graus de Liberdade Valor de p
Numerador: 3
Denominador: 6 P > 0,05
ANOVA 2 (Two Way)* Exemplo * Uso da Tabela
Devido ao Bloco:
Graus de Liberdade Valor de p
Numerador: 2
Denominador: 6 P > 0,05
ANOVA 2 (Two Way)* Exemplo * Conclusão
Por Técnica: Como p > 0,05, indica que existe similaridade na
quantidade de Sorção entre as diversas Técnicas Empregadas;
Por Solvente: Como p > 0,05, indica que existe similaridade na
quantidade de Sorção entre as diversas marcas de Solvente utilizadas na pesquisa;
ANOVA 2 (Two Way)* Comentário sobre o Exemplo *
Na maneira pelo qual foi executado esta
pesquisa, para cada Técnica (Bloco) foi
observado um único valor da Sorção em cada
solvente, e assim a conclusão fica bastante
restringida, devido a isto o que se faz é:
ANOVA 2 (Two Way)* Comentário sobre o Exemplo *
Em Cada Bloco, observar vários valores em cada Tratamento, e é denominado de:
Blocos com Repetição, podendo ser: Completo ou Incompleto.
ANOVA 2 – Bloco Completo * Modelos Matemáticos Com Repetição*
* Graus de Liberdade *
Tratamento: k – 1 (k é a quantia de tratamentos);
Bloco: r x b - 1 ( b = quantia de blocos; r Repetição
no Bloco ).
Do Total da Amostra: n – 1
Do Resíduo: n – k – r x b + 1
ANOVA 2 – Bloco Completo * Soma de Quadrados *
SQT ( Soma de Quadrados Totais)
]geralmédiaadenotax[)xx(SQTi
j,i∑ −= 2
SQE ( Soma de Quadrados Entre Tratamentos)
]itratamentodomédiaadenotax[)xx(.nSQE ii
ii∑ −= 2
ANOVA 2 – Bloco Completo * Soma de Quadrados *
SQB ( Soma de Quadrados Entre Blocos)
]jBlocodomédiaadenotax[)xx(.kSQB ji
jj∑ −= 2
SQR ( Soma de Quadrados dos Resíduos)
SQBSQESQTSQR −−=
ANOVA 2 - Bloco Completo *Exemplo*
Pesquisa: Avaliar a Sorção no Clareamento de
Dentes. (Simulada). Comentário Sobre Esta Pesquisa.
Existem Vários Tipos de Solvente para ser Aplicado,
vamos simular Quatro;
Também existem diversas Técnicas de Aplicação, serão
simulados para Três.
ANOVA 2 - Bloco Completo *Exemplo* Dados Simulados
Solvente Técnica
A B C D
1 19,9 32,3 30,7 22,6
1 18,4 21,4 20,0 20,0
1 18,6 24,5 21,3 20,6
1 20,4 20,3 18,0 19,9
1 16,5 21,6 20,8 19,3
2 19,7 21,9 22,4 22,3
2 23,1 22,7 20,9 23,8
2 20,1 27,1 18,3 19,3
2 18,4 18,6 19,1 21,2
2 20,3 23,0 25,9 20,8
3 17,2 16,7 19,0 16,8
3 20,0 20,1 16,8 19,4
3 17,7 19,8 19,7 13,5
3 19,8 19,9 16,2 17,1
3 17,1 20,0 18,4 15,8
Note que para a coleta dos dados,
01. Testou quatro tipos de Solvente (Tratamentos);
02. Foi utilizado três Técnicas Diferentes;
03. Para Cada Técnica e em cada um dos Solventes, coletou 5 amostras (mesma grandeza para todos e não houve parcelas não-coletadas);
Por isto é que Constitui um:
Bloco Completo Com Repetição
ANOVA 2 (Two Way)* Exemplo *
Testar se Existe Diferença ou Não na
Sorção por Tipo de Solvente;
Testar se o Valor da Sorção é influenciado
ou não pela Técnica Utilizada em sua
Aplicação.
ANOVA 2 (Two Way)* Exemplo * Solução
Acreditando que a Sorção, tanto por tipo de Solvente, bem como por técnica empregada tenha Distribuição Normal, vem que:
1. São Quatro Tratamentos (Solvente);
2. Foram utilizados Três Blocos (Técnicas);
Chega que o Teste a ser usado é Análise de Variância, em Tratamento e em Bloco (Dois Caminhos).
ANOVA 2 (Two Way)* Exemplo * Médias na Amostra.
Geral 2832060
815117421332117418919,
,,...,,,...,,x =++++++++=
Em cada Tratamento (Solvente)
1471915
117418919,
,...,,x ASolv =+++= 50020
15
418020730,
,...,,x CSolv =+++=
9932115
020421332,
,...,,x BSolv =+++= 49319
15
815020622,
,...,,x DSolv =+++=
ANOVA 2 (Two Way)* Exemplo * Médias na Amostra.
Em cada Bloco (Técnica)
3552120
3196225164189191 ,
,...,...,...,,x Téc =+++++++=
4452120
8203223201237192 ,
,...,...,...,,x Téc =+++++++=
051820
8158161170202173 ,
,...,...,...,,x Téc =+++++++=
ANOVA 2 (Two Way)* Exemplo * Soma de Quadrados
48360828320815
28320418283209192
22
,),,(...
),,(),,(SQTotal
=−+++−+−=
28773283204931915283205002015
28320993211528320147191522
22
,),,(x),,(x
),,(x),,(xSQTratam
=−+−++−+−=
71414928320051820
2832044521202832035521202
22
,),,(x
),,(x),,(xSQBloco
=−++−+−=
ANOVA 2 (Two Way)* Exemplo * Soma de Quadrados
Do Resíduo
Como: SQR = SQT – SQB – SQtrat
Vem: SQR = 608,483 – 73,287 – 149,714 = 385,482
ANOVA 2 (Two Way)* Exemplo * Quadro
Fonte de Variação
Soma de Quadrados
Graus de Liberdade
Quadrado Médio F
Tratamento 73,287 4 – 1 = 3 429243
28773,
,QMTrat == 6622
1789
42924,
,,
FTrat ==
Bloco 149,714 15 – 1 = 14 6941014
714149,
,QMB == 1651
1789
69410,
,,
FBloco ==
Resíduo 385,482 59 – 3 – 14 = 42 178942
482385,
,QMR ==
Total 608,483 60 – 1 = 59
ANOVA 2 (Two Way)* Exemplo * Uso da Tabela
Entre Tratamentos:
Graus de Liberdade Valor de p
Numerador: 3
Denominador: 42 P > 0,05
ANOVA 2 (Two Way)* Exemplo * Uso da Tabela
Por Blocos.
Graus de Liberdade Valor de p
Numerador: 14
Denominador: 42 P > 0,05
ANOVA 2 (Two Way)* Exemplo * Conclusão
Por Técnica: Como p > 0,05, indica que existe similaridade na
quantidade de Sorção entre as diversas Técnicas Empregadas;
Por Solvente: Como p > 0,05, indica que existe similaridade na
quantidade de Sorção entre as diversas marcas de Solvente utilizadas na pesquisa;
Análise de Variância
Dois Caminhos de Classificação
FIMProf. Gercino Monteiro Filho