Cap03 Met Desloc Trel Port

29

CAPTULO 3

MTODO DOS DESLOCAMENTOS EM TRELIAS E PRTICOS

Com o objectivo de apresentar alguns conceitos como o de assemblagem e introduode condies de apoio, faz-se aqui uma sucinta descrio do mtodo dos deslocamentosaplicado anlise de trelias e prticos tridimensionais.

3.1 - Simbologia

Apresenta-se em primeiro lugar um resumo da simbologia adoptada na formulao domtodo dos deslocamentos em trelias e prticos.

Tabela 3.1 - Simbologia relativa ao mtodo dos deslocamentos em estruturas reticuladas.

g Referencial geral

a Referencial auxiliar

l Referencial local

i Primeiro n de uma barra

j Segundo n de uma barra

ngulo entre eixos dos referenciais auxiliar e local

xg Coordenadas de um ponto no referencial geral

xl Coordenadas de um ponto no referencial local

T Matriz de transformao

a Deslocamento ou deslocamento generalizado

Rotao

F Fora ou fora generalizada

M Momento

Mtodo dos Deslocamentos em Trelias e Prticos - lvaro F. M. Azevedo

30

a Deslocamentos nodais, nos graus de liberdade da estrutura, no referencial geral

ag Deslocamentos nodais, nos graus de liberdade da barra, no referencial geral

al Deslocamentos nodais, nos graus de liberdade da barra, no referencial local

K Matriz de rigidez da estrutura no referencial geral

Kg Matriz de rigidez da barra no referencial geral

Kl Matriz de rigidez da barra no referencial local

F Foras nodais equivalentes aco exterior, nos graus de liberdade da estrutura,no referencial geral

Fg Foras nodais equivalentes aco exterior, nos graus de liberdade da barra, noreferencial geral

Fl Foras nodais equivalentes aco exterior, nos graus de liberdade da barra, noreferencial local

L ndice correspondente a um grau de liberdade no prescrito (livre)

P ndice correspondente a um grau de liberdade prescrito

R Reaco num apoio da estrutura

n Nmero de graus de liberdade no prescritos (livres)

p Nmero de graus de liberdade prescritos

E Mdulo de Young de um material

A rea da seco transversal de uma barra

L Comprimento de uma barra

G Mdulo de distoro de um material

I Momento de inrcia da seco transversal de uma barra

It Momento de inrcia de toro da seco transversal de uma barra


31

3.2 - Referenciais

De acordo com o que foi descrito no Captulo 2, na formulao da matriz de rigidez deuma barra de eixo rectilneo e de seco constante so considerados dois referenciaisdirectos e ortonormados: o geral (g1,g2,g3) e o local (l1,l2,l3). O referencial geral aqueleem que se encontram expressas as coordenadas de todos os ns que depois soutilizados para definir a posio das barras. O referencial local definido pelosseguintes eixos: l1 o eixo da barra e l2 e l3 so os eixos principais centrais de inrcia daseco transversal da barra (ver a Figura 3.1).

g1

g2

g3

l 1

l2l 3

ij

i < j

Fig. 3.1 - Barra i j, referencial geral g e referencial local l.

Considera-se habitualmente, sem perda de generalidade, que a barra definida pelos ns ie j tem o n i coincidente com a origem dos dois referenciais e o n j sobre o semi-eixopositivo l1. tambm habitual considerar que o nmero do n i inferior ao nmero don j (i < j).

Os eixos l2 e l3 podem ser trocados entre si, tendo em ateno que o referencial localdeve ser sempre directo. A troca de l2 com l3 obriga a trocar entre si os valores dosmomentos de inrcia em relao a l2 e l3. Em qualquer dos casos necessrio definir

criteriosamente o ngulo (ver o Captulo 2).


32

A transformao de coordenadas entre os referenciais g e l efectuada com a seguinte

expresso em que T a matriz de transformao (3x3) definida tambm no Captulo 2.

gl xTx = (1)

Nesta expresso, gx so as coordenadas de um ponto no referencial g e lx so as

coordenadas desse mesmo ponto no referencial l. A equao (1) tambm pode serutilizada para transformar as componentes de um vector do referencial g para oreferencial l.

3.3 - Graus de liberdade

Num ponto do espao pertencente a um corpo sujeito a deslocamentos e deformaespodem ser considerados seis graus de liberdade (trs de deslocamento e trs de rotao).

=

=

6

5

4

3

2

1

3

2

1

3

2

1

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

(2)

Designa-se por deslocamentos generalizados o agrupamento dos trs deslocamentos edas trs rotaes num s vector com seis componentes (ver a Figura 3.2).

a1

a2

a3

= a4 1

= a5 2

= a6

3

Fig. 3.2 - Deslocamentos generalizados.


33

No estudo de um prtico 3D so considerados os seis deslocamentos generalizados emcada ponto nodal (da barra ou da estrutura). O caso da trelia 3D, em que apenas soconsiderados trs deslocamentos em cada ponto nodal (a1, a2 e a3), pode ser adaptado doprtico 3D, bastando eliminar tudo o que diz respeito a rotaes e momentos. Para sepassar da trelia 3D para a trelia 2D basta suprimir tudo o que diz respeito a um dostrs graus de liberdade. Os prticos 2D, grelhas e vigas contnuas so tambmsimplificaes do caso do prtico 3D.

Por ser o caso mais genrico, de aqui em diante apenas se desenvolve a formulao dabarra de prtico 3D.

Em correspondncia com os seis deslocamentos generalizados, so consideradas seisforas generalizadas (3 foras e 3 momentos), que se representam na Figura 3.3.

F1

F2

F3

= F4 1

= F52

= F6

3

Fig. 3.3 - Foras generalizadas.

Na Figura 3.4 encontra-se representada uma barra de dois ns (i e j). Em cada n soconsiderados seis graus de liberdade em correspondncia com os seis deslocamentosgeneralizados (2). Assim, o nmero de graus de liberdade da barra doze.


34

3

1 42

5

6

9

710

8

11

12

i

ji < j

l 1

l 2

l 3

Fig. 3.4 - Graus de liberdade da barra i j no referencial local.

Em correspondncia com os doze graus liberdade representados na Figura 3.4, tm-setambm as foras e os momentos que actuam nas extremidades da barra.

3.4 - Matriz de transformao

A matriz de transformao T referida em (1) uma matriz 3x3 cujos componentes so

=

333231

232221

131211

TTTTTTTTT

T (3)

A transformao dos doze deslocamentos generalizados representados na Figura 3.4

pode ser efectuada com a seguinte relao, desde que a matriz de transformao T

passe a ser uma matriz 12x12 constituda pela repetio de (3) quatro vezes.

( ) ( ) ( )1121212112 = gl aTa (4)


35

=

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

TTTTTTTTT

TTTTTTTTT

TTTTTTTTT

TTTTTTTTT

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

333231

232221

131211

333231

232221

131211

333231

232221

131211

333231

232221

131211

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

000000000000000000000000000

000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

(5)

3.5 - Matriz de rigidez e vector solicitao

Supondo o caso de uma barra de eixo rectilneo e seco constante, a respectiva matriz

de rigidez no referencial local ( )lK , bem como o vector de foras nodais equivalentes adiversos tipos de aces ( )lF podem ser directamente obtidos com base num formulriode estruturas [3.1] (ver tambm as Seces 3.9 e 3.10). Assim, parte-se do princpio quese dispe da matriz lK e do vector lF , que se relacionam com a habitual equao

( ) ( ) ( )1121121212 = lll FaK (6)

sendo la o vector dos deslocamentos generalizados da barra no referencial local.

As equaes (4) e (5) so vlidas, quer para os deslocamentos generalizados, quer paraas foras generalizadas, tendo-se tambm

( ) ( ) ( )1121212112 = gl FTF (7)

Uma vez que a matriz de transformao ortogonal, i.e.

1= TT T (8)


36

multiplicam-se ambos os membros de (7) por TT e obtm-se

( ) ( ) ( )1121212112 = l

Tg FTF (9)

Substituindo em (9) a equao (6)

( ) ( ) ( )1121212112 = lll aKF (10)

resulta

( ) ( ) ( ) ( )11212121212112 = ll

Tg aKTF (11)

Substituindo (4) em (11) chega-se a

( ) ( ) ( ) ( ) ( )112121212121212112 = gl

Tg aTKTF (12)

Uma vez que a relao de rigidez da barra no referencial geral

( ) ( ) ( )1121121212 = ggg FaK (13)

Da comparao de (12) com (13) conclui-se que a matriz de rigidez da barra deprtico 3D no referencial geral dada por

( ) ( ) ( ) ( )1212121212121212 = TKTK l

Tg (14)

O vector solicitao gF pode ser calculado com a expresso (9).

Depois de serem conhecidos os deslocamentos ga , possvel calcular as aces nas

extremidades das barras no referencial local, recorrendo seguinte expresso, queresulta da substituio de (4) em (10)

( ) ( ) ( ) ( )11212121212112 = gll aTKF (15)


37

3.6 - Assemblagem da matriz de rigidez global e do vector solicitao

Depois de calculadas todas as matrizes de rigidez das barras no referencial geral comrecurso expresso (14), necessrio proceder ao clculo da matriz de rigidez global daestrutura. Uma operao semelhante tem de ser efectuada com os vectores solicitaodas diversas barras.

A assemblagem na matriz de rigidez global das matrizes de rigidez das diversas barras em seguida apresentada com base no exemplo da Figura 3.5.

1

A

a1

2 3 4B C

D

a2

a3

a4

F1

F2

F3 F4

Fig. 3.5 - Assemblagem num exemplo unidimensional.

A estrutura representada na Figura 3.5 unidimensional, tem quatro ns (1 a 4) e quatrobarras (A a D). Cada barra tem as suas caractersticas, nomeadamente, o mdulo deYoung (E), a rea da seco transversal (A) e o comprimento (L). Em cada n existe umnico grau de liberdade. Em correspondncia com os quatro graus de liberdade existemquatro deslocamentos nodais (a) e quatro foras nodais equivalentes acoexterior (F). Cada barra tem dois graus de liberdade (um em cada extremidade).

Para cada barra conhecida a matriz de rigidez (2x2) no referencial geral, cujadesignao se simplifica de acordo com

=

=

2221

1211

2221

1211:AAAA

KKKK

KABarra AAAA

A (16)

=

=

2221

1211

2221

1211:BBBB

KKKK

KBBarra BBBB

B (17)


38

=

=

2221

1211

2221

1211:CCCC

KKKK

KCBarra CCCC

C (18)

=

=

2221

1211

2221

1211:DDDD

KKKK

KDBarra DDDD

D (19)

Atendendo numerao global dos graus de liberdade (1 a 4), as matrizes de rigidez dasbarras passam a ser

( )

=

000000000000

:21 22211211

AAAA

KABarra A (20)

( )

=

000000000000

:322221

1211

BBBB

KBBarra B (21)

( )

=

2221

1211

0000

00000000

:43

CCCC

KCBarra C (22)

( )

=

2221

1211

000000

000000

:42

DD

DDKDBarra D (23)

O vector dos deslocamentos em todos os graus de liberdade da estrutura

=

4

3

2

1

a

a

a

a

a (24)


39

A

a1

B C

D

a2

a3

a4

F1A F

2A F

1B F

2B F

1C F

2C

F1D F

2D

Fig. 3.6 - Vectores das foras nodais equivalentes a aces exteriores.

Atendendo numerao global dos graus de liberdade, os vectores das foras nodaisequivalentes s aces nas diversas barras so (ver a Figura 3.6)

( )

=

00

:21 21

A

A

A FF

FABarra (25)

( )

=

0

0

:322

1B

BB

FF

FBBarra (26)

( )

=

C

CC

FF

FCBarra

2

1

00

:43 (27)

( )

=

D

DD

F

FFDBarra

2

1

0

0

:42 (28)

Os vectores e matrizes indicados em (20)-(28) relacionam-se entre si de acordo com asseguintes equaes


40

AA FaK = (29)

BB FaK = (30)

CC FaK = (31)

DD FaK = (32)

A soma dos primeiros membros das equaes (29)-(32) igual soma dos seussegundos membros, resultando

DCBADCBA FFFFaKaKaKaK +++=+++ (33)

( ) DCBADCBA FFFFaKKKK +++=+++ (34)Uma vez que a relao de rigidez envolvendo todos os graus de liberdade da estrutura

FaK = (35)

conclui-se que

DCBA KKKKK +++= (36)

e

DCBA FFFFF +++= (37)

Adicionando as matrizes (20)-(23) de acordo com (36) chega-se a

+

+

++=

22222121

12112221

121211112221

1211

00

00

DCCDCCBBDBDBAA

AA

K (38)

Adicionando os vectores solicitao (25)-(28) de acordo com (37) chega-se a


41

+

+

++=

DC

CB

DBA

A

FFFF

FFFF

F

22

12

112

1

(39)

O procedimento de assemblagem aqui exposto generalizvel ao caso em que existemseis graus de liberdade em cada n. Para esse fim, suficiente considerar que, porexemplo, C12 em vez de ser um escalar uma matriz 6x6 contendo os elementos da

matriz CK que relacionam os graus de liberdade do n 1 com os graus de liberdade do

n 2.

3.7 - Introduo das condies de apoio

O sistema de equaes (35) ainda no pode ser resolvido, porque falta entrar em linhade conta com as condies de apoio da estrutura. Estas condies fronteiracorrespondem a apoios fixos ou assentamentos de apoio. Os apoios fixos podem sempreser tratados como assentamentos de apoio de valor nulo. Por este motivo, nodesenvolvimento que se segue apenas so referidos os assentamentos de apoio.

O sistema de equaes (35) relaciona foras e deslocamentos que se encontram noreferencial geral, englobando todos os graus de liberdade da estrutura. Tendo em vista aconsiderao das condies de apoio, os graus de liberdade da estrutura so divididosem dois grupos:

L - graus de liberdade no prescritos (livres)

P - graus de liberdade prescritos

Assim, o sistema de equaes (35) passa a ter a seguinte organizao por blocos

+

=

=

PP

L

P

L

PPPL

LPLL

RFF

a

a

KKKK

FaK0 (40)

Em (40), La o vector que engloba os deslocamentos segundo os graus de liberdadeno prescritos e Pa engloba os prescritos. O mesmo tipo de subdiviso efectuado com

o vector das foras nodais equivalentes aco exterior ( F ). O vector adicional em que


42

figura PR contm as reaces de apoio, que consistem nas foras (ainda desconhecidas)que fazem com que os deslocamentos em apoios assumam os valores prescritos.

Designando por n o nmero de graus de liberdade no prescritos e por p o nmero degraus de liberdade prescritos, so especificadas na Tabela 3.2 as dimenses dassub-matrizes que figuram em (40).

Tabela 3.2 - Dimenses das sub-matrizes presentes em (40).

LLK ( n x n )

LPK ( n x p )

PLK ( p x n )

PPK ( p x p )

LL Fa , ( n x 1 )

PPP RFa ,, ( p x 1 )

Esta diviso em sub-matrizes obriga a fazer uma reorganizao das linhas e das colunas

da matriz K que figura em (35), bem como das componentes dos vectores a e F .

Na Tabela 3.3 apresentado o significado dos elementos das quatro sub-matrizes de K

indicadas em (40).

Tabela 3.3 - Significado dos elementos das sub-matrizes de K indicadas em (40).

Deslocamento unitrioimposto segundo um

grau de liberdade:

Foras de fixaonum grau deliberdade:

LLK Livre Livre

LPK Livre Prescrito

PLK Prescrito Livre

PPK Prescrito Prescrito

No novo sistema de equaes indicado em (40), as incgnitas so La e PR . Oselementos de K , Pa , LF e PF tm valores conhecidos.


43

O sistema de equaes (40) pode ser escrito do seguinte modo

LPLPLLL FaKaK =+ (41)

PPPPPLPL RFaKaK +=+ (42)

A equao (41) pode ser rescrita do seguinte modo

PLPLLLL aKFaK = (43)

Em (43), LLK uma matriz quadrada, que em geral no singular, La o vector dasincgnitas e os valores dos vectores e matrizes que esto no segundo membro soconhecidos. Por este motivo, (43) constitui um sistema de equaes lineares, que depoisde resolvido fornece os valores dos deslocamentos La .

A equao (42) pode ser rescrita do seguinte modo

PPPPLPLP FaKaKR += (44)

Uma vez que os deslocamentos La j so conhecidos, esta expresso fornece os valoresdas reaces em graus de liberdade prescritos ( PR ).

O modo de introduo das condies de apoio aqui descrito tem as seguintes vantagens:

na fase do processo que requer um maior volume de clculos e uma grandequantidade de memria de armazenamento, i.e., na fase de resoluo do sistemade equaes (43), o nmero de equaes e incgnitas n em vez de ser n+p;

em comparao com o mtodo em que adicionado diagonal principal de K

um nmero elevado, o mtodo aqui proposto apresenta menos problemasnumricos, principalmente quando se utilizam mtodos iterativos para resolver osistema de equaes.

A principal desvantagem do mtodo aqui proposto a necessidade de agrupar os

elementos de K em diversas sub-matrizes. Esta nova arrumao causa algumas

dificuldades, principalmente quando se utilizam tcnicas de armazenamento esparso, embanda ou em perfil.


44

3.8 - Faseamento da anlise de um prtico 3D

Tendo em vista a anlise de uma estrutura do tipo prtico 3D pelo mtodo dosdeslocamentos, sugere-se o seguinte algoritmo

- Para cada barra:

Calcular a matriz de transformao T (3) e em seguida calcular (5)

Calcular a matriz de rigidez da barra, no referencial local ( lK )

Calcular a matriz de rigidez da barra, no referencial geral ( gK ) com (14)

Assemblar ( gK ) em ( K ) (ver a Seco 3.6)

Calcular o vector das foras nodais equivalentes aco exterior na barra, no

referencial local ( lF )

Calcular ( gF ) com (9)

Assemblar ( gF ) em ( F ) (ver a Seco 3.6)

- Introduzir as condies de apoio (ver a Seco 3.7)

- Resolver o sistema de equaes lineares (43), determinando assim os deslocamentos

- Calcular as reaces nos apoios com (44)

- Para cada barra:

Passar os deslocamentos relativos barra corrente do vector a para o vector ga

Calcular ( lF ) com (15)

- Fim

Embora seja possvel utilizar o procedimento sugerido sem recursos informticos, hojeem dia prefervel implement-lo por intermdio de um programa de computador. Nestedomnio surgem muitas alternativas, tais como a seleco da linguagem de


45

programao, o modo de criar os dados do problema, o modo de armazenamento dainformao, as tcnicas numricas utilizadas, o recurso ou no a bibliotecas deoperaes matriciais, etc.

3.9 - Matriz de rigidez de uma barra de trelia 3D no referencial local

Na Figura 3.7 encontra-se representada uma barra de trelia espacial, de eixo rectilneoe seco constante. A sua matriz de rigidez (45), expressa no referencial local l, dependedas seguintes grandezas:

E - mdulo de Young, constante em todos os pontos da barra;

A - rea da seco transversal da barra, considerada constante;

L - comprimento da barra.

3

1

4

2

5

6

i

ji < j

l 1

l 2

l3

Fig. 3.7 - Trelia 3D: graus de liberdade da barra i j no referencial local.

=

00000000000000000000000000000000

LEALEA

LEALEA

K l (45)


46

3.10 - Matriz de rigidez de uma barra de prtico 3D no referencial local

Na Figura 3.8 encontra-se representada uma barra de prtico espacial, de eixo rectilneoe seco constante. A sua matriz de rigidez (46)-(50), expressa no referencial local l,depende das seguintes grandezas:

E - mdulo de Young, constante em todos os pontos da barra;

A - rea da seco transversal da barra, considerada constante;

L - comprimento da barra;

G - mdulo de distoro [3.2]; I2 - momento de inrcia da seco transversal da barra em relao ao eixo l2;

I3 - momento de inrcia da seco transversal da barra em relao ao eixo l3;

It - momento de inrcia de toro da seco transversal da barra [3.3] [3.4].

Nota: l2 e l3 so eixos principais centrais de inrcia da seco transversal da barra.

3

1 42

5

6

9

710

8

11

12

i

ji < j

l1

l2

l 3

Fig. 3.8 - Prtico 3D: graus de liberdade da barra i j no referencial local.

= jjl

ijl

jil

iil

l KKKK

K (46)


47

=

LEILEILEILEI

LGILEILEI

LEILEILEA

Kt

iil

32

3

22

2

22

32

23

33

400060040600000000601200

600012000000

(47)

=

LEILEILEILEI

LGILEILEI

LEILEILEA

Kt

jil

32

3

22

2

22

32

23

33

200060020600000000601200

600012000000

(48)

( )Tjilijl KK = (49)

=

LEILEILEILEI

LGILEILEI

LEILEILEA

Kt

jjl

32

3

22

2

22

32

23

33

400060040600000000601200

600012000000

(50)

3.11 - Consideraes finais

Neste captulo no foi considerada a possibilidade da a barra apresentar eixo norectilneo, nem o facto de a seco transversal ser varivel ao longo do eixo da barra.No foi tambm considerada a contribuio das tenses tangenciais para a deformao,habitualmente designada deformao por esforo transverso. A incluso destascaractersticas faz com que a formulao apresentada neste captulo perca asimplicidade atrs evidenciada. Mais adiante sero apresentadas formulaes da matrizde rigidez de uma barra recorrendo a tcnicas especficas do Mtodo dos ElementosFinitos, em particular a formulao de viga de Timoshenko. Com este tipo de elementosde barra possvel ter em considerao a deformao por esforo transverso, o eixocurvilneo e a seco varivel.


48

BIBLIOGRAFIA

[3.1] - Brazo Farinha, J. S.; Correia dos Reis, A. - Tabelas Tcnicas, Edies TcnicasE. T. L., 1998.

[3.2] - Azevedo, A. F. M. - Mecnica dos Slidos, Faculdade de Engenharia daUniversidade do Porto, 1996.

[3.3] - Segades Tavares, A. - Anlise Matricial de Estruturas, Laboratrio Nacional deEngenharia Civil, Curso 129, Lisboa, 1973.

[3.4] - Massonnet, C. - Rsistance des Matriaux, Dunod, Paris, 1968.

Cap03 Met Desloc Trel Port

Documents

Transcript of Cap03 Met Desloc Trel Port