DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ENGENHARIA ELÉTRICA / 2012

ENG 3511 - Conversão de Energia Prof. Carlos A. G. Medeiros

Cap. 03 – Circuitos Magnéticos e Indutores

Conteúdo 3.1 Objetivos do capítulo ............................................................................................................................................................. 1 3.2 Circuitos magnéticos lineares ............................................................................................................................................ 1

3.2.1 Circuito magnético simples ........................................................................................................................................ 1 Exercícios 3.1 ............................................................................................................................................................................... 6 3.2.2 Circuitos magnéticos mais gerais e analogia com circuitos elétricos ....................................................... 7 3.2.2.1 Formulação geral de circuitos magnéticos .................................................................................................... 10 Exercícios 3.2 ............................................................................................................................................................................ 13 3.2.3 Fluxo concatenado, força eletromotriz induzida e indutância .................................................................. 14 Exercícios 3.3 ............................................................................................................................................................................ 18 3.2.4 Energia em circuitos magnéticos lineares ......................................................................................................... 19 3.2.5 Indutância e energia armazenada em sistemas com entreferro .............................................................. 21 Exercícios 3.4 ............................................................................................................................................................................ 23

3.3 Circuitos magnéticos não-lineares ............................................................................................................................... 24 3.3.1 Ferromagnetismo ........................................................................................................................................................ 24 3.3.2 Magnetização ................................................................................................................................................................. 26 3.3.3 Saturação ......................................................................................................................................................................... 27 3.3.4 Permeabilidade dos materiais ferromagnéticos e indutor não-linear................................................... 28 3.3.5 Aproximação da permeabilidade para meios não-lineares ........................................................................ 29 3.3.6 Efeito da temperatura ................................................................................................................................................ 31 Exercícios 3.5 ............................................................................................................................................................................ 32 3.3.7 Histerese .......................................................................................................................................................................... 33 3.3.8 Energia e co-energia em sistemas magnéticos não-lineares ..................................................................... 35 3.3.9 Excitação em corrente alternada e perdas no núcleo ................................................................................... 36

3.4 Outras questões .................................................................................................................................................................... 43 3.4.1 Fluxo de dispersão....................................................................................................................................................... 43 3.4.2 Efeito do entreferro em sistemas não-lineares ............................................................................................... 45 3.4.3 Força magnetomotriz com mais de um enrolamento energizado ........................................................... 45 Exercícios 3.6 ............................................................................................................................................................................ 46

APÊNDICE A – Informações adicionais .............................................................................................................................. 48 A.1 Classificação magnética dos materiais ................................................................................................................... 48 A.2 Co-energia magnética .................................................................................................................................................... 49 A.3 Perdas por histerese ...................................................................................................................................................... 50

Bibliografia ..................................................................................................................................................................................... 51 Respostas de exercícios ............................................................................................................................................................ 52

"Ler é comum, refletir é raro."

1

3.1 Objetivos do capítulo Apresentar grandezas e fenômenos relacionados aos circuitos magnéticos, consistindo de suporte fundamental para a compreensão teórica, aplicações e projetos de equipamentos tais como: indutores, transformadores, motores e geradores. 3.2 Circuitos magnéticos lineares Nesta seção do capítulo: Principais tópicos: fundamentos de circuitos magnéticos; análise e solução de circuitos magnéticos; indutância e energia magnética. Principais aproximações: nos casos de núcleos com materiais magnéticos a permeabilidade () será considerada constante; assume-se que o fluxo magnético está praticamente confinado no núcleo (despreza-se dispersão de fluxo), pois considera-se >> 0; não serão consideradas perdas no núcleo. o efeito de espraiamento de fluxo devido a entreferro será apresentado, mas desconsiderado nos cálculos. 3.2.1 Circuito magnético simples

Para começar, a fig. 3.1 mostra um circuito magnético simples, que consiste em um núcleo de material magnético sobre o qual está enrolado um condutor com N voltas ou espiras. Considerando que uma corrente i percorre esse enrolamento, será produzido um campo magnético no núcleo, como ilustrado pelas linhas de fluxo (tracejadas).

Fig. 3.1. Circuito magnético simples.

Assume-se que o núcleo é composto por um material cuja permeabilidade magnética é muito maior que a do ar, isto é >> 0, como indica a fig. 3.2. Devido a essa alta permeabilidade do núcleo em relação ao ar, uma solução exata mostraria que: o fluxo magnético fica confinado quase que totalmente no núcleo. Em outras palavras, o fluxo se estabelece naturalmente pelo caminho mais fácil, ou seja, por aquele de maior permeabilidade; as linhas de campo seguem o caminho definido pelo núcleo; basicamente tanto a intensidade de campo H

como a densidade fluxo B

são consideradas

uniformes em qualquer seção reta, porque a área desta é uniforme.

2

Fig. 3.2. Circuito magnético simples e grandezas do núcleo.

A fig. 3.2 mostra também um vetor simbolizando o campo H

, produzido pela corrente no

enrolamento. A magnitude da intensidade de campo magnético (H) pode ser determinada pela Lei Circuital de Ampère (recordada no Capítulo 02):

ildH

(3.1)

Considerando uma espira amperiana ao longo do caminho médio lc do núcleo e o campo H

constante, a parte da esquerda da integral resulta em Hlc. Como o percurso fechado da integral envolve o enrolamento com N espiras, a corrente total envolvida é o produto Ni. Assim sendo, a magnitude H (A/m) é:

cl

NiH (3.2)

onde: lc é o comprimento do caminho médio desse circuito magnético, em metros. A relação entre a intensidade de campo ( H

) e a densidade de fluxo magnético ( B

) é uma

propriedade do material em que se encontra o campo magnético. Nesta seção estudar-se-á esta relação como sendo linear, ou seja:

HB

(3.3)

Onde: é a permeabilidade magnética do núcleo, considerada constante, em henry/metro (H/m); a unidade de B é Wb/m2 ou T. A fig. 3.3 mostra a curva de magnetização ou curva B-H (para valores positivos).

Intensidade de Campo, H (A/m)

Densidadede Fluxo,

B (T)

o

Fig. 3.3. Visualização gráfica da relação entre B e H (curva B-H),

para o CASO LINEAR: B = H (sendo = constante).

3

Em unidades do Sistema Internacional (SI), a permeabilidade do vácuo é 0 = 410-7 henry/metro. A permeabilidade dos materiais magnéticos considerados lineares pode ser expressa em termos da permeabilidade relativa r, em relação à do vácuo:

0

r (3.4)

Valores típicos de r variam entre 2.000 a 80.000 para os materiais ferromagnéticos usados em transformadores e máquinas rotativas. Por enquanto, a fim de enfatizar outros aspectos do estudo, assume-se r como sendo uma constante conhecida, embora, na realidade, nos materiais ferromagnéticos varie apreciavelmente em função da densidade de fluxo (B). O ferromagnetismo e as características dos materiais magnéticos serão descritos posteriormente neste capítulo. A tab. 3.1 mostra (apenas a título ilustrativo), alguns valores de permeabilidade típicos.

Tab. 3.1. Permeabilidades relativas de alguns materiais.

Material r Ar 1,0000

Madeira 0,99999950 Alumínio 1,00000065

Cobre 0.9999910 Níquel 50,0

Ferro fundido 60,0 Aço-silício (10.000 gauss) 3000

Superliga 100.000

O fluxo magnético por sua vez é dado por A

AdB

. Com a consideração de que a densidade

de fluxo magnético B é uniforme na seção reta do núcleo, tem-se o fluxo (Wb) expresso por:

cBA (3.5)

onde: Ac é a área da seção transversal em m2. A fig. 3.4 ilustra um corte transversal do núcleo com as linhas de campo emergindo da área Ac:

Fig. 3.4. Linhas do campo B

considerado uniforme na seção reta do núcleo Ac. Além dessas três grandezas fundamentais H

, B

e , uma outra muito utilizada em circuitos

magnéticos é a força magnetomotriz fmm, também simbolizada por . A fmm expressa o produto das N voltas do enrolamento pela corrente que o percorre. No circuito da fig. 3.2, ela é dada simplesmente por Ni, ou seja, se relaciona com o campo H

como mostra a eq. (3.6):

ldHNi

(3.6)

onde: na prática atribui-se à fmm a unidade ampère-espira (Ae). Analisando a fig. 3.2 e com (3.5), obtém-se:

cHlNi (3.7)

Campo

B

Área Ac

4

Embora a fig. 3.2 mostre somente uma bobina, os transformadores e a maioria das máquinas rotativas têm no mínimo dois enrolamentos e, nesse caso, a força magnetomotriz resultante é a soma algébrica dos ampères-espiras de todos os enrolamentos. Substituindo (3.3) e (3.5) em (3.7) tem-se:

c

c

A

l

(3.8)

Quando a permeabilidade magnética é considerada constante, nota-se na eq. (3.8), que existe uma constante de proporcionalidade entre o fluxo magnético e a força magnetomotriz . Esta constante é a relutância do circuito magnético , que leva em conta as características geométricas (lc, Ac) e magnéticas () do núcleo, isto é:

c

c

A

l

(3.9)

Entende-se que a força magnetomotriz fmm é a fonte do fluxo magnético que atua no circuito podendo-se expressar (3.8) como:

ou,

(3.10)

Em outras palavras, o fluxo magnético é diretamente proporcional à força magnetomotriz e pode ser considerado como o resultado dela. A constante de proporcionalidade entre e é a relutância do caminho magnético (A/Wb), definida por:

(3.11)

A fig. 3.5 representa o sistema magnético da fig. 3.2 com o uso de símbolos. Esse circuito lembra algo já conhecido por você?

+

- (=Ni) c

Fig. 3.5. Modelo do circuito magnético da fig. 3.2.

A tab. 3.2 mostra analogias entre um circuito elétrico e magnético e suas grandezas correspondentes.

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Tab. 3.2. Analogia entre circuitos elétrico e magnético.

Circuito elétrico Circuito magnético

e

i

R+

-

+

-

Força eletromotriz, fem (V):

e Força magnetomotriz, fmm (A):

Corrente (A):

R

ei

Fluxo magnético (Wb):

Resistência (V/A ou ):

condutor

condutor

A

lR

Relutância (A/ Wb):

A

l

* Observações: a) A força eletromotriz fem realiza trabalho sobre portadores de carga através de transformação da energia de uma fonte (química como numa bateria, num gerador eletromecânico convencional, termopilha, célula fotovoltaica, etc.), sendo aplicada a um circuito, é a responsável pela corrente i. b) Por analogia, a força magnetomotriz fmm pode ser entendida como uma diferença de potencial magnético estabelecida no enrolamento de N espiras, sendo responsável pelo fluxo magnético . c) A permeabilidade absoluta , considerada como constante nessa Seção 3.2 deste texto, se deve a uma aproximação quanto ao comportamento do meio magnético (núcleo) e seu estudo será aprofundado posteriormente para a situação não-linear. d) Uma diferença importante entre os circuitos elétrico e magnético é o fato de que é necessário fornecer energia para manter a corrente em um circuito elétrico, enquanto que, um fluxo magnético após ser produzido não solicita energia adicional. Por exemplo, uma vez que o fluxo magnético produzido pela corrente, em um dispositivo como num solenóide ou num toróide, tenha atingido seu valor máximo, toda energia que continuar a ser absorvida pelo dispositivo será apenas para suprir perdas, ou seja, é dissipada na forma de calor na resistência do enrolamento – perdas Joule (Ri2) –, e nas perdas no núcleo (por exemplo, nos casos de núcleos compostos por materiais ferromagnéticos). e) Outra diferença: não existem isoladores magnéticos análogos aos conhecidos para os circuitos elétricos.

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Exercícios 3.1

01) Considere o núcleo abaixo, com dimensões mostradas em centímetros. A altura do núcleo também é 12 cm. Adote a hipótese que mesmo trabalhará com a permeabilidade relativa constante r = 39789.

a) Determinar a permeabilidade absoluta do núcleo. b) Calcule a força magnetomotriz necessária para que o fluxo estabelecido no núcleo seja 50x10-3 Wb (despreze a dispersão de fluxo pelo ar). c) Considerando que se deseja trabalhar com uma corrente i = 1,5 A, qual deve ser a quantidade de espiras do enrolamento. d) Desenhe o circuito magnético equivalente colocando os símbolos e valores das respectivas grandezas. 02) Seja um núcleo toroidal feito de madeira, com seção reta circular, raio externo de 20 cm e raio interno de 10 cm, dotado de um enrolamento de 500 espiras. Fazendo circular uma corrente contínua de 0,5 A determine: a) A intensidade de campo magnético no núcleo. b) A densidade magnética que se manifesta no núcleo. c) A relutância magnética. d) A força magnetomotriz gerada. e) O fluxo magnético (de duas maneiras diferentes).

03) Considerando o toróide do exercício (02), porém, com uma corrente i(t) = 0,707cos(t) A. Determine: a) Força magnetomotriz gerada. b) Fluxo magnético. c) Densidade de campo magnético. d) Intensidade de campo magnético.

04) Elabore uma tabela relacionando todas as grandezas magnéticas estudadas até aqui, contendo: símbolo, designação por extenso, definição básica (e/ou equação) e unidade.

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3.2.2 Circuitos magnéticos mais gerais e analogia com circuitos elétricos

Certos projetos de indutores e equipamentos com um elemento móvel possuem um ou mais entreferros de ar em seus circuitos magnéticos. Como a própria palavra diz, entreferro é um espaço entre partes ferromagnéticas do núcleo. A fig. 3.6 mostra um núcleo ferromagnético com um entreferro de ar de comprimento g.

Fig. 3.6. Núcleo magnético com entreferro de ar de comprimento g.

Quando o comprimento g do entreferro for muito menor que as dimensões do núcleo, o fluxo magnético seguirá o caminho definido pelo núcleo e pelo entreferro. Com essa consideração a análise de circuitos magnéticos pode ser diretamente aplicada. Assim, considerando que o comprimento g é suficiente pequeno a configuração da fig. 3.6 pode ser analisada por duas componentes em série: um núcleo magnético com permeabilidade , área de seção Ac e comprimento médio lc; um entreferro de permeabilidade 0, área de seção Ag e comprimento g. O fluxo é comum no circuito magnético. Além disso, no núcleo, a densidade de fluxo pode ser considerada uniforme, assim:

c

cA

B

(3.12)

Analogamente, no entreferro:

g

gA

B

(3.13)

A aplicação da eq. (3.6) a esse circuito magnético fornece:

gHlH gcc (3.14)

Usando a relação linear entre B

e H

da eq. (3.3) tem-se:

gB

lB g

cc

0 (3.15)

Vale lembrar que = Ni é a força magnetomotriz aplicada ao circuito magnético. De (3.14) nota-se que uma parte dela, c = Hclc, é necessária para produzir campo magnético no núcleo, e o restante, g = Hgg, produz o campo magnético no entreferro.

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Com os materiais ferromagnéticos da prática (discutidos posteriormente neste capítulo), Bc e Hc nem sempre se relacionam de maneira simples e proporcional, através da permeabilidade constante. Assim, embora a expressão (3.14) continue sendo válida, ela não levará a uma expressão simples como a (3.15) que relaciona a força magnetomotriz aplicada com as densidades de fluxo. Ao invés disso, deve-se usar, gráfica ou analiticamente os detalhes específicos da relação não-linear Bc-Hc do núcleo ferromagnético. Apesar disso, em muitos casos, o conceito de permeabilidade constante aplicada a um material fornece resultados cuja precisão é aceitável em engenharia, sendo por isso usado frequentemente. Das equações (3.12), (3.13) e (3.15) reescreve-se a força magnetomotriz aplicada em termos do fluxo total como:

gc

c

A

g

A

l

0 (3.16)

As duas parcelas que multiplicam o fluxo na eq. (3.16) são conhecidos como as relutâncias do núcleo e do ferro respectivamente (compare com = ):

c

cc

A

l

(3.17)

g

gA

g

0 (3.18)

E assim:

gc (3.19)

Isolando-se o fluxo obtém-se:

gc

(3.20)

ou,

gc

c

A

g

A

l

0

(3.21)

Em geral, para qualquer circuito magnético de relutância total equivalente, total, o fluxo pode ser determinado por:

total

(3.22)

O inverso da relutância é conhecido como permeância magnética , (em Wb/A), isto é, = 1/, de forma que:

total (3.23)

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Note que as equações (3.19) e (3.20) são análogas às relações entre tensão e corrente em um circuito elétrico série. Como exemplifica a fig. 3.7, no circuito elétrico uma tensão V impulsiona uma corrente I passando pelos resistores R1 e R2 em série; no circuito magnético, uma força magnetomotriz (análoga à V), estabelece um fluxo (análogo à corrente I) através das relutâncias c e g em série. Esse raciocínio por analogia pode ser empregado para se obter as soluções dos fluxos em circuitos magnéticos lineares de maior complexidade.

Fig. 3.7. Analogia entre circuitos elétrico e magnético (elementos em série).

A fração de fmm necessária para impulsionar o fluxo através de uma parte do circuito magnético, denominada de queda de fmm em um circuito magnético, é proporcional à relutância daquela parte do circuito na forma "", em analogia à queda de tensão num circuito elétrico que é proporcional à resistência, isto é, "RI". No circuito elétrico Rtotal = R1 + R2; no magnético tem-se: total = c + g. Da eq. (3.17) nota-se que uma alta permeabilidade no material pode resultar em uma baixa relutância do núcleo, muito inferior à do entreferro, isto é: c << g e assim total g. Nesse caso a relutância do núcleo pode ser desprezada e o fluxo, e portanto B, podem ser obtidos apenas das propriedades do entreferro, transformando-se a eq. (3.20) em:

g

ANi

g

g

0

(3.24)

Como será visto neste capítulo, na prática os materiais ferromagnéticos têm permeabilidades não constantes, que variam de acordo com o nível de fluxo. Mesmo assim, das equações (3.17) a (3.20) observa-se que enquanto essa permeabilidade permanecer suficientemente elevada, a sua variação não afetará significativamente o desempenho do circuito magnético conforme está sendo estudado. Um fenômeno que ocorre em sistemas reais é que as linhas de campo magnético se abrem nas extremidades do entreferro, isto é, se espraiam ou se "espalham" pelos lados do entreferro. Se esse espraiamento não for excessivo as técnicas de circuito magnético continuam aplicáveis. A fig. 3.8 ilustra esse fenômeno mostrando linhas de campos de espraiamento.

Fig. 3.8. Campos de espraiamento no entreferro.

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A consequência desse espraiamento de campo é aumentar a área efetiva da seção transversal reta do entreferro Ag. Diversos métodos empíricos foram desenvolvidos para levar em conta esse efeito. Em entreferros de comprimento pequeno, uma correção para esses campos de espraiamento pode ser feita acrescentando-se o comprimento do entreferro a cada uma das suas dimensões, aumentando-se assim a área de sua seção reta como ilustra a fig. 3.9.

Ac

Ag, corrigida

g g

g

g

Fig. 3.9. Uma forma de correção da área para entreferros de pequenos comprimentos. Esse efeito leva à redução da densidade de fluxo no entreferro Bg em relação à Bc. No entanto, neste texto, a menos que seja mencionado o contrário, o efeito do espraiamento será ignorado. Assim a área de seção do núcleo ferromagnético Ac será considerada igual à área do entreferro Ag, isto é: Ac = Ag. Neste caso sendo o fluxo comum, as densidades de fluxo no núcleo e no entreferro serão também iguais (Bc = Bg). Mas, as intensidades de campo serão diferentes, isto é, Hc = Bc/ e Hg = Bg/0. 3.2.2.1 Formulação geral de circuitos magnéticos

Em geral os circuitos magnéticos podem ser compostos por vários elementos em série e em paralelo. A eq. (3.6) pode ser generalizada para:

k k

kkk lHLdHNi

(3.25)

Portanto, a eq. (3.25), complementa de forma mais geral a analogia entre circuito elétrico e magnético, sendo que a força magnetomotriz total impulsiona o fluxo magnético em um laço fechado de um circuito magnético. Além disso, a quantidade:

kkk lH (3.26)

representa a queda de fmm no k-ésimo elemento desse laço. Essa análise é análoga à queda de tensão nos circuitos elétricos constituídos por fonte e resistores como preconiza a lei de Kirchhoff das tensões:

k

kkiRV (3.27)

onde: V é a fonte de tensão que impulsiona a corrente e Rkik é a queda de tensão no k-ésimo elemento resistivo daquele laço. Já a lei de Kirchhoff das correntes estabelece que a soma das correntes em um nó de um circuito elétrico é zero, a qual é expressa matematicamente por:

0n

ni (3.28)

O circuito magnético também tem analogia com essa lei, ou seja, a soma dos fluxos em um nó de um circuito magnético é zero:

0n

n (3.29)

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Exemplo 3.1. A eq. (3.29) pode ser aplicada no cálculo que envolve circuitos magnéticos com caminhos paralelos, como ilustra a fig. 3.10(a), onde se tem os nós do circuito justamente nas junções superior e inferior

da coluna central do núcleo. A fig. 3.10(b) mostra o circuito magnético equivalente. De (3.29): 321 .

(a)

(b)

Fig. 3.10. (a) Núcleo com caminhos paralelos e nós. (b) Circuito equivalente com nós correspondentes.

Exemplo 3.2. Seja o sistema da fig. 3.11(a), com dois materiais de permeabilidades absolutas distintas, constituído por ferro fundido (i) e aço fundido (s). Além disso, as áreas de seção transversal Ai e As e comprimentos li e ls, respectivamente, são também diferentes. Pode ser mostrado que:

iiss ABAB (3.30)

onde: Bi e Bs são as densidades de fluxo no ferro e no aço, respectivamente.

(a)

(b)

Fig. 3.11. (a) Sistema com dois materiais ferromagnéticos diferentes. (b) Circuito equivalente. O circuito magnético equivalente é mostrado na fig. 3.11(b), onde a relutância do ferro é i e a do aço é s. De (3.25):

NilHlHldH ssii

(3.31)

Como descrito anteriormente o termo Hili é uma diferença de potencial magnético (ou queda) na parte de ferro, cuja relutância i é, portanto:

iri

ii

ii

iiiiiiii

A

l

AB

lHlHlH

0 (3.32)

Analogamente para o aço fundido:

srs

ss

A

l

0 (3.33)

onde: ri e rs são as permeabilidade relativas do ferro fundido e aço fundido, respectivamente. Assim:

)( sisi (3.34)

A relutância total total do sistema "vista" a partir da força magnetomotriz é:

sitotal

(3.35)

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Vale ressaltar no Exemplo 3.2 que a equações (3.34) e (3.35) estão de acordo com o circuito magnético equivalente com relutâncias em série, conforme a fig. 3.11(b). Note também que, embora nesta situação as densidades de fluxo Bi e Bs sejam diferentes, o fluxo que percorre o núcleo é o mesmo, podendo ser expresso por:

ssii ABAB (3.36)

Exemplo 3.3. Desenhe o circuito magnético equivalente para o sistema da fig. 3.12(a).

Solução: circuito magnético equivalente, mostrado de forma parcial na fig. 3.12(b):

(a)

(b)

Fig. 3.12. (a) Sistema magnético de uma máquina rotativa. (b) Circuito magnético equivalente (PARCIAL). Enfim, nesta seção foram examinados os princípios básicos e adotadas aproximações que conduziram a um modelo de circuito magnético relativamente simples, bem como propiciaram um entendimento básico para engenheiros, para auxiliar na solução de problemas práticos de análise e projeto. As principais simplificações foram: desprezou-se o fluxo de dispersão; ignorou-se o espraiamento do campo magnético no entreferro; considerou-se a permeabilidade do material constante. O sucesso desta abordagem depende do raciocínio, experiência e da intuição próprios da engenharia. Embora estas suposições sejam razoáveis para muitas situações, verifica-se, por outro lado, que as correntes do enrolamento produzem campos magnéticos fora do núcleo (ou fluxo de dispersão). Quando dois ou mais enrolamentos são colocados em um campo magnético, como no caso de transformadores e máquinas rotativas, esses campos externos ao núcleo, conhecidos como campos de dispersão, não podem ser ignorados, pois afetam de forma significativa o desempenho destes dispositivos. Ademais, em diversas situações práticas os fenômenos conhecidos como saturação magnética e histerese são muito importantes e não podem ser desconsiderados. Seu estudo será realizado na posteriormente neste capítulo.

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Exercícios 3.2

01) O circuito magnético mostrado na figura ao lado tem as dimensões Ac = Ag = 9 cm2, g = 0,05 cm, lc = 30 cm e N = 500 espiras. Suponha uma aproximação linear para o comportamento do núcleo de tal forma que a permeabilidade relativa de seu material seja r = 70.000. a) Determine as relutâncias c e g. Despreze a dispersão de fluxo. b) Dada a condição de que o circuito magnético esteja operando com Bc = 1,0 T, encontre o fluxo e a corrente i.

02) A estrutura magnética de uma máquina síncrona simplificada está mostrada na figura. Supondo que o ferro do rotor e do estator tenham permeabilidade praticamente infinita ( ), encontre: O fluxo do entreferro e a densidade de fluxo Bg, sendo a corrente I = 10 A, N = 1000, g = 1 cm e Ag = 2000 cm2.

03) Seja o sistema magnético ao lado onde TODAS as dimensões estão em polegadas e a profundidade é uma polegada (não mostrada no desenho). Desenhe o circuito magnético equivalente e calcule o fluxo e a densidade de fluxo, em cada uma das pernas do núcleo. Desprezar o espraiamento nos entreferros e a dispersão de fluxo pelo ar. Supor que a permeabilidade do núcleo é tão alta que a força magnetomotriz do enrolamento é totalmente utilizada para a magnetização nos entreferros. O enrolamento possui 1000 espiras e a corrente que flui por ele é 0,2 A.

04) Seja o sistema magnético:

Onde: l1 = l3 = 300 mm l2 = 100 mm A1 = A3 = 200 mm2 A2 = 400 mm2 r1 = r3 = 2250 r2 = 1350 N = 25 espiras

a) Determine as densidades de fluxo B1, B2 e B3 nas três partes do circuito sendo a corrente na bobina igual a 0,5 A. b) Desenhe o circuito magnético equivalente e coloque os valores encontrado: , relutâncias e fluxos.

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3.2.3 Fluxo concatenado, força eletromotriz induzida e indutância

Nesta seção estuda-se uma das maneiras de apreciar a manifestação da indução da força eletromotriz (fem) segundo a lei da Indução de Faraday. Para tanto, como será mostrado a seguir, as grandezas elétricas e magnéticas variam em função da variável independente tempo, t. Seja a situação mostrada na fig. 3.13 onde um fluxo magnético em uma espira é produzido pela corrente i(t) variando no tempo, graças à aplicação de uma fonte de tensão externa também variante no tempo v(t). O fluxo (t) que passa pela espira é obtido pela integração do campo B

sobre a

superfície limitada pela espira. Se a corrente i(t) na espira está aumentando então o fluxo (t) também aumentará, e consequentemente, uma força eletromotriz e(t) será induzida na espira. Pela lei de Lenz a polaridade resultante de e(t) será em oposição ao aumento da corrente. No laço da fig. 3.13 e(t) será positiva, em oposição à v(t), quando i(t) estiver aumentando. A lei de Faraday estabelece que a fem induzida é:

dt

tdte

)()(

(3.37)

onde o sinal negativo foi suprimido devido à interpretação direta da lei de Lenz, como descrito acima.

Fig. 3.13. Ilustração da lei de Faraday.

Considerando como exemplo o sistema toroidal da fig. 3.14, com N espiras, sendo i = i(t), então o fluxo também será variável, isto é, = (t), e novamente pela lei da indução de Faraday, uma força eletromotriz e(t) será induzida em cada espira do enrolamento, sendo, portanto:

dt

tdte espira

)()(

(3.38)

Fig. 3.14. Bobina enrolada em um toróide de plástico (permeabilidade 0).

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Como o enrolamento concatena o fluxo no núcleo N vezes, a fem total induzida no enrolamento é, portanto:

dt

td

dt

tNdte

)()()(

(3.39)

Sendo é o fluxo concatenado do enrolamento de N espiras do enrolamento definido por:

N

k

k tt1

)()(

onde: K é o fluxo concatenado com a espira k (atravessa a espira k); é expresso em webers (ou webers-espiras). Considerando o fluxo total praticamente confinado no núcleo, então = K, logo mostra-se que:

)()( tNt (3.40)

é também denominado fluxo total enlaçado pelas N espiras de uma bobina, ou referido como enlace de fluxo.

Exemplo 3.4. Mostre que para o sistema magnético da fig. 3.14:

)(42

)(2

0

2

tid

a

Nt

(3.41)

Esta expressão indica que o fluxo concatenado é diretamente proporcional à corrente i no enrolamento. Em um circuito magnético composto por material de permeabilidade magnética constante ou que inclua um entreferro dominante, ver a eq. (3.24), a relação entre o fluxo concatenado e a corrente i será linear. Desta maneira, pode-se definir a indutância L como:

iL

(3.42)

sendo a unidade da indutância weber/ampère (Wb/A) ou henry (H). Em outras palavras, (t) = Li(t), veja também a fig. 3.15.

Corrente, (A)i

Fluxoconcatenado,

Wb)

Fig. 3.15. Gráfico mostrando a relação de proporcionalidade

entre o fluxo concatenado e a corrente i para o caso linear: = Li. Compare com a curva B-H também para o caso linear: B = H (compare com fig. 3.3).

16

Substituindo (3.6), (3.22) e (3.40) na eq. (3.42) obtém-se:

total

NL

2

(3.43)

Nota-se de (3.43) que a indutância de um indutor é uma propriedade que depende do quadrado do número de espiras do enrolamento e é inversamente proporcional à sua relutância. Expressando para o sistema magnético simples da fig. 3.2, observa-se que depende do enrolamento (N2), do meio magnético empregado () e de suas características geométricas (lc, Ac):

c

c

l

ANL

2

(3.44)

Exemplo 3.5. Demonstre que a indutância do circuito magnético da fig. 3.6, supondo que a relutância do núcleo seja desprezível em comparação com a do entreferro é dada por:

g

ANL

g0

2 (3.45)

A indutância é uma característica dos campos magnéticos. De maneira geral pode ser caracterizada como aquela propriedade de um elemento do circuito pela qual a energia pode ser armazenada num campo de fluxo magnético. Um fato importante é que seu efeito só aparece num circuito quando há variação da corrente ou fluxo, isto é, sua presença no circuito é sentida somente se houver uma variação da corrente no tempo, por exemplo, em situações transitórias ou em circuitos de corrente alternada. Em muitas situações de interesse prático, a relutância do sistema é dominada pela do entreferro cuja característica é a linearidade, e assim, os efeitos não lineares dos materiais magnéticos (a serem estudados posteriormente neste capítulo) podem ser ignorados. Em outros casos, pode ser aceitável assumir um valor médio para a permeabilidade magnética do material do núcleo, o que resulta numa indutância média correspondente, que pode ser usada com exatidão razoável em certos casos de cálculos de engenharia.

Um indutor é, portanto, a estrutura magnética como um todo: uma bobina enrolada sobre um núcleo. Seu propósito em um circuito elétrico é prover indutância (ou auto-indutância).

Considerando o indutor com um enrolamento ideal, isto é, sem resistência, uma tensão aplicada aos terminais da bobina v(t) será igual à fem induzida e(t) na mesma, ou seja:

dt

tdi

di

td

dt

tdtetv

)()()()()(

(3.46)

Como para o caso linear:

idi

td

)( (3.47)

Então, com (3.42) e (3.46):

dt

tdiLtetv

)()()( (3.48)

Esta expressão revela que a tensão induzida é proporcional à indutância L. Em outras palavras, uma maior indutância significa que um indutor, para uma mesma taxa de variação da corrente em relação ao tempo, induz mais força eletromotriz e(t).

17

A bobina puramente indutiva é representada simbolicamente no circuito da fig. 3.16(a). Na prática o enrolamento tem uma resistência cujo efeito, em muitas circunstâncias, não pode ser desprezado. Um modelo de circuito de indutor prático incluindo esse efeito na forma de um parâmetro concentrado de circuito, um resistor R, é dado na fig. 3.16(b). Para este modelo tem-se:

dt

tdiLtRitv

)()()( (3.49)

Lev

(a)

RRi

Le

v

(b)

Fig. 3.16. Modelos de circuito elétrico para indutor linear: (a) bobina com resistência desprezada. (b) indutor linear prático.

Observação: frequentemente em dispositivos de conversão de energia, como é o caso das máquinas motrizes, em que as indutâncias podem ser expressas por L = /i mas são variáveis com o tempo, a equação e(t) = d(t)/dt se torna:

dt

tdLi

dt

tdiLtitL

dt

dte

)()()()()( (3.50)

18

Exercícios 3.3

01) Qual é a diferença entre indutor e indutância? 02) Seja um núcleo toroidal feito em madeira, de seção reta circular, com um raio externo de 20 cm e um raio interno de 10 cm, dotado de um enrolamento de 500 espiras. Fazendo circular uma corrente contínua de 0,5 A. a) Calcule o fluxo magnético concatenado. b) Determine a indutância do dispositivo (indutor) de duas maneiras diferentes.

03) Demonstre que a indutância do toróide da fig. 3.1 com, = 0, é dada por: a

dNL

8

22

0 .

04) Projete de forma simplificada um indutor de tal forma que: deve ter uma indutância de 1 mH; núcleo toroidal de ar (ar 0); com bobina com fio de cobre esmaltado de 1 mm2 enrolada ao longo de um molde de papelão; Alguns parâmetros do indutor poderão ser arbitrados para poder encontrar os demais. Represente o circuito elétrico equivalente levando em conta a resistência do enrolamento. Adote a resistividade do cobre como sendo 1.72×10−8 m a 20 oC. Para simplificar, suponha que esta será a temperatura de trabalho do indutor. 05) Elabore uma tabela com todas as grandezas magnéticas estudadas até aqui, contendo: símbolo, designação por extenso, definição básica (e/ou equação) e unidade. 06) PESQUISE e cite exemplos de utilização prática de indutores tanto para circuitos elétricos e eletrônicos em geral, quanto para sistemas elétricos de potência. O que são reatores no contexto que estamos estudando?

19

3.2.4 Energia em circuitos magnéticos lineares

Em um circuito magnético, a potência elétrica nos terminais de um enrolamento é uma medida da taxa em relação ao tempo com que a energia flui para aquele circuito. Da teoria de Circuitos Elétricos, sabe-se que a potência instantânea p(t) é dada por:

)()()( titvtp

Em um indutor uma corrente i(t) fluindo em seu enrolamento produz um fluxo (t) enlaçando suas N espiras. Considerando também a resistência do condutor, da seção anterior sabe-se que:

dt

tdtRitetRitv

)()()()()(

(3.51)

Multiplicando-se a expressão anterior pela corrente i(t), obtém-se a potência p(t), em watts, nos terminais do dispositivo:

dt

tdtitRititvtp

)()()()()()( 2

(3.52)

O termo Ri2(t) é a parte da potência dissipada na resistência R da bobina. A outra parcela corresponde ao fluxo de potência da rede elétrica para o campo magnético. O trabalho necessário para estabelecer o fluxo magnético no indutor corresponde à energia que é armazenada em seu campo magnético, em joules, dada por:

2

1

2

1

)()()()(

t

t

t

t

dtdt

tdtidttiteW

2

1

diW (3.53)

Note da expressão (3.53) que o cálculo da energia corresponde a uma integral definida que fornece a área obtida da curva -i, conforme ilustra a fig. 3.17 para o caso linear.

Corrente, (A)i

Fluxoconcatenado,

Wb)

o

i

i2

Energia

W

Fig. 3.17. Energia em circuito magnético linear.

20

No caso de um sistema magnético com único enrolamento de indutância L constante, para o qual vale a relação = Li (ou, i = /L), a variação da energia magnética armazenada quando o fluxo varia de 1 à 2, pode ser escrita como:

)(2

1 2

1

2

2

2

1

Ld

LW (3.54)

A energia magnética total armazenada para qualquer valor de , pode ser obtida fazendo-se 1 igual a zero:

2

2

1

LW

2

2

1LiW (3.55)

A equação (3.55) é aquela conhecida do estudo de Circuitos Elétricos. Outra maneira de chegar a ela é:

t ti

i

t

dttiLdttidt

tdiLdttitetW

0

)(

)0(0

)()()(

)()()(

)(2

1)( 2 tLitW

onde: considerou-se zero a corrente inicial no indutor, isto é: i(0) = 0 (sem energia inicial).

Portanto, o indutor absorve uma quantidade de energia proporcional à sua indutância e é sempre positiva. A energia armazenada no campo magnético do indutor linear é de valor finito e pode ser recuperada, pois a energia aumenta, diminui ou zera quando o mesmo ocorre com a corrente, de forma que o indutor linear retorna a energia à fonte ou rede elétrica da qual ele a recebeu. Entretanto vale enfatizar que, nos casos em que a resistência do enrolamento não pode ser desprezada, mesmo num indutor linear há uma dissipação de energia na forma:

dttRitW

t

disspada 0

2 )()( (3.56)

Outra maneira de expressar a energia em sistemas magnéticos é fazendo uso do campo B e da curva B-H do material do núcleo. Como exemplo, considere a aplicação de uma tensão variável v(t) aos terminais da bobina do toróide mostrado na fig. 3.18.

Fig. 3.18. Toróide com permeabilidade 0 e caminho magnético médio l = 2a.

21

Sendo sua permeabilidade praticamente igual a 0, pode-se mostrar que a energia magnética armazenada (em joules) para um determinado valor de densidade de fluxo B0 é:

0

2

0

2

AlBW (3.57)

Sendo o produto Al o volume do espaço envolvido pela bobina, então a densidade de energia (em J/m3) é dada por:

0

2

0

2

1

Bw (3.58)

A curva de magnetização deste sistema não ferromagnético pode ser representada por uma linha reta passando pela origem como mostra a fig. 3.19. Desta figura e da eq. (3.58) nota-se que a

densidade de energia correspondente a um valor específico 0B é dada pela área compreendida entre a

linha representando a relação B-H do toróide e o eixo vertical B.

Fig. 3.19. Curva B-H para material não ferromagnético e densidade de energia = área sombreada.

3.2.5 Indutância e energia armazenada em sistemas com entreferro

Devido à relação linear entre e , ou assumindo que ela existe, isto é, nos sistemas magnéticos que são linearizados em decorrência da presença do entreferro, a indutância é considerada uma grandeza constante. Neste caso, vale a definição já conhecida:

total

N

iL

2 (3.59)

Tomando como exemplo o sistema magnético da fig. 3.6 composto por um núcleo com um entreferro tem-se:

gc

N

iL

2 (3.60)

Quando >> 0 o que implica em c << g, a indutância fica sendo:

g

ANNL

g

g

0

22

(3.61)

onde, neste caso, percebe-se que a indutância é praticamente ditada pelo entreferro.

22

Com (3.55) a energia, em joules, pode ser expressa por:

20

2

2

1i

g

ANW

g

(3.62)

Outra forma de expressar a energia armazenada, porém em função no campo B no entreferro, pode ser obtida diretamente de (3.62), sendo nesta região B = 0Hg e como Hg Ni/g, obtém-se:

)(2

1

0

2

gAB

W g

(3.63)

onde: o produto (Agg) é o volume do entreferro em m3. Assim, sendo >> 0, praticamente toda energia magnética fica armazenada no entreferro. Uma maneira ainda melhor de perceber esta afirmação é através da análise da expressão abaixo, a qual foi deduzida levando em conta as duas parcelas de energia, por unidade de volume do núcleo e por unidade de volume do entreferro:

0

22

22

BBw (3.64)

onde: w é densidade de energia dada em J/m3; foi desprezado o espraiamento do fluxo, isto é, Ac = Ag; a densidade de fluxo B foi considerada igual para o núcleo e o entreferro: B = Bc = Bg; o produto (Agg) é o volume do entreferro e (Aclc) é o volume do núcleo, ambos em m3. Da eq. (3.64) nota-se claramente que quando >> 0 a primeira parcela, correspondente à energia para o núcleo, fica desprezível em face da outra, ou seja, a energia magnética é praticamente armazenada no campo estabelecido no entreferro como mostraram também as equações (3.62) e (3.63).

23

Exercícios 3.4

01) No sistema magnético abaixo Ac = Ag = 9 cm2, g = 0,05 cm, lc = 30 cm, N = 500 espiras, r = 70000 para o material do núcleo. Encontre: (a) A indutância. (b) A energia magnética armazenada quando a densidade de fluxo magnético no núcleo é 1,0 T. (c) A tensão induzida no enrolamento considerando que Bc = 1,0sen(t) T, sendo a frequência 60 Hz.

(d) A indutância desprezando a influência do núcleo e compare com a letra (a). (e) A energia magnética armazenada desprezando a contribuição do núcleo e compare com a letra (b). 02) (a) Considerando o exercício (01) novamente, porém, com r = 30.000, calcule a indutância. Compare com o valore encontrado anteriormente. O que você conclui a respeito disso? (b) Usando o programa MATLAB (ou outro), faça um gráfico da indutância do circuito magnético do exercício (01) em função da permeabilidade do núcleo no intervalo 100 r 50000. Observe o que ocorre com a indutância à medida que r aumenta. Por exemplo, com r em torno de 1000, como fica o efeito do núcleo sobre a indutância? (c) Idem para a energia, considerando a presença do núcleo e do entreferro. 03) Calcule a densidade de energia (J/m3) e a energia (J) no entreferro para a estrutura magnética ao lado (para a qual admite-se que o ferro do rotor e do estator tenham permeabilidade praticamente infinita). Considere a corrente no enrolamento I = 10 A, N = 1000 espiras, g = 1 cm e Ag = 2000 cm2.

04) O circuito magnético da figura é constituído por uma bobina de N espiras enroladas em um núcleo magnético, de permeabilidade muito alta (considerada infinita ), com dois entreferros paralelos de comprimentos g1 e g2, e áreas A1 e A2, respectivamente. Determine de forma literal: a) O diagrama do circuito magnético equivalente. b) A indutância. c) A densidade de fluxo B1 no entreferro 1 quando o enrolamento está conduzindo uma corrente i. Despreze os efeitos de espraiamento no entreferro e de fluxos de dispersão.

05) Demonstre a eq. (3.57).

24

3.3 Circuitos magnéticos não-lineares Nesta seção, será estudado o ferromagnetismo, sua importância e influência prática nos sistemas magnéticos. Dentre outros assuntos será mostrado que a permeabilidade dos materiais ferromagnéticos não é constante, que a relação entre B e H é não-linear e que existem perdas de energia no núcleo. Os materiais magnéticos (ou mais precisamente ferromagnéticos) têm grande importância no funcionamento de equipamentos elétricos e de conversão eletromecânica de energia, pois:

a) permitem obter densidades elevadas de fluxo magnético (B) com níveis relativamente baixos de intensidade de campo (H). Como as forças magnéticas e a densidade de energia aumentam com a densidade de fluxo, esse efeito apresenta grande influência no desempenho dos equipamentos. Em termos práticos, o uso de materiais ferromagnéticos no núcleo dos equipamentos aumenta o fluxo por unidade de corrente, o que propicia dispositivos menores e mais baratos. b) delimitam e direcionam os campos magnéticos no circuito, em caminhos bem definidos. Em transformadores, os materiais magnéticos são usados para maximizar o acoplamento entre os enrolamentos, assim como para diminuir a corrente de excitação. Em máquinas motrizes, os materiais magnéticos dão forma aos campos de modo que seja produzido o conjugado desejado, e as características elétricas específicas sejam obtidas nos terminais da máquina.

3.3.1 Ferromagnetismo

Considere novamente o toróide da fig. 3.14. A corrente no enrolamento produz uma intensidade de campo magnético H

dentro do toróide e uma densidade de fluxo magnético B

que são colineares.

Sendo o meio o vácuo, a relação entre B

e H

em qualquer ponto é dada pela conhecida expressão:

HB

0 (3.65)

Se o núcleo do toróide for preenchido com ar, plástico ou madeira, a magnitude da densidade de fluxo, B, é muito pouco aumentada. De fato, para a maioria das substâncias não ferromagnéticas, a diferença em relação à expressão (3.65) é tão pequena que, em termos práticos, pode ser completamente desprezada.

Todavia, como será explicado, se o núcleo de madeira for substituído por um de ferro de dimensões idênticas, será observado que a densidade de fluxo magnético B e, portanto, o fluxo magnético total produzido pela mesma bobina, com a mesma corrente (mesmo campo H), será enormemente aumentado! Este aumento é devido ao fenômeno denominado de ferromagnetismo, visto que foi observado primeiramente no ferro.

Para entender os fundamentos deste fenômeno é suficiente empregar um modelo atômico relativamente simples, que consiste de um núcleo circundado por uma nuvem de elétrons. Cada elétron possui uma carga de 1,6x10-19 C, e esta carga pode ser considerada como concentrada em uma pequena esfera. Os elétrons estão em órbita ao redor do núcleo. Além disso, cada elétron gira em torno de seu próprio eixo enquanto se move na órbita em torno do núcleo, ver fig. 3.20. A fig. 3.20(a) ilustra um elétron em órbita. A direção do movimento orbital descrita pela carga negativa do elétron corresponde a uma corrente i positiva (sentido convencional), em um laço formado pela órbita fluindo no sentido mostrado. A direção do fluxo magnético resultante, e consequentemente a direção do momento magnético orbital, ao longo do eixo da órbita, é aquele indicado pelo vetor

mop .

Além disso, cada elétron tem um momento magnético de spin decorrente da rotação da carga em torno de seu próprio eixo, como ilustra a fig. 3.20(b). Se a carga é entendida como distribuída esfericamente ao redor de seu eixo, girando no sentido horário, então equivale a um laço de corrente

25

no sentido anti-horário. Como um elétron tem uma quantidade específica (um quantum) de carga elétrica, ele tem também um momento magnético específico. O momento magnético de spin

msp , tem

uma magnitude de 9,27x10-24 Am2, e o momento magnético orbital 0mp

, vale zero ou é um múltiplo

inteiro deste valor.

Fig. 3.20. (a) Movimento orbital de um elétron. (b) Spin de um elétron.

Existem, portanto, dois fatores que podem se combinar para produzir o momento magnético do átomo

mp .

No entanto, nos átomos de muitos elementos os elétrons estão dispostos simetricamente, de forma que os momentos magnéticos devidos ao spin e ao movimento orbital cancelam-se entre si, levando o átomo a não ter momento magnético líquido. Mas, nos átomos de mais de um terço dos elementos conhecidos não há essa simetria, de forma que eles possuem um momento magnético atômico líquido. Mesmo assim, a disposição dos átomos na maioria dos materiais é tal que o momento magnético de um átomo é cancelado por de outro de direção oposta (antiparalelo) vizinho próximo. Em somente cinco elementos os átomos estão dispostos com seus momentos magnéticos em paralelo de forma que eles se suplementam ao invés de se cancelar. Os cinco elementos ferromagnéticos são:

ferro; níquel; cobalto; disprósio; gadolínio. Os dois últimos são metais de terras-raras, têm aplicação limitada na indústria e seu ferromagnetismo ocorre em temperaturas mais baixas que a ambiente. Um número de ligas destes cinco elementos, que incluem substâncias não ferromagnéticas em sua composição, também possuem a propriedade do ferromagnetismo. Um exemplo muito usado é o aço-silício, uma liga projetada especialmente para sistemas magnéticos práticos. Foi demonstrado, experimentalmente, que uma amostra de material ferromagnético é dividida em domínios magnéticos, comumente de tamanho microscópico, nos quais os momentos atômicos estão alinhados. A figura ao lado mostra uma fotografia ampliada de um conjunto de domínios num cristal simples de níquel. Para tirá-la o fotógrafo espalhou uma suspensão coloidal de um finíssimo pó de óxido de ferro sobre uma superfície do cristal convenientemente cortada. As linhas brancas mostram as fronteiras destes domínios. As setas indicam a orientação dos momentos magnéticos no interior dos domínios.

A direção de alinhamento dos momentos atômicos difere de um para outro domínio. Isto está ilustrado na fig. 3.21(a) onde as setas indicam a direção do momento magnético em cada domínio. Mas, deve-se ter em mente que os domínios podem estar alinhados de forma aleatória nas três dimensões do material. O tamanho dos domínios é tal que um simples cristal pode conter muitos domínios, cada qual alinhado com um eixo do cristal. Quando uma amostra ferromagnética é colocada em um campo magnético, os momentos magnéticos atômicos tendem a girar em alinhamento ao campo magnético. O volume dos domínios na amostra em que os momentos magnéticos são mais ou menos alinhados com o campo magnético (favoravelmente orientados) aumenta em tamanho, às custas da diminuição do volume dos domínios

26

que estão mais ou menos em alinhamento oposto ao campo aplicado (desfavoravelmente orientados). Este fenômeno é conhecido como movimento de parede de domínio, ilustrado na fig. 3.21(a) para a fig. 3.21(b) e também de forma similar, para outro caso, na fig. 3.21(c) para (d). A consequência deste movimento de parede é que a amostra do material como um todo adquire um momento magnético que pode ser considerado como o resultante de todos seus momentos atômicos. O momento magnético da amostra fornece uma medida do grau de alinhamento de seus momentos.

(c)

(d)

Fig. 3.21. Domínios ferromagnéticos: (a) sem campo magnético aplicado; (b) campo magnético aplicado de intensidade H; (c) outro material desmagnetizado; (d) magnetização e movimento da parede do domínio.

3.3.2 Magnetização

Mais uma vez usando o toróide da fig. 3.14, porém, considerando que seu núcleo é de ferro fundido, pode ser determinada a curva de magnetização B = B(H) experimentalmente, medindo-se um conjunto de valores de B e H a partir de uma determinada faixa de valores de corrente aplicada. Tipicamente, a relação obtida entre B e H tem a forma da curva de baixo da fig. 3.22. Se a bobina é enrolada em um toróide de aço fundido, material usado em máquinas elétricas, então a curva de magnetização típica obtida é a curva intermediária da fig. 3.22, ou, se o núcleo for de aço silício do tipo especificado tem-se a curva superior na fig. 3.22.

Fig. 3.22. Curvas de magnetização de três materiais ferromagnéticos diferentes.

27

A densidade de fluxo produzida no material ferromagnético pode ser descrita como constituída por duas componentes:

MBBB

0 (3.66)

onde: B0 é a magnitude da densidade de fluxo que ocorreria em uma bobina envolvendo o vácuo; BM é a magnitude da densidade de fluxo adicional devida à presença do núcleo ferromagnético. Com H = 1000 A/m, ter-se-ia: B0 = 0,0012566 T; da fig. 3.22 para o ferro fundido B = 0,513 T; assim, da eq. (3.66), em módulo: BM 0,512 T.

Portanto, nota-se um extraordinário aumento da densidade de fluxo devido à presença do material ferromagnético, mais de 400 vezes maior que a densidade produzida somente no ar.

Assim, quando uma intensidade de campo magnético externa ( H

) é aplicada ao material

ferromagnético, os momentos dos domínios magnéticos tendem a se alinhar com o campo aplicado. A componente de densidade de fluxo

MB

é o resultado de um alinhamento parcial dos momentos

magnéticos atômicos do ferro na direção do campo H

aplicado. Como resultado, se produz um valor muito mais elevando de densidade de fluxo ( B

) do aquele que existiria se houvesse apenas o vácuo ou

o ar. À medida que a magnitude H aumenta B também aumenta – porém, de forma não-linear com a variação de H, isto é, não é mais constante (ver curvas B-H da fig. 3.22) –, até que todos os momentos magnéticos estejam alinhados com o campo aplicado. Nesse ponto, eles não podem mais contribuir para o aumento da densidade de fluxo (B), diz-se que o material está completamente saturado. 3.3.3 Saturação

As curvas de magnetização da fig. 3.22 mostram que a densidade de fluxo B cresce rapidamente enquanto H é aumentado a partir de zero. Isto indica que somente um pequeno campo aplicado H é requerido para fazer as fronteiras dos domínios magnéticos moverem-se e permitir mais momentos atômicos se alinharem parcialmente com H. À medida que H é aumentado, a inclinação da curva de magnetização (dB/dH) é reduzida, indicando que as paredes dos domínios estão se movendo mais lentamente. Para se obter uma magnetização adicional será requerida a aplicação de um valor de H grande o suficiente para girar os momentos atômicos dos eixos dos cristais a uma direção mais próxima do alinhamento com H. Este achatamento da curva B-H é proveniente da chamada saturação do ferro. A saturação completa, correspondendo à magnetização máxima, ocorreria se todos os momentos atômicos fossem levados a um completo alinhamento na direção do campo aplicado. Para qualquer outro valor menor de magnetização tem-se:

)(00 MHBBB M

(3.67)

A denominada magnetização M

explicitada na eq. (3.67) é dada por:

0MB

M

(3.68)

onde: em módulo: M= BM/0; a unidade da magnetização é A/m; no vácuo M = 0. Como pode ser visto na fig. 3.22, por exemplo, até mesmo para H = 3000 A/m a densidade de fluxo para o ferro fundido é somente B = 0,76 T, um valor muito menor que o decorrente de um

28

perfeito alinhamento de todos os momentos atômicos na direção do campo aplicado. Consequentemente, este material é muito difícil de saturar completamente. Se H é aumentado enormemente, B continuaria a aumentar, e a inclinação da curva tenderia à 0, onde a máxima magnetização do material seria alcançada. Na fig. 3.22 o material M36 (lâminas de aço-silício de espessura "29 gauge") atinge uma densidade de fluxo B = 1,8 T em 1000 A/m. Neste ponto, somente 0,0012 T advém do campo H aplicado, sendo a maior parte devida a magnetização do material. Em H = 3000 A/m, 1,99 T é obtido, que é cerca de 92% de BMmax do ferro (2,18 T), o principal componente desta liga. Portanto, alguns materiais ferromagnéticos podem se aproximar do limite teórico (2,18 T) com a aplicação de valores relativamente pequenos de H. Enfim, diferentes materiais saturam em diferentes valores de densidade de fluxo. Na saturação a permeabilidade torna-se muito pequena. 3.3.4 Permeabilidade dos materiais ferromagnéticos e indutor não-linear

Considere em primeiro lugar uma amostra não magnetizada de material ferromagnético. Se a intensidade magnética H, inicialmente nula, for aumentada continuamente, a relação B-H descreverá uma curva semelhante à da fig. 3.23, a curva de magnetização do material. Nota-se mais uma vez que a permeabilidade não é constante, sendo seus valores tomados na curva de magnetização sempre de sinal positivo em uma ampla faixa. Da curva de magnetização obtém-se a permeabilidade, que deve ser calculada para cada ponto da curva, dada por:

dH

dB (3.69)

Esta expressão fornece a permeabilidade de forma geral, isto é, válida tanto para o caso linear estudado anteriormente, quanto para o caso não-linear, onde a permeabilidade varia dependendo do ponto de operação na curva B-H.

Fig. 3.23. Ilustração da curva de magnetização (curva B-H)

e permeabilidade ( = dB/dH) de um material ferromagnético típico. A permeabilidade máxima ocorrerá no "joelho" da curva onde a derivada dB/dH é máxima; em alguns materiais esta permeabilidade máxima é maior do que 1050, em outros é bem menor. Como pode ser observado na fig. 3.23, a permeabilidade do material cai drasticamente na saturação, o que faz com que a indutância se torne muito pequena nesta situação, como explanado a seguir. O uso do material ferromagnético introduz a mencionada relação não-linear entre B e H, o que faz com que a curva -i seja também não-linear como mostra a fig. 3.24. Assim, não será válida a relação de proporcionalidade que representa uma reta = Li com a indutância constante (ver fig. 3.15). Em outras palavras, quando se faz passar um fluxo por um material ferromagnético, a relação com a corrente que o produz não é mais proporcional. Alguns autores chamam o dispositivo de indutor não-linear. Neste caso a indutância, denominada de indutância incremental, é dada por:

di

dL

(3.70)

29

Por exemplo, considerando o toróide da fig. 3.14 com núcleo ferromagnético e usando as conhecidas expressões anteriores obtém-se:

N

lHd

NAdB

di

dN

di

dL

dH

dB

l

ANL

2

(3.71)

O que mostra que a indutância neste caso é variável, atingindo um valor máximo na maior inclinação da curva B-H (maior valor da derivada = dB/dH), podendo cair bastante na região de saturação, que ocorre com maiores valores de H, com correntes mais elevadas.

Fig. 3.24. Gráfico mostrando a relação não-linear entre o fluxo concatenado e a corrente i para materiais ferromagnéticos. Veja a curva B-H não-linear da fig. 3.23 e compare também com o caso linear da fig. 3.15. 3.3.5 Aproximação da permeabilidade para meios não-lineares

Como visto, as curvas B-H na fig. 3.22 são não-lineares. Em muitos casos, nos equipamentos os materiais magnéticos operam normalmente em pontos de suas curvas B-H antes da saturação. Assim, com frequência, é conveniente aproximar por uma linha reta aquela parte da curva B-H que é usada. Isto foi feito para o aço fundido da fig. 3.22, como mostra a fig. 3.25. Neste caso, a aproximação é aceitável até o valor de B 0,9 T. Acima deste valor, as imprecisões se tornam muito grandes.

Fig. 3.25. Aproximação para a curva de magnetização para o aço fundido da fig. 3.22.

30

Dentro da faixa "linear" aceitável, a curva B-H pode ser descrita pela conhecida relação:

B = 0rH (3.72) Onde r é a conhecida permeabilidade relativa do material, isto é, um fator pelo qual a densidade de fluxo é multiplicada devida a presença do material ferromagnético, valendo portanto a expressão B = H, onde = r0. Na aproximação linear da fig. 3.25, para B = 0,9 T, H 530 A/m e, portanto, r 1350. Veja como é grande o efeito na permeabilidade devida à presença do material!

Exemplo 3.6. Suponha uma ferrite para a qual r = 50 e que esteja operando com baixa densidade de fluxo, a fim de que se possa considerar uma relação linear para o meio. Sendo B = 0,05 T, calcule , H, M e a susceptibilidade magnética m a qual é dada pela relação M/H. Solução: Permeabilidade absoluta: = 0r = (410-7)*50 = 6.2832x10-5 H/m. Intensidade magnética: H = B/ = 795,7747 A/m. Magnetização: B = 0(H + M) => M = B/0 – H => M = 38992,9611 A/m. Susceptibilidade: m = M/H = 49,0000. O que mostra que a magnetização produzida pelo material é 49 vezes maior que a produzida pelas cargas livres (corrente).

Exemplo 3.7. Considere que a bobina da fig. 3.14 tem 1000 voltas e que o núcleo do toróide é de aço fundido, com um raio médio de 250 mm e uma seção transversal com 25 mm de diâmetro. Use a curva B-H (aço fundido) da fig. 3.22 para determinar M e r, quando a corrente na bobina é 1,2 A. Solução: H = Ni/l = 1000*1,2/(2**25010-3) = 763,9 A/m Da fig. 3.22: B 1,03 T Como: B0 = 0H = 410-7763,9 = 9,6010-4 T Logo: BM = B – B0 1,029 T De (3.68): M = BM/0 = 1,029/(410-7) = 8,19105 A/m

Com (3.72): r = /0 = (B/H)/0 => 1073104

)09,763/()003,1(7

r .

Exemplo 3.8. Para o sistema magnético do Exemplo 3.7 determine: a) A corrente na bobina para produzir uma densidade de fluxo de 1,2 T no toróide. b) A permeabilidade relativa para uma densidade de fluxo de 0,9 T. c) A indutância da bobina usando uma reta passando pelo ponto na curva para 0,9 T como aproximação. Solução: a) Da fig. 3.22, em B = 1,2 T tem-se: H 1140 A/m.

Da eq. (3.2): H = Ni/lc => i = lcH/N => Ai 79,11000

114010250**2 3

b) Da fig. 3.25, em B = 0,9 T, H 580 A/m.

Da eq. (3.72): r = /0 = (B/H)/0 => 8,1234104

)0580/()09,0(7

r

c) B = 0,9 T o fluxo magnético é:

mWb44179,09,0)1025(4

23

E a indutância é:

Hl

ANNL

c

cr 485,0102502

4/)1025(1048,123410003

2372

0

22

* Note nos Exemplos 3.7 e 3.8 que as permeabilidades relativas são diferentes para o mesmo sistema magnético, devido a pontos de operação diferentes na curva B-H.

31

Como já mencionado, na prática os materiais ferromagnéticos são usados para aumentar o fluxo concatenado por unidade de corrente para se ter equipamentos (indutores, transformadores, motores, geradores, etc.) menores e mais baratos. No entanto, os materiais ferromagnéticos se caracterizam por sua magnetização, saturação e pelo fato de sua presença no circuito implicar usualmente em um profundo efeito na indução magnética. Portanto:

os materiais ferromagnéticos, amplamente utilizados em máquinas elétricas, são não-lineares. Desta forma a permeabilidade constante não se aplica estritamente a eles; como aproximação pode-se considerar uma linha reta na parte da curva B-H em que se presume que o núcleo irá trabalhar antes da saturação, isto é, válida somente até um certo valor de B; outra maneira é examinar separadamente cada problema que envolve o ferromagnetismo, determinando-se qual região da curva B-H é importante para o problema em particular, fazendo-se aproximações para esta região. Em certos estudos linearizar-se por partes determinados trechos da curva B-H, ver Exercícios 3.5, número (04). ou, simplifica-se o problema pela adoção de um valor médio constante para a permeabilidade; certas espécies de ferros conhecidas como ferro doce podem ser tratadas como aproximadamente lineares.

Embora tenha sido enfatizado neste texto somente as substâncias ferromagnéticas, em geral nos materiais, cada átomo contém componentes diferentes para o momento magnético e a sua combinação determina as características magnéticas do material e provê sua classificação magnética. Deste modo, tem-se seis tipos diferentes, descritos resumidamente no Apêndice A, que pode ser acessado pelo hiperlink: A.1 Classificação magnética dos materiais. Esta classificação é bem mais abrangente e adequada do que a simplificada tab. 3.1 mostrada no início deste capítulo. 3.3.6 Efeito da temperatura

Quando a temperatura de um material é aumentada cada átomo oscila ao redor de sua posição média no cristal, e esta oscilação perturba o alinhamento dos momentos magnéticos. Consequentemente, quando a temperatura de um material ferromagnético é aumentada, sua magnetização é alterada da maneira ilustrada na fig. 3.26.

Fig. 3.26. Diminuição da magnetização ferromagnética com a temperatura.

Em uma temperatura conhecida como Temperatura Curie (Tc), o alinhamento atômico paralelo desaparece completamente e os momentos atômicos ficam alinhados aleatoriamente. A Temperatura Curie para o ferro é 770 C. Desde que as temperaturas na maioria das máquinas elétricas são usualmente abaixo de 150 C, o efeito nas propriedades ferromagnéticas do ferro será pequeno. Os efeitos de temperatura são mais importantes no níquel, no qual Tc = 348 C. Nos elementos das terras-raras, as Temperaturas Curie estão abaixo da temperatura ambiente normal.

32

Exercícios 3.5

01) Considere o sistema magnético toroidal da fig. 3.14, no qual é aplicado uma intensidade magnética externa de magnitude H = 1000 A/m. a) Determine (aproximadamente) para as três curvas da figura ao lado, a magnitude da componente de densidade de fluxo BM e da magnetização M correspondente. b) Calcule a corrente i para se obter uma densidade de fluxo magnético B = 1,4 T considerando o núcleo do toróide e somente para as curvas do aço fundido e do aço-silício da figura. Dados: raio a do toróide: a = 15 cm; número de espiras: N = 250.

02) O núcleo da figura ao lado é feito de aço-silício M-36 (29 gauge), cuja curva de magnetização é mostrada no exercício (01). O enrolamento possui 300 voltas. As dimensões estão em milímetros. a) Determine a corrente requerida para produzir uma densidade de fluxo de 1,4 T no núcleo. b) Se a curva de magnetização é aproximada por uma reta a partir da origem até o ponto B = 1,4 T, qual seria a permeabilidade relativa do material do núcleo e a indutância do dispositivo?

03) Um indutor composto por um núcleo de área de seção transversal retangular A e caminho magnético médio de 0,60 m, deve trabalhar na região da curva B-H do material antes da saturação, isto é, abaixo do joelho da curva. A indutância deve ser 5 mH. Sendo o enrolamento com 50 espiras, calcule qual deve ser a área A para cada um dos três materiais da figura do exercício (01). Despreze a dispersão de fluxo. Analise os resultados.

04) Seja uma liga de aço-silício com os seguintes valores de sua curva de magnetização: H = [0 25 50 75 100 150 200 250 300 350 400 500 600 700 800 900 1000 ] A/m B = [0 0.0222 0.1222 0.3111 0.6000 0.8444 1.0000 1.1000 1.1556 1.2000 1.2333 1.2778 1.3000 1.3111 1.3222 1.3333 1.3344] T

a) Plote a curva B-H correspondente. b) Faça uma linearização da curva B-H usando duas retas. Ache as equações destas retas sendo a 1ª da origem até B = 1,10 T (aproximadamente início da saturação). A 2ª reta de B = 1,10 T até B = 1,3344 T. c) Determine, para a aproximação da curva B-H obtida no item (b), a indutância obtida em cada reta, considerando um núcleo com a geometria do exercício (03) sendo A = 6x10-2 m2 , l = 0,6 m e N = 50 espiras. O que você observa?

33

3.3.7 Histerese

Embora o estudo da curva de magnetização seja de grande importância, outros fenômenos, não menos importantes, também ocorrem nos materiais ferromagnéticos, os quais serão discutidos nesta e nas próximas seções. Verifica-se que, quando se aumenta e depois se diminui a intensidade de campo H aplicada, a curva de magnetização ou curva B-H de um material ferromagnético não se sobrepõe. Para apreciar isso, considere novamente a bobina da fig. 3.14 enrolada sobre um toróide de ferro e excitada por uma corrente alternada de frequência muito baixa. Desta forma, H inicia em zero e varia muito lentamente entre valores de pico Hmax e –Hmax como mostra a fig. 3.27(a). Com o ferro inicialmente desmagnetizado, a variação de B é mostrada na fig. 3.27(b). Após alguns ciclos de H, se define um laço B-H fechado, o laço abcdefa mostrado na fig. 3.27(c), no qual a densidade de fluxo B é uma função de dois valores para cada valor de H. As setas indicam o sentido do movimento do estado magnético do ferro à medida que H varia. Assim, a curva B-H para H crescente difere de modo notável daquela para H decrescente. Este fenômeno é a histerese magnética.

Fig. 3.27. Variação de B com H. (a) Intensidade H aplicada variando no tempo.

(b) Variação de B para 0 < t < t1. (c) Laço B-H em regime permanente.

A variação de H para obter o laço B-H fechado da fig. 3.27(c), de Hmax para –Hmax e a volta de –Hmax para Hmax, deve ser unidirecional. Por exemplo, em nenhum momento o aumento contínuo de H que fornece a parte defa do laço pode ser interrompido ou revertido. Se isto ocorrer, um laço menor de histerese (minor loop) como o mostrado na fig. 3.28 surgiria, e muitos ciclos de variação de H seriam necessários para restabelecer o laço fechado abcdefa, em regime permanente, da fig. 3.27(c).

Fig. 3.28. Laço de histerese menor (minor loop).

Observe que no ponto b da fig. 3.27(c), o ferro permanece magnetizado até mesmo se a corrente no enrolamento for zero. Para remover esta magnetização a corrente deve aumentar em módulo, mas em sentido negativo. Portanto, nos pontos b, e no laço, o ferro possui uma magnetização que não desaparece com a remoção do campo H que a produziu: diz-se que o material ficou imantado.

Através de todo o ciclo de variação, o valor de B está sempre defasado (atrasado) do valor de H. Este fenômeno é denominado histerese, da palavra grega que significa "vir atrás". O fator preponderante do ciclo de histerese é a reorientação lenta dos domínios magnéticos em resposta a uma força magnetizante H que varia ciclicamente.

34

A forma da curva de histerese depende não só da natureza do material ferromagnético, mas também do valor máximo de H ao qual o material está submetido. A fig. 3.29(a) mostra uma família de laços de histerese para vários valores de Hmax. Observe que após H ter sido aumentado até Hmax e então ser reduzido a zero, algumas paredes de domínios se movem espontaneamente em direção às posições que eles tomaram quando H era inicialmente zero. Isto reduz a extensão dos domínios positivos alinhados, mas o movimento não é completo e, como consequência, tem-se a densidade de fluxo Br remanente (imantação), mostrada na fig. 3.29(a). Este valor Br também é conhecido como densidade de fluxo remanescente ou residual, sendo diferente para cada laço de histerese, determinado por cada Hmax em particular. O valor negativo da intensidade de campo –Hc, requerida para remover a densidade de fluxo residual, é conhecido como coercitividade ou força coercitiva do ferro como mostra a fig. 3.29(a). Já a fig. 3.29(b) mostra o ciclo de histerese em termos de H e da magnetização M do material, fazendo uma associação, de forma ilustrativa, com a teoria dos domínios magnéticos apresentada anteriormente.

(a)

(b)

Fig. 3.29. (a) Família de laços de histerese em regime permanente. (b) Variação da magnetização em função da intensidade do campo magnético aplicado.

Se no primeiro quadrante da fig. 3.29(a) forem ligados os pontos das extremidades dos vários laços produzidos pelos vários valores de Hmax, o resultado é uma curva como aquela internamente tracejada. Esta é a conhecida curva de magnetização do ferro ilustrada na fig. 3.22, sendo também denominada de curva normal de magnetização, útil para se efetuar cálculos mais exatos com materiais ferromagnéticos do que quando se considera simplesmente uma permeabilidade constante, valendo destacar que:

para muitas aplicações em engenharia é suficiente o uso da curva de magnetização, que embora desconsidere a histerese do material, leva em conta as suas características não-lineares.

Enfim, devido a histerese a relação entre B e H é não-linear e plurívoca. Em geral, as características do material não podem ser descritas por expressões analíticas. Usualmente se utiliza gráficos com conjuntos de curvas determinadas a partir de ensaios de amostras dos materiais. O exemplo a seguir ilustra estas considerações.

35

Exemplo 3.9. Laços de histerese e curva de magnetização para o aço elétrico tipo M-5: o primeiro e o segundo quadrantes (onde B 0) de um conjunto de laços de histerese estão mostrados na fig. 3.30(a) para este material, tipicamente usado em equipamentos elétricos. Observe que, com um valor crescente de H, as curvas começam a ficar horizontais à medida que o material tende à saturação. Para uma densidade de fluxo cerca de 1,7 T, o material está fortemente saturado. Em todas as curvas pode ser notado tanto a densidade residual (Br) como a força coercitiva (–Hc). Como já referido, para muitas aplicações em engenharia é suficiente descrever o material por uma curva unívoca, obtida da plotagem dos lugares de valores máximos de B e H nas extremidades dos laços de histerese. Esta é a mencionada curva de magnetização CC ou normal, mostrada na fig. 3.30(b). Mais uma vez observa-se que, embora a curva de magnetização despreze a histerese do material, ela exibe claramente suas características não-lineares.

(a) (b) Fig. 3.30. Aço elétrico de grão orientado, tipo M-5, de 0,012 polegadas de espessura. Armco Inc.

(a) Laços de histerese (apenas metades superiores). (b) Curva de magnetização (com apenas valores positivos de B e H).

3.3.8 Energia e co-energia em sistemas magnéticos não-lineares

De forma semelhante à Seção 3.2.4, considere o cálculo da energia em sistemas magnéticos, porém, considerando o material ferromagnético para o qual a relação entre H e B é não-linear. Tomando como exemplo o indutor da fig. 3.2, com área de seção transversal Ac e caminho magnético médio lc, continua sendo válida a eq. (3.53), ou seja:

2

1

diW

Fazendo 1 = 0 e 2 = tem-se, na fig. 3.31, uma representação gráfica da energia W, em joules, que corresponde à área entre a curva -i e o eixo vertical.

Fig. 3.31. Representação gráfica da energia magnética e a da co-energia para curva -i.

36

Como i = Hlc/N e com = NAcB, obtém-se a variação de energia da rede elétrica para a parte magnética, W (em joules), quando a densidade de fluxo varia de B1 à B2, como:

2

1

B

B

cc HdBlAW (3.73)

quando W < 0 então que a energia está sendo devolvida do campo magnético para a rede elétrica. A densidade de energia w, em J/m3, é dada por:

2

1

B

B

HdBw (3.74)

A co-energia W', em joules, também mostrada na fig. 3.31, para a corrente de 0 até i é expressa por:

i

idiW0

)( (3.75)

A dedução da eq. (3.75) e o porque do cálculo da co-energia estão descritos com mais detalhes no Apêndice A no final do capítulo (use o hiperlink: A.2 Co-energia magnética). Um estudo mais detalhado sobre a energia considerando o ciclo de histerese será mostrado na Seção 3.3.9 a seguir e está complementado no Apêndice A (hiperlink: A.3 Perdas por histerese). 3.3.9 Excitação em corrente alternada e perdas no núcleo

Em sistemas elétricos em corrente alternada (CA), as formas de onda de tensão e de fluxo magnético alternados são bastante próximos das funções senoidais no tempo. Com esta consideração, esta seção apresentará as características da corrente de excitação e as perdas no núcleo ferromagnético, decorrentes do funcionamento em corrente alternada em regime permanente. Como ponto de partida, utiliza-se um núcleo sem entreferros, como o mostrado na fig. 3.2, porém, tendo em mente que o mesmo é constituído de material ferromagnético cuja relação B-H é não-linear. Considere uma corrente de excitação ie(t) fluindo em sua bobina (com resistência desprezada), produzindo um fluxo no núcleo cuja expressão é uma função senoidal em função do tempo da forma:

)()()( maxmax tsenBAtsent c (3.76)

onde: max é o valor máximo do fluxo, Wb; Ac é a área da seção transversal do núcleo, m2; Bmax é o valor máximo da densidade de fluxo no núcleo, T; é a frequência angular da rede elétrica, = 2f, rad/s; f é a frequência da rede, Hz.

De (3.39), a fem e(t) induzida na bobina pelo fluxo variável é:

)cos()cos()(

)( maxmax tEtBNAdt

tdNte c

(3.77)

Como se sabe, o valor eficaz de grandezas senoidais é dado pelo valor máximo sobre a raiz quadrada de dois. Assim, o valor eficaz da fem induzida Eef pode ser expresso por:

maxmax 2

2

2BfNA

BfNAE c

cef

(3.78)

37

As propriedades ferromagnéticas e a configuração do núcleo determinarão a corrente de excitação necessária para produzir o fluxo no núcleo. Em virtude da relação não-linear entre B e H nos materiais ferromagnéticos, será requerida uma corrente de excitação, ie(t), com forma de onda não senoidal, quando um indutor com núcleo com este material for energizado por uma fonte de tensão externa senoidal v(t), de frequência f em Hz. Este fenômeno será discutido desprezando a resistência R da bobina, resultando no circuito equivalente no domínio do tempo mostrado na fig. 3.32, para o qual o fluxo é considerado senoidal.

Fig. 3.32. Circuito equivalente para indutor não-

linear, desprezando a resistência do enrolamento. A forma de onda da corrente de excitação pode ser determinada graficamente a partir do laço fluxo concatenado-corrente (laço -ie). Este método é ilustrado na fig. 3.33, na qual nota-se que a forma de onda da corrente, em regime permanente, é simétrica em relação ao eixo horizontal. Como o laço de histerese achata-se devido aos efeitos da saturação, observa-se a ocorrência de picos acentuados na corrente.

Fig. 3.33. Determinação gráfica da forma de onda de corrente de excitação em indutor não-linear.

Pela definição matemática de valor eficaz (ou rms = root mean square), o valor eficaz da corrente Ief, é dado por:

T

eef dttiT

I0

2)(

1 (3.79)

onde: T (T = 1/f ) é o período, s. A corrente eficaz está relacionada à intensidade de campo eficaz Hef, isto é:

N

lHI

cef

ef (3.80)

onde: lc é o comprimento médio do caminho magnético, m.

38

As características de excitação em CA dos materiais ferromagnéticos são descritas frequentemente em termos de volt-ampères eficazes, ao invés da curva B-H. A teoria que fundamenta essa representação pode ser explicada combinando as expressões (3.78) e (3.80). Assim, utilizando a formulação da potência aparente S = VefIef, obtém-se os volts-ampères (VA) necessários para excitar o núcleo da fig. 3.2 para uma densidade de fluxo Bmax específica, ou seja:

N

lHBfNAIES

cef

cefef max2

)(2 max ccefefef lAHfBIES (3.81)

Ressalta-se que os volts-ampères requeridos para excitar o núcleo com uma onda senoidal de fluxo são proporcionais: ao volume do núcleo, (Aclc); à frequência de excitação, f; ao valor de pico da densidade de fluxo Bmax; à intensidade eficaz do campo magnético Hef. Para um material com densidade de massa c (kg/m3), a massa do núcleo é o produto (A cl cc). Assim, o valor em volt-ampère eficaz de excitação, por unidade de massa, pode ser expresso por:

c

efefef HfB

massa

IES

max2 (3.82)

Observe nesta expressão que a potência aparente S é uma propriedade do material. Depende essencialmente de Bmax visto que Hef pode ser obtido em função de Bmax pelo laço de histerese em uma dada frequência f. Desta maneira, as condições de excitação CA de um material magnético são fornecidas frequentemente pelos fabricantes em termos de volts-ampères por unidade de massa. Esses valores são determinados por meio de ensaios de laboratório realizados com amostras de núcleo fechado do material (sem entreferro). A fig. 3.34 ilustra essa questão para o aço elétrico de grão orientado do tipo M-5.

Fig. 3.34. Volts-amperès eficazes de excitação por quilograma, a 60 Hz, para o aço de grão orientado M-5,

com espessura de chapa de 0,012 polegadas (Armco Inc.) Enfim, a corrente de excitação fornece a fmm necessária para produzir o fluxo magnético no núcleo e a potência associada à energia do campo magnético do núcleo. Parte dessa energia é dissipada como perdas no núcleo que resulta em aquecimento. Outra parte dessa energia, não dissipada, é a energia armazenada no núcleo, associada à potência reativa elétrica. Como se sabe, a potência reativa é ciclicamente fornecida e absorvida pela fonte de excitação ou rede elétrica.

39

Nos materiais ferromagnéticos existem dois fenômenos importantes causadores de perdas no núcleo, ambos associados aos fluxos variáveis no tempo. O primeiro é devido às correntes induzidas no material do núcleo, visto que o fluxo variável induz uma força eletromotriz, o que é explicado pela lei de Faraday. Como o núcleo é condutor (mesmo que pobre), surgirão correntes induzidas conhecidas como correntes parasitas ou de Focault, que circulam no material do núcleo e, pela lei de Lenz, opõem-se às mudanças da densidade de fluxo no mesmo. A fig. 3.35 mostra uma seção transversal de um núcleo, indicando a existência de uma corrente circulante em percurso fechado dentro dele (para facilitar o entendimento mostra-se apenas um único caminho de corrente).

Fig. 3.35. Corrente circulante em núcleo circular.

Assim, as correntes parasitas, se opondo às variações de fluxo, introduzem um efeito de desmagnetização. Para contrabalanceá-lo, a corrente de excitação do enrolamento aumenta. Isto é mostrado na fig. 3.36 sendo que: quando a corrente alternada ie é aumentada de –iemax até iemax, as correntes circulantes produzirão uma força magnetomotriz em oposição ao aumento do fluxo no núcleo. Para produzir um determinado valor de fluxo , a corrente de excitação ie deve ser aumentada pela quantidade necessária para superar a fmm das correntes circulantes. Um ponto a no laço de histerese original será consequentemente substituído por um ponto a'; analogamente, quando ie diminui de iemax para –iemax, as correntes circulantes produzirão uma fmm em oposição à redução de fluxo no núcleo. Assim, o laço -ie como um todo fica mais largo devido as correntes circulantes. Este efeito aumenta com o aumento da frequência f.

Fig. 3.36. Laço -ie dinâmico.

Portanto, o laço de histerese resultante do funcionamento em CA é um pouco mais largo que aquele em condições de variação lenta de campo como abordado na Seção 3.3.7. Por esta razão, as características dos materiais variam com a frequência e, usualmente, são fornecidas pelos fabricantes em função da frequência de operação em que serão empregados. Note, por exemplo, que os volts-ampères de excitação da fig. 3.34 foram especificados para a frequência de 60 Hz. Uma importante consequência das correntes parasitas é que elas geram perdas de potência no núcleo devido ao efeito Joule "RI2" visto que o material tem resistência elétrica, e assim energia é dissipada na forma de calor. Em termos práticos, as perdas por corrente parasitas podem ser reduzidas de duas maneiras: a) uso de núcleo com material de alta resistividade. Por exemplo, a resistividade do ferro é aumentada substancialmente pela adição de um pequeno percentual de silício;

40

b) construir o núcleo por meio de chapas ou lâminas isoladas entre si (por uma camada de óxido em suas superfícies, ou por uma fina cobertura de esmalte ou verniz de isolação). Isso reduz grandemente a magnitude das correntes parasitas porque as camadas de isolação interrompem os caminhos de corrente; quanto mais finas as chapas, menores as perdas "RI2". Como exemplo, a fig. 3.37(a) mostra um núcleo toroidal feito com lâminas isoladas, com uma área de seção transversal retangular e o caminho da corrente parasita em uma das lâminas. Na fig. 3.37(b) tem-se a foto do núcleo de um transformador trifásico em montagem, no qual se observa a presença de lâminas sobrepostas.

(a)

(b)

Fig. 3.37. Os núcleos dos equipamentos elétricos são compostos por chapas ou lâminas. (a) Núcleo toroidal laminado. (b) Núcleo laminado de um transformador trifásico em montagem.

Uma equação empírica para calcular as perdas Pe, em watts, devido as correntes parasitas é:

volBfKP ee

22

max

2 (3.83)

onde: Ke = constante que depende do material; f = frequência da variação do fluxo; Bmax = densidade máxima de fluxo; = espessura da laminação; vol = volume do material.

Nota-se que as perdas por correntes parasitas Pe, dentre outros fatores, variam com o quadrado da frequência f e com o quadrado da densidade de fluxo máxima Bmax.

O outro importante fenômeno causador de perdas no núcleo se deve à natureza histerética do material. O processo de magnetização e desmagnetização numa condição cíclica e simétrica envolve armazenamento e liberação de energia que não é totalmente reversível, isto é, a energia cedida para a magnetização é superior à liberada na desmagnetização. Uma parte desta energia perdida é dissipada na forma de calor no material magnético e representa o trabalho feito para reorientar os momentos magnéticos do material em um ciclo de magnetização. A potência dissipada dessa forma é chamada de perda por histerese. A partir da eq. (3.73), para um único ciclo de histerese, tem-se:

HdBlAW cc (3.84)

O círculo no símbolo de integração indica que integral é em todo o ciclo de histerese e fornece, portanto, a área dentro do ciclo B-H que corresponde à perda de energia em J/m3 por ciclo. Esta última afirmação está demonstrada no Apêndice A (clique em A.3 Perdas por histerese), ou seja, a cada ciclo:

(Energia Perdida/Unidade de Volume) = Área do ciclo de histerese B-H Essa energia é requerida para girar os momentos magnéticos do material e é dissipada como calor. Assim sendo, como Aclc é o volume do núcleo, então há um fornecimento líquido de energia para

41

o material a cada ciclo, sendo as perdas por histerese proporcionais à área do ciclo de histerese e ao volume do material. Como a perda é por ciclo, a potência de perdas é proporcional à frequência da excitação aplicada. Uma forma de expressar a potência de perdas Ph, em watts, devido à histerese é:

fvolwP hh (3.85)

onde: wh = área do ciclo de histerese, J/m3; vol = volume do material ferromagnético, m3; f = frequência, Hz. Para evitar a necessidade de se calcular wh, Steinmetz obteve uma formulação empírica para wh baseada em um grande número de medições para vários materiais ferromagnéticos, de forma que a potência dissipada nas perdas por histerese pode ser expressa por:

n

hh BKfvolP max (3.86)

onde: Bmax é o valor máximo da densidade de fluxo, T; n se situa na faixa de 1,5 a 2,5, dependendo do material empregado; Kh é uma constante que também depende da natureza do material, sendo valores típicos: aço forjado 0,025, chapa de aço-silício 0,001 e permalloy 0,0001.

Portanto, a perda por histerese Ph, depende dos aspectos metalúrgicos do material e é função do valor máximo da densidade de fluxo Bmax e da frequência da rede f.

Consideradas em conjunto, as perdas por histerese e correntes parasitas constituem as perdas no núcleo (ou perdas no ferro) que envolvem fluxos variáveis no tempo para sua operação. Essas perdas são muito importantes, pois influenciam na elevação de temperatura, na eficiência e na capacidade dos dispositivos. Na prática, os dados sobre perdas no núcleo são apresentados pelos fabricantes tipicamente na forma de curvas, em termos de watts por unidade de massa (W/kg) em função de densidade de fluxo máxima (T), levando em conta também a espessura da chapa. Exemplificando, a fig. 3.38 apresenta curvas de Bmax, versus perdas no núcleo (watts/quilograma), para dois tipos de chapas de mesma espessura (0,635 mm). A frequência é 60 Hz. A chapa M-19 é usada para núcleos de máquinas rotativas de alta qualidade, transformadores pequenos para a indústria eletrônica e grandes transformadores na frequência industrial. M-36 é uma chapa para propósitos gerais, por exemplo, pequenos motores de boa qualidade e para grandes motores e geradores de eficiência média.

Fig. 3.38. Perdas no núcleo (W/kg) para dois tipos de materiais com chapas (espessura 0,635 mm), 60 Hz.

42

A fig. 3.39 mostra curvas de perdas para três espessuras do material M-36. Por quê as perdas são menores para a chapa mais fina?

Fig. 3.39. Perdas no núcleo para três espessuras da lâmina M-36, 60 Hz.

A fig. 3.40 mostra curvas de perda no núcleo em função da frequência para a lâmina M-36, 0,356 mm. Observe o que ocorre para frequências maiores. Para manter as perdas dentro de valores aceitáveis para frequências maiores pode-se reduzir a espessura da chapa ou a densidade de fluxo de operação.

Fig. 3.40. Perdas no núcleo para lâmina M-36, 0,356 mm, em função da frequência.

A escolha de qual lâmina deve ser empregada em uma aplicação em particular é uma questão essencialmente econômica. Lâminas que levam a uma menor perda tendem a ser mais caras. Além disso, lâminas finas estão mais sujeitas a danos na construção e requerem mais trabalho para compor o núcleo do que lâminas mais espessas. Por outro lado, o aumento das perdas associadas com lâminas mais grossas reduz a eficiência do dispositivo e produz mais calor, o qual deve ser retirado de alguma forma para limitar a temperatura do equipamento. Quase todos os transformadores e certas partes de máquinas elétricas usam material à base de chapas de aço de grão orientado, pois apresentam direções altamente favoráveis de magnetização, ao longo das quais as perdas no núcleo são baixas, e a permeabilidade é alta. Essa propriedade está presente na estrutura atômica de material como liga de silício e ferro. Usando técnicas adequadas de fabricação, a maioria das arestas dos cubos dos cristais é alinhada na direção de laminação, e essa se torna a direção favorável de magnetização. Assim, o comportamento é superior ao dos aços não orientados (mais baratos), nos quais os cristais estão orientados aleatoriamente. Como resultado, os aços orientados podem operar, em relação aos não orientados, com densidades de fluxo mais elevadas.

43

3.4 Outras questões 3.4.1 Fluxo de dispersão

A fig. 3.41(a) ilustra um indutor com núcleo toroidal ferromagnético, porém, sua bobina não envolve todo o núcleo. Nesta configuração, foi mostrado experimentalmente que trabalhando o quanto antes da região de saturação magnética do material, a densidade de fluxo fora do toróide é tão pequena que para a maioria dos propósitos práticos pode ser desprezada. A mesma análise pode ser feita para um núcleo retangular. Na prática, a densidade de fluxo fora do núcleo não é zero, ou seja, parte do fluxo, "escapa" ou se "dispersa" em um caminho magnético parcial externo ao núcleo, como mostra a fig. 3.41(b). No entanto, se o material do núcleo não é levado à saturação, esse fluxo de dispersão em muitos casos é praticamente desprezível em comparação com o fluxo no núcleo, de tal forma que praticamente todo o fluxo produzido pela corrente no enrolamento 1 (devido a fmm1 = N1i1) enlaça as N2 espiras do enrolamento 2.

(a)

(b)

Fig. 3.41. (a) Enrolamento em apenas uma parte do núcleo ferromagnético, trabalhando antes da saturação. (b) Núcleo retangular mostrando fluxo de dispersão. Os fluxos de dispersão nos transformadores e máquinas elétricas motrizes (geradores e motores), externos ao núcleo como ilustrou a fig. 3.41(b), não podem ser ignorados, pois estes afetam de forma significativa o desempenho desses dispositivos. Nos transformadores normalmente considera-se a dispersão de fluxo nos enrolamentos tanto do primário como do secundário. Também em indutores práticos, esse efeito pode ser importante. Por exemplo, considere um indutor com entreferro, o qual faz aumentar a relutância do caminho do fluxo principal m. Este aumento resulta em um fluxo de dispersão l (leakage flux) apreciável como indica a fig. 3.42.

Fig. 3.42. Indutor prático com entreferro e fluxo de dispersão.

Este fluxo passa por um caminho pelo ar e em torno do enrolamento ao invés de fluir pelo núcleo e entreferro, sendo sua relutância expressa por l. Assim, o fluxo total enlaçando o enrolamento pode ser dividido em duas componentes:

lm (3.87)

44

Considerando a relutância do entreferro como prevalecente sobre a do núcleo (c << g), tem-se a relação aproximada:

g

m

(3.88)

E,

l

l

(3.89)

Como, de acordo com a fig. 3.42 ie é a corrente de excitação, então:

eNi (3.90)

Assim, uma indutância de magnetização Lm e uma indutância de dispersão Ll podem ser definidas como:

ge

mm

N

i

NL

2 (3.91)

le

ll

N

i

NL

2 (3.92)

Com = N, (3.91) e (3.92) em (3.87), obtém-se:

elem iLiL (3.93)

No caso de fluxo variável no tempo, pela lei da indução de Faraday:

dt

tdiL

dt

tdiL

dt

tdte e

le

m

)()()()(

(3.94)

Ademais, considerando a resistência R do enrolamento e as perdas do núcleo representadas por uma resistência Rc obtém-se o circuito elétrico equivalente, no domínio do tempo, da fig. 3.43.

Fig. 3.43. Circuito equivalente para indutor prático.

Nem sempre será necessário um modelo tão preciso, com todos esses efeitos, para representar um indutor, sendo que as aproximações dependerão do julgamento do projetista e das características construtivas, elétricas e magnéticas em questão. Contudo, a compreensão deste circuito equivalente é importante para o estudo dos transformadores.

Em suma, este modelo englobou: a) resistência do enrolamento R (que implica em queda de tensão série Rie e perdas no cobre Rie2);

b) dispersão de fluxo representada por Ll que implica em queda de tensão série: dt

diL e

l ;

c) perdas no núcleo representadas por Rc; d) magnetização do núcleo representada por Lm, na qual, para a análise descrita predominou o efeito do entreferro.

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3.4.2 Efeito do entreferro em sistemas não-lineares

O efeito do entreferro é destacado de forma aproximada no gráfico da esquerda abaixo, pois se utilizou uma curva B-H linearizada. No eixo vertical tem-se o fluxo = BAc e no horizontal a força magnetomotriz = Ni.

Efeito do entreferro

Obtido de: http://www.cpdee.ufmg.br/~porfirio/Fontes%20CC%20CA, acessado em 26/10/2010 (parcialmente adaptado). 3.4.3 Força magnetomotriz com mais de um enrolamento energizado

O sistema magnético da fig. 3.44 possui dois enrolamentos energizados com correntes i1 e i2. Sendo assim, a força magnetomotriz fmm resultante que atua no circuito magnético é dada pelo total de ampères-espiras líquido. Os sentidos das correntes e dos enrolamentos são importantes nesta análise. Neste exemplo os sentidos de referência escolhidos produzem fluxos no mesmo sentido. A fmm resultante é:

2211 iNiNldH

(3.95)

Fig. 3.44. Sistema magnético com dois enrolamentos.

Desprezando a relutância do núcleo e assumindo Ac = Ag, como /g, o fluxo do núcleo é:

g

AiNiN c02211 )(

(3.96)

Esta expressão se continuasse a ser desenvolvida conduziria aos termos de indutância própria e mútua. Este assunto, apenas mencionado aqui, será aprofundado no estudo dos transformadores.

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Exercícios 3.6 01) Um laço B-H para o aço elétrico M-36 é mostrado na figura. Determine aproximadamente: a) A densidade de fluxo residual e a coercitividade. b) A perda por histerese em joules/ciclo, considerando que o núcleo é toroidal com comprimento magnético médio igual a 0,943 m e área de seção transversal 0,0025 m2. Considere como aproximação que um quadradinho deve ser contado se estiver contido no laço de histerese em sua metade ou mais.

02) Seja o sistema magnético da figura em que o núcleo é o aço elétrico de grão orientado tipo M-5, cujas curvas características são mostrados abaixo. Com a curva de magnetização, encontre a corrente de pico necessária para produzir uma densidade de fluxo de pico de 1,0 T. Dados: Número de espiras: 500. Comprimento médio do núcleo: 30 cm. Comprimento do entreferro: 0,05 cm. Área de seção transversal do núcleo e do entreferro: 9 cm2.

Aço M-5 - Curva de magnetização B-H:

Aço M-5 - Curva VA de excitação por quilograma, 60 Hz:

Aço M-5 - Perdas no núcleo, em watts/quilograma, 60 Hz:

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03) Repita o exercício (02), mas para o dobro da densidade de fluxo. Quantas vezes a corrente deve ser aumentada? Avalie o resultado obtido.

04) O núcleo magnético da figura é feito de chapas de aço de grão orientado M-5 com 0,012 polegadas de espessura (Armco Inc.), e corresponde às curvas características do exercício (02). O enrolamento, com 200 espiras, é excitado com uma tensão em 60 Hz, produzindo no núcleo uma densidade de fluxo B(t) = 1,6sen(t) T. O aço ocupa 0,94 da área da seção reta (fator de empilhamento fe = 0,94, onde fe = Seção magnética/Seção física). A densidade de massa do aço é 7,65 g/cm3. Determine: a) A tensão aplicada v(t) e seu valor eficaz, desprezando a resistência do enrolamento e a dispersão de fluxo. b) O valor de pico da corrente de excitação. c) O valor eficaz da corrente de excitação usando a curva VA/kg. d) As perdas totais no núcleo.

05) Um núcleo com uma área de seção transversal de 500 mm2 e um caminho magnético de comprimento de 200 mm, tem uma curva B-H que pode ser representada por uma aproximação linear por partes mostrada na figura abaixo.

a) Se o enrolamento possui 500 voltas e sua resistência é desprezível, qual é o valor eficaz da tensão senoidal, na frequência de 300 Hz, aplicada nos terminais do mesmo, para produzir um uma densidade de fluxo máxima de 1,5 T? b) Esboce a forma de onda da corrente de excitação nas condições da letra (a), em regime permanente.

06) As características -i de um circuito magnético são frequentemente descritas com segmentos retilíneos como mostrado na figura. O circuito é considerado linear até o ponto a e em saturação do ponto a ao ponto b. Determinar a energia W e a co-energia W' para o circuito magnético no ponto a e no ponto b.

07) Cite medidas práticas para minimizar o efeito de perdas no núcleo devido às correntes parasitas. 08) Comente sobre os efeitos do entreferro nos sistemas magnéticos não-lineares. 09) Equacione a força magnetomotriz resultante para o circuito abaixo.

10) No sistema do exercício anterior, com Ac = 9 cm2, lc = 40 cm, permeabilidade considerada constante sendo r = 5000, N1 = 200, N2 = 100, i2 = 5,0 A, qual deve ser o valor da corrente i1 para que o núcleo trabalhe com uma densidade de fluxo de 0,7 T?

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APÊNDICE A – Informações adicionais A.1 Classificação magnética dos materiais

Tabela mais completa e adequada que a tab. 3.1 do texto:

Paramagnético Reforça a indução magnética muito pouco. Exemplos: alumínio r = 1,00000065. Berílio r = 1,00000079.

Diamagnético Enfraquece a indução magnética. Exemplos: bismuto r = 0,9999860. Madeira r = 0,99999950. Cobre r = 0.9999910

Antiferromagnéticos Afetados somente um pouco pela presença de campo magnético externo. Exemplo: óxido de magnésio r 1.

Ferromagnético Campo magnético cresce grandemente em relação ao campo externo. Apresentam também saturação e histerese, r >> 1 (tipicamente 10 a 100.000).

Ferrimagnéticas

Embora r >> 1, a magnetização não é tão grande como a dos materiais ferromagnéticos. Mas, as ferrites, por exemplo, possuem maior resistência elétrica sendo apropriadas para núcleos de transformadores que operam com campos alternados de altas frequências.

Superparamagnéticos Compostos por uma montagem de partículas ferromagnéticas sobre uma matriz não-ferromagnética. Exemplo: fitas magnéticas de gravadores e vídeos cassete. Permeabilidades relativas r variando de 1 a 10.

Os únicos elementos ferromagnéticos à temperatura ambiente são o ferro, o níquel e o cobalto. Algumas ligas destes metais entre si e com outros metais são também ferromagnéticas como, por exemplo, o alnico (alumínio-níquel cobalto com pequena quantidade de cobre). Em temperaturas mais baixas, algumas terras-raras como o gadolínio e o disprósio são ferromagnéticas. É também interessante notar que algumas ligas de metais não-ferromagnéticos sejam ferromagnéticas, como a liga bismuto-magnésio e a liga cobre-magnésio-estanho. As ligas são projetadas e fabricadas para atender determinados requisitos tais como permeabilidade, resistividade elétrica, perdas, etc. A liga de aço-silício é usada por possuir tais características de forma adequada para equipamentos elétricos. Para voltar tecle: Alt

49

A.2 Co-energia magnética

Considerando a eq. (3.52) e multiplicando por dt, obtém-se a energia incremental entregue ao

campo magnético como sendo: dtRiviid )( 2 .

O incremento de energia magnética entregue ao indutor dW é: iddW . Se o indutor evoluir de um estado inicial (1) para um estado qualquer (2), tem-se:

2

1

2

1

iddWW

onde: a corrente i é função de , isto é, i = i(). Considerando o estado inicial nulo obtém-se a energia W, em joules:

0

)( diW

Porém, nem sempre é possível explicitar a corrente i em função de , logo, neste caso não seria possível determinar a energia pela a equação anterior. Assim, pode-se obter a energia magnética através de outra função, denominada de co-energia magnética, como mostrado a seguir. Fazendo: diididdW )( .

Então: dWiddi )( , ou: )( Widdi

Define-se co-energia magnética como:

WiW

De )( Widdi tem-se diWd e pode-se ainda expressar a co-energia, em joules, como:

i

idiW0

)(

Considerando a curva -i, a energia magnética e a co-energia podem ser vistas graficamente na figura abaixo.

Uma vez calculada a co-energia, a energia magnética é facilmente obtida da equação:

WiW Para voltar tecle: Alt

50

A.3 Perdas por histerese

Um ciclo de histerese único está mostrado na figura abaixo. A direção das setas indica o modo pelo qual B varia quando H varia de zero a um valor positivo máximo, passando por zero, a um valor negativo máximo e, de volta a zero, completando um ciclo completo. Para se avaliar o significado das áreas sombreadas mostradas, analisar-se-á a energia armazenada.

Da eq. (3.74) a densidade da energia armazenada no campo magnético (J/m3) durante a parte da variação cíclica de H, quando aumenta de zero ao seu valor máximo positivo é dada por:

b

a

B

B

HdBw1

Quando H diminui de seu valor positivo máximo até zero (quando varia ao longo da curva bc do ciclo de histerese), energia é liberada pelo campo magnético e devolvida à fonte, e isso pode ser expresso por:

c

b

B

B

HdBw2

Nesta última equação Bb > Bc o que significa que w2 será negativa, indicando que a energia está sendo devolvida à fonte de alimentação pelo campo magnético. A energia absorvida pelo campo magnético quando H está aumentando no sentido positivo é representada graficamente pela área abdca. A energia devolvida quando H varia de Hmáx a zero é representada pela área bdcb. A diferença entre estas duas densidades de energia (w2 – w1) representa a quantidade de energia por unidade de volume do material, por ciclo, que não é devolvida à fonte, mas, pelo contrário, é dissipada como calor no núcleo, sendo chamada perda por histerese. Na figura anterior essa perda de energia foi ilustrada para meio ciclo de H na área abca, que correspondente à diferença das áreas sombreadas, isto é: abdca – bdcb. Segue-se da simetria com o eixo horizontal que, para o meio ciclo negativo de H, uma perda igual de energia ocorrerá. Logo, quando H varia em um ciclo completo, a perda de energia, em J/m3, é dada pela área do ciclo de histerese B-H, ou seja, a cada ciclo:

(Energia Perdida/Unidade de Volume) = Área do ciclo de histerese B-H Para voltar tecle: Alt

51

Bibliografia FITZGERALD, A. E., KINGSLEY JR., C., UMANS, S. D., Máquinas Elétricas – com Introdução à Eletrônica de Potência, 6ª edição, Bookman, Porto Alegre, 2006. SLEMON, G. R., STRAUGHEN A., Electric Machines, Addison-Wesley Publishing Company Inc., USA, 1980. DEL TORO, V., Fundamentos de Máquinas Elétricas, LTC, Rio de Janeiro, 1999. FONSECA, A. M., Circuitos Magnéticos – Eletrotécnica Geral B, Edições Engenharia, UFMG, 1978. SIMONE, G . A ., CREPPE, R . C ., Conversão Eletromecânica de Energia – Uma Introdução ao Estudo, Editora Érica, São Paulo, 1999. BURIAN, JR., Y., LYRA, A. C. C., Circuitos Elétricos, Pearson Prentice Hall, São Paulo, 2006. LISITA, L. R., Apostila de Conversão Eletromecânica de Energia, EEE/UFG, 1990. REITZ, J. R., MILFORD, F. J., CHRISTY, R. W., Fundamentos da Teoria Eletromagnética, Editora Campus, Rio de Janeiro, 1982.

52

Respostas de exercícios Exercícios 3.1 01) a) = 0,05 H/m. b) fmm 400 Ae. c) N 267. 02) a) H = 265,3 A/m. b) B = 3,33x10-4 T. c) = 95,42x106 A/Wb. d) fmm = 250 Ae. e) = 2,62x10-6 Wb. 03) a) fmm(t) = 353,5cos(t) Ae. b) (t) = 3,702x10-6cos(t) Wb. c) B(t) = 4,713x10-4cos(t) T. d) H(t) = 375,1 cos(t) A/m. Exercícios 3.2 01) b) = 9x10-4 Wb. i = 0,803 A. 02) Bg = 0,63 T. = 0,126 Wb. 03) Fluxos nas pernas do núcleo: para você. Densidades: B1 = 0,495 T. B2 = 0,248 T. B3 = 0,372 T. 04) a) B1 = 0,0965 T. B2 = 0,0377 T. B3 = 0,0210 T. Exercícios 3.3 02) a) = 13,09x10-4 Wb. b) L = 2,618 mH. 04) Adotando inicialmente: a = 0,18 m, d = 0,04 m, obtém-se: A = 0,001257 m2; ri = 0,16 m; re = 0,20 m; N 846; lfio = 106,3 m; Rfio = 1,83 (20 oC); lnúcleo = 1,131 m. A área da janela do núcleo (ri2) é bem superior à área ocupada pelo enrolamento (N*Afio) e, portanto, este último pode ser enrolado sobre núcleo. Exercícios 3.4 01) a) L = 0,561 H. b) W = 0,181 J. c) e(t) 169,65cos(377t ) V. d) L 0,565 H. e) W = 0,179 J. 02) a) 0,554 H. 03) w = 1,5708x105 J/m3. W = 628,32 J. Exercícios 3.5 04)

Com somente os valores positivos de B e H:

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Intensidade de campo H (A/m)

Densid

ade d

e f

luxo B

(T

)

Considerando também os valores negativos:

-1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 1000-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Intensidade de campo H (A/m)

Densid

ade d

e f

luxo B

(T

)

(note a simetria em relação ao eixo horizontal)

c) Para a primeira reta (vermelha): L = 1,10 H; para a segunda reta (verde): L = 0,0781 H. Exercícios 3.6 01) b) A perda de energia no toróide devido a histerese, por ciclo, é cerca de 0,507 J. 02) Tomando da curva de magnetização: H = 11 A/m, então imax 0,80 A. 03) Tomando da curva de magnetização: H = 10000 A/m, então imax 7,59 A, cerca de 9,5 vezes maior. 04) a) v(t) = 292,6cos(377t) V e Vef = 206,9 V. b) imax 0,25 A. c) Ief = 0,13 A. d) Pperdas_totais 18,5 W. 05) a) Vef = 499,8 V. 06) Energia no ponto b: W = 0,8 J. Co-energia no ponto: b: W' = 1,6 J. 10) i1 = 2,72 A.