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CAPITULO 12

Projeto de controladores discretos

12.1 Introducao

O projeto de controladores discretos pode ser realizado por emulacao, onde um controladorcontınuo e projetado, usando as mesmas tecnicas vistas nos capitulos 6 e 7, e entao discreti-zados, ou diretamente no plano Z. A primeira abordagem apresenta a vantagem de utlizar osresultados de projeto para controladores analogicos e dispensar a necessidade de um estudo maisdetalhado de tecnicas discretas. A desvantagem desta abordagem e o fato de que o sustentador deordem zero nao e considerado no projeto e portanto, deve-se esperar uma degradacao do desem-penho. As tecnicas baseadas no projeto do controlador usando diretamente o plano Z sao maisprecisas, mas ao custo de uma maior complexidade.

Na sequencia apresentaremos as estruturas basicas dos controladores discretos e entao algumastecnicas de projeto. Duas abordagens para o projeto serao consideradas: o projeto por emulacaoe o projeto diretamente do controlador discreto.

12.2 Estruturas de controladores

As estruturas dos controladores discretos sao os equivalentes discretos das estruturas de con-troladores analogicos apresentados no Capıtulo 5. Assim, podemos ter controladores do tipoproporcional, proporcional-integral, proporcional-derivativo, proporcional-integral-derivativo e deavanco e atraso de fase. A Tabela abaixo resume as estruturas dos controladores. Tanto a equacaodiferenca quanto a funcao de transferencia discreta de cada controlador sao apresentadas.

Tipos de Controladores

e(k)−→ C(z)u(k)−→

178 Capıtulo 12: Projeto de controladores discretos

Proporcional u(k) = Ke(k), C(z) = K

Derivativo u(k) = KP TD(e(k) − e(k − 1))

C(z) = KP TD(1 − z−1) = KPTD

z − 1

z

Integral u(k) = u(k − 1) +KP

TI

e(k)

C(z) =KP

TI

1

1 − z−1=

KP

TI

z

z − 1

Avanco/Atraso u(k + 1) = βu(k) + k(e(k − 1) − αe(k))

C(z) = K1 − αz−1

1 − βz−1

12.3 Controle Digital por Emulacao

Esta abordagem considera que o projeto de um controlador analogico ja tenha sido realizado.Este projeto segue exatamente o procedimento estudado em outros capıtulos e todo o processo deamostragem e reconstrucao do sinal nao e, portanto, considerado. O controlador analogico e entaodiscretizado usando-se algum metodo de discretizacao. Varios metodos de discretizacao podem serusados e aqui abordaremos o metodo de Euler, o metodo de Tustin, o metodo da transformacaocasada de polos-zeros e o metodo da transformacao casada de polos-zeros modificado.

12.3.1 Controle por emulacao via Euler

Esta tecnica consiste em fazer o projeto do controlador analogico, como vimos nos capıtulosprecedentes, e em seguida aproximar o sinal de controle obtido com C(s) atraves do metodo deEuler, usando

X ∼= X(kT + 1) − X(kT )

T(12.3.1)

T 2T ...

T/2

u(t)

u(t) com ZOHu(t)

u(t) medio com interpolaçao

kT

Figura 12.1: Aproximacao de Euler

EEL-DAS-UFSC 179

Exemplo 12.3.1Encontre a equacao recursiva correspondente a digitalizacao do controlador analogico C(s) =K0(s + a)

s + b.

Solucao: Seja e(t) o sinal de entrada do controlador e u(t) o sinal de saıda. Logo

U(s)

E(s)=

K0(s + a)

s + b: (s + b)U = K0(s + a)E

: u + bu = K0(e + ae)

Aplicando-se o metodo de Euler temos

u ∼= u(k + 1) − u(k)

Te e ∼= e(k + 1) − e(k)

T

Logo obteremos a seguinte aproximacao

u(k + 1) − u(k)

T+ b u(k) = K0(

e(k + 1) − e(k)

T+ a e(k))

que resulta na seguinte equacao recursiva

u(k + 1) = u(k) + T (−bu(k) + K0e(k + 1) − e(k)

T+ K0 a e(k))

= (1 − T b)u(k) + K0 e(k + 1) + (T K0 a − K0)e(k)

Note que u(k+1) e obtido em funcao de u(k), e(k+1) e e(k) de forma recursiva. A representacaodessa equacao recursiva em termos da funcao de transferencia discreta pode ser obtida com oauxilio da transformada Z:

Z[u(k + 1)] = z U(z) − zu(0)

Z[e(k + 1)] = zE(z) − ze(0)

Logo para condicoes iniciais nulas temos

zU(z) = (1 − T b)U(z) + K0 z E(z) + (T K0 a − K0)E(z)

E(z)−→ C(z)U(z)−→ C(z) =

K0 z + T K0 a − K0

z − 1 + T b=

U(z)

E(z)

e(t) u(kT)e(kT)

T

u(t)u(t)e(t)C(s) C(z) SOZ

Figura 12.2: Control Analogico Control Digital


Area do trapezoide

e(t)

e(kT)

e(kT−T)

kT−T kT t

Figura 12.3: Integral Trapezoidal ( Area=e(kT − T ) + e(kT )

2.T )

12.3.2 Metodo de Tustin

A discretizacao obtida com o metodo de Euler pode ser interpretada como a substituicao datangente (derivada) pela secante ( variacao da funcao no intervalo de amostragem T ).

X ∼= X(kT + 1) − X(kT )

T

Outra forma de discretizacao consiste em aproximar a integral pela regra trapezoidal, comoilustrado na Figura 12.3. Desta figura

kT∫

0

e(t)dt =

kT−T∫

0

e(t)dt +

kT∫

kT−T

e(t)dt

Aproximando-sekT∫

kT−T

e(t)dt pela area do trapezio no intervalo T e definindo-se u(kT ) como a area

acumulada dos sucessivos trapezios ate o instante kT , temos a seguinte relacao recursiva

u(kT ) = u(kT − T ) +e(kT − T ) + e(kT )

2T (12.3.2)

Podemos representar a integracao pelo bloco

E(s)−→ 1

s

U(s)−→ U(s)

E(s)=

1

s

onde e(t) e o sinal cuja area queremos calcular e u(t) e a area desejada.Tomando-se a transformada Z da equacao recursiva temos

U(z) = z−1U(z) +z−1E(z) + E(z)

2T

E(z)−→ F(z)U(z)−→ U(s)

E(s)= F (z) =

T

2

1 + z−1

1 − z−1=

1

2

T

1 − z−1

1 + z−1

EEL-DAS-UFSC 181

Para o sistema abaixo terıamos a relacao

e(t)−→ a

s + a

u(t)−→ e(k)−→ a2T

1−z−1

1+z−1 + a

u(k)−→

C(s) C(z)Nota-se entao, dos dois exemplos acima que a relacao entre C(s) e C(z) com a aproximacao

bilinear e dada por C(s) = C(z) com

s =2

T

1 − z−1

1 + z−1(Tustin)

que expressa uma transformacao bilinear de s para z.

Exemplo 12.3.2Obtenha um controle digital para que o sistema abaixo tenha em malha fechada uma frequencianatural ωn = 0, 3 rad/seg e um amortecimento ξ = 0, 7

- -

6-

+r eC(s)

1

s2u y

Figura 12.4: Sistema dp exemplo

Solucao: Primeiro determinaremos um controlador analogico C(s) que atende as especi-ficacoes. Em seguida escolhemos um metodo de emulacao para implementar digitalmente o sinalde controle.

e(t) u(kT)e(kT)

T

u(t)u(t)e(t)C(s) C(z) SOZ

Figura 12.5: Implementacao Analogica Implementacao Digital

Com os metodos de projeto de controladores de avanco encontramos

C(s) = Kc

s + a

s + ba = 0, 2, b = 2, e Kc = 0, 81

−2 −0,2

−0,2

0,2

Im(s)kc=0,81

Re(s)

Polos: s = 0, 2 ± j0, 2Equacao caracterıstica: s2 +2ξωns + ω2

n = 0:ξ = 0, 7 ωn = 0, 2

√2

= 0, 282


Para a implementacao digital precisamos da frequencia de amostragem. Em sistemas de con-trole a frequencia de amostragem e geralmente escolhida em torno de 20 vezes a frequencia debanda passante do sistema de malha fechada, que corresponde aproximadamente a ωn. Para oexemplo, adotaremos este fator de 20 vezes. Logo a frequencia de amostragem e ωa = (0, 3).20 = 6rad/seg ∼= 1Hz, e o perıodo de amostragem e T = 1seg. Com a aproximacao bilinear temos

U(z)

E(z)= C(z) = Kc

s + a

s + b

∣

∣

∣

∣

s=2

T

1 − z−1

1 + z−1

= Kc

21 − z−1

1 + z−1+ a

21 − z−1

1 + z−1+ b

= Kc

2 − 2z−1 + a(1 + z−1)

2 − 2z−1 + b(1 + z−1)

= Kc

2 + a + (a − 2)z−1

2 + b + (b − 2)z−1

Portanto

U(z)[2 + b + (b − 2)z−1] = kc[(2 + a) + (a − 2)z−1]E(z)

que por sua vez conduz a seguinte equacao recursiva

u(k) =2 − b

2 + bu(k − 1) +

2 + a

2 + be(k) + Kc

a − 2

2 + be(k − 1)

Note que e(k) = r(k) − y(k) e portanto podemos implementar o controlador C(s) atraves doesquema digital apresentado na Figura 12.6.

r(k)

y(k)u(k) u(t) y(t)1

s2e(k)=r(k)−y(k)

A/DT

y(k)

Eq. RecursivaSOZ

Figura 12.6: Sistema Discreto

Poderıamos ter resolvido o mesmo problema usando um outro metodo de discretizacao.

Exemplo 12.3.3Refazer o exemplo usando Euler.

EEL-DAS-UFSC 183

y(t)

t

1,4

1,2

1,0

Figura 12.7: Resposta ao Degrau

12.3.3 Metodo da transformacao casada de polos-zeros

Neste caso usa-se a relacao z = esT para mapear polos e zeros do controlador contınuo no planocomplexo.

No caso de funcoes de transferencia com maior numero de polos que zeros, adicionam-se zerosem z = −1, de modo a igualar o numero de zeros e polos do controlador discreto. Seja uma funcaode transferencia C(s) com um numero de polos maior do que de zeros. Usando-se o mapeamentoz = eTs, obtem-se C(z). Quando a frequencia ω varia de jω = 0 para jωa/2, que e a maximafrequencia possıvel no plano Z, tem-se z variando de z = e0 = 1 a z = e

ωa2

T = ejπ = −1. ComoC(s) tem zeros no infinito, que correspondem a ω → ∞, segue que C(s) tende para zero quandoω cresce. Para que o mesmo ocorra com H(z), deve-se ter zeros em z = −1.

Exemplo 12.3.4Seja um controlador analogico dado por

C(s) = 10s + 1

s + 2

e seja T = 0.1 seg o perıodo de amostragem.Usando-se o mapeamento z = esT , o zero em −1 e o polo em −2 sao mapeados em e−1×0.1 =

0.905 e e−2×0.1 = 0.819, respectivamente.A funcao de transferencia amostrada e entao

C(z) = Kd

z + 0.905

z + 0.819

onde Kd e o valor do ganho a ser determinado. Para que os ganhos em baixa frequencia sejamiguais, deve-se ter C(s = 0) = C(z = 1) e portanto

Kd

1 − 0.905

1 − 0.819=

10

2

e segue que Kd = 14.05.A funcao de transferencia amostrada e portanto

C(z) = 14.05z − 0.905

z − 0.819

No exemplo anterior a funcao de transferencia do controlador contınuo tinha o mesmo numerode polos e zeros. No exemplo seguinte o controlador contınuo apresenta dois polos e um zero.


Exemplo 12.3.5Seja a funcao de transferencia

C(s) = 10s + 1

s(s + 2)

Neste caso tem-se dois polos e um zero e deve-se entao acrescentar um zero em z = −1. Afuncao de transferencia discreta e entao

C(z) = Kd

Calculando-se o ganho da funcao de transferencia discreta da mesma forma como anterior-mente, tem-se Kd = 7.025 e a funcao de transferencia discreta e

C(z) = 7.025(z + 1)(z − 0.905)

s(z − 0.819)

Metodo de transformacao casada de polos-zeros modificada

Quando a funcao de transformacao discreta tem o mesmo numero de polos e zeros, a equacaodiferenca correspondente e tal que a saıda em um instante de amostragem depende da entrada nomesmo instante. Seja, por exemplo, um controlador dado por

Y (z)

U(z)= K

z + a

z + b

A equacao diferenca correspondente e dada por

y(k) = −by(k − 1) + Ku(k) + au(k − 1)

e a saıda y(k) depende de u(k). Se o tempo de calculo for tal que a entrada atual nao possaser usada para gerar a saıda atual, deve-se manter o numero de polos maior do que o de zeros,modificando-se o metodo da transformacao casada, o qual consiste em introduzir zeros em −1,de tal modo que se tenha pelo menos um polo a mais do que um zero. No caso da funcao detransferencia

C(s) = 10s + 1

s(s + 2)

por exemplo, nao seria acrescentado nenhum zero em z = −1.

12.4 Projeto por metodos discretos

Nos metodos de emulacao as operacoes de derivada e/ou integral executadas pelo controlador saoaproximadas por operacoes algebricas com as amostras dos sinais de entrada/saıda do controladoranalogico projetado a partir do modelo analogico da planta. Nesta secao veremos como projetarum controlador discreto a partir do modelo discreto da planta. Este modelo inclui o sustentadorde ordem zero, e antes da aplicacao do metodo de projeto, deve-se obter a funcao de transferenciada planta.

A Figura 12.8 mostra o modelo discreto e a Figura 12.9 mostra o modelo discreto equivalente.

EEL-DAS-UFSC 185

e(kT)r(t)

+

r(kT) u(t) y(t)

−T

Ty(kT)

G(s)

Modelo AnalogicoControle Digital

C(z) D/A SOZ

Figura 12.8: Modelo Discreto

-

6

-

-

+r(kT)G(z)

e(kT) u(kT) y(kT)C(z)

Figura 12.9: Modelo Discreto Equivalente

F(s) f(t) f(kT) F(s) F(z)*

Tabelas ou teoremas dos residuos

f(kT)t=kT

AmostradorIdeal *

sinalamostrado(continuo)

f(kT)=f(t) δ(t)*

z=e TsL−1

Trem de impulsos de periodo T

Z[f(kT)]Sinal Discreto

L [F(s)]

A funcao de transferencia do controlador e C(z) e a funcao de transferencia da planta e dosustentador de ordem zero e calculada por

G(z) = (1 − z−1)Z[

G(s)

s

]

Pode-se usar o teorema dos resıduos, para obter esta funcao, como ilustrado na Tabela 12.4,

usando-se as seguintes formulas: F (z) =n∑

i=1

R(Pi), Pi polos distintos de F (s).

♦ R(Pi) =

[

(s − Pi)F (s)z

z − esT

]

s=Pi

(Multiplicidade 1)

♦ R(Pi) =1

(m1)!

dm−1

dsm−1

[

(s − Pi)mF (s)

z

z − esT

]

s=Pi

(Multiplicidade m).

Dois metodos de projeto serao estudados nesta secao, o projeto por lugar das raızes e o pro-jeto no domınio da frequencia. Os dois metodos seguem basicamente os mesmos princıpios jaapresentados para o caso contınuo.


12.4.1 Projeto pelo lugar das raızes

O metodo de projeto pelo lugar das raızes segue os mesmos princıpios usados no caso contınuo. Oprojeto visa melhorar o desempenho em regime permanente ou o desempenho em regime transitorioou ambos.

Projeto por avanco de fase

Para melhorar o desempenho em regime transitorio usa-se um compensador de avanco de fase,dado por

C(z) =z + α

z + β

As etapas principais do projeto sao:

1. A posicao dos polos dominantes no plano s e determinada a partir dos requisitos de de-sempenho transitorio. Estes polos sao entao mapeados no plano Z, usando o mapeamentoz = esT .

2. O zero do controlador e fixado, e o polo e calculado pela condicao de pertinencia angular.

3. O ganho do controlador e calculado pela condicao de pertinencia de modulo.

4. As constantes de erro sao calculadas e em caso em que a condicao de erro for insatisfatoria,o projeto e refeito ou um compensador de atraso de fase e acrescentado.

Projeto por atraso de fase

No caso em que o erro em regime permanente for muito elevado, deve-se acrescentar um compen-sador de atraso de fase, dado por

C(z) =z + α

z + β

As etapas principais do projeto sao:

1. Determinam-se a constante de erro desejada Kdesejadoerro , a partir do erro especificado, e a cons-

tante atual de erro Kerro, onde Kerro pode ser o ganho estatico, de velocidade ou aceleracao.

2. O polo do compensador e fixado. Usualmente fixa-se este polo proximo de z = 1, quecorresponde a s = 0 no plano s.

3. Determina-se o zero do compensador fazendo-se

Kdesejadoerro

Kerro

=1 − α

1 − β

Do mesmo modo que no caso contınuo, o aumento de ganho e dado pelo ganho do controladornas baixas frequencias (s → 0 no caso contınuo e z → 1 para o caso discreto).

A seguir apresentaremos alguns exemplos do projeto pelo lugar das raızes.

EEL-DAS-UFSC 187

r(t)

y(kT)

+

r(kT) u(t)

y(t)

−T

T

e(k) u(k) y(t)1

s2C(z) SOZ

Figura 12.10: Figura para o exemplo

- -

6-

+r(kT)G(z)

e(kT) u(kT) y(kT)C(z)

Figura 12.11: Diagrama equivalente

Exemplo 12.4.1Projete um controlador para que o sistema da Figura 12.10 em malha fechada apresente um com-portamento similar a um sistema analogico com ωn

∼= 0, 3rad/seg. e ξ ∼= 0, 7.

Solucao: O diagrama discreto equivalente e apresentado na Figura 12.11 onde G(z) = (1 −z−1)Z

[

G(s)

s

]

=T 2

2

z + 1

(z − 1)2.

Escolhendo-se a frequencia de amostragem como sendo 20 vezes a frequencia da banda passantedo sistema de malha fechada temos ωs = (20)(0, 3) = 6rad/seg∼= 1Hz. Logo T = 1seg.Assim temos

G(z) =z + 1

2(z − 1)2

O lugar das raızes obtido com o controlador proporcional e mostrado na Figura 12.12.

−1 1Re(z)

Im(z)

Figura 12.12: Lugar das raızes com controlador proporcional

Note que um controlador proporcional nao consegue estabilizar o sistema. Com um controlador


PD podemos diminuir as oscilacoes. A funcao de transferencia de um controlador PD e

D(z) = Kp + Kp TD(1 − z−1) = Kz − α

z

onde α =TD

1 + TD

e K = KP (1 + TD).

No plano s os polos desejados sao dados por

s2 + 2ξωns + ω2n = 0 : s2 + 2.0, 7.0, 3 + (0, 3)2 = 0

: sd = −0, 21 ± 0, 21j

No plano z os polos desejados sao dados por z = esT com s sendo os polos no plano s o queresulta em:

zd = e−0,21±0,21j = e−0,21(cos 1±sen 1j)

= 0, 79 ± 0, 17j

Com as condicoes de modulo e fase do lugar das raızes temos ∠C(z0d) + ∠G(zd) = ±π =

:0, 17

0, 79 − α= −3, 03:α = 0, 85

1 = |C(zd)||G(zd)| =:K =1

2, 77= 0, 36.

Com isso temos

C(z) = 0, 36z − 0, 85

z= 0, 36(1 − 0, 85z−1)

que resulta em la lei de controle

u(k) = 0, 36e(k) − 0, 348e(k − 1)

que e similar a encontrada num exemplo anterior de projeto via emulacao.

Normalmente nao e necessario que os polos desejados de malha fechada sejam exatamenteaqueles especificados, mas sim estejam dentro de uma regiao do plano z associada a um fator deamortecimento maior que o especificado (menor oscilacoes).

r(t) u(t)

T

y(t)1

s(s+2)

+

−C(z) SOZ

Figura 12.13: Sistema do Exemplo 12.4.2

EEL-DAS-UFSC 189

Exemplo 12.4.2 (Ogata, Discrete-time Control Systems, p. 384)Para o sistema mostrado na Figura 12.13 projetar um controlador discreto para atender aos se-guintes requisitos de projeto: amortecimentoe ξ = 0, 5 e tempo de resposta tr2%

= 2 seg. O perıodode amostragem e T = 0, 2 seg. Pede-se ainda o calculo da resposta ao degrau e o erro a rampa.

Solucao: tr2%=

4

ξωn

= 2 =:ωn = 4

Os polos desejados sao sd = 2 ± 3, 464j. Tipicamente o perıodo de amostragem e escolhido de talforma que existam pelo menos 9 amostras por ciclo de oscilacao amortecida. Conferindo no casoacima temos,

Freq. amostragem ωs =2π

T= 31, 42

Freq. oscilacoes amortecidas ωd = 3, 464.Portanto a escolha do perıodo de amostragem e satisfatoria.

Os polos dominantes no plano z sao zd = eTsd = 0, 5158 ± 0, 4281j = 0, 67∠39, 69.O modelo discreto do sistema acima e

G(z) = Z[SOZG(s)] = Z[

1 − e−Ts

sG(s)

]

= (1 − z−1)Z[

G(s)

s

]

= (1 − z−1)Z[

1

s2(s + 2)

]

=0, 01758(z + 0, 876)

(z − 1)(z − 0, 6703)

Como o ponto zd deve pertencer ao lugar das raızes, temos

−1

K= G(zd)C(zd): ± 180◦ = ∠G(zd) + ∠C(zd)

entao ∠C(zd) = 51, 26◦.Um controlador que atende a condicao de fase acima e um avanco de fase.

C(z) = Kz − α

z − β

Cancelando o polo em 0, 6703 com a escolha α = 0, 6703 temos

∠zd − α − ∠zd − β = 51, 26◦:β = 0, 2543.

O ganho K e determinado com a condicao de modulo

|G(zd)C(zd)| = 1 =:K = 12, 67

Em malha fechada temos entao

Y (z)

R(z)=

G(z)C(z)

1 + G(z)C(Z)=

0, 2227z + 0, 1951

z2 − 1, 0316z + 0, 4494= F (z)

e a resposta ao degrau unitario

R(z) =1

1 − z−1e Y (z) = F (z)

1

1 − z−1


A sequencia y(kT ) pode ser obtida pela inversa da transformada Z, tabelas ou mesmo porsimulacao.

O erro de velocidade e dado por

erp = limz→1

(1 − z−11)E(z) =1

Kv

onde

Kv = limz→1

1 − z−1

TG(z)C(z) = 2, 801.

Como no caso de sistemas analogicos podemos aumentar o ganho Kv, e portanto diminuir o errode regime, introduzindo um compensador de atraso em cascata como o controlador ja projetado.Por exemplo, com

Ca(z) =z − αa

z − βa

e αa = 0, 94, βa = 0, 98 temos o novo ganho de velocidade Kv dado por

Kv = limz→1

1 − z−1

TG(z)C(z)Ca(z) = (3).(2, 801) (Ca(1) = 3)

que representa um aumento de 3 vezes no ganho Kv sem o controlador de atraso. A escolha dozero do controlador de atraso ( αa) e tipicamente proximo da unidade e deve satisfazer

1 > αa ≥ 1 − 0, 1|zd| (proximo de 1)

e o valor de βa e escolhido tal que

Ca(1) =1 − αa

1 − βa

= acrescimo desejado

controlador final; Ca(z)C(z) = kz − α

z − β

z − αa

z − βa

.

12.4.2 Projeto no domınio da frequencia

Resposta de um sistema discreto a uma entrada senoidal

Vamos considerar um sistema linear, discreto, invariante no tempo, com funcao de transferenciaG(z). O sistema e por hipotese, estavel, ou seja, todos os polos de G(z) estao no interior do cırculounitario. A entrada do sistema e um sinal senoidal u(t) = sen ωt, amostrado por um amostradorideal, resultando em u(k) = sen kωT .

Entao

U(z) = Z [sen kωT ] =zsen ωT

(z − ejωT )(z − e−jωT )

A resposta do sistema e

Y (z) = G(z)U(z) = G(z)zsen ωT

(z − ejωT )(z − e−jωT )

Fazendo-se a expansao em fracoes parciais, obtem-se

Y (z) =Az

z − ejωT+

Az

z − e−jωT+ termos devidos aos polos de G(z)

EEL-DAS-UFSC 191

onde A indica o conjugado de A.Calculando-se A, usando o procedimento de multiplicar Y (z) por z−ejωT

ze fazer z → ejωT ,

obtem-se

A =G(ejωT

2j

Portanto

A = −G(e−jωT

2j

DenotandoG(ejωT ) = Mejθ segue que G(e−jθ) = Me−jθ

A resposta do sistema e entao dada por

Y (z) =M

2j

(

ejθz

z − ejωT− e−jθz

z − e−jωT

)

+ termos devidos aos outros polos de G(z)

No regime permanente, a contribuicao dos polos do sistema para a resposta desaparece, poispor hipotese o sistema e estavel. O dois primeiros termos da expansao se combinam para fornecera resposta em regime permanente no domınio do tempo

yrp = M sen(kωT + θ)

onde M =∣

∣G(ejωT )∣

∣ e θ = ∠G(ejωT ).

Esta resposta e tambem senoidal, com a amplitude multiplicada por∣

∣G(ejωT )∣

∣ e com umdeslocamento de fase dado por θ = ∠G(ejωT ), e portanto, e analoga ao caso contınuo.

Vimos no caso contınuo que a resposta em frequencia nos permite obter informacoes sobreo comportamento do sistema, uteis tanto para a analise quanto para a sıntese de controladoresatraves de metodos frequenciais. No caso discreto pode-se usar o mapeamento z = esT , coms = jω, o que permitiria tracar a resposta em frequencia (diagrama de Bode, etc). No entantotem-se uma dificuldade. No caso discreto, as frequencias estao idealmente limitadas a ωa

2, onde ωa

e a frequencia de amostragem, para que o ¨aliasing¨ seja evitado. Assim, teriamos um diagramade Bode limitado em frequencia, e a analogia com o caso contınuo seria difıcil.

Para se manter as vantagens de trabalhar no domınio da frequencia para o caso discreto. tem-seque usar a transformacao bilinear. Esta transformacao bilinear e dada por

z =1 + T

2w

1 − T2w

onde T e o perıodo de amostragem. Desta equacao obtem-se a transformacao inversa

w =2

T

z − 1

z + 1

Uma funcao de transferencia pode entao se escrita como uma funcao racional de z e os metodosde resposta em frequencia usados.

Com esta transformacao, a faixa primaria e mapeada no cırculo unitario no plano z e por suavez este e mapeado no lado esquerdo do plano w.

No plano w pode-se definir uma frequencia fictıcia η, ou seja w = jη. Esta frequencia pode serrelacionada com a frequencia ω do plano s, usando-se os mapeamentos w = 2

Tz−1z+1

e z = esT .

w = jη =2

T

z − 1

z + 1

∣

∣

∣

∣

z=ejωT

=2

T

ej ωT2 − e−j ωT

2

ej ωT2 + e−j ωT

2

=2

Tj tg

ωT

2


ou

η =2

Ttg

ωT

2

Desde que ωa = 2πT

tem-se que

η =2

Ttg

ω

ωa

π

Desta ultima equacao e facil de ver que quando ω varia de −ωa

2a 0 entao η varia de −∞ a 0,

e quando ω varia de 0 a ωa

2, entao η varia de 0 a ∞. Observa-se entao, que com a transformacao

bilinear tem-se uma frequencia fictıcia que varia ate ∞, o que retira a restricao para a construcaodo diagrama de Bode de forma analoga ao caso contınuo.

A ultima equacao pode ser escrita como

T

2= tg

ω

ωa

π

Para valores pequenos de frequencia, pode-se substituir a tangente pelo arco:

η ≈ ω

e portanto a frequencia no plano s e a frequencia fictıcia η sao aproximadamente iguais.

Diagrama de Bode

O procedimento para o tracado do diagrama de Bode para G(jη) segue o procedimento para G(jω).Existem no entanto algumas diferencas com relacao ao valor da magnitude em altas frequencias.Para uma funcao da transferencia no plano s com maior numero de polos que zeros, a assıntotapara altas frequencias tende para −∞, pois lims→∞ = 0. No entanto, quando a frequencia fictıciaη → ∞, no plano w, a frequencia no plano s tende para ωa

2. No entanto, limη→∞ |G(jη)| geralmente

e diferente de limω→ωa2|G(jω)|, e o comportamento nas altas frequencias e diferente nos dois casos.

Procedimento de projeto

O procedimento de projeto consiste nos seguintes passos:

1. Obter G(z) e entao G(w) usando a transformacao bilinear

z =1 + T

2w

1 − T2w

O perıodo de amostragem deve ser escolhido adequadamente.

2. Faz-se w = jη em G(w) e traca-se o diagrama de Bode de G(jη).

3. Usa-se o diagrama de Bode para fazer o projeto seguindo o mesmo procedimento usado parafazer o projeto no domınio da frequencia para o caso contınuo.

4. Uma vez obtida a funcao de transferencia C(w) do controlador no plano w, transforma-seesta funcao em C(z), usando-se a transformacao bilinear

w =2

T

z − 1

z + 1

ou seja,C(z) = C(w)|

w= 2T

z−1z+1

EEL-DAS-UFSC 193

Exemplo 12.4.3Para o sistema representado na Figura 12.14, projete um controlador, no domınio da frequencia,que assegure os seguintes objetivos:

• margem de fase de 60◦;

• margem de ganho de pelo menos 10db;

• constante de erro de velocidade kv = 2 seg−1;

• perıodo de amostragem T = 0, 2seg.

O perıodo de amostragem e T = 0, 2 seg.

Σ C∗1 − e−Ts

s

K

s(s + 1)

R(s) Y (s)+

−

Figura 12.14: Sistema para o Exemplo 12.4.3

O modelo discreto equivalente e:

G(z) = Z[

1 − e−Ts

s

k

s(s + 1)

]

= 0, 01873K(z + 0, 9356)

(z − 1)(z − 0, 8187)

com a transformacao bilinear

z =1 +

T

2ω

1 − T

2ω

⇐ :ω =2

T

z − 1

z + 1

temos

G(w) = G(z)

∣

∣

∣

∣

z=1 + 0, 1w

1 − 0, 1w

=

K

(

w

300, 6+ 1

)(

1 − w

10

)

w

(

w

0, 997+ 1

)

O controlador C(z) = C(w)

∣

∣

∣

∣

w=2

T

z − 1

z + 1

deve ser determinado para se atingir os requisitos de

projeto.Como G(w) ja possui um ganho a ser determinado, vamos assumir o controlador C(w) com

ganho unitario)

D(w) =1 + w/α

1 + w/β(controlador de avanco)

O ganho K e determinado para se atingir o requisito Kv = 2 de onde tiramos

Kv = limw→0

wC(w)G(w) = 2:K = 2.


Usando as tecnicas de projeto para controlador de avanco no domınio da frequencia encontra-mos

C(w) =1 + w/0, 997

1 + w/3, 27

MF = ...0◦

MG = 14 db

Assim encontramos

C(z) = C(w)

∣

∣

∣

∣

w=10z − 1

z + 1

= 2, 718z − 0, 8187

z − 0, 5071

Em malha fechada ficamos com

Y (z)

R(z)=

C(z)G(z)

1 + C(z)G(z)=

0, 1018(z + 0, 9356)

(z − P1)(z − P2)

onde os polos sao dados por P1, P2 = 0, 7026 ± 0, 3296j.

12.5 Questoes de Implementacao

Esta secao discute alguns aspectos da implementacao do controle digital.

Escolha do perıodo de amostragem

Segundo o teorema da amostragem, a frequencia de amostragem deve ser pelo menos 2 vezes amaior frequencia do sinal amostrado. Pode-se entao escolher ωa = 2ωm, onde ωm indica a maiorfrequencia do sinal. No entanto, nas aplicacoes, uma taxa de amostragem bem superior e usada,para atender requisitos de estabilidade em malha fechada ou outros requisitos de projeto, comoseguimento da entrada com baixo erro. Assim usa-se ωa em torno de 8 a 10 vezes ωm. A escolhado perıodo de amostragem e um compromisso entre requisitos de desempenho do sistema emmalha fechada, que exigem uma alta taxa de amostragem, e o custo envolvido, ja que maiorestaxas de amostragem exigem computadores mais rapidos. Em situacoes praticas, a frequencia deamostragem e selecionada com base na faixa de passagem requerida da resposta e frequencia emmalha fechada ou do tempo de resposta ou tempo de subida da resposta transitoria. Uma regrapratica e amostrar de 8 a 10 vezes durante um ciclo de oscilacao, se o sistema e superamortecido.A frequencia de amostragem pode ainda ser escolhida como 8 a 10 vezes a faixa de passagemem malha fechada da resposta em frequencia (algumas vezes 5 e aceitavel, outras vezes 20 enecessario).

EEL-DAS-UFSC 195

Exercıcios

1. Considere o sistema de controle digital da Figura 4, onde a planta e de primeira ordem etem um tempo morto de 2 seg. O perıodo de amostragem e T = 1 seg. Projete um controladorPI digital, tal que os polos dominantes de malha fechada tenham um amortecimento ζ = 0.5 eo numero de amostras por ciclo de oscilacao senoidal amortecida seja 10. Determine o erro auma entrada tipo rampa unitaria. Obtenha a resposta do sistema a uma entrada do tipo degrauunitario.

Y (z)R(z)

−

+

δT

*

6

-- --- e−2s

s + 1

1 − e−Ts

sD(z)

Figura 12.15: Exercıcio 1

2. Seja o sistema da Figura 5. Projete um controlador digital tal que os polos dominantes dosistema tenham um amortecimento ζ = 0.5 e o numero de amostras por ciclo de oscilacao senoidalamortecida seja 8. O perıodo de amostragem e T = 0.2 seg. Obtenha a resposta a uma entradado tipo degrau unitario. Determine a constante de velocidade Kv.

−

+

Digital

Contr.

δT

R(z) Y (z)-

6

* - -- -1

s(s + 1)ZOH


3. Considere o diagrama de blocos de um sistema de controle de uma antena, mostrado naFigura 6. O perıodo e T = 0.05 seg. a. Determine a margem de fase com K = 1 e D(z) = 1.b. Para reduzir o erro em regime permanente, K e aumentado para 5. Projete um controlador deatraso de fase de tal modo que a margem de fase do sistema seja 45o.c. Projete um controlador de avanco de fase, com K = 5, para que a margem de fase do sistemaseja 45o.d. Use o Scilab para para determinar a resposta no tempo do sistema nos itens b. e c. Compareos tempos de subida e a ultrapassagem para os dois sistemas.

e engrenagensMotoramplificador

digital

Controlador

Y (z)R(z)-

6

----- 20

s2 + 6sKZOHD(z)



4. A funcao de transferencia seguinte e um compensador de avanco projetado para fornecercerca de 60O de avanco em ω1 = 3 rad/s

C(s) =s + 1

0.1s + 1

Supondo que o perıodo de amostragem seja T = 0.25 seg, calcule e plote no plano z aslocalizacoes do polo e zero da implementacao digital de C(s) obtida:a. usando o metodo de Tustinb. metodo de EulerPara cada caso, calcule o avanco de fase fornecido pelo compensador em z1 = ejω1T .

5. A funcao de transferencia de uma planta e G(s) =1

(s + 0.1)(s + 3)que deve ser contro-

lada por um controlador digital, com perıodo de amostragem T = 0.1 seg, como mostrado naFigura 12.18.a. Projete um compensador digital, no plano z, usando o lugar das raızes para que a respostaa um degrau unitario apresente um tempo de subida de 1 seg e um sobressinal de 5%. Sugestao:use o zero do controlador para cancelar o polo da planta mais proximo da origem.b. Determine o tipo do sistema e o erro correspondente.c. Projete um controlador discreto de atraso de fase, que reduza o erro em regime permanentepela metade.

Dado: Z[

1

s(s + 0.1)(s + 3)

]

=z(0.00452z + 0.004076

(z − 1)(z2 − 1.731z + 0.7334)

Y (s)R(s)

−

+

6

- - --- G(s)ZOHD(z)


6. O sistema de controle de posicionamento de uma antena e mostrado na Figura 12.19 abaixo.O controle deve ser digital com um tempo de amostragem T = 0.1 seg.a. Projete um controlador, usando o lugar das raızes, que asssegure um fator de amortecimentoζ = 0.5. Determine o tempo de resposta a 5%. O lugar das raızes do sistema nao compensado, no plano z, assim como o lugar geometrico dos polos no plano z com amortecimento constanteigual a 0.5 sao dados na Figura 12.20.b. Supondo agora que o tempo de resposta a 5% deve ser 2 seg e deseja-se manter o mesmoamortecimento do item anterior, projete um controlador para atingir este objetivo. Sugestao: Useo zero do controlador para cancelar o polo em 0.843

Dados: Z[

1

s2(s + 1.71)

]

=0.00473 z (z + 0.945)

(z − 1)2(z − 0.843)e tr5%

≈ 3

ζωn

7. Para o sistema cujo diagram de Bode no plano w e dado na Figura 12.21:a. Projete um controlador de atraso de fase no domınio da frequencia que garanta uma margemde fase de 50◦.b. Determine o controlador discreto e a equacao recursiva do controlador, supondo que o perıodode amostragem e T = 2 seg.Obs: A frequencia esta em Hz.

A transformacao bilinear e w =2

T

z − 1

z + 1

EEL-DAS-UFSC 197

1 − e−sT

sK

2.083

s(s + 1.71)0.1R(z) Y (z)+

−


0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2

−0.12

−0.08

−0.04

0

0.04

0.08

0.12

0.16

0.20

0.24

open loop zeroes◊

× ×

open loop poles×

Evans root locus

Real axis

Imag. axis

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2

−0.12

−0.08

−0.04

0.00

0.04

0.08

0.12

0.16

0.20

0.24

Lugar das raizes

ζ = 0.5

Figura 12.20: Lugar das raızes para o Exercıcio 6

−310

−210

−110

010

110

210

310

−60

−40

−20

0

20

40

60

80

100

.

Magnitude

Hz

db

−310

−210

−110

010

110

210

310

−250

−230

−210

−190

−170

−150

−130

−110

−90

.

Phase

Hz

degrees

Figura 12.21: Diagrama de Bode para o Exercıcio 7

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