cap-4 Tautologia-Contradição
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Tautologias,Contradies e Contingncias
CAPTULOProf. Jorge Oliveira
4
1 . TautologiasPrincpio de substituio para 2 . tautologias
3 . Contradies
4 . Contingncias
Tautologias, Contradies e Contigncias
Captulo 4
1. TAUTOLOGIA
Denominamos
TAUTOLOGIA
toda
proposio
que
resulta
VERDADEIRO (V) como resultado final da operao lgica.
As
tautologias
so
tambm
denominadas
proposies
tautolgicas ou proposies logicamente verdadeiras.
Tautologias, Contradies e Contigncias
Captulo 4
Exemplos: (1) A proposio ~(p ^ ~p) (princpio da no contradio) tautolgica.
~V V
(pV F
^F F
~p)F V
Em outros termos, dizer que uma proposio no pode ser simultaneamente verdadeira e falsa sempre verdadeiro.
Tautologias, Contradies e Contigncias Exemplos:
Captulo 4
(2) A proposio p v ~p (princpio do terceiro excludo) tautolgica.
pV F
v V V
~pF V
Em outros termos, dizer que uma proposio ou verdadeira ou
falsa sempre verdadeiro.
Tautologias, Contradies e Contigncias
Captulo 4
Exemplos: (3) A proposio p v ~(p ^ q) tautolgica.
pV V F F
vV V V V
~F V V V
(pV V F F
^V F F F
q)V F V F
Tautologias, Contradies e Contigncias
Captulo 4
Exemplos: (4) A proposio p ^ q (p q) tautolgica.
pV V F F
^V F F F
qV F V F
V V V V
(pV V F F
V F F V
q)V F V F
CONJUNO (^): (): Verdadeiro se CONDICIONAL (): Falso se se VV iguais BICONDICIONAL Verdadeiro VF
Tautologias, Contradies e Contigncias
Captulo 4
Exemplos: (5) A proposio p v (q ^ ~q) p tautolgica.
p V V F F
v V V F F
(q V F V F
^ F F F F
~q) F V F V V V V V
p V V F F
CONJUNO (^): (): se FF se VV BICONDICIONALFalso Verdadeiro se iguais DISJUNO (v): Verdadeiro
Tautologias, Contradies e Contigncias
Captulo 4
Exemplos:(6) A proposio p ^ r ~q v r tautolgica.
p V V V V F F F F
^ V F V F F F F F
r V F V F V F V F
V V V V V V V V
~q F F V V F F V V
v V F V V V F V V
r V F V F V F V F
DISJUNO (v): Falso se se VF CONDICIONAL (): FalsoFF se VV CONJUNO (^): Verdadeiro
Tautologias, Contradies e Contigncias
Captulo 4
Exemplos:(7) A proposio ((p q) r) (p (q r)) tautolgica.
((p V V V V F F F F
V V F F V V V V
q) V V F F V V F F
V F V V V F V F
r) V F V F V F V F
V V V V V V V V
(p V V V V F F F F
V F V V V V V V
(q V V F F V V F F
V F V V V F V V
r)) V F V F V F V F
CONDICIONAL (): Falso se VF
Tautologias, Contradies e Contigncias
Captulo 4
2. PRINCPIO DE SUBSTITUIO PARA AS TAUTOLOGIASSeja P(p, q, r, ...) uma tautologia e sejam P0(p, q, r, ...), Q0(p, q, r, ...), R0(p, q, r, ...), ... proposies quaisquer. Se P(p, q, r, ...) uma tautologia, ento P0(P0, Q0, R0, ...), tambm uma tautologia, quaisquer que sejam as proposies P0, Q0, R0, ...
Tautologias, Contradies e Contigncias
Captulo 4
3. CONTRADIOChama-se contradio a proposio composta cujo valor lgico sempre a falsidade, isto , contm somente F como resposta final.
Como a contradio sempre falsa, a negao de umacontradio uma tautologia.
As
contradies
so
tambm
denominadas
proposies
contravlidas ou proposies logicamente falsas.
Tautologias, Contradies e Contigncias
Captulo 4
3. CONTRADIOExemplo:(1) A proposio p ^ ~p uma contradio.
pV F
^ F F
~pF V
Portanto, dizer que uma proposio pode ser simultaneamente verdadeira e falsa sempre falso.
Tautologias, Contradies e Contigncias
Captulo 4
3. CONTRADIOExemplo:(2) A proposio p ~p uma contradio.
p V F
F F
~p F V
Tautologias, Contradies e Contigncias
Captulo 4
3. CONTRADIOExemplo:(3) A proposio (p ^ q) ^ ~(p v q) uma contradio.
(p
^ V F F F
q)
^ F F F F
~ F F F V
(p
v V V V F
q)
V V F F
V F V F
V V F F
V F V F
Tautologias, Contradies e Contigncias
Captulo 4
3. CONTRADIOExemplo:(4) A proposio ~p ^ (p ^ ~q) uma contradio.
~p
^ F F F F
(p
^ F V F F
~q)
F F V V
V V F F
F V F V
CONJUNO (^): Verdadeiro se VV
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Captulo 4
4. CONTINGNCIAChama-se contingncia toda proposio composta cujo valor lgico consta de ao menos um F ou um V como resposta final.
Portanto, contingncia toda proposio composta que no nem tautologia, nem contradio.
As
contingncias
so
tambm
denominadas
proposies
contingentes ou proposies indeterminadas.
Tautologias, Contradies e Contigncias
Captulo 4
4. CONTINGNCIAExemplo:
(1) A proposio p ~p uma contingncia.
p V F
F V
~p F V
CONDICIONAL (): Falso somente se VF
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Captulo 4
4. CONTINGNCIAExemplo: (2) A proposio p v q p uma contingncia.
pV V F F
vV V V F
qV F V F
V V F V
pV V F F
CONDICIONAL (): Falso somente se DISJUNO (v): Falso somente se FF VF
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4. CONTINGNCIAExemplo:
(3) A proposio x = 3 ^ (x y x 3) uma contingncia:Faamos x = 3 = p; ento, x 3 = ~p e x y = ~q Reescrevendo: p ^ (q ~p)
p V V F F
^ V F F F
(~q ~p) F V F V
V F V V
F F V V
CONJUNO (^): Verdadeiro somente se VV CONDICIONAL (): Falso somente se VF
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Captulo 4
Exerccios