Cap 3-Modulacao FM PM

1Fundamentos de Telecomunicaes

ModulaModulao FM e PMo FM e PM

Luis Figueiredo Fundamentos de Telecomunicaes - 06/07 2

Modulao FM e PM

Na modulao de amplitude, variamos a amplitude da portadora de acordo com o sinal modulante.

Na modulao angular (seja ela de frequncia ou fase), iremos variar o ngulo da portadora, mantendo a amplitude da portadora constante.

2Luis Figueiredo Fundamentos de Telecomunicaes - 06/07 3

Modulao FM e PM

Se assumirmos que i(t) como sendo o ngulo de uma portadora modulada, e que varia de acordo com o sinal modulante, ento, podemos expressar uma portador com modulao angular como:

Podemos tambm definir a frequncia como:

Assim podemos definir a frequncia instantnea como:

( ) ( )cosc is t A t =

( ) ( ) ( )2

i it

t t tf t

t

+ =

( ) ( )( ) ( )( )

0

0

lim

lim2

12

i tt

i i

t

i

f t f t

t t tt

d tdt

= + =

=


Modulao FM e PM

Assim, no caso de uma portadora no modulada, teremos:

Existem vrias formas de variar o ngulo de uma portadora em funo de um sinal modulante, no entanto, iremos focar apenas dois mtodos: a modulao de fase; e a modulao de frequncia.

( ) 2i c ct f t = +


Modulao FM e PM

9Modulao de fase (PM) a forma de modulao angular, na qual o ngulo instantneo i(t) variado linearmente com o sinal modulante m(t) da seguinte forma:

Em que kp a sensibilidade de fase.

Assim podemos descrever uma portadora modulada em fase da seguinte forma:

( ) ( )2i c pt f t k m t = +

( ) ( )cos 2c c ps t A f t k m t = +


Modulao FM e PM

9Modulao de frequncia (FM) a forma de modulao angular, na qual a frequncia instantnea fi(t) variada linearmente com o sinal modulante m(t) da seguinte forma:

Em que kp a sensibilidade de frequncia.

Integrando ento a frequncia instantnea, obtemos:

Assim podemos descrever uma portadora modulada em frequncia da seguinte forma:

( ) ( )i c ff t f k m t= +

( ) ( )0

cos 2 2t

c c fs t A f t k m t dt = +

( ) ( )0

2 2t

i c ft f t k m t dt = +


Modulao FM e PM


Modulao FM e PM


Modulao FM e PM

Modulao de FrequnciaComo se viu na definio matemtica do FM, a variao da portadora feita de uma forma no linear, assim, iremos dividir em duas formas:

DModulao com um sinal sinusoidal que produza um sinal FM de banda estreita;DModulao com um sinal sinusoidal que produza um

sinal FM de banda larga.

Consideremos ento o seguinte sinal modulante:

( ) ( )cos 2m mm t A f t=


Modulao FM e PM

A frequncia instantnea do sinal FM ser:

Em que:

Ao valor f d-se o nome desvio de frequncia, e representa o mximo desvio de frequncia instantneo em relao a fc, sendo proporcional ao sinal modulante e independente da frequncia da portadora.

( ) ( )( )

cos 2cos 2

i c f m m

c m

f t f k A f tf f f t

= += +

f mf k A =


Modulao FM e PM

Ser necessrio ainda obter o valor de i(t):

Ao valor da relao entre f e fm d-se o nome de ndice de modulao de um sinal FM, e normalmente apresentado por :

De forma que i(t) fica:

( ) ( )( )

02

2 sen 2

t

i i

c m

m

t f t dt

ff f t

f

== +

m

ff

=

( ) ( )2 sen 2i c mt f t f t = +


Modulao FM e PM

Obtemos ento a equao do sinal FM modulado por um sinal sinusoidal:

Dependendo do valor do ndice de modulao podemos distinguir dois tipos de modulao FM:

D FM de banda estreita, para valores de pequenos quando comparados com 1 radiano.

D FM de banda larga, para valores de grandes quando comparados com 1 radiano.

( ) ( )cos 2 sen 2c c ms t A f t f t = +


Modulao FM e PM

Modulao FM de banda estreitaExpandindo a equao anterior iremos obter:

Se assumirmos que pequeno comparando com 1 radiano, poderemos efectuar as seguintes aproximaes:

( ) ( ) ( )( ) ( )

cos 2 cos sen 2

sen 2 sen sen 2

c c m

c c m

s t A f t f t

A f t f t

=

( )( ) ( )

cos sen 2 1

sen sen 2 sen 2

m

m m

f t

e

f t f t


Modulao FM e PM

Podemos ento simplificar, e obtemos o seguinte sinal:

Trata-se forma aproximada de um sinal FM de banda estreita modulado por um sinal sinusoidal. Pode ser obtido pelo modulador representado no diagrama de blocos da figura.

( ) ( ) ( ) ( )cos 2 sen 2 sen 2c c c c ms t A f t A f t f t


Modulao FM e PM

Expandindo a equao anterior da seguinte forma:

Esta equao bastante semelhante da modulao AM:

Podemos ento concluir que o FM de banda estreita necessita de uma largura de banda semelhante ao AM (2fm).

( ) ( ) ( ) ( ){ }1cos 2 cos 2 cos 22c c c c m c ms t A f t A f f t f f t + +

( ) ( ) ( ) ( ){ }1cos 2 cos 2 cos 22AM c c c c m c ms t A f t A f f t f f t = + + +


Modulao FM e PM

Modulao FM de banda largaVoltando equao da modulao FM por um sinal sinusoidal:

Como:

Obtm-se:

( ) ( )cos 2 sen 2c c ms t A f t f t = +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1cos cos cos sen sen2

a b a b a b + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )cos 2 cos sen 2 sen 2 sen sen 22

cc m c m

As t f t f t f t f t =


Modulao FM e PM

Como:( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

0 2

4

cos sen 2 2 cos 2 2

2 cos 4 22 cos 2 2

m m

m

n m

f t J J f t

J f tJ n f t

= + + + ++ +

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )1

3

2 1

sen sen 2 2 sen 2

2 sen 3 22 sen 2 1 2

m m

m

n m

f t J f t

J f tJ n f t

= + + +

+ +

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1cos cos cos cos

21

sen sen cos cos2

a b a b a b

a b a b a b

= + + = +


Modulao FM e PM

O sinal FM de banda larga ser:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ){ }

0 1

2

3

cos 2 cos 2 cos 22 2

cos 2 2 cos 2 22

cos 2 3 cos 2 32

cos 2 cos 22

c cm c m c m

cc m c m

cc m c m

cn c m c m

A As t J f t J f f t f f t

AJ f f t f f t

AJ f f t f f t

AJ f nf t f nf t

= + + + + + + + + + + +

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Modulao FM e PM

A transformao vista anteriormente usando Jn(), so as funes de Bessel do primeiro tipo.


Modulao FM e PM

0,19530,06340,00960,00050,00000,00000,00000,00000,000012

0,27040,12310,02560,00200,00000,00000,00000,00000,000011

0,30050,20750,06080,00700,00020,00000,00000,00000,000010

0,23040,29190,12630,02120,00090,00010,00000,00000,00009

0,04510,31790,22350,05650,00400,00050,00000,00000,00008

-0,17030,21670,32060,12960,01520,00250,00020,00000,00007

-0,2437-0,01450,33760,24580,04910,01140,00120,00000,00006

-0,0735-0,23410,18580,36210,13210,04300,00700,00020,00005

0,1825-0,2196-0,10540,35760,28110,13200,03400,00250,00024

0,19510,0584-0,29110,11480,43020,30910,12890,01960,00263

-0,08490,2546-0,1130-0,24290,36410,48610,35280,11490,03062

-0,22340,04350,2346-0,2767-0,06600,33910,57670,44010,24231

0,0477-0,24590,17170,1506-0,3971-0,26010,22390,76520,93850

OrdemDa

funo (n)

12108643210,5

Valores de

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Modulao FM e PM

Largura de banda de um sinal FM Regra de Carlson

elevado

baixo

Regra de Carlson

2B f2 mB f

12 2 2 1mB f f f

+ = +


Modulao FM e PM

Largura de banda de um sinal FM Curva Universal

Banda (a 99%) 2 mmxB n f

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Modulao FM e PM

Moduladores FM

Existem basicamente dois mtodos para gerar sinais modulados em frequncia:

DMtodo directoDMtodo indirecto


Modulao FM e PM

Mtodo indirecto Na figura podemos ver o diagrama de blocos de um modulador FM indirecto.Como se pode ver o sinal primeiro integrado e depois aplicado a um modulador de fae de banda estreita.O multiplicador feito atravs da utilizao de um dispositivo no linear, cuja equao do tipo:

( ) ( ) ( ) ( )21 2 nnv t a s t a s t a s t= + + +

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Modulao FM e PM

Sendo que o multiplicador constitudo pelo dispositivo no linear, e por um filtro passa banda centrado em nfc e cuja largura de banda n vezes a largura de banda de s(t), sendo o sinal sada dado por:

( ) ( )'0

' cos 2 2t

c c fs t A nf t nk m t dt = +


Modulao FM e PM

9ExemploO modulador da figura usado para transmitir sinais entre 100Hz e 15kHz, a frequncia central do modulador dde fase 100kHz.Sabendo que a frequncia da portadora pretendida de 100MHz, e que o desvio mnimo de frequncia f de 75KHz, calcule n1 e n2.

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Modulao FM e PM

De forma a limitar a distoro harmnica produzida no modulador de fase, o dever se inferior a 0,3 radianos, assim escolhemos 0,2 por exemplo.As frequncias mais baixas (100Hz) iro produzir um f1 de 20Hz sada do modulador, enquanto as mais altas sero de 3KHz.Assim teremos de garantir que passamos de 100Hz para 75KHz.Para garantir que na sada do modulador teremos um desvio mnimo de 75kHz, ser necessrio multiplicar o sinal (como se v pelo prprio diagrama de blocos), sendo que no total teremos um factor de multiplicao de 3750. No entanto a aplicao directa deste factor multiplicativo iria produzir uma portadora bemaior do que os 100MHz pretendidos.Assim, e tal como se v no diagrama de blocos, ser necessria a multiplicao em dois estgios.


Modulao FM e PM

Sabemos ento que:

A frequncia n1f1 sada do primeiro multiplicador convertida para f2-n1f1, atravs do misturador com um sinal de 9,5MHz, no entanto a frequncia sada do segundo multiplicador deve ser fc/n2 assim,

E uma vez que f1=100KHz, f2=9,5MHz e fc=100MHz, teremos:

Resolvendo teremos:

1 2

1

750003750

20f

n nf

= = =

2 1 1

2

cff n fn

=

1

2

1009.5 0.1n

n =

1

2

7550

nn

==

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Modulao FM e PM

75KHz75KHz1,5KHz1,5KHz1,5KHz1,5KHz20Hz20HzDesvio de Desvio de frequnciafrequncia

100MHz100MHz2,0MHz2,0MHz7,5MHz7,5MHz0,1MHz0,1MHzPortadoraPortadora

SaSada do da do segundo segundo

multiplicadormultiplicador

SaSada do da do misturadormisturador

SaSada do da do primeiro primeiro

multiplicadormultiplicador

SaSada do da do moduladormodulador


Modulao FM e PM

Mtodo directoNeste mtodo, o valor da frequncia instantnea da portadora variada directamente de acordo com o sinal modulante, atravs de um dispositivo conhecido por Oscilador Controlado por Tenso (Voltage ControlledOscillator - VCO).

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Modulao FM e PM

O circuito da figura anterior um oscilador de Hartley, cuja frequncia dada por:

Em que C(t) ser constitudo por um condensador em paralelo com um diodo chamado VARICAP, e cuja capacidade da juno pn depende directamente da tenso aplicada aos seus terminais, assim, C(t) ser dado por:

( ) ( ) ( )1 21

2if t

L L C t= +

( ) ( )0 cos 2 mC t C C f t= +


Modulao FM e PM

No entanto, este tipo de circuito, e tendo em conta as caractersticas do dispositivo usado (diodo varicap), terdesvios de frequncia pequenos, assim, para obter um sinal FM de banda larga, ser necessrio usar um circuito com a seguinte configurao.

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Modulao FM e PM

Outro dos problemas deste mtodo, que a portadora obtida atravs de um oscilador que no muito estvel, desta forma ser necessria a utilizao de um circuito que permita a sua estabilizao, na figura podemos ver um diagrama de blocos desse tipo de circuitos.


Modulao FM e PM

Desmoduladores FM

Tal como nos moduladores, existem dois tipos de deteco de sinais FM (desmodulao):

DDirecta Discriminador de frequncia Detector de zeros

DIndirecta PLL (Phase Locked Loop)

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Modulao FM e PM

Detector de zeros


Modulao FM e PM

Discriminador de frequncia (1)

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Modulao FM e PM

Discriminador de frequncia (1)


Modulao FM e PM

PLL

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Modulao FM e PM


Modulao FM e PM

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Modulao FM e PM


Modulao FM e PM

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