Cap 2 tema 1 - Abre Horizontes- Porto Editora · b) c) ( ) { } { } { } { } 2 5 2 2 2 2 2 2 2 2 10...
21
Capítulo 2 1. Expressões algébricas racionais 1 1.1 3.1 4.1 _______________________________________________ Pág. 45 Pág. 43 {} ( ) {} { } ( ) 1 1 1 1 2 2 2 1 ,possível e determinada. 2 1 0 0 2 0 ,possível e determinada. 1 1 9 2 2 0 4 4 4 ,impossível. 3 7 2 4 2 2 ,possível e determinada. 2 2 2 2 2 0 x x x S x x S x x x x x S x x x x S x x x x x x - = - =- = ü = - = = = - - - + = - + - = = = - + - = - = =- = - - =- + - =- - = {} 0 0 ,possível e determinada. S = = 3.2 4.2 ( ) { } { } 2 2 2 7 7 0 7 0 0 7 0 0 7 7,0 7 49 40 7 9 7 10 0 2 2 7 3 5 2 2 2,5 x x x x xx x x x x S x x x x x x x S - = + = + = = + = = =- = - – - – - + = = = – = = = = 2.1 1.2 {} ( ) ( )( ) { } 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 0 0 0 3 0 1 1 3 1 0 3 3 1 3 2 14 24 0 2 7 12 0 2 0 7 12 0 0 6 1 0 6 1 0,1,6 x x x S x x x S x x x xx x x x x x x x x x x S = = = = + = =- = - ü = - - + = - + = = - + = = - - = = = = ______________________________________________ Pág. 44 { } 4 2 2 2 2 2 4 2 2 2 6 8 0 Para , a equação dada transforma-se em: 6 36 32 t 6 8 0 2 6 2 4 2 2 Tem-se que: x 4 2 2 2 2 2 2, 2, 2,2 2 3 0 Para , a equação dada transforma-se em: t 2 3 x x x t t t t t t x x x x x S x x x t t - + = = – - - + = = – = = = = = =- = = =- = - - - - = = - - = { } { } 2 2 2 2 2 4 12 0 2 2 4 3 1 2 Tem-se que: x 3 1 3 3 Note-se que 1 é impossível, já que , 0 3, 3 3,3 t t t t x x x x xx S S – + = – = = =- = =- =- = =- " ‡ = - = - 5.1 ( ) ( ) 1 1 1 1 2 3 3 2 2 2 6 1 , 6 1 3 2 1 3 3 3 1 2 5 2 5 2 5 53 2 3 15 5 2 6 9 7 9 7 9 7 9 , 7 x x x x x S x x x x x x x x x x x x x S - > + - > <- <- ø Ø = -¥ œ Œ ß º - + - + + - + - > > > - > + - > + - >- < < ø Ø = -¥ œ Œ ß º 6.1 ( ) ( ) 2 1 0 zero de 2 é 2 zero de 1 é 1 x x x x - - > - - g g Pág. 46 1.3 1.4 1.5 {} 2 4 não é um número real. 6 Uma vez que , 0, a equação é impossível. x x x S = - " ˛ ‡ = ¡ {} 2 2 2 2 1 0 0 3 0 4 4 4 5 4 0 5 5 5 2 2 5 5 2 2 , 5 5 4 4 6 4 0 6 6 x x S x x x x x x S x x x - = = = - = = = =- = =- ü = - + = =- = - 2.2 2.3 2.4 2.5 3.3 2 Cálculo auxiliar 7 12 0 7 49 24 2 7 5 5 2 2 x x x x x x - + = – - = – = = = 5.2 ,1 2, S = -¥ ¨ +¥ ø Ø ø Ø ß º ß º x -8 1 2 + 8 (x-2) - - - 0 + (x-1) - 0 + + + (x-1) ( x+1) + 0 - 0 + ( ) 3 0 zero de é 0 zero de 3 é 3 xx x x - < - g g 6.2 x -8 0 3 + 8 x - 0 + + + (x-3) - - - 0 + (x-1) ( x+1) + 0 - 0 + 0,3 S = ø Ø ß º
-
Upload
nguyentram -
Category
Documents
-
view
234 -
download
0
Transcript of Cap 2 tema 1 - Abre Horizontes- Porto Editora · b) c) ( ) { } { } { } { } 2 5 2 2 2 2 2 2 2 2 10...
Capítulo 2 1. Expressões algébricas racionais
1
1.1
3.1
4.1
_______________________________________________
Pág. 45Pág. 43
{ }
( )
{ }
{ }
( )
1 1 112 2 2
1,possível e determinada.
2
10 0
20 ,possível e determinada.
1 1 92 2 04 4 4
,impossível.
3 7 2 4 2
2 ,possível e determinada.
2 2 2 2 2 0
x x x
S
x x
S
x x x x x
S
x x x x
S
x x x x x x
− = ⇔ − = − ⇔ =
=
− = ⇔ =
=
− − − + = ⇔ − + − = ⇔ =
=
− + − = ⇔ − = ⇔ = −
= −
− = − + ⇔ − = − − ⇔ = ⇔
{ }0
0 ,possível e determinada.S
=
=
3.2
4.2
( )
{ }
{ }
2 2
2
7 7 0 7 00 7 0 0 7
7 , 0
7 49 40 7 97 10 02 2
7 35 2
22 , 5
x x x x x x
x x x x
S
x x x x
x x x
S
− = ⇔ + = ⇔ + =⇔ = ∨ + = ⇔ = ∨ = −
= −
± − ±− + = ⇔ = ⇔ =
±⇔ = ⇔ = ∨ =
=
2.1
1.2
{ }
( )
( ) ( )
{ }
3 3
3 3 3
3
3 2 2
2
20 0 0
30
1 13 1 0
3 3
13
2 14 24 0 2 7 12 0
2 0 7 12 0
0 6 10 6 1
0 , 1 , 6
x x x
S
x x x
S
x x x x x x
x x x
x x x
x x x
S
= ⇔ = ⇔ =
=
+ = ⇔ = − ⇔ = −
= −
− + = ⇔ − + =
⇔ = ∨ − + =
⇔ = ∨ − −⇔ = ∨ = ∨ =
=
______________________________________________
Pág. 44
{ }
4 2
2
2
2 2
4 2
2
2
6 8 0
Para , a equação dada transforma-se em:
6 36 32t 6 8 02
6 24 2
2Tem-se que:
x 4 2 2 2 2 2
2 , 2 , 2 , 2
2 3 0
Para , a equação dada transforma-se em:
t 2 3
x x
x t
t t
t t t
x x x x x
S
x x
x t
t
− + = ⇔
=
± −− + = ⇔ =
±⇔ = ⇔ = ∨ =
= ∨ = ⇔ = − ∨ = ∨ = ∨ = −
= − −
− − = ⇔
=
− − =
{ }
{ }
2 2
2 2
2 4 120
22 4
3 12
Tem-se que:
x 3 1 3 3
Note-se que 1 é impossível, já que , 0
3 , 3
3 , 3
t
t t t
x x x
x x x
S
S
± +⇔ =
±⇔ = ⇔ = ∨ = −
= ∨ = − ⇔ = − ∨ =
= − ∀ ≥
= −
= −
5.1
( ) ( )
1 1 1 12 3 3
2 2 2 61
,6
1 3 2 1 3 3 31
2 5 2 5 2 55 3 2 3 15 5 2 6
97 9 7 97
9,
7
x x x x x
S
x x x x x x
x x x x
x x x
S
− > + ⇔ − > ⇔ < − ⇔ < −
= −∞
− + − + + − +− > ⇔ > ⇔ >
⇔ − > + ⇔ − > + ⇔
⇔ − > − ⇔ < ⇔ <
= −∞
6.1 ( )( )2 1 0 zero de 2 é 2 zero de 1 é 1
x x
x
x
− − >−−
ii
Pág. 46
1.3
1.4
1.5
{ }
2
4 não é um número real.
6Uma vez que , 0, a equação é impossível.
x
x x
S
= −
∀ ∈ ≥
=
¡
{ }
2 2
2 2
10 0
30
4 4 45 4 0
5 5 52 25 5
2 2,
5 5
4 46 4 0
6 6
x x
S
x x x x
x x
S
x x x
− = ⇔ =
=
− = ⇔ = ⇔ = ∨ = −
⇔ = ∨ = −
= −
+ = ⇔ = − ⇔ = −
2.2
2.3
2.4
2.5
3.3
2
Cálculo auxiliar
7 12 0
7 49 242
7 55 2
2
x x
x
x x x
− + =
± −⇔ = ⇔
±= ⇔ = ∨ =
5.2
, 1 2 ,S = −∞ ∪ + ∞
x - 8 1 2 + 8
(x-2) - - - 0 +
(x-1) - 0 + + +
(x-1) (x+1) + 0 - 0 +
( )3 0 zero de é 0 zero de 3 é 3
x x
x
x
− <
−ii
6.2
x - 8 0 3 + 8
x - 0 + + +
(x-3) - - - 0 +
(x-1) (x+1) + 0 - 0 +
0 , 3S =
Capítulo 2 1. Expressões algébricas racionais
2
6.3 Pág. 43
7.2 a)
b)
7.1
______________________________________________
Pág. 47
( )2 6 0 6 0 zero de é 0 zero de 6 é 6
x x x x
x
x
− ≥ ⇔ − ≥
−ii
x - 8 0 6 + 8
X - 0 + + +
(x-6) - - - 0 +
(x-1) (x+1) + 0 - 0 +
, 0 6 ,S = −∞ ∪ + ∞
2 3 é uma expressão racional porque é
definida por um polinómio; 2 3 não é uma expressão
racional porque a variável figura no radicando.
x
x
x
+
+
{ }
{ }
{ }( )( )
{ }
{ }
2
2
2
3
2
2
12 2
: 2 2 0
2 2 0 1\ 1
34
: 4 0
4 0 2 2 0 2 2
\ 2 , 2
1: 1 0
x
D x x
x x
D
xx
D x x
x x x x x
D
xx
D x x
−
= ∈ − ≠
− = ⇔ ==
−= ∈ − ≠
− = ⇔ − + = ⇔ = ∨ = −
= −
−= ∈ − ≠
¡
¡
¡
¡
¡
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
2
2
2
2
2
2
2
3 2 2
2 2 2 1
4 2 2
1 1 1
49 7 74 2 2
4 16 12 4 44 3
2 24 2
3 12
Então, 4 3 1 3
2 11 5
11 121 40 11 814 4
11 910 1
2Então, 2 11 5 5 2 1
x x
x x x
x x x
x x x
x x x x
x x x
x x x x
x x
x x
x x x
x x x x
x x x x
− = −
− = − +
− = − +
− = − +
± − ±− + ⇔ = ⇔ =
±⇔ = ⇔ = ∨ =
− + = − −
− +
± − ±⇔ = ⇔ =
±⇔ = ⇔ = ∨ =
− + = − −
− = ( )
( ) ( )( )3 2
1
1 1 1x x x x x x x
−
− = − = − +
c)
d)
e)
f)
g)
h)
7.3 a)
b)
c)
( ) ( ){ }
{ }
{ }
{ }
2
5
2
2
2
2
2
2
2
2
1 0 1 1 0 1 1
\ 1 , 1
3 1
494
: 49 04
49 0 7 7 0 14 144 2 2
\ 14,14
14 3
: 4 3 0
4 16 12 4 24 3 0
2 23 1
\ 1 , 3
12 11 5
: 2
x x x x x
D
xx
xD x
x x xx x
D
x x
D x x x
x x x x
x x
D
x x
D x x
− = ⇔ − + = ⇔ = ∨ = −
= −
−
−
= ∈ − ≠
− = ⇔ − + = ⇔ = ∨ = −
= −
− +
= ∈ − + ≠
± − ±− + = ⇔ = ⇔ =
⇔ = ∨ =
=
− +
= ∈ −
¡
¡
¡
¡
¡
¡{ }2
11 5 0
11 121 40 11 92 11 5 0
4 41
52
1\ , 5
2
x
x x x x
x x
D
+ ≠
± − ±− + = ⇔ = ⇔ =
⇔ = ∨ =
=
¡
d)
e)
f)
{ }( )
{ }
{ }( ) ( ) ( )
{ }
3 2
3 2
3 2 2 2
2
3
3
3 2
3 1
: 0
0 1 0 0 1 00 1
\ 0 , 1
3 7
: 0
0 1 0 1 1 0
0 1 0 1 0 0 1 1
\ 1 , 0 , 1
xx x
D x x x
x x x x x x
x x
D
xx x
D x x x
x x x x x x x
x x x x x x
D
+−
= ∈ − ≠
− = ⇔ − = ⇔ = ∨ − =⇔ = ∨ =
=
−−
= ∈ − ≠
− = ⇔ − = ⇔ − + =
⇔ = ∨ − = ∨ + = ⇔ = ∨ = ∨ = −
= −
¡
¡
¡
¡
g)
h)
{ }
{ }
2
2
2
2
2
2
2
2
3 14 4 6
: 4 4 6 0
4 16 96 4 804 4 6 0
8 8Uma vez que 4 6 não tem raízes reais, então é, ,diferente de zero. Logo,
23 6 9
: 3 6 9 0
6 36 108 6 123 6 9 0
6 63
xx x
D x x x
x x x x
x x x
D
xx x
D x x x
x x x x
x
+− +
= ∈ − + ≠
± − ± −− + = ⇔ = ⇔ =
− + ∀
=
− −
= ∈ − − ≠
± + ±− − = ⇔ = ⇔ =
⇔ =
¡
¡
¡
{ }1
\ 1 , 3
x
D
∨ = −
= −¡
i)
j)
Capítulo 2 1. Expressões algébricas racionais
3
k)
8.2
_______________________________________________
8.8
8.7
9.1 Pág. 49
Pág. 48
l)
8.1
{ }( )
{ }
{ }
6
3 2
3 2
3 2 2
2
3 2
4 2
4 2
4 2
2
3 14 5
: 4 5 0
4 5 0 4 5 0
0 4 5 0
4 16 20 4 6 5 12 2
Então, 4 5 0 0 1 5
\ 1 , 0 , 5
22 3
: 2 3 0
2 3 0
Fazendo , esta equação tr
xx x x
D x x x x
x x x x x x
x x x
x x x x
x x x x x x
D
xx x
D x x x
x x
x t
+− −
= ∈ − − ≠
− − = ⇔ − − =
⇔ = ∨ − − =
± + ±⇔ = ⇔ = ⇔ = ∨ = −
− − = ⇔ = ∨ = − ∨ =
= −
− −
= ∈ − − ≠
− − =
=
¡
¡
¡
{ }
2
2 2 2
ansforma-se em:
2 4 122 3 0
22 4 3 1
2Tem-se que:
3 1 3 3, uma vez que 0
\ 3 , 3
t t t
t t t
x x x x x
D
± +− − = ⇔ = ⇔
±⇔ = ⇔ = ∨ = −
= ∨ = − ⇔ = − ∨ = ≥
= −¡______________________________________________
( )( )( )
( ) ( ){ }
{ }
2
2
2 2
33 3 19 3 3 3 3 3
: 9 0
9 0 9 9 3 3
\ 3 , 3
xx xx x x x x x
D x x
x x x x x
D
− −− − −= = =
− − + − + +
= ∈ − ≠
− = ⇔ = ⇔ = ± ⇔ = − ∨ =
= −
¡
¡
( ){ }
( ){ }
2
2
2
22
525 10
5 155
: 25 10 0
25 10 0 5 0 5
\ 5
xx x
xxx
D x x x
x x x x
D
− =+ −
−= =
−−
= ∈ + − ≠
+ − = ⇔ − = ⇔ =
=
¡
¡
Cálculo auxiliar:
10 100 1002
5
x
x
± −= ⇔
⇔ =
8.3 ( )
{ }{ }
( )
{ }
{ }
( ) ( )( ) ( )
( )( )( )
{ }
{ }
2
2 2 2
2
2
2
222
1 2
: 0
\ 0
333 3
: 3 03 0 3
\ 3
5 5 5 525 5 5 5 5 5
:25 0
25 0 25 5 5
\ 5 , 5
xx x
xD x x
D
x xx xx
x xD x x
x x
D
x x x xx x x x x x
D x x
x x x x
D
++
=
= ∈ ≠
=
++= =
+ += ∈ + ≠+ = ⇔ = −
= −
− − − −= = =
− − + − − + +
= ∈ − ≠
− = ⇔ = ± ⇔ = − ∨ =
= −
¡¡
¡
¡
¡
¡
8.4
8.5
( )( ) ( ) ( )
{ }
2 1 2 2 3 21 21 1 1 1
: 1 0 0
x x x x xx x x x x x x x
D x x x
− − − + −− = = =
− − − −
= ∈ − ≠ ∧ ≠¡
{ }1 0 0 1 0
\ 0 , 1
x x x x
D
− = ∨ = ⇔ = ∨ =
= ¡
8.6
{ }{ }
3 3 23
3
44 14 5 4 5 55
: 5 0
\ 0
xx xx x xx
D x x
D
−− −× = = = −×
= ∈ ≠
=
¡¡
9.2( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
{ }
{ }
22 2
2
2
2
2
3 43 42 9 2 3 3
2 2 2 2 22 3 2 3 3
: 2 0 9 0
2 0 9 0 2 3 3
\ 3 , 2 , 3
x x xx x xx x x x x
x x x x x x x xx x x x x
D x x x
x x x x x
D
+ −+ −× = =
− − − − +
− + − + += = =− − − − − −
= ∈ − ≠ ∧ − ≠
− = ∨ − = ⇔ = ∨ = − ∨ =
= −
¡
¡
( )( )
( ) ( )( )
( )( )
{ }
{ }
2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 12 1
2 1
2 1
2 1 1 2 1 2 211
: 2 1 0 0
2 1 0 0 1 0
\ 1 , 0
x xx x x
x x
x x x
x x x xx x x xx x
D x x x x
x x x x x
D
−× =
+ +
−= =
+ +
− + − −= = =
+ ++
= ∈ + + ≠ ∧ ≠
+ + = ∨ = ⇔ = − ∨ =
= −
¡
¡
Cálculo auxiliar:
2 4 42
1
x
x
− ± −= ⇔
⇔ = −
9.3
( ) ( )( )
{ }( )
{ }
( )( )
( ) ( )
{ }( )
2
2
2
2
2 35 2 3
4 3 2 22 2
2
2
4 3 2
4 3 2 2 2
2 2
4 13 44 41
: 4 0
4 0 4 00 4 0 0 4
\ 0 , 4
1 111
1 11
1: 0
0 1 0
0 1 0
0
x xx xx x x x
xx
D x x x
x x x x
x x x x
D
x xx x xx x x x xx x x
x x xx
x x
D x x x x
x x x x x x
x x x
x
− +− −= =
− −+
=
= ∈ − ≠
− = ⇔ − = ⇔⇔ = ∨ − = ⇔ = ∨ =
=
−− −= = =+ + + ++ +
− + += = −
+ += ∈ + + ≠
+ + = ⇔ + + = ⇔
⇔ = ∨ + + = ⇔
⇔ = ∨
¡
¡
¡
{ }
1 1 4 1 32 2
\ 0
x
D
− ± − − ± −= =
= ¡
Cálculo auxiliar:
3 9 162
4 1
x
x x
± += ⇔
⇔ = ∨ = −
( )
{ }
22
2 2 2
2
2
1 3 332 2 2
1 1 1 2 1
1: 0 0
1 10 0 0 0
1 0 0 1 1 0
\ 1 , 0 , 1
x x x x xx x xx
x x
D x x xx
xx x xx xx x x x x
D
+= = =
− − −−
= ∈ − ≠ ∧ ≠
−− = ∨ = ⇔ = ∨ = ⇔
⇔ − = ∨ = ⇔ = − ∨ = − ∨ =
= −
¡
¡
8.9
( ) ( )( ) ( )
( )( )
2 22 2
2 2
2 24 1 4 12 2 2 2
2 2 2 2 4 4
x xx x x xx x x x
x x x x x x
+ −+ + − +× = =
− + − +
= − + = + − − = −
9.4
Capítulo 2 1. Expressões algébricas racionais
4
11.3
Pág. 50( ) ( ){ }
{ }
23 32 13 : 31 2 2: 1 0
1 0 1\ 1
x xxx xx
D x x
x x
D
++− = − × = −+
= ∈ + ≠+ = ⇔ = −= −
¡
¡
______________________________________________
2
2
Cálculo auxiliar:
x 4 3 0
4 16 122
1 3
x 5 4 0
5 25 162
4 1
x
x
x x
x
x
x x
+ + = ⇔
− ± −⇔ = ⇔
⇔ = − ∨ = −
− + = ⇔
± −⇔ = ⇔
⇔ = ∨ =
11.2
10.1
{ }
{ }
: 2 0 2 02 0 2 0 2 2
\ 2 , 2
D x x x
x x x x
D
= ∈ − ≠ ∧ + ≠− = ∨ + = ⇔ = ∨ = −
= −
¡
¡
10.2
10.3
10.4
11.1
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( )( )
{ }{ }
2
2
2
2 2 2
2 2 2
2
2
2
2
2 1 22 2 4
2 1 22 24 4 4
2 2 4 2 242 1 12
4 2 2 2
: 2 0 2 0 4 0
\ 2 , 2
x xxx x x
x xx x xx x x
x x x x x xxx x xx x
x x x x
D x x x x
D
++ − =
− + −+ −+
= + − =− − −
+ + − + − −= =
−− + +− −
= = =− − + +
= ∈ − ≠ ∨ + ≠ ∨ − ≠
= −
¡¡
( ) ( )
2 2
2
2 2
2 2 2
1 11
1 1 1
x xx x x x
x x x xx x x x x x
−− + =
+ +
− + ⋅= − + =
+ + +
( )( )
( )( )
{ }{ }
2
1 11 1
: 0 1 0 0
\ 1 , 0
x x xx x x
D x x x x x
D
− −= =
+ +
= ∈ ≠ ∧ + ≠ ∧ + ≠
= −
¡¡
( )
( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( )( )( ) ( )
{ }
2
2
2 2 32 2 62 2 3
32 2 22
4 2 3 2 32 2 2 2 3
4 2 3 2 3 2 2 3 2 12 2 2 3 2 2 2 3
2 12
: 2 0 2 6 0
3\ , 2
2
x xx x x
x xx x x
x x xx x x
x x x x x
x x x x
xx
D x x x x
D
+− =
− − −+
= − =− − +
⋅ + +
= − =− − +
⋅ + − + + −= = =
− + − +
−=
−
= ∈ − ≠ ∧ − − ≠
= −
¡
¡
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ){ }{ }
2 2 2
2 2
2
2 2
3 1 3 11 11 1 1 11
3 1 11 1 1 1
3 1 1 11 1 1 1 1 1
3 3 1 1 31 1 1 1 1
: 1 0 1 0
\ 1 , 1
x xx x x xx
xx x x x
x x xx x x x x x
x x x x x xx x x x x
D x x x
D
− −+ = − =
− − − −−−
= − =− − − +
− + −= − =
− − + − − +
+ − − − + += =
− − + − +
= ∈ − ≠ ∧ − ≠
= −
¡¡
2
Cálculo auxiliar:
x 10 25 0
10 100 1002
5
x
x
x
+ + = ⇔
− ± −⇔ = ⇔
⇔ = −( ) ( )
{ }{ }
2 2
2 2 2
2 2
2 2
2
2 24 3 4 34 2 2 4 2 2
2 2 3 244 4 4
4 2 4 3 6 2 7 24 4
: 4 0 2 0 2 0
\ 2 , 2
x xx x x x x x
x x xx x x
x x x x xx x
D x x x x
D
− + = + + =− − + − − +
⋅ + −= + + =
− − −+ + + − + −
= =− −
= ∈ − ≠ ∧ − ≠ ∧ + ≠
= −
¡¡
( )( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2
2 2
2
2
2
2 2
34 14 9 4 12 9 2 3
34 13 32 3 2 3 2 342 234 1
2 3 2 3 4 2 3 2 3 2 3
4 2 3 3 2 3 2 3 2 3
2 3 2 3
8 12 6 9 4 6 6 92 3 2 3
2 29 21
2 3 2 3
: 4 9 0 4
xx x x x
xx x xx x
xx x x x x
x x x x x
x x
x x x x x x
x x
x x
x x
D x x x
− + =− + + −
= − + =− + − + +
= − + =− + + + −
+ − ⋅ − + + +=
− +
+ − + + + + +=
− +
− + +=
+ −
= ∈ − ≠ ∧ +¡{ }12 9 0 2 3 0
3 3\ ,
2 2
x x
D
+ ≠ ∧ − ≠
= −
¡
11.4
11.5
11.6
2
Cálculo auxiliar:
4 x 12 9 0
12 144 144 38 2
x
x x
+ + = ⇔
− ± −⇔ = ⇔ = −
2
Cálculo auxiliar:
2x 6 0
1 1 484
32
2
x
x
x x
− − = ⇔
± +⇔ = ⇔
⇔ = ∨ = −
( ) ( )( )
( )( )
{ }
22
2
22
2
2
2
2
2
2
10 2525:
15 9
92515 10 25
9 5 515 5
9 5 3 1515 5 5 25
10 25:15 0 0
9
\ 5 , 0
x xxx x
xxx x x
x x x
x x
x x x xx x
x xD x x
x
D
+ +−=
−= × =+ +
− +=
+
⋅ − −= =
+ +
+ += ∈ ≠ ∧ ≠
= −
¡
¡
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )
{ }
2
2
2
2
2
2
4 3 3:5 4 4
4 3 45 4 31 3 4
5 4 3
1 44 111
3: 5 4 0 0
4\ 3 , 1 , 4
x x xx x x
x x xx x x
x x x
x x x
x x
x x
x
x
xD x x x
x
D
+ + + =− + −
+ + −= × =
− + ++ + −
= =− + +
+ −= =
− −+
=−
+ = ∈ − + ≠ ∧ ≠ −
= −
¡
¡
( ) ( )( )( )
( )
{ }
4 2 4
4 4 2
4 2 2
4 2 3 2
2 2
3 3
24
1 1 1 3:
3 1
3 1 3 1 111 1
3 1 3 3
1: 0 0
3
\ 0
x x x xx x x x
x x x x
x x x x
x xx x
xD x x
x
D
− + −= × =
+
− − += × = =
+ +
− −= =
+= ∈ ≠ ∧ ≠
=
¡
¡
3 2 3 2
2 2
1 1x x x x x xx x x x
+ − − − + −= = =+ +
Capítulo 2 1. Expressões algébricas racionais
5
11.13
_______________________________________________
Pág. 53
11.7
11.8
11.9
11.10
11.12
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
2
2
2 3 1 1:2 10 2
2 3 1 22 10 1
12 1
225 12 22
2 1 1 252 1 22
2 12 5
1: 2 10 0 0
25
\ 2 , , 12
x x xx x x
x x xx x x
x xxxx x
x x x
x x x
xx
xD x x x
x
D
− + − =− − +
− + += × =
− − −
− − + = × =− − +
− − += =
− − +
−=
−
− = ∈ − − ≠ ∧ ≠ +
= −
¡
¡
2
Cálculo auxiliar:
x 6 9 0
6 36 362
3
x
x
x
+ + = ⇔
− ± −⇔ = ⇔
⇔ = −
( )
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )( )
( ) ( )( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
23 2
2
2 2
2
2 2 2
2 2
3 2 19 33 3
3 2 13 3 3 39
3 2 13 3 3 3 3 3
3 3 3 2 . 3 3 3 33 3 3 3 3 3
9 27 2 6 3 9 9 273 3 3
2 6 3 9 5 33 3 3 3 3 3
5 3
x x x xx
x x x xx x
x x x x x x x
x x x x xx x x x x x x
x x x x x x
x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x
+ + =− +−
= + + =− − ⋅ +⋅ −
= + + =⋅ − + − − ⋅ +
× − + − −= + + =
⋅ − + − − ⋅ +
− + + + − − += =
⋅ − +
+ + − −= =
⋅ − + ⋅ − +
−=
( ) ( )( )
( ) ( )
( ){ }( )
( ) ( ) ( )( )
{ }
2 2
23 2
3 2
2
2
5 3
3 3 3 3 3 3
: 9 0 3 3 0 3 0
9 0 9 0 0 3 3
3 3 0 3 3 0 3 3
3 0 3 0 3
\ 3 , 0 , 3
x
x x x x x
D x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x
x x x x x x
D
−=
⋅ − + − +
= ∈ − ≠ ∧ − ≠ ∧ + ≠
− = ⇔ − = ⇔ = ∨ = − ∨ =
− = ⇔ − + = ⇔ = ∨ = −
+ = ⇔ ⋅ + ⇔ = ∨ = −
= −
¡iii
¡
{ }{ }
22 226 6 3
: 0
\ 0
xx xx x
D x x
D
× = =
= ∈ ≠
=
¡¡
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
{ }
( ){ }
2 2
4 2 2 2
2 3
4 2
4
2
4 4164 4
4 4 44
: 0 4 0
0 0
4 0 . 4 0 0 4
\ 4,0
x xx xx x x x x x
x x xx x x x
D x x x x
x x
x x x x x x
D
− +−× = =
+ ⋅ +
− + −= =
⋅ ⋅ +
= ∈ ≠ ∧ + ≠
= ⇔ =
+ = ⇔ + = ⇔ = ∨ = −
= −
¡ii
¡
( ) ( )( ) ( ) ( )
{ }{ }
2
2
1 5 1 5 51 1 1 1
: 1 0
\ 1 , 1
x xx x x x
D x x
D
+ × + ×= =
− − + −
= ∈ − ≠
= −
¡¡
( ) ( )
( )( )
( )( )( ) ( )
( ){ }
2 2
2 2
2 2 2
2
2
2
2
2 2
5 51 : 1
5 5
1 15 1 1 15 1
5 5: 0
0 0
5 5 0 5 1 1 1
\ 1 , 0 , 1
x xx x
x x
x x x x xx x xx
xD xx
x x
x x x x
D
−+ = + ×
−
+ ⋅ + ⋅= = =
− + −−
−= ∈ ≠ = ⇔ =
− = ⇔ − ⇔ = − ∨ =
= −
¡
ii
¡
11.11
( )
( )( )( )
( )
{ }
22
2
22
2
2
2
2
2
2
6 99:
2 4
492 6 9
2 96 9
2 3 3 2 333
6 9: 2 0 0
4
\ 3,0
x xxx x
xxx x x
x x
x x
x x x x xxx
x xD x x
x
D
+ +−=
−= × =+ +
− ⋅= =
+ +
− + ⋅ ⋅ −= =
++
+ += ∈ ≠ ∧ ≠
= −
¡
¡
{ }
( ) ( )( )
( ) ( )
{ }
2
2
2
1 10 0
1 0 0 1 1
1 , 1
2 240 0
2 2
2 2 0 2 02 0 2 0 2 2
2
xx
x xx x x x
S
x xxx x
x x x
x x x x
S
−− = ⇔ =
⇔ − = ∧ ≠ ⇔ = − ∨ =
= −
− +−= ⇔ =
− −
⇔ − + = ∧ − ≠⇔ − = ∨ + = ∧ ≠ ⇔ = −
= −
( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( ) ( )
{ }
{ }
2 2
2
2 2
2 2
2 12
2 6 32 1 2 0
2 3 3
1 1 2 03 3
3 1 1 2 30
3
3 1 1 2 30
3
3 2 2 6 5 80 0
3 3
5 8 0 3 0
5 25 32 5 72 2
1 24 1 1 4
1 1 04 1 4 1
xx x
xx x
xx x
x x x
x
x x xx
x x x x xx x
x x x
x x
S
x xx x
x xx x
S
+ + =− −
⇔ + + − =− −
⇔ + + − =− −
− + + − −⇔ =
−
− + + − −⇔ =
−
− + − + − +⇔ = ⇔ =
− −
⇔ − + = ∧ − ≠
± − ± −⇔ = ⇔ =
=
− = + ⇔− −
⇔ − − = − ⇔ − =− −
=
2
2
Cálculo auxiliar:
2x 3 1 0
3 9 84
11
2
2x 10 0
1 1 804
52
2
x
x
x x
x
x
x x
− + = ⇔
± −⇔ = ⇔
⇔ = ∨ =
− − = ⇔
± +⇔ = ⇔
⇔ = ∨ = −
12.1
12.2
12.3
12.4
( ) ( )( ) ( )
{ }
2
2
2 2
22
1 2 31 1 11 2 3
1 1 11 2 3
1 1 1 1
1 2 1 3 1 2 2 31 1
0 1 0 01
0
x x x
x x x
x x x x
x x x xx x
xx x x
xS
− = −− + −
⇔ − =− + −
⇔ − =− + − +
+ − − − + − + −⇔ ⇔
− −−
⇔ ⇔ − = ∧ − ≠ ⇔ =−
=
12.5
Capítulo 2 1. Expressões algébricas racionais
6
_______________________________________________
Pág. 55
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
{ }
2
2
2
2
2
2 2 2
1 213 6 3 4
1 213 3 2 2 2
1 213 3 2 2 2
1 2 22 2 33 2 2 3 2 2 3 2 2
2 2 4 2 2 4 30
3 2 24 2 3 3 6
0 03 2 2 3 2 2
3 2 10 0
3 2 2 21 0 2 0
x xx x
x xx x x
x xx x x
x xx x xx x x x x x
x x x x x x xx x
x xx x x x
xx x x
x
S
−+ =
− −
−⇔ + =
− − +
−⇔ − =
− − +
− +− +⇔ − =
− + − + − +
+ − − − − + + −⇔ =
− +− − + −
⇔ = ⇔ =− + − +
−⇔ = ⇔ =
− + +⇔ = ∧ + ≠
=
( ) ( )
2
24 3 516 4 4
24 3 54 4 4 4
x xx x x
x xx x x x
− =− − +
⇔ − =− + − +
13.4
14.1 a)
12.6
13.1
13.2
13.3
{ }
2 3 11 12 3 1
1 1 16
01
6 0 1 06 1
6
x xx
x x xx
xx x
x x
S
− =− −
−⇔ + =− − −−
⇔ =−
⇔ − = ∧ − ≠⇔ = ∧ ≠
=
( )( )
( )( )
( )
( )( )
2
2
2
2
2
31 1 22 3 12 1 2 1
2 2 3 30
2 1
2 5 30
2 1
2 5 3 0 2 1 0
5 25 241
41
3 12
1, 3
2
x xx x
x x xx x
x x xx
x xx
x x x
x x
x x x
S
− =+ +
− +⇔ =
+ +
− − −⇔ =
+
− −⇔ =
+
⇔ − − = ∧ + ≠
± +⇔ = ∧ ≠ −
⇔ = ∨ = − ∧ ≠ − = −
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )( )
( )( )
( ) ( )( ) ( )
( )
( ) ( ){ }
2 2
2
2
1 3 31 1 4 4
1 4 3 1 3 11 4 1 4 1 4
4 4 3 3 3 30
1 4
4 30
1 4
4 3 0 1 4 0
4 16 121 0
23 1 1 0 3
3
xx x x
x x x x x
x x x x x x
x x x x xx x
x xx x
x x x x
x x x
x x x x x
S
− − =− −
− ⋅ − −⇔ − =
− − −
− − + − +⇔ =
−
− +⇔ =
−
⇔ − + = ∧ − ≠
± −⇔ = ∧ ≠ ∧ ≠
⇔ = ∨ = ∧ ≠ ∧ ≠ ⇔ =
=
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( )( )( )
( )
( )
2
2
2
3 4 5 4240
4 4 4 4 4 4
24 3 12 5 200
4 4
3 7 200
4 4
3 7 20 0 4 4 0
7 49 2404 0 4 0
65 5
4 4 43 3
53
x x xxx x x x x x
x x x xx x
x xx x
x x x x
x x
x x x x x
S
⋅ + −⇔ − − =
− + − + − +
− − − +⇔ =
− +
− + +⇔ =
− +
⇔ − + + = ∧ − + ≠
− ± +⇔ ∧ − ≠ ∧ + ≠
− ⇔ = − ∨ = ∧ ≠ ∧ ≠ − ⇔ = − = −
2 1 4 12 6 31 0
3 4 4 32 15
0 2 15 012
152 15 2 15
215
,2
x x xx
xx
x x x
S
+ − − −− > ⇔ >
×− −
⇔ > ⇔ − − >
⇔ − > ⇔ < − ⇔ < −
= −∞ −
x - 8 -1 3 + 8
x+1 - 0 + 0 +
3-x + + + 0 -
- 0 + s.s. -1
3x
x+−
10
3Determinação dos zeros:
1 03
1 0 3 0 1 3
xx
xxx x x x
+<
−
+ =−
⇔ + = ∧ − ≠ ⇔ = − ∧ ≠
( )2 31 12 0
3 3 31 2 6 70 0
3 3Determinação dos zeros:
70 7 0 3 0
37 3
xx xx x x
x x xx x
xx x
xx x
−+ +> ⇔ − >
− − −+ − + − +⇔ > ⇔ >
− −
− += ⇔ − + = ∧ − ≠
−⇔ = ∧ ≠
x - 8 3 7 + 8
-x+7 + + + 0 -
x-3 - 0 + + +
- s.s. + 0 -73
xx
− +−
b)
1Então, 0 1 3
3Logo, , 1 3 ,
xx x
xS
+< ⇔ < − ∨ >
−= −∞ − ∪ + ∞
c)
7Então, 0 3 7
3Logo, 3,7
xx x
xS
− +> ⇔ > ∨ <
−=
Capítulo 2 1. Expressões algébricas racionais
7
i)
d)X - 8 1 + 8
x-1 - - - 0 +
2-3x + 0 - - -
- s.s. + 0 -1
2 3x
x−
−
x - 8 -1 0 1 + 8
-x2+1 - 0 + + + 0 -
x - - - 0 + + +
+ 0 - s.s. + 0 -2 1xx
− +
( )3 30530
30 5 30 305 90 3 8 900 0
30 308 90 0 30 0
90 30 11,258
A peça mais pequena tem de comprimento 11,25 cm.
xxxx x xx x x
x xx x
x x x
−= ⇔ − =
− − −− + −⇔ = ⇔ =
− −⇔ − = ∧ − ≠
⇔ = ∧ ≠ ⇔ =
30
2 3Uma vez que 3 0, tem-se que
3 30 2 3 0
2 3 2
3,
2
x
x xx
S
≥+
>
≥ ⇔ + > ⇔ > −+
= − + ∞
x - 8 0 3 + 8
-x+3 + + + 0 -
x - 0 + + +
- s.s. + 0 -3xx
− +
2 3 2 3 33
3 0
Determinação dos zeros:3
0 3 0 0
3 0
x x xx x x
xx
xx x
xx x
+ +≤ ⇔ ≤
− +⇔ ≤
− += ⇔ − + = ∧ ≠
⇔ = ∧ ≠
3Então, 0 0 3
Logo, ,0 3 ,
xx x
xS
− +≤ ⇔ < ∨ ≥
= −∞ ∪ + ∞
e)
f)
g)
2
2
2
50
2 3
Uma vez que , 5 0, tem-se que
5 0 2 3 0 3 22 3
23 2
32
,3
xx
x x
x x xx
x x
S
+<
−
∀ + >
+ < ⇔ − < ⇔ − < −−
⇔ > ⇔ >
= + ∞
( ) ( )
( )( )
2
2
2
22
2
250
25Uma vez que , 25 0, tem-se que
250 25 0 5 5 0
25Determinação dos zeros:
5 5 0 5 5
xx
x x
xx x x
x
x x x x
−≥
+∀ + >
−≥ ⇔ − ≥ ⇔ − + ≥
+
− + = ⇔ = ∨ = −
x - 8 -5 5 + 8
x-5 - - - 0 +
x+5 - 0 + + +
(x-5)(x+5) + 0 - 0 +
( ) ( )Então, 5 5 0 5 5
Logo, , 5 5 ,
x x x x
S
− + ≥ ⇔ ≤ − ∨ ≥
= −∞ − ∪ + ∞
10
2 3Determinação dos zeros:
1 0 1 0 2 3 02 3
21
3
xx
x x xx
x x
−≥
−
− = ⇔ − = ∧ − ≠ ⇔−
⇔ = ∧ ≠
h)
23
1 2Então, 0 12 3 3
2Logo, ,1
3
x x xx
S
− ≥ ⇔ > ∨ ≤−
=
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2
2
2
03 4
Uma vez que , 0, tem-se que
0 3 4 03 4
Determinação dos zeros:
0 3 4 0 0 3 4
xx x
x x
xx x
x x
x x x x x x
≥− +
∀ ≥
≥ ⇔ − + >− +
= ∧ − + ≠ ⇔ = ∧ = ∧ = −
x - 8 -4 3 + 8
x-3 - - - 0 +
4+x - 0 + + +
(x-3)(4+x) + 0 - 0 +
( ) ( ){ }
Então, 3 4 0 4 3
Logo, , 4 0 3 ,
x x x x
S
− + > ⇔ < − ∨ >
= −∞ − ∪ ∪ + ∞
( )
2 2
22
2
1 1 10
Determinação dos zeros:
10 1 0 0
1 0 1 1 0
x xx
x x x x
xx x
xx x x x x
− +> ⇔ > ⇔ >
− += ⇔ − + = ∧ ≠ ⇔
⇔ = ∧ ≠ ⇔ = − ∨ = ∧ ≠
2 1Então, 0 1 0 1
Logo, , 1 0 , 1
xx x
xS
− +> ⇔ < − ∨ < <
= −∞ − ∪
j)
14.2 a)
( )330530
30 5 30 305 90 3 8 90
0 030 30
xxxx x xx x x
x x
−< ⇔ − <
− − −− + −
⇔ < ⇔ <− −
b)
Capítulo 2 1. Expressões algébricas racionais
8
X - 8 30 + 8
8x-90 - 0 + + +
30-x + + + 0 -
- 0 + s.s. -8 9030x
x−−
8 90 45Então, 0 30
30 445
Logo, , 30 ,4
xx x
x
S
−< ⇔ < ∨ >
− = −∞ ∪ + ∞
1.
454
( ) ( )( ){ }
2
2
4 30
34 3 0 3 0
1 3 0 3 0
1 3 3
1Resposta: (C)
1 1 14 5Nota: Por lapso, nenhuma das alternativas de respostaestá correcta.
x xxx x x
x x x
x x x
S
t
+ += ⇔
+⇔ + + = ∧ + ≠ ⇔
⇔ + + = ∧ + ≠ ⇔
⇔ = − ∨ = − ∧ ≠ − ⇔
= −
+ =
5.
Determinação dos zeros:8 90 0 30 0
45 304
x x
x x
− = ∧ − ≠ ⇔
⇔ = ∧ ≠
______________________________________________
Pág. 56
2.
{ }
{ }
2
2
2
06 5
: 6 5 0
Tem-se que:
6 5 0
6 36 202
5 1Logo,
\ 1 , 5
Resposta: (D)
xx x
D x x x
x x
x
x x
D
=− +
= ∈ − + ≠
− + =
± −⇔ =
⇔ = ∨ =
=
¡
¡
3.
{ }{ }
3
2
2
3
3(A) 3 3
3 33 0
3 3 3Esta hipótese está excluída.
8(B) 0
4: 4 0
\ 2 , 2
Determinação dos zeros do numerador:
8 0 2Uma vez que 2 , esta hipótese está excluída.
2(D) 0
xx xx x
xx x x
xx
D x x
D
x x
D
xx
=− −
+⇔ = − ⇔ ⇔ − ≠
− − −
−=
−= ∈ − ≠
= −
− = ⇔ =∉
−>
¡¡
( ) ( )2 0 0 2 0 0
Esta hipótese está excluída.
x x x x⇔ − > ∧ > ∨ − < ∧ <
4.
2
33
2
(C) Uma vez que , 1 0, então,
10 1 0
1Esta hipótese é verdadeira.Resposta: (C)
x x
xx
x
∀ + >
−= ⇔ − =
+
Nota: Por lapso, existem três respostas correctas,quando apenas deveria existir uma.
3(A) 0
4Uma vez que 3 0, então,
30 4 0
4Esta hipótese é verdadeira.
5(B) 0
8Uma vez que -5<0, então,
5 08
x
xx
x
xx
>−
>
> ⇔ − >−
−≥
−
− ≥ ⇔−
2
2
2
3
4
4
33
4
8 0
Esta hipótese é falsa.
1(C) 01
Uma vez que , 1 0, então,
10 1 0
1Esta hipótese é verdadeira.
(D) 01
Uma vez que , 1 0, então,
0 0 01
Esta hipótese é verdadeira.
xx
x x
xx
x
xx
x x
xx x
x
− <
+ >−
∀ + >
+> ⇔ − >
−
>+
∀ + >
> ⇔ > ⇔ >+
6.
{ }
{ }
2
2
2
3
: 0
Logo,
\ 0Resposta: (B)
xx
D x x
D
+
= ∈ ≠
=
¡
¡
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2 2
2
2
2
2
1(A) 2 1 02
Esta hipótese está excluída.
(C) 4 1 0
4 0 1 0 4 0 1 0
Esta hipótese está excluída.
(D) 1 0
0 1 0Esta hipótese está excluída.
(B) 4 1 0
Uma vez que , 4 0,
x x
x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
+ = ⇔ = −
− + > ⇔
⇔ − > ∧ + > ∨ − < ∧ + <
⋅ − ≥ ⇔
⇔ ≥ ∧ − ≥
+ − =
∀ + >
( ) ( )2
então,
4 1 0 1 0
Esta hipótese é verdadeira.Resposta: (B)
x x x+ − = ⇔ − =
7.
Capítulo 2 1. Expressões algébricas racionais
9
8.1
{ }{ }
{ }
{ }
( )
{ }
2
2
2
3: 3 0
: 3
\ 3
19
: 9 0
Determinação dos zeros do denominador:
9 0 9 00 9
Logo,
\ 0 , 9
xxD x x
D x x
D
x x
D x x x
x x x x
x x
D
−= ∈ − ≠
= ∈ ≠
=
−
= ∈ − ≠
− = ⇔ ⋅ − =⇔ = ∨ =
=
¡¡
¡
¡
¡
11.1Pág. 57
10.1
11.3
8.2
9.
{ }
( )
{ }
{ }
{ }
2
2
2
2
( )
( )
( ) ( )
25( )5
: 5 0
Determinação dos zeros do denominador:
5 0 5 00 5
Logo,
\ 5 , 0
5( )
: 0Logo,
\ 0
Então, uma vez que , as expressões ( ) e ( )
não
A x
B x
A x B x
xA xx x
D x x x
x x x x
x x
D
xB x
xD x x
D
D D A x B x
−=+
= ∈ + ≠
+ = ⇔ ⋅ + =⇔ = ∨ = −
= −
−=
= ∈ ≠
=
≠
¡
¡
¡
¡
são equivalentes.
( )( )
( )( ) ( ) ( )
{ }
{ }
22
4 4
2
22 2 2
4
4 4
4 4
4 24 832 8 8 4
4 2 1 14 28 2 2 2 2
:32 8 0
Determinação dos zeros do denominador:
32 8 0 4
4 4 2 2Logo,
\ 2 , 2
xxx x
x
xx x x
D x x
x x
x x x x
D
⋅ −−= =
− ⋅ −
− ⋅ − − −= = =
+⋅ − + ⋅ +
= ∈ − ≠
− = ⇔ =
⇔ = − ∨ = ⇔ = − ∨ =
= −
¡
¡
( ) ( )( ) ( )
{ }
{ }
2
2
2
2 2
5 643 22 2
32
: 4 0
Determinação dos zeros do denominador:
4 0 42 2
Logo,
\ 2 , 2
x xxx xx x
xx
D x x
x x
x x
D
− +=
−− −
= =− +
−=
+
= ∈ − ≠
− = ⇔ =⇔ = − ∨ =
= −
¡
¡
10.22
Cálculo auxiliar:
x 5 6 0
5 25 242
3 2
x
x
x x
− + = ⇔
± −⇔ = ⇔
⇔ = ∨ =
{ }{ }
2 2 2
2
4 3 10 7 102 3 52 2 2
: 2 0
\ 0
x x xx x x x x
D x x
D
+ − −+ − = =
= ∈ ≠
=
¡¡
11.2 ( ) ( )( ) ( ) ( )
{ }
{ }
2
2
2
1 5 1 5 51 1 1 1
: 1 0
Tem-se que:
1 0 1 1
\ 1 , 1
x x
x x x x
D x x
x x x
D
+ × + ×= =
− − + −
= ∈ − ≠
− = ⇔ = − ∨ =
= −
¡
¡
( )( ) ( )
( ) ( )
{ }
( )( )( )
2
2
2
2
2
2
4 3 1:
2 10 2
4 3 22 10 1
3 1 25
2 2 12
32 5
: 2 10 0 1 0 2 0
Tem-se que:5
zeros de 2 10 são e 2;2
zero de 1 é 1;
zero de 2 é 2.
\ 2 , 1 ,
x x xx x x
x x xx x x
x x x
x x x
xx
D x x x x x
x x
x
x
D
− + −=
− − +
− + += × =
− − −
− − += =
− + − −=−
= ∈ − − ≠ ∧ − ≠ ∧ + ≠
− − −
−
+ −
= −
¡
iii
¡ 52
{ }
( )
( )
( )
{ }
2
2 2
2
50
1Uma vez que 5 0, então,
, equação impossível.
1 1 54 44 5 2 1
0 04 4
2 1 0 4 01 4 021
0 42
Logo,
1 e \ 4 , 0
2
x
S
x x x x
x x xx x x x
x x x
x x x
x x x
S D
=−
≠
=
+ =+ ++ + − −
⇔ = ⇔ =+ +
⇔ − = ∧ + ≠
⇔ = ∧ ⋅ + ≠
⇔ = ∧ ≠ ∧ ≠ −
= = −
¡
12.1
12.2
( )( )
30
2 1Uma vez que 3 0, então,
3 10 2 1 02 1 2
1,
2
4 3 11 10
3 1 4 4 3 1
3 30
12 4
x
x xx
S
x
x x
xx
≤+
>
≤ ⇔ + < ⇔ < −+
= −∞ −
− +≥ ⇔ ≥
+ ⋅ +
−⇔ ≥
+
13.1
13.2
Capítulo 2 1. Expressões algébricas racionais
10
X - 8 1 + 8
3-3x + + + 0 -
12x+4 - 0 + + +
- s.s. + 0 -3 312 4
xx−
+
3 3 1Então, 0 1
12 4 31
Logo, ,13
:Por lapso, a solução apresentada no manual não está correcta.
xx
x
S
Nota
−≥ ⇔ − < ≤
+
= −
14.
13
−
Determinação dos zeros:3 3 0 1
112 4 03
x x
x x
− = ⇔ =
+ = ⇔ = −
ii
( ) ( )( ) ( )
( )
2
240 2 2 2 1,5
240 4 3
240 3 4 123 228 4
228 43
Por sua vez, ( )Substituindo , vem:
228 4( )
3228 4( ) c.q.d
3
y x
y x
y x y x
y x x
xy
x
A x x y
y
xA x x
xx xA x xx
= − × − ×
⇔ = − −
⇔ = ⋅ − − +⇔ − = +
+⇔ =
−
= ⋅
+= ⋅ ⇔
−+⇔ = ⋅
−
2
2 2
2 2
Área do círculo de diâmetro AB:
40 4002
Área do círculo de diâmetro AC:
1600 80402 4
Área do círculo de diâmetro BC:
2 4
Então, a área da zona relvada ( ) obtém-se dosegu
x xx
x x
A
π π
π π
π π
=
− +− =
=
( )
2 2
2
2
2
inte modo:
1600 80400
4 42
400 400 204
202
40 c.q.d.2
x x xA
xA x
xA x
A x x
π π π
π π π π
π π
π
− += − −
⇔ = − + ⋅ −
⇔ = ⋅ −
⇔ = − +
15.
Capítulo 2 2. Expressões algébricas irracionais
1
1.1 a)
______________________________________________
1.3
2.1 a)
2.4 a)
Pág. 60
_______________________________________________
3.1 a)
b)
c)
Pág. 62
c)
d)
Pág. 59
{ }
2 9 9 93 3
3 , 3
x x x
x x
S
= ⇔ = ∨ = −⇔ = ∨ = −
= −
b)
{ }
2 100 100 100 10 10
10,10
x x x x x
S
= ⇔ = ∨ = − ⇔ = ∨ = −
= −
{ }
4 4 410000 10000 10000
10 10
10,10
x x x
x x
S
= ⇔ = ∨ =
⇔ = ∨ = −
= −
c)
d)
e)
f)
{ }
6 6
6
6
16 16
16 não é um número real.
Uma vez que , 0, a equação é impossível.
x x
x
x x
S
= − ⇔ = −
= −
∀ ∈ ≥=
¡
{ }
3 327 27 3
3
x x x
S
= ⇔ = ⇔ =
=
{ }
7 71 1 1
1
x x x
S
= − ⇔ = − ⇔ = −
= −
g)
{ }
5 532 32 2
2
x x x
S
= − ⇔ = − ⇔ = −
= −
h){ }
8 0 0
0
x x
S
= ⇔ =
=
i) 3 31 1 164 64 414
x x x
S
= − ⇔ = − ⇔ = −
= −
1.2 4,8(1 c.d.)
( )
2 2 2
2
19,635 19,63519,635
2 19,63519,6352 2
4 19,635 15,7
O perimetro do círculo, com aproximação às décimas do
centímetro, é 15,7 cm.
A r r r r
P r P P
P P
π ππ π
ππ π
π π
π
= ⇔ = ⇔ = ⇔ =
×= ⇔ = ⇔ =
⇔ = × ⇔ =
b)
2233 325 5 5= =
225 5a a=
2.2 a)
b)
c)
123 3=
1555 5=
5599a a=
2.3 a) ( )
( )
( )
1 1 112 2 22
1 1 1133 3 3 3 33
3
11 11 3
3 63 62
1.º membro 5 6 5 6 5 6 30 30 2.º membro
1.º membro 2 0 : 2 10 20 : 2 20 :2 10
10 2.º membro
1.º membro 5 5 5 5 5
2.º mem
= × = × = × = ==
= = = = = =
= =
= = = = =
= bro
b)
c)
2.5 a)
b)
b)
d)
c)
e)
f)
( )
( ) ( )
3 3 3 32 2 2 33 3 3
3 3 3 3 3 3
2 3 23 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2
1 2 : 6 2 12 :6 2 2 2 2 2
3 2 2 2 2 5 2 2 4 2
5 3 5 2 5 4 5 2 5 2 5
2 3 4 2 3 4 4 3 4 2 4
2 3 2 3 4 2 3 2 3 3 3 4 3 1
× × = × × = × =
× = × = × = =
+ − = − =
+ − = − =
− = − = − = −
− + = + − − × = − =
3
5 4
2 3 3,0 (1 c. d.)
5 2 3 4,0 (1 c. d.)
+ =
+ =
2
3 3 3 33
2 8 18 2 4 2 9 2
2 2 2 3 2 6 2
20 125 4 5 25 5
2 5 5 5 7 5
24 54 150 4 6 9 6 25 6
2 6 3 6 5 6 0
75 12 48 108 25 3 12 16 3 36 3
5 3 48 3 6 3 47 3
4 3 44 147 3 2 192 4 49 3 2 64 33 3
28 3 2 3 16 3 14 3
216 81 8 2 27 3
27
+ + = + × + ×
= + + =
+ = × + ×
= + =
+ − = × + × − ×
= + − =
+ − = × + × − ×
= + − =
×+ − = × + − ×
= + − =
− − − + = − × − − × +
( )
33
3 3 33 3
23
1 52 2 3 3 2 2 3 3
3 3= − − − + = − +
d)
e)
f)
3.2 a)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
1 2 2 222 2 2 2
3 2 5 3 5 3 53102 5 2 5 2 5 2 5
2 32 2 3 633 3 3 3
1 2 1 2 12 1
2 1 2 2 2 12 1 2 1
1 2 1 2 12 1
2 1 2 2 2 12 1 2 1
3 2 313 2 3 3 2 3 3 2 3
3 2 3 3 2 3 2 315 5 1518 3 2 3 3 2 3 3
= = =×
×= = =
×
×= = =
+ += = = +
− + − −− +
− −= = = −
+ − + −+ −
+=− − +
+ += = = +
+ − −
e)
b)
f)
Capítulo 2 2. Expressões algébricas irracionais
2
3.3 a)
______________________________________________
6.
Pág. 64
_______________________________________________
7.1
7.2
Pág. 65
( )
2 5 102 : 5
55 5
3 2 6 63 : 2 2
2 2 42 2 2
×= =
×
×⇔= = =
××b)
( )
( ){ }( )
2
2
2
1
: 1 0
, 1 0
x
D x x
x x
D
+
= ∈ + ≥
∀ + ≥=
¡
¡
______________________________________________
Pág. 634.1
{ }{ }
1
: 1 0
: 1
1 ,
x
D x x
D x x
D
+
= ∈ + ≥
= ∈ ≥ −
= − + ∞
¡¡
{ }
( ) ( )
24
2
2 2
1
: 1 0
1 0 1 0
1 1 0 1 1
x
D x x
x x
x x x x
− +
= ∈ − + ≥
− + = ⇔ − =
⇔ − + = ⇔ = ∨ = −
¡
{ }{ }
{ }
33
3
1
: 0
: 0
\ 0
x
D x x
D x x
D
= ∈ >
= ∈ >
=
¡¡
¡
412
1: 0
2
xx
xD x
x
−+
− = ∈ ≥ +
¡
( ) ( )2 2
2
2
1 13 1 13
1 169 26
27 170 0
27 729 6802
17 10VerificaçãoSe 17, vem:
17 1 13 17 16 4 , o que é falso.
x x x x
x x x
x x
x
x x
x
− = − ⇒ − = −
⇔ − = − +
⇔ − + =
± −⇔ =
⇔ = ∨ =
=
− = − ⇔ = −
x - 8 -1 1 + 8
1 - x + + + 0 -
1 + x - 0 + + +
(1-x) (1+x) - 0 + 0 -
x - 8 -2 1 + 8
x – 1 - - - 0 +
x + 2 - 0 + + +
+ s.s. - 0 +12
xx
−+
4.2
4.3
1,1D = −
( ) ( )
( )
{ }
2 2
2
2
1 1
1 1 1 1
1 1 2
3 0 3 00 3
VerificaçãoSe 0, vem:
0+ 0 1 1 1 1 , o que é verdadeiro.Se 10, vem:
3+ 3 1 1 3 4 1 , o que é falso.Logo,
0
x x
x x x x
x x x
x x x x
x x
x
x
S
+ + =
⇔ + = − ⇒ + = −
⇔ + = − +
⇔ − = ⇔ ⋅ − =⇔ = ∨ =
=
+ = ⇔ ==
+ = ⇔ + =
=
4.4
4.5
, 2 1,D = −∞ − ∪ + ∞
5.
{ }
Se 10, vem:
10 1 13 10 9 3 , o que é verdadeiro.Logo,
10
x
S
=
− = − ⇔ =
=
( )
( ) ( )
( )
12
21 122 2
1122
3 4 2Começa-se por resolver a equação:
3 4 2 3 4 2
3 4 4 0VerificaçãoPara 0, vem:
3 0 4 2 4 2 , o que é verdadeiro.
x
x x
x x
x
+ ≥
+ = ⇒ + = ⇔ + = ⇔ =
=
× + = ⇔ =
0 ,S = + ∞
( )
( ) ( )
( )
12
21 122 2
2 2
1122
15 2 0Começa-se por resolver a equação:
15 2 0 15 2
15 2 2 15 0
2 4 60 2 642 2
3 5VerificaçãoSe 3, vem:
15 2 3 3 0 9 3 0 , o que é verdadeiro.Se 5,
x x
x x x x
x x x x
x x
x x
x
x
− − >
− − = ⇒ − = ⇔ − = ⇔ + − =
− ± + − ±⇔ = ⇔ =
⇔ = ∨ = −
=
− × − = ⇔ − == −
( ) ( )1122
vem:
15 2 5 5 0 25 5 0 , o que é falso.− × − − − = ⇔ + =
x - 8 3 + 8
+ 0 - 0 s.s.
152
( )1215 2 x x− −
x - 8 0 + 8
s.s. 0 - 0 +
43
−
( )123 4 2x + −
, 3S = −∞
Pág. 66
_______________________________________________
8.1
( )22
2 1 1 0 2 1 1
2 1 1
2 1 1 1
x x
x
x x
− − = ⇔ − =
⇒ − =
⇔ − = ⇔ =
Capítulo 2 2. Expressões algébricas irracionais
3
8.2
8.7
_______________________________________________
8.8
8.9
{ }
VerificaçãoPara 1, vem:
2 1 1 1 0 , o que é verdadeiro.
1
x
S
=
× − − =
=
8.3
8.4
8.5
8.6 Pág. 679.1
( ) ( )
{ }
2 23 5 2 3 5 2
13 5 4
3Verificação
1Para , vem:
31
3 5 2 4 2 , o que é falso.3
x x
x x
x
S
+ = − ⇒ + = −
⇔ + = ⇔ = −
= −
⋅ − + = − ⇔ = −
=
( )
( ){ }
333 3
33
1 2 3 1 2 3
1 2 27 13VerificaçãoPara 13, vem:
1 2 13 3 27 3 , o que é verdadeiro.
-13
x x
x x
x
S
− = ⇒ − =
⇔ − = ⇔ = −
= −
− ⋅ − = ⇔ =
=
( )
( ) ( ){ }
22
2 2
12 0 12
12
12 12 0
1 1 48 1 492 2
3 4VerificaçãoSe 3, vem:
12 3 3 0 9 3 0 , o que é verdadeiro.Se 4, vem:
12 4 4 0 16 4 0 , o que é falso.
3
x x x x
x x
x x x x
x x
x x
x
x
S
− − = ⇔ − =
⇒ − =
⇔ − = ⇔ + − =
− ± + − ±⇔ = ⇔ =
⇔ = ∨ = −
=
− − = ⇔ − == −
− − − − = ⇔ + =
=
( ) ( )
{ }
2 2
2 2
3 1 3 3 1 3
3 1 9 6 9 8 0
9 81 32 9 492 2
8 1VerificaçãoSe 8, vem:
3 8 1 3 8 25 5 , o que é falso.Se 1, vem:
3 1 1 3 1 4 2 , o que é verdadeiro.
1
x x x x
x x x x x
x x
x x
x
x
S
+ = − ⇒ + = −
⇔ + = − + ⇔ − + =
± − ±⇔ = ⇔ =
⇔ = ∨ =
=
× + = − ⇔ = −=
× + = − ⇔ =
=
( ) ( )
( ) ( )
2 2
22
2 2
3 2 0
3 2
3 2
3 2 3 2
3 2
9 6 4 10 9 0
10 100 362
x x
x x
x x
x x x x
x x
x x x x x
x
− − =
⇔ − =
⇒ − =
⇔ − = ⇔ − =
⇒ − =
⇔ − + = ⇔ − + =
± −⇔ =
{ }
10 649 1
2VerificaçãoSe 9, vem:
3 2 9 9 0 3 9 0 , o que é falso.
Se 1, vem:
3 2 1 1 0 1 1 0 , o que é verdadeiro.
1
x x x
x
x
S
±⇔ = ⇔ = ∨ =
=
− − = ⇔ − − =
=
− − = ⇔ − =
=
( ) ( )
( ){ }
2 2
3 1 1 0 3 1 1
3 1 1
3 1 1 2 2 1VerificaçãoPara 1, vem:
3 1 1 1 1 2 2 , impossível.
x x x x
x x
x x x x
x
S
+ − − = ⇔ + = −
⇒ + = −
⇔ + = − ⇔ = − ⇔ = −
= −
× − + = − − ⇔ − = −
=
( ) ( )
{ }
2 21 12 2
22
1 12 2
1 4 4 04
4 16 162
2VerificaçãoPara 2, vem:
2 2 1 , o que é verdadeiro.
22
x xx x
xx x x
x x
x
S
= − ⇒ = −
⇔ = − ⇔ − + =
± −⇔ = ⇔ =
=
= −
=
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
1 12 2
2 21 12 2
12
12
2122
2
2
1 12 2
2 3 1 1
2 3 1 1
2 3 1 2 1 1
1 2 1
1 2 1
2 1 4 1
2 3 0
2 4 12 2 162 2
3 1VerificaçãoSe 3, vem:
2 3 3 1 3 1 , o que é v
x x
x x
x x x
x x
x x
x x x
x x
x x
x x
x
+ = + +
⇒ + = + +
⇔ + = + ⋅ + + +
⇔ + = ⋅ +
⇒ + = ⋅ + ⇔ + + = ⋅ +
⇔ − − =
± + ±⇔ = ⇔ =
⇔ = ∨ = −
=
× + = + +
( ) ( ){ }
1 12 2
erdadeiro.Se 1, vem:
2. 1 3 1 1 1 , o que é verdadeiro.
1 , 3
x
S
= −
− + = + − + = −
3
2
3
3 3
Seja o raio de uma esfera.4
Volume das três esferas: 33
Volume da caixa área da base altura
6
6
Volume da caixa não ocupado: 6 4 2
r
r
r r
r
r r
π
π
π
π π π
×
= ×
= ×
=
− = 3
3 3Metade do volume das três esferas: 4 : 2 2Assim, o volume da caixa que não é ocupado pelas esferasé igual a metade do volume das três esferas.
r
r rπ π=
Capítulo 2 2. Expressões algébricas irracionais
4
Pág. 69
______________________________________________
7.
8.2
1. Pág. 68
3
3
6 1205,76
1205,764
6
O raio da esfera é, aproximadamente, 4 cm.
r
r r
π
π
=
⇔ = ⇔ ≈
3.
2.
4.
5.
6.
______________________________________________
8.1
( )
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
Perímetro da base ( ) : 2Geratriz ( ):
14 14
Então, vem: 22
142
14 c.q.
P r
g
g r h g r g rP
A g
rr
r r
π
π
π
= + ⇔ = + ⇔ = +
= ×
= × +
= + d.
9.2
( )( )
2 2
2 2 2 2
222 2
22 2 2
24 2
2
2
Partindo da expressão, 14 vem:282,7
282,7 14 14
282,714
282,714
282,7196 0
Fazendo , a equação transforma-se em:
282,7196
A r r
r r r r
r r
r r
r r
r t
t t
π
ππ
π
π
π
π
= +
= + ⇔ + =
⇒ + =
⇔ + =
⇔ + − = =
⇔ + −
2
22
2
0
282,7196 196 4
235,04704829 231,0470483
Excluindo 231,0470483 , tem-se que:
35,04704829 35,047048295,9 (1 c. d.)
O raio do cone mede, aproximadamente, 5,9 cm.
t
t t
t
r r
r
π
=
− ± + × ⇔ =
⇔ ≈ ∨ ≈ −≈ −
≈ ⇔ ≈⇔ ≈
9.
2 22 2 2
2 2 2 2
2 2
Por um lado, sabe-se que:
20 602
6 (1)
Por outro lado, sabe-se que:
5 252 4
4 100 100 4
100 4 2 25 (2)
Substituindo em
Áreadabase Comprimento Volumex y
x y
y yx x
x y y x
y x y x
y
× =⋅
× =
⇔ ⋅ =
+ = ⇔ + =
⇔ + = ⇔ = −
⇔ = − ⇔ = −
( ) ( )( ) ( )
2 2
22 2 2 2
4 2
2
2
2 2
(1), vem:
2 25 6 25 3
25 3 25 9
25 9 0
Fazendo , a equação transforma-se em:
25 9 0
25 625 362
24,6346611 0,3653389005Então,
24,6346611 0,3653389005
x x x x
x x x x
x x
x t
t t
t
t t
x x
x
⋅ − = ⇔ ⋅ − =
⇒ ⋅ − = ⇔ ⋅ − = ⇔ − + =
=
⇔ − + =
± −⇔ =
⇔ ≈ ∨ ≈
≈ ∨ ≈
⇔ 24,6346611 0,36533890054,963331653 0,604432701
Substituindo na equação (1), vem:Para 4,963331653 4,963331653 6 1,209Para 0,604432701 0,604432701
x
x x
xy y
x
y
≈ ∨ ≈⇔ ≈ ∨ ≈
≈⋅ = ⇔ ≈
≈⋅ = 6 9,927
:
0,604dm 4,963dm ou
9,927dm 1,209dm
y
Solução
x xy y
⇔ ≈
= = = =
Capítulo 2 2. Expressões algébricas irracionais
5
11.1
11.2
10.
( )( )
2 2 2 2 2
2 2
2
22 2 2
Por um lado, sabe-se que:
20
202
40 (1)
Por outro lado, sabe-se que:
10 100
100 100 (2)
Substituindo em (1), vem:
100 40
100 40 10
Áreadocanto
x y
x y
x y y x
y x y x
y
x x
x x x
=⋅
=
⇔ ⋅ =
+ = ⇔ = −
⇔ = − ⇔ = −
⋅ − =
⇒ ⋅ − = ⇔ ⋅ ( )2
4 2
2
2
2 2
0 1600
100 1600 0
Fazendo , a equação transforma-se em:
100 1600 0
100 10000 64002
80 20Então,
80 20
80 208,94427191 4,472135955
Substituindo na equação (1), vem:Para
x
x x
x t
t t
t
t t
x x
x x
x x
− =
⇔ − + =
=
⇔ − + =
± −⇔ =
⇔ = ∨ =
= ∨ =
⇔ = ∨ =⇔ ≈ ∨ ≈
8,94427191 8,94427191 40 4,472135955Para 4,472135955 4,472135955 40 8,94427191
Uma vez que a figura sugere que , tem-se como so-
lução 80 8,94m e
x
y y
x
y y
x y
x
≈⋅ = ⇔ ≈
≈⋅ = ⇔ ≈
>
= = 20 4,47m.y = =
22 2
2
Para 20, vem:
202 0,897597901
980Aproximadamente 0,9 segundos (1 c. d.).
Para 1,2 segundos, vem:
1,21,2 2
980 2 980
1,2 1,22 980 2 980
1,2980 35,74611359
2
Ap
e
T T
T
e e
e e
e e
π
ππ
π π
π
=
= ⇔ =
=
= ⇔ =
⇒ = ⇔ =
⇔ = ⇔ =
roximadamente 35,75 cm (2 c. d.).
22 2
2
Partindo da expressão dada, vamos obter uma do tipo
( ).
2980 2 980
2 980 2 980
9802
Então, para ` 3 , vem:
e f T
e T eT
T e T e
Te
T T
ππ
π π
π
=
= ⇔ =
⇒ = ⇔ =
⇔ =
=
11.3
2 23
` 980 ` 980 92 2
1` 9 `9
1O comprimento do pêndulo de menor período é do
9comprimento do pêndulo de maior período.
T Te e
e e e e
π π
= ⇔ = ×
⇔ = ⇔ =
Capítulo 2 3. Sistemas de equações
1
1.1
1.2 a)
2.1
______________________________________________
2.2
3.1
Pág. 71
3.3
3.2
Pág. 73Pág. 70
( )
( )
( )
2 5 8 2 5 83 3
4 8 0 4 8
2 2 5 8 4 3 2 5 83 2 3 2
2 2
2 2 1 13 2 3 1 2 1
2 2 2
A solução do sistema é: 2 , 1 , 1
x y z x y z
y z x y z xx x
y z z z
y z y z
x x
z z zy z y y
x x x
+ − = + − =
= + ⇔ = + − = =
× + − = + + − = ⇔ = + ⇔ = + = =
− = = − = − ⇔ = + ⇔ = × − + ⇔ = − = = =
− −
número de pessoas; número de barcos
8 5 8 57 11 7 11
8 5 8 6 5 538 5 7 11 6 6
Foram transportadas nos barcos 53 pessoas.
x y
y x y x
y x y x
y x y y
x x x x
= =
− = = + ⇔ − = = +
= + = × + = ⇔ ⇔ ⇔ + = + = =
b)
5 2 45 2 3
4 4 1 44 3 1 16
Solução: 4 e 16.
x y x y x y
y x y x
x y x x
y y y y
x y
+ = + − = − ⇔ + = + − = −
= = × = ⇔ ⇔ ⇔ − = − = =
= =
( )
2 3 2 35 3 4 5
2 3 2 34 2 3 5 8 12 5
2 3 2 4 3 53 12 4 4
Solução: 5 e 4 .
x y x y
x y x x y
x y x y
y y y y
x y x x
y y y
x y
= − = − ⇔ = − =
= − = − ⇔ ⇔ × − = − =
= − = × − = ⇔ ⇔ ⇔ = = =
= =
( )
Sejam:número de cestos sem defeito;número de cestos comem defeito.
1601603 160 5 4003 5 400
160 160480 3 5 400 8 80
160 10 15010 10
Foram produzido
x
y
x yx yy yx y
x y x y
y y y
x x
y y
==
= −+ = ⇔ × − − =− =
= − = − ⇔ ⇔ − − = − = −
= − = ⇔ ⇔ = =
s 10 cestos com defeito.
( )
Sejam:número de pombos;número de pombas.
100 20 10020 20
2 80 40 4020 40 20 60
Nasceram 60 pombas.
x
y
x y x x
x y x y
x x x
x y y y
==
+ = + + =⇔ + = + =
= = = ⇔ ⇔ ⇔ + = = + =
( )( )
( )
3 10 10 32 10 3 2
3 4 11 3 10 3 4 11
10 3 10 32 8 8 2
30 9 4 11 30 9 4 8 2 11
10 3 10 3 3 18 2 8 2 3 2
17 51 3 3
A so
x z x zx y z z y z
x y z y
x z x zy z y z
z y z z
x z x x
y z y yz z z
+ = = − − + = ⇔ − − + = + = × − + =
= − = − ⇔ − + = − ⇔ = − − + = − + × − =
= − = − × =
⇔ = − ⇔ = − × ⇔ = − = − = =
( )lução do sistema é: 1 , 2 , 3
( )( )
4 3 10 10 4 32 4 5 10 2 4 5 10 4 3 10
5 9 0 5 10 4 3 9 0
10 4 3 10 4 32 4 50 20 15 10 18 11 40
3 8 9 10 3 8 19
10 4 318 11 403
x y z z x yx y z x y x y
x y z x y x y
z x y z x y
x y x y x y
x y x y
z x yx y
x
− + = = − + − + = ⇔ − + × − + = + + + = + + − + + =
= − + = − + ⇔ − + − + = ⇔ − + = − − + = − − − + = −
= − +⇔ − + = −
− +
10 4 318 40
118 19 18 40
3 8 1911
10 4 3 10 4 318 40 18 40
11 11144 33 144320 209 3203 19
11 11 11 11
10 4 318 40
11111 111
z x yx
y
y xx
z x y z x yx x
y y
x x xx
z x y
xy
x
= − +
− ⇔ =
= − − − + × = −
= − + = − +
− − ⇔ = ⇔ =
− + − + − + − = − =
= − + −
⇔ =
=
( )
( )
10 4 1 318 1 40
111
10 4 1 3 2 02 21 1
A solução do sistema é: 1 , 2 , 0
z y
y
x
z zy y
x x
= − × + × −
⇔ =
=
= − × + × − = ⇔ = − ⇔ = − = =
−
Capítulo 2 3. Sistemas de equações
2
4.1
4.2
Pág. 754 3 2 62 5 10
2 7
4 3 2 6 4 3 2 62 2 5 10 4 2 10 204 2 7 4 8 4 28
1.ª eq. 4 3 2 6 1.ª eq.2.ª eq. 4 2 10 20
___________________ 8 14
x y z
x y z
x y z
x y z x y z
x y z x y z
x y z x y z
x y z
x y z
y z
− + = − + = + − = −
− + = − + =
− × − + = ⇔ − + − = − − × + − = − − − + =
− + =− + − = −
− − = −
4 3 2 63.ª eq. 4 8 4 28
_________________ 11 6 34
4 3 2 6(1) 8 14
11 6 34
11 8 14 11 88 15411 6 34 11 6 34
________
x y z
x y z
y z
x y z
y z
y z
y z y z
y z y z
− + =− − + =
− + =
− + = − − = − − + =
− × − − = − + = ⇔ − + = − + =
________ 94 188 2
4 3 2 6(2) 8 14
2
2.ª eq. 8 148 3.ª eq. 8 16
__
z
z
x y z
y z
z
y z
z
==
− + = − − = − =
− − = −× =
_____________ 2
2
4 3 2 6(3) 2
2
4 3 2 6 4 3 2 6 13 2 3 6 22 2 2 4 2
yy
x y z
y
z
x y z x y z x
y y yz z z
− == −
− + = = − =
− + = − + = = −
× = − ⇔ = − ⇔ = − − × = − = − =
( )
_________________ 4 4 1
A solução do sistema é: 1 , 2 , 2
x
x
= −= −
− −
5 6 4 32 3 5 103 2 2 1
x y z
x y z
x y z
+ + = − + = + − = −
278
5 6 4 35 6 4 3
27 17(1) 22 27 17 442 2
8 22 148 22 143 3 3
27 17 4427 17 44594 3788 22 14 278 8
__________
x y zx y z
y z y z
y zy z
y zy z
y z y z
+ + =
+ + = − = − ⇔ − = − + = + =
− = −− = − ⇔ − × + = − − = − ________
730 730
8 8 1
5 6 4 3(2) 27 17 44
1
2.ª eq. 27 17(17)3.ª eq.
z
z
x y zy z
z
y z
− = −
=
+ + = − = − =
− = −×
44 17 17_______________ 27 27
1
5 6 4 3(3) 1
1
5 6 4 3 5 6 4 36 1 64 1
z
y
y
x y zy
z
x y z x y z
yz
=
= −= −
+ + = = − =
+ + = + + =
− × = − ⇔ −− × =
1 6 1
4 4 1
_________________ 5 5
x
y yz z
x
=
= ⇔ = − − = − =
=
( ) 1
A solução do sistema é: 1 , 1 , 1
x =
−
8 4 3 14 8 4 3 142 4 2 2 8 4 2 48 3 5 11 8 24 40 88
1.ª eq. 8 4 3 14 1.ª eq.2.ª eq. 8 4 2 4 3.ª
___________________ 5 10 2
x y z x y zx y z x y z
x y z x y z
x y zx y z
z
z
+ + = + + = − × + − = ⇔ − − + = − − × − + = − + − = −
+ + =− − + = −
==
8 4 3 14eq. 8 24 40 88
_____________________ 28 37 74
x y zx y z
y z
+ + =− + − = −
− = −
4.3
8 4 3 14(1) 2
28 37 74
37 2 37 7428 37 74 28 37 74
________________ 28 0
x y zz
y z
z z
y z y z
y
+ + = = − = −
× = = ⇔ − = − − = −
= 0y =
1.ª eq. 5 6 4 31.ª eq. 5 6 4 310 10 515 25
3.ª eq. 52.ª eq. 5 253 3 32 2
______________________ _______________27 17
222 2
x y zx y z
x y zx y z
y z
+ + =+ + =
− − + =− + − = −
− = −
_____8 22 14
3 3 3
y z+ =
52
53
5 6 4 35 6 4 3
15 252 3 5 10 5 25
2 23 2 2 1 10 10 55
3 3 3
x y zx y z
x y z x y zx y z
x y z
+ + =
+ + = − × − + = ⇔ − + − = −
− × + − = − − − + =
8 4 3 144 2 2
3 5 11
x y z
x y z
x y z
+ + = + − = − + =
Capítulo 2 3. Sistemas de equações
3
5.1 Pág. 77
5.3
8 4 3 14(2) 2
0
8 4 3 14 8 4 3 14 13 2 3 6 04 0 4 0 2
x y zz
y
x y z x y z x
z z y
y y z
+ + = = =
+ + = + + = = − × = ⇔ − = − ⇔ = − × = − = =
( )
_________________ 8 8 1
A solução do sistema é: 1 , 0 , 2 .
x
x
==
______________________________________________
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 41
1
2 1 01 1 1 0 1 0
1 1 1 2 1 01 1 1 1 1 1
0 1 1
2 1 1 1 1 0 0 4 1 3
4 1 01 1 1 0 1 0
1 1 1 4 1 11 1 1 1 1 1
1 1 1
4 1 1 1 1 0 1 1 0 8 1 1 6
2 4 01 1 4 0 4 0
1 1 1 2 1 01 1 1 1 1 1
0 1 1
2
X
Y
x y
x y zy z
D
D
D
+ =
+ + = − =
= = × − × + ×− −
−
= × − − − × − − + == − + = −
= = × − × + ×− −
−
= × − − − × − − + × − == − + + = −
= = × − × + ×− −
−
= × −( ) ( )
( ) ( )
( )
1 1 1 4 0 0 4 4 0
2 1 41 1 1 4 1 4
1 1 1 2 1 01 1 1 1 1 1
0 1 1
2 1 1 1 1 4 0 0 3 3
Donde:6 0 3
2 ; 0 ; 13 3 3
A solução do sistema é: 2 , 0 , 1
ZD
x y z
− − × − − + == − + =
= = × − × + ×
= × − − × − + == + =
−= = = = = = −
− − −
−
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
5 3 02 3 3 0 3 0
5 2 3 5 5 50 1 0 1 2 3
5 0 1
5 2 0 5 3 0 5 9 0 10 15 45 70
4 5 05 3 5 0 5 0
0 5 3 4 0 35 1 5 1 5 3
3 5 1
4 5 15 0 3 15 0 80 45 35
4 3 52 5 3 5 3 5
0 2 5 4 0 30 5 0 5 2 5
3 0 5
4 10 0 0 3 15 10
X
Y
Z
D
D
D
−− − −
= − = × − × + ×−
= × − − × − − + × − == + + =
−= − = × − × + ×
−
= × + − + × − − == − =
−− −
= = × − × + ×
= × − − + × − − =
( )
40 75 35
Donde:70 35 35
2 ; 1 ; 135 35 35
A solução do sistema é: 2 , 1 , 1
x y z
= − = −
−= = = = = = −
−
( ) ( )
( ) ( )
3 4 3 43 305 2 5 24 7 3 4 7 3
3 16 3 16
2 3 4 5 3 6 5 234 7 3 4 7 3
3 16 3 16
6 5 07 0 5 0 5 0
4 7 0 6 4 03 1 3 1 7 0
0 3 1
6 7 0 4 5 0 0 42 20 22
X
x xy y
x y x yz y z y
x y x y
x y x y
z y z y
D
D
− −+ + − = =
− = − ⇔ − = − + = + =
− = + − = ⇔ − = − ⇔ − = − + = + =
−− − −
= − = × − × + ×−
= × − − − × − − + == − + = −
= ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
23 5 07 0 5 0 5 0
3 7 0 23 3 163 1 3 1 7 0
16 3 1
23 7 0 3 5 0 16 0 0 161 15 176
6 23 03 0 23 0 23 0
4 3 0 6 4 016 1 16 1 3 0
0 16 1
6 3 0 4 23 0 0 18 92 110
YD
−− − −
− − = × − − × + ×−
= × − − + × − − + × − == − − = −
−= − = × − × + ×
−
= × − − − × − + == − − = −
( ) ( )
4 3 52 3 5
3 5
4 3 02 3 3 0 3 0
0 2 3 4 0 30 1 0 1 2 3
3 0 1
4 2 0 0 3 9 0 8 27 35
x y
y zz x
D
− =
− = + =
−− − −
= − = × − × + ×−
= × − − + × − == + =
5.2
( ) ( )
6 5 237 3 5 23 5 23
4 7 3 6 4 03 16 3 16 7 3
0 3 16
6 112 9 4 80 69 0 618 596 22
ZD
−− − − −
= − − = × − × + ×− −
= × − + − × − − + == − + = −
Capítulo 2 3. Sistemas de equações
4
1.
_______________________________________________
7.1 Pág. 79( )
( )
22 2 2
2 22 2
224 13 4 2 13
2 24 16 16 134 4 4 13
y xx yx y x x
y x y xx x xx x x
= −− = ⇔ + = + − =
= − = −⇔ ⇔ + − + =+ − + =
( )
( )
3 32 3 5 6 2 3 5
43 111
A solução do sistema é: 4 , 1 .
Resposta: (A)
Nota: Por lapso, a solução no manual está incorrecta.
x y x yx y y y
xx
yy
+ = = − ⇔ + = − + =
== − − ⇔ ⇔ = −= −
−
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
2 63
1 2 212 11 12 3
2 3 3
6 6 5 73 1 2 2 3 3 3 2 4 6
5 7 5 14 635 7 2 92 9 2 92 9
9 63 7 72 9 2 7 9 5
x yx y x y x y
x yyyy x
x y x y x yy x y y x y
x y x xx xx y y xy x
x x x
y x y y
+ = − + = − ⇔ − − −−+− − = = −
+ = − − = − ⇔ ⇔ − = − − − = − −
= = − = − ⇔ ⇔ ⇔ − + = − = −= −
− = − = = ⇔ ⇔ ⇔ = − = × − =
( )A solução do sistema é: 7 , 5 .
Resposta: (A)
2.
( )Uma vez que o sistema é o mesmo do Exercício 3,
já sabemos que a solução é: 1 , 3 , 2 .
Logo, o sistema é possível e determinado.
Resposta: (A)
−
( )
( )
02 2 0 2 2 0
3 0 3 0
00
3 0 0
A solução do sistema é: 0 , 0 , 0 .
Resposta: (C)
x z x z
x y z yy z y z
x y x
y z yz z z
+ = = −
+ = ⇔ − + = + = + =
= − =
⇔ = ⇔ = + = =
4.
( )
( )
3 2 4 5 3 2 2 4 3 4 54 3 2 2 4 3
6 7 17 4 6 7 2 4 3 17 4
3 4 8 6 4 5 11 2 92 4 3 2 4 3
6 14 28 21 17 4 22 4 10
9 211
2 4 3
9 22211
x y z x x z z
x y z y x z
x y z x x z z
x x z z x z
y x z y x z
x x z z x z
zx
y x z
z
− + = − − + + = + − = ⇔ = − + ⇔ + − = + − + − =
− + − + = − = ⇔ = − + ⇔ = − + + − + − = − + = −
+=
⇔ = − +
+ −
9 211
2 4 318 4 4 10
4 10
9 211
2 4 3
0 8
O sistema é impossível.
Resposta: (A)
zx
y x z
z zz
zx
y x z
z
+ = ⇔ = − + − − + = − + = −
+ =⇔ = − + =
( )
Donde:176 110 22
8 ; 5 ; 122 22 22
A solução do sistema é: 8 , 5 , 1 .
x y z− − −
= = = = = =− − −
3.
( )
2 3 5 2 3 512 12 28 8
84 88 8 2
2 3 3 5 2 13 3
2 2
x y z x y z
y z y
z z z
x x
y y
z z
= − − = − − ⇔ = − ⇔ = − ×
− = − =
= − − − × = ⇔ = − ⇔ = − = =
( )( )
3 5 2 2 3 52 2 2 4 2 2 3 5 2 2 43 2 4 5 3 2 3 5 2 4 5
2 3 5 2 3 54 6 10 2 2 4 8 126 9 15 2 4 5 7 11 1
2 3 5128
127 11 1
8
x y z x y zx y z y z y z
x y z y z y z
x y z x y zy z y z y z
y z y z y z
x y z
y z
z z
+ + = = − − − − = ⇔ − − − − = + + = − − + + =
= − − = − − ⇔ − − − − = ⇔ − = − − + + = − = −
= − −⇔ = −
− − = −
2 3 5128
84 11 18
x y z
y z
z z
= − −⇔ = −
− − = −
5.
6.
______________________________________________
Pág. 78
( )A solução do sistema é: 1 , 3 , 2 .
Resposta: (A)
−
( )
2
25 16 3 0
2
15 3 0
5
y xx x
y x
x x
= −⇔ − + =
= −
⇔ − − =
2
Cálculo auxiliar:
5 16 3 0
16 256 6010
13
5
x x
x
x x
− + =
± −= ⇔
⇔ = ∨ =
Capítulo 2 3. Sistemas de equações
5
11.
( )
12 3 51 1 935 5
1 9As soluções do sistema são: 3 , 1 e , .5 5
y x xxyx x y
= − = = ⇔ ⇔ ∨ == ∨ = = −
−
7.2
10.
8.
( )
( )
( )
22 2 2
2 2
2
2 33 2
2 23 2 2 3 23
2 3
2 4 12 9 23
2 3
7 12 19 0
2 3
197 1 0
7
192 3 1 719 5 4317 7
As soluções do sistema
y xx y
x y x x
y x
x x x
y x
x x
y x
x x
y x xxyx x y
= −+ = ⇔ − = − − − = −
= −⇔ − − + = −
= −⇔ − + + =
= −⇔ − + − =
= − = = − ⇔ ⇔ ∨ == − ∨ = = −
( ) 19 43 são: 1 , 5 e , .
7 7 − −
2
Cálculo auxiliar:
7 12 19 0
12 144 53214
191
7
x x
x
x x
− + + =
− ± += ⇔
−
⇔ = − ∨ =
( )
( )
( ) ( )
22 2 2 2
22 2
2
171713 17 169
17 172 34 120 0289 34 169
1717 60 0
175 12 0
17 5 125 12 12 5
Os catetos medem 5 cm e 12
y xx y
x y x x
y x y x
x xx x x
y x
x x
y xx x
y x x xx x y y
= −+ = ⇔ + = + − =
= − = −⇔ ⇔ − + =+ − + =
= −⇔ − + =
= −⇔ − − =
= − = = ⇔ ⇔ ∨ = ∨ = = =
cm.
2
Cálculo auxiliar:
17 60 0
17 289 2402
5 12
x x
x
x x
− + =
± −= ⇔
⇔ = ∨ =
3 5 4 12 3 5 4 123 7 3 2 7
2 2
13 5 1 4 2 12 3
1 12 2
x y z x y z
y z y
z z
xx
y yz z
− + = − + = + = ⇔ + × = = =
= −− × + × =⇔ = ⇔ =
= =
9.
2 3 224 2 5
2 12
2 3 22 2 3 222 4 2 5 2 8 4 101 2 12 2 12
x y z
x y z
x y z
x y z x y z
x y z x y zx y z x y z
+ − = − + = − − + =
+ − = + − =
− × − + = − ⇔ − + − = − × − + = − + − = −
114
1.ª eq. 2 3 22 1.ª eq. 2 3 222.ª eq. 2 8 4 10 3.ª eq. 2 12
___________________ _________________ 11 5 32 4 2 10
2 3 22(1) 11 5 32
4 2 10
11 5 324 2 10
x y z x y zx y z x y z
y z y z
x y z
y z
y z
y z
y z
+ − = + − =− + − = − + − = −
− = − =
+ − = − = − =
− =− − =
11 5 3222 110114 4
________________2 18
4 4
y z
y z
z
− =⇔ − + = −
=
9
2 3 22(2) 11 5 32
9
2.ª eq. 11 5 32(5 )3.ª eq. 5 45
_______________ 11 77
7
2 3 22(3) 7
9
2 3 223
z
x y z
y z
z
y z
z
yy
x y z
y
z
x y z
y
=
+ − = − = =
− =× =
==
+ − = = =
+ − =− × =
2 3 22 521 3 21 7
9 9 9
_________________ 2
x y z x
y yz z z
+ − = =
− ⇔ − = − ⇔ = = = =
( )
10 5
A solução do sistema é: 5 , 7 , 9
x
x
==
( ) ( ) ( )
6 8 44 3 4 6
10 5 8 2
6 1 83 4 1 8 1 8
4 3 4 6 4 105 8 5 8 3 4
10 5 8
6 24 20 4 8 40 10 4 24 24 192 280 496
x y z
x y zx y z
D
− + =
+ + = − − = −
−− −
= = × − × + ×− − − −
− −
= × − + − × + + × − − == − − − = −1
A solução do sistema é: , 1 , 2 .3
− 4 1 8
3 4 1 8 1 86 3 4 4 6 2
5 8 5 8 3 42 5 8
XD
−− −
= = × − × − ×− − − −
− − −
Capítulo 2 3. Sistemas de equações
6
12.1
12.2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
4 24 20 6 8 40 2 4 24 16 288 56 248
6 4 86 4 4 8 4 8
4 6 4 6 4 102 8 2 8 6 4
10 2 8
6 48 8 4 32 16 10 16 48 240 64 320 496
6 1 43 6 1 4 1 4
4 3 6 6 4 105 2 5 2 3 6
10 5 2
6 6 30 4 2 20 10
Y
Z
D
D
= × − + − × + − × − − == − − + = −
= = × − × + ×− − − −
− −
= × − + − × − + + × − == − + − = −
−− −
= = × − × + ×− − − −
− −
= × − + − × + + × −( )6 12 144 88 180 124
Donde:248 1 496 124 1
; 1 ;496 2 496 496 4
1 1A solução do sistema é: , 1 ,
2 4
x y z
− == − − = −
− − −= = = = = =
− − −
( )( )( )
( ) ( )
3 5 22 9 15 43 6 10 6
2 3 5 5 3 2 2 22 2 9 5 15 3 4 4 43 2 6 5 10 3 6 6 6
O par ordenado , , igual a 2 , 5 , 3
é solução do sistema.
x y zx y z
x y z
x y z
+ + = + + = + + =
+ − + × = = × + − + × = ⇔ = × + − + × = =
−
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
3 5 22 9 15 43 6 10 6
2 3 5 5 3 2 2 15 15 22 2 9 5 1 5 3 4 4 45 45 43 2 6 5 10 3 6 6 30 30 6
2 24 46 6
O sistema admite como solução todos os termos ordenados
do tipo
x y z
x y z
x y z
a a a a
a a a a
a a a a
+ + = + + = + + =
+ − + = − + = × + − + = ⇔ − + = × + − + = − + =
=⇔ = =
( )2 , 5 , 3 .a a−
