Cap. 2 Hart, Eletrônica de Potência Cálculos de...

Cálculos de potência

Cap. 2 – Hart, Eletrônica de Potência

• Material auxiliar – Revisão de circuitos RL

Me Salva! RLC10 - Indutores: Introdução

https://www.youtube.com/watch?v=yaICEXBwTgg

Me Salva! RLC11 - Circuito RL - Condições iniciais e finais

https://www.youtube.com/watch?v=Y01d3EEHgWY

Me Salva! RLC12 - Circuito RL - Resposta Forçada

https://www.youtube.com/watch?v=Z7OBnDWUWgI

Me Salva! RLC13 - Circuito RL - Resposta Natural

https://www.youtube.com/watch?v=e08kNcUI0Kk

Me Salva! RLC14 - Circuito RL - Constante de Tempo

https://www.youtube.com/watch?v=KxGBDYAjEBA

Me Salva! RLC15 - Circuito RL - Fórmula Geral

https://www.youtube.com/watch?v=UsBMZg9sXfg

https://www.youtube.com/watch?v=yaICEXBwTgg

https://www.youtube.com/watch?v=Y01d3EEHgWY

https://www.youtube.com/watch?v=Z7OBnDWUWgI

https://www.youtube.com/watch?v=e08kNcUI0Kk

https://www.youtube.com/watch?v=KxGBDYAjEBA

https://www.youtube.com/watch?v=UsBMZg9sXfg

Absorvendo

potência

p(t)>0

Convenção passiva de sinal

Fornecendo

potência

p(t)<0


Potência instantânea – watts (W)

Energia – joules (J)


Potência média = Potência Real = Potência ativa

Potência média calculada a partir da energia em um periodo:

Potência média total absorvida = Potência média total fornecida

Carga Fonte


Calcule:

a) Potência instantânea absorvidab) Energia absorvida em um periodoc) Potência média absovida

Dicas:

Potência instantânea (W)

Potência Média (W)

Energia (J)

Potência Média (W)


Calcule:

a) Potência instantânea absorvida


Calcule:

b) Energia absorvida em um periodo


Calcule:

c) Potência média absovida

Solução 1:

Solução 2:


Cálculo de Potência absorvida ou fornecida por uma fonte DC

Aplicações comuns:- Circuito de carregamento de bateria- Fontes

Fonte de tensão DC (Vdc) com corrente periodica i(t)

Corrente média

Tensão DC x Corrente média

Tensão constante Vdc Corrente variável no tempo i(t)

p(t) = v(t)i(t)

2.3 Indutores e capacitores

ExemploUm indutor recebe a correnteperiódica apresentada em (b).

Tensão instantânea no indutor

Tensão média no indutorVm = 0 V

Potência instantânea

Potência média = 0

𝑣1 = 𝐿𝑑𝑖

𝑑𝑡

𝑣1 = 0.0054

0.001

𝑣1 = 20𝑉

𝑣1 =

𝑣2 =𝑣2 = 0.005−4

0.001𝑣2 = −20𝑉


• Se a corrente através de um indutor for periódica:• A energia armazenada no final do período será igual a do início do período.• A tensão média através do indutor será sempre zero.

Corrente periódica Energia armazenada no indutor

• A ausência de transferência líquida de energia indica:

• Potência média absorvida pelo indutor é zero para operação periódica em estado permanente

• Potência instantânea pode ser diferente de zero.

A energia é absorvida em metade do periodo e devolvidana outra metade do período

Tensão através do indutor


• Se a tensão através de um capacitor for periódica:• A energia armazenada no final do período será igual a do início do período.• Potência média absorvida pelo capacitor é zero.

• Corrente média no capacitor será zero:

2.4 Recuperação de energia

- Acionamento de carga indutiva com transitor- Circuito de proteção do transistor

Exemplo:- Bobina de um relé

AKI

2.3 Recuperação de energia

Carregamento do inductorTransistor ligado: 0 < t < t1

Corrente no indutor

Corrente na fonte

Analisando o ciclo de funcionamento do circuito:

Transistor desligado: t1 < t < T Descarregamento do indutor

• Corrente no source do transistor = 0• Corrente no indutor e no diodo Exponencial decrescente

Condição inicial:

Corrente no indutor:

Pré-requisitos- Circuitos I e II- Equações

diferenciais

Cálculo da Potência DC fornecida pela fonte do circuito

Cálculo da Potência DC absorvida pelos demais componentes

- Potência média absorvida pelo indutor- Potência média absorvida pelo diodo- Potência do resistor = Potência fornecida pela fonte

Corrente média

= 0= 0

Corrente na fonte

Corrente no indutor

Cálculo da corrente média

Energia de pico armazenada pelo indutor

Energia absorvida pelo resistor

Condição inicial

Recuperação de energia

Circuito que energiza o indutor e depois envia sua energia de volta para a fonte


Os dois transistores ligam em t = 0e desligam em t = t1

Tensão no indutor VL

Corrente no indutor = corrente na fonte

Transistores LIGADOS0<t<t1

Corrente no indutor

Corrente na fonte


Tensão no indutor VL

Corrente no indutor

Transistores DESLIGADOSt1< t < T

Corrente na fonte

Corrente no indutor

Corrente na fonte


Mais eficiente Menos eficiente

- Teoricamente sem perdas

- Indutores, transistores e diodosreais apresentam resistênciasparasitas que provocam perdas.

2.5 Valores efetivos ou RMS (Root Mean Square)

T

2eff rms

0

1V V v (t)dt

T

Valor RMS = Raiz quadrada do valor médio da função ao quadrado.“Área entre a curva e o eixo”

- Tensões e correntes de sistemas de potência AC são normalmente dadas em RMS.

- Especificações de equipamentos (motores, transformadores, fontes, etc) tambémsão dados em RMS.Exemplo: Aparelhos de 220V (RMS) 311 V pico

mV 0 t DTv(t)

0 DT t T

Exemplos:

Valor eficaz de uma onda quadrada

(PWM – Modulação por largura de pulso)

Calcule:

mV 0 t DTv(t)

0 DT t T

T DT T

2 2 2 2rms m m m

0 0 DT

1 1 1V v t dt V dt 0 dt V DT V D

T T T

Exemplos:

Valor eficaz de uma onda quadrada

(PWM – Modulação por largura de pulso)

2

2 2 mrms m

0

V1V V sin ( t)d( t)

2 2

Exemplos: Onda Senoidal Completa

Note que o valor RMS na senoide não depende da frequência

Revisão de Cálculo:

Exemplos: Onda Senoidal Completa Retificada

2

2 2 mrms m

0

V1V V sin ( t)d( t)

2 2

- Resultado idêntico ao da senoide completa não retificada.- Valor RMS calcula a área entre a curva e o eixo independentemente de ser

positiva ou negativa

Exemplos: Meia Onda Senoidal Retificada

Zero para o resto

Multiplica-se o limite de integração por 2 e divide-se a função por 2

Atenção

2

2 2 mrms m

0

V1V V sin ( t)d( t)

2 2

- Período duas vezes menor- Ausência de intervalo com a onda em zero

- Período maior- Intervalo com a onda em zero

Valor eficaz da meia onda senoidal não é metade da senoidal completa

Corrente no neutro de um sistema trifásico não-linear

- Em um sistema linear as correntes de fase se anulam no neutro. - Em um sistema com distorção as correntes não se anulam. Dimensionar condutor

Valor RMS da corrente em cada fase:𝐼𝑟𝑚𝑠 = 20 𝐴

- A corrente no neutro é igual a soma das 3 curvas de correntes.

- Redução no período da corrente do neutro com relaçãoàs correntes de fase

𝐼𝑛,𝑟𝑚𝑠 = 3 . 20 = 34.6 A

corrente

Corrente no neutro de um sistema trifásico

- A corrente de neutro não é a corrente de fasemultiplicada por 3.

- Em um sistema trifásico onde as cargas sãoaltamente não-lineares, o condutor neutro precisa

suportar 3 vezes a corrente de uma fase.

Diferentemente de um sistema com cargas linearesonde a corrente de neutro é zero.

1 2v(t) v (t) v (t)

Valor RMS de somas de formas de ondas senoidais

Se as ondas v1 e v2 possuirem frequências diferentes, o produto v1.v2 é zero.

Duas ondas senoidais com frequências diferentes sãoortogonais entre si.

Cálculo do valor RMS de v(t):

Valor RMS de somas de formas de ondas senoidais

Se uma tensão for resultado da soma de varias ondas periódias, todas ortogonais,o valor RMS será:

De forma similar:

Potência Aparente (S) e Fator de Potência (pf)

rms rmsS V I

rms rms

P Ppf

S V I

Em circuitos AC (lineares e com fontes senoidais), a potência aparente éa magnitude da potência complexa.

Razão entre potência média e a potência aparente

*** Quando corrente e tensão são senoidais o fator de potência é calculado por:

𝑝𝑓 = cos 𝜃 =𝑃

𝑉𝑟𝑚𝑠 𝐼𝑟𝑚𝑠

Potência Aparente (S)

Fator de Potência (pf)

m

m

v(t) V cos( t )

i(t) I cos( t )

Circuitos Senoidais AC

m mrms rms

V IP cos V I cos

2

rms rmsQ V I sin

Potência ativa

Potência reativa

*P jQ ( )( ) rms rmsS V I

2 2rms rmsS P Q V I S

pf cos

Potência Complexa – combina potência ativa e reativa em circuitos AC

Conjugado:para as operações serem consistentescom a convenção de absorção de energiade capacitores e indutores.

Potência Aparente – magnitude da potência complexa em sistemas AC

Fator de potência

Circuitos Senoidais AC

(Forma vetorial)

m

m

v(t) V cos( t )

i(t) I cos( t )

0 n 0 n 0

n 1

f (t) a a cos(n t) b sin(n t)

Séries de Fourier

A série de Fourier de uma função periódica f(t) pode ser expressa na forma trigonométricacomo:

Onde:

Séries de Fourier

0 n 0 n

n 1

f (t) a C cos n t

Senos e cossenos da mesma frequência podem ser combinados em uma única forma senoidal, gerando uma expressão alternativa da Série de Fourier:

Onde:

O termo a0 representa a componente DC (valor médio da função).O coeficiente C1 representa a amplitude da componente fundamental.Os coeficientes C2, C3, C4, … representam as amplitudes dos demais harmônicos.

Séries de Fourier

2

2 2 nrms n,rms 0

n 1 n 1

CF F a

2

Valor RMS de uma série de Fourier

0 n 0 n

n 1

f (t) a C cos n t

2

2 2 mrms m

0

V1V V sin ( t)d( t)

2 2

Valor RMS de onda senoidal:

Cada termo alternado da série de Fourier é senoidal, logo:

Séries de Fourier

Se um dispositivo apresentar uma tensão e uma corrente descritos por series de Fourier:

Sua potência média será calculada por:

A média dos produtos do termos DC é: V0.I0

A média dos produtos do termos senoidais de mesma frequência é dada por:

A média dos produtos do termos senoidais de frequência diferente é zero

Representação geral para qualquerformato de onda periódica

Séries de Fourier

Será:

Ou

A potência média total é a soma das potências de todas as frequências da série de Fourier

Logo, a potência média de formas de onda periodicas não senoidais de tensão e corrente

Séries de Fourier

Ou

Exemplo:

𝑣 𝑡 = 5 + 3 cos(𝜔1𝑡 + 𝜃1) + 7 cos(𝜔2𝑡 + 𝜃2) + 2 cos(𝜔3𝑡 + 𝜃3) + 4 cos(𝜔4𝑡 + 𝜃4)…

𝑖 𝑡 = 2 + 8 cos(𝜔1𝑡 + 𝜙1) + 3 cos(𝜔2𝑡 + 𝜙2) + 5 cos(𝜔3𝑡 + 𝜙3) + 9 cos(𝜔4𝑡 + 𝜙4) + ⋯

Cálculo da potência media total:

𝑃 = 5.2 +3

2

8

2cos(𝜃1 − 𝜙1) +

7

2

3

2cos(𝜃2 − 𝜙2) +

2

2

5

2cos 𝜃3 − 𝜙3 +⋯

Cálculo de potência de fontes não-senoidais e uma carga linear

Princípio da superposição

Pode-se usar:

ou

*** Condição mais encontrada na prática

Fonte senoidal

Carga não-linear

(Representação por série de Fourier)

Cálculo de potência de fontes senoidais e carga não-linear

Cálculo da potência média absorvida pela carga:

Único termo que não é zero estána frequência da tensão aplicada

𝑉𝑑𝑐 = 0𝑉1 componente fundamental Fonte senoidal – hamônicos = 0


Ou

Exemplo:

𝑣 𝑡 = 311 cos(𝜔1𝑡 + 𝜃1)


Cálculo da potência media total:

𝑃 = 0.2 +311

2

8

2cos(𝜃1 − 𝜙1) + 0

3

2cos(𝜃2 − 𝜙2) + 0

5

2cos 𝜃3 − 𝜙3 +⋯


Fator de potência

Valor rms da corrente da carga não-linear (série de Fourier)

Fator de distorção (DF)

Fator de potência (pf) emcircuitos senoidais

**também conhecidocomo fator de potênciade deslocamento


Fator de distorção Redução do fator de potência devido a propriedadenão-linear da corrente.

representa


Exemplo:


𝐷𝐹 =

8

2

2

22 +8

2

2

+3

2

2

+5

2

2

+9

2

2

+⋯

Outra forma de expressar o Fator de Potência (pf):

Distorção Harmônica Total (THD)

- Outra forma de quantificar a propriedade não-senoidal de uma onda.- Razão entre o valor RMS de todos os termos de frequência não fundamental e o

termo fundamental


THD

Exemplo:


Cálculo do THD:

𝑇𝐻𝐷 =

22 +3

2

2

+5

2

2

+9

2

2

+⋯

8

2

2

O fator de Distorção Harmônica Total (THD) é muito aplicado em situações onde o termo DC é zero.Desta forma:


Exemplo:


Termo DC(igual a zero)

𝑇𝐻𝐷 =

3

2

2

+5

2

2

+9

2

2

+⋯

8

2

2

Termofundamental (1)

Termo 2 Termo 3 Termo 4

Outra forma de expressar o Fator de Distorção (DF):


Outros termos utilizados para correntes ou tensões não senoidais:

Fator de forma

Fator de crista

Exercícios

Solução:

Exercícios

𝑣 𝑡 = 20 +20

1cos(1𝜋𝑡) +

20

2cos(2𝜋𝑡) +

20

3cos(3𝜋𝑡) +

20

4cos(4𝜋𝑡) + ⋯

𝑖 𝑡 = 5 +5

12cos(1𝜋𝑡) +

5

22cos(2𝜋𝑡) +

5

32cos(3𝜋𝑡) +

5

42cos(4𝜋𝑡) + ⋯

𝑉0 𝑉1 𝑉2 𝑉3 𝑉4

𝐼0 𝐼1 𝐼2 𝐼3 𝐼4

Exercícios

𝑇𝐻𝐷 =𝐼𝑟𝑚𝑠2 − 𝐼1,𝑟𝑚𝑠

2

𝐼1,𝑟𝑚𝑠

𝑇𝐻𝐷 =𝐼1,𝑟𝑚𝑠2 + 𝐼9,𝑟𝑚𝑠

2 − 𝐼1,𝑟𝑚𝑠2

𝐼1,𝑟𝑚𝑠

=𝐼9,𝑟𝑚𝑠

𝐼1,𝑟𝑚𝑠

𝐼9,𝑟𝑚𝑠 = 𝑇𝐻𝐷. 𝐼1,𝑟𝑚𝑠

𝐼9,𝑟𝑚𝑠 = 𝑇𝐻𝐷.10 2

2= 𝑇𝐻𝐷. 10

Exercícios

Exercícios

𝑇𝐻𝐷 =

𝐼𝑟𝑚𝑠2 − 𝐼1,𝑟𝑚𝑠

2

𝐼1,𝑟𝑚𝑠

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