UNIVERSIDADE FEDFERAL DO SEMI ÁRIDOBACHARELADO EM CIÊNCIAS E TECNOLOGIA

VOLUME POR FATIAMENTO E MÉTODO DA ARRUELA

ANGICOS-2010

ALUNOS:

ANGLEDJA NAUTCHELLI

ANTONIA WEDNA

CAMILA INGRYD

DAMMYAO ERYSFRANNCYS

HIDELBRANDO MAGNO

PATRICIA KALINE

PAULA FRANSSINETTI

REGMA RAYANNE

VANESSA MARIA

INTRODUÇÃO

Volume por fatiamento.

◦ Predefinição;

◦ Volume cilíndrico;

◦ Definição de volume;

◦ Principio de Cavaliere.

• O método do anel ou da arruela

Predefinição

Fig.1 Uma seção transversal do solido S formada pela interseção entre S e um plano Px perpendicular ao eixo xpassado pelo o ponto x no intervalo [a,b].

•Para definir volumes de sólidos cujas seções transversais são regiões planas(formada pela interseção entre S e um plano).

Volume cilíndrico

Fig.2 Sempre definimos o volume de um sólido cilíndrico como sua area de base vezes sua altura.

•Volume = Área da base x Altura = A ∙ h

Fig.3 Uma típica fatia fina do sólido S.

•Essa equação serve de base para definirmos os volumes de muitos sólidos não cilíndricos usando o método do fatiamento.

Fig.4 A fatia fina do sólido mostrada na Fig .3 é aproximada pelo sólido cilíndrico com base R(xk) que tem area A(xk) e altura

Definição: Volume

O volume de um sólido compreendido entre os planos x = a e x = b e cuja área

da secção transversal por x é uma função integrável A(x), é a integral de aaté b de A:

Calculando o volume de um sólido

Esboce um sólido e uma seção transversal típica.

Encontre uma formula para A(x),

a área da seção transversal típica.

Encontre o limite de integração.

Integre A(x) usando o teorema

fundamental.

Exemplo1:

Fig.5 As seções transversais da pirâmide é quadrada, ou seja, a área A(x) = x².

•Uma pirâmide com 3m de altura tem uma base quadrada com 3m de lado. A seção transversal da pirâmide, perpendicular a altura x m abaixo do vértice, é um quadrado com x m lado. Determine o volume da pirâmide.

Principio de Cavaliere Sólidos com a mesma altura e com área

de seção transversais iguais em cada altura, tem o mesmo volume.

Fig.6 Esses sólidos tem o mesmo volume, o que pode ser ilustrado usando pilhas de moedas.

Exemplo2:•Uma cunha curva foi obtida por meio do corte de um cilindro de raio 3 por dois planos. Um deles é perpendicular ao eixo do cilindro. O segundo cruza o primeiro formando um ângulo de 45 no centro do

cilindro. Determine o volume da cunha.

Fig.7 A cunha foi fatiada perpendicularmente ao eixo x. As seções transversais são retângulos.

O método da arruela ou do anel Se a região que giramos para gerar um

sólido não atingir ou cruzar o eixo da revolução o sólido resultante terá um orifício no meio.

Fig.8

• As seções transversais perpendiculares ao eixo das revoluções serão arruelas.As dimensões de uma arruela típica são:

Raio externo: R(x)

Área da arruela é :

•Raio interno: r(x)

De acordo com a definição de volume, temos:

Fig.9 Fig.10

•As seções transversais do sólido de revolução gerado aqui sãoarruelas, não discos, portanto a integral tem uma fórmula ligeiramente diferente.

Exemplo3: A região limitada pela curva y = x² + 1 e pela

reta y = −x+3 gira em torno do eixo x para

gerar um sólido. Determine o volume do sólido.

Fig.11 A região cortada por um segmento de reta perpendicular ao eixo da evolução.

Fig.12 Quando a região gira em torno do eixo x, o segmento

de reta gera uma arruela.

Conclusão

Diante de algumas das aplicações de integrais definidas aqui vistas o Volume por fatiamento e o Método das arruelas são muito usadas em diversas áreas. Para determinar volume de peças com orifício em seu centro.