1 avaliao

UNISO

2010

Responsabilidade saber que cada um de meus atos vai me construindo, vai me definindo, vai me inventando. Ao escolher o que quero fazer vou me transformando pouco a pouco.

(Savater, 1998, p. 111).

Ementa

1. Estudo da variao das funes

2. Funes trigonomtricas, suas inversas e as derivadas destas funes.

3. Integrais indefinidas e mtodos de integrao.

4. Integral de Riemann.

5. Teorema Fundamental do Clculo e integral definida.

6. Aplicaes da Integral: Clculo de rea e de volume.

Objetivos

Criar habilidades matemticas para utilizao na vida profissional. Obter conceitos matemticos e raciocnio lgico para situaes do dia a dia. Aprender a usar noes de Clculo Diferencial como forte ferramenta de trabalho.

Ao final do componente curricular o aluno deve ser capaz de:

-construir e interpretar grficos de funes utilizando os conceitos de clculo desenvolvidos.

-calcular integrais utilizando as tcnicas desenvolvidas.

-aplicar os conceitos na resoluo de problemas.

-calcular rea de regies planas e volumes de slidos pelos mtodos desenvolvidos.

Sistema de avaliao

O conceito final ser definido a partir:

- da anlise do trabalho, participao e envolvimento do aluno, nas atividades de sala de aula;

- do desempenho na realizao de atividades extraclasse, tanto individuais como em grupos;

- do desempenho em trs (de quatro) provas escritas individuais.

Bibliografia

1. ANTON, Howard. Clculo: um novo horizonte. 6. ed. Porto Alegre, RS: Bookman, 2000. v.1

2. GUIDORIZZI, H. L.Um curso de clculo. Rio de Janeiro: LTC, 2001, v.1.

3. STEWART,James Clculo .So Paulo:Pioneira-Thomson Learning,2001 v.1. 4. VILA, G. S. S.. Clculo I: funes de uma varivel. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1981. 5. BOULOS, P.. Introduo ao clculo. So Paulo: Edgard Blcher, 1999. v.1

6. HALLETT H., et al. Clculo e Aplicaes. SoPaulo: Edgard Blucher, 1999. v. 1.

7. HOFFMANN, L. D.; BRADLEY, Gerald L. Clculo: um curso moderno e suas aplicaes. 7. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002.

8. LEITHOLD, L. O Clculo com geometria analtica. So Paulo : Harbra, 1994, v.1. So Paulo: Harbra. 1994, v.2. e-mail e/ou msn: roseli.paula@prof.uniso.brMaterial de apoio( www.uniso.br/eadApoio ao presencial Graduao

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... Sofia lembrou-se muito bem de situaes nas quais sua me ou o professor da escola tinha tentado lhe ensinar alguma coisa para a qual ela no estava receptiva. Todas as vezes que ela havia realmente aprendido alguma coisa, isto s tinha acontecido graas a uma ajuda que partira dela mesma.

(Gaarder, 1995, p. 74).

0. REVISO

Operaes bsicas que devem ser lembradas: frao, potenciao, radiciao.

Exerccios:1) Observe os exemplos e coloque na forma de potncia k.xn:

a)

i)

p)

b)

j)

q)

c)

k)

r)

d)

l)

s)

e)

m)

t)

f)

n)

u)

g)

o)

v)

2) Observe os exemplos e elimine os expoentes negativos e/ou fracionrios:

Exemplos:a)

b)

c)

d)

e)

Faa esses: f) g) h) 4x-7

i)

j) 7x-4/5

3) Observe os exemplos e resolva as operaes com fraes:

a)

d)

g)

b)

e)

h)

c)

f)

i)

4) Observe os exemplos e elimine os produtos e quocientes:

a) x4.x5 = x4+5= x9

b)

c)

d)

e)

f)

g)

j) x3.x7

m)

h)

k)

n)

i)

l)

o)

p)

DERIVAO

A derivao uma tcnica matemtica de grande poder e versatilidade. um dos conceitos centrais do Clculo, e tem diversas aplicaes: Traado de curvas, Otimizao de funes, Anlise de taxas de variao, Clculo de velocidade e acelerao.Para cada tipo de funo existe uma regra para encontrarmos a derivada. Precisamos conhecer cada funo para aplicar a regra correta. Devemos observar qual a varivel (geralmente x) e quais so constantes (n, c, k, a, e que representam nmeros fixos). Veja:

0.1 Regras de derivao

1) f(x) = k ( f (x) = 0 funo constante

2) f(x) = xn ( f (x) = n.xn-1 funo potncia

3) f(x) = k. g(x) ( f (x) = k.g(x)(k n fixo) produto por constante

4) f(x) = u(x) + v(x) ( f (x) = u(x) + v(x) derivada da soma

5) f(x) = u(x) v(x) ( f (x) = u(x) v(x) derivada da diferena

6) f(x) = u(x).v(x)( f (x) = u(x).v(x) + u(x).v(x) derivada do produto

7) f(x) =( f (x) = derivada do quociente

8) f(x)= un ( f (x) = u.n.un-1 regra da cadeia para potncia

9) f(x) = ln(u) ( f (x)= derivada do log base e

10) f(x) = loga(u) ( f (x) = derivada do log em outra base

11) f(x) = eu ( f (x) = u.eu derivada da exponencial base e

12) f(x) = au ( f (x) = u. au .ln(a) derivada da exponencial outra base

13) f(x) = sen (u)( f (x) = u.cos (u) derivada do seno

14) f(x) = cos (u) ( f (x) = - u.sen (u) derivada do cosseno

Exemplos:

Funo Derivada

1) f(x) = 9 f (x) = 0

2) f(x) = x5 f (x) = 5x4

3) f(x) = 3.x5f (x) = 3.5.x4 = 15x4

4) f(x) = 3x2 +2x+4 f (x) = 3.2x+2+0= 6x+2

5) f(x) = 7x-x3 f (x) = 7 3x2

6) f(x) = x. f(x)=1.+x.x =+ x =+= 3/2.

7) f(x) =

f (x) ==

8) f(x) =(x+2)8 f (x)= 8.(x+2)7.1= 8.(x+2)7.

9) f(x) = ln(3x-4) f (x) =

10) f(x) = log 2(5x+3) f (x) =

11) f(x) =

f (x) =3x2 .

12) f(x) = 24xf (x) = 4.24x.ln(2)

13) f(x) = sen (3x) f (x) = 3.cox(3x)

14) f(x) = cos (7x+2) f(x) = -7 .sen(7x+2)

Agora a sua vez! Lista de Exerccios: Calcule as derivadas das seguintes funes:

1. y = x3. log(x)

2. y = -0,6x

3. y = x.

4. y = 3-x6+x85. y = -x3

6. y =.x 1

7. y = 4x+5x2+6x3+7x48. y = 6x2+ 7-x

9. y =

10. y =

11. y =

12. y =

13. y =

14. y =

15. y =

16. y =

17. y=ex/x18. y = x2.(2x-1)4

19. y =

20. y =

21. y =

22. y = 7.ex + ln(x) ln 223. y = 6x 0,524. y = 0,2x+0,5x2-0,3

25. y = -3x+526. y = 27. y =

28. y = 10x + 5. ln(x) + 3x+429. y = 5. ex+ 6. ln(x) +3. 2x + 630. y = (ln(x))3

31. y =5.3x32. y = 12x + x3

33. y = x2.ex

34. y = (3x2+5)535. y = (2x-4)3

36. y = -x.ln(x)

37. y = (x3 3x2)438. y = (4 7x)7

39. y = (e5x+3)4

40. y =

41. y = 2.e3x-1

42. y = 5x 3x2 +4

43. y = e5-2x44. y = 5.e2-x

45. y = 2x . x2

46. y = ln (x2-5x+1)47. y = ln ( 3x-4) 48. y = x.(x+3)3

49. y = log (4-x2)50. y = log 2 ( x+x2) 51. y = 3x5.e4x+2

52. y = 23x + 5.(3-x2)6 + e5x+253. y = 102x-3

54. y = 3x2 e2-x.

1. ESTUDO DA VARIAO DAS FUNES

Atravs dos conceitos de derivabilidade e de continuidade de uma funo num intervalo contido em seu domnio, vamos descobrir que possvel estudar sua variao e, portanto, construir o seu grfico. Para tanto, precisamos estabelecer alguns conceitos e alguns resultados, como, por exemplo, determinar os intervalos de crescimento e decrescimento, a concavidade, o ponto de inflexo. Um resultado que muito importante e estabelece um dos resultados centrais do Clculo Diferencial, com conseqncias fundamentais para o estudo de uma funo, a partir de informaes sobre sua derivada num determinado intervalo o Teorema do Valor Mdio.

1.1.Teorema do valor mdio

Antes de enunciar o teorema do Valor mdio, vamos analisar alguns resultados. O teorema abaixo garante a existncia de pontos extremos (mximo e mnimo) de uma funo, sem a hiptese de que a funo seja derivvel.Teorema (Weierstrass): Seja f : [a, b] R contnua. Ento existem x1 e x2 em [a, b] tais que:

f(x1) f(x) f(x2), para todo x( [a, b].

FIGURA 1

Teorema (Rolle): Seja f : [a, b] R contnua, derivvel em (a, b) e tal que f(a) = f(b). Ento, existe pelo menos um c ((a, b) tal que f(c) = 0.

FIGURA 2

A importncia do prximo teorema deve-se ao fato dele estabelecer uma relao importante entre a funo e sua derivada.

Teorema do valor Mdio: Seja f uma funo contnua em [a,b] e derivvel em (a,b) ento existe c pertencente a (a,b) tal que

Em outras palavras, existe pelo menos um ponto no grfico de f, onde a reta tangente nesse ponto paralela reta secante que liga (a, f(a)) e (b, f(b)), ou seja, a reta tangente ao grfico de f traada pelo ponto (c,f(c)) paralela reta que passa por (a,f(a)) e (b,f(b)).

(b,f(b))

(c,f(c))

(a, f(a))

(c,f(c))

FIGURA 3

preciso observar que o TVM no garante a unicidade do ponto c. Na figura acima, existem dois desses pontos. N afigura abaixo apenas um: x0.

FIGURA 4

Corolrios

1. Seja f uma funo contnua em [a, b] e derivvel em (a, b). Se f(x) = 0 para todo x ( (a, b), ento f constante.

2. Sejam f e g funes contnuas em [a, b] e derivveis em (a, b). Se f(x) =g(x) para todo x ( (a, b) ento f(x) = g(x) + k, onde k uma constante.

Exemplos:

1. Suponhamos que um carro percorre uma distncia de 180 km em 2 horas. Denotando por s = s(t) a distncia percorrida pelo carro aps t horas, a velocidade mdia durante esse perodo de tempo :

vm = = 90km/h

Portanto, pelo Teorema do Valor Mdio, temos que o carro deve ter atingido a velocidade de 90 km/h pelo menos uma vez nesse perodo de tempo.

2. Encontre um nmero c que satisfaa a concluso do Teorema do Valor Mdio para a funo f(x) = x+2x-1 no intervalo [1,5].

=

Mas, f (x) = 2x+2. Portanto f (c) = 2c+2 = 8. Logo, 2c=6 e portanto c = 3.

3. Verifique que a funo f satisfaz as 3 hipteses do Teorema de Rolle no intervalo dado e encontre todos os valores de c que satisfazem a concluso do Teorema de Rolle.

a) f(x) = x-4x+1, [0,4].

H1) f contnua em [0,4], pois uma polinomial.

H2) f derivvel em todos os pontos interiores de [0,4], sua derivada f (x) =2x-4.

H3) f(0) = 0-4.0+1 =1 e f(4) = 4-4.4+1 = 1, portanto, f(0)=f(4).

Logo, existe c((0,4) tal que f (c) = 0. Mas, f(x) = 2x-4 e assim, f(c) = 2c-4=0 implica que c = 2.

b) f(x) =x-3x+2x+5, [0,2].

H1) f contnua em [0,2], pois uma polinomial.

H2) f derivvel em todos os pontos interiores de [0,2], sua derivada f (x) =3x-6x+2.

H3) f(0) = 0-3.0+2.0+5 = 5 e f(2) =2-3.2+2.2+ 5 = 5, portanto, f(0)=f(2).

Logo, existe c((0,2) tal que f (c) = 0. Mas, f(c) = 3.c-6.c+2 =0 implica que c = 3+ e c = 3 -. Como 3+((0,2), temos que a soluo c= 3-.

4) Seja f(x) = x2+5x, para 1 ( x ( 3, determine c e esboce os grficos de f e das retas s e T.

Soluo: Temos que a = 1 e b = 3, f(a) = f(1) = 12+5.1 = 6 e f(b) = f(3) = 32+5.3 =24. Tambm, temos que f (x) = 2x+5, logo f (c) = 2c+5.

Usando o TVM temos(=2c+5( 9 = 2c+5( c=2.

Exerccios

1.Verifique que a funo satisfaz as hipteses do Teorema do Valor Mdio no intervalo dado. Ento, encontre todos os nmeros c que satisfazem a concluso do Teorema.

a) f(x) = 3x+2x+5, [-1,1]

b) f(x) = x+x-1, [0,2]

2. Mostre que a funo f(x) = x/4+1 satisfaz as hipteses do Teorema do Valor Mdio no intervalo [0,2]e encontre todos os valores de c do intervalo (0,2), nos quais a reta tangente ao grfico de f paralela reta secante que liga os pontos (0, f(0)) e (2, f(2)).

3. Seja f(x) = 1- x2/3. Mostre que f(1) = f(-1), mas no existe nmero c((-1,1) tal que f (c)=0.Por que isso no contradiz o Teorema de Rolle?

1.2.Intervalos de crescimento e decrescimento

Seja f uma funo definida em um intervalo I.

f crescente em I separa todos pontos x1, x2 ( Itemos x1 < x2 ( f ( x1 ) < f ( x2 ).

f decrescente em I separa todos pontos x1, x2 ( Itemos x1 < x2 ( f ( x1 ) > f ( x2 ).

Se y = f(x) derivvel no intervalo J. Ento temos:

Se f (x) > 0 para todo x interior a J, f(x) ser crescente em J.

Se f (x) < 0 para todo x interior a J, f(x) ser decrescente em J.

Se f (p) = 0, ento p dito ponto crtico.

Exemplos:

1. f(x) = x2 -3x +2

f(x) = 2x-3 > 0 ( x > -3/2 ( f crescente em (-3/2, +().

f(x) = 2x-3 < 0 ( x < -3/2 ( f decrescente em (-(, -3/2).

2. f(x) = x3-2x2 + x + 2

f (x) = 3x2- 4x +1=0 ( x = 1 ou x = 1/3

1/3

1

Testando um ponto em cada intervalo:

x=0( f(0) =3.024.0+1=1>0

x= 0,5(f(0,5) =3.0,524.0,5+1=-0,25 0

Portanto, f crescente em (-(, 1/3), ou seja, x1; e f decrescente em (1/3,1), ou seja, 1/3 < x 0 em J, ento o grfico de y = f(x) ter concavidade para cima em J.

Se f (x) < 0 em J, ento o grfico de y = f(x) ter concavidade para baixo em J.

Concavidade para cima( f (x) > 0

Decrescente( f (x) < 0

Concavidade para baixo( f (x) < 0

Decrescente ( f (x) < 0

Concavidade para cima ( f (x) > 0

Crescente( f (x) >0

Concavidade para baixo ( f (x) < 0

Crescente ( f (x) >0

Os pontos, onde a concavidade se altera, so chamados de pontos de inflexo.

Em economia, o ponto de inflexo conhecido como ponto de retorno decrescente.

Por exemplo, o total de vendas de um fabricante de ar condicionado em funo da quantia aplicada com propaganda dado pelo grfico abaixo, onde vemos que o ponto de inflexo (50, 2700). Pelo grfico vemos que o total de vendas cresce vagarosamente a princpio, mas a medida que gasto mais com propaganda, o total de vendas cresce rapidamente. Atingindo o ponto onde qualquer gasto adicional com propaganda resulta em crescimento de vendas, mas a uma taxa menor. Esse o ponto de retorno decrescente.

Exemplos:

1) Estude as funes com relao concavidade e pontos de inflexo.

a). f(x) = x3 6x2 +4x -10

f (x) = 3x2-12x + 4

f (x) = 6x-12 > 0 ( x > 2( f tem concavidade para cima em (2,+().

f (x) = 6x 12 < 0 ( x < 2( f tem concavidade para baixo em (-(, 2).

Logo 2 o ponto de inflexo.

b). f(x) = x2 +3x

f (x) = 2x+3

f (x) = 2> 0 para todo x. Logo f tem concavidade para cima em todo seu domnio.

No h pontos de inflexo.

Exerccios:

1) Determine os intervalos onde a concavidade para cima e onde para baixo.

a) f(x) = 2x2+3x +5

b) f(x) = 2x3+3x2-12x+4

c) f(x) = 4x3+3x2-18x +5

d) f(x) = x4-8x2+2

e) f(x) = 4 x2f) f(x) = x3-9x2+6x-5

g) f(x) = x3/3-2x2+3x+5

h) f(x) = 1/x

i) f(x) = -x3 8x2 +32) O total de vendas S (em milhares de dlares) de um fabricante de bitorneiras se relaciona com a quantidade de dinheiro gasta com propaganda x, por S = -0,01x+1,5x+200. Encontro o ponto de retorno decrescente (ponto de inflexo).

3) Um ndice de preos ao consumidor IPC descrito por f(t) = -0,2t+3t+100, onde t =0 corresponde ao ano 1991. Encontre o ponto de inflexo e discuta seu significado.

1.4. Mximos e mnimos

Sejam y = f(x) uma funo e p um nmero real pertencente ao domnio da f. Dizemos que p um ponto de mximo local de f se existir um intervalo aberto J, com p em J, tal que para todo x em J e x no domnio da f ocorrer: f(x) ( f(p). Neste caso, f(p) o valor mximo local.Dizemos que p um ponto de mnimo local de f se existir um intervalo aberto J, com p em J, tal que para todo x em J e x no domnio da f ocorrer: f(x) ( f(p). Neste caso, f(p) o valor mnimo local.Se f(x) ( f(p) para todo x no domnio da f ento p um ponto de mximo global ou absoluto. Se f(x) ( f(p) para todo x no domnio da f ento p um ponto de mnimo global ou absoluto.

Os pontos de mximo ou de mnimo so ditos extremos da funo f.

Teorema: Seja f uma funo contnua e sejam a, b, c nmeros reais tais que a < b < c e tal que [a,c] ( Df. Ento, se:

f(a) f(c)( f tem ponto de mximo p entre a e c.

f(a)>f(b) e f(b) < f(c)( f tem ponto de mnimo p entre a e c.

Este teorema nos fornece um mtodo para determinar estimativas para mximo e mnimo.

Exemplos:

f(x) =2x3, -5 ( x ( 5

X-5-4-3-2-1012345

f(x)-138-263248342-36-68-82-66-8

Observe: no intervalo [-3,-1] devemos ter um ponto de mximo local, pois f(-3) < f(-2) e f(-2) > f(-1). No intervalo [2,4] devemos ter um ponto de mnimo, pois f(2)>f(3) e f(3) 0 , x(a, xo)ef(x) < 0, x(xo, b)(f tem um valor MXIMO RELATIVO em xo.

ii) f(x) < 0 , x(a, xo)ef(x) > 0, x(xo, b)(f tem um valor MNIMO RELATIVO em xo

Teste Da Segunda DerivadaSe f (p) = 0 e f (p) > 0, ento p ponto de mnimo local.

Se f (p) = 0 e f (p) < 0, ento p ponto de mximo local.

Exemplos:

1) Determine os pontos extremos da funo f(x) = 2x3 +3x2-12x-7

Soluo: f (x) = 6x2 +6x-12 = 0 ( x =1 ou x =-2

f (x)=12x+6( f (1) = 18 >0 e f (-2) = -18< 0

p =1 ponto de mnimo local e p = -2 ponto de mximo local.2) Seja f(x)=x-9x-48x+52. Ache os pontos de mnimo e mximo locais de f(x), se existirem, e os intervalos de crescimento e decrescimento de f(x):f(x)=x-9x-48x+52

f `(x)=3x-18x-48

f `(x)=03x-18x-48=0

=-2 e =8 so os pontos crticos da funo f(x)

o ponto de mximo local de f(x)

o ponto de mnimo local de f(x)

Intervalos de crescimento ou decrescimento de f(x):

Logo f(x) crescente nos intervalos: (-,-2) e (8,)

f(x) decrescente no intervalo: (-2,8)

Exerccios

1) Determine os extremos das funes abaixo:

a) f(x) = 4x3+24x2+36x

b) f(x) = x4+8x3 +18x2-8

2) Faa o estudo da funo f(x) = x3 x2-x+1 e esboce o grfico.

3) Calcule o volume mximo de uma caixa, feita com uma folha de papelo de 40 x 40 cm, retirando-se um quadrado de lado x de cada canto da folha.

4) Um homem deseja construir um galinheiro com formato retangular, usando como um dos lados uma parede de sua casa. Quais as dimenses que devem ser utilizadas para que a rea seja mxima, sabendose que ele pretende usar 20m de cerca?

5) A receita obtida com a produo de certa mercadoria dada por R(x) = milhes de reais. Qual a produo que proporciona a receita mxima? Qual esta receita?

6) Faa o estudo completo da funo f(x) = 3x4 2x3-12x2+18x+15.

7) Um edifcio de 2000 m2 de piso deve ser construdo, sendo exigido recuos de 5 m na frente e nos fundos e de 4 m nas laterais. Ache as dimenses do lote com menor rea onde esse edifcio possa ser construdo

8) Uma caixa fechada com base quadrada vai ter um volume de 2000 cm3. O material da tampa e da base vai custar R$ 3,00 por centmetro quadrado e o material para os lados R$ 1,50 por centmetro quadrado. Encontre as dimenses da caixa de modo que o custo seja mnimo.

9) Um fazendeiro tem 1200m de cerca e quer cercar um campo retangular que esta a margem de um rio reto. Ele no precisa cercar ao longo do rio. Quais as dimenses do campo que tem a maior rea?

10) Sejaf(x) = x -6x+9x-3.

(a)Encontre os intervalos onde f crescente e onde decrescente. (b)Encontre e classifique os extremos relativos . (c)Encontre o valor mximo absoluto da f no intervalo [ 1 , 2 ) .

11) Uma companhia de software sabe que ao preo de $80 por um determinado software eles vendem 300 unidades por ms. Sabem tambm que para cada reduo de $5 no preo eles vendero mais 30 unidades. Qual preo a companhia deve cobrar para maximizar a receita?

12) Determine os extremantes das funes:

a) f(x) = 4x3+24x2+36x

b) f(x) = x4+8x3 +18x2-8

c) f(x) = 4x3+3x2-18x +5

d)f(x) = x4-8x2+2

e)

13) O lucro total (em dlares) da Companhia Acrosonic pela fabricao e venda de caixas de som dado por P(x) = -0,02x+300x-200.000. Quantas unidades devem ser produzidas para maximizar o lucro? Qual ser o lucro mximo?

14) A funo custo mdio dirio (em dlares por unidade) da companhia Elektra dada por Cme(x) = 0,0001x-0,08x+40+5000/x, onde x representa o nmero de calculadoras que a Elektra produz. Calcule o custo mdio mnimo.

15) A direo da Trapee and Sons, fabricante de molho de pimenta Texa-pep, estima que seu lucro (em dlares) pela produo diria de x caixas de molho picante Texa-Pep dado por L(x) = -0,000002x+6x-400. Qual o lucro mximo que a empresa pode obter em um dia?

16) A quantidade demandada por ms da gravao de Walter Serkin, produzida pela Shonatha Record, est relacionada com o preo por CD. A equao p(x) = -0,00042x+6 onde p representa o preo unitrio em dlares e x o nmero de CDs demandados. O custo em dlares para prensar e embalar x cpias C(x) = 600+2x-0,00002x. Quantas cpias devem ser produzidas por ms para maximizar os lucros?

1.5. Regras de LHopital

As regras a seguir aplicam-se a limites que apresentam indeterminaes do tipo ou .

Teorema: Sejam f e g derivveis em um intervalo aberto I com p (I e g(x) ( 0.

Se =ou= e se existir (finito ou infinito) ento existir e = .

Observe que a regra vlida par x( p ou x ( p- ou x( p + ou x( +( ou x( -(.

Exemplos:

1. =

==

2.

EMBED Equation.3 3.

Exerccio: Calcule os seguintes limites:

1)

2)

7)

3)

4)

8)

5)

6)

1.6. Grficos

Para o esboo do grfico de uma funo f devemos fazer o estudo completo da funo.

1. Domnio

2. Pontos crticos

3. Intervalos de crescimento e decrescimento

4. Pontos de mximo e mnimo locais

5. Concavidade e pontos de inflexo

6. Calcular os limites laterais nos extremos

7. Calcular os limites nos pontos de descontinuidade

8. Assntotas

9. Cruzamento com os eixos

Assntotas

Dizemos que a reta y = mx+n. uma assntota, em +(, do grfico da funo y = f(x)

[f(x)-(mx+n)]= 0

Dizemos que a reta y = mx+n. uma assntota, em -(, do grfico da funo y = f(x)

[f(x)-(mx+n)]= 0

Intuitivamente, dizer que a reta y = mx+n uma assntota, em +(, significa que, medida que x cresce, o grfico de y = f(x) vai encostando cada vez mais no grfico da reta..

y = mx+n

y = n

y = n uma assntota horizontal

y = mx+n assntota oblqua

Dizemos que a reta vertical x = k uma assntota vertical, direita, para o grfico da funo y = f(x) se f(x) = ( (.

Dizemos que a reta vertical x = k uma assntota vertical, esquerda, para o grfico da funo y = f(x) sef(x) = ( (.

k

k

Observe que k um ponto de descontinuidade.

Exemplo: f(x) =

= 3 ( y = 3 assntota horizontal em +(.

= 3 ( y = 3 assntota horizontal em -(.

O ponto de descontinuidade x = 0.

Como ( temos que x = 0 uma assntota vertical direita e como

EMBED Equation.3 = - ( temos que x = 0 , tambm, assntota vertical esquerda.

2) f(x) =

=

EMBED Equation.3 = 0( y = 0 uma assntota horizontal em +(.

=

EMBED Equation.3 = 0( y = 0 uma assntota horizontal em -(.

Os pontos de descontinuidade so 1 e 1.

EMBED Equation.3 = +( temos que x = 1 uma assntota vertical direita.

EMBED Equation.3 = -( temos que x = 1 uma assntota vertical esquerda.

EMBED Equation.3 = -( temos que x = -1 uma assntota vertical direita.

EMBED Equation.3 = +( temos que x = 1 uma assntota vertical esquerda.

Exemplos: Esboce os grficos das funes:

1. f(x) = x3 3x2+3x

2. f(x) =

3. f(x) =

Exerccios: Esboce os grficos das funes:

a) f(x) = x3 3x2+3x

b) f(x) =2x/3 2x-12x

c) f(x) = x 3 3x-9x

d) f(x) = x 3 3x 2 +1

e) f(x) = 3x5 5x 3f) f(x) = g) f(x) =

2. Funes trigonomtricas e sua inversas

ngulos

Os ngulos podem ser medidos em graus ou radianos (rad). O ngulo dado por uma revoluo completa tem 360 ou 2( rad. Portanto:

( rad = 180

Graus030456090120135150180210225240270300315330360

Rad0(/6(/4(/3(/22(/33(/45(/6(7(/65(/44(/33(/25(/37(/411(/62(

Em clculo usamos o radiano como medida dos ngulos, exceto quando indicado o contrrio.

Y

(

(

( ( 0

( < 0

x

2.1.Estudo das funes trigonomtricas: seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante.

Considere um crculo de raio um como abaixo. Este crculo tem equao x2 + y2 = 1 e ser chamado crculo trigonomtrico, com ele definimos as relaes trigonomtricas seno (sen t) e co-seno (cos t) em funo do ngulo t.

Um ngulo t, medido em radianos,correspondeao comprimento do arco desdeo ponto (1, 0) at o ponto P(x,y), no sentido anti-horrio.As funes trigonomtricas co-seno e seno so: cos t = x esen t = y.

Se t = 0 ento sen t= 0 e cos t =1; se t = (/2 ento sen t = 1 e cos t = 0.

Devido equao do crculo temos que sen2 t + cos2 t = 1.

Quando t cresce e P move em torno do crculo, os valores do seno e do co-seno de t oscilam, e acabam se repetindo quando P retorna a pontos onde j tenha estado. Os fsicos usam bastante o termo oscilao para funes que se comportam como o seno e o co-seno.

Abaixo os valores de seno e co-seno dos principais ngulos:

1 quadrante 2 quadrante 3 quadrante 4 quadrante

Rad0(/6(/4(/3(/22(/33(/45(/6(7(/65(/44(/33(/25(/37(/411(/6

Sen0

1

0-

-

-1-

-

Cos1

0

-

-

1-

- 0

Aamplitudedesen t e de cos t 1,poiscomo(sen t)2+ (cos t)2 = 1 temos | sen t |( 1 e | cos t | ( 1

Operodo2(,jqueesteovalordocomprimentodocrculoderaio1. Assim,

sen (t + 2() = sen (t) e cos (t + 2() = cos (t)

Este comportamento oscilatrio das funes seno e co-seno faz com que as equaessen (t) = aecos (t) = a tenham infinitas ou nenhuma soluo. Por exemplo, as infinitas solues de cos t = 1 so da forma t = 2 k(, t ( e a equao cos t = 2 no possui nenhuma soluo.

Funo seno f(x) = sen x, tem o domnio Dom f = |R e a imagem Im f = [-1, 1].

Funo co-seno f(x) = cos x , tem o domnio Dom f = |R e a imagem Im f = [-1, 1].

Observe os dois grficos juntos com um perodo maior:

Observe que:

- As razes da funo seno ocorrem nos mltiplos inteiros de (: sen x = 0 ( x = n.(.

- As razes de co-seno ocorrem em mltiplos inteiros mpares de (/2: cos x= 0 ( x = (2k+1) .

- Seno da soma: sen(x+y) =sen(x).cos(y)+cos(x).sen(y)

- Co-seno da soma: cos(x+y) =cos(x).cos(y)-sen(x).sen(y)- Arco duplo: sen(2x) =2sen(x).cos(x) e cos(2x) =cos2(x) sen2(x)

- Eliminando quadrado: sen2x = - cos 2x e cos2x = + cos 2x.

- Seno funo mpar: sen(-x) = -sen(x)- Co-seno funo par: cos(-x) = cos(x)

- Lei dos Co-senos:

Nas tabelas abaixo vamos ver os valores de seno e co-seno para alguns ngulos.

t0

sent 0 1 0 1 0

cost 1 0 1 0 1

t

sent

cost

(estes valores devem ser entendidos e memorizados)

Observe na tabela abaixo o sinal do seno e do co-seno. 1o Quadrante 2o Quadrante

sen ( t ) 0 ecos ( t ) 0 sen ( t ) 0 ecos ( t ) 0

3o Quadrante 4o Quadrante

sen ( t ) 0 ecos ( t ) 0 sen ( t ) 0 ecos ( t ) 0

O co-seno e o seno so as funes trigonomtricas bsicas, j que todas as outras funes trigonomtricas podem ser definidas em funo do seno e do co-seno. Por exemplo, a funo tangente o quociente do seno pelo co-seno.

Funo tangente: f(x) =tg x = Dom f = R {(2k+1)| k(Z} e Im f = R.

Esta funo no est definida para cos x = 0, ou seja, tg x no est definida para os mltiplos mpares de . As razes da funo y = tg x so as mesmas da funo y = sen x, a variao desta funo o conjunto dos nmeros reais, e o perodo da tangente (.

Funo cotangente: cotg x = =, Dom f = R {k( | k(Z} e Im f = R.

Funo co-secante: f(x) = cossec x =, Dom f = R {k( | k(Z} e Im f = (-(, -1]({1,()

Funo secante: f(x) = sec x = , Dom f = R {(2k+1)| k(Z} e Im f = (-(, -1]({1,()

Crculo Trigonomtrico em Graus e radianos

Observe que: (1) tg2(x)+1=sec2(x)(2)1+cotg2(x) = cossex2(x)2.2.Derivadas das funes trigonomtricas: Demonstraes das frmulas

Lembre-se que todas as funes trigonomtricas so contnuas em seus domnios.

1) f(x) = sen (x) ( f (x) =cos (x)

Demonstrao:

f (x) = =

= =

=+.= sen(x).0 + cos(x).1 = cos(x).

2) f(x) = cos(x) ( f (x) = -sen(x)

Demonstrao: Exerccio

3) f(x) = tg(x) ( f (x) = sec2(x)Demonstrao:

f(x) = tg(x) = ( f (x) == = = sec2(x)

4)(f(x) = cotg(x) ( f (x) = -cossec2(x)

Demonstrao: Exerccio.

5) f(x) = sec(x) ( f (x) = sec(x).tg(x)

Demonstrao:

f(x) = sec(x) =( f (x) = = = = =sec(x) .tg(x).

6) f(x) = cossec(x) ( f (x) = -cossec(x).cotg(x)

Demonstrao: Exerccio.

2.3.Funo inversvel: definio, teoremas e construo de grficos

Se y =f(x) uma funo estritamente crescente ou estritamente decrescente no intervalo I, ento existe uma funo x = f -1 (y), chamada de funo inversa, tal que f(f -1(y)) = y e

f -1(f(x)) = x. Onde o domnio da funo f a imagem da funo f -1 e a imagem de f o domnio da f -1.

Para obter a expresso de f -1(x) devemos isolar a varivel x em y = f(x) e depois trocamos as variveis.

Exemplos:

(1) y = f(x) = x + 4 estritamente crescente, ento

y = x + 4( -x = -y + 4 (x = y 4 (x = f 1(y) = y 4 ( y = x-4 a inversa.

(2) y = f(x) = 2x estritamente crescente, ento

y =2x ( x= y/2 ( x = f 1 (y) = y/2 ( y = x/2 a inversa .

(3) y = f(x) = ex estritamente crescente, ento existe a inversa de f, que dada por

f 1(y) = x = ln y, pois f -1(f(x)) = f 1(ex) = ln ex = x; f(f 1(y)) = f(ln y) = eln y = y.

Ou seja, as funes exponencial e logartmica so inversas uma da outra.

(4) y = f(x) = x2 no estritamente crescente (ou decrescente) em |R, por isso devemos tomar um intervalo de crescimento ou decrescimento. Por exemplo, considerando a funo y = f(x) = x2 definida no intervalo I =(0,+() (estritamente crescente) temos

y =x2 ( x = f 1(y) = +( y = + a funo inversa da f. Se tivssemos tomado o intervalo decrescente I =(-(,0) teramos y = x2 ( x = f 1(y) = - ( y = - como funo inversa de f.

Funes Trigonomtricas Inversas

Como as funes trigonomtricas no so estritamente crescentes ou decrescentes, elas no tm funes inversas. Mas podemos restringir o seu domnio de forma a torn-las crescentes ou estritamente decrescentes.

Inversa da funo seno

Devemos restringir o domnio da funo y = sen (x) em -(/2 ( x ( (/2. A inversa da funo seno restrita denotada por y = arcsen (x) ou y = sen-1(x). ( note que sen-1(x) ( 1/sen(x)).

arcsen(x) = y ( sen(y) = x e -(/2 ( y ( (/2

Assim, se _1( x ( 1, arcsen(x) o nmero entre -(/2 ( y ( (/2 cujo seno x.A inversa da funo seno, y =arcsen(x) tem domnio [-1,1] e variao [-(/2, (/2].

Exemplos: 1) arcsen(1/2) = (/6.2) arcsen(/2) = (/4

Inversa da funo co-seno

Devemos restringir o domnio da funo y = cos (x) em 0 ( x ( (. A inversa da funo co-seno restrita denotada por y = arccos (x) ou y = cos-1(x). ( note que cos-1(x) ( 1/cos(x)).

arccos(x) = y ( cos(y) = x e 0 ( y ( (Assim, se _1( x ( 1, arccos(x) o nmero entre 0( y ( ( cujo co-seno x.

Exemplos: 1) arccos(1/2) = (/3.2) arccos(/2) = (/4

2.4.Derivadas das funes trigonomtricas inversas

Seja f uma funo inversvel, com inversa g, temos que f(g(x))=x, para todo x(Dg. Deste modo, para todo x( Dg

[f(g(x))] = x

f (g(x)).g(x) = 1

g(x) =

Agora, podemos estabelecer a derivada das funes trigonomtricas inversas:

g(x) = arcsen(x) ( g(x) = , -1< x