Cálculo I - 2ª Lista de Exercicios - 2014.1
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1
UNIFACS - Cursos de Engenharia
Disciplina: Cálculo I
Semestre: 2014.1
1ª Lista de Exercícios (visualização e cálculo de limites finitos)
As questões 1 e 2 exploram a visualização do limite e da continuidade de funções através dos gráficos.
1) a) Dados os gráficos das funções f, g, h abaixo, determine:
i) os limites laterais de f, g, h no ponto xo=1 ii) Os valores f(1), g(1) e h(1)
b) Com os dados obtidos acima, diga se essas funções f, g, h têm limite no ponto xo=1.
c) Essas funções são contínuas no ponto xo=1? Justifique suas respostas.
x
y
Função y=f(x)
x
y
Função y=g(x)
x
y
Função y=h(x)
2) Dado o gráfico da função f abaixo, determine o que se pede, justificando suas respostas.
{l i mx→−1− f ( x )= ¿ {¿ {l i mx→−1+
f (x )= ¿ {¿ ¿¿¿
f tem limite em xo=-1?
f é contínua nesse ponto?
{l i mx→1− f ( x )=¿ {¿ {l i mx→1+
f ( x )= ¿ {¿ ¿¿¿
f tem limite em xo=1?
f é contínua nesse ponto?
x
y
As questões 3 e 4 são semelhantes às duas anteriores, só que agora os gráficos das funções não são dados.
Temos que obter os gráficos das funções para depois fazer a visualização dos limites.
3) a) Esboce o gráfico das funções abaixo e calcule os limites laterais nos pontos onde estas funções mudam de sentenças:
a)f ( x )=¿ {x2 -1 ; se x<2 ¿ {3 ; se x= 2¿ ¿¿¿
b)g( x )=¿ {x2 -1 ; se x<2¿ {4 ; se x= 2¿ ¿¿¿
c)h( x )=¿ {x+2 ; se x<-1 ¿ {2 ; se x= -1 ¿ {x2 ; ; se -1< x<1¿ ¿¿¿
b) Verifique se as funções f e g são contínuas no ponto xo=2. Justifique suas respostas.
c) Verifique se a função h é contínua nos pontos x=-1 e x=1. Justifique suas respostas.
2
4) Esboce o gráfico da função
f ( x )=¿ {2 ; se x <−2¿ {x2 ; se −2≤x<0 ¿ {2x ; se 0 ≤ x < 1 ¿ {1 ; se x=1¿ ¿¿¿ e determine:
a)
limx→−2−
f ( x )
;
limx→−2+
f ( x )
; f (– 2); b)
limx→0−
f ( x )
;
limx→0+
f ( x )
; f (0);
c)
limx→1−
f ( x )
;
limx→1+
f ( x )
; f (1) d) verifique se a função acima é contínua nos pontos estudados.
5) Esboce o gráfico das funções abaixo. Calcule os limites laterais em cada um dos casos, nos pontos onde estas funções mudam de sentenças.
a) f ( x )=¿ {x2 ; se x≤1¿ ¿¿¿
b) f ( x )=¿ {−x2+1 ; se x< 0¿ ¿¿¿
c)
f ( x )=¿ {-x+1 ; se x < 1 ¿ {1 ; se x=1 ¿ ¿¿¿d)
f (x )=¿ {x2+1 ; se x<−1 ¿ {−x+1 ; se −1≤ x<1 ¿ {2 ; se x = 1 ¿¿¿¿
e) f ( x )=¿ {2x ; se x<1 ¿ ¿¿¿
f) f ( x )=¿ {√−x ; se x< 0 ¿ {2 ; se x=0¿ ¿¿¿
6) Esboce o gráfico das funções abaixo e verifique se elas são contínuas no ponto xo = 0.
a) f ( x )=¿ {2x ; se x<0 ¿ {2 ; se x=0¿ ¿¿¿
b) f ( x )=¿ {ex ; se x<0 ¿ {2 ; se x=0 ¿¿¿¿
Obs: 1) O número e≅2,718 é muito importante em Cálculo e aparece em muitas aplicações; 2) A notação ln(x) significa que a base desse logaritmo é o número e≅2,718. Resumindo: ln(x) = loge(x)
7) Determine as constantes a e b de modo que
f ( x )=¿{ x2−42x-4
; se x<2 ¿ {bx−4 ; se x=2 ¿¿¿¿ seja contínua no ponto x=2.
8) a) Considere a função f ( x )=¿ {mx2+1 ; se x <−3 ¿ {−3n ; se x =−3 ¿ ¿¿¿
. Determine as constantes m, n de modo que:
a1) Exista limx→−3
f ( x ) a2) f seja contínua em x=–3
b) Determine as constantes reais a e b de modo que f seja contínua no ponto xo, em cada caso a seguir:
3
b1) f ( x )=¿ {3ax2+2 ; se x<1 ¿ ¿¿¿
b2)
f ( x )=¿ {3 x−3 ; se x>2¿ {ax ; se x=2¿ ¿¿¿As questões 9, 10, 11 se referem ao cálculo de limites por métodos algébricos, sem uso de figuras.
9) Calcule os seguintes limites indeterminados: (método da fatoração)
a)
limx→1
x2−3 x+2x2−4 x+3 b)
limx→2
2 x2−8x2−2x c)
limx→2
x3−8x2−4 d)
limx→3
x3−27
x2+3 x−18
10) Calcule os seguintes limites envolvendo raízes: (multiplicação e divisão pelo conjugado)
a)limx→9
2 x−18
√x−3 b)limx→4
x2−16√x−2
c)
limx→−1
√ x+5−2x+1
d) limx→ 2
√4 x+1−3x2−4
e)
limx→2
√5 x−1−3√x+2−2
11) Calcule os seguintes limites:
a) limx→2
x2−4x2−2x b)
limx→1
x2−2 x+1x3−1 c)
limt→2
t2−4
3 t2−4 t−4
d) limx→1
3x3−4 x2−x+22 x3−3x2+1 e)
limx→0
(4+x )2−16x f)
limx→3
x3−6 x−9x3−8x−3
g) limx→1/2
2 x2+3 x−28 x3−1 h)
limx→2
x3−8x−2
i) limx→−2
3√ x2−4
3 x2+5 x−2
j) limx→4
x2−16√x−2
k)
limx→0
√x+2 −√2x l)
limx→1
√x−1x−1
Respostas:
4)
x
y
- 3 - 2 - 1 1 2 3 4
- 3
- 2
- 1
1
2
3
4
limx→−2−
f ( x )=2 e limx→−2+
f ( x )=4 ⟹ o limite não existe nesse ponto
limx→−0−
f ( x )= limx→−0+
f ( x )=0 e f(0)=0 ⟹ o limite existe nesse
ponto e além disso a função é contínua (nesse ponto)
limx→−1−
f ( x )= limx→−1+
f ( x )=2, f(1)=1 ⟹ o limite existe nesse ponto
mas a função não é contínua (nesse ponto)
5) a) b) c)
4
x
y
- 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 1 2
- 4
- 3
- 2
- 1
1
2
3
x
y
- 8 - 6 - 4 - 2 2
- 4
- 2
2
x
y
-4 -3 -2 -1 1 2
1
2
-1
a)
limx → 1−
f ( x )=1,
limx → 1+
f ( x )=2 b),
limx → 0−
f ( x )=1
limx → 0+
f ( x )=1 c)
limx → 1−
f ( x )=0,
limx → 1+
f ( x )=0
d) e) f)
x
y
- 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3
- 4
- 2
2
d)
limx →−1−
f (x )=2= limx → −1+
f (x )
,
limx → 1−
f ( x )=0= limx → 1+
f ( x )
e)
limx → 1−
f ( x )=2
,
limx → 1+
f ( x )=1
,
f) limx → 0−
f ( x )=0,
limx → 0+
f ( x )=−∞, não existe.
6)
a) b)
x
y
-3 -2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2
x
y
-4 -3 -2 -1 1 2
-2
2
1
a)
limx → 0−
f ( x )=1,
limx → 0+
f ( x )=1,
limx → 0
f ( x )=1 e f(0) = 2 (f é descontínua em x = 0)
b)
limx → 0−
f ( x )=0,
limx → 0+
f ( x )=+∞, não existe
limx → 0
f ( x ) e f(0) = 2 (f é descontínua em x = 0)
c)
limx → 0−
f ( x )=e=2 ,78281 .. .,
limx → 0+
f ( x )=− ∞, não existe
limx → 0
f ( x ) e f(0) = e
(f é descontínua em x = 0)
7) a = -4 b = 3
8) a) (a1) m =
−139 e n qualquer (a2) m =
−139 e n = 4 b) (b1) a = – 1 (b2) a =
32 e b = – 1
5
9) a) 1/2 b) 4 c) 3 d) 3
10) a) 12 b) 32 c) ¼ d)1/6 e) 10/3
11) a) 2 b) 0; c) 1/2 d) 5/3 e) 8 f) 21/19 g) 5/6
h) 12 i) 3√4 /7 ; j) 32; k) √2/4 ; l) 1/2