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Cálculo Diferencial e Integal I
Curso de Matemática
Prof. Ma. Polyanna Possani da Costa Petry
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DERIVADA
Variação média de 𝑦 = 𝑓 𝑥 :
∆𝑦
∆𝑥=
𝑓 𝑥2 − 𝑓 𝑥1
𝑥2 − 𝑥1
é a proporção entre as variações 𝑦 e de 𝑥. A variação média mostra o quanto variou 𝑦 por unidade de 𝑥.
A expressão ∆𝑦
∆𝑥 mede o coeficiente angular (ou inclinação) da
reta que passa pelos pontos 𝑥1, 𝑓 𝑥1 e 𝑥2, 𝑓 𝑥2 , isto é
∆𝑦
∆𝑥= tg 𝛼
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DERIVADA
Assim, ∆𝑦
∆𝑥 mede a inclinação da reta secante a curva 𝑦 = 𝑓(𝑥)
nos pontos 𝑥1, 𝑓 𝑥1 e 𝑥2, 𝑓 𝑥2 .
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DERIVADA
Buscamos determinar a inclinação da reta tangente a curva 𝒚 = 𝒇(𝒙) num ponto 𝑷.
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DERIVADA
• Para isso, tomemos a reta secante a curva 𝒚 = 𝒇(𝒙) que passa pelos pontos P e Q.
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DERIVADA
Observe que se fixarmos o ponto P e fizermos Q variar, tornando a distância de 𝒂 até 𝒂 + 𝒉 cada vez menor, isto é 𝒉 tender a zero , a reta secante tenderá a reta tangente. Assim,
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DERIVADA
𝒎 = lim𝒉→𝟎
𝒇 𝒂+𝒉 −𝒇(𝒂)
𝒉 fornece a inclinação da reta
tangente a curva 𝒚 = 𝒇(𝒙) em 𝑷.
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DERIVADA
Variação instantânea de 𝑦 = 𝑓 𝑥 num ponto 𝑎 é dado pelo limite (quando tal limite existir):
𝑙𝑖𝑚ℎ→0
𝑓 𝑎 + − 𝑓(𝑎)
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DERIVADA
𝐸𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜𝑠:
1) Determine a inclinação da reta tangente a curva 𝑦 = 𝑥2 + 1 quando 𝑥 = 0.
2) Determine a variação instantânea de 𝑦 = 𝑥3 − 𝑥2 + 1 no ponto 𝑥 = 2.
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DERIVADA
𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖çã𝑜 𝑑𝑒 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎:
A derivada de uma função 𝑓, em um ponto 𝑥 de seu domínio, é a variação instantânea de 𝑓 nesse ponto, isto é,
𝑓′ 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚ℎ→0
𝑓 𝑎 + − 𝑓(𝑎)
A derivada 𝑓′(𝑎) é o valor do coeficiente angular (ou inclinação)
da reta tangente à curva no ponto 𝑎, 𝑓 𝑎 .
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DERIVADA
𝐸𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜𝑠:
1) Seja 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥2 , vamos determinar o valor de sua derivada em um ponto geral 𝑥 ∈ ℝ.
2) Cálculo da derivada da função 𝑓 𝑥 =1
𝑥 no ponto 𝑥 = 2.
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DERIVADA
𝐸𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜𝑠:
1) Seja 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥2 , vamos determinar o valor de sua derivada em um ponto geral 𝑥 ∈ ℝ.
2) Cálculo da derivada da função 𝑓 𝑥 =1
𝑥 no ponto 𝑥 = 2.
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DERIVADA
Velocidade Suponha que um objeto se mova sobre uma reta de acordo com a equação 𝑠 = 𝑓 𝑡 , no qual 𝑠 é o deslocamento do objeto a partir da origem no instante 𝑡. A função 𝑓 que descreve o movimento é chamada função de posição do objeto.
No intervalo de tempo entre 𝑡 = 𝑎 e 𝑡 = 𝑎 + , a variação na posição será 𝑓(𝑎 + ) − 𝑓(𝑎)
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DERIVADA
Velocidade A velocidade média nesse intervalo é
𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑚é𝑑𝑖𝑎 =𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜=
𝑓 𝑎 + − 𝑓(𝑎)
Suponha agora que a velocidade média seja calculada em intervalos cada vez menores em [𝑎, 𝑎 + ].
A velocidade instantânea no instante 𝑡 = 𝑎 é o limite dessa velocidade média, isto é,
𝑣(𝑎) = 𝑙𝑖𝑚ℎ→0
𝑓 𝑎 + − 𝑓(𝑎)
Portanto a a velocidade instantânea 𝒗(𝒕) quando 𝑡 = 𝑎 é a derivada da função posição 𝒔(𝒕) quando 𝑡 = 𝑎 .
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DERIVADA
Velocidade Exemplo:
A posição de uma partícula é dada pela equação 𝑠 = 𝑓 𝑡 = 𝑡3 − 6𝑡2 + 9𝑡
onde 𝑡 é medido em segundos e 𝑠 em metros.
a) Encontre a velocidade no instante 𝑡.
b) Qual a velocidade após 2 s? Depois de 4 s?
c) Quando a partícula esta em repouso?
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DERIVADA
𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜:
Se uma função 𝑓 tem derivada em um ponto 𝑎, então 𝑓 é contínua em 𝑎.
Observação: A recíproca pode não ser verdadeira, isto é, uma função contínua pode não ter derivada nesse ponto.
Por exemplo, a função 𝑓 𝑥 = 𝑥 não tem derivada no ponto 𝑥 = 0 (verifique).
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Teoremas de Derivação
Outras notações para derivada de uma função 𝑦 = 𝑓 𝑥 : 𝑑
𝑑𝑥𝑓(𝑥) 𝑜𝑢
𝑑𝑓
𝑑𝑥 𝑜𝑢
𝑑𝑦
𝑑𝑥
Teorema: Sejam 𝑓 e 𝑔 funções que têm derivadas e seja 𝑐 uma constante, então:
i)𝑑
𝑑𝑥[𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥)] =
𝑑
𝑑𝑥𝑓 𝑥 +
𝑑
𝑑𝑥𝑔(𝑥)
ii)𝑑
𝑑𝑥𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥𝑓 𝑥 −
𝑑
𝑑𝑥𝑔(𝑥)
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Teoremas de Derivação
iii)𝑑
𝑑𝑥𝑐𝑓 𝑥 = 𝑐
𝑑
𝑑𝑥𝑓 𝑥
Função potência
•𝑑
𝑑𝑥𝑐 = 0
Demonstração: Faremos em sala de aula
•𝑑
𝑑𝑥𝑥 = 1
Demonstração: Faremos em sala de aula
Exemplo: Determine 𝑑
𝑑𝑥2𝑥 + 5
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Teoremas de Derivação
•𝑑
𝑑𝑥𝑥2 = 2𝑥
Demonstração: Faremos em sala de aula
Exemplo: Determine 𝑑
𝑑𝑥𝑥2 + 7𝑥
•𝑑
𝑑𝑥𝑥3 = 3𝑥2
Demonstração: Faremos em sala de aula
Exemplo: Determine 𝑑
𝑑𝑥𝑥3 − 3𝑥3 + 10𝑥 − 9
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Teoremas de Derivação
Regra da Potência:
Se 𝑛 for um número real qualquer, então 𝑑
𝑑𝑥𝑥𝑛 = 𝑛𝑥𝑛−1
Exemplos: Determine as derivadas das seguintes funções:
1. 𝑓 𝑥 = 𝑥10
2. 𝑔 𝑥 = 3𝑥7
3. 𝑓 𝑥 = 𝑥 +1
3𝑥3
4. 𝑓 𝑥 =1
𝑥2 + 𝑥3
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Teoremas de Derivação
Derivada da função exponencial natural 𝑑
𝑑𝑥𝑒𝑥 = 𝑒𝑥
Faremos a demonstração após estudarmos derivação implícita.
Regra do Produto
Sejam 𝑓 e 𝑔 funções que possuem derivada, então 𝑑
𝑑𝑥𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 + 𝑓 𝑥
𝑑
𝑑𝑥𝑔 𝑥
Exemplo:
Se 𝑥 = 𝑥𝑒𝑥, encontre 𝑑ℎ
𝑑𝑥.
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Teoremas de Derivação
Regra do Quociente
Sejam 𝑓 e 𝑔 funções que possuem derivada, então
𝑑
𝑑𝑥
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)=
𝑑𝑑𝑥
𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 − 𝑓(𝑥)𝑑
𝑑𝑥𝑔(𝑥)
[𝑔 𝑥 2]
Exemplo:
Seja 𝑦 =𝑥2−𝑥−4
𝑥3+3, determine 𝑦′