Calculo de parametros de lineas de transmision

8/18/2019 Calculo de parametros de lineas de transmision

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ELI-246 Análisis de Sistemas de Potencia I Departamento de Ingenieŕıa Eléctrica, UTFSM

Caṕıtulo 3. Cálculo de parámetros de ĺıneas detransmisi´on

Prof. Héctor A. Pulgar Painemal

UTFSM

2do semestre 2013

Prof. Héctor A. Pulgar Painemal Capı́tulo 3. C´alculo de parámetros de ĺıneas de transmisi´ on 2do semestre 2013 1 / 79

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Cálculo de parámetros en ĺıneas de transmisi´ on

Los parámetros de una ĺınea se pueden asociar tanto a la corriente que

circula por las fases como a la tensión entre fases y entre fases y neutro.Parámetros asociados a la corriente: Resistencia (R) e inductancia(L); también son conocidos como parámetros serieParámetros asociados a la tensi´on: Conductancia (G) y capacitancia(C); también son conocidos como parámetros paralelo

Los parámetros generalmente son expresados por fase y en por unidad delongitud. De esta forma, si la longitud de la ĺınea se mide en kil´ometros[km], entonces

R medida en [Ω/km/fase]G medida en [ /km/fase]L medida en [H/km/fase]C medida en [F/km/fase]

Nota: La unidad de medida de la conductancia (G) es =Ω − 1 conocido como “Mho”o Siemens


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Resistencia eléctrica


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ResistenciaEste parámetro cuantica la oposici ón ofrecida por un conductor al pasode la corriente eléctrica. El siguiente modelo atómico nos brinda una ideade qué es resistencia y cuál es la incidencia que tiene la temperatura delconductor. Considere la siguiente gura y asuma que existe un campo

eléctrico que desplaza los electrones desde izquierda a derecha a lo largodel conductor

Mayor temperatura del elemento

↓Aumenta probabilidad de colisiones↓Aumenta la disipaci ón de calor↓Aumenta la resistencia


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ResistenciaEste parámetro cuantica la oposici ón ofrecida por un conductor al pasode la corriente eléctrica. El siguiente modelo atómico nos brinda una ideade qué es resistencia y cuál es la incidencia que tiene la temperatura delconductor. Considere la siguiente gura y asuma que existe un campo

eléctrico que desplaza los electrones desde izquierda a derecha a lo largodel conductor




ELI 246 A ´ li i d Si d P i I D d I i ´ El´ i UTFSM

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ResistenciaEste parámetro cuantica la oposici ón ofrecida por un conductor al pasode la corriente eléctrica. El siguiente modelo atómico nos brinda una ideade qué es resistencia y cuál es la incidencia que tiene la temperatura delconductor. Considere la siguiente gura y asuma que existe un campoeléctrico que desplaza los electrones desde izquierda a derecha a lo largodel conductor




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ELI-246 Analisis de Sistemas de Potencia I Departamento de Ingenierıa Electrica, UTFSM


ResistenciaEste parámetro cuantica la oposici ón ofrecida por un conductor al pasode la corriente eléctrica. El siguiente modelo atómico nos brinda una ideade qué es resistencia y cuál es la incidencia que tiene la temperatura delconductor. Considere la siguiente gura y asuma que existe un campoeléctrico que desplaza los electrones desde izquierda a derecha a lo largodel conductor




ELI 246 Análisis de Sistemas de Potencia I Departamento de Ingenieŕıa Eléctrica UTFSM



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Relaci ón entre resistencia ´ ohmica (d.c.) y temperatura

ρt : resistividad a t o

C(Aprox. lineal)ρ0 : resistividad a 0o Cc : Constante de variación

Ω mm 2m o C

ρt = ρ0 + ct = ρ0 1 + c ρ0

t = ρ0 (1 + α0 t )

donde α0 se conoce como coeciente de temperatura relativo a 0o C[1/ o C]. Luego, la resistencia del conductor se puede estimar como

R t = ρt

S =

ρ0S

R 0(1 + α0 t ) = R 0 (1 + α0 t )

donde y S es la longitud y sección del conductor respectivamente. R 0es la resistencia a 0◦C


ELI-246 Análisis de Sistemas de Potencia I Departamento de Ingenieŕıa Eléctrica UTFSM

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Relaci ón entre resistencia ´ ohmica a dos valores de temperaturaGeneralmente se conoce la resistencia a dos valores de temperatura(t 1, t 2) distintos de 0◦C. Entonces

R t 2 = R 0 (1 + α0 t 2)R t 1 = R 0 (1 + α0 t 1) ⇒ R t 2 =

1 + α0 t 21 + α0 t 1

R t 1 =T + t 2T + t 1

R t 1

donde T = 1α 0

(constante de temperatura). Por ejemplo, el conductor

Canary (ACSR, 900MCM, 54 hebras de aluminio, 7 hebras de acero)posee la siguiente resistencia d.c. a 25 ◦C y 50◦C

R 25 ◦ C = 0 .104[Ω/ mi ] R 50 ◦ C = 0 .1145[Ω/ mi ]

lo que da la siguiente constante de temperatura

T = t 2 −t 1R t 2 / R t 1

R t 2 / R t 1 −1 ≈222.62◦C



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Relaci ón entre resistencia ´ ohmica a dos valores de temperaturaGeneralmente se conoce la resistencia a dos valores de temperatura(t 1, t 2) distintos de 0◦C. Entonces

R t 2 = R 0 (1 + α0 t 2)R t 1 = R 0 (1 + α0 t 1) ⇒ R t 2 =

1 + α0 t 21 + α0 t 1

R t 1 =T + t 2T + t 1

R t 1

donde T = 1α 0

(constante de temperatura). Por ejemplo, el conductor

Canary (ACSR, 900MCM, 54 hebras de aluminio, 7 hebras de acero)posee la siguiente resistencia d.c. a 25 ◦C y 50◦C

R 25 ◦ C = 0 .104[Ω/ mi ] R 50 ◦ C = 0 .1145[Ω/ mi ]

lo que da la siguiente constante de temperatura

T = t 2 −t 1R t 2 / R t 1

R t 2 / R t 1 −1 ≈222.62◦C



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p g ,


Conductor Canary,

T ≈222.6◦C t◦C R d.c. [Ω/ mi ]0 0.09355 0.095610 0.097715 0.099820 0.101925 0.10430 0.106135 0.1082

40 0.110345 0.112450 0.114555 0.116660 0.1187

A modo de referencia, la constante de temperaturapara otros materiales es del siguiente orden

T◦C Material234.5 Cobre 100% conductividad (cobre blando)241.5 Cobre 97.3% conductividad (cobre duro)228.1 Aluminio

Todo este desarrollo es válido para calcular laresistencia d.c. de los conductores. Cuando sedesea estimar la resistencia efectiva (a.c.) otros

efectos y fenómenos deben ser considerados; porejemplo, el efecto piel (skin effect ) y el efecto delas corrientes parásitas en conductores con hebrasde acero



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p g


Conductor Canary,T

≈222.6◦C

t◦C R d.c. [Ω/ mi ]0 0.09355 0.095610 0.097715 0.099820 0.101925 0.10430 0.106135 0.1082

40 0.110345 0.112450 0.114555 0.116660 0.1187

A modo de referencia, la constante de temperaturapara otros materiales es del siguiente orden

T◦C Material234.5 Cobre 100% conductividad (cobre blando)241.5 Cobre 97.3% conductividad (cobre duro)228.1 Aluminio

Todo este desarrollo es válido para calcular laresistencia d.c. de los conductores. Cuando sedesea estimar la resistencia efectiva (a.c.) otros

efectos y fenómenos deben ser considerados; porejemplo, el efecto piel (skin effect ) y el efecto delas corrientes parásitas en conductores con hebrasde acero



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Efecto piel o supercialLa corriente tiende a circular por la supercie del conductor a medida queaumenta la frecuencia de la corriente.

R c .c . = ρS c .c .

[Ω]

S c .c . = π r 2

R c .a . = ρS c .a .

S c .a . < S c .c . −→R c .a . > R c .c . [Ω]En denitiva, a mayor frecuencia de las variables eléctricas, la resistenciaefectiva de los conductores aumentará



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R c .c . = ρS c .c .

[Ω]

S c .c . = π r 2

R c .a . = ρS c .a .




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R c .c . = ρS c .c .

[Ω]

S c .c . = π r 2

R c .a . = ρS c .a .




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R c .c . = ρS c .c .

[Ω]

S c .c . = π r 2

R c .a . = ρS c .a .




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Cuanticaci´on del efecto pielConsidere que se desea calcular la resistencia efectiva a una frecuencia f

[Hz] y temperatura t ◦C

R a .c . = K R d .c . [Ω] r a .c . = K r d .c . Ωmi

donde,R a .c . , r a .c . resistencia efectivaR d .c . , r d .c . resistencia óhmica a t ◦C

constante efecto piel ( K ≥1)La constante K se ha obtenido experimentalmente. El valor a utilizar seobtiene mediante una variable intermedia ( X ) que depende de lafrecuencia (f ), de la permeabilidad magnética relativa ( µ) y de laresistencia óhmica por unidad de longitud r d .c . Ωmi

X = 0 .063598 µ f r d .c .



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Dadas las caracteŕısticas del conductor ( f , µ, r d .c . ) se calcula el valor deX y mediante la siguiente tabla nalmente se obtiene la constante efectopiel

X K X K X K X K0,0 1,00000 1,0 1,00519 2,0 1,07816 3 1,31809

0,1 1,00000 1,1 1,00758 2,1 1,09375 3,1 1,351020,2 1,00001 1,2 1,01071 2,2 1,11126 3,2 1,385040,3 1,00004 1,3 1,01470 2,3 1,13069 3,3 1,419990,4 1,00013 1,4 1,01969 2,4 1,15207 3,4 1,455700,5 1,00032 1,5 1,02582 2,5 1,17538 3,5 1,492020,6 1,00067 1,6 1,03323 2,6 1,20056 3,6 1,528790,7 1,00124 1,7 1,04205 2,7 1,22753 3,7 1,565870,8 1,00212 1,8 1,05240 2,8 1,2562 3,8 1,603140,9 1,00340 1,9 1,06440 2,9 1,28644 3,9 1,64051



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Conductancia



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Conductancia

En todas las ĺıneas eléctricas existe una corriente de fuga entre las fases y

tierra. Aún en las ĺıneas con un muy buen aislamiento, pero en generalestas son muy pequeñas y se pueden deber a dos razones:

1. Corrientes de fuga a través de los aisladores y torres de las ĺıneasLa corriente debida a la conductancia es:

I = V R

= G V

V Diferencia de potencial entre el conductor y tierra

R Resistencia del aislamiento [Ω]

G Conductancia del aislamiento [ ], G = 1R

La pérdida de potencia debido a la conductancia es

p = V I ∗ = G |V |2[W / fase ] P 3φ = 3G |V |2[W ]



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Conductancia

G depende de varios factores entre los que se pueden mencionar el tipode aislador, el número de aisladores por cadena y las condicionesatmosféricas (humedad).

Generalmente las pérdidas de potencia p se expresa en kW por km. Deesta forma:

G = P kW

kmfase 10−

3

|V |[kV ]2

S km

fase

Se ha observado que en un aislador de suspensión, de tipo normal, laspérdidas y conductancia son:

Con tiempo Pérdidas [W] Conductancia S kmseco 1 a 3 1×10−8 a 10 ×10−8húmedo 5 a 20 hasta 30 ×10−8





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Conductancia

EjemploConsideremos una ĺınea de 220[kV], circuito simple, 90[km] y unalongitud de vano de 325[m]. Las cadenas de suspensión están formadaspor 15 elementos (aisladores) y las cadenas de anclaje por 16 elementos.

De esta forma el número de torres o apoyos requeridos son:

90000[m]325[m]

= 277 apoyos

Tipo de torres Cadenas de N´ umero de Total de(apoyos)

Númeroaisladores × apoyo aisladores × cadena aisladores

Suspensi ón 243 3 15 10935Ángulo 12 3·2=6 16 1152Anclaje 18 3·2=6 16 1728Fin de ĺınea 2 3 ·2=6 16 192Especiales 2 3·2·2=12 16 384Total 14391



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Conductancia

Si se considera que la pérdida por aislador es de 5[W] (con tiempohúmedo), entonces la pérdida total por conductancia en la ĺınea es de :

14391 × 5[W ]∼= 72[kW ]Luego:

p 3φ = 72[kW ]90[km ] = 0 .8

kW km p =

0.8 kW km3 fases ∼= 0.267

kW km

fase

⇒

G = P

V 2 =

0.267 kW

kmfase

220√ 32

[kV 2] ×10−3 = 1 .655

×10−8

S km

fase

= 4 .965 ×10−8 S km

(Considerando las 3 fases)

= 446 .85 ×10−8[S ] (G total de la ĺınea)Prof. Héctor A. Pulgar Painemal Capı́tulo 3. C´alculo de parámetros de ĺıneas de transmisi´ on 2do semestre 2013 15 / 79


C d i

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Conductancia

2. Efecto coronaSi el gradiente del campo eléctrico (radial) alrededor de un conductorsupera la rigidez dieléctrica del aire, se producen corrientes de fuga (através del aire) similares a las corrientes debidas a la conductancia de losaisladores. En la oscuridad, este fenómeno es visible pudiéndose observar

ćırculos luminosos alrededor de los conductores (ver video )Deniciones:

Tensi´on critica disruptiva : Tensión a la cual se rompe la rigidezdieléctrica del aire.

Tensi´on critica visual : Tensión a la cual el efecto corona es visible.Las pérdidas por efecto corona comienzan a producirse desde el momentoen que la tensión cŕıtica disruptiva es menor que la tensión de la ĺınea



C d i

http://www.youtube.com/watch?v=5eELUXHwVFAhttp://find/


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Conductancia

Emṕıricamente se determinó que la tensión cŕıtica disruptiva puedeestimarse mediante la siguiente expresion

V c = 29.8

√ 2 mc δ m t r lnD r

[kV ]

V c Tensi ón de fase cŕıtica disruptiva RMS [kV]

29.8 Rigidez dieléctrica del aire a 25 ◦ C y presión de 1 [atm] (valormáximo de tensión→ 29.8[ kV cm ])

m c Coeciente de rugosidad del conductor (1 para conductores desupercie lisa, 0.93 a 0.98 para conductores oxidados o rugosos, 0.83a 0.87 para cables

m t Coeciente meteorológico (1 para tiempo seco, 0.8 para tiempohúmedo)

r Radio del conductor.

D Distancia media geométrica entre las fases [cm]δ Factor de corrección de la densidad del aire (función de la altura

sobre el nivel del mar)



C d t i

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Conductancia

δ se calcula de la siguiente forma:

δ =273 + 25

76 h273 + T = 3 .921 h273 + T donde h: Presión barométrica en cent́ımetros de columna de mercurio.T: Temperatura en grados cent́ıgrados.

La relación entre h y la altura sobre el nivel del mar (y )

log (h) = log (76)

−

y

18336

, con y en metros

(fórmula de Halley)



C d t i

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Conductancia

δ se calcula de la siguiente forma:

δ =273 + 25

76 h273 + T = 3 .921 h273 + T donde h: Presión barométrica en cent́ımetros de columna de mercurio.T: Temperatura en grados cent́ıgrados.

La relación entre h y la altura sobre el nivel del mar (y )

log (h) = log (76)

−

y

18336

, con y en metros

(fórmula de Halley)



Conductancia

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Conductancia

Emṕıricamente se demostr´o que la pérdida por efecto corona para cadaconductor puede estimarse de la siguiente forma (fórmula de Peek):

P = 241

δ (f + 25) r D

U max

√ 3 −V c 2

10−5 kW

km

donde f : Frecuencia eléctrica en [Hz]U max : Tension RMS más alta que puede poseer la ĺınea

en estado normal de operación.



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Inductancia a secuencia positiva




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a. Ecuaciones básicasEn materiales lineales

L = d λdi

= λi [H ]

en un conductor

L = Lint + Lext [H ]

Primero consideremos la inductancia interna al conductor (x≤r). Paraello, el primer paso es encontrar la relación entre el enlace de ujointerno y la corriente que circula por el conductor ( λ int = f (i ) ).

Considere una ĺınea de intensidad de campo magnético a una distancia x del centro del conductor

Ley de Ampere: c −→H x d −→ = i x (corriente encerrada)Prof. Héctor A. Pulgar Painemal Capı́tulo 3. C´alculo de parámetros de ĺıneas de transmisi´ on 2do semestre 2013 21 / 79



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Dado que −→H x y −→ son paralelos, la ecuación anterior se transforma en:

2π x

0 H x d = i x ⇒ H x = i x 2 π x Am

⇒ B x = µ i x 2 π x

Wb m 2

Considerando una densidad de corriente (J ) constante:

J = i π r 2

= i x π x 2 →i x =

x r

2i

En otras palabras, i x corresponde a un x r

2

×100% de la corriente total

i . Reemplazando

B x = µ x r

2i

2 π x Wb m2




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El diferencial de ujo producido por B x es:

d φx = B x ·ds = B x d ·dx [Wb ]d φx =

µi x 2πx

dxd [Wb ]

Notar que d φx enlaza únicamente a i x = x r 2

i (d φx enlaza sólo unaporción de “i ”). Luego:

λ int =

0 r

0d φx

x r

2=

0 r

0

µi x 2πx

x r

2dxd [WbV ]

=

0 r

0

µ2π

x r

2

i x r 2 dx dl =

0 r

0

µi 2π r 4 x

3

dx dl

=

0

µi 2π r 4

x 4

4

r

0dl =

µi 8π

[WbV ]




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Finalmente, la inductancia interna de un conductor cuando J esconstante es

⇒Lint =

λint i

= µ8π

[H ]

Lint = µ

8πH m

Es posible calcular la inductancia interna cuando J no es constante.Considere los siguientes casos teóricos para entender cómo proceder si J no es constante




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Para calcular la inductancia externa del conductor consideramos ĺıneas deintensidad de campo magnético externas al conductor las que enlazan a

la corriente total “ i ”Ley de Ampere: c −→H x ·d = i (corriente total)

H x =

i

2πx A

m

B x = µi 2πx

Wb m2

d φx = B x ·ds = B x dx d [Wb ]El ujo externo al conductor es:

φext =

0 D

r B x dx d =

D

r

µ i 2π x

dx = µ i

2π ln

D r

[Wb ]

φext enlaza una sola vez a la corriente ”i ”Prof. Héctor A. Pulgar Painemal Capı́tulo 3. C´alculo de parámetros de ĺıneas de transmisi´ on 2do semestre 2013 25 / 79



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Dado que φext enlaza una sola vez a la corriente “i ” se tiene

λ ext = φext = µ i 2π ln

D r

Wbv m

⇒ Lext =

λext i

= µ2π

lnD r H m

Finalmente,

L = Lint + Lext = µ8π

+ µ2π

lnD r

L = µ

2π14

+ lnD r

= µ2π

ln(e 14 + ln

D r

L = µ2π

ln D r e −

14

= µ2π

ln D RMG

H m

donde:RMG = r e −

14 : Radio Medio Geométrico de un conductor

considerando J constante.Prof. Héctor A. Pulgar Painemal Capı́tulo 3. C´alculo de parámetros de ĺıneas de transmisi´ on 2do semestre 2013 26 / 79



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Signicado de Radio Medio Geométrico (RMG)

Posee ujos magnéticos enel interior y exterior delconductor

L = µ8π

+ µ2π

lnD r

H m

≡(equivalente a)

Sólo posee ujos en elexterior del conductor

L = µ2π

ln D RMG

H m




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p

b. Inductancia en una ĺınea de tres conductores

En principio, se considerará sólo losujos magnéticos hasta el punto ” p”.

Por el momento, calculemos los ujosmagnéticos que enlazan a la corriente i 1

λ1 (p ) = λ11 ( p ) + λ12 ( p ) + λ13 (p )

λ11 ( p ) = µ

2π i 1 ln

D 1p RMG 1

Wbv m

λ12 (p ) = µ2π i 2 ln D 2p

D 12Wbv m

λ13 (p ) = µ

2π i 2 ln

D 3p D 13

Wbv m




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p

λ1 (p ) = µ2π i 1 ln

D 1p RMG 1 + i 2 ln

D 2p D 12 + i 3 ln

D 3p D 13

λ1 (p ) = µ2π

i 1 ln 1

RMG 1+ i 2 ln

1D 12

+ i 3 ln 1D 13

+ · · ·· · ·+ i 1 ln (D 1p ) + i 2 ln (D 2p ) + i 3 ln (D 3p )}

Como i 1 + i 2 + i 3 = 0 =⇒i 3 = −(i 1 + i 2)

λ1 (p ) = µ2π

i 1 ln 1

RMG 1+ i 2 ln

1D 12

+ i 3 ln 1D 13

+ · · ·

· · ·+ i 1 ln (D 1p ) + i 2 ln (D 2p )

−i 1 ln(D 3p )

−i 2 ln(D 3p )

}λ1 (p ) = µ2π i 1 ln 1

RMG 1+ i 2 ln

1D 12

+ i 3 ln 1D 13

+ · · ·

· · ·+ i 1 lnD 1p D 3p

+ i 2 lnD 2p D 3p






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p

λ1 (p ) = µ2π i 1 ln

D 1p RMG 1 + i 2 ln

D 2p D 12 + i 3 ln

D 3p D 13

λ1 (p ) = µ2π

i 1 ln 1

RMG 1+ i 2 ln

1D 12

+ i 3 ln 1D 13

+ · · ·· · ·+ i 1 ln (D 1p ) + i 2 ln (D 2p ) + i 3 ln (D 3p )}

Como i 1 + i 2 + i 3 = 0 =⇒i 3 = −(i 1 + i 2)

λ1 (p ) = µ2π

i 1 ln 1

RMG 1+ i 2 ln

1D 12

+ i 3 ln 1D 13

+ · · ·

· · ·+ i 1 ln (D 1p ) + i 2 ln (D 2p )

−i 1 ln(D 3p )

−i 2 ln(D 3p )

}λ1 (p ) = µ2π i 1 ln 1

RMG 1+ i 2 ln

1D 12

+ i 3 ln 1D 13

+ · · ·

· · ·+ i 1 lnD 1p D 3p

+ i 2 lnD 2p D 3p




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p

Finalmente:

λ = limp →∞

λ1 (p ) = µ

2πi 1 ln

1

RMG 1+ 1 2 ln

1

D 12+ 1 3 ln

1

D 13Un desarrollo similar se realiza para obtener λ2 y λ3.

Se puede demostrar que para un sistema de ”n” conductores lasecuaciones de enlaces de ujo son:

λ1λ2...

λn

= µ2π

ln 1RMG 1 ln 1D 12 · · · ln 1D 1nln 1D 21 ln

1RMG 2 · · · ln 1D 2n

......

. . . ...

ln 1D n1

ln 1D n2 · · ·

ln 1RMG n

[L] matriz de Inductancias

i 1i 2......

i n

Esta ecuación también es válida en el plano fasorial:

[λ] = [L][I ]




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41/94

Finalmente:

λ = limp →∞

λ1 (p ) = µ

2πi 1 ln

1

RMG 1+ 1 2 ln

1

D 12+ 1 3 ln

1



λ1λ2...

λn

= µ2π


1RMG 2 · · · ln 1D 2n

......

. . . ...

ln 1D n1

ln 1D n2 · · ·

ln 1RMG n


i 1i 2......

i n


[λ] = [L][I ]




http://find/


42/94

Finalmente:

λ = limp →∞

λ1 (p ) = µ

2πi 1 ln

1

RMG 1+ 1 2 ln

1

D 12+ 1 3 ln

1



λ1λ2...

λn

= µ2π


1RMG 2 · · · ln 1D 2n

......

. . . ...

ln 1D n1

ln 1D n2 · · ·

ln 1RMG n


i 1i 2......

i n


[λ] = [L][I ]




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43/94

Caso 1: Ĺınea 3 φ simétrica

Si RMG = RMG 1 = RMG 2 = RMG 3 se obtiene:

λ1 = µ2π

i 1 ln 1

RMG + i 2 ln

1D

+ i 3 ln1D

con i 3 = −(i 1 + i 2)λ1 =

µ2π

i 1 ln D RMG ⇒

L1 = µ2π

ln D RMG

H m

Se puede demostrar que:

L = L1 = L2 = L3 = µ2π

ln D RMG

H m




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44/94



λ1 = µ2π

i 1 ln 1

RMG + i 2 ln

1D

+ i 3 ln1D

con i 3 = −(i 1 + i 2)λ1 =

µ2π

i 1 ln D RMG ⇒

L1 = µ2π

ln D RMG

H m


L = L1 = L2 = L3 = µ2π

ln D RMG

H m




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λ1 = µ2π

i 1 ln 1

RMG + i 2 ln

1D

+ i 3 ln1D

con i 3 = −(i 1 + i 2)λ1 =

µ2π

i 1 ln D RMG ⇒

L1 = µ2π

ln D RMG

H m


L = L1 = L2 = L3 = µ2π

ln D RMG

H m




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46/94

Caso 2: Ĺınea 3 φ con trasposici´on

Tramo I

λ1I = µ2π

i 1 ln 1

RMG 1+ i 2 ln

1D 12

+ i 3 ln 1D 13

Wbv m




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47/94

Tramo II

λ1II = µ2π

i 1 ln 1

RMG 1+ i 2 ln

1D 23

+ i 3 ln 1D 12

Wbv m

Tramo III

λ1III = µ2π

i 1 ln 1

RMG 1+ i 2 ln

1D 13

+ i 3 ln 1D 23

Wbv m

Debido a la linealidad del sistema se puede obtener un λ1 equivalente

como:λ1 =

λ1I + λ1II + λ1III 3




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λ1 = 13

µ2π

3i 1 ln 1

RMG 1+ i 2 ln

1D 12D 13D 23

+ i 3 ln 1

D 12D 13D 23

con i 3 = −(i 1 + i 2)

λ1 = 1

3µ

2π3i 1 ln

1RMG 1 −i 1 ln

1D 12D 13D 23

= 1

3µ

2π3i 1 ln

1RMG 1

+ 3 i 1 ln 3

D 12D 13D 23

λ1 = µ

2πi 1 ln

3√ D 12D 13D 23RMG 1H m






49/94

Aśı:

L = L1 = L2 = L3 = µ2π ln

DMG RMG

H m

donde : RMG = RMG 1 = RMG 2 = RMG 3

DMG = 3

D 12D 13D 23 : Distancia media geométrica

Signicado:




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50/94

c. Inductancia en una ĺınea 1 φ con múltiples conductores por fase

Los sub-conductores de “x ” poseen un radio r x y conducen una corrienteidéntica igual a I x N . De la misma forma, los sub-conductores de “y ”

poseen un radio r y y conducen corriente idéntica igual a I y M . Notar

que I x = −I y . Considerando el sub-conductor k se tiene:

φk = µ2π

I x N

N

n=1

ln 1D kn −

I x M

M

m =1

ln 1D km




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51/94

La corriente que conduce el conductor k es I N entonces:

λ k = φk N

= µ2π

I x N 2

N

n=1

ln 1D kn −

I x M N

M

m =1

ln 1D km

Luego, el enlace de ujo total es (λ x = f (I x )):

λ x =N

k =1

λk = µ2π

I x 1

N 2

N

k =1

N

n=1

ln 1D kn −

1M N

N

k =1

M

m =1

ln 1D km

= µ2π

I x 1N 2

N

k =1

ln 1N

n=1

D kn− 1M N

N

k =1

ln 1M

m =1

D km




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λx = µ2π

I x 1

N 2 ln

1N

k =1

N

n=1

D kn−

1M N

ln1

N

k =1

M

m =1

D km

λx = µ2π

I x ln

M N N k =1

M

m =1

D km

N 2

N

k =1

N

n=1D kn

Wbv m




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53/94

Finalmente:

Lx = λx I x =

µ2π ln

DMG xy RMG x

H m Ly =

λy I y =

µ2π ln

DMG xy RMG y

H m

donde:

DMG xy = M N N k =1

M

m =1

D km Distancia media geométrica entre

los conductores “x”-“y”

RMG x = N 2 N

k =1

N

n=1

D kn Radio medio geométrico del con-ductor compuesto “x”

RMG y = M 2 M

k =1

M

m =1

D km Radio medio geométrico del con-ductor compuesto “y”



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54/94

Uso de tablas



Uso de tablas

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55/94

Ejemplo 1Considere una ĺınea de trifásica, con transposici ón, 1 conductor Falcon ×fase, DMG=20 [ft]

x L = ωL = 2π fL = 2π f µ2π

ln DMG [m]RMG cond [m] Ωm

= f µ1609 ln DMG [m]RMG cond [m] Ωmi

= f µ1609 ln(10) log DMG [ft ]RMG cond [ft ] Ωmi

Considerando µ = µ0 = 4π ×10−7 [H / m] se obtienex L = f µ01609 ln(10) log

DMG [ft ]

RMG cond [ft ] Ω

mi

≈4.6557 ×10−3f log DMG [ft ]RMG cond [ft ] Ωmi

≈0.2328 log DMG [ft ]RMG cond [ft ]

Ωmi

a 50[Hz ]



Uso de tablas

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56/94

T́ıpicamente se descompone la expresi ón de reactancia inductiva como

x L = 0 .2328 log DMG [ft ]RMG cond [ft ] Ωmi = 0 .2328 log 1 [ft ]RMG cond [ft ]

x a

+ 0 .2328 logDMG [ft ]

1 [ft ]

x d

Ωmi

= x a + x d Ωmi

Para nuestro ejemplo

x L = (0 .299)

obtenido ×tabla+0 .2328 log(20 [ft ]) Ωmi

≈0.6019 Ωmi



Uso de tablas

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57/94

Tabla con parámetros eléctricos de conductores desnudos ACSRCharacteristics of erial Lines

TABLE 2 A—CHARACTERIS TICS OF ALUMINUM CABLE STEEL REINFORCED

Chapter

Aluminum Company of America)



Uso de tablas

l

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Ejemplo 2Considere una ĺınea de trifásica, con transposici ón, 4 conductores Falcon

× fase, D=20 [ft], d=1.2 [ft]

DMG = 3√ D D 2D = 3√ 2D ≈25.2 [ft ]

RMG fase = 16

4

i =1

4

j =1 d ij =

16

RMG cond

√ 2d

34

[ft ]

= 4 RMG cond √ 2d 3 [ft ]

= 4 RMG cond 218 d

34 [ft ]



Uso de tablas

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59/94

x L = 0 . 2328 log DMG [ft ]RMG fase [ft ] Ωmi

= 0 . 2328 log 1 [ft ]RMG fase [ft ]

+ 0 .2328 log DMG [ft ]1 [ft ] Ωmi

= 0 . 2328 log 1 [ft ]

4√ RMG cond 2 18 d 34 [ft ]+ 0 .2328 log

DMG [ft ]1 [ft ] Ωmi

= 0 . 2328 log 1 [ft ]

4

√ RMG cond [ft ] −0. 2328 log 2

18 d

34 [ft ] + 0 . 2328 log

DMG [ft ]

1 [ft ]=

x a4 −x d |d =2 18 d 34 [ft ] + x d |d = DMG [ft ]

= (0. 299)

4 −0. 2328 log(1 .2503 [ft ]) + 0 .2328 log(25 .2 [ft ])= 0 . 3784

Ω

mi

r = 0.059

4 ≈0.01475 Ωmi

a 25◦ C

r = 0.0675

4 ≈0.016875 Ωmi

a 50◦ C



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Impedancia serie a secuencia cero




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Las corrientes de desbalance se distribuyen por tierra a través decaminos que ofrecen menor oposición (menor impedancia)Para modelar el comportamiento de la tierra se acostumbra utilizarlas clásicas ecuaciones desarrolladas por John R. Carson [5]




Método de Carson

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Metodo de Carsona. Se asume que el terreno posee una resistividad homogénea (ρ

constante)b. La tierra es reemplaza por un conjunto de conductores cticiosc. A cada conductor aéreo le corresponde un conductor cticio de igual

calibre ubicado abajo a una distancia D e

D e = 658 .5

ρ

f [m]

≈2160

ρ

f [ft ]

donde ρ [Ωm] es la resistividad del terreno y f [Hz ] es la frecuenciadel sistema

d. Las pérdidas de potencia en tierra se representan por medio de unaresistencia R e que no depende del número de conductores ni de sus

calibresR e ≈9.869 ×10−7f [Ω/ m]

≈0.0493 [Ω/ km ] a 50 [Hz ]≈0.0794 [Ω/ mi ] a 50 [Hz ]




a Ĺınea sin cable de guardia y con retorno por tierra

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a. Lınea sin cable de guardia y con retorno por tierra

En la representación equivalente, el conductor posee las siguientescaracteŕısticas

Radio equivalente con-ductores

: RMG equiv = 3√ RMG fase DMG 2 [m]Resistencia equivalenteconductores aéreos

: r a / 3 [Ω/ m] (r a , resistencia equiv. por fase)

Resistencia equivalentetierra

: R e [Ω/ m]




De esta forma la impedancia serie de secuencia cero resulta:

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De esta forma, la impedancia serie de secuencia cero resulta:

z 0(a ) = r a + 3 R e + j 3ω µ

2π1609 ln

D e 3

√ RMG fase DMG 2

Ω

mi = r a + r e + j x fase a + x e − 2x d |d = DMG

Ωmi

donde

r e = 3 R e ≈0.002961f Ωkm ≈0.004764f

Ωmi

x e = 3 ω µ2π

1000 ln 658.5 ρf Ωkm = 0 .1885 ln 433622 .3 ρf 12 Ω

km

= 0 .09425 ln 433622 .3ρf

Ωkm

= 3 ω µ2π

1609 ln 2160 ρf Ωmi = 0 .3033 ln(10) log 4665600 ρf 12 Ω

mi

= 0 .3492 log 4665600ρf

Ωmi

= 0 .006985f log 4665600ρf

Ωmi




Algunos valores de r y x en [Ω/ mi ]

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Algunos valores de r e y x e en [Ω/ mi ]

ρ Frecuencia[Ωm] 25 [Hz] 50 [Hz] 60 [Hz]r e Todos 0.1192 0.2383 0.2860

x e 1 0.921 1.736 2.050

5 1.043 1.980 2.34310 1.095 2.085 2.46950 1.217 2.329 2.762100 1.270 2.434 2.888500 1.392 2.679 3.1811000 1.444 2.784 3.3075000 1.566 3.028 3.60010000 1.619 3.133 3.726




b Ĺınea con cable de guardia y con retorno por tierra

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b. Lınea con cable de guardia y con retorno por tierra

I a0 = I a0 + I a0

Z 0 = V a0I a0

= E a0I a0

aa

aaaaa

aaaaaaa

De (2) ⇒ I g = −Z 0(ag )Z 0(g )

I a0

Reemplazando en (1), E a = Z 0(a ) I a0 − Z 20(ag )

Z 0(g )I a0

⇒Z0 = Z0(a )

Z 20(ag )Prof. Héctor A. Pulgar Painemal Capı́tulo 3. C´alculo de parámetros de ĺıneas de transmisi´ on 2do semestre 2013 52 / 79



b. Ĺınea con cable de guardia y con retorno por tierra



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b. Lınea con cable de guardia y con retorno por tierra

I a0 = I a0 + I a0

Z 0 = V a0

I a0=

E a0

I a0

E a = Z 0(a ) I a0 + Z 0(ag ) I g (1)

0 = Z 0(ag ) I a0 + Z 0(g ) I g (2)De (2)

⇒ I g =

−

Z 0(ag )Z 0(g )

I a0

Reemplazando en (1), E a = Z 0(a ) I a0 − Z 20(ag )

Z 0(g )I a0

⇒ Z 0 = Z 0(a ) −

Z 20(ag )Z 0(g )




Estas expresiones también son válidas para determinar las impedancias

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Estas expresiones tambien son validas para determinar las impedanciaspor unidad de longitud

z 0(a ) : Impedancia por unidad de longitud de secuencia cero s óloconsiderando las fases con retorno por tierra (valor ya cal-culado en sección a.)

z 0(g ) : Impedancia por unidad de longitud de secuencia cero s óloconsiderando los cables de guardia con retorno por tierra

z 0(ag ) : Impedancia por unidad de longitud mutua de secuencia cero

entre las fases y los cables de guardiaDMG ag : Distancia media geométrica entre las fases y,los cables de

guardia

donde: Z 0(a ) = z 0(a ) Ωmi × [mi ]

Z 0(g ) = z 0(g ) Ωmi × [mi ]

Z 0(ag ) = z 0(ag ) Ωmi × [mi ]




Aśı,

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69/94

,

z 0(a )

= r a + r e + j x fase a

+ x e −

2x d |d = DMG

Ω

mi

Para la impedancia propia del circuito formado por los cables de guardia,se procede como sigue:

z 0(g ) = 3 r c + r e + j 3ω µ2π 1609 ln(10) log

D e RMG g

Ωmi

= 3 r c + r e + j x a g + x e Ωmi

donde:r c : Resistencia por unidad de longitud equivalente de los

conductores de guardia

RMG g : Radio medio geométrico equivalente de los conductoresde guardia




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70/94

En la expresión anterior x a g = 0 .2328 log 1RMG g . A modo de ejemplo si

se poseen dos conductores de guardia, cada uno con RMG cond yseparados una distancia d 1, entonces:

RMG g = RMG g d 1Reemplazando

z 0(g ) = 3 r c + r e + j 3ω µ2π

1609 ln(10) log D e

RMG g d 1 Ωmi

= 3 r c + r e + j ω µ2π

1609 ln(10)32

log 1

RMG g − 32

log (d 1) + 3 log ( D e )

= 3 r c + r e + j 32

x a − 32

x d |d = d 1 + x e Ωmi Prof. Héctor A. Pulgar Painemal Capı́tulo 3. C´alculo de parámetros de ĺıneas de transmisi´ on 2do semestre 2013 56 / 79



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71/94

Para la impedancia mutua entre las fases y los cables de guardia, seprocede como sigue:

z 0(ag ) = r e + j 3ω µ2π

1609 ln(10) ln D e

DMG ag Ωmi = r e + j x e −3x d |d = DMG ag

donde:DMG ag : Distancia media geométrica entre las fases y los con-

ductores de guardia



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Capacitancia a secuencia positiva




O d l ´ l d l ĺ d i i´ l

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73/94

Otro de los parámetros relevantes de las ĺıneas de transmisi ón es lareactancia capacitiva. La incidencia del efecto capacitivo depende de la

tensión eléctrica de la ĺınea y por lo tanto se dene como parámetroparalelo.

Recordemos que al aplicar unadiferencia de potencial a dos

conductores separados una ciertadistancia, estos adquieren carga+ q (t ) y −q (t ). El valor de lacarga dependerá de la diferenciade potencial y de una constantede proporcionalidad “C ” llamadacapacitancia. En el caso decorriente continua

Q d .c . = CV d .c .

En el caso a.c.

i (t ) = dq (t )

dt

q (t ) = Cv (t )

¡Por el dieléctrico no circula corriente!

i (t ) = C dv (t )

dt En el plano fasorial:

I = + j ωCV




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75/94

En ĺıneas eléctricas este fen ómenoestá presente entre ĺıneas y entreĺınea y tierra.

Aunque la ĺınea esté en vaćıo, porella circulan corrientes debido alfenómeno oscilatorio de carga ydescarga de conductores.Estas se llaman “corrientes de

carga” y en ĺıneas de A.T. y degran longitud llegan a sersignicantes.

Nota: Le damos el nombre de corrientes de carga porque se deben al

movimiento de carga eléctrica en los conductores. No confundir con el término carga empleado en el contexto de demanda eléctrica.




Ecuaciones generales:

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Ecuaciones generales:Suposiciones:

a. Efecto de borde despreciableb. Conductor perfecto (sin

pérdidas) ⇒ E int = ρJ = 0

Ley de Gauss:

φe total = S −→E ·d −→s = q total 0⇒

E x 2πx = q total ε 0

⇒ E x = q 2π x ε 0

V m

donde q = q total es la carga porunidad de longitud




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v 12 =

c −→E ·−→dx [V ]

v 12 = D 2

D 1E x dx

v 12 = q

2πε 0 D 2

D 1

1

x dx =

q

2πε 0ln x

D 2

D 1

[V ]

v 12 = q 2πε 0

lnD 2D 1

[V ]


V = Q 2πε 0

ln D 2D 1

[V ]

ε0 = 8 .854 ·10−12F m




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v 12 =

c −→E ·−→dx [V ]

v 12 = D 2

D 1E x dx

v 12 = q

2πε 0 D 2

D 1

1

x dx =

q

2πε 0ln x

D 2

D 1

[V ]

v 12 = q 2πε 0

lnD 2D 1

[V ]


V = Q 2πε 0

ln D 2D 1

[V ]

ε0 = 8 .854 ·10−12F m




Cuando el dieléctrico no es el espacio libre,ε0 se reemplaza por

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Cuando el dielectrico no es el espacio libre, ε0 se reemplaza porε = εr ε0[F / m] (ĺıneas aéreas ε = ε0, εr = 1).

Cálculo de la capacitancia de una ĺınea de dos conductoresQ 1 + Q 2 = 0

C 12 = Q 1V 12

V 12 = f (Q 1, Q 2)V 12 = V 12(Q 1) + V 12(Q 2) (principio de superposición)

V 12(Q 1) =

Q 1

2πε 0ln

D

r 1[V ]

V 12(Q 2) = Q 22πε 0

lnr 2D

[V ]



Capacitancia

Con Q 2 = −Q 1 y r = r 1 = r 2 se obtiene:

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V 12 = Q 12πε 0 ln

D r 1 −

Q 12πε 0 ln

r 2D =

Q 12πε 0 ln

D 2

r 1r 2

= Q 1πε 0

ln D √ r 1r 2 [V ]

⇒C 12 =

Q 1V 12 =

πε0ln D r

F

m

Generalmente, se acostumbra a especicar la capacitancia a un puntoneutro:

C 12 = C 1C 2C

1 + C

2

= C 1

2

= C 2

2C 1 = C 2

⇒C 1 = C 2 =

2πε 0ln D r

F m




Capacitancia de una ĺınea 3 φ simétrica

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Q 1 + Q 2 + Q 3 = 0

V 12 = Q 1

2πε 0ln D

r 1+ Q 2

2πε 0ln r 2

D + Q 3

2πε 0ln D

D

V 13 = Q 12πε 0

lnD r 1

+ Q 22πε 0

lnD D

+ Q 32πε 0

lnr 3D

V 12 = V 1 √ 3∠30o (+) V 13 = V 1 √ 3∠ −30o

↓3V 1 = V 12 + V 13⇒

V 1 = V 12+ V 133




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V 1 = V

12 + V

133 = 13 12πε 0 2 Q 1 ln

D r 1 + Q

2 lnr 2

D + Q 3 lnr 3

D

con Q 1 + Q 2 + Q 3 = 0 y r = r 1 = r 2 = r 3 se obtiene:

V 1 = Q 12πε 0 ln

D

r [V ]

⇒ C 1 =

2πε 0ln D r

F m

⇒ X C 1 =

1ω C 1 =

ln D r 4π2f ε0 [Ω m]

Se puede demostrar que X C 1 = X C 2 = X C 3 (reactancias capacitivas porfases) (o alternativamente C 1 = C 2 = C 3)




Capacitancia de una ĺınea 3 φ asimétrica con transposici´ on

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Tramo I

V 12 I = 12πε 0

Q 1 lnD 12r 1

+ Q 2 ln r 2D 12

+ Q 3 lnD 23D 13




Tramo II

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V 12 II = 12πε 0 Q 1 ln

D 23r 1 + Q 2 ln

r 2D 23 + Q 3 ln

D 13D 12

Tramo III

V 12 III = 12πε

0

Q 1 lnD 13r 1

+ Q 2 ln r 2D

13

+ Q 3 lnD 12D

23

Finalmente:

V 12 = V 12 I + V 12 II + V 12 III

3si r = r 1 = r 2 = r 3 se obtiene:

V 12 = 12πε 0

Q 1 lnDMG

r + Q 2 ln

r DMG

[V ]

donde: DMG = 3√ D 12D 23D 31Prof. Héctor A. Pulgar Painemal Capı́tulo 3. C´alculo de parámetros de ĺıneas de transmisi´ on 2

dosemestre 2013 69 / 79



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De igual forma se puede obtener V 13 = V 13 I + V 13 II + V 13 II I 3

Finalmente:

V 1 = V 12 + V 13

3 =

Q 12πε 0

lnDMG

r [V ]

Se pude demostrar que:

C 1 = C 2 = C 3 = 2πε 0ln DMG r

F m

X C 1 = X C 2 = X C 3 = 1ω C 1= ln

DMG r

4π2f ε0[Ω m]

Prof. Héctor A. Pulgar Painemal Capı́tulo 3. C´alculo de parámetros de ĺıneas de transmisi´ on 2do

semestre 2013 70 / 79 ELI-246 Análisis de Sistemas de Potencia I Departamento de Ingenieŕıa Eléctrica, UTFSM


Capacitancia de una ĺınea 3 φ considerando el efecto de tierraL ĺ t i i´

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La lınea posee trasposicion

Tramo IV 1 I =

12πε 0

Q 1 ln1r

+ . . .

. . . + Q 2 ln 1D 12

+ Q 3 ln 1D 13

+ . . .

. . . + Q 1 ln 1H 11

+ Q 2 ln 1H 12

+ . . .

Q 3 ln 1H 13

Q 1 = −Q 1Q 2 = −Q 2Q 3 = −Q 3

3

i =1

Q i = 0;3

i =1

Q i = 0

Prof Héctor A Pulgar Painemal Capı́tulo 3 C´alculo de parámetros de ĺıneas de transmisi´ on 2do





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Tramo II

V 1 II = 12πε 0

Q 1 ln1r

+ Q 2 ln 1D 23

+ Q 3 ln 1D 12

+ . . .

. . . + Q 1 ln 1H 22

+ Q 2 ln 1H 23

+ Q 3 ln 1H 21

Tramo III

V 1 III = 12πε 0

Q 1 ln1r

+ Q 2 ln 1D 13

+ Q 3 ln 1D 23

+ . . .

. . . + Q 1 ln 1H 33 + Q 2 ln 1H 31 + Q 3 ln 1H 32



CapacitanciaAśı,

1 1 1 1 1



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V 1 = 1

2πε 0

1

3ln

1

r 3 Q 1 + ln

1

D 12D 23D 13Q 2 + ln

1

D 12D 23D 13Q 3 +

· · ·· · ·+ ln

1H 11 H 22 H 33

Q 1 + ln 1

H 11 H 22 H 33Q 2 + ln

1H 11 H 22 H 33

Q 3

por simetŕıa:H 12 = H 21 H 11 = 2H 1H 23 = H 32 ∧ H 22 = 2H 2H 31 = H 13 H 33 = 2H 3

con Q 3 = −(Q 1 + Q 2) ∧ Q 3 = −(Q 1 + Q 2) se obtiene:X c =

1

ω 2πε 0ln

DMG

r −ln

3√ H 12 H 23 H 312 HMG

[Ω m]

donde:

DMG = 3 D 12D 23D 13HMG = 3 H 1H 2H 3Prof Héctor A Pulgar Painemal Capı́tulo 3 C´alculo de parámetros de ĺıneas de transmisi´ on 2

dosemestre 2013 73 / 79


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Capacitancia a secuencia cero



Capacitancia a secuencia cero

a. Ĺınea 3 φ sin cable de guardia y conexi´ on a tierra

Tramo I

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Tramo I

V a0 I = 12πε 0 Q a0 ln

1r + . . .

. . . + Q b 0 ln 1D 12

+ Q c 0 ln 1D 13

+ . . .

. . . + Q a0 ln 1

H 11+ Q b 0 ln

1

H 12+ . . .

Q c 0 ln 1H 13

Q a0 = −Q a0Q b 0 = −Q b 0Q c 0 = −Q c 0

donde Q a0 = Q b 0 = Q c 0

⇒V a0 I =

Q a02πε0

ln2H 1H 12 H 13

r D 12D 13



Capacitancia a secuencia ceroTramo II

V 0 II = Q a0 ln

2H 2H 23 H 21

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V a0 II = 2πε 0ln

rD 23D 12Tramo III

V a0 III = Q a02πε 0

ln2H 3H 31 H 32

rD 13D 23Aśı,

V a0 = V a0 I + V a0 II + V a0 III 3 = Q a0

2πε 0ln 8H 1H 2H 3(H 12 H 13 H 23 )

2

r 3(D 12D 13D 23)2

13

= Q a02πε 0

ln2 3√ H 1H 2H 3 3√ H 12 H 13 H 23 2

r ( 3√ D 12D 13D 23)2

= Q a02πε 0

ln 2HMG 3

√ H 12 H 13 H 232

r DMG 2 donde HMG = 3 H 1H 2H 3

⇒C a0 =

Q a0V a0

F m ⇒x a (0) =

1ω C a0

= V a0ωQ a0

[Ω m]



Capacitancia a secuencia ceroEn el caso particular cuando 2HMG ≈ 3√ H 12 H 13 H 23 se tiene

1 (2HMG )3 3 2HMG

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x a (0) = 1

ω 2πε 0ln

(2HMG )

r DMG 2 =

3

ω 2πε 0ln

2HMG 3

√ r DMG 2

[Ω m]

≈ 3×2.8608

f ln

2HMG 3√ r DMG 2 [M Ω km]

≈ 3×1.778

f ln

2HMG 3√ r DMG 2 [M Ω mi ]

≈ 1.778f ln 1r − 2×1.778f ln(DMG ) + 3×1.778f ln(2HMG ) [M Ω mi ]= x a , fase −2x d |d = DMG + x e [M Ω mi ]

donde

x e ≈ 3×1.778

f ln(2HMG ) =

3×1.778f

ln(10) log(2HMG ) [M Ω mi ]

≈ 12.3

f log(2HMG ) [M Ω mi ]



Capacitancia a secuencia cerob. Ĺınea 3 φ con cable de guardia y conexi´ on a tierraSe utiliza un procedimiento similar al utilizado para calcular la

d d

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impedancia serie de secuencia cero.

V a00 =

C −10(a ) C −1

0(ag )C −10(ag ) C −

10(g )

Q a0Q g

Notar que C −1 = ωx c . Luego

V a00 = ω x 0(a ) x 0(ag )x 0(ag ) x 0(g )

Q a0Q g

⇒Q g = −

x 0(ag )x 0(g )

Q a0 ∧ I a0 = j ωQ a0

⇒V a0 = ω x 0(a ) −

x 20(ag )x 0(g )

x 0

Q a0 = − jx 0I a0



Referencias

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1. J.D. Glover, M.S. Sarma, T. Overbye, Power Systems Analysis and Design, CLEngineering, 4th edition, 2007

2. Electrical Transmission and Distribution Reference Book, Westinghouse ElectricCorporation, 4th edition, 1950

3. L.M. Checa, Ĺıneas de Transporte de Enerǵıa, 3ra edici´ on, Alfaomega Macombo,

20004. J.J. Grainger, W.D. Stevenson, Análisis de Sistemas de Potencia, McGraw-Hill,

1996

5. J.R. Carson, Wave Propagation in Overhead Wires with Ground Return, BellSystem Tech. Journal, Vol. 5, 1926, pp. 539-554


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Calculo de parametros de lineas de transmision

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