Estudo de Vigas Contnuas: MTODO DE CROSSUNIVERSIDADE PAULISTA CAMPUS BRASLIACURSO DE GRADUAO EM ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: TEORIA DAS ESTRUTURASPROFESSORA: NVEA ALBUQUERQUEEstudo de Vigas Contnuas Estudo de Vigas ContnuasSOLUO: Criar relaes entre o carregamento e a deformao.Mtodo das ForasMtodo das DeformaesHipteses PreliminaresQuando as cargas so todas verticais e no h deformaes axiais, as reaes das vigas contnuas so todas verticais.n Reaes = n ApoiosGH = (n-2) RedundantesExcesso de reaesnuloEliminao do Apoio Central Eliminao do Apoio CentralViga hiperesttica: N incgnitas> N Eq. Esttica (EFv=0 e EM=0)A terceira equao montada a partir do seguinte modelo: Supe-se a eliminao do apoio central; Calcula-se a deformao que a viga, agora isosttica (estrutura primria: eliminao das redundantes), teria no ponto em que o apoio existia; Supe-se a aplicao de uma fora de baixo para cima que anulasse a deformao no ponto em que ocorre o apoio na viga real; Determinada a fora, define-se a reao que ocorre no apoio inicialmente eliminado, restando apenas duas outras reaes, que podem ser determinadas pelas equaes da esttica.Mtodo de Cross Mtodo de CrossIntroduoProcesso iterativo para soluo de estruturas hiperestticas desenvolvido pelo Prof. Hardy Cross em 1932. Trata-se de um algoritmo que parte do conhecimento prvio dos momentos fletores em apoios engastados de vigas de um s vo. aplicvel a elementos rgidos que possuem continuidade e ns indeslocveis.Libera-se o giro no apoio engastado, transfomando-o em apoio articulado;Calcula-se o giro que a viga sofre no apoio. Determina-se o valor do momento fletor que causa a mesma rotao, de maneira que se reproduza a situao original, ou seja, giro igual a zero, cujo valor correspondente a momento de engastamento perfeito devido ao carregamento.(Mtodo da Distribuio dos Momentos)Mtodo de Cross Mtodo de CrossMomentos de Engastamento PerfeitoEngaste-Apoio: Bi-Engastado: Em Balano:122,l qMB A =82l qMA =22l qMA =22lb a PMA =( )22 l b l b a PMA+ =l P MA =22lb a PMB =MEPMtodo de Cross Mtodo de CrossE quando no h engaste?H rotao nos apoios.Condio de Continuidade da Viga:O giro igual, mas com sinal contrrio.Mtodo de Cross Mtodo de CrossComo os momentos de engastamento perfeito podem ser conhecidos, pode-se considerar os apoios internos das vigas contnuas como inicialmente engastados. Isso pressupe que no h qualquer espcie de giro.Na realidade, quando a viga est em equilbrio, o giro existe, podendo ser horrio ou anti horrio. MEPMEPMtodo de Cross Mtodo de CrossComo o momento de engastamento de um lado do apoio normalmente diferente do outro, pois os vos e carregamentos so normalmente diferentes, significa que o n considerado engastado no est equilibrado, resultando um momento desequilibrado positivo ou negativo.Para equilibrar o n deve-se distribuir a diferena AM entre os tramos adjacentes, de maneira que resulte o momento do tramo esquerdo igual ao do direito, a menos dos sinais.Conveno de Sinais: Lado Esquerdo (-); Lado Direito (+)AMMtodo de Cross Mtodo de CrossPrincpio Importante:O elemento mais rgido sempre absorve mais esforos.Coeficiente de RigidezA rigidez de um elemento proporcional quantidade de esgastamento e inversamente proporcional ao comprimento.Usa-se uma reduo de 25% na rigidez do tramo que apresenta uma articulao e um engastel I EK = 75 , 0l I EK=1212Mtodo de Cross Mtodo de Cross=adjKKFD21= FPFD=1FD=1FD=0Mtodo de Cross Mtodo de CrossProcedimento de ClculoSegue o passo-a-passo da aplicao do mtodo, dada a viga abaixo:Tramo 1 Tramo 2Mtodo de Cross Mtodo de CrossProcedimento de ClculoClculo do coeficiente de rigidez de cada tramo:Tramo 1:Tramo 2:FDBCFDBAFDBAFDBCMtodo de Cross Mtodo de CrossProcedimento de ClculoTomando-se os MEPs e os FDs, distribui-se a diferena em cada tramo (momento desequilibrado) proporcionalmente rigidez de cada tramo.FDBAFDBCFDBAFDBCEsse procedimento significa, fisicamente, liberar o n inicialmente engastado, de forma que alcance a posio de equilbrio.Mtodo de Cross Mtodo de CrossProcedimento de ClculoSoma-se algebricamente (considerando os sinais) os valores dos momentos de cada lado do apoio. Esses valores devero ser iguais e com sinais contrrios, de tal forma que a sua soma resulte zero, condio de equilbrio. FDBAFDBCFDBA FDBCFDBAFDBCMtodo de Cross Mtodo de CrossProcedimento de ClculoDe posse do momento no apoio interno, determinam-se as reaes de apoio, usando as equaes da esttica. Para isso, considera-se cada tramo como independente, calculando-se inicialmente as reaes sem levar em conta o momento no apoio.Mtodo de Cross Mtodo de CrossProcedimento de ClculoO momento no apoio interno alivia as reaes dos apoios extremos e sobrecarrega as do apoio interno.Mtodo de Cross Mtodo de CrossProcedimento de ClculoAps esse procedimento, tem-se automaticamente determinadas as foras cortantes nos apoios para o traado dos diagramas.Mtodo de Cross Mtodo de CrossMtodo de Cross Mtodo de CrossProcedimento de ClculoQuando a viga contnua apresenta mais de dois tramos, a liberao dos ns feita para um n de cada vez, mantendo os demais perfeitamente engastados.O n, depois de equilibrado, volta a ser imobilizado.O momento distribudo para cada lado do n propagado para os ns vizinhos, que permaneceram engastados.Mtodo de Cross Mtodo de CrossProcedimento de ClculoO momento propagado provoca alterao no valor do momento desequilibrado, sendo algebricamente somado a este.Processo de propagao:Mtodo de Cross Mtodo de CrossExemplo NumricoObter o Diagrama de Momentos Fletores e o Diagrama de Esforos Cortantes da viga contnua abaixo, usando o Mtodo de Cross:Mtodo de Cross Mtodo de CrossExemplo Numrico1) Clculo do coeficientes de rigidez de cada tramo:Mtodo de Cross Mtodo de CrossExemplo Numrico2) Clculo dos fatores de distribuio:Considera-se: E x I = 1Mtodo de Cross Mtodo de CrossExemplo Numrico3) Clculo dos momentos de engastamento perfeito:Tramo 1Mtodo de Cross Mtodo de CrossExemplo Numrico3) Clculo dos momentos de engastamento perfeito:Tramo 2Mtodo de Cross Mtodo de CrossExemplo Numrico3) Clculo dos momentos de engastamento perfeito:Tramo 3Mtodo de Cross Mtodo de CrossExemplo Numrico4) Distribuio dos momentos desequilibrados:OBS Para melhorar a preciso, foram alteradas as unidades de momento de tf.m para tf.cm.Mtodo de Cross Mtodo de CrossExemplo Numrico5) Transmisso dos momentos equilibrantes aos ns adjacentes:OBS As iteraes continuam at que, em cada n, a diferena entre os valores absolutos dos momentos do lado esquerdo e direito seja desprezvel (~ 5% de diferena)Exemplo Numrico6) Somatrio dos momentos nos ns equilibrados:Exemplo Numrico7) Somatrio das reaes considerando vos isostticos independentes:momentos nos apoiosreaes isostticasefeitos dos momentos das vigas contnuasExemplo Numrico8) Somatrio das reaes considerando o efeito dos momentos negativos nos apoios centrais:Mtodo de Cross Mtodo de CrossExemplo Numrico9) Traado do DEC:Mtodo de Cross Mtodo de CrossExemplo Numrico10) Traado do DMF: