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UNESP - Bauru/SP – 1309 - Estruturas de Concreto II – Vigas de Edifícios

1

VIGAS DE EDIFÍCIOS

1. INTRODUÇÃO

O texto seguinte apresenta vários itens da NBR 6118/2003 relativos às vigas contínuas de

edifícios. O tema faz parte do programa da disciplina 1309 – Estruturas de Concreto II.

A norma NBR 6118, editada em março de 2003 pela ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE

NORMAS TÉCNICAS - ABNT, sob o título: PROJETO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO –

PROCEDIMENTO, tem 170 páginas. Esta norma substituiu as normas precedentes, NB 1/78 e

NBR 6118/1980.

A norma tem como objetivo fixar os requisitos básicos exigíveis para o projeto de estruturas

de concreto simples, armado e protendido, excluídas aquelas em que se empregam concreto leve,

pesado ou outros especiais. Aplica-se às estruturas de concretos normais, com massa específica seca

maior que 2.000 kg/m3 e menor que 2.800 kg/m3, do grupo I da NBR 8953 de resistência para o

concreto à compressão (C10 a C50). Excluem-se da norma os concretos massa e sem finos.

2. DEFINIÇÕES DE ESTADOS LIMITES

Uma estrutura de concreto armado bem projetada deve apresentar uma conveniente margem

de segurança contra a ruptura provocada pelas solicitações, deformações menores que as máximas

permitidas e durabilidade (não apresentar corrosão, fissuração excessiva, etc.), durante toda sua vida

útil.

Em resumo, o bom projeto estrutural deve garantir a estabilidade, o conforto e a

durabilidade da estrutura. Portanto, uma estrutura não preenche mais os requisitos de utilização

quando atinge o chamado “estado limite”. A NBR 6118/80 definia os estados limites “último” e de

“utilização”. A NBR 6118/2003 redefiniu o estado de utilização como de serviço (ELS),

classificando-o de acordo com o tipo de ocorrência na estrutura. Os estados limites de interesse às

estruturas de Concreto Armado, conforme o item 3.2 da norma, são apresentados a seguir.

2.1 Estado Limite Último (ELU): Estado limite relacionado ao colapso, ou a qualquer outra forma

de ruína estrutural, que determine a paralisação do uso da estrutura.

2.2 Estado Limite de Formação de Fissuras (ELS-F): Estado em que se inicia a formação de

fissuras. Admite-se que este estado limite é atingido quando a tensão de tração máxima na seção


2

transversal for igual à resistência à tração na flexão, determinada de acordo com a NBR 12142

(fct,f).

2.3 Estado Limite de Abertura das Fissuras (ELS-W): Estado em que as fissuras se apresentam

com aberturas iguais aos máximos especificados no item 13.4.2.

2.4 Estado Limite de Deformações Excessivas (ELS-DEF): Estado em que as deformações

atingem os limites estabelecidos para a utilização normal, dados no item 13.4.2.

2.5 Estado Limite de Vibrações Excessivas (ELS-VE): Estado em que as vibrações atingem os

limites estabelecidos para a utilização normal da construção.

3. ANÁLISE ESTRUTURAL

No item 14 a NBR 6118/2003 apresenta uma série de informações relativas à Análise

Estrutural, como princípios gerais, hipóteses, tipos, etc., de elementos lineares e de superfície, além

de vigas-parede, pilares-parede e blocos. Segundo a norma “o objetivo da análise estrutural é

determinar os efeitos das ações em uma estrutura, com a finalidade de efetuar verificações de

estados limites últimos (ELU) e de serviço (ELS). A análise estrutural permite estabelecer as

distribuições de esforços internos, tensões, deformações e deslocamentos, em uma parte ou em toda

a estrutura.”

“A análise deve ser feita com um modelo estrutural realista, que permita representar de

maneira clara todos os caminhos percorridos pelas ações até os apoios da estrutura e que permita

também representar a resposta não linear dos materiais. As condições de equilíbrio devem ser

necessariamente respeitadas. Análises locais complementares devem ser efetuadas nos casos em

que a hipótese da seção plana não se aplica.

As equações de equilíbrio podem ser estabelecidas com base na geometria indeformada da

estrutura (teoria de 1a ordem), exceto nos casos em que os deslocamentos alterem de maneira

significativa os esforços internos (teoria de 2a ordem).”

Teoria ou Análise de Primeira Ordem: o equilíbrio da seção é estudado na configuração

geométrica inicial (item 15.2).

Teoria ou Análise de Segunda Ordem: o equilíbrio da seção é estudado considerando a

configuração deformada (item 15.2).

“As estruturas podem ser idealizadas como a composição de elementos estruturais básicos,

classificados e definidos de acordo com a sua forma geométrica e a sua função estrutural.


3

No item 14.5 a NBR 6118 apresenta cinco tipos de análise estrutural, os quais se

diferenciam pelo comportamento admitido para os materiais constituintes da estrutura, observadas

as limitações correspondentes. Todos os modelos admitem que os deslocamentos da estrutura são

pequenos.

3.1 Análise Linear

Admite-se comportamento elástico-linear (vale a lei de Hooke – existe proporcionalidade

entre tensão e deformação e ausência de deformações residuais num ciclo carregamento-

descarregamento) para os materiais. Na análise global (análise do conjunto da estrutura) as

características geométricas podem ser determinadas pela seção bruta de concreto dos elementos

estruturais. Em análises locais (análise de um elemento estrutural isolado) para cálculo dos

deslocamentos, na eventualidade da fissuração, esta deve ser considerada.

O valor para o módulo de elasticidade deve, em princípio, ser considerado o secante (Ecs),

definido no item 8.2.8 da NBR 6118/2003.

Os resultados de uma análise linear são usualmente empregados para a verificação de

estados limites de serviço. É possível estender os resultados para verificações de estado limite

último, mesmo com tensões elevadas, desde que se garanta a ductilidade dos elementos estruturais.

3.2 Análise Linear com Redistribuição

Na análise linear com redistribuição, os efeitos das ações, determinados em uma análise

linear, são redistribuídos na estrutura, para as combinações de carregamento do estado limite último

(ELU). Nesse caso, as condições de equilíbrio e de ductilidade devem ser obrigatoriamente

satisfeitas. Todos os esforços internos devem ser recalculados de modo a garantir o equilíbrio de

cada um dos elementos estruturais e da estrutura como um todo. Os efeitos de redistribuição devem

ser considerados em todos os aspectos do projeto estrutural, inclusive as condições de ancoragem e

corte de armaduras e os esforços a ancorar.

Cuidados especiais devem ser tomados com relação a carregamentos de grande

variabilidade.

As verificações de combinações de carregamento de estado limite de serviço (ELS) ou de

fadiga podem ser baseadas na análise linear sem redistribuição. De uma maneira geral é desejável

que não haja redistribuição de esforços em serviço.


4

3.3 Análise Plástica

A análise estrutural é denominada plástica quando as não linearidades puderem ser

consideradas, admitindo-se materiais de comportamento rígido-plástico perfeito (figura 1) ou

elasto-plástico perfeito (figura 2).

yσ

ε

σ

yσy

σ

ε y ε

Figura 1 – Material rígido-plástico perfeito. Figura 2 – Material elasto-plástico perfeito.

A análise plástica de estruturas reticuladas não pode ser adotada quando:

a) se consideram os efeitos de segunda ordem global;

b) não houver suficiente ductilidade para que as configurações adotadas sejam atingidas.

No caso de carregamento cíclico com possibilidade de fadiga deve-se evitar o cálculo

plástico.

3.4 Análise Não-Linear

Na análise não-linear considera-se o comportamento não-linear dos materiais.

Toda a geometria da estrutura, bem como todas as suas armaduras, precisam ser conhecidas

para que a análise não-linear possa ser efetuada, pois a resposta da estrutura depende de como ela

foi armada.

Condições de equilíbrio, de compatibilidade e de ductilidade devem ser necessariamente

satisfeitas. Análises não-lineares podem ser adotadas tanto para verificações de estados limites

últimos como para verificações de estados limites de serviço.

3.5 Análise por Meio de Elementos Físicos

Na análise de modelos físicos, o comportamento estrutural é determinado a partir de ensaios

realizados com modelos físicos de concreto, considerando os critérios de semelhança mecânica.


5

A metodologia empregada nos experimentos deve assegurar a possibilidade de obter a

correta interpretação dos resultados. Neste caso, a interpretação dos resultados deve ser justificada

por modelo teórico do equilíbrio nas seções críticas e análise estatística dos resultados.

Se for possível uma avaliação adequada da variabilidade dos resultados, pode-se adotar as

margens de segurança prescritas nesta Norma. Caso contrário, quando só for possível avaliar o valor

médio dos resultados, deve ser ampliada a margem de segurança referida nesta Norma, cobrindo a

favor da segurança nas variabilidades avaliadas por outros meios.

Obrigatoriamente devem ser obtidos resultados para todos os estados limites últimos e de

serviço a serem empregados na análise da estrutura.

Todas as ações, condições e possíveis influências que possam ocorrer durante a vida da

estrutura devem ser convenientemente reproduzidas nos ensaios.

Esse tipo de análise é apropriado quando os modelos de cálculo são insuficientes ou estão

fora do escopo desta Norma.

4. DEFINIÇÃO DE VIGA

São elementos lineares em que a flexão é preponderante (item 14.4.1.1). Elementos lineares

são aqueles em que o comprimento longitudinal supera em pelo menos três vezes a maior dimensão

da seção transversal, sendo também denominada barras.

5. VÃO EFETIVO

O vão efetivo (item 14.6.2.4), o qual substitui o chamado vão teórico da norma anterior

(NBR 6118/80), pode ser calculado pela expressão:

= + aefl 0l 1 + a2 (Eq. 1)

com: a1 e a⎩⎨⎧

≤h3,02/t1

2 ⎩⎨⎧

≤h3,02/t2

As dimensões 0l , t1, t2 e h estão indicadas na figura 3.


6

h

t1

Figura 3 – Dimensões c

6. ALTURA E LARGURA DAS

De modo geral, a preferênci

embutidas nas paredes de vedação, d

que isso ocorra, a largura das vigas d

qual depende basicamente das dimen

(tijolo maciço, bloco furado, etc.). D

revestimento (reboco), nos dois lados

de São Paulo tem usualmente a espess

Existe no comércio uma infin

variadas, tanto para os blocos de sei

maciços. Antes de se definir a largura

da unidade de alvenaria, levando-se e

No caso de construções de p

usual se construir primeiramente as

pilares, as vigas e as lajes, é interessa

os revestimentos, ou seja, igual à dim

A altura das vigas depende

carregamento e a resistência do concr

l
0 t2
onsideradas no cálculo do vão efetivo das vigas.

VIGAS

a dos engenheiros e arquitetos é de que as vigas fiquem

e tal forma que não possam ser percebidas visualmente. Para

eve ser escolhida em função da espessura final da parede, a

sões e da posição de assentamento das unidades de alvenaria

eve também ser considerada a espessura da argamassa de

da parede. O revestimento de argamassa no interior do Estado

ura de 1,5 cm a 2,0 cm.

idade de unidades de alvenaria, com as dimensões as mais

s como para os de oito furos, como também para os tijolos

da viga é necessário, portanto, definir o tipo e as dimensões

m consideração a posição em que a unidade será assentada.

equeno porte, como casas, sobrados, barracões, etc., onde é

paredes de alvenaria, para em seguida serem construídos os

nte escolher a largura das vigas igual à largura da parede sem

ensão da unidade que resulta na largura da parede.

de diversos fatores, sendo os mais importantes o vão, o

eto. A altura deve ser suficiente para proporcionar resistência


7

mecânica e baixa deformabilidade (flecha). Considerando por exemplo o esquema de uma viga

como mostrado na figura 4, para concretos do tipo C-20 e C-25, uma indicação prática para a

estimativa da altura das vigas de concreto armado é dividir o vão efetivo por doze, isto é:

12h e

12h 2,ef

21,ef

1ll

== (Eq. 2)

Na estimativa da altura de vigas com concretos de resistência superior devem ser

considerados valores maiores que doze na Eq. 2.

h 1 h 2

ef, 1 ef, 2l l

Figura 4 – Valores práticos para estimativa da altura das vigas.

A altura das vigas deve ser preferencialmente modulada de 5 em 5 cm, ou de 10 em 10 cm.

A altura mínima indicada é de 25 cm. Vigas contínuas devem ter a altura dos vãos obedecendo uma

certa padronização, a fim de evitar várias alturas diferentes.

7. INSTABILIDADE LATERAL DE VIGAS

A segurança à instabilidade lateral de vigas (item 15.10) deve ser garantida por meio de

procedimentos apropriados. Como procedimento aproximado pode-se adotar, para vigas de

concreto, com armaduras passivas ou ativas, sujeitas à flambagem lateral, as seguintes condições:

b ≥ /50 (Eq. 3) 0l

b ≥ βfl h (Eq. 4)

onde: b = largura da zona comprimida;

h = altura total da viga;

0l = comprimento do flange comprimido, medido entre suportes que garantam o

contraventamento lateral;

βfl = coeficiente que depende da forma da viga, conforme mostrado na Tabela 1.


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Tabela 1 – Valores de βfl .

Tipologia da viga Valores de βfl

b b b

0,40

b b

0,20

Onde o hachurado indica zona comprimida.

8. APROXIMAÇÕES PERMITIDAS EM VIGAS CONTÍNUAS DE ESTRUTURAS

USUAIS DE EDIFÍCIOS

No item 14.6.7 a NBR 6118 apresenta três aproximações permitidas no cálculo de vigas

contínuas. Pode ser utilizado o modelo clássico de viga contínua, simplesmente apoiada nos pilares,

para o estudo das cargas verticais, observando-se a necessidade das seguintes correções adicionais.

a) não devem ser considerados momentos fletores positivos menores que os que se obteriam se

houvesse engastamento perfeito da viga nos apoios internos (figura 5);

MA 1,cM BM MC MDM M

VÃO EXTREMO

1,iM 3,iM

2,iM

AM

>

MB MC MD

M1,cM1,i{ >{

2,iM2,cM >{

3,iM3,cM

VÃO INTERNO

3,c2,c

Figura 5 – Momentos fletores máximos positivos nos vãos de vigas contínuas.


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b) quando a viga for solidária com o pilar interno e a largura do apoio, medida na direção do eixo da

viga (bint), for maior que a quarta parte da altura do pilar (le), não pode ser considerado momento

negativo de valor absoluto menor do que o de engastamento perfeito nesse apoio (figura 6);

intb

l l

l l

ef ef

efef

Se bint > le/4

Se bint ≤ le/4

Figura 6 – Condições de vinculação nos apoios internos de vigas contínuas.

c) quando não for realizado o cálculo exato da influência da solidariedade dos pilares com a viga,

deve ser considerado, nos apoios extremos, momento fletor igual ao momento de engastamento

perfeito multiplicado pelos coeficientes estabelecidos nas Equações 5, 6 e 7.

Neste caso, consideram-se inicialmente os pilares extremos como apoios simples. Os apoios

internos seguem a regra do item b definido anteriormente, e assim define-se o esquema estático ao

longo de toda a viga. Todos os momentos fletores são calculados para a viga assim esquematizada

(figura 7). O momento fletor de ligação entre a viga e os pilares extremos é calculado fazendo-se o

equilíbrio do momento fletor de engastamento perfeito no nó extremo (figura 7), o que pode ser

feito rapidamente aplicando-se a Eq. 5. Os momentos fletores que atuam nos lances inferior e

superior do pilar extremo (figura 8), são obtidos pelas Eq. 6 e 7.


10

+

-

+

-M lig ligM

- -

+engM Meng

-

Figura 7 – Momento de engastamento perfeito e momento de ligação da viga no pilar extremo.

12 M sup

M vigaM sup

12 Minf

M inf

TRAMO EXTREMO

PILAR DE EXTREMIDADE

NÍVEL i

NÍVEL (i + 1)

NÍVEL (i - 1)+ 12 Mi,inf(i -1),supM

+ 12 MM i,sup (i + 1),inf

(i + 1),supM + 12 Mi,inf

i,supM + 12 M(i + 1),inf

Figura 8 – Distribuição dos momentos fletores no pilar extremo.

Os momentos fletores são os seguintes:

- na viga: supinfvig

supinfenglig rrr

rrMM

++

+= (Eq. 5)

- no tramo superior do pilar: supinfvig

supengpsup, rrr

rMM

++= (Eq. 6)


11

- no tramo inferior do pilar: supinfvig

infengpinf, rrr

rMM++

= (Eq. 7)

com: rinf = rigidez do lance inferior do pilar;

rsup = rigidez do lance superior do pilar;

rvig = rigidez do vão extremo da viga;

Meng = momento de engastamento perfeito da viga no pilar extremo, considerando

engastamento perfeito no pilar interno.

A rigidez é a relação entre o momento de inércia da seção transversal do elemento e o

comprimento do vão:

i

ii

Ir

l= (Eq. 8)

onde: ri = rigidez do elemento i no nó considerado (figura 9).

O métod

requer computa

viga contínua

mediante a intr

supl

2

infl

2

Figura 9 – Aproximaçã

o de cálculo com aplicação das Eq

dores com programas. Segundo a N

pode ser melhorado, considerand

odução da rigidez à flexão dos pila

vigl

o em apoios extremos.

uações 5, 6 e 7 é simples de ser executado e não

BR 6118/2003, “Alternativamente, o modelo de

o-se a solidariedade dos pilares com a viga,

res extremos e intermediários.”


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No caso de se introduzir a rigidez à flexão dos pilares extremos, a viga fica vinculada ao

apoio extremo por meio de um engastamento elástico (mola). Esta solução é mais consistente que a

opção anterior, porém, o cálculo manual fica dificultado.

A rigidez da mola é avaliada pela equação:

Kmola = Kp,sup + Kp,inf (Eq. 9)

onde: Kp,sup = rigidez do lance superior do pilar extremo;

Kp,inf = rigidez do lance inferior do pilar extremo;

sendo:

sup,e

supsup,p

EI4K

l= e

inf,e

infinf,p

EI4Kl

= (Eq. 10)

com: E = módulo de elasticidade secante do concreto;

I = momento de inércia do lance do pilar;

le = comprimento de flambagem do lance inferior ou superior do pilar.

Em pavimentos tipos de edifícios, devido à continuidade do pilar nos pavimentos tem-se:

Kp,sup = Kp,inf

emola

EI8Kl

= (Eq. 11)

“A adequabilidade do modelo empregado deve ser verificada mediante análise cuidadosa

dos resultados obtidos. Cuidados devem ser tomados para garantir o equilíbrio de momentos nos

nós viga-pilar, especialmente nos modelos mais simples, como o de vigas contínuas.”

9. ARREDONDAMENTO DO DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES

“O diagrama de momentos fletores pode ser arredondado sobre os apoios e pontos de

aplicação de forças consideradas como concentradas. Esse arredondamento pode ser feito de

maneira aproximada”, conforme indicado na figura 10.


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∆M

∆M

∆M

1

1

∆M

∆M

2

2

l/2 l/2

R 1 R 2

= lR - R______2

4

∆M = l/41 R 1

= l/4∆M2 2R

∆M

∆M'

∆M'

l

R

= l/8R∆M'

1

Figura 10 - Arredondamento do diagrama de momentos fletores.

10. LIMITES PARA REDISTRIBUIÇÃO DE MOMENTOS E CONDIÇÕES DE

DUCTILIDADE

Nas vigas, principalmente nas zonas de apoio, ou quando feita redistribuição de esforços, é

importante garantir boas condições de ductilidade, sendo adotada, se necessário, armadura de

compressão que garanta a posição adequada da linha neutra (x), respeitando-se os limites indicados

abaixo.

A introdução da armadura de compressão para garantir o atendimento de valores menores da

posição da linha neutra (x), que estejam nos domínios 2 ou 3, não conduz a elementos estruturais

com ruptura frágil (usualmente chamados de superarmados). A ruptura frágil está associada a

posições da linha neutra no domínio 4, com ou sem armadura de compressão.

No item 14.6.4.3 a NBR 6118 define os limites para a redistribuição de momentos fletores e

as condições de ductilidade de uma viga. Uma redistribuição comumente feita na prática é a

diminuição dos momentos fletores negativos nos apoios intermediários das vigas contínuas. Isso

possibilita uma aproximação nos valores desses momentos com os momentos fletores positivos nos

vãos, o que leva a seções transversais de menores dimensões e um projeto mais econômico.


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A diminuição do momento fletor negativo altera a distribuição dos demais esforços

solicitantes ao longo da viga, o que deve ser levado em consideração no dimensionamento da viga

em toda a sua extensão.

A capacidade de rotação dos elementos estruturais é função da posição da linha neutra no

ELU. Quanto menor for a relação entre a posição da linha neutra e a altura útil da seção (x/d), tanto

maior será essa capacidade.

Para melhorar a ductilidade das estruturas nas regiões de apoio das vigas ou de ligações com

outros elementos estruturais, mesmo quando não forem feitas redistribuições de esforços

solicitantes, a posição da linha neutra no ELU deve obedecer aos seguintes limites:

a) x/d ≤ 0,50 para concreto com fck ≤ 35 MPa (C35); ou

b) x/d ≤ 0,40 para concreto com fck > 35 MPa. (Eq. 12)

Esses limites podem ser alterados se forem utilizados detalhes especiais de armaduras, como

por exemplo os que produzem confinamento nessas regiões.

Quando for efetuada uma redistribuição, reduzindo-se um momento fletor de M para δM,

em uma determinada seção transversal, a relação entre o coeficiente de redistribuição δ e a posição

da linha neutra nessa seção x/d, para o momento reduzido δM, deve ser dada por:

a) δ ≥ 0,44 + 1,25 x/d para concretos com fck ≤ 35 MPa (C35); ou

b) δ ≥ 0,56 + 1,25 x/d para concretos com fck > 35 MPa. (Eq. 13)

O coeficiente de redistribuição deve, ainda, obedecer aos seguintes limites:

a) δ ≥ 0,90 para estruturas de nós móveis;

b) δ ≥ 0,75 em qualquer outro caso. (Eq. 14)

Pode ser adotada redistribuição fora dos limites estabelecidos nesta Norma, desde que a

estrutura seja calculada mediante o emprego de análise não-linear ou de análise plástica, com

verificação explícita da capacidade de rotação de rótulas plásticas.

A figura 11 mostra a plastificação do momento fletor negativo da viga no apoio interno. A

diminuição do momento fletor negativo no pilar interno é interessante, pois permite que se faça uma

aproximação entre os momentos negativos e positivos. Na versão anterior da norma (NB1/78) era

permitido plastificar, isto é, diminuir em até 15 % o momento fletor negativo nos apoios internos de

vigas contínuas.


15

Plastificação do momento negativo

Acréscimo no momento positivoAcréscimo no momento positivo

Figura 11 – Plastificação do momento fletor negativo no apoio interno de vigas contínuas.

Quando o momento é de equilíbrio, como no caso de vigas em balanço por exemplo, a

plastificação logicamente não é permitida.

11. ARMADURAS LONGITUDINAIS MÁXIMAS E MÍNIMAS

Nos itens 17.3.5 e 18 a NBR 6118 estabelece diversas prescrições relativas à armadura

longitudinal mínima e máxima e armadura de pele.

11.1 Armadura Mínima de Tração

“A armadura mínima de tração, em elementos estruturais armados ou protendidos deve ser

determinada pelo dimensionamento da seção a um momento fletor mínimo dado pela expressão a

seguir, respeitada a taxa mínima absoluta 0,15 %.”

Md,mín = 0,8 W0 fctk,sup (Eq. 15)

onde: W0 = módulo de resistência da seção transversal bruta de concreto relativo à fibra mais

tracionada;

fctk,sup = resistência característica superior do concreto à tração:

fctk,sup = 1,3 fct,m com 3 2ckm,ct f3,0f = (MPa)

O dimensionamento para Md,mín deve ser considerado atendido se forem respeitadas as taxas

mínimas de armadura da Tabela 2.


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Tabela 2 - Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas.

Valores de ρmín (%) (As,mín/Ac) (1) Forma da seção

fck

ωmín20 25 30 35 40 45 50

Retangular 0,035 0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288 T

(mesa comprimida) 0,024 0,150 0,150 0,150 0,150 0,158 0,177 0,197

T (mesa tracionada) 0,031 0,150 0,150 0,153 0,178 0,204 0.229 0,255

Circular 0,070 0,230 0,288 0,345 0,403 0,460 0,518 0,575 (1) Os valores de ρmín estabelecidos nesta tabela pressupõem o uso de aço CA-50, γc = 1,4 e γs = 1,15. Caso esses fatores sejam diferentes, ρmín deve ser recalculado com base no valor de ωmín dado. NOTA: Nas seções tipo T, a área da seção a ser considerada deve ser caracterizada pela alma acrescida da mesa colaborante.

Em elementos estruturais superdimensionados pode ser utilizada armadura menor que a

mínima, com valor obtido a partir de um momento fletor igual ao dobro de Md. Neste caso, a

determinação dos esforços solicitantes deve considerar de forma rigorosa todas as combinações

possíveis de carregamento, assim como os efeitos de temperatura, deformações diferidas e recalques

de apoio. Deve-se ter ainda especial cuidado com o diâmetro e espaçamento das armaduras de

limitação de fissuração.

11.2 Armadura de Pele

“A mínima armadura lateral deve ser 0,10 % Ac,alma em cada face da alma da viga e

composta por barras de alta aderência (η1 ≥ 2,25) com espaçamento não maior que 20 cm.

Em vigas com altura igual ou inferior a 60 cm, pode ser dispensada a utilização da

armadura de pele.”

A armadura de pele, conforme mostrada na figura 12, deve ser disposta de modo que o

afastamento entre as barras não ultrapasse d/3 e 20 cm.

11.3 Armadura Longitudinal Máxima

“A soma das armaduras de tração e de compressão (As + As’) não deve ter valor maior que

4 % Ac , calculada na região fora da zona de emendas.”


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e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

b

dh > 60 cm

w

Figura 12 – Disposição da armadura de pele.

11.4 Armadura de Suspensão

A NBR 6118 prescreve que, “Nas proximidades de cargas concentradas transmitidas à viga

por outras vigas ou elementos discretos que nela se apóiem ao longo ou em parte de sua altura, ou

fiquem nela penduradas, deve ser colocada armadura de suspensão.”

Antes de se definir o que é armadura de suspensão é necessário definir o tipo de apoio, se

direto ou indireto. No apoio direto, como mostrado na figura 13, a carga da viga vai direto para o

apoio, como no caso de um pilar, por exemplo. No apoio indireto, a carga vai da viga que é

suportada para a parte inferior da viga que serve de suporte.

Figura 13 – Apoios diretos e indiretos (FUSCO, 2000).


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Segundo FUSCO (2000), “nos apoios indiretos, o equilíbrio de esforços internos da viga

suporte exige que no cruzamento das duas vigas haja uma armadura de suspensão, funcionando

como um tirante interno, que levanta a força aplicada pela viga suportada ao banzo inferior da

viga suporte, até o seu banzo superior.” A força F no tirante interno está indicada na figura 14. A

armadura de suspensão deverá ser dimensionada de modo a transmitir ao banzo superior a

totalidade da reação de apoio da viga que é suportada.

Figura 14 – Esquema de treliça em apoios indiretos (FUSCO, 2000).

A figura 15 mostra diversos esquemas possíveis de apoio de uma viga sobre outra viga. As

trajetórias das fissuras verificadas nesses casos indicam a melhor disposição ou direção a ser dada à

armadura.

Figura 15 – Trajetórias das fissuras em vários casos de apoios indiretos (FUSCO, 2000).


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Na figura 16 estão mostrados os detalhes da armadura de suspensão para os apoios indiretos.

A armadura deve ser posicionada na seção de cruzamento das duas vigas. Como isso normalmente é

difícil de se executar na prática, uma parte da armadura pode ser colocada na região vizinha ao

cruzamento, tão próxima quanto possível.

Quando as duas vigas tiverem a face superior no mesmo nível, a armadura de suspensão

pode ser dimensionada para a força Rtt , de valor:

2

1apoiott h

hRR = (Eq. 16)

com h1 ≤ h2

onde: h1 = altura da viga que apóia;

h2 = altura da viga suporte.

Figura 16 – Detalhes da armadura de suspensão (FUSCO, 2000).


20

11.5 Armaduras de Ligação Mesa-Alma

“Os planos de ligação entre mesas e almas ou talões e almas de vigas devem ser verificados

com relação aos efeitos tangenciais decorrentes das variações de tensões normais ao longo do

comprimento da viga, tanto sob o aspecto de resistência do concreto, quanto das armaduras

necessárias para absorver as trações decorrentes desses efeitos.

As armaduras de flexão da laje, existentes no plano de ligação, podem ser consideradas

como parte da armadura de ligação, complementando-se a diferença entre ambas, se necessário. A

seção transversal mínima dessa armadura, estendendo-se por toda a largura útil e ancorada na

alma, deve ser de 1,5 cm2 por metro.” A figura 17 mostra o posicionamento da armadura

transversal.

fb

≥ 1,5 cm /m2

Figura 17 – Armadura transversal à alma em seções transversais com mesa.

12. EXEMPLO DE CÁLCULO E DETALHAMENTO DE VIGA CONTÍNUA

As figuras 18 e 19 mostram a planta de fôrma e o corte esquemático da estrutura de concreto

de uma construção com dois pavimentos. Pede-se projetar e detalhar a armadura da viga VS1. São

conhecidos: concreto C20, aço CA-50 A, γc = γf = 1,4, γs = 1,15, cnom = 2,0 cm, γrev = 19 kN/m3,

γcontr = 21 kN/m3, γconc = 25 kN/m3.

OBSERVAÇÕES:

a) há uma parede de vedação sobre a viga em toda a sua extensão, constituída por blocos

cerâmicos de oito furos (com dimensões de 9 x 19 x 19 cm), espessura final de 23 cm e

altura de 2,40 m;

b) laje do tipo pré-fabricada treliçada com altura total de 16 cm e peso próprio de 2,33 kN/m2;

c) ação variável (q) nas lajes de 2,0 kN/m2;

d) piso cerâmico sobre a laje, com γpiso = 0,15 kN/m2.


21

VS1 (19 x 60)

VS2 (19 x 70)

19/19P1

VS3 (19 x 60)

VS

4 (1

9 x

45)

VS

5 (1

9 x

45)

VS

6 (1

9 x

45)

19/30P4

19/19P7

19/30P2 P3 19/19

P5 19/30

19/30P8

P6 19/30

P9 19/19719 719

523

523

Planta de Fôrma do Pavimento SuperiorEsc. 1 : 50

45

16

Figura 18 – Planta de fôrma do pavimento superior com a viga VS1.

30

255

60

240

60

300

300

P119/19 19/19

P2 P319/30

tramo 1 tramo 2

19 700 70019

VB1 (19 x 30)

19

VS1 (19 x 60)

VC1 (19 x 60)

p = 24,15 kN/m

VS1 (19 x 60)

719 719

Figura 19 – Vista em elevação do pórtico que contém a viga VS1 e esquema

estático e carregamento considerados.


22

RESOLUÇÃO

A viga VS1 será calculada como uma viga contínua e como um elemento isolado da

estrutura, apenas vinculada aos pilares extremos por meio de engastes elásticos. Uma outra forma

de análise poderia ser feita considerando-se a viga VS1 como sendo parte de um pórtico plano,

como aquele mostrado na figura 19. Neste caso, haveria uma completa interação com as demais

vigas (VB1 e VC1) e com os pilares de apoio.

12.1 Vãos Efetivos

a) Laje

O vão efetivo da laje é de centro a centro dos apoios, portanto, igual a 523 cm.

b) Viga

O vão efetivo nos tramos 1 e 2 da viga são iguais. De acordo com a Eq. 1 valem:

a1 ∴ a⎩⎨⎧

====

≤cm 186030h30

cm 592192t1

.,,,//

1 = 9,5 cm

a2 ∴ a⎩⎨⎧

====

≤cm 186030h30

cm 592192t 2

.,,,//

2 = 9,5 cm

lef = l0 + a1 + a2 = 700 + 9,5 + 9,5 = 719 cm

12.2 Estimativa da Altura da Viga

A largura da viga foi adotada igual à dimensão do bloco assentado na posição deitada, ou

seja, na dimensão de 19 cm. Sendo o concreto do tipo C20, para a estimativa da viga foi aplicada a

Eq. 2:

9,5912719

12h ef ===

l cm ∴ h = 60 cm

Portanto, a viga será calculada inicialmente com seção transversal de 19 x 60 cm.

12.3 Instabilidade Lateral da Viga

Como a viga tem uma laje apoiada em toda a sua extensão, a estabilidade lateral está

garantida. A título de exemplo, caso não houvesse o travamento proporcionado pela laje, de acordo

com as Eq. 3 e 4 os limites para a largura da viga seriam:

b ≥ /50 = 700/50 = 14 cm ⇒ para b = 19 cm a equação estaria satisfeita. 0l

b ≥ βfl h = 0,40 . 60 = 24 cm ⇒ para b = 19 cm a equação não estaria satisfeita.


23

12.4 Cargas na Laje e na Viga

Como se pode observar na figura 18, sobre a viga VS1 há a atuação da carga de uma laje

pré-fabricada, com vão efetivo de 523 cm.

Para a laje de piso do pavimento superior, considerou-se a laje do tipo pré-fabricada

treliçada, com altura total de 16 cm, peso próprio de 2,33 kN/m2. A carga total por m2 da área da

laje é:

- peso próprio: gpp = 2,33 kN/m2

- revestimento teto: grev = 19 . 0,015 = 0,29 kN/m2

- contrapiso: gcontr = 21 . 0,03 = 0,63 kN/m2

- piso: gpiso = 0,15 kN/m2

- ação variável: q = 2,00 kN/m2

CARGA TOTAL: p = 5,40 kN/m2

Considerando a carga total na viga consistindo de uma parede apoiada sobre toda a sua

extensão (composta por blocos furados de peso específico 13 kN/m3, com espessura final de 23 cm

e altura de 2,40 m), de uma laje pré-fabricada com carga total de 5,40 kN/m2, e o peso próprio da

viga (com seção transversal de 19 x 60 cm), a carga externa total atuante na VS1 é:

- peso próprio: gpp = 25 . 0,19 . 0,60 = 2,85 kN/m

- parede: gpar = 13 . 0,23 . 2,40 = 7,18 kN/m

- laje: glaje = 5,40 . (5,23/2) = 14,12 kN/m

CARGA TOTAL: p = 24,15 kN/m

12.5 Esquema Estático e Carregamento na Viga VS1

O apoio interno da viga (pilar P2) pode ser considerado como um apoio simples, pois de

acordo com o esquema mostrado na figura 6, tem-se:

le = 300 cm (comprimento de flambagem do pilar)

le/4 = 300/4 = 75 cm

bint = 19 cm < le/4 = 75 cm ⇒ ∴ considerar apoio simples.

A viga deveria ser considerada engastada no pilar P2 caso bint resultasse maior que le/4. De

acordo com a norma, isso ocorreria se a dimensão do pilar na direção da viga (bint) fosse grande o

suficiente para que a sua rigidez pudesse impedir a rotação da viga nas suas proximidades, ou seja,

a viga seria considerada engastada no pilar P2.


24

A norma considera que a flexão das vigas contínuas calculadas isoladamente com os pilares

extremos seja obrigatoriamente considerada. Neste exemplo, a viga será considerada vinculada aos

pilares extremos P1 e P3 por meio de molas (engastamento elástico). O carregamento é

uniformemente distribuído em toda a extensão da viga (figura 20).

p = 24,15 kN/m

719 719

Figura 20 - Esquema estático e carregamento na viga.

12.6 Rigidez da Mola

A rigidez da mola é avaliada pela Eq. 9: Kmola = Kp,sup + Kp,inf

Como os comprimentos de flambagem dos lances inferior e superior e a seção transversal

dos pilares extremos são idênticos, as rigidezes dos lances inferior e superior são iguais e valem:

Kp,sup = Kp,inf = e

EI4l

A rigidez da mola vale portanto: e

molaEI8K

l=

O módulo de elasticidade (módulo de deformação longitudinal) tangente na origem pode ser

avaliado pela seguinte expressão (NBR 6118/2003, item 8.2.8):

Eci = 5.600 fck1/2 = 5.600 . 201/2 = 25.044 MPa = 2504,4 kN/cm2

O módulo de elasticidade secante (Ecs) vale:

Ecs = 0,85 Eci = 0,85 . 2504,4 = 2128,7 kN/cm2

O momento de inércia dos lances inferior e superior do pilar é:

Ip,sup = Ip,inf = 860.101219.19

12hb 33

== cm4

Rigidez da mola:

e

molaEI8K

l= = 476.616

30010860.7,2128.8

= kN.cm


25

12.7 Esforços Solicitantes

Para determinação dos esforços solicitantes na viga pode ser utilizado qualquer programa

computacional com essa finalidade. Para o exemplo foi aplicado o programa chamado PPLAN3,

originário da EESC-USP.

A figura 21 mostra o esquema de numeração dos nós e barras para a viga em análise.

y24,15 kN/m

1 2 3 4 51 2 3 4 x359,5 359,5

719 719

359,5 359,5

Figura 21 – Numeração dos nós e barras da viga.

O arquivo de dados de entrada tem o aspecto:

OPTE,0,2,0,0,2, CONCRETO II VIGA EXEMPLO VS 1 (19 x 60) NOGL 1,5,1,0,0,1438,0, RES 1,1,1,2,0,0,616476, 5,1,1,2,0,0,616476, 3,1,1, BARG 1,4,1,1,1,2,1,1,1, PROP 1,1,1140,342000,60, MATL 1,2128, FIMG CARR1 CBRG 1,4,1,1,-0.2415,1, FIMC FIME A figura 22 mostra os diagramas de forças cortantes e de momentos fletores (valores

característicos máximos) obtidos no programa PPLAN3. A listagem dos resultados calculados pelo

programa encontra-se no Anexo I.

A flecha calculada pelo programa para o nó 2 (0,43 cm) é próxima à flecha máxima no vão e

serve como indicativo da deslocabilidade da viga. Um valor mais próximo da flecha máxima

poderia ser obtido colocando-se outros nós à esquerda do nó 2 indicado na figura 21.


26

~

1375

68,0

180+

8189 8189

14918

- -

288105,7

105,7

(kN.cm)kM

1375

68,0V (kN)k

~

288

30

Figura 22 – Diagrama de esforços característicos.

No caso dos momentos fletores positivos deve-se comparar o valor mostrado na figura 22

com o momento positivo obtido considerando-se o vão engastado no apoio interno (pilar P2), como

mostrado na figura 23.

719

p = 24,15 kN/m

Figura 23 – Esquema estático para obtenção do momento positivo

considerando engate no apoio interno.

O arquivo de dados de entrada tem o aspecto:

OPTE,0,2,0,0,2, CONCRETO II MOMENTO POSITIVO COM ENGASTE NO APOIO INTERNO VS 1 (19 x 60) NOGL 1,2,1,0,0,719,0, RES 1,1,1, 3,1,1,1, BARG 1,2,1,1,1,2,1,1,1, PROP 1,1,1140,342000,60,


27

MATL 1,2128, FIMG CARR1 CBRG 1,2,1,1,-0.2415,1, FIMC FIME

O máximo momento positivo para o esquema mostrado na figura 23, conforme o arquivo de

dados acima, resulta 8189 kN.cm. Esse momento é igual ao momento máximo positivo obtido para

a viga contínua mostrada na figura 21.

12.8 DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS

Serão dimensionadas as armaduras longitudinal e transversal. Para a armadura longitudinal

serão adotados diferentes valores para a altura útil d, em função do valor do momento fletor.

12.8.1 Armadura Mínima

A armadura mínima é calculada para o momento fletor mínimo, de acordo com a Eq. 15:

Md,mín = 0,8 W0 fctk,sup

87,2203,0.3,1f3,0.3,1f3,1f 3 23 2ckm,ctsup,ctk ==== MPa

34200012

60.1912hbI

33=== cm3

1140030

342000yI W0 === cm3 (no estádio I, y é tomado na meia altura da viga)

Md,mín = 0,8 . 11400 . 0,287 = 2617 kN.cm

Dimensionamento da armadura para o momento fletor mínimo:

d

2w

c MdbK = = 0,22

261755.19 2

= ⇒ da Tabela de Kc e Ks tem-se Ks = 0,023.

dMKA d

ss = = 09,155

2617023,0 = cm2

Conforme a Tabela 2, para seção retangular e concreto C20, a taxa mínima de armadura

(ρmín) deve ser de 0,15 % Ac, portanto:

As,mín = 0,0015 . 19 . 60 = 1,71 cm2 > 1,09 cm2 (2 φ 10 mm = 1,60 cm2)


28

12.8.2 Armadura de Pele

A armadura de pele não é necessária, dado que a viga não tem altura superior a 60 cm. No

entanto, a fim de evitar fissuras de retração que surgem em vigas com altura superior a 50 cm, será

colocada uma armadura de pele com área de 0,05 % Ac (área da armadura de pele conforme a NBR

6118/80), em cada face da viga:

As,pele = 0,0005 . 19 . 60 = 0,57 cm2

4 φ 4,2 mm = 0,68 cm2 em cada face, distribuídos ao longo da altura.

12.8.3 Armadura Longitudinal de Flexão

Normalmente a armadura longitudinal é calculada apenas para os momentos fletores

máximos, positivos e negativos.

12.8.3.1 Momento Fletor Negativo

a) Apoio interno (P2)

Mk = - 14.918 kN.cm

Md = γf . Mk = 1,4 . (-14.918) = - 20.885 kN.cm

Para a altura da viga de 60 cm será adotada a

altura útil de 55 cm:

d

2w

c MdbK = = 8,2

2088555.19 2

=

Da Tabela de Kc e Ks tem-se:

βx = x/d = 0,44, Ks = 0,028 e domínio 3.

d

MKA dss = = 63,10

5520885028,0 = cm2

5 φ 16 mm + 1 φ 10 mm = 10,80 cm2

8 φ 12,5 mm + 1 φ 10 mm = 10,80 cm2 (escolha

indicada para construções de pequeno porte).

8φ12,51φ10

eh

Conforme descrito no item 10 (Eq. 10), deve-se ter βx = x/d ≤ 0,50. Neste caso, com βx = x/d

= 0,44, o limite está satisfeito, o que deve garantir a necessária ductilidade à viga nesta seção.

A distância livre horizontal entre as barras das duas primeiras fiadas deve ser superior a 25

mm, a fim de permitir a passagem da agulha do vibrador. Supondo o diâmetro do estribo igual a 5

mm, para o detalhamento mostrado, a distância livre resulta:

( )[ ] 033

25145002219eh ,,.,,=

++−= cm

distância suficiente para a passagem da agulha do vibrador.


29

b) Apoios extremos (P1 e P3)

Mk = - 1.375 kN.cm

Md = γf . Mk = 1,4 . (- 1.375) = - 1925 kN.cm

d

2w

c MdbK = = 1,32

192557.19 2

=


βx = x/d = 0,04, Ks = 0,023 e domínio 2.

d

MKA dss = = 78,0

571925023,0 = cm2 < As,mín

(As,mín = 1,60 cm2 → 2 φ 10 mm)

2φ10

12.8.3.2 Momento Fletor Positivo

Mk = 8.189 kN.cm

Md = γf . Mk = 1,4 . 8.189 = 11.465 kN.cm

Como a laje adjacente à viga é do tipo nervurada pré-fabricada, com capa de concreto de

espessura 4,0 cm, normalmente não se considera a contribuição da capa para formar a mesa da

seção T, de modo que a viga é então calculada como seção retangular.

d

2w

c MdbK = = 4,5

1146557.19 2

=


βx = x/d = 0,21 < 0,50, Ks = 0,025 e domínio 2.

d

MKA dss = = 03,5

5711465025,0 = cm2

2 φ 16 + 2 φ 8 mm = 5,00 cm2

4 φ 12,5 = 5,00 cm2 (escolha indicada para

construções de pequeno porte).

4φ12,5

12.8.4 Armadura Longitudinal Máxima

A soma das armaduras de tração e de compressão (As + A’s) não deve ter valor maior que

4 % Ac, calculada na região fora da zona de emendas. Para a viga em questão, a maior taxa de

armadura longitudinal ocorre na região próxima ao pilar interno: As = 10,80 cm2 para o momento

negativo e As = 5,00 cm2 para o momento positivo, com armadura total de 15,80 cm2. A armadura

máxima permitida é:

As,máx = 0,04 . 19 . 60 = 45,60 cm2, que é, portanto, muito superior à área total de 15,80 cm2.


30

12.9 Armadura Transversal ao Esforço Cortante

A resolução da viga ao esforço cortante será feita mediante as equações simplificadas

desenvolvidas e apresentadas em BASTOS (2004). Por se tratar de seção retangular, será

considerado o Modelo de Cálculo II, com ângulo θ de 38°.

12.9.1 Pilar Interno P2

Vk = 105,7 kN.cm

Vd = γf . Vk = 1,4 . 105,7 = 148,0 kN

a) Verificação das Bielas de Compressão

Da Tabela 2 da apostila de cortante em viga, para o concreto C20, determina-se a força

cortante última ou máxima:

VRd2 = θθ cos.sen.d.b71,0 w = 0,71 . 19 . 55 . sen 38 . cos 38 = 360,0 kN

→=<= kN0,360V0,148V 2RdSd não ocorrerá esmagamento das diagonais de concreto.

b) Cálculo da Armadura Transversal

Da Tabela 2, para o concreto C20, a equação para determinar a força cortante

correspondente à armadura mínima é:

VSd,mín = 1cw Vgcot.d.b.035,0 +θ

0c2Rd

Sd2Rd0c1c VV

VVVV−−

=

Com Vc0 :

3,6955.194,1.10

203,07,06,0dbf6,0V3 2

wctd0c =⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛== KN

5,503,690,3600,1480,3603,69V 1c =

−−

= kN

VSd,mín = 3,975,5038gcot.55.19.035,0 =+ kN

→=>= kN3,97V0,148V mín,SdSd portanto, deve-se calcular a armadura transversal p/ VSd

Da equação para Asw na Tabela 2 da apostila de cortante em vigas (concreto C20):

Asw = ( )θ

−gcot.dVV55,2 1cSd = ( ) 53,3

38gcot.555,500,14855,2 =

− cm2/m

A armadura mínima é calculada pela equação:

wywk

ctmmín,sw b

ff20A = (cm2/m), com 21,2203,0f3,0f 3 23 2

ckctm === MPa


31

68,119.50

221,0.20A mín,sw == cm2/m

Como Asw = 3,53 cm2/m > Asw,mín = 1,68 cm2/m ⇒ deve-se dispor a armadura calculada.

12.9.2 Pilares Extremos P1 e P3

Vk = 68,0 kN.cm

Vd = γf . Vk = 1,4 . 68,0 = 95,2 kN

A favor da segurança, será mantido o mesmo valor para d (55 cm) do pilar interno. Portanto,

tem-se os valores de VRd2 = 360,0 kN e Vc0 = 69,3 kN.

a) Verificação das Bielas de Compressão

→=<= kN0,360V2,95V 2RdSd não ocorrerá esmagamento das diagonais de concreto.

b) Cálculo da Armadura Transversal

Da Tabela 2, para o concreto C20, a equação para determinar a força cortante

correspondente à armadura mínima é:

VSd,mín = 1cw Vgcot.d.b.035,0 +θ

0c2Rd

Sd2Rd0c1c VV

VVVV−−

= 1,633,690,3602,950,3603,69 =

−−

= kN

VSd,mín = =+ 1,6338gcot.55.19.035,0 109,9 kN

kN9,109V2,95V mín,SdSd =<= ⇒ portanto, deve-se dispor a armadura mínima

(Asw,mín = 1,68 cm2/m).

12.9.3 Detalhamento da Armadura Transversal

a) Diâmetro do estribo: 5 mm ≤ φt ≤ bw/10 ⇒ φt ≤ 190/10 ≤ 19 mm

b) Espaçamento máximo:

0,67 VRd2 = 0,67 . 360,0 = 241,2 kN

VSd,P2 = 148,0 < 241,2 kN ⇒ s ≤ 0,6 d ≤ 30 cm

VSd,P1,P3 = 95,2 < 241,2 kN ⇒ s ≤ 0,6 d ≤ 30 cm

0,6 d = 0,6 . 55 = 33 cm ⇒ Portanto, s ≤ 30 cm

c) Espaçamento transversal entre os ramos do estribo:

0,20 VRd2 = 0,20 . 360,0 = 72,0 kN

VSd,P2 = 148,0 > 72,0 kN ⇒ s ≤ 0,6 d ≤ 35 cm

VSd,P1,P3 = 95,2 > 72,0 kN ⇒ s ≤ 0,6 d ≤ 35 cm

0,6 d = 0,6 . 55 = 33 cm ⇒ Portanto, s ≤ 33 cm


32

d) Escolha do diâmetro e espaçamento dos estribos

d1) Pilar P2 (Asw = 3,53 cm2)

Considerando estribo vertical composto por dois ramos e diâmetro de 5 mm (1φ 5 mm =

0,20 cm2), tem-se:

0353,0s

Asw = cm2/cm ⇒ 0353,0s40,0

= ⇒ s = 11,3 cm

d2) Pilares P1 e P3 (Asw = Asw,mín = 1,68 cm2)

Para a armadura mínima de 1,68 cm2/m, considerando o mesmo estribo, tem-se:

0168,0s

Asw = cm2/cm ⇒ 0168,0s40,0

= ⇒ s = 23,8 cm

A figura 23 mostra a disposição dos estribos ao longo da viga.

N1 - 76 φ 5 mm C = 152

56

15

154 154

148,0

431

Sd,mínV = 97,3

148 x = 283

N1-14 c/ 11 N1-14 c/ 11

N1-24 c/ 23 N1-24 c/ 23

Figura 23 – Detalhamento dos estribos verticais no comprimento total da viga.

12.10 ANCORAGEM DAS ARMADURAS LONGITUDINAIS

12.10.1 Armadura Positiva nos Pilares Extremos P1 e P3

Valor do deslocamento do diagrama de momentos fletores (al) segundo o modelo de cálculo

II:

= 0,5 . 57 (cotg 38 – cotg 90) )gcotg(cotd5,0a α−θ=l

al = 36,5 cm ≥ 0,5 d = 0,5 . 57 = 28,5 cm

Conforme a Eq. 16 da apostila de Ancoragem, a armadura a ancorar no apoio é:


33

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= SdSd

ydcalcs NV

da

f1A l

, = 40,12,9557

5,36

15,1501

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ cm2

A armadura positiva do vão adjacente é composta por 4 φ 12,5 mm, onde 2 φ 12,5 mm

posicionados nos vértices dos estribos devem ser obrigatoriamente estendidos até os apoios.

Portanto, As,ef = 2 φ 12,5 mm = 2,50 cm2.

A armadura efetiva no apoio deve atender à armadura mínima, dada pela Eq. 17:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>=

≤=≥

2MM e negativo M se A

41

2MM e negativoou 0M se A

31

Avão

apoioapoiovão,s

vãoapoioapoiovão,s

calc,s

Md,apoio = - 1.925 kN.cm < Md,vão/2 = 11.465/2 = 5.732,3 kN.cm

Portanto, As, calc ≥ 1/3 As,vão = 5,03/3 = 1,68 cm2

As, calc = 1,40 cm2 < 1/3 As,vão = 1,68 cm2 ⇒ portanto, ancorar 1,68 cm2

O comprimento mínimo da ancoragem no apoio (lb,mín), conforme Eq. 18, é:

⎩⎨⎧ φ 5,5 +

≥cm 6

rmín,bl

r = 5/2 φ = 2,5 . 1,25 = 3,1 cm (com r determinado na Tabela 1)

3,1 + 5,5 . 1,25 = 10,0 cm > 6 cm

Comprimento de ancoragem efetivo:

lbe = b – c = 19 – 2 = 17 cm

Comprimento de ancoragem básico (Eq. 3):

bd

ydb f

f4φ

=l

Resistência de aderência (Eq. 1):

fbd = η1 . η2 . η3 . fctd

com 3 2ck

cctd f3,0.7,0f

γ= = 11,020

10.4,13,0.7,0 3 2 = kN/cm2

b

c

As,ef

lbe

lb,nec

Considerando barra nervurada e situação de boa aderência, fica:

fbd = 2,25 . 1,0 . 1,0 . 0,11 = 0,25 kN/cm2

5425,015,150

425,1

b ==l cm

Comprimento de ancoragem necessário, sem gancho (Eq. 4):


34

365026815401

AA

efs

calcsb1necb ==α=

,,.,

,

,, ll cm

Numa primeira análise verifica-se que o comprimento de ancoragem necessário (sem

gancho) é superior ao comprimento de ancoragem efetivo (lb,nec = 36 cm > lbe = 17 cm). Isto

significa que não é possível fazer a ancoragem sem gancho. A próxima tentativa de ancoragem é

fazer o gancho. O comprimento de ancoragem necessário, com gancho é (Eq. 4):

cm 253670gnecb == .,,,l

Verifica-se que mesmo com o gancho ainda não é possível fazer a ancoragem, pois o

comprimento de ancoragem resultou maior que o comprimento de ancoragem efetivo: (lb,nec,g = 25

cm > lbe = 17 cm).

A próxima alternativa é aumentar a armadura longitudinal a ancorar no apoio, para As,corr,

como definido pela Eq. 19, ou colocar grampos:

calc,sbbe

bcorr,s A

3,0A

ll

l

+= = 732681

54301754 ,,

.,=

+cm2

Entre vários arranjos possíveis para atender a armadura corrigida, pode-se acrescentar um

grampo φ 5 mm às duas barras φ 12,5 mm. Portanto, As,ef = 2 φ 12,5 + 2 φ 5 mm (1 grampo) = 2,90

cm2

Apenas como exemplo, caso se optasse pela colocação direta de grampos, a área de grampos

seria (Eq. 20):

gr,bgrbe

gr,b

b

bgrbeef,scalc,sgrampo,s 3,0

3,0AAA

ll

l

l

ll

+φ−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +φ−−=

Comprimento de ancoragem básico dos grampos, supondo diâmetro de 5 mm:

2225,0.415,1

505,0

ff

4 bd

ydgr,b ==

φ=l cm

Supondo a armadura efetiva composta por 2 φ 12,5 = 2,50 cm2 (com ganchos), a área para os

grampos resulta:

16022305017

2254

54305017502681A grampos ,.,,

.,,,,, =+−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

−= cm2

Área da armadura total a ancorar: 2,50 + 0,16 = 2,66 cm2. Armadura efetiva (escolhida): 2 φ

12,5 + 2 φ 5 (1 grampo) = 2,90 cm2

O detalhe da ancoragem está mostrado na figura 24.


35

Grampo

95 φ = 60 cmgr

2 cm

2 φ 12,5

2,0

16,419

10

Figura 24 – Detalhe da ancoragem nos pilares extremos.

12.10.2 Armadura Positiva no Pilar Interno P2

Estendendo 2 φ 12,5 da armadura longitudinal positiva até o pilar interno (As,calc = As,ef =

2,50 cm2), esta armadura deve ser superior à mínima, dada pela Eq. 17:

Md,apoio = - 20.885 kN.cm > Md,vão/2 = 11.465/2 = 5.732,3 kN.cm

Portanto, As, calc ≥ 1/4 As,vão = 5,03/4 = 1,26 cm2

As,ef = 2,50 cm2 > 1/4 As,vão = 1,26 cm2

As duas barras de 12,5 mm devem se estender 10φ além da face do apoio, como mostrado na

figura 36 da apostila de Ancoragem e Emendas.

12.10.3 Armadura Negativa nos Pilares Extremos P1 e P3

A armadura negativa proveniente do engastamento elástico nos pilares extremos deve

penetrar até próximo à face do pilar, respeitando-se a espessura do cobrimento, e possuir um gancho

direcionado para baixo, com comprimento de pelo menos 35φ. O diâmetro de dobramento deve ser

de 5φ, como indicado na figura 25.

35 φ

5 φ

35 c

m

2 φ 10

Figura 25 – Ancoragem da armadura negativa nos pilares extremos.


36

12.11 Detalhamento da Armadura Longitudinal

Teoricamente, os deslocamentos (al) do diagrama de momentos fletores são diferentes, em

função de terem sido adotados diferentes valores para a altura útil d. Simplificadamente, será

adotada a altura útil d de 57 cm para toda a extensão da viga, o que resulta para o deslocamento,

segundo o modelo de cálculo II:

= 0,5 . 57 (cotg 38 – cotg 90) )gcotg(cotd5,0a α−θ=l

al = 36 cm ≥ 0,5 d = 0,5 . 57 = 28,5 cm

Comprimento de ancoragem básico (Eq. 3) para barras φ 12,5 mm em situação de má

aderência:

bd

ydb f

f4φ

=l

Resistência de aderência (Eq. 1):

fbd = η1 . η2 . η3 . fctd

com 3 2ck

cctd f3,0.7,0f

γ= = 11,020

10.4,13,0.7,0 3 2 = kN/cm2

Considerando barra nervurada e situação de boa aderência, fica:

fbd = 2,25 . 0,7 . 1,0 . 0,11 = 0,17 kN/cm2

7817015150

4251

b ==,,,

l cm

A figura 26 mostra o cobrimento do diagrama de momentos fletores, feito para

conhecimento da extensão e comprimento das barras das armaduras longitudinais, positiva e

negativa. O cobrimento do diagrama pode ser feito sobre o diagrama de momentos fletores de

cálculo, deslocado no valor de al .


37

b

225

132

B

10φ 10φ

20358

10φ

10φ

b

A

B

A

4φ12,5 + 1φ10

4φ12,5

al

centro do pilar

l = 78

l = 78

2φ12,5

2φ12,5

B

face externa do pilar

Figura 26 – Esquema do cobrimento do diagrama de momentos fletores de cálculo.

Por simplicidade, a armadura negativa no apoio interno foi agrupada, sendo 4 φ 12,5 na

primeira camada com o mesmo comprimento, e 4 φ 12,5 mais 1 φ 10 nas segunda e terceira

camadas, tendo as cinco barras o mesmo comprimento. Outros diferentes arranjos ou agrupamentos

poderiam ser feitos, resultando barras com comprimentos diferentes.

A armadura positiva foi separada em dois grupos, cada um com 2 φ 12,5. Duas barras foram

estendidas até os apoios, e as outras duas foram cortadas antes dos apoios, conforme o cobrimento

do diagrama de momentos fletores.

Embora a norma não obrigue, foi colocada uma armadura de pele nas duas faces verticais da

viga, conforme cálculo mostrado no item 12.8.2.

A figura 27 apresenta o detalhamento final das armaduras da viga. Este desenho é feito

normalmente na escala 1:50. O desenho do corte da seção transversal e do estribo é feito

normalmente na escala de 1:25 ou 1:20. Atenção máxima deve ser dispensada a este detalhamento

final, pois comumente é apenas com ele que a armação da viga será executada.

Num detalhe à parte podem ser colocados outros desenhos mostrando como devem ser

executados os ganchos, com os pinos de dobramento, etc.


38

VS1 = VS3 (19 x 60)

N4 - 4φ12,5 C = 270 (2° cam)

N5 - 1φ10 C = 270 (3° cam)

N3 - 4φ12,5 C = 450

N1-14c/11

135

135N2 - 2φ10 C = 576

N1-24c/23

3510

P1

N8 - 2φ12,5 C = 742

N7 - 2φ12,5 C = 468

N6 - 2 x 4φ4,2 CORR

203

135

135

N1-14c/11154

22540

P2

N2 - 2φ10 C = 576

N1-24c/23

N8 - 2φ12,5 C = 742

N7 - 2φ12,5 C = 468203

A

40

A

225

154

35

N1 - 76φ5mm c=152

10

56

4 N3

1 N5

2 x 4 N6

P3

15

2 N7

2 N8

4 N4

Figura 27 – Detalhamento final das armaduras da viga.

O esquema de indicação ou posicionamento das armaduras como mostrado na figura 27 é o

mais comum na prática. No entanto, outros posicionamentos diferentes para as armaduras

longitudinais e para os estribos podem ser adotados. Por exemplo, a armadura longitudinal negativa

pode ser indicada acima do desenho da viga, a linha de indicação dos estribos pode ser indicada na

parte inferior da viga, e a armadura positiva como mostrada na figura 27. Esta forma de indicar as

armaduras, embora não seja a mais comum na prática, tem a vantagem de distanciar as armaduras

negativa e positiva, impedindo possíveis confusões.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto de estruturas de concreto – Procedimento - NBR 6118, Rio de Janeiro, ABNT, 2003, 170p. BASTOS, P.S.S. Dimensionamento de vigas de concreto armado ao esforço cortante. Disciplina 1309 – Estruturas de Concreto II. Bauru/SP, Departamento Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade Estadual Paulista, mar/2004, 70p. BASTOS, P.S.S. Ancoragem e emenda de armaduras. Disciplina 1309 – Estruturas de Concreto II. Bauru/SP, Departamento Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade Estadual Paulista, mar/2004, 42p. FUSCO, P.B. Técnica de armar as estruturas de concreto. São Paulo, Ed. Pini, 2000, 382p.


39

ANEXO I

LISTAGEM DE RESULTADOS - PROGRAMA PPLAN3 ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOS SISTEMA ANSER - ANALISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS RETICULADOS PROGRAMA PPLAN4 - ANALISE DE PORTICOS PLANOS - VERSAO FEV/92 PROJETO: CONCRETO II CLIENTE: VIGA EXEMPLO --------------------------------------------------------------------------- GERACAO DA GEOMETRIA DO PORTICO: VS1 (19 X 60) --------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------- GERACAO DE COORDENADAS NODAIS NO COORD X COORD Y IDENT --------------------------------------------------------------------------- 1 .000 .000 NOGL 2 359.500 .000 NOGL 3 719.000 .000 NOGL 4 1078.500 .000 NOGL 5 1438.000 .000 NOGL --------------------------------------------------------------------------- GERACAO DE RESTRICOES NODAIS NO RESTR X RESTR Y RESTR R IDENT --------------------------------------------------------------------------- 1 .10000E+38 .10000E+38 .61648E+06 RES 5 .10000E+38 .10000E+38 .61648E+06 RES 3 1 1 0 RES --------------------------------------------------------------------------- GERACAO DE CARACTERISTICAS DE BARRAS NO NO COSSENO OPCAO BARRA INIC FIN PROP COMPRIMENTO DIRETOR DIAG IDENT --------------------------------------------------------------------------- 1 1 2 1 359.500 1.0000 1 BARG 2 2 3 1 359.500 1.0000 1 BARG 3 3 4 1 359.500 1.0000 1 BARG 4 4 5 1 359.500 1.0000 1 BARG


40

--------------------------------------------------------------------------- GERACAO DE PROPRIEDADES DE BARRAS PROP MAT AREA I FLEXAO ALTURA TEMP IDENT --------------------------------------------------------------------------- 1 1 .11400E+04 .34200E+06 60.00 .00 PROP --------------------------------------------------------------------------- GERACAO DE PROPRIEDADES DE MATERIAIS MAT MOD LONG PESO ESP COEF TERM IDENT --------------------------------------------------------------------------- 1 .212800E+04 .00000E+00 .00000E+00 MATL --------------------------------------------------------------------------- PARAMETROS GEOMETRICOS E ELASTICOS DO PORTICO: VS1 (19 X 60) --------------------------------------------------------------------------- NUMERO DE NOS.......................................................... 5 NUMERO DE NOS COM RESTRICOES........................................... 3 NUMERO DE RESTRICOES NODAIS............................................ 6 NUMERO DE BARRAS....................................................... 4 NUMERO DE BARRAS COM ROTULA(S)......................................... 0 NUMERO DE ROTULAS...................................................... 0 NUMERO DE PROPRIEDADES DE BARRAS....................................... 1 NUMERO DE MATERIAIS ................................................... 1 NUMERO DE GRAUS DE LIBERDADE........................................... 9 MAXIMA DIFERENCA ENTRE NUMEROS DE NOS DE BARRAS........................ 1 LARGURA DE BANDA DA MATRIZ DE RIGIDEZ.................................. 6 NUMERO DE ELEMENTOS DA MATRIZ DE RIGIDEZ............................. 54 --------------------------------------------- I FIM DA CONSISTENCIA DE DADOS DA GEOMETRIA I I I I ACONTECERAM: 0 ERROS E 0 ADVERTENCIAS I I I --------------------------------------------- ESCOLA DE ENGENHARIA DE SAO CARLOS SISTEMA ANSER - ANALISE DE SISTEMAS ESTRUTURAIS RETICULADOS PROGRAMA PPLAN4 - ANALISE DE PORTICOS PLANOS - VERSAO FEV/92 PROJETO: CONCRETO II CLIENTE: VIGA EXEMPLO ============================ PORTICO: VS1 (19 X 60) ============================


41

=========================================================================== COORDENADAS E RESTRICOES NODAIS NO COORD X COORD Y RESTR X RESTR Y RESTR R =========================================================================== 1 .000 .000 .10000E+38 .10000E+38 .61648E+06 2 359.500 .000 0 0 0 3 719.000 .000 1 1 0 4 1078.500 .000 0 0 0 5 1438.000 .000 .10000E+38 .10000E+38 .61648E+06 =========================================================================== CARACTERISTICAS DAS BARRAS NO ROT NO ROT COSSENO BARRA INIC INIC FIN FIN PROP COMPRIMENTO DIRETOR =========================================================================== 1 1 0 2 0 1 359.500 1.0000 2 2 0 3 0 1 359.500 1.0000 3 3 0 4 0 1 359.500 1.0000 4 4 0 5 0 1 359.500 1.0000 =========================================================================== PROPRIEDADES DAS BARRAS PROP MAT AREA I FLEXAO ALTURA TEMP =========================================================================== 1 1 .11400E+04 .34200E+06 60.00 .00 =========================================================================== PROPRIEDADES DOS MATERIAIS MAT MOD LONG PESO ESP COEF TERM =========================================================================== 1 .212800E+04 .00000E+00 .00000E+00 --------------------------------------------------------------------------- GERACAO DO CARREGAMENTO: CARR1 ( PORTICO: VS1 (19 X 60) ) --------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------- GERACAO DE CARGAS EM BARRAS BARRA TIPO INTENSIDADE REL C/L REL I/L IDENT --------------------------------------------------------------------------- 1 1 -.2415 1.000 .000 CBRG 2 1 -.2415 1.000 .000 CBRG 3 1 -.2415 1.000 .000 CBRG 4 1 -.2415 1.000 .000 CBRG


42

--------------------------------------------------------------------------- ESTATISTICA DOS DADOS DO CARREGAMENTO --------------------------------------------------------------------------- NUMERO DE NOS CARREGADOS............................................... 0 NUMERO DE NOS DESCARREGADOS............................................ 5 NUMERO DE BARRAS CARREGADAS (EXCETO PESO PROPRIO) ..................... 4 NUMERO DE BARRAS DESCARREGADAS (EXCETO PESO PROPRIO) .................. 0 SOMATORIO DAS FORCAS SEGUNDO O EIXO X........................... .000 SOMATORIO DAS FORCAS SEGUNDO O EIXO Y........................... -347.277 ------------------------------------------------ I FIM DA CONSISTENCIA DE DADOS DO CARREGAMENTO I I I I ACONTECERAM: 0 ERROS E 0 ADVERTENCIAS I ------------------------------------------------ =========================================================================== CARREGAMENTO: CARR1 (PORTICO: VS1 (19 X 60) ) =========================================================================== =========================================================================== DESLOCAMENTOS NODAIS NO DESLOC X DESLOC Y ROTACAO =========================================================================== 1 .0000000 .0000000 .0022300 2 .0000000 -.4313680 -.0005575 3 .0000000 .0000000 .0000000 4 .0000000 -.4313680 .0005575 5 .0000000 .0000000 -.0022300 =========================================================================== ESFORCOS NAS EXTREMIDADES DAS BARRAS BARRA NO NORMAL CORTANTE M FLETOR =========================================================================== 1 1 .000 67.983 -1374.769 2 .000 -18.837 7459.188 2 2 .000 -18.837 7459.188 3 .000 -105.656 -14918.380 3 3 .000 105.656 -14918.380 4 .000 18.837 7459.187 4 4 .000 18.837 7459.188 5 .000 -67.983 -1374.771


43

=========================================================================== RESULTANTES NODAIS NO RESULT X RESULT Y MOMENTO =========================================================================== 1 .000 67.983 -1374.769 2 .000 .000 .000 3 .000 211.312 .000 4 .000 .000 .000 5 .000 67.983 1374.771 SOMATORIO DAS REACOES SEGUNDO O EIXO Y........................ 347.277 SOMATORIO DAS FORCAS ATUANTES SEGUNDO O EIXO Y................ -347.277 ERRO PERCENTUAL .............................................. .0000088 % =========================================================================== ESFORCOS AO LONGO DAS BARRAS BARRA REL X/L NORMAL CORTANTE M FLETOR =========================================================================== 1 0/10 .000 67.983 -1374.769 1 1/10 .000 59.301 913.145 1 2/10 .000 50.619 2888.944 1 3/10 .000 41.937 4552.628 1 4/10 .000 33.255 5904.196 1 5/10 .000 24.573 6943.649 1 6/10 .000 15.891 7670.988 1 7/10 .000 7.209 8086.211 1 8/10 .000 -1.473 8189.318 1 9/10 .000 -10.155 7980.312 1 10/10 .000 -18.837 7459.188 2 0/10 .000 -18.837 7459.188 2 1/10 .000 -27.519 6625.951 2 2/10 .000 -36.201 5480.597 2 3/10 .000 -44.882 4023.129 2 4/10 .000 -53.564 2253.545 2 5/10 .000 -62.246 171.847 2 6/10 .000 -70.928 -2221.968 2 7/10 .000 -79.610 -4927.897 2 8/10 .000 -88.292 -7945.942 2 9/10 .000 -96.974 -11276.100 2 10/10 .000 -105.656 -14918.380 3 0/10 .000 105.656 -14918.380 3 1/10 .000 96.974 -11276.100 3 2/10 .000 88.292 -7945.941 3 3/10 .000 79.610 -4927.896 3 4/10 .000 70.928 -2221.968 3 5/10 .000 62.246 171.846 3 6/10 .000 53.564 2253.545 3 7/10 .000 44.882 4023.129 3 8/10 .000 36.201 5480.598 3 9/10 .000 27.519 6625.952 3 10/10 .000 18.837 7459.189 4 0/10 .000 18.837 7459.188 4 1/10 .000 10.155 7980.310 4 2/10 .000 1.473 8189.317 4 3/10 .000 -7.209 8086.209 4 4/10 .000 -15.891 7670.986 4 5/10 .000 -24.573 6943.648 4 6/10 .000 -33.255 5904.194 4 7/10 .000 -41.937 4552.625 4 8/10 .000 -50.619 2888.941 4 9/10 .000 -59.301 913.143 4 10/10 .000 -67.983 -1374.772

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