Funções trigonométricas

Função seno

Seja x um número real. Marcamos um ângulo com medida x radianos, na circunferência unitária com centro na origem. Seja M o ponto de intersecção do lado terminal do ângulo x, com essa circunferência.

Determinamos seno de x a ordenada do ponto M em relação ao sistema x y.

Definimos uma função seno como a função f de R em R que a cada x em R faz corresponder o número real y = sen x, isto é,

O domínio da função seno é R e o conjunto imagem é o intervalo [-1,1]. A função seno é periódica e seu período é de 2π, já que sen (x + 2π) =senx.

Em alguns intervalos senx é crescente e em outros é decrescente. Por exemplos, nos intervalos e senx é crescente. Já no intervalo ela é decrescente.

O gráfico da função f (x) = senx, dominado senóide, pode ser visto abaixo:

Exemplo: Esboce o gráfico de f(x) = 1 + 2senx.

A imagem é obtida a partir dos valores máximo e mínimo

de sen x. Dessa forma, são valores extremos de f(x):

1 + 2.(1) = 1 + 2 = 3 e 1 + 2.(-1) = 1 - 2 = -1.

Logo, Im(f)= [-1,3] . O eixo de simetria da onda localiza-se

sobre a reta y = 1. Ainda, a amplitude da onda mede 2.

EXERCÍCIOS

01) Determine o período, a imagem e construa o gráfico de

cada uma das funções abaixo:

a) f(x) =3sen(x)

b) f(x) = 1 - sen(3x)

c) f(x) =-1+2sen(0,5x)

02) (UFPEL) Qual a imagem de f(x) = 2sen(x) - 3?

3) Determine o domínio da função

Função cosseno

Seja x um número real. Denominamos cosseno de x a abscissa do ponto M em relação ao sistema xy. Definimos a função cosseno como a função f de R em R que a cada x em R faz corresponder o número real y =cos x, isto é,

O domínio da função cosseno é R e o conjunto imagem é o intervalo [-1,1].

Para todo x em R, temos cos (x + 2π) = cos x. Portanto, a função é periódica e seu período é 2π.

Em alguns intervalos a função cosseno é crescente e em outros decrescente. Por exemplo, no intervalo [0, π] a função f(x) = cos x é decrescente. Já no intervalo [π, 2π] ela é crescente.

O gráfico da função f(x) = cos x, denominado cossenóide:

Função Tangente

Esta função é definida em termos de seno e cosseno:

, com .

O conjunto da função tg x é o conjunto de todos os números reais x para os quais .

Como cos x =0 quando x for ,isto é, quando . Temos,

Dom (tg) =

Gráfico

4) Construir o gráfico. Verificar se são periódicas e em caso afirmativo determinar o período:

a)

b)

c)

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Soma de arcos :

5) Calcule:

a)

R:

6) Mostre que: