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UNIVERSIDADE DA MADEIRA
Departamento de Gestão e Economia
MICROECONOMIA I
1º Semestre 2005/2006
CADERNO DE EXERCÍCIOS
Resolução
1
A. TEORIA DO CONSUMIDOR A.1. A RESTRIÇÃO ORÇAMENTAL DO CONSUMIDOR
A.1.1. Defina os seguintes conceitos:
a) Cabaz de bens
Combinação de quantidades consumíveis de um conjunto de bens.
b) Conjunto de possibilidades de consumo
Conjunto de cabazes que podem ser comprados pelo consumidor num dado
momento, gastando parcial ou totalmente o seu rendimento monetário.
c) Restrição orçamental
Lugar geométrico dos cabazes que podem ser comprados se todo o rendimento do
consumidor for gasto.
d) Custo de oportunidade de um bem
Quantidade do outro bem que é preciso sacrificar para consumir mais uma
unidade do bem.
e) Bem numerário
Bem em relação ao qual é medido o preço do outro bem e o rendimento do
consumidor.
A.1.2. Considere um consumidor que enfrenta os preços Px e Py e dispõe de um
rendimento M. Para cada um dos casos seguintes, determine, analítica e
graficamente, o conjunto de possibilidades de consumo e a restrição orçamental.
a) 2Px = ; 4Py = ; 10M = CPC: 10y4x2 ≤+ RO: 10y4x2 =+
b) 3Px = ; 5Py = ; 15M = CPC: 15y5x3 ≤+ RO: 15y5x3 =+
c) 5Px = ; 1Py = ; 25M = CPC: 25yx5 ≤+ RO: 25yx5 =+
d) 5,1Px = ; 6Py = ; 45M = CPC: 45y6x5,1 ≤+ RO: 45y6x5,1 =+
e) 4Px = ; 7Py = ; 56M = CPC: 56y7x4 ≤+ RO: 56y7x4 =+
2
A.1.3. O que acontece à restrição orçamental se:
a) o preço do bem X duplica e o do bem Y triplica
A restrição orçamental torna-se menos inclinada e desloca-se para a esquerda
b) o preço do bem X quadruplica e o do bem Y triplica
A restrição orçamental torna-se mais inclinada e desloca-se para a esquerda
c) ambos os preços duplicam
A restrição orçamental desloca-se paralelamente para a esquerda
d) ambos os preços duplicam e o rendimento triplica
A restrição orçamental desloca-se paralelamente para a direita
e) ambos os preços triplicam e o rendimento duplica
A restrição orçamental desloca-se paralelamente para a esquerda
f) o preço do bem X e o rendimento duplicam
A restrição orçamental roda para a direita
A.1.4. O Paulo tem uma mesada de 120 euros que lhe é paga pelos pais. A mesada é
gasta exclusivamente em jantares e bilhetes de teatro.
a) Identifique formalmente o conjunto de possibilidades de consumo do Paulo,
sabendo que cada jantar custa 20 euros e cada bilhete de teatro custa 10
euros.
120b10j20 ≤+
b) No mês de Agosto, o Paulo será visitado pelos avós que lhe dão sempre 100
euros. Durante esse mês, o Paulo pretende ir a 8 jantares e assistir a 8
espectáculos de teatro. Será que vai conseguir? E se ele passar a ir jantar a
restaurantes mais baratos, onde o preço médio da refeição é 15 euros? Qual é,
neste caso, o custo de oportunidade para o Paulo de ir a um jantar?
220100120M =+=
( ) ( ) →>=×+×⇒= 2202408108208,8b,j não consegue consumir este cabaz.
( ) ( ) →<=×+×⇒= 2202008108158,8b,j consegue consumir este cabaz.
5,11015
CO ==
c) Dadas as fracas notas obtidas nos exames, os pais do Paulo reduziram-lhe a
mesada para metade e proibiram-no de ir a mais de 2 jantares no mês de
Agosto (os avós não sabem de nada). Identifique o conjunto de possibilidades
de consumo do Paulo nesta situação.
16010060M =+=
⎩⎨⎧
≤≤+
2j160b10j20
3
d) Suponha que o Paulo pode beneficiar de 10% de desconto no preço dos
bilhetes de teatro se adquirir o cartão jovem. Sabendo que o cartão jovem
custa 10 euros, deverá o Paulo comprá-lo?
1501010060M =−+=
9109,0Pb =×=′
⎩⎨⎧
≤≤+
2j150b9j20
Se adquirir o cartão, o Paulo expande o seu conjunto de possibilidades de
consumo, logo deverá adquiri-lo.
e) Descreva o conjunto de possibilidades de consumo do Paulo se o cartão jovem
lhe possibilitar 2 entradas gratuitas em espectáculos de teatro, adicionalmente
ao desconto mencionado na alínea anterior.
168921010060M =×+−+=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤≤
≤+
2j5,7j
168b9j20
f) Durante as férias, o Paulo fez um curso de Verão no qual tirou muito boas
notas. Consequentemente, os pais decidiram levantar-lhe as restrições aos
jantares e subsidiarem-lhe as idas ao teatro em 5 euros; no entanto,
mantiveram a redução da mesada. Admitindo que o Paulo não tem cartão
jovem, determine de novo, analítica e graficamente, o conjunto de
possibilidades de consumo do Paulo.
16010060M =+=
5510Pb =−=′
160b5j20 ≤+
A.1.5. Suponha que a Companhia de Telefones cobra mensalmente 30 euros, o que
garante aos seus assinantes o acesso à rede e a possibilidade de fazer 30 minutos
de chamadas por mês. Chamadas acima deste limite pagam um preço unitário de
15 cêntimos.
a) Escreva e represente a restrição orçamental de um consumidor representativo
que tem um rendimento M para gastar em minutos de chamadas telefónicas
(T) e num bem compósito (C) cujo preço é igual a 1.
⎩⎨⎧
−≤−=+
⇔⎪⎩
⎪⎨⎧
−≤
×+−=+
30MC5,25MC1T15,0
130M
C
15,03030MC1T15,0
4
bem compósito
cham
adas
tel
efón
icas
b) Suponha que a companhia pondera duas alterações relativas à actual estrutura
de preços: i) diminuir para 20 o número de minutos oferecidos com a
assinatura mensal; ou ii) aumentar o preço unitário de chamadas acima dos 30
minutos para 20 cêntimos. Represente graficamente as restrições orçamentais
correspondentes às duas alternativas.
i) ⎩⎨⎧
−≤−=+
⇔⎪⎩
⎪⎨⎧
−≤
×+−=+
30MC27MC1T15,0
130M
C
15,02030MC1T15,0
ii) ⎩⎨⎧
−≤−=+
⇔⎪⎩
⎪⎨⎧
−≤
×+−=+
30MC24MC1T20,0
130M
C
20,03030MC1T20,0
bem compósito
cham
adas
tele
fóni
cas
RO inicial alternativa i alternativa ii
A.1.6. A Ana consome dois bens, carne (C) e peixe (P), ambos adquiridos no
hipermercado, aos preços 5,7Pc = e 10PP = . Para chegar ao hipermercado, a Ana
demora 45 minutos. Para adquirir uma unidade de C demora mais 15 minutos,
enquanto que para a aquisição de uma unidade de P são precisos mais 12 minutos.
a) Represente o conjunto de possibilidades de escolha da Ana, admitindo que
esta tem um rendimento de 150 unidades monetárias e o seu tempo disponível
para compras é de 4 horas e meia.
5
⎩⎨⎧
≤+≤+
⇔⎩⎨⎧
−×≤+≤+
225p12c15150p10c5,7
455,460p12c15150p10c5,7
0
5
10
15
20
0 2,5 5 7,5 10 12,5 15 17,5 20 22,5carne
peix
eRO
RT
b) A Ana muda de emprego e passa a não ter tempo para ir ao hipermercado. No
seu prédio, há um supermercado onde a Ana não perde tempo e enfrenta os
preços 10Pc = e 15Pp = . Neste novo emprego, além das 150 unidades
monetárias, a Ana recebe 10,5 unidades de C, que não pode vender.
Represente o novo conjunto de possibilidades de escolha.
⎩⎨⎧
≤≤+
⇔⎪⎩
⎪⎨⎧
≤
×+≤+
10p255p15c10
15150
p
105,10150p15c10
0
2
4
6
8
10
12
0 2,5 5 7,5 10 12,5 15 17,5 20 22,5 25 27,5carne
peix
e
A.1.7. O João vive em Santana e desloca-se todos os dias ao Funchal, onde tem uma
pastelaria. O seu rendimento diário é de 200 euros, que é gasto em bilhetes de
autocarro (B) e outros bens (X). O bilhete custa 2 euros, enquanto o preço dos
outros bens é de 10 euros. O tempo útil diário do João é de 8 horas, gastando 1
hora na viagem Santana – Funchal e 15 minutos para adquirir uma unidade de X.
a) Represente o conjunto de possibilidades de escolha do João.
⎩⎨⎧
≤+≤+
8x25,0b1200x10b2
b) Nos dias em que o João tem de fazer mais de duas viagens entre Santana e o
Funchal, fica de mau humor. Isto reduz-lhe a clientela da pastelaria,
6
implicando uma redução do rendimento diário do João de 50 euros.
Represente de novo o conjunto de possibilidades de escolha.
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤+>≤+≤≤+
8x25,0b12bse150x10b22bse200x10b2
c) Depois da quarta viagem, o João chega a casa depois do supermercado fechar.
Isso obriga-o a fazer as compras num outro supermercado, onde o
estacionamento custa 1 euro.
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≤+>≤+
≤<≤+≤≤+
8x25,0b14bse149x10b2
4b2se150x10b22bse200x10b2
d) Suponha agora que, a partir da segunda passagem, o João passa a ir na
carrinha da pastelaria. Nesse caso, o tempo necessário para a viagem é de
meia hora e o custo do combustível 1 euro. Represente novamente o conjunto
de possibilidades de escolha do João, considerando um rendimento de 200
euros.
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>≤+≤≤+>≤+≤≤+
2bse8x25,0b5,02bse8x25,0b12bse200x10b12bse200x10b2
7
A.2. UTILIDADE E PREFERÊNCIAS
A.2.1. Defina os seguintes conceitos:
a) Bem económico
Produto (ou serviço) definidos pelas suas características físicas, de localização e
tempo, e que proporciona a satisfação de uma necessidade do consumidor.
b) Mal económico
Produto (ou serviço) cujo consumo causa uma diminuição na satisfação do
consumidor.
c) Bem neutral
Produto (ou serviço) cujo consumo não afecta a satisfação do consumidor.
d) Utilidade
Forma de medir a satisfação dos desejos do consumidor. Valor atribuído ao uso de
um ou mais bens.
e) Utilidade marginal de um bem
Variação na utilidade total de um consumidor quando a quantidade consumida de
um bem aumenta de uma forma infinitesimal, mantendo-se a quantidade
consumida dos outros bens.
f) Curva de indiferença
Conjunto de cabazes de dois bens em relação aos quais o consumidor é
indiferente, isto é, que proporcionam o mesmo nível de utilidade.
g) Taxa marginal de substituição no consumo de Y por X
Mede o número de unidades de Y que têm de ser sacrificadas por unidade
infinitesimal a mais de X de forma a que o consumidor mantenha o nível de
satisfação.
A.2.2. Enumere e explique os axiomas e hipóteses das relações de preferência e as
propriedades das curvas de indiferença.
Axioma da exaustão ou da relação completa
Uma ordem de preferências é completa se permite ao consumidor ordenar todas as
combinações possíveis de bens e serviços.
Axioma da transitividade
Dizer que uma ordem de preferências é transitiva significa que, relativamente a três
cabazes A, B e C, se o consumidor prefere A a B e B a C, então gostará mais de A que
de C.
Hipótese da não saciedade ou monotocidade
Esta hipótese significa simplesmente que, quando todo o resto se mantém constante,
uma maior quantidade de um bem é melhor que uma menor quantidade desse mesmo
bem.
8
Hipótese da convexidade
Sejam 3 cabazes, A, B e C tais que B é pelo menos tão bom como A e C é estritamente
preferido a A. A hipótese da convexidade implica que qualquer combinação linear dos
cabazes B e C é preferível a A. Economicamente, esta hipótese relaciona-se com a
necessidade de um consumidor ser compensado com maiores quantidades de um bem,
à medida que sacrifica sucessivas unidades de outro. Ou seja: a taxa marginal de
substituição no consumo entre dois bens é decrescente.
Hipótese da continuidade
Os cabazes que são preferidos ou indiferentes a um determinado cabaz e os cabazes
que são menos preferidos ou indiferentes formam conjuntos fechados. Esta hipótese é
meramente técnica.
Propriedade 1: As curvas de indiferença têm inclinação negativa.
Propriedade 2: As curvas de indiferença nunca se intersectam.
Propriedade 3: Curvas de indiferença para NE representam níveis de satisfação mais
elevados.
Propriedade 4: As curvas de indiferença são convexas em relação à origem.
Propriedade 5: As curvas de indiferença são densas em todo o espaço de bens.
A.2.3. Diga, de entre as situações seguintes, aquelas que violam os axiomas e hipóteses
que regem as preferências.
a) A Isabel gosta mais de chocolates que de caramelos e prefere caramelos a
rebuçados; mas entre rebuçados e chocolates, escolhe os primeiros.
Viola o axioma da transitividade
b) O Francisco não sabe se gosta mais de duas horas de vela ou três de natação.
Viola o axioma da exaustão
c) Quanto mais toca piano, mais a Catarina gosta de tocar.
Viola a hipótese da convexidade
d) Depois de quatro horas de estudo, o Diogo já não estuda mais nenhuma.
Viola a hipótese da monotocidade
e) A Beatriz começou a gostar mais de ir à praia depois de ir muitas vezes.
Viola a hipótese da convexidade
A.2.4. Represente graficamente os mapas de indiferença para os seguintes casos:
a) Dois bens económicos
9
bem
bem
b) Um bem e um mal económico
mal
bem
c) Um bem económico e um neutro
neutro
bem
d) Existência de um ponto de saciedade
10
x
y
e) Bens complementares
x
y
f) Bens substitutos
x
y
A.2.5. Represente as preferências dos consumidores para os seguintes casos, verificando
em cada um se se tratam de preferências bem comportadas.
a) O Gonçalo bebe sempre um café com um copo de água.
11
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6cafés
copo
s de
águ
a
b) A Graça é indiferente entre utilizar papel A4 pautado e papel A4 liso.
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6pautado
liso
c) Ao almoço, a Maria não consegue comer mais de 220 gramas de carne, mas
bebe toda a Coca-Cola que lhe servirem.
0 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440carne
coca
-col
a
d) O Pedro é indiferente entre jogar uma hora de futebol ou duas horas de ténis.
12
0
1
2
3
4
5
0 0,5 1 1,5 2 2,5futebol
téni
s
e) A D. Carlota bebe sempre cada chávena de chá com meio pacote de açúcar.
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 1 2 3 4 5 6chá
açúc
ar
f) A Joaninha adora leite com torradas. Ao lanche, não consegue comer mais de
4 torradas, mas bebe todo o leite que lhe servirem.
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8
torradas
leit
e
A.2.6. Considere as seguintes funções utilidade:
i. 5,05,0 yxU =
ii. yx3U ++−=
iii. { }y,xminU =
13
iv. yxU +=
Para cada uma delas:
a) Indique o tipo de preferências.
b) Represente o mapa de indiferença.
c) Calcule as utilidades marginais.
d) Determine a taxa marginal de substituição de y por x.
e) Encontre uma função que represente as mesmas preferências.
5,05,0 yxU = yx3U ++−= { }y,xminU = yxU +=
a) Cobb-Douglas Substitutos perfeitos Complementares Quasi-lineares
b)
bem
bem
U1
U2
U3
bem
bem
U1
U2
U3
bem
bem
U1
U2
U3
U1
U2
U3
c) 5,05,0 yx5,0xUmg −= 5,05,0 yx5,0yUmg −=
1xUmg = 1yUmg =
0xUmg = 0yUmg =
1xUmg = 5,0y5,0yUmg −=
d) xy
TMS x,y = 1TMS x,y = Não tem y2TMS x,y =
e) 5,05,0 yx2V = yxV ++= { }y3,x3minV = yyx2xV 2 ++=
A.2.7. A utilidade que um consumidor retira da utilização de gás e de electricidade é
dada pela função 5,05,0 yx2U = em que =x n.º de litros gás/dia e =y n.º Kw/hora.
a) Identifique as diferentes combinações de x e y que permitem ao consumidor
atingir o nível de utilidade de 2 e 4. Qual o conceito subjacente?
x1
y2yx22U 5,05,0 =⇔=⇔=
x4
y4yx24U 5,05,0 =⇔=⇔=
O conceito aqui subjacente é o de curva de indiferença.
b) Admita que este consumidor se encontra actualmente a consumir 5 litros de
gás por dia e 0,2 Kw/hora. Qual a quantidade de electricidade que teria de
sacrificar, se quisesse consumir um litro adicional de gás, de forma a manter o
mesmo nível de satisfação?
( ) 22,052U2,0;5 5,05,0 =××=⇒
61yy622 5,05,0 =⇔××=
14
A.2.8. O António tem uma função de utilidade yxU = .
a) Suponha que inicialmente consome 4 unidades do bem x e 12 unidades do bem
y. Se passar a consumir 8 unidades do bem y, quantas unidades terá de
consumir do bem x de modo a que a sua utilidade de mantenha constante?
( ) ( ) 48124U12,4y,x =×=⇒=
6xx848 =⇔=
b) Calcule a y,xTMS . O que acontece ao valor desta taxa quando o António aumenta o consumo do bem x?
0x
TMS
yx
xUmgyUmg
TMS y,xy,x >
∂
∂→==
c) Responda novamente às alínea a) e b) admitindo que as preferências do
António são descritas por ylnxU += .
( ) ( ) 48,612ln4U12,4y,x ≈+=⇒=
41,4x8lnx48,6 ≈⇔+=
0x
TMS
y1
1y1
xUmgyUmg
TMS1
2,1y,x =
∂
∂→===
O consumo do bem x não influencia a taxa a que o António se dispõe a trocar os
bens.
d) De entre os seus amigos, quem tem as mesmas preferências que o António? Considere o quadro abaixo e a função utilidade inicial.
Ana xy1000V = Filipa xyW = Sofia ( )1xy/1Z +−=
Margarida 10000xyF −= Teresa y/xG =
Bernardo ( )1yxH +=
Ana yx
y1000x1000
TMS y,x ==
Filipa yx
TMS y,x =
Sofia ( )( ) y
x
yxy1
yxx1TMS
2
2
y,x =−
−=
−
−
Margarida yx
TMS y,x =
Teresa yx
y1yx
TMS2
y,x −=−
=
Bernardo 1y
xTMS 1,2 +
=
A Teresa e o Bernardo não têm as mesmas preferências do António.
15
A.2.9. Comente as seguintes afirmações:
a) Não é possível que duas curvas de indiferença «bem comportadas» se cruzem.
A frase é verdadeira. Para prová-lo assumamos que a frase é falsa ou seja que
duas curvas de indiferença bem comportadas se podem cruzar, conforme
mostrado na figura.
A
B=D
C
U1
U0
Por definição, diferentes curvas de indiferença representam diferentes níveis de
utilidade. E uma curva de indiferença bem comportada é aquela que respeita,
entre outros, o axioma da transitividade e a hipótese da monoticidade. Se, no
gráfico, as preferências não violarem o axioma da monoticidade, então C será
preferido a A porque tem o mesmo de um dos bens, mas mais do outro. Como C e
B estão na mesma curva de indiferença são, por definição, indiferentes entre si.
Então B deveria, sendo as preferências transitivas, ser preferível a A. Mas B e A
estão sobre a mesma curva de indiferença, significando isso que são indiferentes.
Ou seja, duas curvas de indiferença que se intersectem violam o axioma da
transitividade e a hipótese da monotocidade, logo não podem ser bem
comportadas.
b) Se as preferências forem monotónicas, então a linha diagonal (no espaço dos
bens) que passa pela origem cruza cada curva de indiferença apenas 1 vez.
Consideremos que a frase é falsa. Se é falsa é porque a linha diagonal (no espaço
dos bens) que passa pela origem pode cruzar cada curva de indiferença mais que
1 vez. Vamos admitir que a cruza em dois pontos distintos, A e B. Se A e B estão
sobre a diagonal, então um destes pontos tem de estar acima e à direita do outro.
Mas se está acima e à direita, então representa um cabaz com mais de ambos os
bens o que, pela hipótese da monotocidade, implica uma utilidade superior. Mas
se tem utilidade superior não pode, por definição, estar sobre a mesma curva de
indiferença. Então, a frase tem de ser verdadeira.
c) Se dois bens forem substitutos perfeitos então a taxa marginal de substituição
ou é igual a zero ou é infinito.
Se dois bens são substitutos perfeitos, então a utilidade marginal associada a cada
um deles é constante. Logo, também é constante a taxa marginal de substituição.
16
Se esta for zero ou infinito é porque uma das utilidades marginais é zero ou
infinito. Mas isso não faz sentido. Portanto, a frase é falsa.
d) A convexidade estrita das preferências pode ser entendida como uma
expressão formal de uma preferência dos consumidores por diversificação.
A convexidade das curvas de indiferença decorre da hipótese de taxa marginal de
substituição (TMS) decrescente. Esta hipótese estabelece que, ao longo de
qualquer curva de indiferença, quanto maior a quantidade de um bem um
consumidor possuir, tanto mais exige receber desse bem, para renunciar a uma
unidade do outro bem. Ou seja, os consumidores estão, geralmente, dispostos a
prescindir de bens que já possuem em grande quantidade, para obterem mais
unidades daqueles que, naquele momento, detêm em menor quantidade. Mas isso
significa uma preferência dos consumidores por diversificação.
e) Para que a taxa marginal de substituição no consumo seja decrescente, é
preciso que a utilidade marginal seja decrescente.
Frase falsa como facilmente se constata pela análise do seguinte contra-exemplo.
yUmgxUmg
TMS x,y = . Se x tiver uma utilidade marginal constante, para que a taxa
marginal de substituição seja decrescente a utilidade marginal de y terá de ser
crescente.
17
A.3. A ESCOLHA ÓPTIMA DO CONSUMIDOR
A.3.1. Para cada um dos consumidores
i. deduza as funções procura de ambos os bens;
ii. determine a escolha óptima;
iii. calcule o nível de satisfação; e
iv. avalie a taxa marginal de substituição no ponto óptimo.
a) Consumidor A: 5,05,0 yx5U = ; 2Px = ; 10Py = ; 100m =
FUNÇÕES PROCURA
( )yPxPmy5xmyPxP.a.s
yx5Umaxyx
5,00,5
yx
5,05,0
y,x −−λ+=Γ→⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
=
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
λ=
λ=
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−−
=λ−×
=λ−×
⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
=λ∂Γ∂=∂Γ∂=∂Γ∂
−
−
−
−
myPxP
Pyx5,2
Pyx5,2
0yPxPm
0Pyx5,05
0Pyx5,05
00y0x
yx
y5,05,0
x5,05,0
yx
y5,05,0
x5,05,0
⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
λλ
=−
−
myPxP
xPP
y
myPxP
PP
xy
myPxP
PP
yx5,2
yx5,2
yx
y
x
yx
y
x
yx
y
x5,05,0
5,05,0
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=
x
y
xx
y
x
y
xyx
y
x
Pm5,0
x
Pm5,0
y
mxPxP
xPP
y
mxPP
PxP
xPP
y
ESCOLHA ÓPTIMA
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=×
=
=×
=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
==
2521005,0
x
510
1005,0y
100m
10P2P
y
x
NÍVEL DE SATISFAÇÃO
9,555255U 5,05,0 ≈××=
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO
( )( )
2,0255
yUmgxUmg
TMS5;25
5;25x,y ===
b) Consumidor B: 6,04,0 yx2U = ; 1Px = ; 6Py = ; 50m =
FUNÇÕES PROCURA
( )yPxPmy2xmyPxP.a.s
yx2Umaxyx
6,00,4
yx
6,04,0
y,x −−λ+=Γ→⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
=
18
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
λ=
λ=
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−−
=λ−×
=λ−×
⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
=λ∂Γ∂=∂Γ∂=∂Γ∂
−
−
−
−
myPxP
Pyx2,1
Pyx8,0
0yPxPm
0Pyx6,02
0Pyx4,02
00y0x
yx
y4,04,0
x6,06,0
yx
y4,04,0
x6,06,0
⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
λλ
=−
−
myPxP
xPP
5,1y
myPxP
PP
x3y2
myPxP
PP
yx2,1
yx8,0
yx
y
x
yx
y
x
yx
y
x4,04,0
6,06,0
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=
x
y
xx
y
x
y
xyx
y
x
Pm4,0
x
Pm6,0
y
mxP5,1xP
xPP
5,1y
mxPP
5,1PxP
xPP
5,1y
ESCOLHA ÓPTIMA
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=×
=
=×
=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
==
201
504,0x
56
506,0y
50m
6P1P
y
x
NÍVEL DE SATISFAÇÃO 4,175202U 6,04,0 ≈××=
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO
( )( ) 6
120352
yUmgxUmg
TMS5;20
5;20x,y =××
==
c) Consumidor C: 23yxU = ; 5,1Px = ; 4Py = ; 45m =
FUNÇÕES PROCURA
( )yPxPmyxmyPxP.a.s
yxUmaxyx
23
yx
23
y,x −−λ+=Γ→⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
=
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
λ=
λ=
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−−
=λ−
=λ−
⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
=λ∂Γ∂=∂Γ∂=∂Γ∂
myPxP
Pyx2
Pyx3
0yPxPm
0Pyx2
0Pyx3
00y0x
yx
y3
x22
yx
y3
x22
⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
λλ
=
myPxP
xP3P2
y
myPxP
PP
x2y3
myPxP
PP
yx2
yx3
yx
y
x
yx
y
x
yx
y
x3
22
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=
x
y
xx
y
x
y
xyx
y
x
Pm6,0
x
Pm4,0
y
mxp32
xP
xP3P2
y
mxP3P2
pxP
xP3P2
y
ESCOLHA ÓPTIMA
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=×
=
=×
=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
==
185,1
456,0x
5,44
454,0y
45m
4P5,1P
y
x
NÍVEL DE SATISFAÇÃO 1180985,418U 23 =×=
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO
19
( )( )
375,0182
5,43yUmgxUmg
TMS5,4;18
5,4;18x,y =××
==
d) Consumidor E: y3x2U += ; 1Px = ; 4Py = ; 60m =
FUNÇÕES PROCURA
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
<
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
>
=
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
<
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
>
=→⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
+=
y
x
y
y
x
y
y
x
y
x
y
x
x
y
x
x
yx
y,x
PP
32
Pm
PP
32
Pm
;0
PP
32
0
y
PP
32
0
PP
32
Pm
;0
PP
32
Pm
xmyPxP.a.s
y3x2Umax
ESCOLHA ÓPTIMA
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
==⇒=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
==
0y
601
60x
25,0PP
60m
4P1P
y
xy
x
NÍVEL DE SATISFAÇÃO 12003602U =×+×=
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO
( )( ) 3
2yUmgxUmg
TMS0;60
0;60x,y ==
e) Consumidor F: y2x5U += ; 3Px = ; 1Py = ; 12m =
FUNÇÕES PROCURA
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
<
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
>
=
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
<
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
>
=→⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
+=
y
x
y
y
x
y
y
x
y
x
y
x
x
y
x
x
yx
y,x
PP
25
Pm
PP
25
Pm
;0
PP
25
0
y
PP
25
0
PP
25
Pm
;0
PP
25
Pm
xmyPxP.a.s
y2x5Umax
ESCOLHA ÓPTIMA
⎪⎩
⎪⎨⎧
==
=⇒=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
==
121
12y
0x3
PP
12m
1P3P
y
xy
x
NÍVEL DE SATISFAÇÃO 2412205U =×+×=
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO
( )( ) 2
5yUmgxUmg
TMS12;0
12;0x,y ==
f) Consumidor G: y4x3U += ; 6Px = ; 8Py = ; 150m =
FUNÇÕES PROCURA
20
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
<
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
>
=
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
<
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
>
=→⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
+=
y
x
y
y
x
y
y
x
y
x
y
x
x
y
x
x
yx
y,x
PP
43
Pm
PP
43
Pm
;0
PP
43
0
y
PP
43
0
PP
43
Pm
;0
PP
43
Pm
xmyPxP.a.s
y4x3Umax
ESCOLHA ÓPTIMA
[ ][ ]⎩
⎨⎧
∈∈
⇒=⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
==
75,18;0y25;0x
43
PP
150m
8P6P
y
xy
x
NÍVEL DE SATISFAÇÃO 75253U =×=
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO
43
yUmgxUmg
TMS x,y ==
g) Consumidor H: { }y5,x2minU = ; 2Px = ; 10Py = ; 72m =
FUNÇÕES PROCURA { }
⇔⎩⎨⎧
=+=
⇔⎩⎨⎧
=+=
→⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
=
myPxPy5,2x
myPxPy5x2
myPxP.a.s
y5,x2minUmax
yxyxyx
y,x
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
+=
⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
=
⇔⎩⎨⎧
=+=
xy
yx
xyyx
P5,2pm
y
P4,0Pm
x
P5,2pm
y
y5,2x
myPyP5,2y5,2x
ESCOLHA ÓPTIMA
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=×+
=
=×+
=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
==
8,425,210
72y
12104,02
72x
72m
10P2P
y
x
NÍVEL DE SATISFAÇÃO { } 248,45;122minU =××=
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO
Não faz sentido
h) Consumidor I: { }y,x3minU = ; 6Px = ; 2Py = ; 48m =
FUNÇÕES PROCURA { }
⇔⎩⎨⎧
=+=
⇔⎩⎨⎧
=+=
→⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
=
mxP3xPx3y
myPxPyx3
myPxP.a.s
y,x3minUmax
yxyxyx
y,x
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
+=
⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
=
yx
yx
yx P3pm
x
P3Pm3
y
P3pm
x
x3y
ESCOLHA ÓPTIMA
21
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=×+
=
=×+
×=
⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
==
4236
48x
12236
483y
48m
2P
6P
y
x
NÍVEL DE SATISFAÇÃO { } 1212;43minU =×=
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO
Não faz sentido
i) Consumidor H: { }y,x2minU = ; 4Px = ; 2Py = ; 100m =
FUNÇÕES PROCURA { }
⇔⎩⎨⎧
=+=
⇔⎩⎨⎧
=+=
→⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
=
mxP2xPx2y
myPxPyx2
myPxP.a.s
y,x2minUmax
yxyxyx
y,x
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
+=
⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
=
yx
xy
yx P2pm
x
P5,0Pm
y
P2pm
x
x2y
ESCOLHA ÓPTIMA
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=×+
=
=×+
=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
==
5,12224
100x
2545,02
100y
100m
2P4P
y
x
NÍVEL DE SATISFAÇÃO { } 2525;5,122minU =×=
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO
Não faz sentido
j) Consumidor K: ylnx4U += ; 10Px = ; 1Py = ; 5,62m =
FUNÇÕES PROCURA
( )yPxPmyln4xmyPxP.a.s
ylnx4Umaxyx
yx
y,x −−λ++=Γ→⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
+=
⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
λ=
λ=
⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−−
=λ−
=λ−
⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
=λ∂Γ∂=∂Γ∂=∂Γ∂
−−
myPxP
Py
P4
0yPxPm
0Py
0P4
00y0x
yx
y1
x
yx
y1
x
⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
λλ
=−
myPxP
P4P
y
myPxP
PP
y4
myPxP
PP
y
4
yx
y
x
yx
y
x
yx
y
x1
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−=
=
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=
x
x
y
x
xx
y
x
y
xyx
y
x
P4P
mx
P4P
y
m4P
xP
P4P
y
mP4
PpxP
P4P
y
ESCOLHA ÓPTIMA
22
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=−
=
=×
=
⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
==
610
410
5,62x
5,214
10y
5,62m
1P10P
y
x
NÍVEL DE SATISFAÇÃO 9,245,2ln64U ≈+×=
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO
( )( )
105,2
4yUmgxUmg
TMS1
5,2;65,2;6x,y ===
−
k) Consumidor L: 2x5,0yU += ; 6Px = ; 2Py = ; 28m =
FUNÇÕES PROCURA
( ) ( )0yPmxPmy0x:cantodesoluçãomyPxP.a.s
x5,0yUmaxxy
yx
2
y,x =∧=∨=∧=→⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
+=
y1
y Pm
uPmy
0x=⇒
⎩⎨⎧
==
2x
2
2x
P
m5,0u
0yPmx
=⇒⎩⎨⎧
==
m5,0PP
P
m5,0Pm
uuy
2x
2x
2
y21 >⇔>⇔>
⎩⎨⎧
=0
Pmx x
sese
m5,0PP
m5,0PP
y2x
y2x
≥
≤
⎩⎨⎧
=xPm
0y
sese
m5,0PP
m5,0PP
y2x
y2x
≥
≤
ESCOLHA ÓPTIMA
⎩⎨⎧
==
⇒=>=⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
==
14y0x
14m5,018PP
28m
2P6P
y
2x
y
x
NÍVEL DE SATISFAÇÃO 1405,014U 2 =×+=
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO
( )( )
010
yUmgxUmg
TMS14;0
14;0x,y ===
l) Consumidor M: 5,0y12x3U += ; 2Px = ; 5,0Py = ; 100m =
FUNÇÕES PROCURA
( )yPxPmy123xmyPxP.a.s
y12x3Umaxyx
0,5
yx
5,0
y,x −−λ++=Γ→⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
+=
⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
λ=
λ=
⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−−
=λ−
=λ−
⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
=λ∂Γ∂=∂Γ∂=∂Γ∂
−−
myPxP
Py6
P3
0yPxPm
0Py6
0P3
00y0x
yx
y5,0
x
yx
y5,0
x
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
λλ
= −−
myPxP
PP
4y
myPxP
PP
y5,0
myPxP
PP
y6
3
yx
2
y
x
yx
y
x5,0
yx
y
x5,0
23
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⇔
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⇔
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
x
y
2x
2
y
x
y
2x
x
2
y
x
2
y
xyx
2
y
x
P
PP
4m
x
PP
4y
mPP
4xP
PP
4y
mPP
P4xP
PP
4y
ESCOLHA ÓPTIMA
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=−
=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
==
342
5,02
4100x
645,0
24y
100m
5,0P2P
2
2
y
x
NÍVEL DE SATISFAÇÃO 1986412343U 5,0 =×+×=
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO
( )( )
4646
3yUmgxUmg
TMS5,0
64;3464;34x,y =
×==
−
A.3.2. A Joana tem a seguinte função de utilidade: 5,05,0 yx10U = e aufere 100 euros por
semana que gasta no consumo dos bens X e Y, cujos preços são, respectivamente,
2Px = e 1Py = , ambos denominados em euros.
a) Suponha que a Joana detém hoje 12,5 unidades do bem X e 75 unidades do
bem Y. Qual a X,YTMS nesse cabaz de dotações iniciais? Como se compara com
os preços relativos? Se a Joana puder realizar trocas no mercado, que trocas
tenderá ela a fazer? Explique a lógica do seu raciocínio.
( )( ) ( )
2PP
6xy
yUmgxUmg
TMSY
X
75;5,1275;5,1275;5,12x,y =>===
A Joana dispõe-se a trocar 6 unidades de Y por 1 de X. No mercado, para ter 1
unidade adicional de X, exigem 2 unidades de Y. Logo, a Joana trocará Y por X.
b) Qual o cabaz semanal óptimo da Joana?
( )yx2100y10x100yx2.a.s
yx10Umax5,00,5
5,05,0
y,x −−λ+=Γ→⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
=
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+λ=
λ=
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−−=λ−
=λ−
⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
=λ∂Γ∂=∂Γ∂=∂Γ∂
−
−
−
−
100yx2yx5
2yx5
0yx21000yx5
02yx5
00y0x
5,05,0
5,05,0
5,05,0
5,05,0
⇔⎩⎨⎧
=+=
⇔⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
λλ
=−
−
100yx2x2y
100yx2
2xy
100yx2
2
yx5
yx55,05,0
5,05,0
⎩⎨⎧
==
⇔⎩⎨⎧
==
⇔⎩⎨⎧
=+=
25x50y
25xx2y
100x2x2x2y
24
c) Qual a utilidade marginal do rendimento da Joana?
mU
54,325025550y25x
2yx55,05,0
5,05,0
∂∂
=≈λ⇔λ=××⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
λ=−
−
A.3.3. Suponha que, para um determinado consumidor, a taxa marginal de substituição
avaliada na combinação de consumo x0 é ( ) 5,0xTMS 02,1 = . Sabendo que
1p/p 21 = , diga se este cabaz será escolhido pelo consumidor. Em caso de
resposta negativa, indique que tipo de trocas estará ele disposto a efectuar.
Se para este consumidor os bens 1 e 2 forem substitutos perfeitos, então x0 pode ser a
escolha do consumidor desde que corresponda a um cabaz em que todo o rendimento
é gasto no bem 1. Caso contrário, x0 não será o cabaz óptimo e este consumidor
dispõe-se a trocar o bem 2 pelo bem 1.
A.3.4. Um consumidor tem preferências descritas pela função utilidade y25,0xU += ,
adquire os bens aos preços 1Px = e 2Py = e dispõe de 100 unidades monetárias
de rendimento.
a) Indique, sem efectuar cálculos, a escolha óptima de consumo.
Para este consumidor, os bens x e y são substitutos. O bem x tem maior utilidade
marginal e tem menor custo, logo o cabaz óptimo será afectar todo o rendimento
ao consumo do bem x: ( ) ( )0,100y,x = .
b) Suponha que uma guerra obriga a um esquema de racionamento do bem X, de
acordo com o qual cada consumidor só pode adquirir 50 unidades desse bem.
Qual é a escolha óptima do consumidor?
O consumidor continua a escolher o máximo que puder de x, portanto o cabaz
óptimo será ( ) ( )25,50y,x = .
c) Responda de novo à questão anterior admitindo que, em vez do esquema de
racionamento, o preço do bem X sobe para 3 unidades monetárias.
5,123
PP
425,01
TMSy
xx,y ==>==
A solução óptima continua a ser gastar todo o rendimento em 1: ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= 0,
3100
y,x
A.3.5. Seja o José Pedro com a seguinte função de utilidade yx2U = .
a) Determine os consumos óptimos de X e Y, sujeitos à restrição orçamental
100y4x5 ≤+ .
25
( )y4x5100y2x100y4x5.a.s
yx2Umaxy,x −−λ+=Γ→
⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
=
⇔⎪⎩
⎪⎨⎧
=+λλ
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+λ=λ=
⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−−=λ−=λ−
⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
=λ∂Γ∂=∂Γ∂=∂Γ∂
100y4x545
x2y2
100y4x54x25y2
0y4x510004x205y2
00y0x
⎩⎨⎧
==
⇔⎩⎨⎧
==
⇔⎩⎨⎧
=×+=
⇔⎩⎨⎧
=+=
10x5,12y
10xx25,1y
100x25,14x5x25,1y
100y4x5x25,1y
b) Suponha, agora, que o José Pedro está sujeito a um sistema de racionamento.
Os preços das senhas de X e Y são 3 e 6, respectivamente, existindo um
racionamento total de 80 senhas. Determine os novos consumos óptimos.
Poderá resolver-se a questão pelo método dos multiplicadores de Lagrange?
Porquê? Serão ambas as restrições activas no cabaz óptimo?
( ) ( )yx80y6x3100y2x
80yx100y6x3
.a.s
yx2Umaxy,x
−−μ+−−λ+=Γ→
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎩⎨⎧
≤+≤+
=
As restrições sobre as variáveis não se podem exprimir com equações. Assim, não
se pode recorrer ao método dos multiplicadores de Lagrange. Tem de se fazer uso
das condições de Kuhn-Tucker:
( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
≥μ≥λ
=−−μ=−−λ
≤+≤+
=μ−λ−=μ−λ−
0:80:7
0yx80:60y6x3100:5
80yx:4100y6x3:3
06x2:203y2:1
Se 0=λ
( )( ) ⎩
⎨⎧
μ=μ=
⇔⎩⎨⎧
μ=μ=
⇔⎩⎨⎧
=μ−=μ−
5,0x5,0y
x2y2
0x2:20y2:1
Substituindo em (6) vem:
( ) 80005,05,080 =μ∨=μ⇔=μ−μ−μ
→==⇒=μ 0yx0 não é solução
→=×+×⇒==⇒=μ 36040640340yx80 viola (3), não é solução.
Se 0=μ
( )( ) ⎩
⎨⎧
λ=λ=
⇔⎩⎨⎧
λ=λ=
⇔⎩⎨⎧
=λ−=λ−
3x5,1y
6x23y2
06x2:203y2:1
Substituindo em (5) vem:
( ) 181000099100 =λ∨=λ⇔=λ−λ−λ
→=λ=μ 0 não é solução, já se viu anteriormente
26
→=+⇒⎩⎨⎧
==
⇒=λ 25325
350
325y350x
18100
não viola (4)
0, >μλ
( ) ( )( ) ( ) ⎩
⎨⎧
−==
⇔⎩⎨⎧
=−−=−−
⇔⎩⎨⎧
=−−μ=−−λ
3140y3380x
0yx800y6x3100
0yx80:60y6x3100:5
Também não é solução.
Portanto, ( ) ( )325,350y,x = e 0=μ , ou seja, a restrição do racionamento total
de 80 senhas não é activa.
c) Faça a representação gráfica dos dois equilíbrios.
X0X1
05
10152025303540455055606570758085
0 20 40 60 80 100
x
y
RO a)
RO b)
RO b)
U=250
U=277,78
A.3.6. Comente as seguintes afirmações:
a) A escolha óptima do consumidor caracteriza-se pela igualdade entre a taxa
marginal de substituição e o rácio dos preços.
A frase é falsa. Embora seja verdadeira para preferências bem comportadas, não
se aplica, por exemplo, a bens substitutos perfeitos.
b) Dois indivíduos com cabazes de consumo idênticos têm certamente
preferências idênticas.
Considerem-se dois consumidores cujas preferências são dadas por y2xU += e
y3xU += e que dispõem ambos de 100 u.m. Os preços são 2Px = e 1Py = . Para
ambos os consumidores a escolha óptima será 0x = e 0y = . Ou seja, eles
escolhem o mesmo cabaz. No entanto, não apresentam a mesma TMS pelo que as
suas preferências não são idênticas. Portanto, este exemplo demonstra que a
frase é falsa.
c) Se a função utilidade de um consumidor é do tipo ( ) βα= yxy,xU , a
percentagem de rendimento gasta no consumo do bem Y é sempre igual a β .
27
A frase é falsa, pois com uma função utilidade do tipo ( ) βα= yxy,xU a
percentagem de rendimento gasta no consumo do bem Y será sempre igual a
β+αβ
. Passando a demonstrar:
( )yPxPmyxmyPxP.a.s
yxUmaxyx
yx
y,x −−λ+=Γ→⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
=βα
βα
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
λ=β
λ=α
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−−
=λ−β
=λ−α
⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
=λ∂Γ∂=∂Γ∂=∂Γ∂
−βα
β−α
βα
β−α
myPxP
Pyx
Pyx
0yPxPm
0Pyx
0Pyx
00y0x
yx
y1
x1
yx
y
x1
⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
αβ
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=βα
⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
λλ
=β
α−βα
β−α
myPxP
xPP
y
myPxP
PP
xy
myPxP
PP
yx
yx
yx
y
x
yx
y
x
yx
y
x1
1
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
αβ
+
αβ
=
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=αβ
+
αβ
=⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=αβ
+
αβ
=
mxP1
xPP
y
mxpxP
xPP
y
mxPP
pxP
xPP
y
x
y
x
xx
y
x
y
xyx
y
x
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
β+αα
=
β+αβ
=
⇔
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
β+αα
=
αβ
=
⇔
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
αβ+α
=
αβ
=
⇔
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
αβ
+=
αβ
=
x
y
x
y
x
x
y
x
x
y
x
P
mx
P
my
P
mx
xPP
y
P
mx
xPP
y
P1
mx
xPP
y
d) Se dois bens são complementares perfeitos, o consumidor vai sempre escolher
comprar igual quantidade de ambos.
Se dois bens são complementares perfeitos serão consumidos sempre na mesma
proporção o que não significa que se consuma igual quantidade de ambos. Como
exemplo tomem-se as alíneas g)-i) do exercício A.3.1. A frase é, então, falsa.
e) Quando as preferências são quasi-lineares, a escolha do consumidor é sempre
uma solução de canto.
Uma solução de canto é aquela em que o rendimento é gasto em apenas um dos
bens. A frase é, obviamente, falsa: basta ver o exemplo das alíneas j)-l) do
exercício A.3.1.
f) Se dois bens são substitutos perfeitos e yxy,x PPTMS > , o consumo de X é
nulo.
A frase é verdadeira. Se a y,xTMS é maior que o preço relativo de x, então x,yTMS
é menor que o preço relativo de x. Como x,yTMS é o rácio da utilidade marginal
de x e de y, dizer que aquela é menor que o rácio dos preços de x e de y significa
que x tem um custo relativo superior à satisfação relativa que proporciona. E,
como tal, não compensa comprá-lo.
28
A.4. ANÁLISE DE ESTÁTICA COMPARADA
A.4.1. Defina os seguintes conceitos:
a) Curva consumo-rendimento
Lugar geométrico dos cabazes de equilíbrio do consumidor correspondentes a
diferentes níveis de rendimento.
b) Bem normal
Bem cujo consumo varia proporcionalmente menos ou na mesma proporção do
rendimento monetário.
c) Bem inferior
Bem cujo consumo varia inversamente com o rendimento.
d) Curva de Engel
Representação da relação entre a quantidade consumida de um bem e o
rendimento do consumidor.
e) Curva consumo-preço
Lugar geométrico dos cabazes de equilíbrio de um consumidor que resultam de
variações no preço de um bem.
f) Bem de Giffen
Bem cuja procura varia directamente com o seu preço.
g) Efeito substituição
Variação na quantidade procurada de um bem, resultante da variação no preço
desse bem, mantendo-se constante o rendimento real do consumidor (se esse
rendimento real estiver expresso em termos de poder de compra(nível de
satisfação), tem-se a abordagem à Slutsky(Hicks)).
h) Efeito rendimento
Variação na quantidade procurada de um bem, resultante da alteração do
rendimento real do consumidor (se esse rendimento real estiver expresso em
termos de poder de compra(nível de satisfação), tem-se a abordagem à
Slutsky(Hicks)).
A.4.2. Mostre que um bem de Giffen é necessariamente inferior.
A variação no consumo de um bem devida a uma alteração do respectivo preço pode
ser desdobrada em dois efeitos, o substituição e o rendimento:
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]m,pxm,pxm,pxm,pxm,pxm,pxxxx ns ′′−′+−′′=−′⇔Δ+Δ=Δ
Enquanto o efeito substituição tem de ser negativo – isto é, por efeito substituição, a
variação no consumo tem sinal oposto ao da variação no preço – o efeito rendimento
pode ser negativo ou positivo.
29
Um bem de Giffen é aquele cuja procura ordinária varia directamente com o seu
preço, ceteris paribus. Portanto, a variação total tem de ter sinal positivo. Ora, para
que a soma de uma parcela negativa com outra seja positiva, esta outra parcela tem
de ser positiva. Logo, para que um bem seja de Giffen, o efeito rendimento tem de
ter sinal positivo. Mas um bem só tem efeito rendimento de sinal positivo se for
inferior. Concluindo: um bem de Giffen tem de ser necessariamente inferior.
A.4.3. Considere o espaço de consumo de 2 bens, X e Y, relativo a um determinado
consumidor. Apresente uma interpretação gráfica dos efeitos substituição e
rendimento numa situação em que o preço do bem X diminui. O bem X é um bem
normal. Efectue as explicações que entender necessárias para acompanhar a
leitura do gráfico. Reporte-se às abordagens de Hicks e Slutsky.
ABORDAGEM DE HICKS
Para decompor a variação total em efeito substituição e efeito rendimento, Hicks
determina a quantidade consumida de X num cenário em que o preço deste bem
diminui, mas o bem-estar do consumidor mantém-se. Ou seja, Hicks encontra uma
restrição orçamental (a verde) com o mesmo declive que a restrição orçamental final
(a azul claro) mas que seja tangente à curva de indiferença que também o é à
restrição orçamental inicial (a azul escuro).
E1 E2
EI
x
y
RO inicial
RO final
RO intermédia
CI
ES
ER
ABORDAGEM DE SLUTSKY
Para decompor a variação total em efeito substituição e efeito rendimento, Slutsky
determina a quantidade consumida de X num cenário em que o preço deste bem
diminui, mas o poder de compra do consumidor mantém-se. Ou seja, Slutsky encontra
uma restrição orçamental (a verde) com o mesmo declive que a restrição orçamental
final (a azul claro) mas que passa pelo cabaz inicial. Dada essa restrição orçamental
(a verde), Slutsky calcula a quantidade óptima de X.
30
E1 E2
EI
x
y
RO inicial
RO final
RO intermédia
ES
ER
A.4.4. Determine e represente as curvas
i. consumo-rendimento
ii. consumo-preço do bem X
iii. consumo-preço do bem Y
iv. de Engel do bem X
v. de Engel do bem Y
para as seguintes situações:
a) 5,05,0 yx5U = ; 2Px = ; 10Py = ; 100m = CURVA CONSUMO-RENDIMENTO
x2,0y102
xy
P
PTMS
y
xx,y =⇔=⇔=
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X
⇔⎩⎨⎧
=+=
⇔⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=
100y10xPy10xP
100y10xP10P
xy
myPxP
P
PTMS
x
x
x
x
yx
y
xx,y
5y100y10y10
y10xPx =⇔⎩⎨⎧
=+=
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y
⇔⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=
100yPx2
x2yP
100yPx2
P2
xy
myPxP
PP
TMS
y
y
y
y
yx
y
xx,y
25x100x2x2
x2yPy =⇔⎩⎨⎧
=+
=
CURVA DE ENGEL DO BEM X
m25,0x2m5,0
xP
m5,0x
x
=⇔=⇔=
CURVA DE ENGEL DO BEM Y
31
m05,0y10
m5,0y
P
m5,0y
y
=⇔=⇔=
b) 6,04,0 yx2U = ; 1Px = ; 6Py = ; 50m = CURVA CONSUMO-RENDIMENTO
x25,0y61
x6,0y4,0
P
PTMS
y
xx,y =⇔=⇔=
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X
⇔⎩⎨⎧
=+=
⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=
50y6xPy4xP
50y6xP6P
x6,0y4,0
myPxP
P
PTMS
x
x
x
x
yx
y
xx,y
5y50y6y4
y4xPx =⇔⎩⎨⎧
=+=
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y
⇔⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=
50yPx
x5,1yP
50yPx
P1
x6,0y4,0
myPxP
PP
TMS
y
y
y
y
yx
y
xx,y
20x50x5,1x
x5,1yPy =⇔⎩⎨⎧
=+
=
CURVA DE ENGEL DO BEM X
m4,0x1m4,0
xP
m4,0x
x
=⇔=⇔=
CURVA DE ENGEL DO BEM Y
m1,0y6m6,0
yP
m6,0y
y
=⇔=⇔=
c) 23yxU = ; 5,1Px = ; 4Py = ; 45m = CURVA CONSUMO-RENDIMENTO
x25,0y45,1
x2y3
PP
TMSy
xx,y =⇔=⇔=
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X
⇔⎩⎨⎧
=+=
⇔⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=
45y4xPy6xP
45y4xP4P
x2y3
myPxP
P
PTMS
x
x
x
x
yx
y
xx,y
5,4y45y4y6
y6xPx =⇔⎩⎨⎧
=+=
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y
⇔⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=
45yPx5,1
xyP
45yPx5,1
P5,1
x2y3
myPxP
PP
TMS
y
y
y
y
yx
y
xx,y
18x45xx5,1
xyPy =⇔⎩⎨⎧
=+
=
CURVA DE ENGEL DO BEM X
m4,0x5,1m6,0
xP
m6,0x
x
=⇔=⇔=
CURVA DE ENGEL DO BEM Y
32
m1,0y4m4,0
yP
m4,0y
y
=⇔=⇔=
d) y3x2U += ; 1Px = ; 4Py = ; 60m = CURVA CONSUMO-RENDIMENTO
0yTMS32
41
P
Px,y
y
x =⇒=<=
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X
se 0y38Px =⇒< se x3215y38Px −=⇒= se 0x38Px =⇒> CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y
se 0x5,1Py =⇒<
se x3240y5,1Py −=⇒=
se 0y5,1Py =⇒> CURVA DE ENGEL DO BEM X
mx1m
xP
mx
x
=⇔=⇔=
CURVA DE ENGEL DO BEM Y 0y =
e) y2x5U += ; 3Px = ; 1Py = ; 12m = CURVA CONSUMO-RENDIMENTO
0xTMS25
13
P
Px,y
y
x =⇒=>=
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X
se 0y5,2Px =⇒< se x5,212y5,2Px −=⇒= se 0x5,2Px =⇒> CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y
se 0x2,1Py =⇒<
se x5,210y2,1Py −=⇒=
se 0y2,1Py =⇒> CURVA DE ENGEL DO BEM X
0x = CURVA DE ENGEL DO BEM Y
my1m
yP
my
y
=⇔=⇔=
f) y4x3U += ; 6Px = ; 8Py = ; 150m = CURVA CONSUMO-RENDIMENTO
É todo o espaço dos bens.
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X
se 0y6Px =⇒< se x75,075,18y6Px −=⇒= se 0x6Px =⇒> CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y
se 0x8Py =⇒<
33
se x75,075,18y8Py −=⇒=
se 0y8Py =⇒> CURVA DE ENGEL DO BEM X
É todo o espaço dos bens.
CURVA DE ENGEL DO BEM Y
É todo o espaço dos bens.
g) { }y5,x2minU = ; 2Px = ; 10Py = ; 72m = CURVA CONSUMO-RENDIMENTO
x4,0yy5x2 =⇔= CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X
x4,0yy5x2 =⇔= CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y
x4,0yy5x2 =⇔= CURVA DE ENGEL DO BEM X
6m
x104,02
mx
P4,0P
mx
yx
=⇔×+
=⇔+
=
CURVA DE ENGEL DO BEM Y
15m
y25,210
my
P5,2P
my
xy
=⇔×+
=⇔+
=
h) { }y,x3minU = ; 6Px = ; 2Py = ; 48m = CURVA CONSUMO-RENDIMENTO
x3y = CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X
x3y = CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y
x3y = CURVA DE ENGEL DO BEM X
12m
x236
mx
P3P
mx
yx
=⇔×+
=⇔+
=
CURVA DE ENGEL DO BEM Y
m25,0y236
m3y
P3Pm3
yyx
=⇔×+
=⇔+
=
i) { }y,x2minU = ; 4Px = ; 2Py = ; 100m = CURVA CONSUMO-RENDIMENTO
x2y = CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X
x2y = CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y
x2y = CURVA DE ENGEL DO BEM X
m125,0x224
mx
P2P
mx
yx
=⇔×+
=⇔+
=
CURVA DE ENGEL DO BEM Y
m25,0y45,02
my
P5,0P
my
xy
=⇔×+
=⇔+
=
j) ylnx4U += ; 10Px = ; 1Py = ; 5,62m = CURVA CONSUMO-RENDIMENTO
34
5,2y1
10
y
4
P
PTMS
1y
xx,y =⇔=⇔=
−
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X
⇔⎩⎨⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=−
5,62´yxP
y4P
5,62yxP
1P
y
4
myPxP
P
PTMS
x
x
x
x1
yx
y
xx,y
x415,62
y5,62yyx4
y4Px
+=⇔
⎩⎨⎧
=+=
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y
⇔⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
= −
5,62yPx10
5,2yP
5,62yPx10
P10
y
4
myPxP
PP
TMS
y
y
y
y1
yx
y
xx,y
6x5,625,2x10
5,2yPy =⇔⎩⎨⎧
=+
=
CURVA DE ENGEL DO BEM X
25,0m1,0x10
5,2mx
P4P
mx
x
x
−=⇔−
=⇔−
=
CURVA DE ENGEL DO BEM Y
5,2y14
10y
P4
Py
y
x =⇔×
=⇔=
k) 2x5,0yU += ; 6Px = ; 2Py = ; 28m = CURVA CONSUMO-RENDIMENTO Se 18y00x36m ≤<∧=⇒≤ Se 0y6x36m =∧≥⇒≥ CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X Se 0y28x28Px =∧≥⇒≤
Se 14y0x28Px =∧=⇒≥ CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y Se 998y0x718Py ≥∧=⇒≤
Se 0y314x718Py =∧=⇒≥ CURVA DE ENGEL DO BEM X Se 0x36m =⇒≤ Se 6mx36m =⇒≥ CURVA DE ENGEL DO BEM Y Se m5,0y36m =⇒≤ Se 0y36m =⇒≥
l) 5,0y12x3U += ; 2Px = ; 5,0Py = ; 100m = CURVA CONSUMO-RENDIMENTO
64y5,0
2
y6
3
P
PTMS
5,0y
xx,y =⇔=⇔=
−
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X
⇔⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=−
100´y5,0xP
y25,0P
100y5,0xP
5,0P
y6
3
myPxP
P
PTMS
x
5,0x
x
x5,0
yx
y
xx,y
35
5,05,0
5,0x
y25,0
y5,0100x
100y5,0xy25,0
y25,0P −=⇔
⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
=
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y
⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=−
100yPx2y
4P
100yPx2
P2
y6
3
myPxP
PP
TMS
y
5,0y
y
y5,0
yx
y
xx,y
( )25,0
5,0yx5,025y
100y4x2
y
4P
−=⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=
CURVA DE ENGEL DO BEM X
16m5,0xP
P
P4m
xx
y
2x
−=⇔
−
=
CURVA DE ENGEL DO BEM Y
64y5,0
24y
P
P4y
22
y
x =⇔⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⇔
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=
A.4.5. Calcule:
i. efeito substituição e efeito rendimento à Slutsky
ii. efeito substituição e efeito rendimento à Hicks
iii. variação no excedente
iv. variação compensatória
v. variação equivalente
para as seguintes situações:
a) 5,05,0 yx5U = ; 2Px = ; 10Py = ; 100m = ; 5Px =′
510
1005,0y25
21005,0
x
100m
10P2P
iiy
x
=×
==×
=⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
==
510
1005,0y10
51005,0
x
100m
10P
5P
ffy
x
=×
==×
=⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
==′
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY
175510255yPxPm iyix =×+×=+′=′
5,1751755,0
x
170m
10P
5P
y
x
=×
=′⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′
==′
5,7255,17ES −=−= 5,75,1710ER −=−=
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS
36
⇔⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′′
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′′
=××⇔⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ′′⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
′′′
=5,05,0
5,05,0
5,0
y
5,0
x
i 10m5,0
5m5,0
55255Pm5,0
P
m5,05U
158m50m25,0
1252
≈′′⇔′′
=
8,1551585,0
x
158m
10P
5P
y
x
=×
=′⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′′
==′
2,9258,15ES −=−= 8,58,1510ER −=−=
VARIAÇÃO NO EXCEDENTE
x50
PP50
x xx
=⇔=
25x2Px =⇒= 10x5Px =⇒=
[ ] [ ] =−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×−−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×−=−=Δ ∫∫ 25
0100
25
0
10
0if xln50xln50225dx
x50
510dxx50
XCXCXC
( ) ( )[ ] 81,450ln25ln0ln10ln50 −≈−−−=
VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA
58100158mmVC =−=−′′=
VARIAÇÃO EQUIVALENTE
⇔⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′′′
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′′′
=××⇔⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ′′′⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ′′′=
5,05,05,05,0
5,0
y
5,0
xf 10
m5,02m5,0
55105Pm5,0
Pm5,0
5U
63m20m25,0
502
≈′′′⇔′′′
=
3710063mmVE −=−=−′′′=
b) 6,04,0 yx2U = ; 1Px = ; 6Py = ; 50m = ; 4Py =′
56
506,0y20
1504,0
x
50m
6P1P
iiy
x
=×
==×
=⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
==
5,74
506,0y20
1504,0
x
50m
4P
1P
ffy
x
=×
==×
=⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=′=
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY
4054201yPxPm iyix =×+×=′+=′
64
406,0y
40m
4P
1P
y
x
=×
=′⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′
=′=
156ES =−= 5,165,7ER =−=
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS
37
⇔⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′′
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′′
=××⇔⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
′′′
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ′′=
6,04,06,04,0
6,0
y
4,0
xi 4
m6,01m4,0
25202P
m6,0P
m4,02U
39mm15,04,0520 6,04,06,04,0 ≈′′⇔′′×=×
85,54
396,0y
39m
4P
1P
y
x
=×
=′⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′′
=′=
85,0585,5ES =−= 65,185,55,7ER =−=
VARIAÇÃO NO EXCEDENTE
y30
PP30
y yy
=⇔=
5y6Py =⇒=
5,7y4Py =⇒=
[ ] [ ] =−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×−−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×−=−=Δ ∫∫ 5
05,7
0
5
0
5,7
0if yln30yln3065dy
y30
45,7dyy30
XCXCXC
( ) ( )[ ] 16,120ln5ln0ln5,7ln30 ≈−−−=
VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA
115039mmVC −=−=−′′=
VARIAÇÃO EQUIVALENTE
⇔⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′′′
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′′′
=××⇔⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ′′′⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ′′′=
6,04,06,04,0
6,0
y
4,0
xf 6
m6,01m4,0
25,7202Pm6,0
Pm4,0
2U
63mm1,04,05,720 6,04,06,04,0 ≈′′′⇔′′′×=× 135063mmVE =−=−′′′=
c) 23yxU = ; 5,1Px = ; 4Py = ; 45m = ; 3Px =′
5,44
454,0y18
5,1456,0
x
45m
4P
5,1P
iiy
x
=×
==×
=⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
==
5,44
454,0y9
3456,0
x
45m
4P3P
ffy
x
=×
==×
=⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
==′
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY
725,44183yPxPm iyix =×+×=+′=′
8,104
726,0x
72m
4P
3P
y
x
=×
=′⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′
==′
2,7188,10ES −=−= 8,18,109ER −=−=
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS
⇔⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′′
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′′
=×⇔⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ′′⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
′′′
=23
232
y
3
x
i 4m4,0
3m6,0
5,418P
m4,0
P
m6,0U
38
68mm1,02,05,418 52323 ≈′′⇔′′×=×
6,133
686,0x
68m
4P3P
y
x
=×
=′⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′′
==′
4,4186,13ES −=−= 6,46,139ER −=−=
VARIAÇÃO NO EXCEDENTE
x27
PP27
x xx
=⇔=
18x5,1Px =⇒= 9x3Px =⇒=
[ ] [ ] =−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×−−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×−=−=Δ ∫∫ 18
090
18
0
9
0if xln27xln275,118dx
x27
39dxx27
XCXCXC
( ) ( )[ ] 71,180ln18ln0ln9ln27 −≈−−−=
VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA
234568mmVC =−=−′′=
VARIAÇÃO EQUIVALENTE
⇔⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′′′
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ′′′=×⇔⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ′′′⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ′′′=
2323
2
y
3
xf 4
m4,05,1m6,0
5,49Pm4,0
Pm6,0
U
30mm1,04,05,49 52323 ≈′′′⇔′′×=× 154530mmVE −=−=−′′′=
d) y3x2U += ; 1Px = ; 4Py = ; 60m = ; 3Px =′
0y601
60x
60m
4P
1P
iiy
x
===⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
==
15460
y0x
60m
4P
3P
ffy
x
===⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
==′
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY
18004603yPxPm iyix =×+×=+′=′
0x
180m
4P
3P
y
x
=′⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′
==′
60600ES −=−= 000ER =−=
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS
160m4
m30203602
Pm
302Uy
i =′′⇔′′
×+×=×+×⇔′′
×+×=
0x
160m
4P
3P
y
x
=′⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′′
==′
60600ES −=−=
39
000ER =−=
VARIAÇÃO NO EXCEDENTE
[ ]⎪⎩
⎪⎨
⎧
>==∈
<=
38Pse0x38Pse5,22;0x
38PseP60x
x
x
xx
60x1Px =⇒= 0x3Px =⇒=
[ ] ( ) 85,585,22ln60ln60xln60160dxx60
38
5,220XCXCXC 605,22
60
5,22if −≈−−=−=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛×−+×−=−=Δ ∫
VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA 10060160mmVC =−=−′′=
VARIAÇÃO EQUIVALENTE
5,22m031
m21530203
Pm
2Ux
f =′′⇔×+′′
×=×+×⇔×+′′
×=
5,37605,22mmVE −=−=−′′′=
e) y2x5U += ; 3Px = ; 1Py = ; 12m = ; 8,0Py =′
121
12y0x
12m
1P
3P
iiy
x
===⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
==
158,0
12y0x
12m
8,0P
3P
ffy
x
===⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=′=
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY
6,9128,003yPxPm iyix =×+×=′+=′
128,06,9
y
6,9m
8,0P
3P
y
x
==′⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′
=′=
01212ES =−= 31215ER =−=
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS
6,9m8,0
m20512205
Pm
205Uy
i =′′⇔′′
×+×=×+×⇔′′
×+×=
128,06,9
y
6,9m
8,0P
3P
y
x
==′⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′
=′=
01212ES =−= 31215ER =−=
VARIAÇÃO NO EXCEDENTE
[ ]⎪⎩
⎪⎨
⎧
>==∈
<=
2,1Pse0y2,1Pse10;0y
2,1PseP12y
x
x
xy
12y1Py =⇒=
15y8,0Py =⇒=
40
( ) ( ) [ ] ( ) 68,212ln15ln12xln128,01128,01215dyy
12XCXCXC 15
12
15
12if ≈−==−×+×−−=−=Δ ∫
VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA
4,2126,9mmVC −=−=−′′=
VARIAÇÃO EQUIVALENTE
15m1
m20515205
Pm
205Uy
f =′′⇔′′
×+×=×+×⇔′′
×+×=
31215mmVE =−=−′′′=
f) y4x3U += ; 6Px = ; 8Py = ; 150m = ; 10Py =′
[ ] [ ]75,18;0y25;0x
150m
8P6P
iiy
x
∈∈⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
==
0y256
150x
150m
10P
6P
ffy
x
===⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=′=
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY
Indeterminado
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS
Indeterminado
VARIAÇÃO NO EXCEDENTE
Indeterminada
VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA
Indeterminada
VARIAÇÃO EQUIVALENTE
Indeterminada
g) { }y5,x2minU = ; 2Px = ; 10Py = ; 72m = ; 5Py =′
8,425,210
72y12
104,0272
x
72m
10P
2P
iiy
x
=×+
==×+
=⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
==
2,725,25
72y18
54,0272
x
72m
5P
2P
ffy
x
=×+
==×+
=⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=′=
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY
488,45122yPxPm iyix =×+×=′+=′
8,425,25
48y
48m
5P
2P
y
x
=×+
=′⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′
=′=
08,48,4ES =−= 4,28,42,7ER =−=
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS
41
48m54,02
m2122
P5,2Pm
5,P4,0P
m2minU
xyyx
i =′′⇔×+
′′×=×⇔
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
+′′
′+
′′=
8,425,25
48y
48m
5P
2P
y
x
=×+
=′⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′
=′=
08,48,4ES =−= 4,28,42,7ER =−=
VARIAÇÃO NO EXCEDENTE
5y72
P5P
72y y
y−=⇔
+=
8,4y10Py =⇒=
2,7y5Py =⇒=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×−−−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×−−=−=Δ ∫∫
8,4
0
2,7
0if 108,4dy5
y72
52,7dy5y72
XCXCXC
[ ] [ ] [ ] [ ] =++−−−= 48y5yln7236y5yln72 8,40
8,40
2,70
2,70
( ) ( ) 2,29128,42,758,4ln2,7ln72 ≈+−−−=
VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA
247248mmVC −=−=−′′=
VARIAÇÃO EQUIVALENTE
108m104,02
m2182
P5,2Pm
5,P4,0P
m2minU
xyyxf =′′′⇔
×+′′′
×=×⇔⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
+′′′
+′′′
=
3672108mmVE =−=−′′′=
h) { }y,x3minU = ; 6Px = ; 2Py = ; 48m = ; 4Px =′
12236
483y4
23648
x
48m
2P
6P
iiy
x
=×+
×==
×+=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
==
4,14234
483y8,4
23448
x
48m
2P4P
ffy
x
=×+
×==
×+=⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
==′
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY
4012244yPxPm iyix =×+×=+′=′
4234
40x
40m
2P
4P
y
x
=×+
=′⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′
==′
044ES =−= 8,048,4ER =−=
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS
40m234
m312
P3P
m3,
P3P
m3minU
yxyx
i =′′⇔×+′′
=⇔⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
+′′′
+′′′
=
42
4234
40x
40m
2P
4P
y
x
=×+
=′⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′
==′
044ES =−= 8,048,4ER =−=
VARIAÇÃO NO EXCEDENTE
6x48
P6P
48x x
x−=⇔
+=
4x6Px =⇒= 8,4x4Px =⇒=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×−−−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×−−=−=Δ ∫∫
4
0
8,4
0if 64dx6
x48
48,4dx6x48
XCXCXC
[ ] [ ] [ ] [ ] =++−−−= 24x6xln482,19x6xln48 40
40
8,40
8,40
( ) ( ) 75,88,448,464ln8,4ln48 ≈+−−−=
VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA
84840mmVC −=−=−′′=
VARIAÇÃO EQUIVALENTE
6,57m236
m38,43
P3Pm3
,P3P
m3minU
yxyxf =′′′⇔
×+′′′
×=×⇔⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
+′′′
+′′′
=
6,9486,57mmVE =−=−′′′=
i) { }y,x2minU = ; 4Px = ; 2Py = ; 100m = ; 5Px =′
2545,02
100y5,12
224100
x
100m
2P4P
iiy
x
=×+
==×+
=⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
==
9200
55,02100
y9
100225
100x
100m
2P5P
ffy
x
=×+
==×+
=⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
==′
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY
5,1122525,125yPxPm iyix =×+×=+′=′
5,12225
5,112x
5,112m
2P5P
y
x
=×+
=′⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
=′
==
05,125,12ES =−= 18255,129100ER −=−=
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS
5,112m55,02
m25
P5,0P
m,
P2P
m2minU
xyyx
i =′′⇔×+′′
=⇔⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
′+
′′
+′′′
=
5,12225
5,112x
5,112m
2P
5P
y
x
=×+
=′⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
=′
==
05,125,12ES =−=
43
18255,129100ER −=−=
VARIAÇÃO NO EXCEDENTE
4x
100P
4P100
x xy
−=⇔+
=
5,12x4Px =⇒= 9100x5Px =⇒=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×−−−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×−−=−=Δ ∫∫
5,12
0
9100
0if 45,12dx4
x100
59
100dx4
x100
XCXCXC
[ ] [ ] [ ] [ ] =++−−−= 50x4xln1009500x4xln100 5,120
5,120
91000
91000
( ) ( ) ≈+−−−= 9505,12910045,12ln9100ln100
VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA
5,121005,112mmVC =−=−′′=
VARIAÇÃO EQUIVALENTE
9800
m45,02
m9
200P5,0P
m,
P2Pm
2minUxyyx
f =′′′⇔×+′′′
=⇔⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
+′′′
+′′′
=
9100
1009
800mmVE −=−=−′′′=
j) ylnx4U += ; 10Px = ; 1Py = ; 5,62m = ; 2Py =′
5,214
10y6
101025,05,62
x
5,62m
1P
10P
iiy
x
=×
==×−
=⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
==
25,124
10y6
101025,05,62
x
5,62m
2P
10P
ffy
x
=×
==×−
=⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=′=
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY
655,22610yPxPm iyix =×+×=′+=′
25,124
10y
65m
2P
10P
y
x
=×
=′⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′
=′=
25,15,225,1ES −=−= 025,125,1ER =−=
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS
23,64m25,1ln1m4,05,2ln6424
10ln
105,2m
4Ui ≈′′⇔+−′′=+×⇔×
+−′′
=
25,124
10y
23,64m
2P
10P
y
x
=×
=′⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′′
=′=
25,15,225,1ES −=−= 025,125,1ER =−=
VARIAÇÃO NO EXCEDENTE
y5,2
PP410
y yy
=⇔=
44
5,2y1Py =⇒=
25,1y2Py =⇒=
[ ] [ ] =−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×−−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×−=−=Δ ∫∫ 5,2
025,1
0
5,2
0
25,1
0if yln5,2yln5,215,2dy
y5,2
225,1dyy5,2
XCXCXC
( ) ( )[ ] 73,10ln5,2ln0ln25,1ln5,2 −≈−−−=
VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA
73,15,6223,64mmVC =−=−′′=
VARIAÇÃO EQUIVALENTE
77,60m5,2ln1m4,025,1ln6414
10ln
105,2m
4Uf ≈′′⇔+−′′=+×⇔×
+−′′
=
73,15,6277,60mmVE −=−=−′′′=
k) 2x5,0yU += ; 6Px = ; 2Py = ; 28m = ; 4Px =′
14y0x
28m
2P6P
iiy
x
==⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
==
0y7x
28m
2P
4P
ffy
x
==⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
==′
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY
2814204yPxPm iyix =×+×=′+=′
7x
28m
2P
4P
y
x
=′⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′
==′
707ES =−= 077ER =−=
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS
448m4
m5,005,014
4m
5,0oU2
22
i =′′⇔⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′′
=×+⇔⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′′
+=
3,5x
448m
2P4P
y
x
≈′⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′′
==′
3,503,5ES =−= 7,13,57ER =−=
VARIAÇÃO NO EXCEDENTE
⎩⎨⎧
=0
P28x x
sese
28P
28P
x
x
≥
≤
0x6Px =⇒= 7x4Px =⇒=
( ) [ ] ( ) 14287xln2804287dxx28
XCXCXC 728
7
28if ≈×−−=−×−−=−=Δ ∫
VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA
83,628448mmVC −=−=−′′=
45
VARIAÇÃO EQUIVALENTE
42m6
m5,075,00
6m
5,00U2
22
f =′′′⇔⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′′′
=×+⇔⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′′′
+=
142842mmVE =−=−′′′=
l) 5,0y12x3U += ; 2Px = ; 5,0Py = ; 100m = ; 1Px =′
645,0
24y34
25,024100
x
100m
5,0P
2P 2
i
2
iy
x
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
×−=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
==
165,0
14y92
15,014100
x
100m
5,0P1P 2
i
2
iy
x
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
×−=⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
==′
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY
66645,0341yPxPm iyix =×+×=+′=′
581
5,01466x
66m
5,0P
1P 2
iy
x
=×−
=⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′
==′
243458ES =−= 345892ER =−=
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS
58m4824m364123435,0
1412
15,014m
3U 5,0
5,022
i =′′⇔+−′′=×+×⇔⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×+
×−′′=
501
5,01458x
58m
5,0P1P 2
iy
x
=×−
=⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′′
==′
163450ES =−= 425092ER =−=
VARIAÇÃO NO EXCEDENTE
( )16
3200xxP
PP8100
x5,02
xx
2x ++−
=⇔−
=
34x2Px =⇒= 92x1Px =⇒=
( ) ( ) ( ) =−×+×−−++−
=−=Δ ∫ 123413492dx16
3200xxXCXCXC
92
34
5,02
if
=−⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ +++++
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−= 243200xxln16003200xx5,0
2x
161 92
34
2292
34
2
31,57≈ VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA
4210058mmVC −=−=−′′=
VARIAÇÃO EQUIVALENTE
46
184m9648m5,116129235,0
2412
25,024m
3U 5,0
5,022
f =′′⇔+−′′=×+×⇔⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×+
×−′′=
84100184mmVE =−=−′′′=
A.4.6. Comente as seguintes afirmações:
a) A curva de Engel de um bem de Giffen é positivamente inclinada.
Um bem de Giffen é necessariamente inferior. Um bem inferior é aquele cuja
quantidade consumida varia inversamente com o rendimento. Logo, a curva que
representa a relação entre quantidade consumida e rendimento, a curva de
Engel, é negativamente inclinada. Portanto, a frase é falsa.
b) A probabilidade de um bem ser inferior para um dado consumidor aumenta à
medida que aumenta o seu nível de rendimento.
Preferências quasi-lineares implicam que a procura de um dos bens não dependa
do rendimento. Se não depende do rendimento, também não tem efeito
rendimento. E se não tem efeito rendimento não pode ser inferior. Portanto, a
frase é falsa.
c) A curva consumo-preço de um bem normal nunca pode ser decrescente.
A curva consumo-preço de um bem é o lugar geométrico dos cabazes de equilíbrio
que resultam de variações no preço desse bem. Admitamos, sem perda de
generalidade, que o bem em questão é o X e é normal. Se é normal, terá de ser
ordinário. Um bem ordinário é aquele cuja quantidade consumida varia
inversamente com o seu preço. Portanto, à medida que o preço de X baixa, a
quantidade consumida vai estar cada vez mais à direita. Dizer que a curva
consumo-preço não pode ser decrescente significa, neste contexto, que a
quantidade consumida de Y ou não varia ou aumenta. Mas não há nada que
garanta que assim seja. Logo, a frase é falsa.
d) Para um orçamento inteiramente gasto em dois bens, um aumento no preço de
um deles causará necessariamente um descréscimo no consumo de ambos, a
não ser que pelo menos um dos bens seja inferior.
Falso. Basta pensar em preferências Cobb-Douglas. Nenhum dos bens é inferior e,
no entanto, quando o preço de um deles aumenta, o consumo do outro não se
altera. Portanto, apenas um dos bens vê o seu consumo reduzido.
e) Quando o efeito rendimento é superior ao efeito substituição mas de sentido
contrário a este, estamos na presença de um bem de Giffen.
A variação no consumo de um bem devida a uma alteração do respectivo preço
pode ser desdobrada em dois efeitos, o substituição e o rendimento:
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]m,pxm,pxm,pxm,pxm,pxm,pxxxx ns ′′−′+−′′=−′⇔Δ+Δ=Δ
O efeito substituição tem sempre sinal negativo. Se o efeito rendimento for
positivo e de maior magnitude que o efeito substituição, o efeito total – que é a
47
soma dos dois – será positivo. Mas um efeito total positivo significa que a
quantidade consumida varia positivamente com o preço. E isso é a definição de
um bem de Giffen. A frase é, pois, verdadeira.
f) Um bem inferior é necessariamente um bem de Giffen.
A frase é falsa. A variação no consumo de um bem devida a uma alteração do
respectivo preço pode ser desdobrada em dois efeitos, o substituição e o
rendimento:
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]m,pxm,pxm,pxm,pxm,pxm,pxxxx ns ′′−′+−′′=−′⇔Δ+Δ=Δ
Um bem inferior é aquele cuja quantidade consumida varia inversamente com o
rendimento. Para estes bens, o efeito rendimento é positivo. Ou seja, tem sinal
oposto ao do efeito substituição. Obviamente, o sinal do efeito total dependerá
da magnitude dos dois efeitos referidos, podendo o bem ser de ordinário ou de
Giffen.
g) Se um bem é normal para qualquer nível de rendimento, então a curva de
Engel é negativamente inclinada.
Um bem normal é aquele cuja quantidade consumida varia positivamente com o
rendimento. Logo, a curva que representa a relação entre quantidade consumida
e rendimento, a curva de Engel, é positivamente inclinada. Portanto, a frase é
verdadeira.
h) A variação compensatória é, em termos absolutos, sempre superior à variação
equivalente.
Embora geralmente a variação compensatória seja, em termos absolutos, superior
à variação equivalente, tal não sucede, por exemplo, com as preferências quasi-
lineares, caso em que as duas medidas têm sempre o mesmo valor absoluto. Logo,
a frase é falsa.
48
A.5. PROCURA DE MERCADO
A.5.1. Determine a função procura do mercado do bem X dadas as seguintes funções
procura individuais:
p1,010x i −= 10,,1i K=
jx230p −= 5,,1j K=
p06,325xt −= 25,,1t K=
100p0xp1,010x ii =⇔=→−= 30p0xp5,015xx230p jjj =⇔=→−=⇔−=
17,806,325P0xp06,325x tt ≈=⇔=→−=
⇔
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
≤<
≤<+
≤≤++
=
∑
∑∑
∑∑∑
=
==
===
100p30sex
30p06,325sexx
06,325p0sexxx
X
10
1ii
10
1ii
5
1jj
10
1ii
5
1jj
25
1tt
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤<−≤<−+−
≤≤−+−+−=
100p30sep1,0101030p06,325sep1,01010p5,0155
06,325p0sep1,01010p5,0155p06,32525X
( ) ( ) ( )( ) ( ) ⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤<−≤<−+−
≤≤−+−+−=
100p30sep10030p06,325sep100p5,275
06,325p0sep1005,275p5,76625X
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤<−≤<−
≤≤−=
100p30sep10030p06,325sep5,3175
06,325p0sep80800X
A.5.2. O Pedro e o Carlos são irmãos com preferências musicais idênticas. A procura
individual de CDs pode ser expressa pela função ix15p −= .
a) Determine a função procura agregada dos dois. p15xx15p ii −=⇔−=
( ) p230p152xX i −=−== ∑ Suponha que cada CD custa 3 u.m.
b) Calcule a elasticidade-preço da procura individual
( )p15
p1
p15p
dpdx
xp i
i −=−×
−==ε
25,03p =ε⇒= c) Calcule a elasticidade-preço da procura agregada
( )p15
p2
p230p
dpdX
Xp
−=−×
−==ε
25,03p =ε⇒=
49
d) Compare e analise os resultados obtidos nas alíneas b) e c).
A elasticidade-preço da procura individual é a mesma da procura agregada.
A.5.3. Considere a seguinte função procura linear: p210y −= .
a) Represente a função e indique em que zonas a procura é elástica, rígida e
unitária.
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11y
p
elástica
rígida
unitária
( ) 5,2p1p210
p212
p210p
1dpdy
yp
1 =⇔=−
⇔=−×−
⇔=⇔=ε
15,2p >ε⇒> 15,2P <ε⇒< b) Identifique o ponto da recta que corresponde ao máximo da despesa total.
( ) 10p2p210pypDT 2 +−=−=×= 5,2p0p4100pDTDTmax =⇔=−⇔=∂∂⇒
A.5.4. Seja a função de utilidade 25,025,0 yxU = . Para a compra de X e Y, o consumidor
individual dispõe de um nível de rendimento M. Calcule:
a) A elasticidade procura-preço do bem X.
1P
m5,0m5,0
P
P
m5,0Pm5,0
PdPdx
xP
2x
2x
2xx
x
x
xxx −=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−×=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−×==ε
b) A elasticidade procura-preço do bem Y.
1P
m5,0m5,0
P
P
m5,0Pm5,0
P
dPdy
y
P2y
2y
2yy
y
y
yyy −=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−×=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−×==ε
c) A elasticidade procura-preço cruzada do bem X em relação ao bem Y.
00Pm5,0
P
dPdx
x
P
x
y
y
yxy =×==ε
d) A elasticidade procura-preço cruzada do bem Y em relação ao bem X.
00Pm5,0
PdPdy
yP
y
x
x
xyx =×==ε
e) A elasticidade procura-rendimento do bem X.
1P
5,0Pm5,0
mdmdx
xm
xxx =×==η
f) A elasticidade procura-rendimento do bem Y.
50
1P
5,0Pm5,0
mdmdy
ym
yyy =×==η
g) Verifique que 0xxyxx =η+ε+ε , onde xxε , xyε e xη representam,
respectivamente, a elasticidade procura-preço directa do bem X, a
elasticidade procura-preço cruzada entre o bem X e o bem Y e a elasticidade
procura-rendimento do bem X.
0101Xxyxx =++−=η+ε+ε
51
B. TEORIA DO PRODUTOR B.1. TECNOLOGIA
B.1.1. Defina os seguintes conceitos:
a) Factor produtivo
b) Produtividade média
Produto total por unidade de factor.
c) Produtividade marginal
Acréscimo do produto total por unidade adicional do factor, mantendo-se o outro
constante.
d) Lei dos rendimentos marginais decrescentes
Lei segundo a qual se aumentarmos a quantidade de um dos factores produtivos,
mantendo fixas as quantidades dos restantes, os resultantes acréscimos do
produto são cada vez menores, podendo atingir-se uma região de acréscimos do
produto negativos.
e) Rendimentos crescentes à escala
Tecnologia em que o acréscimo de x% na utilização de todos os factores
produtivos permite obter um acréscimo do produto superior a x%.
f) Rendimentos constantes à escala
Tecnologia em que o acréscimo de x% na utilização de todos os factores
produtivos permite obter um acréscimo do produto igual a x%.
g) Rendimentos decrescentes à escala
Tecnologia em que o acréscimo de x% na utilização de todos os factores
produtivos permite obter um acréscimo do produto inferior a x%.
B.1.2. Determinada empresa tem a seguinte função de produção: 32 LKLQ −= , em que K
e L são factores de produção e Q é a quantidade produzida. A empresa encontra-
se a produzir na dimensão 18K = .
a) Determine a expressão analítica do produto total, produtividade média e
produtividade marginal do factor L.
Produto total: 32 LL18Q −=
Produtividade média: 2LL18LQ
−=
Produtividade marginal: 2L3L36LQ
−=∂∂
52
b) Represente graficamente as funções mencionadas, acompanhadas do
respectivo estudo, e explicando os zeros e andamento de tais funções.
-400
-200
0
200
400
600
800
1000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 L
PT
PMe
PMg
A função produto total apresenta dois zeros, para 0L = e 18L = . É crescente até
12L = ; neste ponto tem um máximo e a partir daí é decrescente.
Os zeros da produtividade média são também os da função produto total ( 0L = e
18L = ). A função é crescente até 12L = ; neste ponto tem um máximo e a partir
daí é decrescente.
A produtividade marginal apresenta dois zeros, para 0L = e 12L = . É crescente
até 6L = ; neste ponto tem um máximo e a partir daí é decrescente.
c) Faça a leitura geométrica da produtividade média e produtividade marginal do
factor L a partir do gráfico da produção total.
Os zeros da produtividade média são os mesmos do produto total. Ou seja,
produto total e produtividade média têm o mesmo sinal.
O primeiro zero da produtividade marginal coincide com o primeiro zero do
produto total; o segundo ocorre no ponto em que o produto total é máximo.
Portanto, a produtividade marginal é positiva enquanto o produto total for
crescente.
d) Estabeleça as relações entre as funções produto total, produtividade média e
produtividade marginal do factor L.
Os zeros do produto total e da produtividade média coincidem.
O andamento da função produto total é dado pelo comportamento da sua
derivada, que corresponde à produtividade marginal. Assim, a função produto
total tem um máximo quando a produtividade marginal é zero. À esquerda desse
ponto, a produtividade marginal é positiva, logo a função produto total é
crescente; à sua direita, a produtividade marginal é negativa, pelo que a função
produto total é decrescente.
O máximo da produtividade média ocorre no ponto em que a curva desta
intersecta a curva da produtividade marginal. À esquerda deste ponto, a
53
produtividade marginal é superior à produtividade média, logo esta é crescente; à
direita, a produtividade marginal é inferior à produtividade média, portanto esta
é decrescente.
e) A partir de que nível de utilização do factor L se começa a verificar a lei dos
rendimentos marginais decrescentes? Justifique.
A partir de 6L = , o aumento da quantidade de trabalho resulta em acréscimos do
produto cada vez menores. O que corresponde ao estabelecido pela lei dos
rendimentos marginais decrescentes.
f) Qual o volume de produção para o qual é máxima a produtividade média do
factor fixo?
KQKPme = . Como K está fixo, a sua produtividade média será máxima quando o
produto total for máximo, o que ocorre para 12L = .
B.1.3. Uma função de produção Cobb-Douglas é dada por ( ) βα= yxAy,xf . O tipo de
rendimentos à escala desta função vai depender dos valores de α+β. Relacione-os
com os diferentes tipos de rendimentos à escala.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )y,xftyAxtytxAttytxAty,txf β+αβαβ+αββααβα ====
Se 1<β+α tem-se rendimentos decrescentes à escala (DRS).
Se 1=β+α tem-se rendimentos constantes à escala (CRS).
Se 1>β+α tem-se rendimentos crescentes à escala (IRS).
B.1.4. Considere a expressão genérica da função de produção do tipo Cobb-Douglas com
dois factores, trabalho (L) e capital (K): βα= KALy .
a) Determine as expressões algébricas da produtividade média e da
produtividade marginal de ambos os factores.
β−α== KALLyLPme 1 β−αα=∂∂= KALLyLPmg 1
1KALKyKPme −βα== 1KALKyKPmg −βαβ=∂∂=
b) Verifique se se trata de uma função homogénea. Quais as condições que se
têm de verificar para que o processo de produção que ela traduz admita
rendimentos constantes, decrescentes ou crescentes à escala?
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) →=== β+αβαβ+αβα K,LytKALttKtLAtK,tLy fç homogénea de grau α+β
1<β+α → função homogénea de grau inferior a 1 → DRS
1=β+α → função homogénea de garu 1 → CRS
1>β+α → função homogénea de grau superior a 1 → IRS
54
B.1.5. Caracterize as seguintes funções de produção quanto a rendimentos à escala e
produtividades marginais:
a) 5,05,0 LK4y =
( ) ( ) ( ) ( ) →== L,KyttLtK4tL,tKy 5,05,0 CRS
( ) 5,05,05,0 KL2KL45,0KyKPmg =×=∂∂= −
( ) 5,05,05,0 LK2KL45,0LyLPmg =×=∂∂= − Ambas as produtividades marginais são positivas e obedecem à LRMD.
b) 22 LKy β+α=
( ) ( ) ( ) →=β+α= yttLtKtL,tKy 222 IRS K2KyKPmg α=∂∂= L2LyLPmg β=∂∂=
Ambas as produtividades marginais não obedecem à LRMD. O seu sinal depende
dos parâmetros α e β.
c) { }bL,aKminy = ( ) { } →== tybtL,atKmintL,tKy CRS
0KPmg = 0LPmg =
Ambas as produtividades marginais são nulas, não obedecendo à LRMD.
d) L2K4y += ( ) →=+= tytL2tK4tL,tKy CRS
4KyKPmg =∂∂= 2LyLPmg =∂∂=
Ambas as produtividades marginais são positivas e não obedecem à LRMD.
e) 6,05,0 LKy =
( ) ( ) ( ) ( ) →== L,KyttLtKtL,tKy 1,16,05,0 IRS
( ) 1,05,05,06,0 LKL5,0KL5,0KyKPmg ==∂∂= −
( ) 1,04,05,04,0 KLK6,0KL6,0LyLPmg ==∂∂= − Ambas as produtividades marginais são positivas e obedecem à LRMD.
B.1.6. Comente as seguintes afirmações:
a) Desde que seja usado um só factor na produção de um bem e que a tecnologia
apresente rendimentos decrescentes à escala, a produtividade marginal do
factor é decrescente.
Consideremos a seguinte função de produção ( )LfQ = .
O Teorema de Euler estabelece que se ( )n21 x,,x,xfy K= é uma função
homogénea de grau α , então yxy
xn
1i ii α=∂∂∑
=. No caso da função de produção
considerada vem QLQ
L α=∂∂
. Como a tecnologia é DRS, 10 <α< pelo que
QLQ
L <∂∂
. Dividindo tudo por L fica LQ
LQ
<∂∂
ou seja LPmeLPmg < .
55
Mas se LPmeLPmg < , então a produtividade marginal é decrescente. Portanto, a
frase é verdadeira.
b) Se a tecnologia apresenta rendimentos constantes à escala então duplicar a
quantidade usada de um factor de produção duplica a quantidade produzida.
Falso, como se comprova pelo seguinte contra-exemplo. 5,05,0 LKQ = é uma função
de produção que exibe CRS. Se 4K = e 9L = , então 6Q = . Duplicando apenas a
quantidade de K, vem 485,8Q ≈ que não é, obviamente, o dobro da quantidade
produzida inicial.
c) Se a tecnologia apresenta rendimentos decrescentes à escala, então ao
duplicar a produção, passamos para uma isoquanta inferior.
Falso. As isoquantas são lugar geométrico das várias combinações de factores que
permitem produzir uma mesma quantidade. Se a tecnologia é DRS, para se
duplicar a produção, ter-se-á de mais que duplicar as quantidades utilizadas de
factores. Se se está a aumentar as quantidades de factores, então está-se numa
isoquanta superior.
d) Se a tecnologia exibir rendimentos constantes à escala, então a produtividade
marginal dos factores é constante.
Falso. Basta tomar como contra-exemplo a alínea a) do exercício B.1.5.
56
B.2. MINIMIZAÇÃO DE CUSTOS
B.2.1. Defina os seguintes conceitos:
a) Custo fixo
Custo que não varia com o nível de produção e que a empresa tem de suportar
ainda que nada produza.
b) Custo variável
Custo que varia com o nível de produção
c) Custo total
Soma dos custos variáveis e custos fixos.
d) Custo fixo médio
Custo fixo por unidade produzida.
e) Custo variável médio
Custo variável por unidade produzida.
f) Custo total médio
Custo total por unidade produzida.
g) Custo marginal
Acréscimo no custo total por produzir mais uma unidade.
B.2.2. Explique porque é que a curva de custo marginal intersecta as curvas de custo
total médio e custo variável médio nos respectivos pontos mínimos. Admita-se que se está a produzir numa zona em que o custo médio é decrescente.
Então, nesta zona, o custo marginal tem de ser inferior ao custo médio: a única forma
de baixar uma média é adicionando-lhe números que lhe são inferiores.
Analogamente, se o custo médio é crescente, o custo marginal tem de lhe ser
superior. Sabe-se, então, que a curva do custo marginal fica abaixo da do custo médio
à esquerda do mínimo desta; e acima à direita. O que implica que no ponto mínimo as
duas curvas se intersectam. Este mesmo argumento se aplica ao caso da curva do
custo variável médio.
B.2.3. Os custos de uma empresa são mostrados parcialmente na tabela abaixo. Complete
os espaços que estão em branco.
Q CT CF CV CTMe CFMe CVMe CMg 0 24 24 0 – – – – 1 40 24 16 40 24 16 16 2 74 24 50 37 12 25 34 3 108 24 84 36 8 28 34
57
4 160 24 136 40 6 34 52 5 220 24 196 44 4,8 39,2 60 6 282 24 258 47 4 43 62
B.2.4. Para cada uma das situações seguintes, determine as estruturas de custos de curto e longo prazo.
a) 5,05,0 LKQ = ; 1r = ; 4w = ; 2K =
CURTO PRAZO
225,05,0 Q5,0LL2QL2Q2K =⇔=⇔=⇒=
2Q2CT21Q5,04CTrKwLCT 22 +=⇔×+×=⇔+= 2Q2CV =
2CF =
Q2
Q2Q
2Q2QCT
CTme2
+=+
==
Q2QQ2
QCV
CVme2
===
Q2
QCF
CFme ==
Q4QCTCmg =∂∂=
LONGO PRAZO
( )5,05,0
5,05,0
K,L LKQKL4QLK.a.s
KL4CTmin−λ++=Γ→
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
+=
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=λ
=λ
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−
=λ−
=λ−
⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
=λ∂Γ∂=∂Γ∂=∂Γ∂
−
−
−
−
QLK
1LK5,0
4LK5,0
0LKQ
0LK5,01
0LK5,04
00K0L
5,05,0
5,05,0
5,05,0
5,05,0
5,05,0
5,05,0
( )⇔
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=⇔
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=λ
λ−
−
QLL4
L4K
QLK
L4K
QLK
4LK
QLK
14
LK5,0
LK5,0
5,05,05,05,05,05,05,05,0
5,05,0
5,05,0
⎩⎨⎧
==
⇔⎩⎨⎧
==
⇔⎩⎨⎧
==
Q5,0LQ2K
Q5,0LL4K
QL2L4K
Q4CVCTQ21Q5,04CVCTrKwLCVCT ==⇔×+×==⇔+== 4QQ4CVmeCTme ===
4QCTCmg =∂∂=
b) 2,03,0 LKQ = ; 5r = ; 5w = ; 4K =
CURTO PRAZO
55,15,152,03,0 Q4LL4QL4Q4K −=⇔=⇔=⇒=
20Q45CT45Q45CTrKwLCT 55,155,1 +×=⇔×+×=⇔+= −− 55,1 Q45CV −×=
20CF =
Q20
Q45Q
20Q45QCT
CTme 45,155,1
+×=+×
== −−
58
45,155,1
Q45Q
Q45QCV
CVme −−
×=×
==
Q20
QCF
CFme ==
45,1 Q425QCTCmg −×=∂∂=
LONGO PRAZO
( )2,03,0
2,03,0
K,L LKQK5L5QLK.a.s
K5L5CTmin−λ++=Γ→
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
+=
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=λ
=λ
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−
=λ−
=λ−
⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
=λ∂Γ∂=∂Γ∂=∂Γ∂
−
−
−
−
QLK
5LK3,0
5LK2,0
0LKQ
0LK3,05
0LK2,05
00K
0L
2,03,0
2,07,0
8,03,0
2,03,0
2,07,0
8,03,0
( )⇔
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=⇔
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=λ
λ−
−
QLL5,1
L5,1K
QLK
L5,1K
QLK
1L3K2
QLK
55
LK3,0
LK2,0
2,03,02,03,02,03,02,03,0
2,07,0
8,03,0
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=⇔
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=⇔
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=− 26,0
24,0
26,05,03,0 Q5,1L
Q5,1K
QL5,1
L5,1K
QL5,1
L5,1K
⇔×+×==⇔+== − 24,026,0 Q5,15Q5,15CVCTrKwLCVCT
( ) 26,0 Q55,15,1CVCT4,0
+== −
( ) ( ) Q55,15,1QQ55,15,1CVmeCTme4,04,0 6,026,0 +=+== −−
( ) Q105,15,1QCTCmg4,06,0 +=∂∂= −
c) L2K4Q += ; 5r = ; 4w = ; 2K =
CURTO PRAZO
4Q5,0LL224Q2K −=⇔+×=⇒=
( ) 1016Q2CT254Q5,04CTrKwLCT +−=⇔×+−=⇔+=
16Q2CV −= 10CF =
Q6
2Q
6Q2QCT
CTme −=−
==
Q16
2Q
16Q2QCV
CVme −=−
==
Q10
QCF
CFme ==
2QCTCmg =∂∂=
LONGO PRAZO
Q25,0KK4Q0L8,0rw5,0TMST L,K =⇔=⇔=⇒=<=
Q25,1CVCTQ25,0504CVCTrKwLCVCT ==⇔×+×==⇔+==
25,1QQ25,1CVmeCTme ===
25,1QCTCmg =∂∂=
d) L3KQ += ; 2r = ; 5,1w = ; 6K =
CURTO PRAZO
59
2Q31LL36Q6K −=⇔+=⇒=
( ) 126Q5,0CT624Q315,1CTrKwLCT +−=⇔×+−=⇔+=
6Q5,0CV −= 12CF =
Q6
5,0Q
6Q5,0QCT
CTme +=+
==
Q6
5,0Q
6Q5,0QCV
CVme −=−
==
Q12
QCF
CFme ==
5,0QCTCmg =∂∂=
LONGO PRAZO
Q31LL3Q0K75,0rw3TMST L,K =⇔=⇔=⇒=>=
Q5,0CVCT02Q315,1CVCTrKwLCVCT ==⇔×+×==⇔+==
5,0QQ5,0CVmeCTme ===
5,0QCTCmg =∂∂=
e) { }L3,K2minQ = ; 8r = ; 12w = ; 9K =
CURTO PRAZO
6LL3189KL3K2 =⇔=⇔=∧=
CF144CT98612CTrKwLCT ==⇔×+×=⇔+=
0CV =
Q144
CFmeCTme ==
0CVme =
LONGO PRAZO
Q31LQ5,0KQL3K2 =∧=⇔==
Q8CVCTQ5,08Q3112CVCTrKwLCVCT ==⇔×+×==⇔+==
8QQ8CVmeCTme ===
8QCTCmg =∂∂=
B.2.5. Considere a seguinte função de produção KL10Q = .
a) Encontre as quantidades óptimas dos factores produtivos L e K necessários à
produção de 1024 unidades de produto, tendo em conta que a empresa os
adquire às taxas de 2 u.m. e 5 u.m., respectivamente.
( )KL101024K5L21024KL10.a.s
K5L2CTminK,L −λ++=Γ→
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
+=
60
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=λλ
⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
==λ=λ
⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−=λ−=λ−
⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
=λ∂Γ∂=∂Γ∂=∂Γ∂
1024KL1052
L10K10
1024KL105L102K10
0KL1010240L1050K102
00K0L
⎩⎨⎧
==
⇔⎩⎨⎧
==
⇔⎩⎨⎧
=××=
⇔⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=16L
4,6K16L
L4,0K1024LL4,010
L4,0K
1024KL1052
LK
b) Determine o custo por unidade de produto.
0625,01024
4,65162QCT
Cme =×+×
==
c) Suponha que a empresa introduz uma série de inovações de forma que a
função de produção se altera para KL15Q = . Se a empresa pretender manter
o mesmo nível de produção, terá de alterar as quantidades dos factores
produtivos? Se sim, para quanto?
( )KL151024K5L21024KL15.a.s
K5L2CTminK,L −λ++=Γ→
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
+=
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=λλ
⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
==λ=λ
⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−=λ−=λ−
⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
=λ∂Γ∂=∂Γ∂=∂Γ∂
1024KL1552
L15K15
1024KL155L152K15
0KL1510240L1550K152
00K0L
⎩⎨⎧
==
⇔⎩⎨⎧
≈=
⇔⎩⎨⎧
=××=
⇔⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=1,13L
24,5K1,13LL4,0K
1024LL4,015L4,0K
1024KL1552
LK
d) Verifique se o custo unitário é afectado.
05,01024
24,551,132QCT
Cme ≈×+×
==
B.2.6. Considere a seguinte função de produção 055,0 LK10Q = .
a) Apresente a expressão das isoquantas que se podem obter a partir desta
função de produção. Qual seria o aspecto deste mapa de isoquantas?
Justifique.
1225,05,0 LQ01,0KQKL100QLK10 −=⇔=⇔= Estas isoquantas serão convexas e negativamente inclinadas.
b) Deduza a expressão geral da taxa marginal de substituição técnica relativa às isoquantas deste mapa.
LK
LK105,0
LK105,0KPmgLPmg
TMST5,05,0
5,05,0
L,K =×
×==
−
−
c) Sabendo que 1r = e 4w = , calcule o máximo produto que se pode obter com um custo de 32 u.m. Qual o valor da taxa marginal de substituição nesse ponto?
61
( )KL432LK1032KL4.a.s
LK10Qmax5,05,0
5,05,0
K,L −−λ+=Γ→⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+λλ
=⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+λ=
λ=
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−−=λ−
=λ−
⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
=λ∂Γ∂=∂Γ∂=∂Γ∂
−
−
−
−
−
−
32KL4
4
LK5
LK5
32KL4LK5
4LK5
0KL4320LK5
04LK5
00K
0L5,05,0
5,05,0
5,05,0
5,05,0
5,05,0
5,05,0
⎩⎨⎧
==
⇔⎩⎨⎧
=+=
⇔⎩⎨⎧
=+=
⇔⎪⎩
⎪⎨⎧
=+
=4L16K
32L4L4L4K
32KL4L4K
32KL4
4LK
( ) ( ) 8041610Q16;4K,L 5,05,0 =××=⇒=
( ) 44
16TMST
16;4L,K ==
d) Se os preços se mantiverem constantes, qual a combinação de factores que minimizará o custo para uma produção de 80? Qual é o custo nesse ponto?
( )5,05,0
5,05,0
K,L LK1080KL480LK10.a.s
KL4CTmin−λ++=Γ→
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
+=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=λ
λ⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=λ
=λ
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−
=λ−
=λ−
⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
=λ∂Γ∂=∂Γ∂=∂Γ∂
−
−
−
−
−
−
80LK10
14
LK5
LK5
80LK10
1LK5
4LK5
0LK1080
0LK51
0LK54
00K0L
5,05,0
5,05,0
5,05,0
5,05,0
5,05,0
5,05,0
5,05,0
5,05,0
5,05,0
( ) ⎩⎨⎧
==
⇔⎩⎨⎧
==
⇔⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
4L16K
80L20L4K
80LL410
L4K
80LK10
4LK
5,05,05,05,0
( ) ( ) 3244161CT16;4K,L =×+×=⇒=
62
C. MERCADOS C.1. CONCORRÊNCIA PERFEITA
C.1.1. 32
31
LK5Q = é a função de produção de certa empresa.
a) Suponha que os preços dos factores são 2r = e 4w = e que a empresa opera num mercado concorrencial. Calcule a oferta individual da empresa. Comente o resultado.
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −λ++=Γ→
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
+=32
31
32
31
LK5QK2L4LK5Q.a.s
K2L4CTminK,L
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=λ
λ
⇔
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
=λ
=λ
⇔
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=−
=λ−
=λ−
⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
=λ∂Γ∂=∂Γ∂=∂Γ∂
−
−
−
−
−
−
QLK5
24
LK35
LK310
QLK5
2LK35
4LK310
0LK5Q
0LK352
0LK3104
00K0L
32
31
32
32
31
31
32
31
32
32
31
31
32
31
32
32
31
31
⎩⎨⎧
==
⇔⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
Q2,0LQ2,0K
QLL5
LK
QLK5
2LK2
32
31
32
31
2,1CmgQ2,1CTQ2,02Q2,04CTK2L4CT =⇒=⇔×+×=⇔+= [ ]⎩⎨⎧
<≥∞
=⇒=⇔=2,1pse02,1pse,0
q2,1PCmgP
Esta empresa exibe rendimentos constantes à escala, pelo que a sua curva da
oferta coincidirá com a sua curva de custo médio de longo prazo, sendo uma linha
recta. Ou seja, a empresa está disposta a oferecer qualquer quantidade quando
minCp = e não oferece nada para preços abaixo deste.
b) Se nesta indústria existirem mais 90 empresas tecnologicamente idênticas, qual será a oferta agregada?
[ ]⎩⎨⎧
<≥∞
=2,1pse02,1pse,0
Q
c) Sabendo que a procura é dada por P100Q −= , calcule o equilíbrio de
mercado.
8,982,1100Q2,1P =−=⇒=
C.1.2. Certa empresa em concorrência perfeita tem uma função custo total dada por
30Q5Q2,0CT 2 +−= . Se o preço for de 6:
a) Que quantidade deverá a empresa vender? 5,27Q5Q4,06CmgP =⇔−=⇔=
b) Que lucro obtém a empresa a esse preço?
63
( ) 25,121305,2755,272,05,276CTRT 2 =+×−×−×=−=π
c) Deverá a empresa encerrar? O lucro é positivo, logo a empresa não deverá encerrar.
C.1.3. A função lucro de uma empresa que actua num mercado perfeitamente
competitivo é dada por: 10Q80Q20Q2PQ 23 −−+−=π .
a) Calcule a função oferta de curto prazo.
10Q80Q20Q2CT 23 ++−=
⇔⎪⎩
⎪⎨⎧
+−≥+−
=−+−⇔
⎪⎩
⎪⎨⎧
+−≥
+−=⇔
⎩⎨⎧
≥=
80Q20Q280Q40Q6
0p80Q40Q6
80Q20Q2p
80Q40Q6pCVmepCmgp
22
2
2
2
( ) ( )⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥
−+=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥−×
−××−−+=
5Q12
320p2440Q
0Q20Q462
p80644040Q
2
2
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<
≥−+
=⇒≥⇒≥⇒≥30pse0
30pse12
320p2440Q30p30Cmg5Q
b) Determine e represente o limiar de encerramento e de rentabilidade.
Limiar de encerramento 30CVme5Q020Q40QCVmeCVmemin =⇒=⇔=−⇔=∂∂⇒
30pse0Q <=
Limiar de rentabilidade 98,31CVme1,5Q0Q1020Q40QCmeCmemin 2 =⇒≈⇔=−−⇔=∂∂⇒
98,31pse0 ≥≥π
c) Sabendo que a procura de mercado é P101000Q −= e que existem 20
empresas no mercado, calcule o preço de equilíbrio.
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<
≥−+
×=⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
<
≥−+
=30pse0
30pse12
320p244020Q
30pse0
30pse12
320p2440q
P5,05012
320P2440P101000
12320P2440
20 −=−+
⇔−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+
⇔−=−⇔−=−+ P6560320P24P6600320P2440
( ) ⇔+−=−⇔−=− 22 P36P6720313600320P24P6560320P24
⇔×
××−±=⇔=+−
36231392036467446744
P0313920P6744P362
2
439,136Q3561,86P =⇒=
C.1.4. A indústria produtora do bem y é constituída por um grande número de pequenas
empresas de diferentes dimensões cujas funções de custo total pertencem à
64
família de curvas: ( ) ( ) 223 k5Qk11Q9,0Q04,0QC +−+−= , onde k é o parâmetro
definidor da dimensão da empresa. Nesta indústria existem 3 tipos de empresas, a
produzir nas seguintes dimensões: 1k1 = ; 1875,1k2 = e 3k3 = .
a) Obtenha a expressão analítica das funções oferta de curto prazo para cada um
dos tipos de empresas.
5Q10Q9,0Q04,0CT1k 23 ++−=⇒=
24,0
56,1p48,08,1Q10Q8,1Q12,0pCmgp 2 −±=⇔+−=⇔=
25,11Q10Q9,0Q04,010Q8,1Q12,0CVmep 22 ≥⇔+−≥+−⇔≥
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<
≥−
+=
30pse0
30pse24,0
56,1p48,05,7
Q
05078125,7Q8125,9Q9,0Q04,0CT1875,1k 23 ++−=⇔=
24,0
47,1p48,08,1Q8125,9Q8,1Q12,0pCmgp 2 −±=⇔+−=⇔=
25,11Q8125,9Q9,0Q04,08125,9Q8,1Q12,0CVmep 22 ≥⇔+−≥+−⇔≥
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<
≥−
+=
75,4pse0
75,4pse24,0
47,1p48,05,7
Q
45y8y9,0y04,0CT3k 23 ++−=⇔=
24,0
6,0p48,08,1Q8Q8,1Q12,0pCmgp 2 −±=⇔+−=⇔=
25,11Q8Q9,0Q04,08Q8,1Q12,0CVmep 22 ≥⇔+−≥+−⇔≥
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<
≥−
+=
9375,2pse0
9375,2pse24,0
6,0p48,05,7
Q
b) Determine o preço e a quantidade de equilíbrio de curto prazo, sabendo que a
procura e oferta agregadas são dadas por:
( )P62,72005664,0
1Qd −= e ( )25,58P
002,01
Qs −=
( ) ( ) 1875Q62pP62,72005664,0
125,58P
002,01
=⇒=⇔−=−
c) Determine os níveis de produção individuais dos três tipos de empresas.
⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
⇒=30Q
66,29Q63,29Q
62P
3
2
1
65
C.1.5. Suponha um sector que funciona de acordo com os princípios da concorrência
perfeita e em que existem empresas com diferentes estruturas de custos:
30 empresas do tipo A: 2Q6Q3CT +=
40 empresas do tipo B: 2Q10Q5CT +=
10 empresas do tipo C: 32 Q5,0Q3Q9CT +−=
Obtenha a curva da oferta desta indústria.
OFERTAS INDIVIDUAIS
Empresa tipo A
⎪⎩
⎪⎨⎧
≥
−=
⇔⎪⎩
⎪⎨⎧
≥
−=
⇔⎩⎨⎧
+≥++=
⇔⎩⎨⎧
+≥+=
⇔⎩⎨⎧
≥=
3P12
3PQ
0Q12
3PQ
3Q63Q123Q12P
3Q6P3Q12P
CVmePCmgP
⎪⎩
⎪⎨⎧
<
≥−
=3Pse0
3Pse12
3PQ
Empresa tipo B
⇔⎩⎨⎧
≥−=
⇔⎩⎨⎧
+≥++=
⇔⎩⎨⎧
+≥+=
⇔⎩⎨⎧
≥=
0Q25,0P05,0Q
5Q105Q205Q20P
5Q10P5Q20P
CVmePCmgP
⎩⎨⎧
<≥−
=⇒⎩⎨⎧
≥−=
5Pse05Pse25,0P05,0
Q5P
25,0P05,0Q
Empresa tipo C
⇔⎪⎩
⎪⎨⎧
+−≥+−
=−+−⇔
⎪⎩
⎪⎨⎧
+−≥
+−=⇔
⎩⎨⎧
≥=
9Q3Q5,09Q6Q5,1
0P9Q6Q5,1
9Q3Q5,0P
9Q6Q5,1PCVmePCmgP
22
2
2
2
( ) ( )⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥∨≥
−±=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥−
−±=
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥−
×−××−−±
=
3Q0Q3
18P66Q
0Q3Q3
18P66Q
0Q3Q
5,12
P95,1466Q
22
2
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<
≥−±
=⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥
−±=
5,4Pse0
5,4Pse3
18P66Q
5,4P3
18P66Q
OFERTA AGREGADA PARA CADA TIPO
⎩⎨⎧ −
=0
5,7P5,2Q A
3Pse3Pse
<≥
⎩⎨⎧ −
=0
10P2Q B
5Pse5Pse
<≥
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<
≥−+
=5,4Pse0
5,4Pse3
18P61060Q C
OFERTA DA INDÚSTRIA
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
≥−
++
<≤−
++
<≤−<
=
5Pse3
18P610P5,45,2
5P5,4se3
18P610P210
5,4P3se5,7P5,23Pse0
Q
66
C.1.6. A procura agregada num sector concorrencial é P2001200Q −= e a curva do
custo total de cada empresa é Q4Q2QCT 23 +−= .
a) Determine a curva da oferta individual de cada empresa, o número de
empresas e o equilíbrio no longo prazo.
⇔⎪⎩
⎪⎨⎧
+−≥+−
=−+−⇔
⎪⎩
⎪⎨⎧
+−≥
+−=⇔
⎩⎨⎧
≥=
4q2q4q4q3
0p4q4q3
4q2qP
4q4q3PCVmePCmgP
22
2
2
2
( ) ( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥
−+=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥
−+=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥−×
−××−−+=
3p6
32P124q
1q6
32P124q
0q2q232
P43444q
2
2
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<
≥−+
=3pse0
3pse6
32P124q
600n1q60032001200Q3P =⇒=∧=×−=⇒=
b) A expansão da curva da procura para P2001600Q −= foi acompanhada pela
criação de barreiras à entrada. Determine o equilíbrio de mercado.
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<
≥−+
×=3pse0
3pse6
32P124600Q
⇔−=−⇔−=−+ P200120032P12100P200160032P12100400
( ) ⇔+−=−⇔−=−⇔−=− 22 P4P4814432P12P21232P12P21232P12
( )800Q4P
12
44141515p0176p36p4
22 =⇒=⇔
×××−−+
==+−
c) Compare graficamente esta situação, do ponto de vista do excedente do
consumidor e do produtor, com a que se verificaria sem barreiras à entrada.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800
Q
P
Yd Ys (C/b) Ys (S/b)
67
C.1.7. Suponha que a procura de viagens de táxis numa dada cidade é dada por:
P51000Q −= , onde Q é medido em quilómetros por ano e P é o preço em u.m.
por quilómetro. A curva da oferta de longo prazo é dada por 80P4Q S −= .
a) Se esta indústria for perfeitamente competitiva, mostre que o número de
viagens de equilíbrio é 400Q = . Qual será o preço de equilíbrio?
400Q120P80P4P51000QQ SD =⇒=⇔−=−⇒=
b) Para a situação de equilíbrio, determine o excedente do consumidor e o
excedente do produtor.
( )16000
2400120200
XC =×−
= ( )20000
240020120
XP =×−
=
c) Suponha que a Câmara Municipal dessa cidade decide controlar o trânsito,
limitando o número de viagens para 300Q = . Nestas condições, qual o valor
da perda social líquida?
( ) ( )( )15000
2300400120140
2400120200
XC =−−
−×−
=
( ) ( )( )15000
230040095120
240020120
XP =−−
−×−
=
( ) ( ) 600020000160001500015000BE −=+−+=Δ
d) Em relação à alínea anterior, como é que o excedente do consumidor e do
produtor é afectado, se 140P = e 95P = ? Compare os resultados obtidos.
140P =
( )6000150009000XC9000
2300140200
XC −=−=Δ→=×−
=
( ) ( ) 97501500024750XP24750300951402
3002095XP =−=Δ→=×−+
×−=
95P =
( ) ( ) 75001500022500XC22500300951402
300140200XC =−=Δ→=×−+
×−=
( )7500150007500XP7500
23002095
XP −=−=Δ→=×−
=
C.1.8. Certa indústria, perfeitamente competitiva, é composta por 10000 produtores,
cada qual apresentando a seguinte função custo total: 2QQ5,0CT 2 ++= . A
curva da procura de mercado é dada por P1000070000Q −= .
a) Deduza as curvas de oferta de curto prazo da empresa e da indústria.
⇔⎩⎨⎧
≥+=
⇔⎩⎨⎧
+≥++=
⇔⎩⎨⎧
+≥+=
⇔⎩⎨⎧
≥=
0q1qP
1q5,01q1qP
1q5,0P1qP
CVmePCmgP
68
⎩⎨⎧ −
=⇒⎩⎨⎧
≥−=
01P
q1p
1Pq
1Pse1Pse
<≥
⎩⎨⎧ −
=→0
10000P10000Q
1Pse1Pse
<≥
b) Qual a quantidade produzida por cada empresa perfeitamente concorrencial e
pela indústria? Determine o lucro económico de cada empresa.
30000Q4P10000P10000P1000070000QQ SD =⇒=⇔−=−⇒= 3q4P =⇒=
( ) 5,22335,034 2 =++×−×=π
c) Admita que 5,0Q5,0CMg += é a função de custo marginal de cada empresa no
longo prazo e que está vedada a entrada no mercado a novos produtores.
Determine o equilíbrio de mercado.
⇔⎩⎨⎧
≥+=
⇔⎩⎨⎧
+≥++=
⇔⎩⎨⎧
≥=
0q5,0q5,0P
5,0q25,05,0q5,05,0q5,0P
CVmePCmgP
⎩⎨⎧ −
=⇒⎩⎨⎧
≥−=
01p2
q5,0p
1p2q
5,0Pse5,0Pse
<≥
⎩⎨⎧ −
=→0
10000P20000Q
5,0Pse5,0Pse
<≥
3130000
Y38
P10000P20000P1000070000YY SD =⇒=⇔−=−⇒=
313q38P =⇒=
3169
313
5,0313
25,0313
38 2
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛×−×=π
d) Suponha agora que são permitidas as importações deste bem, cujo preço de
importação é 0,5. Que sucederá, no longo prazo, a esta indústria nacional?
Se as importações custam 0,5 é 0,5 o preço que as empresas nacionais terão de
praticar. Mas a esse preço, a quantidade oferecida é zero. Logo, o bem será
oferecido exclusivamente por importações e esta indústria desaparece.
C.1.9. Comente as seguintes afirmações:
a) Se existem rendimentos constantes à escala numa indústria perfeitamente
competitiva, então a curva da oferta da indústria é horizontal no longo prazo.
Considere-se uma função de produção ( )L,KfQ = , tal que ( )00 L,K é a combinação
óptima de factores para produzir 0Q . Então, para todo o 0>λ , ( )00 L,K λλ é a
combinação óptima para produzir 0Qλ . Logo, se o custo de produzir 0Q é 0CT , o
de produzir 0Qλ será 0CTλ . Ou seja, o custo médio é sempre constante. Pelo que
o custo marginal também o será (e igual àquele).
Tratando-se de uma indústria perfeitamente competitiva, da condição de
maximização do lucro resulta que CmgP = . Como o custo marginal é constante, o
preço é constante, o que corresponde a uma curva da oferta horizontal. A frase é,
então, verdadeira.
69
b) Suponha que uma indústria concorrencial está em equilíbrio de longo prazo.
Se houver uma contracção da procura agregada, no novo equilíbrio de longo
prazo, o preço será menor.
Falso. Esta situação não se verifica se a produção apresentar rendimentos
constantes à escala, caso em que a curva da oferta é horizontal, o que significa
que o preço é sempre o mesmo e os ajustamentos se fazem exclusivamente pela
quantidade.
c) Como existe livre entrada e saída de empresas num mercado de concorrência
perfeita, o número de empresas a operar no mercado no longo prazo é
indeterminado.
Falso. Como existe livre entrada e saída de empresas, o lucro terá de ser zero.
Logo o preço terá de igualar o custo médio. Conhecendo o preço, determina-se a
quantidade transaccionada no mercado (por substituição na procura) e a
quantidade oferecida por cada empresa (por substituição na oferta individual).
Sabendo quanto se produz no total e quanto produz cada empresa, calcula-se o
número de empresas. Este é, pois, determinado endogenamente, sendo
indeterminado apenas no caso de tecnologia CRS.
d) Num mercado de concorrência perfeita, como existe livre entrada e saída de
empresas no mercado, o lucro de curto prazo de cada empresa nunca é
negativo.
Falso. O que caracteriza o curto prazo é a existência de custos fixos, os quais têm
de ser suportados pela empresa, quer esta produza ou não. Logo, no curto prazo,
os custos variáveis são os únicos que interessam: a empresa não deve encerrar
desde que o preço seja igual ou superior ao custo variável médio. No entanto,
esta condição não garante a rentabilidade.
70
C.2. MONOPÓLIO E OLIGOPÓLIO
C.2.1. Mostre matematicamente que um monopolista estabelecerá sempre um preço
acima do custo marginal.
O objectivo do monopolista é, naturalmente, a maximização do lucro, pelo que:
CMgRMg0qCTRTmax =⇔=∂π∂⇒−=π
Pense-se na receita marginal como a soma do ganho na receita resultante das novas
vendas e a perda devida a vender a quantidade anterior ao novo preço que é inferior.
Quando o monopolista vende 0Q unidades, a sua receita é 00PQ . Para vender mais
QΔ , terá de reduzir o preço para PP0 Δ− , pelo que a sua receita será:
( )( ) QPPQQPQPQQPPRT 000000 ΔΔ−Δ−Δ+=Δ+Δ−=
Para calcular a receita marginal é subtrair a receita total inicial e dividir pela
variação do produto:
( )PQ
QP
PQ
QPQPPQQPQPRMg 00
000000 Δ−ΔΔ
−=Δ
−ΔΔ−Δ−Δ+=
Ora, se o monopolista iguala o custo marginal à receita marginal e esta é inferior ao
preço, então o preço é superior ao custo marginal.
C.2.2. Determine o lucro máximo, o correspondente preço e a quantidade de um
monopolista cujas funções procura e custo total são, respectivamente:
Q53000P −= e 2Q10200CT += .
( ) ( ) 200Q3000Q15Q10200QQ53000CTRT 22 −+−=+−−=−=π 100Q03000Q300Qmax =⇔=+−⇔=∂π∂⇒π
1498002500p100Q =π∧=⇒=
C.2.3. Uma empresa monopolista utiliza um factor de produção, L, que adquire ao preço
fixo de 5 u.m., para produzir o bem Y. As funções procura do bem e de produção
são, respectivamente: y50P −= e L2y = . Determine os valores de P, y e L que
maximizam o lucro do monopolista.
y5,2L5CTy5,0LL2y ==⇒=⇔=
( ) y5,47yy5,2yy50CTRT 2 +−=−−=−=π
875,11L25,26p75,23y05,47y20ymax =∧=⇒=⇔=+−⇔=∂π∂⇒π
71
C.2.4. Considere uma empresa que é um monopólio no mercado do produto final. Esta
empresa enfrenta uma procura dada pela expressão Q100P −= e possui uma
função custo total representada por 2Q10CT += .
a) Tendo como objectivo a maximização do lucro, que quantidade deverá este
monopolista produzir? E qual o preço que deverá praticar?
( ) ( ) 10Q100Q2Q10QQ100CTRT 22 −+−=+−−=−=π 75p25Q0100Q40Qmax =⇒=⇔=+−⇔=∂π∂⇒π
b) Determine a quantidade e o preço no caso do monopolista optar por uma
estratégia de maximização do valor das vendas.
50p50Q0Q21000QRTRTmax =⇒=⇔=−⇔=∂∂⇒
C.2.5. As curvas de custo total e da procura de um monopolista são dadas,
respectivamente, por: Q2200CT += e Q4180P −= .
a) Determine o lucro do monopolista.
( ) ( ) 200Q178Q4Q2200QQ4180CTRT 2 −+−=+−−=−=π 25,22Q0178Q80Qmax =⇔=+−⇔=∂π∂⇒π
25,178091p25,22Q =π∧=⇒=
b) Suponha que o monopolista é obrigado a praticar o preço correspondente ao
mercado de concorrência perfeita. Qual seria a variação líquida no bem-estar
dos consumidores?
5,44Q2PCMgP =⇔=⇔=
( ) ( )25,2959
225,2291180
25,442180
XC =×−
−×−
=Δ
C.2.6. Um monopolista enfrenta a seguinte procura: Q004,0104P −= . Inicialmente, a
sua tecnologia era traduzida pela função custo total: Q72Q02,0CT 20 += , mas,
devido à adopção de uma política redutora de custos, essa tecnologia foi
substituída, passando o custo total a ser representado por: Q12Q04,0CT 21 += .
a) Determine a produção e o preço praticado pelo monopolista, antes e depois da
inovação tecnológica.
Antes da inovação tecnológica ( ) ( ) Q32Q024,0Q72Q02,0QQ004,0104CTRT 22 +−=+−−=−=π
32000Q032Q048,00Qmax =⇔=+−⇔=∂π∂⇒π 3304p32000Q =⇒=
Depois da inovação tecnológica ( ) ( ) Q92Q044,0Q12Q04,0QQ004,0104CTRT 22 +−=+−−=−=π
1111500Q092Q088,00Qmax =⇔=+−⇔=∂π∂⇒π
72
111098p1111500Q =⇒=
b) Analise os efeitos daquela alteração no mercado, evidenciando os ganhos e
perdas do monopolista e dos consumidores.
( ) ( )84,11133
2320003304104
21111500111098104
XC ≈×−
−×−
=Δ
24,374243
200032
32000
024,011
1150092
1111500
044,022
≈⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡×+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛×−−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡×+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛×−=πΔ
C.2.7. As empresas Bordados Maravilha e Bordados Espanto são as únicas produtoras de
bordados (Q). A curva de custos é a mesma para ambas e igual a 2Q5,0CT = . A
procura de bordados é dada por Q5,0100P −= . Admitindo que as empresas têm
um comportamento Cournot, determine o equilíbrio da indústria.
Função reacção da empresa Bordados Maravilha (M)
( )[ ] ( ) ME2M
2MMEMM qq5,0100qq5,0qqq5,0100 −+−=−+−=π
EMEMMMM q25,050q0q5,0100q20qmax −=⇒=−+−⇔=∂π∂⇒π
Função reacção da empresa Bordados Espanto (E)
( )[ ] ( ) EM2E
2EEEME qq5,0100qq5,0qqq5,0100 −+−=−+−=π
MEMEEEE q25,050q0q5,0100q20qmax −=⇒=−+−⇔=∂π∂⇒π
Equilíbrio
⎩⎨⎧
=π=π
⇒=⇒=⇒⎩⎨⎧
==
⇔⎩⎨⎧
−=−=
16001600
60P80Q40q40q
q25,050qq25,050q
E
M
E
M
ME
EM
C.2.8. Num determinado mercado existem apenas dois produtores e a curva da procura é
Q2200P −= . As curvas de custos de cada um dos produtores são: 211 q6c = e
222 q2c = . Determine:
a) O equilíbrio de Cournot. Função reacção da empresa 1
( )[ ] ( ) 1221
211211 qq2200q8q6qqq2200 −+−=−+−=π
2121111 q125,05,12q0q2200q160qmax −=⇒=−+−⇔=∂π∂⇒π
Função reacção da empresa 2
( )[ ] ( ) 2122
222212 qq2200q4q2qqq2200 −+−=−+−=π
1212222 q25,025q0q2200q80qmax −=⇒=−+−⇔=∂π∂⇒π
Equilíbrio
73
⇒=⇒⎩⎨⎧
==
⇔⎩⎨⎧
−=−=
311000
Q31700q31300q
q25,025qq125,05,12q
2
1
12
21
⎩⎨⎧
=π=π
⇒=54,2039
22,749
314200
P2
1
b) O equilíbrio de Stackelberg. Empresa 1 é líder
Função reacção da empresa 2
( )[ ] ( ) 2122
222212 qq2200q4q2qqq2200 −+−=−+−=π
1212222 q25,025q0q2200q80qmax −=⇒=−+−⇔=∂π∂⇒π
Equilíbrio
( )[ ] 211
211111 q5,7q150q6qq25,0252q2200 −=−−−−=π
5,22q10q0150q150qmax 211111 =⇒=⇒=+−⇔=∂π∂⇒π
⎩⎨⎧
=π=π
⇒=⇒=⇒⎩⎨⎧
==
2025750
135P5,32Q5,22q
10q
2
1
2
1
Empresa 2 é líder
Função reacção da empresa 1
( )[ ] ( ) 1221
211211 qq2200q8q6qqq2200 −+−=−+−=π
2121111 q125,05,12q0q2200q160qmax −=⇒=−+−⇔=∂π∂⇒π
Equilíbrio
( )[ ] 222
222222 q75,3q175q2qq125,05,122q2200 −=−−−−=π
12115q370q0175q5,70qmax 222222 =⇒=⇒=+−⇔=∂π∂⇒π
⎩⎨⎧
=π=π
⇒=⇒=⇒⎩⎨⎧
==
67,204172,734
6805
P12395
Q370q12115q
2
1
2
1
C.2.9. Num determinado mercado de oligopólio, a curva da procura é Q2200P −= e as
curvas de custos de cada um dos produtores são: 211 q2c = e 22 q12c = .
Determine: a) O equilíbrio de Cournot.
Função reacção da empresa 1
( )[ ] ( ) 1221
211211 qq2200q4q2qqq2200 −+−=−+−=π
2121111 q25,025q0q2200q80qmax −=⇒=−+−⇔=∂π∂⇒π
Função reacção da empresa 2
( )[ ] ( ) 212222212 qq2188q2q12qqq2200 −+−=−+−=π
1212222 q5,047q0q2188q40qmax −=⇒=−+−⇔=∂π∂⇒π
Equilíbrio
74
⇒=⇒⎩⎨⎧
==
⇔⎩⎨⎧
−=−=
7382
Q7276q7106q
q5,047qq25,025q
2
1
12
21
⎩⎨⎧
=π=π
⇒=22,3109
22,917
7636
P2
1
b) O equilíbrio onde a empresa 2 assume a liderança do mercado. Função reacção da empresa 1
( )[ ] ( ) 1221
211211 qq2200q4q2qqq2200 −+−=−+−=π
2121111 q25,025q0q2200q80qmax −=⇒=−+−⇔=∂π∂⇒π
Equilíbrio
( )[ ] 22222222 q5,1q238q12qq25,0252q2200 −=−−−−=π
1631q3238q0238q30qmax 222222 =⇒=⇒=+−⇔=∂π∂⇒π
⎩⎨⎧
=π=π
⇒=⇒=⇒⎩⎨⎧
==
33,150778,106
31P5,84Q3238q
631q
2
1
2
1
C.2.10. Considere duas empresas num mercado de oligopólio que enfrentam a seguinte
curva da procura: Q60P −= . As empresas têm os seguintes custos:
A2AA q4qc += e B
2BB q5q5,1c += .
a) Sabendo que as empresas se comportam à Cournot, determine: i. Preço e quantidades de equilíbrio.
Função reacção da empresa A
( )[ ] ( ) ( ) AB2AA
2AABAA qq56q2q4qqqq60 −+−=+−+−=π
BABAAAA q25,014q0q56q40qmax −=⇒=−+−⇔=∂π∂⇒π
Função reacção da empresa B
( )[ ] ( ) ( ) BA2BB
2BBBAB qq55q5,2q5q5,1qqq60 −+−=+−+−=π
ABABBBB q2,011q0q55q50qmax −=⇒=−+−⇔=∂π∂⇒π
Equilíbrio
19751
P19389
Q19164q19225q
q2,011qq25,014q
B
A
AB
BA =⇒=⇒⎩⎨⎧
==
⇔⎩⎨⎧
−=−=
ii. Bem-estar dos consumidores.
( )59,209
2193891975160
XC =×−
=
iii. Bem-estar dos produtores.
47,280A =π e 26,186B =π
iv. Bem-estar social.
32,676BE =
b) Sabendo que a empresa A se comporta como líder, determine:
75
i. Preço e quantidades de equilíbrio. Função reacção da empresa B
( )[ ] ( ) ( ) BA2BB
2BBBAB qq55q5,2q5q5,1qqq60 −+−=+−+−=π
ABABBBB q2,011q0q55q50qmax −=⇒=−+−⇔=∂π∂⇒π
Equilíbrio
( )[ ] ( ) A2AA
2AAAAA q45q9,0q4qqq2,011q60 +−=+−−−−=π
25q045q8,10qmax AAAAA =⇒=+−⇔=∂π∂⇒π
29P31Q6q25q BA =⇒=⇒=⇒=
ii. Bem-estar dos consumidores.
( )5,480
2312960
XC =×−
=
iii. Bem-estar dos produtores.
0A =π e 90B =π
iv. Bem-estar social.
5,570BE =
C.2.11. Comente as seguintes afirmações:
a) A solução de um mercado de monopólio pode ser eficiente.
Verdadeira. A solução de monopólio será eficiente no caso em que a empresa
monopolista consiga fazer discriminação perfeita de preços. Neste caso, o
monopolista vende cada unidade adicional do bem ao preço máximo que os
consumidores estão dispostos a pagar. Assim sendo, a receita marginal é igual à
curva da procura. Logo, ao fazer CmgRmg = está a fazer-se CmgP = , que é
também a solução de concorrência perfeita. Esta solução é, tal como em
concorrência perfeita, eficiente; no entanto, contrariamente a esta, não há
excedente do consumidor, o qual é totalmente absorvido pelo monopolista.
b) Um monopolista que maximize o lucro escolherá sempre uma quantidade para
a qual a procura tenha elasticidade unitária.
Se o objectivo do monopolista é a maximização do lucro, ele escolherá uma
quantidade para a qual CmgRmg = . Pense-se na receita marginal como a soma
do ganho na receita resultante das novas vendas e a perda devida a vender a
quantidade anterior ao novo preço que é inferior. Portanto, suponha que o
monopolista pretende aumentar o produto de 0Q para QQ 0 Δ+ . Quando vende
0Q unidades, a sua receita é 00PQ . Para vender mais QΔ , terá de reduzir o
preço para PP0 Δ− , pelo que a sua receita será:
( )( ) QPPQQPQPQQPPRT 000000 ΔΔ−Δ−Δ+=Δ+Δ−=
76
Para calcular a receita marginal é subtrair a receita total inicial e dividir pela
variação do produto:
( )PQ
QP
PQ
QPQPPQQPQPRmg 00
000000 Δ−ΔΔ
−=Δ
−ΔΔ−Δ−Δ+=
Repare-se que:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
ε−=⇔⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ΔΔ
−=⇔ΔΔ
−=⇒→Δ1
1PRMgPQ
QP
1PRMgQQP
PRmg0P 00
0000
Assim, para valores da elasticidade inferiores a 1, a receita marginal virá
negativa. Logo, a empresa monopolista não opera na zona inelástica da curva da
procura. O que não é o mesmo que dizer que escolhe uma quantidade para a qual
a procura tem elasticidade unitária. Portanto, a frase é falsa.
c) Colocar um imposto de quantidade sobre um monopolista causará sempre uma
subida do preço no montante do imposto.
Falso. Considere-se, sem perda de generalidade, um monopolista cujo custo
marginal é constante e que enfrenta uma procura linear. Quando é colocado um
imposto sobre este monopolista, o custo marginal aumenta no montante do
imposto. Consequentemente, a intersecção entre custo marginal e receita
marginal desloca-se para a esquerda, isto é, o preço de equilíbrio aumenta. Mas
como a inclinação da curva da procura é metade da inclinação da curva da receita
marginal, o preço aumenta em metade do montante do imposto. Esta situação
está representada no gráfico abaixo:
Algebricamente,
21
tp
b21
ty
b2tca
ytcby2aCmgRmg =ΔΔ
⇒−=ΔΔ
⇒−−
=⇔+=−⇔=
Cmg+t
Cmg
D Rmg
Y* Y’
t
Δp=t/2