Caderno de atividades -...

Sumário

Apresentação__________________________________________02

Atividade 1: Explorando polígonos regulares inscritos na

circunferência_________________________________________04

Atividade 2: Calculando os comprimentos de algumas

cordas________________________________________________10

As primeiras tabelas de

cordas________________________________________________16

Atividade 3: A transformação da corda em

seno_________________________________________________19

Atividade 4: O radiano como unidade de medida

angular_______________________________________________24

Atividade 5: O seno na circunferência

unitária_______________________________________________28

A consolidação da

trigonometria__________________________________________34

Referências___________________________________________35

T r i g o n o m e t r i a n u m a a b o r d a g e m h i s t ó r i c a P á g i n a | 2

Apresentação

Nas últimas décadas, diversos encontros, seminários e

congressos com educadores matemáticos, foram e estão sendo

realizados com o intuito de se discutir o processo de ensino e de

aprendizagem da Matemática. Nesses momentos, são feitas reflexões,

debates e propostas visando à melhoria no ensino de tal ciência. Uma

das alternativas consideradas atualmente é o ensino de Matemática

através da abordagem histórica. São muitos os pesquisadores em

Educação Matemática que apoiam a História da Matemática como

importante na formação do estudante, em qualquer nível de ensino.

Sobre essa importância, Ferreira (2001, p. 15) argumenta que a

História da Matemática “[...] dá ao aluno a noção exata desta ciência,

como uma ciência em construção, com erros e acertos e sem verdades

universais.” Ou seja, através da História o estudante passa a conhecer

a Matemática como um saber que tem significado dentro de um

contexto e que foi, e está sendo, construído pela necessidade de cada

época.

Considerando esses aspectos e com objetivo de auxiliar

professores de Matemática em exercícios ou em formação,

apresentamos esse caderno de atividades de ensino de trigonometria

numa abordagem histórica. Nele, o desenvolvimento da trigonometria

é configurado através de cinco atividades. Em cada uma dessas

atividades, diversas questões são apresentadas, discutidas e propostas

enfocando conhecimentos algébricos, geométricos e trigonométricos.


Procuramos, na medida do possível, seguir o percurso histórico

da trigonometria na sequência de atividades. Partimos de

conhecimentos geométricos básicos, passando pelas primeiras tabelas

de cordas, da transição para as tabelas de seno e finalizando com as

ideias trigonométricas utilizadas atualmente.

Por fim, esperamos que esse caderno contribua no

desenvolvimento da autoestima, na segurança em sala de aula, na

formação e no aperfeiçoamento de professores de Matemática,

influenciando positivamente o ensino de trigonometria.


Atividade 1

Explorando polígonos regulares inscritos na circunferência

A circunferência é objeto de estudo desde a Antiguidade. Talvez

o geômetra da Antiguidade mais conhecido seja Euclides, a quem se

atribui a obra Os elementos. Supõe-se que Euclides tenha vivido e

trabalhado em Alexandria, no Egito, em torno de 300 a. C., cidade que

foi, por vários séculos, grande centro cultural do Mediterrâneo.

Os elementos se constitui num

tratado de matemática que engloba a

maior parte da matemática conhecida

pelos gregos. Pois bem, a circunferência

já foi um dos objetos matemáticos

estudados por Euclides em Os elementos.

No entanto, mesmo antes de Euclides,

outros geômetras já tiveram a

circunferência como foco de estudo1.

A circunferência é uma figura geométrica muito simples,

definida apenas por um centro e um raio, mas que apresenta

propriedades muito interessantes.

1 Há indícios que os mesopotâmicos e os egípcios antigos já determinavam a área de um

círculo; os mesopotâmicos utilizavam a divisão de uma circunferência em 360 partes iguais;

Tales de Mileto usava o fato de que todo triângulo inscrito num semicírculo é reto; Hipócrates

de Quio utilizava conhecimentos da circunferência na resolução do problema geométrico

conhecido como as lúnulas de Hipócrates e na tentativa da quadratura do círculo. (EVES,

2004).

Legenda:

C – circunferência;

O – centro da circunferência;

R – raio da circunferência.

Figura 1. Circunferência, centro e raio


Além do centro e do raio, seus elementos básicos, podemos

destacar na circunferência outros elementos muito simples que serão

úteis em nosso estudo. São o ângulo central, o arco e a corda indicado

na circunferência da figura 2.

Figura 2. Ângulo central, arco e corda

Vamos trabalhar um pouco mais com o texto anterior. Observe o

mapa da região do Mar Mediterrâneo da figura 3.

Figura 3. Região do Mar Mediterrâneo

Fonte - Google Earth

Legenda:

– ângulo central;

AB – arco;

– corda.


1) Assinale os lugares de que fala o texto.

2) Assinale outros lugares que você sabe que fica nesta região

(mediterrânea).

3) Explique o que o texto quis dizer ao afirmar que uma

circunferência é definida apenas por um centro e um raio.

Agora vamos observar certas propriedades dos elementos da

circunferência. Nas três circunferências da figura 4, verifique (pode

usar régua ou compasso) que o raio é o mesmo.

Figura 4. Circunferências

Depois disso, efetue os seguintes procedimentos:

a) Trace, em cada uma delas, um ângulo central de abertura

distinta.

b) Para cada caso, trace sua respectiva corda.

c) Observe e responda: o que acontece com o tamanho da corda à

medida que o ângulo central cresce?

Pois bem, vamos adiante ao nosso estudo da circunferência.

Certamente você já ouviu falar de polígonos regulares. Sabe também


que podemos inscrever um polígono regular numa circunferência.

Observe o hexágono regular inscrito na circunferência da figura 5.

Figura 5. Hexágono regular inscrito na circunferência.

Utilizando a figura 5, identifique os seguintes elementos

listados na tabela 1:

Nomes dos elementos Identificação

Centro da circunferência

Raio da circunferência

Ângulo central

Lado do polígono

Corda da circunferência

Lado do ângulo central

Tabela 1. Elementos da circunferência e do polígono.


Observe que o mesmo segmento pode ser visto como lado do

polígono regular e como corda do ângulo central, fato que

exploraremos mais tarde. Por enquanto, vamos nos ocupar de medidas

e fazer alguns cálculos. Veja a figura 6.

Figura 6. Pentágono regular inscrito na circunferência

Nela tem-se um pentágono regular inscrito na circunferência.

Unir cada vértice do pentágono ao centro da circunferência e

responda: quanto mede, em graus, cada um dos ângulos centrais desse

polígono?

Faça o mesmo para o octógono regular inscrito na circunferência

da figura 7 e responda: quanto mede, em graus, cada um dos ângulos

centrais desse polígono?


Figura 7. Octógono regular inscrito na circunferência

Agora, numa situação similar, pense em um polígono regular, de

n lados, inscrito em uma circunferência. Quanto mede, em graus, cada

um dos seus ângulos centrais?

Para saber um pouco mais

Conhecimentos geométricos e determinadas técnicas algébricas

são essenciais à construção da trigonometria. Para maior familiaridade

com a geometria básica ao estudo trigonométrico consulte Carvalho

(2005) e Wagner (2007).


Atividade 2 Calculando os comprimentos de algumas cordas.

Pense um pouco sobre a seguinte questão: é possível calcular,

numa circunferência de raio R, o comprimento de uma corda de um

ângulo central de medida ?

Por exemplo, numa circunferência de raio 2, qual seria o

comprimento da corda de um ângulo central que mede 90º?

Vamos calcular a medida da corda de 90º com auxílio da figura

8:

A corda de 90º é o segmento AB.

OA e OB ambos são raios e

medem 2.

O ângulo central AÔB mede 90º.

Aplicamos o Teorema de

Pitágoras:

Figura 8. Corda de 90 √ √ √

Isto quer dizer que a corda de um ângulo central de medida 90º

numa circunferência de raio 2 tem comprimento √ .

Agora responda a seguinte questão: se o raio da circunferência

da figura 8 for R, qual será o comprimento da corda, em função de R,

de um ângulo central que mede 90º?


Dando continuidade ao cálculo do comprimento de algumas

cordas, resolva os seguintes desafios:

Desafio 1

Desafio 2

Determine o comprimento da corda de 180º em

função do raio da circunferência.

Figura 9. Corda de 180º





Agora pense sobre como você calcularia o comprimento da

corda de 120º. Para auxiliá-lo observe a figura 11.


Vamos discutir sobre como calcular o comprimento da corda de

120º. Acompanhe, com auxílio da figura 11, os seguintes

procedimentos:

O ângulo BÔF mede 60º, pois é o suplemento de 120º.

O triângulo BOF é isósceles, pois OF e OB são raios da

circunferência.

Os ângulos O F e O B são congruentes.

O triângulo BOF é eqüilátero.

O segmento FB tem a mesma medida do raio da circunferência.

O triângulo ABF é retângulo, pois é diâmetro da

circunferência.

Pelo Teorema de Pitágoras:

√ √ √


Isto significa que a corda de um ângulo central de medida 120º

numa circunferência de raio R tem comprimento √ .

Para expandir seus conhecimentos, responda a seguinte questão:

além dos procedimentos aqui apresentados para o cálculo do

comprimento da corda de 120º, pode-se determiná-lo por outros meios

algébricos e geométricos. Quais seriam os procedimentos para esse tal

fim?

Para finalizar essa etapa do cálculo de algumas cordas tente

resolver o seguinte desafio:

Desafio 3

Caso você não tenha conseguido resolver a questão proposta no

desafio 3, não desanime. Ela pode ser uma tarefa bem difícil. O

cálculo do comprimento da corda de 72º exige maturidade em alguns

procedimentos relativos às construções geométricas e, em especial, na





construção do pentágono regular inscrito numa circunferência. Para

auxiliar na tarefa de calcular a corda de 72º, observe a figura 13.

Figura 13. Pentágono regular inscrito na circunferência

Nela, F é o ponto médio do segmento OH, os segmentos AF e

FG são congruentes e os segmentos AG e AB também são

congruentes. Esses dados fazem parte dos procedimentos geométricos

para construção do pentágono regular inscrito numa circunferência e

são determinantes no cálculo da corda de 72º.

Dando prosseguimento ao nosso trabalho, retomemos a questão

inicial dessa atividade: é possível calcular, numa circunferência de

raio R, o comprimento de uma corda de um ângulo central de medida

?


No decorrer dessa atividade percebemos que sim, pelo menos

para algumas cordas. Aproveitando o momento, complete a tabela 2

com os comprimentos das cordas dos respectivos ângulos centrais, em

função do raio da circunferência, calculados anteriormente.

θ crd θ

90º

180º

60º

120º

72º

Legenda: – ângulo central; crd –

corda subtendida pelo ângulo . R – raio

da circunferência.

Tabela 2. Comprimento de algumas cordas

Conforme a tabela 2, a associação de valores numéricos (ou

aproximações) às cordas de uma circunferência é possível. Essa

tabulação – função corda – era um instrumento básico para os estudos

astronômicos da Antiguidade.


Há mais de dois mil anos, os gregos buscavam resolver

problemas ligados à astronomia utilizando métodos geométricos. A

trigonometria não tinha surgido ainda e a primeira tabela de cordas de

que se tem notícia (embora a própria tabela não tenha chegado até

nós) foi elaborada no séc. II a. C. por Hiparco de Nicéia. (BOYER,

1996).

Com base na tabela de Hiparco,

o astrônomo Claudio Ptolomeu que

viveu e trabalhou em Alexandria

(Egito) no séc. II d.C., elaborou uma

tabela de cordas mais minuciosa do

que a de Hiparco. A tabela de

Ptolomeu foi elaborada para ser parte

integrante do Almagesto2, tratado que

foi usado como manual de astronomia

até o advento da teoria heliocêntrica.

Na construção dessa tabela

Ptolomeu tomou uma circunferência e

relacionou cada ângulo central ao

comprimento da corda deste mesmo

ângulo. Utilizou o raio da circunferência valendo 60 unidades e,

2 O Almagesto (Syntaxis mathematica) é um tratado de astronomia. Descreve os céus, isto

é, o movimento dos astros Sol, Lua, Mercúrio, Vênus, Marte, Júpiter e Saturno sobre o fundo

das estrelas visíveis a olho nu. O ponto de vista do Almagesto é geocêntrico e ele foi usado

como livro texto de astronomia por muitos séculos até que a visão heliocêntrica sobrepujou a

visão geocêntrica. (MOREY; FARIA, 2009).

Legenda:

d – corda;

r – raio da circunferência;

α – ângulo central.

Figura 14. Corda de uma

circunferência

Fonte: Maor (1998, p. 26)

As primeiras tabelas de cordas


utilizando geometria euclidiana, calculou os comprimentos das cordas

para arcos (ou ângulos centrais) de 0º a 180º, variando de meio em

meio grau. A figura 14 retrata a corda subtendendo um ângulo central

em uma circunferência.

Ptolomeu construiu sua tabela de cordas utilizando o sistema de

numeração sexagesimal babilônico, pois o sistema de base 60, naquele

momento, era adequado ao tratamento das frações3.

Na figura 15 está parte da tabela de cordas de Ptolomeu. As três

primeiras colunas estão escritas em grego e as três seguintes em

inglês.

Figura 15. Parte da tabela de cordas do Almagesto.

Fonte - Maor (1998, p. 27).

3 O sistema decimal ainda não era conhecido na época de Ptolomeu.


Vamos ler a quarta linha da tabela de cordas. O comprimento da

corda de 2º está escrito na forma2; 5, 40, em notação sexagesimal. No

sistema decimal esse número é representado por 2 +

+

,

aproximadamente, 2,09444. A coluna denominada de sixtieths

(sessenta avos de grau) é utilizada para interpolações, ou seja, para

determinar, por aproximação, a corda de um ângulo (arco) entre dois

valores consecutivos da coluna de arcos.

Ptolomeu calculou comprimentos de corda inscrevendo

polígonos regulares de 3, 4, 5, 6 e 10 lados num círculo. Isso lhe

possibilitou encontrar a corda subtendida por ângulos de 36o, 60

o, 72

o,

90o e 120

o. Usando a geometria da época, descobriu então, um método

para encontrar a corda subtendida pela metade do arco de uma corda

conhecida. Desenvolveu técnicas geométricas que juntamente com

técnicas de interpolação, permitiu-lhe calcular cordas com um bom

grau de precisão (BRUMMELEN, 2009).


Atividade 3 A transformação da corda em seno.

Na atividade anterior você calculou o comprimento de algumas

cordas especiais. Estas cordas são lados de polígonos regulares

inscritos numa circunferência. Também construiu uma pequena tabela

de cordas baseada no Almagesto de Ptolomeu.

Durante vários séculos, os cálculos nas observações

astronômicas dependiam da tabela de cordas de Ptolomeu. Com o

texto denominado Surya Siddhanta (Sistema do Sol), os astrônomos

hindus abriram novas perspectivas para a trigonometria por não seguir

o mesmo caminho de Ptolomeu. Enquanto na astronomia grega se

usava tábua de cordas, no Surya a correspondência se dava entre a

metade da corda e a metade do ângulo central correspondente. Na

figura 16 está representada a meia corda hindu chamada jya. (MAOR,

1998).

Figura 16. Meia corda hindu.


A palavra jya é uma das várias grafias para a palavra “corda” em

hindu. Posteriormente os árabes a transliteraram para jyb, que depois

foi incorretamente lida como jayb (seio), pelo tradutor Gerardo de

Cremona (c. 1150). Traduzindo do árabe para o latim, ele usou o

equivalente latino sinus, o que hoje usamos como seno. (KENNEDY,

1992).

Nesse momento, vamos nos deter a relação entre seno e

comprimento da corda de um mesmo ângulo. Observe figura 17.

Figura 17. Relação entre corda e seno

Nela, tem-se que:

Com essa relação é possível construir uma tabela trigonométrica

de senos partindo de uma tabela de cordas geométricas.

Legenda:

/2 – metade do ângulo central AÔB;

R – raio da circunferência;

– corda;

M – meia corda.

sen(

)=

=

=

=


Você compreendeu todo processo de transformação do cálculo

do comprimento das cordas até se chegar ao valor do seno?

Veja o seguinte exemplo para a determinação do seno de 30º.

Nesse caso, o ângulo central tem abertura de 60º e, de acordo com a

tabela 2, a corda de 60º tem comprimento R. Então,

sen 30o = sen(

)=

Ou seja, o seno de 30º é

. Para auxiliar nas suas reflexões, tente

resolver o desafio seguinte.

Desafio 4

Com os valores obtidos na tabela 2 da atividade 2, com a relação

entre corda e seno apresentada anteriormente e com uma calculadora

científica complete a tabela 3.

Tabela 3 - Relação entre corda e seno

θ crd θ sen(

) sen(

)

(calculadora)

60º

72º

90º

120º

180º

Legenda:


– metade do ângulo central;

crd – corda do ângulo central;

sen

– seno da metade do ângulo

central;

R – raio da circunferência.


Pense um pouco a respeito dos valores determinados para o seno

de cada valor . Compare com o valor do seno obtido utilizando

calculadora. O que você percebeu?

Continuando a nossa jornada chegamos à Europa. Aqui vários

estudiosos se dedicaram à construção de tabelas de senos, dentre eles,

Nicolau Copérnico. A teoria heliocêntrica do universo, proposta por

Copérnico, substituiu a teoria geocêntrica defendida por Ptolomeu.

Copérnico apresentou uma tabela de semicordas (senos)

subtendendo arcos duplos. Tomou o comprimento do raio da

circunferência como R = 100000 fazendo com que os valores das

semicordas fossem números inteiros. (MOREY; FARIA, 2009).

A figura 18 (na página seguinte) apresenta parte dos valores

calculados por Copérnico para arcos de 0º a 12º com intervalo de 10

em 10 minutos.

Copérnico construiu a tabela de senos utilizando a geometria

euclidiana assim como Ptolomeu na sua tabela de cordas.

Provavelmente, o triunfo do sistema heliocêntrico sobre o geocêntrico

e a precisão dos cálculos de Copérnico contribuíram para que sua

tabela passasse a ser um modelo para a astronomia substituindo a de

Ptolomeu.


Figura 18. Parte da tabela de semicordas de Copérnico

Fonte - Copernicus (1543, p. 15).


A construção de tabelas de cordas, as precursoras das tabelas

trigonométricas, movimentou diversos povos em diferentes épocas da

história da humanidade. Para maiores informações sobre essas tabelas

consulte Maor (1998), Morey (2001) e Brummelen (2009).


Atividade 4 O radiano como unidade de medida angular

Você já se perguntou sobre o que a geometria e a trigonometria

têm em comum? Essa é uma pergunta que, provavelmente, alguns

professores de matemática nunca se fizeram. Para essa etapa do nosso

estudo, vamos utilizar um dos entes matemáticos comuns à geometria

e trigonometria: o ângulo (arco). Para os nossos fins vamos nos

concentrar na unidade de medida angular denominada de radiano.

Porém, a unidade de medida angular mais conhecida, sem

dúvida, é o grau. O sistema sexagesimal, que tem o grau por unidade

de medida, é conhecido desde os tempos dos babilônicos, por volta de

5 000 anos atrás. Um exemplo desse sistema utilizado nos dias atuais

é a divisão em horas, minutos e segundos para contagem de tempo.

O grau reinava absoluto como unidade de medida angular até

boa parte do séc. XIX. Para Kennedy (1992) foi no período de 1870 a

1890 que matemáticos e físicos independentemente consideraram a

necessidade de uma nova medida angular. Os termos radial, -medida,

circular ou medida arcual precederam a denominação utilizada hoje, o

radiano. Provavelmente essa nova medida angular surgiu pela

necessidade de se expressar ângulos em termos de para

simplificações de fórmulas trigonométricas e em estudos da Física.

Agora, você vai trabalhar um pouco no sentido de compreender

o que venha a ser um radiano. Observe a circunferência de raio 3 da

figura 19.


Figura 19. Circunferência de raio 3

Tente responder as seguintes questões com base nos dados da

figura 18:

a) Utilizando barbante e régua, quanto mede, aproximadamente, o

comprimento dessa circunferência?

b) Quanto mede o comprimento de um arco de 180º? E de 90º? E

de 60º?

Em breve retomaremos essas questões. Por enquanto, analise a

seguinte afirmação: um radiano é a abertura do ângulo central de uma

circunferência correspondente a um arco cujo comprimento é igual ao

raio dessa mesma circunferência (figura 20).


Figura 20. Um radiano

Para melhor compreensão do que venha a ser um radiano

observe a figura 21:

Figura 21. Ângulos centrais de 60º e 1rad

Fonte: Loureiro et al. (1997, p. 88).

Nela estão uma corda de 60º (circunferência à esquerda) e o

ângulo central de um radiano (circunferência à direita). Observe que o

arco de um radiano tem o mesmo comprimento da corda de 60°. A

comparação entre o valor da corda de 60º e o comprimento do arco de

um radiano permite uma boa estimativa do valor de um radiano em


relação ao grau. Reflita um pouco sobre essa estimativa. E utilizando

argumentos geométricos, procure responder a seguinte questão: qual o

ângulo central tem a maior abertura: 60º ou um radiano?

Uma forma algébrica de justificar a resposta da questão anterior

é utilizar a expressão 2R para se determinar o comprimento de uma

circunferência de raio R. Com ela, o comprimento de um arco de 180°

é R. Com base nesse argumento responda o seguinte desafio.

Desafio 5


Recomendamos a leitura de Kennedy (1992) e Loureiro et al

(1997) para maiores informações sobre o radiano como medida

angular.

Um ângulo de um radiano mede quantos graus?


Atividade 5 O seno na circunferência unitária.

Até o momento, você viu que o seno se originou da meia-corda

hindu, que por sua vez, veio da corda grega. As tabelas de senos

hindus apresentavam diferentes valores para o seno de um mesmo

arco. Essa diferença era ocasionada pelas medidas distintas adotadas

para o raio da circunferência pelos distintos matemáticos.

O estudo do seno através da circunferência unitária (ciclo

trigonométrico) foi introduzido muitos séculos depois das primeiras

tabelas de cordas e de seno, pois utiliza conceitos criados com o início

da Idade Moderna. O seno tomou a forma como conhecida hoje com

o matemático Leonard Euler. Para ele, o seno deixou de ser um

segmento de reta e passou a ser a ordenada de um ponto na

circunferência de raio unitário (Veja figura 22 na página seguinte).

(WHITE, 2007).

Atente para o fato que a circunferência de raio unitário tem suas

conveniências na sistematização da trigonometria. Nela, o

comprimento de um arco de um radiano mede exatamente uma

unidade. Com isso, definiu-se a função fundamental no estudo das

funções trigonométricas modernas, a função de Euler4.

4 Essa função associa a cada número um ponto de uma circunferência de raio unitário

centrada na origem do plano cartesiano. O número zero corresponde ao ponto (1; 0).

Grosseiramente falando, a função de Euler consiste em envolver a reta dos números reais,

como se fosse um fio inextensível, sobre a circunferência unitária. (LIMA et al.,1998)


Na circunferência trigonométrica, a origem dos arcos está no

ponto de coordenadas (1; 0). Os valores positivos estão no sentido

anti-horário da circunferência e os negativos no sentido horário.

Figura 22. Seno na circunferência de raio unitário

Veja a circunferência unitária da figura 23 dividida em intervalos

de arcos com comprimento de

.

Legenda:

OB – raio unitário;

A – ponto (1; 0);


ON – seno de .


Figura 23. Circunferência trigonométrica

Em cada ponto da circunferência trigonométrica está indicado o

valor de sua ordenada. Com isso e a notação para o seno adotada por

Euler, pode-se dizer que o seno de

é 0,259 e que o seno de

é

– 0,5.

Pois bem! Agora tente completar a tabela 6 com os valores do

seno em função dos valores de , observando a circunferência

trigonométrica da figura 23. Para melhor compreensão, veja que

alguns valores do seno de já são mostrados como exemplo.


θ sen θ θ sen θ θ sen θ θ sen θ

0,259

- 0,866

- 0,707

0,5

Tabela 4. Parte de uma tabela de senos.

Uma vez preenchida a tabela 4, provavelmente, você agora

consegue determinar o seno de outros números. Tente resolver o

seguinte desafio.

Desafio 6

Preencha a tabela 5 com os valores do seno em função dos

valores de :

θ sen θ

0

Tabela 5. Complemento da tabela de senos


Agora vamos construir o gráfico da função seno de θ utilizando

o painel da figura 24. De início marque, no quadriculado seguinte,

todos os pontos de coordenadas (θ; sen θ) obtidos através das tabelas

4 e 5.

Figura 24. Painel com eixos cartesianos

Prossiga ajustando uma curva conveniente que contenha todos os

pontos marcados no quadriculado do painel anterior.

Feito isso, observe que a curva ajustada para o seno de na

figura 24 é crescente para os valores de entre 0 e

e decrescente

entre

e . Determine outro intervalo com valores de onde a curva

seno de é crescente e outro onde é decrescente.

Ainda de acordo com a curva da figura 24, responda qual o valor

máximo possível para o seno de ? E qual o mínimo?


Voltemos um pouco à circunferência trigonométrica da figura 23

e a tabela 4. Nelas estão alguns valores para o seno de ( entre 0 e

2 . Qual seria o seu procedimento para determinar o valor do seno de

um número maior que 2 Por exemplo, como você determinaria o

seno de

?

Para finalizar essa atividade, resolva os seguintes desafios:

Desafio 7

Desafio 8


Sobre vida e obra de Leonard Euler aconselhamos a leitura de

Bradley e Sandifer (2007). Já para conhecer melhor a função de Euler

recomendamos consulta a Lima et al (1998, p. 217-223).

Uma função f é dita periódica se existir um número p tal que

f(θ) = f(θ + p), para todo . Com base nessa afirmação, o seno

de é uma função periódica? Que argumentos abordados nessa

atividade sustentam sua resposta?

Determine todos os números que satisfaçam a

equação sen = 0,866.


Assim como os gregos, os astrônomos hindus também desenvolveram um

sistema trigonométrico. Sua trigonometria era baseada no seno (meia corda)

diferente da dos gregos que utilizava a corda como referência. No entanto, o

seno para os hindus não era uma proporção como utilizamos atualmente. Para

eles, o seno era o comprimento do lado oposto a um ângulo em um triângulo

retângulo de hipotenusa conhecida. Com as diferentes medidas adotadas para

essa hipotenusa, as tabelas trigonométricas dos hindus tinham diferentes valores

para o seno de um mesmo arco. (BRUMMELEN, 2009).

Na Europa, os trabalhos astronômicos estavam voltados para o

desenvolvimento de tabelas trigonométricas mais precisas e novos instrumentos

de observação. Nessa época diversas tabelas de senos são apresentadas. Entre

elas, merecem destaque as de George Peurbach, Johann Müller

(Regiomontanus), Nicolau Copérnico e Georg Rheticus. Sobre a tabela de senos

de Rheticus,Eves (2004, p. 313) afirma que é“[...] uma notável tabela de senos

úteis hoje, com 15 casas, para intervalos de 10” de arco.”

No século XVII, com o surgimento do Cálculo Infinitesimal, a

trigonometria se consolida como campo de estudo independente da astronomia.

Porém, somente no século XVIII, com o matemático Leonard Euler, que a

trigonometria tomou a forma conhecida modernamente. Euler adotou a

circunferência de raio unitário e definiu funções aplicadas a um número e não a

um arco, como até então. Ele mostrou que as propriedades básicas da

trigonometria eram recorrentes da aritmética dos números complexos. Com isso,

o estudo das funções trigonométricas foi incorporado à Análise Matemática.

(BOYER, 1996).

Sobre o seno, oyer (1996, p. 306) afirma que para Euler “[...] já não era

um segmento de reta; era simplesmente um número ou uma razão – a ordenada

de um ponto sobre um círculo unitário”.

A consolidação da trigonometria


Referências

BOYER, C. B. História da matemática. São Paulo: Edgard Blücher,

1996. Tradução Elza F. Gomide.

BRADLEY, R. E; SANDIFER, C. E. Leonhard Euler: life, work and

legacy. Amsterdam: Elsevier, 2007.

BRUMMELEN, Glen van. The mathematics of the heavens and the

earth: the early of trigonometry. Princeton: Princeton University

Press, 2009.

CARVALHO, Benjamin de Araújo. Desenho geométrico. Rio de

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