1. A funo escolhida a seguinte:

Obs.: A funo escolhida foi retirada de um PDF encontrado no site.Fonte: www.stamford.pro.br/ARQUIVOS/2002_2Listanive.doc1.1.1 Determinar os pontos crticos, e mostrar numa figura as curvas de nveis os pontos crticos, classifique a natureza deles pelo desenho:1.2.1 Resoluo: os pontos crticos de f so aquelas que anulam o seu gradiente, isto ,

= =

2 (passo) Resoluo do sistema:

Resolvendo a equao = 0 temos que e

Agora resolvendo a equao temos que e

e A soluo do sistema o conjunto S: {(2,0), (4,0), (2,6) e (4,6)} Para P1 = (2,0), temos: = = (0,0) portanto P1 = (2,0) um ponto critico. Para P2 = (4,0), temos:== = (24-24,0) =(0,0)Como o logo P2 = (4,0) um ponto critico. Para P3 = (2,6),temos:== =(12-12, 36-36)=(0,0)Como , logo P2 = (2,6) um ponto critico. Para P4=(4,6), temos:== =(24-24 , 36-36 ) = (0,0)gComo , logo P4=(4,6) um ponto critico.

1.2.1 concluso: todos os pares ordenados do conjunto S, soluo do sistema. So pontos crticos da funo estudado.1.2.2 valor numrico ou valor crtico.Vamos calcular o valor numrico de cada ponto critico:

= = = = 1.2.3 curvas de nveisClassificao dos pontos (natureza dos pontos) P1=(2,0) ponto de mximo local. P2=(4,0) ponto de sela. P3=(2,6) ponto de sela. P4=(4,6) ponto de mnimo local.

1.2.4 campo direcional ou de vetores gradientes

1.2.5 soluo analticaAnaliticamente, tambm podemos classifica a natureza dos pontos crticos de uma funo de varias variveis, em pontos de mnimo e mximo (local ou global) ou de sela, estudando o comportamento da matriz hessiana.1.2.5.1 definioO ponto P1, para i = 1,2,3,....,K tal que Ou = denominado o ponto critico de f, a imagem do ponto critico denominado de valor critico. Um ponto dito ponto regular se no for critico. O valor no critico e denominado de valor regular. O valor regular requer cuidado. Um valor C regular se ( C ) = , no contem pontos crticos P tal que . Portanto, para ser um valor regular, no basta que seja imagem do ponto regular. Seja , um j-esimo ponto critico do tipo:

Quando a matriz hessiana for matriz singular (Det Hess (, dizemos que o ponto critico degenerativo.1.2.6 a matriz Hessiana A matriz hessiana foi desenvolvida no sculo XIX pelo alemo Ludwig Otto Hess, razo porque mais tarde James Jereph Sylvester lhe deu este nome. O prprio hesse, ao contrario usava o termo determinante funcionais.(http//pt,wikipedia.org/wiki/hessiana) A matriz hessiana de uma funo com duas variveis independente e definida por: Hess = = = = =

= = = =

= = = ( = = = = = = 0 = = = = 0Portanto, a matriz hessiana Hess = 1.2.7 a funo hessiana A funo hessiana, o determinante da matriz hessiana. Deste modo, tem-se:

Para P1 (2,0), temos:A matriz hessiana no ponto P1 : Hess = =

Para P2 (4, 0), temos: A matriz hessiana no ponto P2 : Hess = = Para P3 = (2,6), temos:Hess = = Para P4 = (4,6), temos:Hess = = 1.2.8 determinante dos menores principaisPara enunciar o teorema de classificao dos pontos crticos, precisamos definir o determinante dos menores principais, a seguir:1.2.8.1 definio : o determinante do menor principal de : A = de ordem e definido como = (A) = que o determinante do bloco de tamanho x localizada na posio superior esquerda de A.No curso de Hess . Ser continua em P, a matriz hessiana simtrica e podemos mostrar que:1.2.8.2 teorema: seja um ponto critico no degenerado da funo: )) = e det Hess ) 0, com todas derivadas parciais de segunda ordem continuas, ento: 1 - ( Hess ) > 0 para todo (todos os so estritamente positivo). Se, e somente se , ponto de mnimo local estrito (funo cresce em todas as direes). 2- ( Hess ) > 0 para todo ( sinal de alternado, comeando o do negativo), se , e somente se, e ponto de mximo local estrito ( funo decresce em cada direes). 3- se no ocorre nenhum dos casos anteriores. Ento ponto de sela. ( tem direo em funo decresce). Com base no teorema anterior, vemos classificar, a natureza dos pontos crticos da funo.

Para P1 (2,0), temos: a matriz hessiana no ponto P1 :Hess = Hess = = O determinante de menor principal de ordem 1: O determinante do menor principal de ordem 2.

Como e , logo em P1 tem-se um ponto de mximo local estrito.

Para P2(4, 0), temos:A matriz hessiana no ponto P2 :Hess = Hess = = O determinante de menor principal de ordem 1. O determinante do menor principal de ordem 2. Como e , logo o ponto P2 enquadra-se no caso 3 ( ponto de sela). Para P3 = (2,6), temos:Hess = Hess = = O determinante de menor principal de ordem 1. O determinante do menor principal de ordem 2. Como e ento temos o caso 3 (ponto de sela). Para P4 = (4,6) temos:Hess = Hess = = O determinante de menor principal de ordem 1. O determinante do menor principal de ordem 2. Como e >0, logo em P4 temos um ponto de mnimo local estrito.

Pontos crticosNatureza

P1Ponto de mximo local

P2Ponto de sela

P3Ponto de sela

P4Ponto de mnimo local

1.2.9 funes de duas variveisNo caso de classificao de pontos crticos no degenerados da funo real de duas variveis a expresso de relativamente simples. Por exemplo: o critrio para mnimo local restrito ficaria,= > 0 e = = = A notao do Stewart. (7 edio. P: 851. Vol.2.), a seguinte: ; = > 0Analogamente, o ponto de mximo local restrito.(-1) >0, torna , tem segunda derivada parciais continuas e um ponto critico, ento:Se > 0 e > 0 implica que um ponto mnimo local estrito. < 0, implica que um ponto de mximo local restrito. = 0, implica que um ponto de sela. Se < 0, ento um ponto de sela. No caso do ponto crtico, ser degenerado) = 0), nada pode ser afirmado. Esta uma das verses que mais aparece nos livros de clculo, mas no h anloga para o caso do pois, torna mais complexa e no consegue explicitar as condies em poucas palavras.OBS: a tcnica mais rpida e simples para determinar se so todas positivas. No caso da matriz simtrica de dimenso maior que 3 aplicar o mtodo de composio de CHOLESKY.1.2.10 teste da segunda derivada (Stewart, 2011, P.878). Para o ponto P1 = (2,0), tem-se: Hess =

Hess = = D, como D = (2,0) = 12 > 0 e() = , no ponto (2,0)= ; logo P1 temos um ponto de mximo local estrito . Para o ponto P2 = (4,0), tem-se: Hess = Hess = = D, como D = (4,0) = -12 < 0 e() = , no ponto (4,0)= ; logo P2 temos um ponto de sela. Para o ponto P3 = (2,6), tem-se; Hess = Hess = = D, como D = (2,6) = -12< 0 e() = , no ponto (2,6)= -2 < 0; logo P3 temos um ponto de sela. Para o ponto P4 =(4,6) Hess = Hess = = D, como D = (4,6) = 12 > 0 e() = , no ponto (4,6)= 2 > 0; logo P4 temos um ponto de mnimo local estrito.

1.2 Determinar o polinmio de Taylor em cada ponto crtico encontrado, plotar o grfico da funo e do polinmio de Taylor: P(,) = ) + ) No ponto critico P1= (2,0), o polinmio de Taylor : P (,) = ) + )

1.3 Mximo e mnimos condicionados- multiplicadores de lagrange Considere os seguintes problemas:1) Maximizar = 4 x-y

2) Maximizar = 4 x-y sujeito a:

O problema (1) um problema de otimizao irrestrita (sem restrio), por outo lado o problema (2), temos a presena de uma restrio. No ultimo problema, estamos diante e uma problema de otimizao restrita, onde queremos encontrar o maior valor da funo num subconjunto de seu domnio, nesse caso, o subconjunto do plano xy, dado pela reta .nesse contexto, a soluo do problema (1) chamada um ponto de mximo livre ou no-condicionado de f. a soluo do problema (2) dita um ponto de mximo condicionado de f.Notas:1) Se a funo =), conhecida como funo objetiva (funo que se quer maximizar ou minimizar) e a restrio forem linear, teremos problemas de programao linear.2) De forma geral, problemas de otimizao restrita podem ser muito complexo, no havendo um mtodo geral para encontrar a soluo de todas as classes de problemas. Em algumas situaes simples, podemos resolv-los, explicitado uma varivel em funo das outras, na restrio.1.3.1 O Mtodo Dos Multiplicadores De Lagrange. O mtodo dos multiplicadores de lagrange permite analisar situaes mais gerais. Atravs desse mtodo, um problema de otimizao restrita com n variveis e m restries de igualdade transformado num problema de otimizao com (n+m) variveis.Notas: esse mtodo aplicvel tambm a funes no lineares.Problemas envolvendo funes de duas variveis e uma restrio.Consideremos o seguinte problema: Usando as propriedades do vetor gradiente, vamos obter uma visualizao geomtrica de mtodos de lagrange, que nos permite determinar os candidatos a pontos mximos ou mnimo condicionado de f.Teorema: seja diferencivel num conjunto aberto U. seja uma funo com derivadas parciais continuas em U tal que para todo , onde .Uma condio necessria para que ) seja extremante de em que: ,)), para algum numero real .Assim, podemos dizer que os pontos de mximo e mnimo condicionados de devem satisfazer as equaes: . e para algum numero real .O numero real que torna compatvel o sistema chamado multiplicadores de lagrange.O mtodo proposto por lagrange consiste, simplesmente, em definir a funo de trs variveis:

E observar que o sistema (1) equivalente equao:

Assim, os candidatos e extremante locais de sobre so pesquisados entre os pontos crticos de . Os valores mximo ou mnimo de sobre coincidem com os valores mximo ou mnimo livres de .Exemplo

SOLUO: para resolver esse problema pelo mtodo de lagrange, como apresentado, devemos escrever a restrio na forma .A funo lagrangeana dado por: =.Derivando em relao s trs variveis temos: ; Igualando essas derivadas a zero, obtemos o sistema de equaes: Assim, o ponto extremante (1,1) e substituindo na funo objetivo vemos claramente que ponto de mximo condicionado. Fazendo o teste da vizinhana do ponto: 4-1-1 = 4-2 = 2: = : . Portanto (1,1) ponto de mximo.Visualizao grfica, usando o software geogebra: