Bruno Assunção Cardador - ULisboa · Estudo do campo elétrico em linhas aéreas em feixe e em...
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Estudo do campo elétrico em linhas aéreas em feixe e em cabos entrançados Bruno Assunção Cardador Dissertao para obteno do Grau de Mestre em Mestrado Integrado em Engenharia Eletrotécnica e de Computadores Orientadores: Professor Vítor Manuel de Oliveira Maló Machado Professora Maria Eduarda Pinto de Almeida Pedro Júri Presidente: Professor Rui Manuel Gameiro de Castro Orientador: Professor Vítor Manuel de Oliveira Maló Machado Vogal: Professora Maria Teresa Nunes Padilha de Castro Correia de Barros Novembro 2015
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Estudo do campo elétrico em linhas aéreas em feixe e em
cabos entrançados
Bruno Assunção Cardador
Dissertacao para obtencao do Grau de Mestre em
Mestrado Integrado em Engenharia Eletrotécnica e de
Computadores
Orientadores: Professor Vítor Manuel de Oliveira Maló Machado
Professora Maria Eduarda Pinto de Almeida Pedro
Júri
Presidente: Professor Rui Manuel Gameiro de Castro
Orientador: Professor Vítor Manuel de Oliveira Maló Machado
Vogal: Professora Maria Teresa Nunes Padilha de Castro Correia de Barros
Novembro 2015
ii
Agradecimentos
Em primeiro lugar ao Professor Vitor Maló Machado e à Professora Maria Eduarda Pedro pela
oportunidade de realizar esta dissertação de mestrado. Agradecer pela permanente
disponibilidade, dedicação e orientação.
Aos meus pais, António Francisco e Olga Cardador, ao meu irmão Miguel Cardador, aos meus
avós Eliziário Ascenção, Maria Lapa e Zulmira Cardador e à minha tia Augusta Francisco, pelo
total apoio ao longo de todo o meu percurso académico.
À minha namorada Mariana Araújo por toda a ajuda disponibilizada, compreensão e otimismo.
Finalmente gostaria de agradecer ao meu grupo de amigos que sempre me apoiou durante o
meu percurso académico nomeadamente, Ricardo Valente, André Corredoura, Tomy Mendes,
Filipe Martins e Paulo Cordovil.
A todos eles o meu muito obrigado.
iii
Resumo
A energia elétrica é um bem essencial para o conforto e comodidade das populações, assim
torna-se necessário preservar e manter as estruturas que permitam a produção da energia
elétrica, o seu transporte e o consumo. O transporte da energia elétrica ė feito através de linhas
de transmissão, preferencialmente linhas aéreas. No dimensionamento das linhas de transporte
de energia em muito alta tensão é essencial conhecer o valor máximo do campo elétrico por este
condicionar o conhecido efeito de coroa. Para que o campo elétrico máximo se encontre dentro
dos limites aceitáveis são correntemente utilizados condutores em feixe.
Este trabalho consistiu no cálculo do campo elétrico à superfície dos condutores em feixe e
entrançados. Foi também estudado a adoção de um condutor cilíndrico equivalente sobre o ponto
de vista do potencial do campo elétrico tendo-se recorrido para isso ao conceito do raio médio
geométrico. Para o cálculo do campo elétrico à superfície dos condutores e do raio do referido
condutor equivalente foi usado o método dos multipólos. Os resultados foram comparados com
os obtidos através de expressões aproximadas apresentadas na literatura.
Os resultados obtidos relativamente ao campo elétrico à superfície dos condutores e do raio
do condutor equivalente para o potencial, tiveram em consideração a variação da dimensão
relativa do raio dos subcondutores e o número de subcondutores, que determinam o efeito de
proximidade entres os mesmos.
Tal como esperado foi possível verificar que existe um desvio nos valores do campo elétrico
à superfície dos condutores e do raio do condutor equivalente para o potencial, quando
calculados pelo método dos multipólos ou pelas expressões aproximadas.
Palavras chave: campo elétrico, raio médio geométrico, condutores em feixe, condutores
entrançados.
iv
Abstract
Electricity is an essential commodity for the comfort and convenience of population. Therefore
it is necessary to preserve and maintain structures that allow the electric power generation,
transmission and consumption. For the power transmission, overhead power lines are commonly
used. When sizing very high voltage transmission lines it is essential to know the maximum value
of the electric field at the conductors surface, to prevent the corona effect. To limit this maximum
electrical field bundle conductors are currently used.
This article reports the study of the electric field of bundle and stranded conductors in overhead
transmission lines. The multipole method is applied for the accounting of the proximity effect.
Results are obtained regarding the electric field on the conductor surfaces and the radius of the
equivalent conductor concerning the electric potential point of view. Results are compared with
usual approximate expressions in the literature, including comparison with the well-known
equivalent geometric mean radius (G.M.R.). Results took into consideration the sub-conductor
radius, the number of sub-conductors per phase as well as the proximity effect between them.
As expected, it was possible to verify that there is a deviation in the results of both the electric
field at the conductor surfaces and the equivalent conductor radius when calculated by the
multipole method and by the approximate expressions. Results show that these deviations tend
to increase when the proximity effect is made worse.
Keywords: electric field, geometric mean radius, bundle conductors, stranded conductors.
v
Índice
Agradecimentos.............................................................................................................................. ii
Resumo ......................................................................................................................................... iii
Abstract ......................................................................................................................................... iv
Capítulo 1 ...................................................................................................................................... 1
Introdução ................................................................................................................................... 1
1.1 Enquadramento e objetivos ............................................................................................. 3
1.2 Organização do texto ....................................................................................................... 3
1.3 Notação ............................................................................................................................ 3
1.4 Campo elétrico nas linhas de transmissão ...................................................................... 3
Capítulo 2 ...................................................................................................................................... 9
Campo elétrico de sistemas de condutores cilíndricos em proximidade .................................. 9
2.1 Potencial escalar do campo elétrico de sistemas de condutores cilíndricos em
proximidade .......................................................................................................................... 10
2.1.1 Solução para problemas 2D em coordenadas cilíndricas ....................................... 11
2.1.2 Condições de fronteira ............................................................................................ 17
2.2 Intensidade do campo elétrico à superfície dos condutores .......................................... 20
Capítulo 3 .................................................................................................................................... 23
Resultados numéricos ............................................................................................................. 23
3.1 Validação do algoritmo................................................................................................... 24
3.1.1 Solução do potencial para cabos entrançados ....................................................... 24
3.1.2 Capacidade de uma linha bifilar .............................................................................. 26
3.2 Resultados numéricos para sistemas de condutores cilíndricos em feixe e entrançados
............................................................................................................................................. 27
3.2.1 Intensidade do campo elétrico à superfície de um subcondutor de um cabo
entrançado ........................................................................................................................ 27
3.2.2 Intensidade do campo elétrico máximo em condutores em feixe ........................... 29
3.2.3 Distribuição do campo elétrico ao longo da periferia de um subcondutor de um feixe
.......................................................................................................................................... 33
3.2.4 Raio equivalente para o potencial de um sistema de condutores em feixe ............ 34
Capítulo 4 .................................................................................................................................... 39
Conclusões .............................................................................................................................. 39
vi
Referências Bibliográficas ........................................................................................................... 43
vii
Lista de figuras
Fig. 1.1- Linhas de força e linhas equipotenciais do campo elétrico na superfície de dois
subcondutores por fase (a)) e de três subcondutores por fase (b)) [3]. ....................................... 4
Fig. 1.2 - Linhas de força e linhas equipotenciais do campo elétrico na superfície de quatro
subcondutores por fase (a)) e de seis subcondutores por fase (b)) [3]. ....................................... 5
Fig. 1.3 – Feixe regular com 𝑁=6 subcondutores. ........................................................................ 6
Fig. 1.4 – Secção de um condutor entrançado com 6 subcondutores.......................................... 7
Fig. 2.1 – Representação das coordenadas de um cilindro. ....................................................... 12
Fig. 2.2 – Representação da solução centrada no condutor k [5]. ............................................. 14
Fig. 3.1 – Secção de um condutor entrançado. .......................................................................... 24
Fig. 3.2 – Parâmetros da linha bifilar. ......................................................................................... 26
Fig. 3.3 – Distribuição do campo elétrico à superfície de um condutor entrançado. .................. 28
Fig. 3.4 – Configuração de um feixe de N subcondutores cilíndricos iguais de raio 𝑟𝑐, dispostos
simetricamente sobre uma circunferência de raio 𝑎. .................................................................. 29
Fig. 3.5 – Evolução do campo elétrico para 2, 4 e 16 subcondutores. ....................................... 30
Fig. 3.6 – Valores da relação do campo elétrico máximo e campo elétrico médio à superfície de
um subcondutor. .......................................................................................................................... 31
Fig. 3.7 – Desvio entre o valor aproximado e exato da relação do campo elétrico máximo e médio
à superfície dos subcondutores. ................................................................................................. 32
Fig. 3.8 – Distribuição do campo elétrico do condutor com três subcondutores ........................ 33
Fig. 3.9 – Raio equivalente para o potencial para 2 e 16 subcondutores no feixe. .................... 36
Fig. 3.10 – Evolução do raio equivalente para o potencial em função do parâmetro de
proximidade. ................................................................................................................................ 36
Fig. 3.11 – Desvio entre o valor aproximado e o valor exato do raio equivalente ...................... 37
viii
Lista de símbolos
𝑟𝑐 – raio dos subcondutores do feixe
𝑟𝑘 – raio do subcondutor k
𝑁 – número de subcondutores no feixe
𝑎 – raio do feixe
𝑅0 – relação entre o raio do feixe e o raio dos subcondutores
E – vetor campo elétrico
D – vetor deslocamento elétrico
ρ – densidade volúmica de carga
(𝑟, 𝜑, 𝑧) – coordenadas cilíndricas
𝑉 – componente z do vetor potencial
𝑉𝑖(𝑘)
– solução do vetor potencial que satisfaz a equação de Laplace, com a solução centrada no
eixo do subcondutor k com as singularidades dos eixos dos subcondutores i
𝑉(𝑘) – sobreposição das soluções 𝑉𝑖(𝑘)
para todos os subcondutores i correspondendo à solução
de 𝑉 satisfazendo a equação de Laplace centrada no eixo do subcondutor k
𝐶0(𝑘)
– Coeficiente da solução de 𝑉(𝑘) de ordem zero
𝐶𝑝(𝑘)
- Coeficiente da solução de 𝑉(𝑘) de ordem p
𝐴𝑚(𝑘)
– Coeficiente do desenvolvimento em série de Fourier de ordem m
𝐴0(𝑘)
- Coeficiente do desenvolvimento em série de Fourier de ordem 0
𝑃𝑘 – Contribuição do efeito de proximidade ao termo independente 𝐴0(𝑘)
�� – complexo que corresponde ao ponto (𝑟, 𝜑)
��𝑘𝑖 – vetor posição com origem no eixo do subcondutor k para o eixo do subcondutor i
1
Capítulo 1
Introdução
Neste capítulo é efetuada uma introdução ao tema, fazendo-se um enquadramento do
problema relativo ao campo elétrico em condutores em feixe e entrançados.
É apresentada a organização do texto e são referidos alguns aspetos relativamente à notação
usada.
Por último, é apresentado o método usado para o cálculo do campo elétrico à superfície de
condutores em feixe e entrançados, sendo feita também uma referência às aproximações usuais.
2
Nos dias que correm pode-se dizer que a energia elétrica é um bem essencial. Com o
desenvolvimento de novas tecnologias, a energia elétrica tornou-se um bem de primeira
necessidade, quer a nível da indústria quer também nos próprios lares. Assim, é necessário
preservar e manter as estruturas que permitam a produção da energia elétrica, o seu transporte
e o consumo.
A produção da energia elétrica pode ser feita a partir de fontes de energia renováveis, centrais
termoelétricas e hidroelétricas. As centrais termoelétricas funcionam com recurso a fontes de
energia primária – carvão, petróleo, gás natural e energia nuclear - para a produção de energia.
As fontes de energia renováveis produzem energia através de recursos naturais como o sol,
vento, chuva, marés, energia geotérmica entre outras.
O transporte da energia elétrica é feito através de linhas aéreas e por cabos subterrâneos. As
linhas aéreas podem ter diferentes tipos de configurações dos condutores, diferentes materiais
e dimensões. Estas variações surgem devido aos diferentes níveis de tensão e de potência que
podem ser aplicados nas linhas. As linhas elétricas aéreas são constituídas por condutores
metálicos (alumínio ou cobre) suspensos em postes (madeira, betão ou metálicos), por meio de
isoladores cerâmicos ou de outros materiais altamente isolantes e estão sujeitas ao seu próprio
peso e a uma força longitudinal. As linhas elétricas descrevem uma curva entre postes designada
por catenária, a qual para distâncias relativamente curtas se aproximam de uma parábola, sendo
normalmente acompanhadas por um cabo a uma altura superior designado por cabo de guarda.
As linhas de energia elétrica, quando enterradas são referidas por cabos subterrâneos,
podendo as mesmas atravessar troços de mar, sendo designadas por cabos submarinos. Porém,
o transporte de energia elétrica em corrente alternada por meio de cabos subterrâneos ou
submarinos está limitado a poucas dezenas de quilómetros.
Assim, na transmissão de energia elétrica é dada preferência às linhas aéreas
comparativamente aos cabos subterrâneos devido ao seu menor custo e manutenção mais
acessível. Na construção das linhas de transmissão aéreas, apesar de o cobre apresentar uma
condutividade superior, o material mais usado é o alumínio por ser mais barato e mais leve.
O nível de tensão nominal da linha determina a sua capacidade de transporte para um dado
valor nominal de corrente. As tensões com níveis mais elevados necessitam de níveis de
isolamento também mais elevados, assim como maiores distâncias entre condutores e entre
estes e a terra, no caso de linhas aéreas. Consoante o nível de tensão à qual se realiza a
transmissão de energia elétrica pode estabelecer-se a classificação: linhas de muito alta tensão,
alta tensão, média tensão e baixa tensão.
3
1.1 Enquadramento e objetivos
O presente trabalho é direcionado para o estudo do campo elétrico em linhas aéreas para
condutores cilíndricos em feixe e entrançados onde é também abordado o conceito de raio
equivalente para o potencial. O cálculo do campo elétrico e do raio equivalente para o potencial
foram obtidos por expressões aproximadas apresentadas em [1] e por um método exato através
de um algoritmo desenvolvido em MatLab [2]. Posteriormente, foram comparados os resultados
obtidos e calculados os desvios entre os valores das expressões e os valores exatos. Através da
variação das dimensões dos subcondutores foram analisadas as evoluções do campo elétrico e
do raio equivalente para o potencial.
1.2 Organização do texto
Este trabalho encontra-se dividido em quatro capítulos para facilitar a sua leitura e
compreensão.
No capítulo um é realizada uma introdução ao tema em análise, fazendo uma abordagem ao
campo elétrico em condutores em feixe e entrançados.
No capítulo dois é apresentado o método de cálculo do campo elétrico e do raio médio
geométrico em condutores cilíndricos através de um algoritmo desenvolvido.
No capítulo três são apresentados os resultados obtidos nos diversos estudos realizados.
Finalmente, no capítulo quatro, são expostas as conclusões obtidas no decorrer do trabalho.
1.3 Notação
Neste trabalho recorreu-se ao uso de símbolos e diferentes notações com o objetivo de o
tornar mais percetível.
As referências bibliográficas encontram-se numeradas e representam-se em parêntesis retos.
Os vetores estão representados a negrito.
As equações, figuras e tabelas estão numeradas por capítulos.
1.4 Campo elétrico nas linhas de transmissão
À medida que o nível de tensão aumenta, o campo elétrico aumenta e pode-se tornar
relevante a consideração do fenómeno do efeito de coroa, que consiste na disrupção parcial do
ar na vizinhança dos condutores. Para evitar esse fenómeno, surge a necessidade de
dimensionar corretamente os condutores de fase. A dimensão dos condutores, bem como a sua
configuração, é estabelecida pelo valor do campo de disrupção do ar.
O efeito de coroa surge quando o campo elétrico à superfície dos condutores excede um
determinado valor (cerca 30 kV/cm no ar seco) e é caraterizado pela disrupção parcial do
4
dielétrico, o que origina ruído audível, rádio interferências, vibração dos condutores e perdas de
energia. O campo elétrico que origina o efeito de coroa é função do diâmetro dos condutores, da
configuração das linhas e das condições atmosféricas, nomeadamente, da temperatura, da
humidade e da pressão do ar.
Assim, para evitar o efeito de coroa é necessário manter o valor do campo elétrico máximo
dentro dos limites aceitáveis, sem que seja necessário aumentar excessivamente a secção
transversal dos condutores. Para tal são usados vários subcondutores por fase.
As principais vantagens de usar vários subcondutores por fase nas linhas de transmissão são,
a diminuição do campo elétrico à superfície dos condutores, a diminuição das perdas por efeito
de coroa, o aumento do raio efetivo da fase e a divisão da corrente de fase pelos vários
subcondutores. O campo elétrico à superfície dos condutores é afetado por vários aspetos,
principalmente, pelo número de subcondutores por fase, pelo espaçamento entre os vários
subcondutores e pelas dimensões dos subcondutores.
Para os sistemas de um subcondutor por fase, o campo elétrico na sua periferia é
praticamente uniforme. O mesmo não acontece com vários subcondutores por fase, uma vez
que as linhas de força do campo elétrico entre os subcondutores são afetadas, devido
essencialmente à proximidade entre os subcondutores, o que resulta num campo elétrico não
uniforme na sua periferia. A não uniformidade do campo elétrico aumenta com o número de
subcondutores por fase, como demonstram as seguintes figuras, para condutores em feixe com
subcondutores de dimensões e cargas iguais.
a) b)
Fig. 1.1- Linhas de força e linhas equipotenciais do campo elétrico na superfície de dois subcondutores por fase (a)) e de três subcondutores por fase (b)) [3].
5
a) b)
Fig. 1.2 - Linhas de força e linhas equipotenciais do campo elétrico na superfície de quatro subcondutores por fase (a)) e de seis subcondutores por fase (b)) [3].
Para o cálculo do campo elétrico à superfície dos subcondutores tem-se em consideração
que o meio que envolve os condutores é não eletrizado. Desta forma, são aplicadas as equações
fundamentais do campo elétrico de Maxwell e a equação de Laplace.
No caso de vários subcondutores por fase foi usado o método dos multipólos para o cálculo
do campo elétrico à superfície dos subcondutores. Este consiste em assumir uma função de
potencial que satisfaça as condições de fronteira à superfície dos condutores, sendo a função
potencial a sobreposição das singularidades de todas as ordens nos eixos dos vários
subcondutores cilíndricos que compõem os condutores em feixe ou entrançados.
O valor do campo elétrico é normalmente caracterizado pelo seu valor eficaz, logo torna-se
importante ter a noção de como este é representado em amplitudes complexas.
O valor eficaz do vetor do campo elétrico é caracterizado pela expressão seguinte [4], para
grandezas de variação sinusoidal no tempo:
Eef = √(𝐄(t). 𝐄(t))av = √
Ex2 + Ey
2 + Ez2
2 (1.1)
O valor eficaz do campo elétrico pode assim ser escrito usando amplitudes complexas:
Eef = √
��. ��∗
2 (1.2)
Os tipos de condutores mais usados nas linhas de transmissão são os condutores em feixe e
os condutores entrançados. Os condutores em feixe são constituídos por dois ou mais
6
subcondutores iguais, cujos eixos estão normalmente dispostos simetricamente sobre uma
circunferência. Este tipo de condutores pode ser envolvido por uma bainha que assegura o seu
isolamento elétrico, no entanto no presente trabalho esta não é considerada. A distância dos
condutores aos restantes condutores de fase e ao solo, é assumida muito superior ao raio do
feixe, de forma a desprezar a influência da proximidade com estes condutores. A análise da
proximidade é assim focada apenas na interação entre os subcondutores.
Os subcondutores que compõem o feixe são cilíndricos. São feitos de um material linear,
isotrópico e homogéneo, caracterizado por uma condutividade finita que permite ignorar o valor
da corrente de deslocamento.
O dielétrico que envolve o feixe é um meio perfeitamente isolante.
Na Fig. 1.3 é representado um feixe de condutores regular com seis subcondutores, com os
parâmetros que o caracterizam.
Fig. 1.3 – Feixe regular com 𝑁=6 subcondutores.
A relação entre o raio 𝑟𝑐 dos subcondutores e a distância d entre dois subcondutores
consecutivos depende do número de subcondutores 𝑁, do raio dos subcondutores e do raio 𝑎
do feixe. Da Fig. 1.3 obtém-se a expressão que caracteriza a relação entre o raio de cada
subcondutor e a distância entre dois subcondutores consecutivos [1]:
𝑟𝑐
𝑑=
𝑟𝑐
2 𝑎 𝑠𝑒𝑛 (𝜋𝑁
)
(1.3)
Os condutores entrançados, têm as mesmas características dos condutores em feixe, são
também constituídos por vários subcondutores, cujos eixos estão dispostos simetricamente
sobre uma circunferência. Contudo, nos condutores entrançados, os subcondutores encontram-
se encostados uns aos outros e torcidos, constituídos por várias camadas de subcondutores. No
presente trabalho apenas será considerada a última camada de subcondutores como
representado na Fig. 1.4.
7
Fig. 1.4 – Secção de um condutor entrançado com 6 subcondutores.
Nos condutores entrançados, (1.3) toma o valor 0,5, tornando-se assim possível verificar que
para condutores entrançados o raio dos subcondutores 𝑟𝑐 apenas depende do valor do raio do
feixe 𝑎 e do número de subcondutores 𝑁, da seguinte forma:
𝑟𝑐 = 𝑎 sen (π
𝑁) (1.4)
Um grupo de condutores pode ser representado por um único condutor equivalente sob o
ponto de vista da função potencial do campo elétrico. É uma aproximação usual [1] e [6], para
condutores em feixe fazer-se corresponder esse condutor equivalente, a um condutor localizado
no centro geométrico do feixe e com raio equivalente igual ao raio médio geométrico. A
consideração de um condutor único equivalente para representar o conjunto de subcondutores
em feixe tem significado tendo em consideração que a distância entre os subcondutores é muito
menor que a distância entre fases ou a sua distância à terra. O raio médio geométrico depende
do número de subcondutores, das dimensões do feixe e das dimensões dos subcondutores como
referido em [1].
9
Capítulo 2
Campo elétrico de sistemas de condutores cilíndricos em proximidade
Neste capítulo é apresentada a metodologia usada no cálculo do campo elétrico de
condutores cilíndricos em proximidade. Foi desenvolvido um algoritmo para resolver
numericamente um sistema de equações na forma matricial de forma a obter o valor da
intensidade do campo elétrico à superfície dos condutores entrançados, a evolução do campo
elétrico máximo à superfície dos condutores em feixe e entrançados, bem como o valor do raio
equivalente para o potencial.
10
2.1 Potencial escalar do campo elétrico de sistemas de condutores cilíndricos em
proximidade
Considerando linhas aéreas multifilares sem perdas e que a propagação de energia tem a
direção axial, o campo eletromagnético está configurado em planos transversais. A circulação
do campo elétrico ao longo de qualquer caminho fechado (s) em planos transversais é igual a
zero, pois o campo de indução magnético (B) também está no plano transversal. Isto significa
que o campo eletromagnético tem a configuração do campo estacionário. Assim, é possível
estudar separadamente o campo elétrico e o campo magnético. Deste modo, obtém-se (2.1):
∮ 𝐄 d𝐬 = 0𝐬
(2.1)
Para o cálculo do campo elétrico são consideradas as equações fundamentais de Maxwell na
configuração de campos estacionários.
rot 𝐄 = 0
(2.2)
div 𝐃 = 𝜌 (2.3)
A equação (2.2) resulta de (2.1). O campo elétrico (E) surge na presença de cargas,
caracterizadas pela sua densidade volúmica de carga (ρ). O vetor D representa o vetor do
deslocamento elétrico.
Sabendo que o rotacional de um gradiente de uma função escalar é sempre zero, segundo
(2.2), é possível caracterizar o campo elétrico como um gradiente:
𝐄 = −grad 𝑉 (2.4)
O vetor de deslocamento elétrico depende do campo elétrico e do fenómeno de polarização
da seguinte forma:
𝐃 = 𝜀0𝐄 + 𝐏(𝐄) (2.5)
Onde P é o vetor de polarização elétrica que depende fortemente da intensidade do campo
elétrico e do meio envolvente e mede o momento de dipolo elétrico por unidade de volume:
𝐏 = 𝜀0 𝜒𝑒 𝐄 (2.6)
11
Onde 𝜒𝑒 é uma constante positiva adimensional denominada suscetibilidade elétrica, que
quantifica a polarização do material dielétrico em função do campo elétrico aplicado.
Substituindo (2.6) em (2.5), obtém-se a relação entre o vetor de deslocamento elétrico e o
vetor do campo elétrico.
𝐃 = 𝜀0(1 + 𝜒𝑒)𝐄 = 𝜀0𝜀𝑟𝐄 = 𝜀𝐄 (2.7)
Onde ε representa a constante dielétrica do meio, obtida através da multiplicação da
constante dielétrica do vácuo 𝜀0 com a constante dieléctrica relativa 𝜀𝑟. A constante dieléctrica
relativa depende do material isolante. O valor da constante dielétrica relativa toma o valor unitário
quando o material isolante é o ar.
Assim, para meios lineares existe uma relação de proporcionalidade entre |𝑫| e |𝑬| e para
meios isotrópicos 𝑫 e 𝑬 são paralelos.
Relacionando as equações fundamentais do campo elétrico (2.2) e (2.3) com (2.7), nas
condições em que os meios são homogéneos ou seccionalmente homogéneos, isto é, a
constante dielétrica ε é igual em todos os pontos do seu domínio ou subdomínio, surge a equação
de Poisson:
lap 𝑉 = −𝜌
𝜀⁄ (2.8)
Para meios dielétricos não eletrizados, o valor da densidade de carga é nulo (ρ=0). Tomando
todas as considerações anteriormente mencionadas obtém-se a equação de Laplace:
lap 𝑉 = 0 (2.9)
2.1.1 Solução para problemas 2D em coordenadas cilíndricas
A solução apresentada corresponde a uma solução clássica de equações diferenciais às
derivadas parciais com recorrência ao método de separação de variáveis, cuja descrição no
contexto de condutores cilíndricos em proximidade pode ser estabelecida analogamente à
descrita em [5] e que em seguida é resumidamente apresentada.
A equação de Laplace é uma equação diferencial às derivadas parciais do tipo elíptico. Para
a sua resolução recorre-se ao teorema da unicidade de solução que, para determinadas
condições, garante a existência de solução e que esta é única. Do ponto de vista do campo
elétrico, a resolução da equação é feita impondo ou o potencial elétrico ou a derivada normal do
potencial elétrico em todos os pontos da fronteira do condutor, garantindo-se assim a existência
e a unicidade de solução.
Uma vez que os condutores apresentam geometria cilíndrica, a equação de Laplace é
resolvida em coordenadas cilíndricas.
12
Na Fig. 2.1 encontra-se representada uma secção de um condutor cilíndrico com as
respetivas coordenadas que o caracterizam.
Fig. 2.1 – Representação das coordenadas de um cilindro.
A resolução da equação em coordenadas cilíndricas é feita em 2D, ou seja, apenas são
consideradas as coordenadas transversais (r e φ) e é independente da coordenada 𝑧 visto que
o comprimento do condutor cilíndrico é considerado teoricamente infinito. Deste modo, obtém-se
a seguinte solução para a equação de Laplace:
1
𝑟
∂
∂𝑟(𝑟
𝜕𝑉
𝜕𝑟) +
1
𝑟2
∂2𝑉
∂𝜑2= 0 (2.10)
onde V depende das coordenadas transversais do cilindro:
𝑉 = 𝑉(𝑟, 𝜑) (2.11)
Pelo método de separação de variáveis obtém-se a multiplicação de duas funções, em que
cada uma das funções apenas depende de uma coordenada:
𝑉(𝑟, 𝜑) = 𝑅(𝑟)𝛷(𝜑) (2.12)
Para cada valor de r, a função V ao longo da coordenada azimutal tem de ser periódica de
período 2π. Para a representação de funções periódicas é usado o desenvolvimento em série de
Fourier, em que a função de base deste desenvolvimento é dada por:
𝛷(𝜑) = cos(𝑝𝜑 + 𝛼𝑝) , 𝑝 ∈ ℕ0 (2.13)
13
Substituindo (2.13) em (2.10) obtém-se, para a função 𝑅(𝑟), para os termos de ordem zero
(p=0):
𝑅(𝑟) = ln (1
𝑟) (2.14)
Para os restantes termos onde p toma um valor inteiro diferente de zero, a solução da função
R é descrita de seguinte forma:
𝑅(𝑟) = 𝑟±𝑝 (2.15)
Na presença de meios condutores usam-se séries de potência com potência negativa, uma
vez que a função potencial tem de ser regular no infinito, ou seja, terá de tender para zero no
infinito. A forma da solução surge assim como uma combinação linear das soluções
apresentadas em (2.13), (2.14) e (2.15) caraterizada por ter singularidades de ordem p. A
singularidade de ordem p pode ter a interpretação física de constituir o potencial de uma carga
elétrica multipolar de ordem p, localizada no eixo do sistema. Assim, a solução com a forma
apresentada pode ser obtida por aplicação do método multipolar tendo em conta a interpretação
física referida em [6]. A solução é assim descrita em termos das funções exponenciais 𝑒𝑗𝑝𝜑 com
a seguinte forma:
𝑉 = 𝐶0 ln1
𝑟+
1
2∑ 𝑐𝑝𝑟−|𝑝|ej𝑝𝜑
+∞
𝑝=−∞𝑝≠0
(2.16)
Onde os cp e C0 são os coeficientes da solução do potencial de ordem p e zero,
respetivamente.
A solução (2.16) pode ser obtida a partir de um função complexa de variável complexa W de
modo que:
W(��) = 𝐶0 ln (1
��) + ∑ 𝑐−𝑝
∞
𝑝=1
��−𝑝 (2.17)
onde
�� = 𝑟ejφ (2.18)
e
𝑉 = Re{W(��)} (2.19)
Para impor as condições de fronteira nas superfícies cilíndricas de vários subcondutores é
necessário recorrer ao desenvolvimento em série de Taylor com vista a desenvolver (2.17) em
torno do eixo do condutor onde as condições de fronteira vão ser consideradas. Deste modo, é
14
possível obter a solução com singularidades no eixo de um subcondutor i mas centrada no eixo
do subcondutor k como representado na Fig. 2.2:
Fig. 2.2 – Representação da solução centrada no subcondutor k.
Onde 𝑟𝑖 e 𝑟𝑘 são os raios dos subcondutores i e k, respetivamente, e 𝑂𝑖 e 𝑂𝑘 representam o
centro de cada subcondutor cilíndrico. O vetor de posição do ponto 𝑃 com origem em 𝑂𝑖 é
representado pelo vetor ��. O vetor de posição do ponto 𝑃 com origem em 𝑂𝑘 é representado pelo
vetor ��. O vetor de posição do ponto 𝑂𝑘 com origem em 𝑂𝑖 é representado pelo vetor ��𝑘𝑖.
Pela Fig. 2.2 verifica-se que o vetor �� é definido no plano complexo pela soma dos vetores
��𝑘𝑖 e ��, sendo assim estabelecida a seguinte expressão:
�� = ��𝑘𝑖 + �� (2.20)
De forma a passar da solução centrada no eixo Oi para a solução referida ao eixo Ok é usado
o desenvolvimento em série de Taylor representado na expressão seguinte:
��(��) = ��(��𝑘𝑖) + ∑1
𝑚!
∞
𝑚=1
[d𝑚��
d ��𝑚]
��=��𝑘𝑖
��𝑚 (2.21)
Desenvolvendo (2.17) em série de Taylor, verifica-se que a solução é convergente no caso
em que a distância 𝑟 é menor que o módulo da distância entre os centros dos subcondutores
|��𝑘𝑖|, obtendo-se a seguinte expressão [5]:
1
𝑚![𝑑𝑚��
d ��𝑚]
��=��𝑘𝑖
=(−1)𝑚
𝑚 ��𝑘𝑖𝑚 [𝐶0
(𝑖)+ ∑ 𝑐−𝑝
(𝑖)
∞
𝑝=1
𝒞(𝑝, 𝑚) ��𝑘𝑖−𝑝
] (2.22)
15
onde
𝒞(𝑝, 𝑚) =(𝑝 + 𝑚 − 1)!
(𝑝 − 1)! (𝑚 − 1)! (2.23)
Da expansão em série de Taylor do termo de ordem p, surge (2.23) que relaciona os
parâmetros m e p, sendo válida para p>0 e m>0. No caso em que m=0 ou p=0 o parâmetro
𝒞(p, m) = 1.
Assim, é obtida a expressão final que representa as soluções com singularidades no eixo do
subcondutor i, mas centradas no subcondutor k.
��(��) = ��(��𝑘𝑖) + ∑(−1)𝑚
𝑚 ��𝑘𝑖𝑚
∞
𝑚=1
[𝐶0(𝑖)
+ ∑ 𝑐−𝑝(𝑖)
∞
𝑝=1
𝒞(𝑝, 𝑚) ��𝑘𝑖−𝑝
] ��𝑚 (2.24)
onde
�� = 𝑟 ej𝜑 (2.25)
em que 𝑟 representa a amplitude do vetor �� e 𝜑 o argumento.
De seguida procede-se à normalização dos coeficientes da solução do vetor potencial à
distância 𝑟 (Fig. 2.1), em função do raio do subcondutor com eixo Ok.
A normalização dos coeficientes 𝑐𝑝(𝑖)
é definida como a relação entre estes e o raio do
subcondutor i.
𝐶𝑝(𝑖)
=𝑐𝑝
(𝑖)
𝑟𝑖𝑝 (2.26)
A normalização da distância 𝑟 é feita relacionando esta distância com o raio do subcondutor
k. Assim, R é a coordenada normalizada associada ao sistema de eixos centrados no
subcondutor k:
𝑅 =𝑟
𝑟𝑘
(2.27)
Tomando as normalizações referidas anteriormente, a expressão seguinte representa o
resultado da soma de (2.21):
��𝑖(𝑘)
= 𝐶0(𝑖)
ln1
(��𝑘𝑖 𝑟𝑖⁄ )+ ∑ 𝐶−𝑝 (
��𝑘𝑖
𝑟𝑖
)−𝑝
+
∞
𝑝=1
+ ∑1
𝑚𝑅𝑚
∞
𝑚=1
[𝐶0(𝑖)
𝒰𝑘𝑖 (𝑚, 0) + ∑ 𝐶−𝑝(𝑖)
∞
𝑝=1
𝒰ki (𝑚, 𝑝)] ej𝑚𝜑
(2.28)
16
Em que 𝒰𝑘𝑖 é obtido através da expansão em série de Taylor dos termos de ordem p com as
normalizações referidas atrás [5].
𝒰ki(m, p) = (−1)𝑚 (��𝑘𝑖
𝑟𝑘
)−𝑚
(��𝑘𝑖
𝑟𝑖
)−𝑝
𝒞(𝑝, 𝑚) (2.29)
Considerando apenas a parte real de (2.28) obtém-se a solução que satisfaz a equação de
Laplace, com singularidades no eixo do subcondutor i, mas centrada no eixo do subcondutor k
[5]:
𝑉𝑖(𝑘)
= Re[��𝑖(𝑘)
] = 𝐶0(𝑖)
ln1
|��𝑘𝑖 𝑟𝑖⁄ |+
1
2∑ [𝐶−𝑝 (
��𝑘𝑖
𝑟𝑖
)−𝑝
+ 𝐶𝑝 (��𝑘𝑖
∗
𝑟𝑖
)
−𝑝
] +
∞
𝑝=1
+ ∑𝑅|𝑚|
2|𝑚|
∞
𝑚=−∞𝑚≠0
[𝐶0(𝑖)
{
𝒰𝑘𝑖(𝑚, 0)
𝒰𝑘𝑖∗ (−𝑚, 0)
} + ∑ {
𝐶−𝑝(𝑖)
𝒰𝑘𝑖(𝑚, 𝑝)
𝐶𝑝(𝑖)
𝒰𝑘𝑖∗ (−𝑚, 𝑝)
}
∞
𝑝=1
] ejmφ
(2.30)
Na expressão anterior a linha superior é para valores de m>0 e a linha inferior para valores
de m<0 e tem-se:
𝐶𝑝(𝑖)
= (𝐶−𝑝(𝑖)
)∗ (2.31)
Finalmente, é possível construir a forma completa da solução de 𝑉(𝑘), centrada no
subcondutor k devido à singularidades dos 𝑁 subcondutores na proximidade uns dos outros.
Desta forma, são associados os termos de ordem zero e de ordem m do desenvolvimento em
série de Fourier.
A expressão do potencial de cada subcondutor é função da distância normalizada R e da
coordenada azimutal 𝜑 [5]:
𝑉(𝑘)(𝑅, 𝜑) = ∑ 𝐴𝑚(𝑘)(𝑅)𝑒j𝑚𝜑
+∞
𝑚=−∞
(2.32)
Fazendo a associação dos termos de ordem zero de (2.16) e (2.30), obtém-se a seguinte
combinação linear [5]:
𝐴0(𝑘)(𝑅) = 𝐶0
(𝑘) ln (
1
𝑅) + ∑ 𝐶0
(𝑖)
𝑁
𝑖=1(𝑖≠𝑘)
ln (𝑟𝑖
|��𝑘𝑖|) + 𝑃𝑘
(2.33)
Onde:
𝑃𝑘 = ∑1
2∑ [𝐶−𝑝
(𝑖)(
𝑤𝑘𝑖
𝑟𝑖
)−𝑝
+ 𝐶𝑝(𝑖)
(𝑤𝑘𝑖
∗
𝑟𝑖
)
−𝑝
]
∞
𝑝=1
𝑁
𝑖=1(𝑖≠𝑘)
(2.34)
17
O primeiro termo de (2.33) corresponde às soluções inerentes ao subcondutor k. Os restantes
termos correspondem às soluções dos termos associados aos outros subcondutores mas
centrados no eixo do subcondutor k.
Do mesmo modo, associam-se os termos de ordem m. Para tal, recorre-se ao segundo termo
de (2.16) e aos termos do somatório em m de (2.30). A solução é formada pela sobreposição da
solução inerente ao subcondutor k e da solução dos outros subcondutores centrados no
subcondutor k [5]:
𝐴𝑚(𝑘)(𝑅) =
𝑅|𝑚|
2|𝑚| [𝛽𝑚
(𝑘)+ |𝑚|𝐶𝑚
(𝑘)𝑅−2|𝑚| + 𝛾𝑚
(𝑘)] (2.35)
em que
𝛽𝑚(𝑘)
= ∑ 𝐶0(𝑖)
𝑁
𝑖=1(𝑖≠𝑘)
{
𝒰𝑘𝑖(𝑚, 0)
𝒰𝑘𝑖∗ (−𝑚, 0)
} (2.36)
e
𝛾𝑚(𝑘)
= ∑ ∑ {
𝐶−𝑝(𝑖)
𝒰𝑘𝑖(𝑚, 𝑝)
𝐶𝑝(𝑖)
𝒰𝑘𝑖∗ (−𝑚, 𝑝)
}
𝑚𝑖
𝑝=1
𝑁
𝑖=1(𝑖≠𝑘)
(2.37)
Nas expressões anteriores a primeira linha é para valores de m>0 e a segunda linha para
valores de m<0.
2.1.2 Condições de fronteira
Para obter a solução dos coeficientes 𝐶𝑚(𝑘)
e assim obter a solução do potencial, são impostas
as condições de fronteira à superfície dos subcondutores. Nesta situação a distância r e o raio
de cada subcondutor são iguais, ou seja, a distância normalizada R toma o valor unitário.
Nas condições de fronteira todos os termos da série de Fourier com exceção dos termos
constantes são definidos como zero, para garantir que a função potencial à superfície de cada
subcondutor seja constante. Os termos constantes são iguais ao valor do potencial do
subcondutor correspondente:
𝑉(𝑘)(1, 𝜑) = 𝑉𝑘 (2.38)
Desta forma, obtém-se a expressão do potencial para os termos de ordem zero com o auxílio
de (2.33):
𝑉𝑘 = ∑ 𝐶0(𝑖)
N
𝑖=1(𝑖≠𝑘)
ln (𝑟𝑖
|��𝑘𝑖|) + 𝑃𝑘
(2.39)
18
O coeficiente 𝐶0(𝑘)
que provém da solução com a forma de (2.33), pode ser relacionado com
a carga elétrica do próprio subcondutor k:
∫ 𝐷𝑛𝑆𝑘
d𝑆𝑘 = 𝑞𝑘 (2.40)
Em que Sk é a superfície do subcondutor k, de comprimento unitário.
Tendo em conta que:
𝐷𝑛 = −𝜀 grad𝑛𝑉|𝑅=1 (2.41)
e
𝐷𝑛𝑑𝑆𝑘 = −𝜀 𝜕𝑉
𝜕𝑅|
𝑅=1𝑑𝜑 (2.42)
resultando então:
𝐶0(𝑘)
=𝑞𝑘
2π𝜀 (2.43)
Em que 𝑞𝑘 representa a carga por unidade de comprimento do subcondutor k e 𝜀 a constante
dielétrica do meio.
Perante as condições de fronteira os termos de ordem m são nulos, obtendo-se a expressão
seguinte:
𝐴𝑚(𝑘)(𝑅) = 0 (2.44)
A consideração anterior estabelece o sistema de equações que permite obter as soluções
dos coeficientes 𝐶𝑚(𝑘)
nas condições de fronteira [5]:
𝛾𝑚(𝑘)
+ |𝑚|𝐶𝑚(𝑘)
= −𝛽𝑚(𝑘)
, 𝑚 = ±1, ±2, … , 𝑘 = 1,2, … 𝑁 (2.45)
O número de coeficientes depende de duas vezes o número de termos m, visto que é
necessário considerar os termos positivos e negativos para cada subcondutor 𝑁.
𝑛𝐶 = ∑ 2𝑚𝑘
𝑁
𝑘=1
(2.46)
Através de (2.45) obtém-se o sistema de equações na forma matricial:
[𝑀](𝐶𝑚(𝑘)
) = −(𝛽𝑚(𝑘)
) (2.47)
19
Em que [𝑀] é a matriz principal do sistema obtida tendo em conta (2.45). As linhas e colunas
são de dimensão 𝑛𝐶 segundo (2.46). A matriz (𝐶𝑚(𝑘)
), é uma matriz coluna que contém os valores
dos coeficientes 𝐶𝑚(𝑘)
a serem calculados. Por fim, a matriz (𝛽𝑚(𝑘)
) é também uma matriz coluna
identicamente obtida a partir de (2.45).
Do sistema de equações obtém-se o valor dos coeficientes 𝐶𝑚(𝑘)
que permitirá posteriormente
obter o valor do potencial e consequentemente o valor do campo elétrico à superfície dos
subcondutores.
20
2.2 Intensidade do campo elétrico à superfície dos condutores
O campo elétrico à superfície dos subcondutores é função da coordenada azimutal 𝜑 e da
distância normalizada R. O valor do campo elétrico à superfície dos subcondutores é calculado
pelo gradiente do potencial obtido por (2.32), desta forma obtém-se a seguinte expressão:
𝐄(𝑘) = −grad 𝑉(𝑘)(𝑅, 𝜑) (2.48)
A solução da expressão do campo elétrico em coordenadas cilíndricas [4]:
𝐄(𝑘) = − (∂𝑉(𝑘)
∂𝑟𝑒𝑟 +
1
𝑟
∂𝑉(𝑘)
∂𝜑𝑒𝜑) (2.49)
Com o auxílio de (2.45) referente aos termos diferentes de zero é feita a seguinte
consideração:
𝛾𝑚(𝑘)
+ 𝛽𝑚(𝑘)
= −|𝑚|𝐶𝑚(𝑘)
(2.50)
Assim, a expressão relativa aos termos de ordem diferente de zero é apresentada da
seguinte forma:
𝐴𝑚(𝑘)(𝑅) =
1
2 𝐶𝑚
(𝑘)[−𝑅|𝑚| + 𝑅−|𝑚|] (2.51)
Para obter a expressão que permite observar a evolução da intensidade do campo elétrico à
superfície dos subcondutores são consideradas as condições de fronteira, ou seja, a distância
normalizada R é igual a um, sendo o potencial elétrico constante à superfície dos subcondutores.
Nesta condição, a componente do campo elétrico segundo a componente azimutal é igual a zero.
𝐸𝜑(𝑘)
= −1
𝑟
∂𝑉(𝑘)
∂𝜑|
𝑟=𝑟𝑘
= 0 (2.52)
Os termos de ordem zero do desenvolvimento da série de Fourier não dependem da
coordenada azimutal e os termos de ordem diferente de zero, tomam o valor zero nas condições
de fronteira.
Para calcular a componente radial do campo elétrico à superfície dos subcondutores é
necessário considerar a derivada parcial do potencial em ordem à distância normalizada R.
𝐸𝑟(𝑘)
= −∂𝑉(𝑘)
∂𝑟= −
∂𝑉(𝑘)
∂𝑅 ∂𝑅
∂𝑟= −
1
𝑟𝑘
∂𝑉(𝑘)
∂𝑅 (2.53)
21
Considerando os termos de ordem zero e diferente de zero do desenvolvimento em série de
Fourier segundo a componente radial do campo elétrico verifica-se:
𝐸𝑟(𝑘)
= −1
𝑟𝑘
{∂𝐴0
(𝑘)(𝑅)
∂𝑅+ ∑
∂𝐴𝑚(𝑘)
(𝑅)
∂𝑅
+∞
𝑚=−∞𝑚≠0
𝑒𝑗𝑚𝜑 } (2.54)
Finalmente, resolvendo a expressão anterior obtém-se a expressão para o cálculo da
intensidade do campo elétrico à superfície dos subcondutores para R=1:
𝐸𝑟(𝑘)
|𝑟=𝑟𝑘
=𝐶0
(𝑘)
𝑟𝑘
{1 + ∑ |𝑚|𝐶𝑚
(𝑘)
𝐶0(𝑘)
𝑒 𝑗𝑚𝜑
+∞
𝑚=−∞𝑚≠0
} (2.55)
O primeiro termo da expressão corresponde ao campo elétrico à superfície dos
subcondutores sem influência dos restantes subcondutores, denominado campo elétrico médio.
Verifica-se pela expressão anterior que os parâmetros que influenciam o campo elétrico à
superfície do condutor são, o raio do subcondutor de eixo 𝑂𝑘, os coeficientes 𝐶𝑚(𝑘)
e o ângulo 𝜑.
O algoritmo desenvolvido trata-se de um algoritmo geral em que os condutores podem estar
dispostos de qualquer forma e com raios diferentes desde que tenham eixos paralelos e que
sejam cilíndricos circulares.
23
Capítulo 3
Resultados numéricos
Neste capítulo começa-se por validar o método recorrendo a resultados publicados na
bibliografia, incluindo configurações e exemplos fora do contexto dos condutores em feixe e
entrançados, como é o caso da linha bifilar.
Em seguida, apresentam-se os resultados obtidos por simulação numérica usando o
algoritmo desenvolvido para o cálculo do campo elétrico em linhas aéreas em feixe e com cabos
entrançados, bem como o raio equivalente para o potencial.
Os resultados obtidos são apresentados de modo a verificar a influência de vários fatores
sobre o campo elétrico e sobre o raio equivalente para o potencial, nomeadamente o número de
subcondutores por feixe, o raio de cada subcondutor e a proximidade entre eles.
24
3.1 Validação do algoritmo
A validação do algoritmo é feita recorrendo a resultados para o cabo entrançado e ao exemplo
da linha bifilar.
3.1.1 Solução do potencial para cabos entrançados
Inicialmente, foram calculados os valores dos coeficientes 𝐶𝑚(𝑘)
da solução do potencial e
comparados com os obtidos em [6].
A validação dos resultados dos coeficientes foi feita para o exemplo de um condutor
entrançado com seis subcondutores iguais de raio rc, considerando que a ordem de truncagem
do desenvolvimento de (2.32) é igual para todos os subcondutores com valor de M=20. O raio
de cada subcondutor é calculado segundo a expressão de [6], mencionada também no capítulo
1 por (1.4).
Os coeficientes 𝐶𝑚(𝑘)
foram obtidos para o subcondutor situado no eixo real na situação de
cabo entrançado, como mostra a Fig. 3.1. Os parâmetros da figura estão ajustados aos usados
neste trabalho.
Fig. 3.1 – Secção de um condutor entrançado.
Na tabela 3.1 estão representados os valores dos coeficientes do subcondutor de índice k=1
segundo a Fig. 3.1, para a situação com N=6 subcondutores iguais, com 𝑅0=0,5 e M=20. Na
primeira e segunda coluna da tabela estão representados os resultados obtidos pelo algoritmo
desenvolvido para os coeficientes de termos positivos e negativos, respetivamente. Na terceira
coluna estão representados os resultados apresentados em [6], com a normalização compatível
com a definida em (2.26). Os coeficientes foram normalizados à constante 𝐶0(𝑘)
(2.43), todos
iguais para k=1 até N.
25
𝐶′𝑖(𝑘)
=𝐶𝑖
(𝑘)
𝑟𝑐
(3.1)
e
𝑟𝑐 = 𝑠𝑒𝑛 (𝜋
𝑁) (3.2)
Tabela 3.1 – Coeficientes para o subcondutor de índice k=1
Resultados obtidos pelo algoritmo Resultados de [6]
Coeficientes de termos positivos Coeficientes de termos negativos Coeficientes
C1(1)
=7,508e-01- j1,064e-15 C−1(1)
= 7,508e-01 -j1,659e-15 C′1(1)
=7,508e-01
C2(1)
=1,276e-01+j3,556e-16 C−2(1)
= 1,276e-01 -j1,989e-16 C′2(1)
=1,276e-01
C3(1)
= -1,853e-02-j2,058e-17 C−3(1)
= -1,853e-02 + j9,758e-18 C′3(1)
= -1,853e-02
C4(1)
= -1,703e-02+ j6,305e-18 C−4(1)
= -1,703e-02 - j4,381e-17 C′4(1)
= -1,703e-02
C5(1)
= 2,496e-03+ j2,863e-16 C−5(1)
= 2,496e-03 + j2,207e-16 C′5(1)
= 2,496e-03
C6(1)
= 3,910e-03- j1,069e-17 C−6(1)
= 3,910e-03 - j2,158e-17 C′6(1)
= 3,910e-03
C7(1)
= -8,279e-04- j1,019e-16 C−7(1)
= -8,279e-04 + j1,427e-17 C′7(1)
= -8,279e-04
C8(1)
= -1,130e-03+ j2,566e-17 C−8(1)
= -1,130e-03 - j1,604e-16 C′8(1)
= -1,130e-03
C9(1)
= 4,030e-04- j6,765e-18 C−9(1)
= 4,030e-04 - j1,992e-18 C′9(1)
= 4,030e-04
C10(1)
= 3,506e-04- j5,561e-17 C−10(1)
= 3,506e-04 + j2,839e-16 C′10(1)
= 3,506e-04
C11(1)
= -2,146e-04- j2,796e-17 C−11(1)
= -2,146e-04 + j9,570e-17 C′11(1)
= -2,146e-04
C12(1)
= -9,973e-05- j8,439e-18 C−12(1)
= -9,973e-05 - j6,093e-18 C′12(1)
= -9,973e-05
C13(1)
= 1,125e-04 + j5,136e-17 C−13(1)
= 1,125e-04 + j1,948e-17 C′13(1)
= 1,125e-04
C14(1)
= 1,677e-05 + j2,953e-17 C−14(1)
= 1,677e-05 - j6,059e-17 C′14(1)
= 1,677e-05
C15(1)
= -5,538e-05 + j2,651e-18 C−15(1)
= -5,538e-05 - j3,418e-18 C′15(1)
= -5,538e-05
C16(1)
= 7,217e-06 + j7,225e-17 C−16(1)
= 7,217e-06 + j1,317e-17 C′16(1)
= 7,217e-06
C17(1)
= 2,468e-05 + j1,084e-16 C−17(1)
= 2,468e-05 - j4,411e-17 C′17(1)
= 2,468e-05
C18(1)
=-1,089e-05 + j1,974e-18 C−18(1)
= -1,089e-05 - j7,692e-19 C′18(1)
=-1,089e-05
C19(1)
= -9,478e-06 - j2,359e-17 C−19(1)
= -9,478e-06 + j9,597e-18 C′19(1)
= -9,478e-06
C20(1)
= 9,005e-06 - j2,003e-17 C−20(1)
= 9,005e-06 - j6,594e-18 C′20(1)
= 9,005e-06
Verifica-se assim que os resultados obtidos para os coeficientes da solução do potencial são
consistentes com os de [6].
Pelos resultados da tabela 3.1 verifica-se que a parte imaginária dos coeficientes tem um
valor próximo de zero, concluindo assim que apenas a parte real dos coeficientes influenciará os
resultados do campo elétrico e do raio equivalente para o potencial e verifica-se que os
coeficientes 𝐶−𝑚(1)
= 𝐶𝑚(1)
, relação concordante com (2.31) para soluções descritas por funções
pares relativamente a 𝜑 = 0 , ver Fig. 3.1.
Os valores dos coeficientes são convergentes com os termos m, uma vez que, tendem para
um valor finito quando o número de termos tende para o infinito.
O valor de R0 vai condicionar o número de termos dos desenvolvimentos.
26
3.1.2 Capacidade de uma linha bifilar
Com o conhecimento dos coeficientes 𝐶𝑚(𝑘)
torna-se possível calcular os termos de ordem
zero do potencial de um subcondutor através de (2.39), tendo em conta (2.34). Para a validação
dos resultados do potencial foi usado o exemplo de uma linha bifilar para o cálculo do valor da
capacidade entre os dois condutores. A linha bifilar é constituída por dois condutores de cargas
opostas e de dimensões transversais iguais. Como forma de validar os resultados, estes foram
comparados usando expressões de [4] página 112, para o exemplo de linhas de transmissão
bifilares.
Fig. 3.2 – Parâmetros da linha bifilar.
De acordo com [4], a equação para o cálculo da capacidade de uma linha bifilar é a seguinte:
𝐶 =
𝑄ℓ⁄
𝑈=
𝜋 𝜀0
ln (𝑑𝑟𝑐
+ √(𝑑𝑟𝑐
)2
− 1)
(3.3)
Na expressão anterior o parâmetro ℓ corresponde ao comprimento dos condutores. O termo
𝜀0 é a constante dielétrica do vácuo (𝜀0 =1
36π× 10−9 F m−1).
Considerando 𝑟𝑐 = 2cm e 𝑑 = 4,5cm, obtém-se 𝐶 = 19,15 pF m−1.
Para o cálculo da capacidade da linha bifilar através do método dos multipólos, faz-se uso de
(2.39) para calcular o potencial de cada condutor.
Para a configuração dada obtém-se a seguinte tensão entre os dois condutores:
𝑈 = 𝑉1 − 𝑉2 = α 𝐶0(1)
, 𝛼 = 2,9011 (3.4)
em que 𝐶0(1)
é dado por (2.43), obtendo-se para a capacidade da linha bifilar:
𝐶 =
2 π 𝜀0𝐶0(1)
𝑈= 19,15 pFm−1 (3.5)
Verifica-se assim que o valor da capacidade da linha bifilar pela expressão teórica é
consistente com o obtido pelo método dos multipólos.
27
3.2 Resultados numéricos para sistemas de condutores cilíndricos em feixe e
entrançados
Os resultados apresentados neste parágrafo dizem respeito à análise do campo elétrico em
condutores em feixe e entrançados, onde os subcondutores são considerados de raio igual, com
eixos dispostos simetricamente sobre uma circunferência e com cargas elétricas iguais.
Os resultados do campo elétrico apresentados vêm em função do parâmetro que define o
efeito de proximidade:
𝑅0 =𝑟𝑐
𝑎 (3.6)
em que 𝑟𝑐 e 𝑎 são respetivamente o raio dos subcondutores e o raio da circunferência onde estão
localizados os eixos dos subcondutores, ver Fig. 1.3.
O valor de 𝑅0 toma o valor máximo para a situação do cabo entrançado:
𝑅0𝑚𝑎𝑥= (
𝑟𝑐
𝑎)
𝑚𝑎𝑥= sen (
π
𝑁) (3.7)
3.2.1 Intensidade do campo elétrico à superfície de um subcondutor de um cabo
entrançado
A evolução da intensidade do campo elétrico à superfície de um subcondutor em função da
coordenada azimutal 𝜑 é representada por (2.55) do capítulo 2.
Na situação em que as cargas de todos os subcondutores do feixe têm a mesma polaridade,
o campo elétrico é mais intenso na região periférica dos subcondutores. Verifica-se a intensidade
máxima do campo elétrico à superfície de um subcondutor para 𝜑 = 0.
Através de (2.55) verifica-se que o valor máximo do campo elétrico à superfície do condutor,
é obtido para 𝜑=0:
𝐸𝑚𝑎𝑥 =𝐶0
(𝑘)
𝑟𝑘
{1 + ∑ |𝑚|𝐶𝑚
(𝑘)
𝐶0(𝑘)
+∞
𝑚=−∞𝑚≠0
} (3.8)
Os resultados obtidos referentes à evolução da intensidade do campo elétrico à superfície do
condutor foram comparados com os de [6]. Para isso, o campo elétrico foi normalizado ao campo
à superfície de um condutor cilíndrico isolado com o mesmo raio exterior e a mesma carga do
cabo, e portanto o campo normalizado é dado por:
28
𝐸𝑛 =𝑅𝑒
𝑁𝑅0
{1 + ∑ |𝑚|𝐶𝑚
(𝑘)
𝐶0(𝑘)
𝑒 j𝑚𝜑
+∞
𝑚=−∞𝑚≠0
} (3.9)
em que
𝑅𝑒 = 1 + 𝑅0 (3.10)
onde 𝑅𝑒 é o raio exterior do cabo normalizado a 𝑎, ver Fig. 3.1.
O valor de 𝑅0 considerado foi o valor de 𝑅0𝑚á𝑥, definido em (3.7). Na Fig. 3.3 é representada
a evolução da intensidade do campo elétrico normalizado En à superfície do condutor cilíndrico,
para diferentes números de subcondutores e, consequentemente, com raios diferentes, com uma
distribuição uniforme de carga pelos subcondutores. O eixo das ordenadas representa a
intensidade do campo elétrico normalizado En à superfície do condutor e o eixo das abcissas a
variação do ângulo 𝜑.
Fig. 3.3 – Distribuição do campo elétrico à superfície de um condutor entrançado.
Os resultados obtidos na Fig. 3.3 estão de acordo com os resultados de [6].
Pela análise da figura verifica-se assim que o campo elétrico à superfície do condutor varia
com a sua posição angular 𝜑, devido à presença dos restantes subcondutores. A sua variação
depende do número de subcondutores no feixe e do raio dos subcondutores. O campo elétrico
máximo verifica-se para 𝜑=0°, onde a densidade superficial de carga é maior. À medida que se
percorre o condutor pela sua superfície para 𝜑>0°, verifica-se que a intensidade do campo
elétrico diminui, até se anular.
29
3.2.2 Intensidade do campo elétrico máximo em condutores em feixe
Os resultados obtidos para a evolução do campo elétrico na superfície dos subcondutores de
um feixe de condutores (Fig. 3.4), podem ser comparados com os de [1].
Fig. 3.4 – Configuração de um feixe de N subcondutores cilíndricos iguais de raio 𝑟𝑐, dispostos
simetricamente sobre uma circunferência de raio 𝑎.
A evolução da relação entre o campo elétrico máximo e médio à superfície dos
subcondutores, é calculada pela expressão exata segundo o método dos multipólos e pela
expressão aproximada apresentada em [1]:
𝐸𝑚á𝑥 =𝐶0
(1)
𝑟𝑐
[1 + (𝑁 − 1)𝑅0] (3.11)
em que N é o número de subcondutores do feixe, rc o raio de cada subcondutor, 𝑅0 a relação
entre o raio do subcondutor e o raio do feixe e 𝐶0(1)
é obtido por (2.43).
O campo elétrico à superfície dos condutores não é constante, devido à presença dos vários
subcondutores no feixe.
Desprezando a proximidade entre os subcondutores, o campo elétrico à superfície dos
subcondutores seria constante, podendo ser referido como o campo elétrico médio. Em
consequência de (2.55), a expressão para o campo elétrico médio vem:
𝐸𝑚𝑒𝑑 =𝐶0
(1)
𝑟𝑐
(3.12)
relacionando (3.11) com (3.12), obtém-se:
(𝐸𝑚á𝑥
𝐸𝑚é𝑑
)𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥
= 1 + (𝑁 − 1)𝑅0 (3.13)
30
Por (3.13) é possível obter o valor aproximado da relação entre o campo elétrico máximo e
médio.
Por outro lado (2.55) referida no capítulo 2 permite obter o valor exato do campo elétrico
máximo pelo método dos multipólos. Assim sendo, obtém-se a expressão para o cálculo do valor
exato da relação entre o campo elétrico máximo e o campo elétrico médio.
(𝐸𝑚𝑎𝑥
𝐸𝑚é𝑑
)𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡
= 1 + ∑ |𝑚|𝐶𝑚
(𝑘)
𝐶0(𝑘)
+∞
𝑚=−∞𝑚≠0
(3.14)
Na Fig. 3.5 são representadas as evoluções do valor exato e aproximado da relação do campo
elétrico máximo e médio em função da relação 2𝑟𝑐
𝑑⁄ , em que 𝑑 está indicado na Fig. 1.3. A
obtenção dos resultados foi realizada para diferentes números de subcondutores.
No eixo das ordenadas está representada a evolução da relação do campo elétrico máximo
e médio e no eixo das abcissas a relação entre o diâmetro dos subcondutores e distância ao
centro de dois subcondutores consecutivos.
A evolução da relação entre o campo elétrico máximo e médio calculado pela expressão exata
está representada a cheio e a evolução calculada pela expressão aproximada está representada
a tracejado.
Fig. 3.5 – Evolução do campo elétrico para 2, 4 e 16 subcondutores.
Verifica-se que os resultados obtidos estão de acordo com os apresentados em [1].
As evoluções das expressões exata e aproximada, (3.14) e (3.13), respectivamente, foram
obtidas em função da relação entre o raio dos subcondutores e o raio do feixe, 𝑅0. As dimensões
dos subcondutores variam entre zero e o seu valor máximo, sendo o valor máximo obtido na
situação em que todos os subcondutores do feixe estão encostados. A evolução da relação do
campo elétrico máximo e médio foi observada para diferente número de subcondutores,
31
nomeadamente, para o número de subcondutores mais usados em linhas de transmissão
aéreas.
No eixo das ordenadas está representado o valor da relação entre o campo elétrico máximo
e o campo elétrico médio à superfície dos subcondutores e no eixo das abcissas a relação entre
o raio dos subcondutores e o raio do feixe. A cheio está representada a evolução da expressão
do valor exato da relação do campo elétrico máximo e médio e a tracejado estão representados
os valores da expressão aproximada da mesma relação. Os valores foram obtidos para feixes
de dois, três, quatro e seis subcondutores.
Fig. 3.6 – Valores da relação do campo elétrico máximo e campo elétrico médio à superfície de um subcondutor.
A expressão aproximada conduz a um comportamento linear do campo elétrico máximo,
geralmente com valores superiores aos da expressão exata. Comparando a evolução das duas
expressões perante o aumento do raio dos subcondutores, verifica-se que para valores de raio
de subcondutores menores, em que a proximidade entre estes é muito pequena, não existe
diferença entre os valores referentes à expressão aproximada e à expressão exata. A relação
entre o campo elétrico máximo e o campo elétrico médio aumenta com o raio dos subcondutores,
aumentando também com o número de subcondutores no feixe, verificando-se o valor máximo
desta relação na situação em que os subcondutores estão encostados.
À medida que os subcondutores tomam maiores dimensões verifica-se que os resultados da
expressão exata tomam valores inferiores aos valores da expressão aproximada. Deste modo,
verifica-se que com o uso da expressão aproximada os condutores serão sobredimensionados
para o valor de campo elétrico máximo que não deve ser excedido, uma vez que o campo elétrico
máximo calculado pela expressão aproximada é maior do que o valor da expressão exata.
Verifica-se um desvio entre os valores das duas expressões, essencialmente, devido à
presença dos vários subcondutores no feixe e ao seu efeito de proximidade, existindo assim uma
maior não uniformidade do campo elétrico máximo sobre a superfície dos subcondutores.
32
Na Fig. 3.7 está representado o desvio entre o cálculo da relação do campo elétrico máximo
e médio, em função das dimensões dos subcondutores, pela expressão aproximada e pela
expressão exata.
ϵE(%) = ((Emáx
Eméd
)aprox
− (Emáx
Eméd
)exat
) × 100 (3.15)
O eixo das ordenadas corresponde ao desvio em percentagem e o eixo das abcissas à
relação entre o raio dos subcondutores e o raio do feixe.
Fig. 3.7 – Desvio entre o valor aproximado e exato da relação do campo elétrico máximo e médio à superfície dos subcondutores.
Na determinação do campo elétrico máximo um desvio positivo conduz a um
sobredimensionamento do condutor em feixe, enquanto um desvio negativo conduz a um
subdimensionamento. Analisando a Fig. 3.7, verifica-se que para valores de raios de
subcondutores muito pequenos e, consequentemente, uma menor proximidade entre
subcondutores, o desvio entre o valor exato e o valor aproximado é nulo, como verificado
igualmente na Fig. 3.6. À medida que a proximidade entre os subcondutores aumenta, os desvios
tornam-se cada vez maiores até atingirem um desvio máximo, refletido pela máxima proximidade
dos subcondutores. Os desvios observados na Fig. 3.7 apresentam valores muito elevados. No
caso de quatro subcondutores no feixe o desvio atinge um valor superior a 75%. Assim sendo, o
uso da expressão aproximada para o cálculo do campo elétrico máximo tem de ser restringida
para casos em que o afastamento entre os subcondutores é muito grande comparado com as
suas dimensões transversais.
33
3.2.3 Distribuição do campo elétrico ao longo da periferia de um subcondutor de um feixe
Neste parágrafo apresenta-se a distribuição do campo elétrico à superfície do subcondutor 1
de um feixe de N subcondutores cilíndricos iguais de raio 𝑟𝑐, dispostos simetricamente sobre uma
circunferência de raio 𝑎 (Fig. 3.4).
O campo elétrico à superfície do subcondutor 1, apresenta-se em função do ângulo 𝜑 e é
dado por (2.55) com k=1.
Na Fig. 3.8 apresentam-se os resultados para N=3 subcondutores e para vários valores de
proximidade definida através do parâmetro 𝑅0.
O valor de 𝑅0𝑚𝑎𝑥 verifica-se no caso em que os subcondutores se encontram encostados
(caso do cabo entrançado), representado a verde. O eixo das ordenadas representa a
intensidade do campo elétrico à superfície do subcondutor normalizado de acordo com (3.9) e o
eixo das abcissas o ângulo 𝜑.
Fig. 3.8 – Distribuição do campo elétrico do condutor com três subcondutores
No caso em que os subcondutores estão encostados, o campo elétrico à superfície do
condutor apresenta uma maior variação, tomando um valor máximo para 𝜑=0 até se anular.
Para subcondutores de menores dimensões e, consequentemente, mais afastados, pelo facto
do raio do feixe ter valor constante, o campo é mais uniforme à medida que o raio dos
subcondutores diminui. Esta uniformidade está relacionada com o efeito de proximidade entre os
subcondutores, ou seja, quanto mais distantes estiverem os subcondutores menos influência
existe entre os mesmos. O valor do campo elétrico tomaria valores constantes caso não existisse
efeito de proximidade nos subcondutores, dependendo este valor do seu raio e da carga por
unidade de comprimento.
34
3.2.4 Raio equivalente para o potencial de um sistema de condutores em feixe
O raio equivalente para o potencial é definido como o raio de um condutor cilíndrico, coaxial
com o sistema de condutores e com igual carga por unidade de comprimento, cujo potencial,
tomado em relação a uma distância grande comparada com as dimensões transversais do feixe,
seria igual ao potencial do feixe em relação ao mesmo ponto. Ou seja, torna-se assim possível
sob o ponto de vista da função potencial representar um feixe de condutores por um único
condutor cilíndrico equivalente.
A expressão aproximada usada para o cálculo do raio equivalente para o potencial é referida
como o raio médio geométrico, [1]. Esta aproximação resulta da consideração de várias cargas
filiformes localizadas nos eixos dos subcondutores com a mesma carga por unidade de
comprimento desses subcondutores. A expressão do raio médio geométrico normalizado
(R.M.G.) depende assim do número de subcondutores N, do raio dos subcondutores rc e do raio
da circunferência 𝑎 onde estão localizados os eixos dos subcondutores
𝑅. 𝑀. 𝐺. = (𝑁𝑅0)1
𝑁⁄ (3.16)
A expressão do raio médio geométrico é aplicada nas situações em que a relação entre o
raio dos subcondutores e a distância entre eles é pequena.
A expressão exata do raio equivalente para o potencial é obtido através da diferença de
potencial entre um ponto na superfície dos subcondutores e um ponto a uma distância muito
grande dos mesmos. Considerando uma distância muito grande da superfície dos subcondutores
𝑟∞, o potencial neste ponto tem a seguinte forma:
𝑉∞ = 𝑁𝐶0(1)
ln𝑟𝑐
𝑟∞
(3.17)
Assim o potencial à superfície do subcondutor 1 da Fig. 3.1, de acordo com (2.39)
considerando todos os subcondutores de carga q e raio 𝑟𝑐:
𝑟𝑐
|��𝑘𝑖|=
𝑅0
|1 − 𝑒𝑗2𝜋𝑁
(𝑖−1)|
(3.18)
donde resulta:
𝑉1 = 𝐶0(1)
ln1
𝑁𝑅0 + 𝑃𝑘 (3.19)
35
A diferença de potencial entre o ponto à superfície do subcondutor 1 e o ponto à distância 𝑅∞
é assim descrita:
𝑉1 − 𝑉∞ = 𝐶0(1)
ln(𝑅∞)𝑁
𝑁𝑅0 + 𝑃𝑘 (3.20)
em que 𝑅∞ =𝑟∞
𝑎.
De forma a obter a expressão que carateriza o raio equivalente de um conjunto de
subcondutores num condutor em feixe ou entrançado, é necessário ter em conta a contribuição
de todos os 𝑁 subcondutores presentes no feixe. Considerando um condutor cilíndrico
equivalente de raio 𝑅𝑉, a diferença de potencial entre o condutor e o ponto à distância 𝑅∞ é dada
por:
𝑉1 − 𝑉∞ = 𝑁𝐶0(1)
ln𝑅∞
𝑅𝑉 (3.21)
onde
𝑉1 = 𝑁𝐶0(1)
ln1
𝑅𝑉
(3.22)
Igualando (3.19) a (3.22), obtém-se a expressão que permite calcular o raio equivalente para
o potencial:
𝑅𝑉 = (𝑁𝑅0)
1𝑁 𝑒
−𝑃𝑘
𝑁𝐶0(1)
(3.23)
No caso em que 𝑃𝑘 = 0, ou seja, desprezando a proximidade obtém-se (3.16) para o raio
equivalente.
Os resultados obtidos relativamente ao raio equivalente para o potencial, foram comparados
com os de [1]. Na Fig. 3.9 representa-se a evolução do raio equivalente pelo método dos
multipólos e do raio médio geométrico em função da relação 2𝑟𝑐
𝑑⁄ . A obtenção dos resultados
foi realizada para diferentes números de subcondutores.
No eixo das ordenadas está representado a evolução do raio equivalente calculado pelas
expressões aproximada e exata e no eixo das abcissas está representada a relação entre o
diâmetro dos subcondutores e a distância entre dois subcondutores consecutivos.
A evolução do raio médio geométrico encontra-se representado a cheio e a evolução do raio
equivalente pela expressão exata está representada a tracejado.
36
Fig. 3.9 – Raio equivalente para o potencial para 2 e 16 subcondutores no feixe.
Pela análise da Fig. 3.9 verifica-se que os resultados obtidos para o raio equivalente são
consistentes com os de [1].
A representação das expressões (3.23) e (3.16) para o cálculo do raio equivalente, é feita
agora em função da relação entre o raio dos subcondutores rc e a circunferência 𝑎, 𝑅0.
A Fig. 3.10 pretende verificar a influência da proximidade dos subcondutores e do número
destes no feixe na evolução do raio equivalente calculado pelas expressões aproximada e exata.
A tracejado está representada a evolução relativa ao raio médio geométrico calculado pela
expressão aproximada e a cheio a evolução do raio equivalente para o potencial calculado pela
expressão exata segundo o método dos multipólos.
Fig. 3.10 – Evolução do raio equivalente para o potencial em função do parâmetro de proximidade.
Os valores do raio equivalente para o potencial aumentam à medida que o raio dos
subcondutores aumenta, tanto para a expressão exata como para a expressão aproximada. O
valor máximo para diferentes números de subcondutores verifica-se para a situação em que a
relação entre o raio dos subcondutores e o raio do feixe toma o seu valor máximo. Esta evolução
37
era expetável, visto que ambas as expressões dependem essencialmente das dimensões do raio
dos subcondutores.
A relação entre o raio dos subcondutores e o raio do feixe varia entre zero e o seu valor
máximo, ou seja, quando os subcondutores do feixe estão todos encostados. Visto que o raio do
feixe é constante, verifica-se que valor máximo do raio dos subcondutores diminui com o
aumento do número de subcondutores no feixe.
Verifica-se que os valores das duas expressões para valores de raios dos subcondutores
pequenos são iguais e à medida que o raio dos subcondutores aumenta a diferença entre as
duas acentua-se. Essa diferença deve-se essencialmente ao efeito de proximidade entre os
subcondutores. De salientar que a diferença entre as duas expressões é mais significativa para
um maior número de subcondutores, visto que o efeito de proximidade entre os subcondutores
é igualmente maior.
Na Fig. 3.10 foram apresentados os resultados para o cálculo do raio equivalente para o
potencial, pela expressão exata e pela expressão aproximada. Verifica-se que existe um desvio
relativamente aos valores do raio equivalente entre as duas expressões. Assim, surge a
necessidade de avaliar o desvio entre as duas expressões. A Fig. 3.11 representa a evolução do
desvio (em percentagem) entre os valores obtidos pela expressão do raio médio geométrico e
os obtidos pela expressão exata do raio equivalente.
ϵR(%) =(R. M. G. −𝑅𝑣) × 100
𝑅𝑣
(3.24)
Na Fig. 3.11, o eixo das ordenadas representa o valor do desvio em percentagem e o eixo
das abcissas o valor da relação entre o raio dos subcondutores e o raio do feixe.
Fig. 3.11 – Desvio entre o valor aproximado e o valor exato do raio equivalente
Verifica-se que o desvio do raio equivalente para o potencial é sempre negativo, para
quaisquer dimensões e números de subcondutores. O desvio aumenta em módulo à medida que
38
a relação entre o raio dos subcondutores e o raio do feixe aumenta, ou seja, quando a
proximidade entre os subcondutores aumenta. O desvio chega a atingir 25%, em feixes de 3 e 4
subcondutores, no caso em que os subcondutores estão todos encostados. Para situações em
que a proximidade entre os subcondutores é muito pequena verifica-se que praticamente não
existe nenhum desvio entre a expressão aproximada e a expressão exata do raio equivalente.
Com o aumento do número de subcondutores no feixe o desvio tende a ser cada vez maior em
valor absoluto.
39
Capítulo 4
Conclusões
Neste capítulo apresentam-se de forma sumária, as principais conclusões decorrentes dos
resultados obtidos para o campo elétrico e para o raio equivalente para o potencial em linhas
aéreas com condutores em feixe e entrançados.
São descritas as principais conclusões retiradas, relativamente à comparação, dos resultados
obtidos pelas expressões exatas e aproximadas do campo elétrico e do raio equivalente para o
potencial.
40
O algoritmo foi validado comparando os resultados obtidos com resultados publicados em
artigos científicos.
Relativamente à evolução da intensidade do campo elétrico à superfície dos subcondutores
em sistemas de condutores em feixe e entrançados, conclui-se que, o facto dos subcondutores
se encontrarem em proximidade, o campo elétrico na sua superfície não é uniforme. Com a
redução do efeito de proximidade o campo elétrico à superfície dos subcondutores tende a ser
constante ao longo da coordenada azimutal do subcondutor. Pela análise dos resultados obtidos
o valor máximo do campo elétrico à superfície dos subcondutores verifica-se no ponto do
subcondutor pertencente à periferia do cabo.
Perante os resultados obtidos da relação do campo elétrico máximo e médio em função da
relação do raio dos subcondutores e do raio do feixe, conclui-se que, à medida que a relação
entre o raio dos subcondutores e o raio do feixe aumenta, a relação entre o campo elétrico
máximo e médio também aumenta. Conclui-se que o máximo da relação entre o campo elétrico
máximo e médio verifica-se para a situação em que os subcondutores estão todos encostados
(cabo entrançado). Conclui-se que os resultados obtidos pela expressão aproximada conduz a
um comportamento linear do campo elétrico máximo, o mesmo não se verifica relativamente aos
resultados obtidos pela expressão exata. A expressão exata tem em conta a influência que os
subcondutores têm entre eles. Comparados os resultados obtidos pela expressão aproximada e
exata, conclui-se que os valores obtidos pela expressão aproximada são iguais ou superiores
aos valores obtidos pela expressão exata. À medida que a proximidade entre os subcondutores
aumenta, conclui-se que os desvios tornam-se cada vez maiores. Assim sendo, é possível
concluir que a expressão aproximada para o cálculo do campo elétrico máximo é válida para
valores de 𝑅0 inferiores a 0,1 com erro menor que 5%.
Considerou-se ainda a obtenção do raio equivalente para o potencial, o que permitiu obter
um condutor equivalente sob o ponto de vista do potencial.
Pelos resultados obtidos, conclui-se que os valores do raio equivalente para o potencial
aumentam à medida que o raio dos subcondutores aumenta, tanto para a expressão exata como
para a expressão aproximada (R.M.G.). O valor máximo do raio equivalente para o potencial,
para diferentes números de subcondutores verifica-se para a situação em que a relação entre o
raio dos subcondutores e o raio do feixe toma o seu valor máximo. O valor máximo do raio
equivalente para o potencial diminui com o aumento do número de subcondutores no feixe.
Conclui-se que os valores das duas expressões para valores de raios dos subcondutores
pequenos são iguais e à medida que o raio dos subcondutores aumenta a diferença entre as
duas acentua-se. Essa diferença deve-se ao efeito de proximidade entre os subcondutores. De
salientar que a diferença entre as duas expressões é mais significativa para o mesmo raio do
feixe, para um maior número de subcondutores, visto que o efeito de proximidade entre os
subcondutores é igualmente maior.
Os valores da expressão exata do raio equivalente para o potencial para os diferentes
números de subcondutores, são sempre iguais ou superiores aos valores obtidos pela expressão
aproximada do raio médio geométrico.
41
Relativamente aos resultados obtidos para o desvio entre o raio equivalente para o potencial
calculado pela expressão exata e pela expressão do raio médio geométrico, conclui-se que este
desvio aumenta em módulo à medida que a relação entre o raio dos subcondutores e o raio do
feixe aumenta, ou seja, quando a proximidade entre os subcondutores aumenta. Conclui-se que
a expressão aproximada para o cálculo do raio equivalente para o potencial é válida para valores
de 𝑅0 inferiores a 0,1 com erro menor que 5%.
43
Referências Bibliográficas
[1] M. T., Correia de Barros, Cálculo aproximado do campo eléctrico de condutores em feixe
Teoria e erros, Electricidade, nº151, pp. 1-12, Maio 1980.
[2] Software Matlab, (http://www.mathworks.com/products/matlab).
[3] A. S. Timascheff, Field Patterns of Bundle Conductors and Their Electrostatic
Properties, AIEE Trans. pt. III, Vol. 80, pp. 590-597, October 1961.
[4] J. A. Brandão Faria, Electromagnetic Foundations of Electrical Engineering, Wiley, 2008.
[5] V. Maló Machado, M. Eduarda Pedro, J. Brandão Faria, D. Van Dommelen, Magnetic
field analysis of three-condutor bundles in flat and triangular configurations with the
inclusion of proximity and skin effects, Electric Power Systems Research, Vol. 81, pp.
2005-2014, November 2011.
[6] J. F. Borges da Silva: “The electrostatic field problem of stranded and bundle
conductors solved by the multipole method”; Electricidade, nº142, pp. 1-11, Março –
Abril 1979.
[7] J. P. Sucena Paiva, Redes de Energia Elétrica, Sucena Paiva, IST Press, Abril 2005.
