Braquistócrona vs. Geodésica Um problema de Cálculo de Variações Hugo Araújo Luso 2006 Hugo...
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Braquistócrona vs. GeodésicaBraquistócrona vs. Geodésica
Um problema de Cálculo de VariaçõesUm problema de Cálculo de Variações
Hugo Araújo
Luso 2006
Hugo Araújo
Luso 2006
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Luso 2006
1. Cálculo de Variações1. Cálculo de Variações
Objectivo:• Procurar mínimos ou máximos de
funcionais.• Funcional:
• Exemplo:Comprimento de arco de curva no plano entre o ponto e .
Objectivo:• Procurar mínimos ou máximos de
funcionais.• Funcional:
• Exemplo:Comprimento de arco de curva no plano entre o ponto e .
Φ : {Curvas} → °
(x0 , y0 ) (x1, y1)
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Luso 2006
Seja de classe
Cálculo variacional minimiza funcionais da forma
onde
e
Diz-se que:
minimiza a funcional se
Seja de classe
Cálculo variacional minimiza funcionais da forma
onde
e
Diz-se que:
minimiza a funcional se
C1
y*∈C ∀y ∈C : Φ(y*) ≤ Φ(y)
y : x0 , x1[ ] → °
x→ y(x)
C = y: x0 ,x1[ ] → ° : y(x0 ) =y0 ∧y(x1) =y1{ }
Φ :C→ °
y(x)→ F(x,y(x),y'(x))dxx0
x1
∫
y '(x)=dy dx.
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Luso 2006
1.1. Equação de Euler-Lagrange1.1. Equação de Euler-Lagrange
Pretende-se minimizar a funcional:
Assume-se que é de classe
Condição necessária para mínimo:
Eq. de Euler-Lagrange
Uma curva ao longo da qual é verificada a eq. de Euler-Lagrange chama-se de extremal.
Pretende-se minimizar a funcional:
Assume-se que é de classe
Condição necessária para mínimo:
Eq. de Euler-Lagrange
Uma curva ao longo da qual é verificada a eq. de Euler-Lagrange chama-se de extremal.
d
dx
∂F∂y'
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=∂F∂y
Φ = F(x, y, y ')dxx0
x1
∫F(x, y, y ') C 2
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Luso 2006
1.1.1. Casos Particulares da eq. de E-L.1.1.1. Casos Particulares da eq. de E-L.
1º Caso - Se F não depende explicitamente de y, isto é,
ou equivalentemente, , a
equação de E-L escreve-se:
2º Caso - Se F não depende explicitamente de x, isto é,
ou equivalentemente, , a equação
de E-L implica:
1º Caso - Se F não depende explicitamente de y, isto é,
ou equivalentemente, , a
equação de E-L escreve-se:
2º Caso - Se F não depende explicitamente de x, isto é,
ou equivalentemente, , a equação
de E-L implica: F −y'
∂F∂y'=C ∈°
Φ = F(x, y ')dxx0
x1
∫
d
dx
∂F∂y'
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=0 ⇒
∂F∂y'=C ∈°
∂F∂y
= 0
Φ = F(y, y ')dxx0
x1
∫∂F∂x
= 0
Eq. da energiaEq. da energia
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Luso 2006
1.1.2. Demonstração do 2º caso particular1.1.2. Demonstração do 2º caso particular
Seja
Logo, qualquer qualquer extremal verifica a eq. da energia.
Nota 1: O recíproco é verdadeiro se é de classe e
Seja
Logo, qualquer qualquer extremal verifica a eq. da energia.
Nota 1: O recíproco é verdadeiro se é de classe e
Ψ =F(y, y ') − y '∂F(y, y ')
∂y '
dΨdx=∂F∂y
y'+∂F∂y'
y''−y''∂F∂y'−y'
ddx∂F∂y'=y'
∂F∂y−
ddx∂F∂y'
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
C 2
y
y '≠0.
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Luso 2006
1.2. Cálculo de Variações - Exemplo1.2. Cálculo de Variações - Exemplo•Exemplo:Comprimento de arco da curva entre eé dado pela seguinte funcional:
Como , e a eq. de E-L é:
As extremais para este problema chamam-se geodésicas.
•Exemplo:Comprimento de arco da curva entre eé dado pela seguinte funcional:
Como , e a eq. de E-L é:
As extremais para este problema chamam-se geodésicas.
y(x) (x0 , y0 ) (x1, y1)
Φ = 1 + y '2dxx0
x1
∫
F(x, y, y ')= 1+ (y'(x))2
d
dx
y '
1+ (y'(x))2⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟=0
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Luso 2006
2. Braquistócrona no plano2. Braquistócrona no plano• O problema da Braquistócrona foi proposto em 1696 por
Johann Bernoulli.• Este problema consiste em encontrar a curva que
minimiza o tempo de queda, entre dois pontos num mesmo plano vertical, de um corpo largado do ponto inicial e sujeito apenas à força da gravidade.
• A publicação da solução deste problema em 1697, assinala o inicio do cálculo de variações.
• O problema da Braquistócrona foi proposto em 1696 por Johann Bernoulli.
• Este problema consiste em encontrar a curva que minimiza o tempo de queda, entre dois pontos num mesmo plano vertical, de um corpo largado do ponto inicial e sujeito apenas à força da gravidade.
• A publicação da solução deste problema em 1697, assinala o inicio do cálculo de variações.
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Luso 2006
Considere-se que o corpo que é largado do ponto e chega ao ponto com eSeja uma curva parametrizada pelo tempo t e o seu vector velocidade.
Cálculo do tempo de percurso do corpo pela curva
Assumimos que ao longo desta curva se tem
Pelo Teorema da Conservação da Energia
Considere-se que o corpo que é largado do ponto e chega ao ponto com eSeja uma curva parametrizada pelo tempo t e o seu vector velocidade.
Cálculo do tempo de percurso do corpo pela curva
Assumimos que ao longo desta curva se tem
Pelo Teorema da Conservação da Energia
Ec + Ep=Eci + Epi ⇔12
mv2 +mgh=12
mvi2 +mghi ⇔
v2 + 2gh=0 ⇔ &x2 + &y2 =−2gy⇔ &x2 1+ y'2( ) =−2gy⇔
dxdt
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟2
=−2gy1+ y'2
⇔dtdx=1+ y'2
−2gy⇔ t=
1+ y'2
−2gy0
x1
∫ dx
ψ (t) = (x(t), y(t))
&ψ (t) = ( &x(t), &y(t))
(0, 0)(x1, y1) x1 > 0 y1 < 0.
y =y(x).
ψ (t).
v = &ψ = &x2 + &y2
&y =
dydt=
dydx
dxdt=y'&x
Assumindo que y é função de x:Assumindo que y é função de x:
Tempo de percurso entre e ao longo de Tempo de percurso entre e ao longo de x0 =0 x1 y =y(x).
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Luso 2006
F −y'∂F∂y'=C⇔ y'=± −
12C2gy
−1 ⇔ y'=± −k2
y−1
∂F∂x
= 0
Seja k2 =1
2C2g
t =1+ y'2
−2gy0
x1
∫ dx F =1+ y'2
−2gy
Pretende-se minimizar a seguinte funcional:Pretende-se minimizar a seguinte funcional:
Como , utiliza-se a eq. da energia.Como , utiliza-se a eq. da energia.
Eq. da energia para o problema da Braquistócrona.Eq. da energia para o problema da Braquistócrona.
y '=dydx=
dyds
dxds⇔
dxds=
dyds
y'
Utilize-se a seguinte mudança de variável:Utilize-se a seguinte mudança de variável:
Pelo teorema da função implícita:Pelo teorema da função implícita:
y '(x)=± −k2
y(x)−1 ⇔
dxds=±
k2
21−coss( ) ⇒ x(s) =
k2
2s−sins( )
Resolução da equação diferencialResolução da equação diferencialy(s)=−
k2
21−coss( )
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Luso 2006
A curva paramétrica
satisfaz a eq. da energia . Esta curva tem o nome de ciclóide.
A curva paramétrica
satisfaz a eq. da energia . Esta curva tem o nome de ciclóide.
Nota 2: É possível mostrar que:
•A ciclóide define com função de (expressão difícil de obter);
•Essa função é de classe e
•Pela nota 1 satisfaz a eq. de E-L, pelo que é uma extremal;
•A ciclóide é a única extremal.
•Usando técnicas de controlo óptimo é ainda possível mostrar que a ciclóide minimiza o tempo de percurso.
Nota 2: É possível mostrar que:
•A ciclóide define com função de (expressão difícil de obter);
•Essa função é de classe e
•Pela nota 1 satisfaz a eq. de E-L, pelo que é uma extremal;
•A ciclóide é a única extremal.
•Usando técnicas de controlo óptimo é ainda possível mostrar que a ciclóide minimiza o tempo de percurso.
y x
y x( ) C 2 y '(x)≠0;
y(x)
x(s)=k2
2s−sins( )
y(s) =−k2
21−coss( )
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
s∈ 0,2π[ ]k∈° \ 0{ }
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Luso 2006
Vai-se comparar o tempo de queda do corpo pela ciclóide com constante entre os pontos
e o tempo de queda do corpo pela geodésica entre os mesmos pontos.
Vai-se comparar o tempo de queda do corpo pela ciclóide com constante entre os pontos
e o tempo de queda do corpo pela geodésica entre os mesmos pontos.
2.1. Braquistócrona vs. Geodésica2.1. Braquistócrona vs. Geodésica
k =1
(0, 0) x3π2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟,y
3π2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=3π4+12,−12
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ee
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Luso 2006
&x2 + &y2 =−2gy⇔dsdt
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟2 dx
ds⎛⎝⎜
⎞⎠⎟2
+dyds
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟2⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟=−2gy(s)⇔ t=
dxds
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟2
+dyds
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟2
−2gy(s)0
3π2
∫ ds
Tempo de queda do corpo numa curva paramétrica.Tempo de queda do corpo numa curva paramétrica.
Como já anteriormente tínhamos visto:Como já anteriormente tínhamos visto:
Tempo de percurso na curva paramétrica.Tempo de percurso na curva paramétrica.
Consideremos a ciclóide com constante entre os pontos eConsideremos a ciclóide com constante entre os pontos e
x(s)=12
s−sins( )
y(s) =−121−coss( )
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
(0, 0)
x3π2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟,y
3π2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=3π4+12,−12
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟.
k =1
dx
ds=121−coss( )
dyds=−
12
sins
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
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Luso 2006
Tempo de queda do corpo pela recta entre os pontos eTempo de queda do corpo pela recta entre os pontos e
(0, 0)
3π4+12,−12
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟.
y =−2
3π + 2x
t =1+ y'2
−2gy0
x1
∫ dx⇔ t=
3π + 2( )2 + 43π + 2( )2
2g2
3π + 2x0
3π4+12
∫ dx⇔ t ; 1.85
Verifica-se que o caminho mais rápido é pela ciclóide, com o tempo de aproximadamente 1,064.Verifica-se que o caminho mais rápido é pela ciclóide, com o tempo de aproximadamente 1,064.
Tempo de percurso pela geodésica.Tempo de percurso pela geodésica.
⇔ t =
1
21− cos s( )
−2g −1
21− cos s( )
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
0
3π
2
∫ ds⇔ t =1
2g0
3π
2
∫ ds ; 1,064
Substituindo,Substituindo,
Tempo de percurso pela ciclóide.Tempo de percurso pela ciclóide.
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Luso 2006
2.2. Tautócrona2.2. TautócronaQuickTime™ and aAnimation decompressor
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Luso 2006
Tempo de queda do corpo pela ciclóide entre os pontos e
Considere-se a ciclóide:
Tempo de queda do corpo pela ciclóide entre os pontos e
Considere-se a ciclóide:
x(s)=k2
2s−sins( )
y(s) =−k2
21−coss( )
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
(0, 0)
x π( ),y π( )( ).
Analogamente ao que foi feito anteriormente, o tempo de queda do corpo pela ciclóide entre os pontos e , é obtido por:Analogamente ao que foi feito anteriormente, o tempo de queda do corpo pela ciclóide entre os pontos e , é obtido por:(0, 0) x π( ),y π( )( )
t =
dxds
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟2
+dyds
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟2
−2gy(s)0
π
∫ ds⇔ t=
k4
2(1−coss)
2gk2
2(1−coss)0
π
∫ ds⇔ t=k2
2g0
π
∫ ds⇔ t=k2
2gπ
Tempo de percurso entre e , largado em Tempo de percurso entre e , largado em (0, 0) (x(π ),y(π )) (0, 0).
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Luso 2006
x π( ),y π( )( )x s0( ),y s0( )( ) = x0 ,y0( ) s0 ∈ 0,π] [Tempo de queda do corpo pela ciclóide entre os pontos
e com , ondeTempo de queda do corpo pela ciclóide entre os pontos
e com , onde v s0( ) =0.
Formula para o tempo de percurso entre e , largado em Formula para o tempo de percurso entre e , largado em
Ec + Ep=Eci + Epi ⇔12
mv2 +mgh=12
mvi2 +mghi ⇔ t=
dxds
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟2
+dyds
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟2
2g(y0 −y)s0
π
∫ ds
ψ (t) = (x(t), y(t))
&ψ (t) = ( &x(t), &y(t))
(x0 , y0 )
Seja uma curva parametrizada pelo tempo t e o seu vector velocidade.
Analogamente ao efectuado anteriormente, pelo teorema da conservação da energia,
Seja uma curva parametrizada pelo tempo t e o seu vector velocidade.
Analogamente ao efectuado anteriormente, pelo teorema da conservação da energia,
(x(π ),y(π ))(x0 , y0 ).
t =k2
2g1−coss
coss0 −cosss0
π
∫ ds
Ao longo da ciclóide tem-se:Ao longo da ciclóide tem-se:
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Luso 2006
t =k2
2g
sins2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
cos2s02
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟−cos2
s2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
s0
π
∫ ds
⇔ t=k2
2g−2arctan 0( ) + 2arctan +∞( )( ) ⇔ t=
k2
2gπ
1−cos(θ) =2sin2θ2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
cos(θ) =2cos2θ2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟−1
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
Utilize-se as seguintes igualdades trigonométricas:Utilize-se as seguintes igualdades trigonométricas:
Para concluir que:Para concluir que:
Tempo de percurso entre e , largado em Tempo de percurso entre e , largado em (x0 , y0 ) (x(π ),y(π )) (x0 , y0 ).
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Luso 2006
3. Braquistócrona no cilindro vertical
3. Braquistócrona no cilindro vertical
Comece-se por parametrizar o cilindro vertical no plano
Considere-se que o corpo que é largado do ponto e chega ao ponto com e
A curva no cilindro terá por coordenadas paramétricas . Assuma-se que é função de
Proceda-se agora de forma análoga ao efectuado no plano.
Comece-se por parametrizar o cilindro vertical no plano
Considere-se que o corpo que é largado do ponto e chega ao ponto com e
A curva no cilindro terá por coordenadas paramétricas . Assuma-se que é função de
Proceda-se agora de forma análoga ao efectuado no plano.
Ec + Ep=Eci + Epi ⇔ t=1+ z'2
−2gz0
θ1
∫ dθ
(θ0 , z0 ) =(0, 0)(θ1,z1) θ1 > 0 z1 < 0.
Tempo de percurso entre e ao longo da curva Tempo de percurso entre e ao longo da curva
θ0 = 0 θ1
z =z(θ).
P : 0,2π[ [ ×° → ° 3
(θ,z)→ (cosθ,sinθ,z)
Ψ(t) = x(t), y(t), z(t)( )Φ(t) = θ (t), z(t)( ) z θ.
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Luso 2006
De forma análoga ao efectuado no plano obtem-se a eq. da energia para o problema da Braquistócrona no cilindro vertical:
Prosseguindo-se chegou-se à seguinte curva como solução:
De forma análoga ao efectuado no plano obtem-se a eq. da energia para o problema da Braquistócrona no cilindro vertical:
Prosseguindo-se chegou-se à seguinte curva como solução:
z '=± −k2
z−1
θ(s) =k2
2s − sin s( )
z(s) = −k2
21 − cos s( )
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
s ∈ 0, sk[ ]
k ∈° \ 0{ }
x =cosk2
2s−sins( )
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
y=sink2
2s−sins( )
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
z=−k2
21−coss( )
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
s∈ 0, sk[ ]k∈° \ 0{ }
![Page 21: Braquistócrona vs. Geodésica Um problema de Cálculo de Variações Hugo Araújo Luso 2006 Hugo Araújo Luso 2006.](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062318/552fc151497959413d8e36c2/html5/thumbnails/21.jpg)
Luso 2006
4. Braquistócrona no cilindro horizontal
4. Braquistócrona no cilindro horizontal
Analogamente ao problema para o cilindro vertical comece-se por parametrizar o cilindro horizontal.
Considere-se que o corpo que é largado do ponto e chega ao ponto com e
Assuma-se que e proceda-se agora de forma análoga ao efectuado no cilindro vertical.
Analogamente ao problema para o cilindro vertical comece-se por parametrizar o cilindro horizontal.
Considere-se que o corpo que é largado do ponto e chega ao ponto com e
Assuma-se que e proceda-se agora de forma análoga ao efectuado no cilindro vertical.
θ1 > 0 y1 > 0.
P : 0,2π[ [ ×° → ° 3
(θ,y)→ (sinθ,y,cosθ)(θ0 ,y0 ) =(0, 0)
(θ1,y1)
θ =θ(y)
Ec + Ep=Eci + Epi ⇔ t=1+θ '2
2g(1−cosθ)0
y1
∫ dy
Tempo de percurso entre e ao longo da curva Tempo de percurso entre e ao longo da curva
y0 =0 y1
θ =θ(y).
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Luso 2006
Analogamente obtem-se a eq. da energia para o problema da Braquistócrona no cilindro horizontal:
Utilize-se agora a seguinte mudança de variável:
, i. e.
Nota 3: Quando , logo o ponto de partida verifica-se para
Pelo teorema da função inversa:
Obtem-se que:
Analogamente obtem-se a eq. da energia para o problema da Braquistócrona no cilindro horizontal:
Utilize-se agora a seguinte mudança de variável:
, i. e.
Nota 3: Quando , logo o ponto de partida verifica-se para
Pelo teorema da função inversa:
Obtem-se que:
θ ' = ±k2
1 − cosθ−1
1−cosθ =k2
21−coss( )
dθds=
k2
2sinssinθ
dθdy
dyds=
dθds⇔
dyds=
dθdsdθdy
s =0 ⇒ θ =0s =0.
dy
ds=±
1−coss
−1+ coss+4k2
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Luso 2006
Realize-se agora a seguinte mudança de variável
i. e.
Obtem-se que:
Se
Se
Realize-se agora a seguinte mudança de variável
i. e.
Obtem-se que:
Se
Se
u =coss
dy
du=
dyds
dsdu⇔
dydu=m
1
−1+u+4k2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟1+u( )
ds
du=−
1
1−u2
k2 =2 :
y(u)=mln(1+u) +C
k2 ≠2 :
y(u)=mln2 + k2u+ k u2k2 + 4u−k2 + 4
k2⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +C
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Luso 2006
Como devemos ter , determina-se a constante , e obtem-se a solução paramétrica.
Se
Se
Como devemos ter , determina-se a constante , e obtem-se a solução paramétrica.
Se
Se
k2 =2 :θ(s) = arccos 1 −
2
21 − cos s( )
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= s
y(s) = ± ln1 + cos s
2⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
k2 ≠2 :
θ(s) = arccos 1−k2
21− cos s( )
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
y(s) = ± ln2 + k2 cos s + k k2 cos2 s + 4 cos s − k2 + 4
k2 + 2 2k + 2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪⎪
s ∈ 0, arccos 1−4
k2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎡
⎣⎢
θ 0( ), y 0( )( ) = 0, 0( )C
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Luso 2006
Finalmente obteve-se a seguinte curva como solução:
Se
Se
Finalmente obteve-se a seguinte curva como solução:
Se
Se
k2 =2 :x(s)=sins
y(s) =−ln1+ coss2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
z(s) =coss
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
k2 ≠2 :
x(s)=sin arccos 1−k2
21−coss( )
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
y(s) =−ln2 + k2 coss+ k k2 cos2 s+ 4 coss−k2 + 4
k2 + 2 2k+ 2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
z(s) =cos arccos 1−k2
21−coss( )
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
s∈ 0,arccos 1−4k2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎡
⎣⎢
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Luso 2006
4.1. Braquistócrona crescente no cilindro horizontal
4.1. Braquistócrona crescente no cilindro horizontal
Se é ou não possível estender a braquistócrona para além de ?
Defina-se o seguinte ramo direito para a Braquistócrona:
Se é ou não possível estender a braquistócrona para além de ?
Defina-se o seguinte ramo direito para a Braquistócrona:
k2 < 2
θD (s) = arccos 1−k2
21 − cos s( )
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
yD (s) = −2 ln2 − k
2 + k
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟+ ln
2 + k2 cos s + k k2 cos2 s + 4 cos s − k2 + 4
k2 + 2 2k + 2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪⎪
s =π
s ∈ π,2π[ [
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Luso 2006
Nota 4: Mostrámos que a curva paramétrica estendida tem as seguintes propriedades:
•Define com função de
• satisfaz a eq. da energia
• é de classe
•
•Logo pela nota 1 a eq. de Euler-Lagrange é satisfeita;
Logo conclui-se que a curva ainda é uma extremal do problema da braquistócrona no cilindro horizontal.
Nota 4: Mostrámos que a curva paramétrica estendida tem as seguintes propriedades:
•Define com função de
• satisfaz a eq. da energia
• é de classe
•
•Logo pela nota 1 a eq. de Euler-Lagrange é satisfeita;
Logo conclui-se que a curva ainda é uma extremal do problema da braquistócrona no cilindro horizontal.
θ(y) F −θ '∂F∂θ '
=C;
θ y;
C 2;
θ '(y) ≠ 0;
θ(y)
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Luso 2006
Curva paramétrica para :Curva paramétrica para :
x(s)=sin arccos 1−k2
21−coss( )
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
y(s) =−ln2 + k2 coss+ k k2 cos2 s+ 4 coss−k2 + 4
k2 + 2 2k+ 2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
z(s) =cos arccos 1−k2
21−coss( )
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
s∈ 0,π[ [
k2 < 2
xD (s)=sin arccos 1−k2
21−coss( )
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
yD (s) =−2 ln2 −k2 + k
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟+ ln
2 + k2 coss+ k k2 cos2 s+ 4 coss−k2 + 4k2 + 2 2k+ 2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ s∈ π,2π[ [
zD (s) =cos arccos 1−k2
21−coss( )
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
![Page 29: Braquistócrona vs. Geodésica Um problema de Cálculo de Variações Hugo Araújo Luso 2006 Hugo Araújo Luso 2006.](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022062318/552fc151497959413d8e36c2/html5/thumbnails/29.jpg)
Luso 2006
BibliografiaBibliografia
•Clegg, J. C., “Calculus of variations”, Oliver & Boyal, 1968.
•Davis, F. Soares, “O cálculo variacional clássico e algumas das suas aplicações à física matemática”, EDP - Eletricidade de Portugal, 1986.
•Makaremko, G. I. e Kiseliov, A. I., “Calculo Variacional: (Ejemplos y problemas)”, MIR, 1976.
•Hector J. Sussmann and Jan C. Willems, “300 Years of Optimal Control: from the Brachystochrone to the Maximum Principle”.
•Clegg, J. C., “Calculus of variations”, Oliver & Boyal, 1968.
•Davis, F. Soares, “O cálculo variacional clássico e algumas das suas aplicações à física matemática”, EDP - Eletricidade de Portugal, 1986.
•Makaremko, G. I. e Kiseliov, A. I., “Calculo Variacional: (Ejemplos y problemas)”, MIR, 1976.
•Hector J. Sussmann and Jan C. Willems, “300 Years of Optimal Control: from the Brachystochrone to the Maximum Principle”.