8/16/2019 Bolzano - Weierstrass Exemplos

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PRINC ÍPIO DE COMPACIDADE

Dado um conjunto A R , dizemos que a R é ponto de acumula¸ c˜ ao de A

> 0, ]a − , a + [ contem pelo menos um ponto de A, distinto de a

> 0, ]a − , a + [ contem um número innito de pontos de A

Chama-se derivado de A ao conjunto A dos pontos de acumula ção de A.

Exemplos

A {1/n : n N} ]0, 1[ QA {0} [0, 1] R

Teorema de Bolzano-Weierstrass ITodo o conjunto innito e limitado A R contem pelo menos um ponto de acu-mula¸c˜ ao.

Demonstra¸ cãoDado um intervalo fechado e limitado I = [a, b] designemos por M 0(I ) = [a, a + b2 ]e M 1(I ) = [ a + b2 , b] as duas metades iguais em que o intervalo I se subdivide.Observemos que se A ∩ I fôr innito ent ão pelo menos uma das duas intersec çõesA ∩ M 0(I ) e A ∩ M 1(I ) será innita. Se fossem ambas nitas teriamos A ∩ I =(A ∩ M 0(I )) (A ∩M 1(I )) nito.

Como A é um conjunto innito e limitado podemos escolher um intervalo fechadoe limitado I 0 contendo A. Logo A ∩ I 0 = A será innito. Pela observa ção acima,pelo menos uma das metades em que se subdivide o intervalo I 0 terá uma intersec çãoinnita com A. Designemos por I

1 essa metade. Prosseguindo encontramos I

2 metade

de I 1 tal que A ∩ I 2 seja innito, e assim por diante. Mais precisamente podemosdenir recursivamente,

I n +1 = M 0(I n ) se A ∩M 0(I n ) fôr innitoM 1(I n ) caso contŕario

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Facilmente se prova por indu¸cão que para todo o n N, A ∩ I n é innito e que I n

tem comprimento |I n | = 12n |I 0|. Pelo Prinćıpio de Encaixe existe um ´unico pontoc que pertence a todos os intervalos I n . Temos que c é ponto de acumula¸cão de A

porque qualquer vizinhan¸ca ]c − , c + [ de c contem todos os intervalos I n comordens sucientemente grandes.

Dada uma sucess ão estritamente crescente de n´umeros inteiros {kn },

k1 < k 2 < k 3 < · · · < k n < k n +1 < · · ·

e uma sucessão de números reais {xn }, a sucessão {xk n }

xk 1 , xk 2 , xk 3 , · · · xk n , · · ·

diz-se uma subsucess˜ ao de {xn }.

{x2 n } x2 x4 x6 x8 · · · x2 n · · ·{x2 n − 1} x1 x3 x5 x7 · · · x2 n − 1 · · ·{x(n +1)! } x2 x6 x24 x120 · · · x(n +1)! · · ·{x2n } x2 x4 x8 x16 · · · x2n · · ·

são exemplos de subsucessões de {xn }.

Chama-se sublimite de {xn } a qualquer limite de uma subsucess ão convergentede {xn }.

Proposi¸ c ão x é sublimite de {xn }

{n N : xn = x } é innito ou x é ponto de acumula¸ c˜ ao de {xn : n N }

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Demonstra¸ cão

Se {n N : xn = x } é innito, sendok1 < k 2 < k 3 < · · · < k n < k n +1 < · · ·

uma ordena ção dos elementos deste conjunto, a subsucess ão {xk n } é constante iguala x. Logo a subsucessão converge para x, o que mostra que x é um sublimite de{xn }.

Se x fôr ponto de acumula ção de {xn : n N }, seja

k1 = min { i N : xi ]x − 1, x + 1[ } .

Como para cada n N a vizinhança ]x − 1n +1 , 1 + 1n +1 [ contem uma innidade de

termos xi podemos denir recursivamente

kn +1 = min i > k n : xi x − 1n + 1

, 1 + 1n + 1

Logo, por denição kn é estritamente crescente e

xk n x − 1n

, 1 + 1n

| x − xk n | < 1n

,

o que mostra que x = lim n →∞ xk n é sublimite de {xn }.

Se x é um sublimite de {xn } existe uma subsucess ão {xk n } convergente parax. Se o conjunto dos termos desta subsucess ão {xk n : n N } fôr innito ent ãox é ponto de acumula¸cão deste conjunto, e portanto também é ponto de acumula¸ cãodo conjunto maior {xn : n N }. Caso contr ário, se {xk n : n N } fôr nito,teremos xk n = x para todo o n sucientemente grande. Logo {n N : xn = x } éinnito porque contem todas as ordens kn com n sucientemente grande.

Teorema de Bolzano-Weierstrass IIToda a sucess˜ ao limitada de n´ umeros reais admite pelo menos um sublimite.

Demonstra¸ cãoSeja {xn } uma sucessão limitada. Ent˜ao A = {xn : n N } é um conjuntolimitado. Se A fôr nito ent ão algum dos termos x p da sucessão repete-se innitasvezes. Neste caso {n N : xn = x p } é innito, e pela proposi ção anterior x = x p ésublimite de {xn }. Caso contr ário A é innito. Neste segundo caso pelo Teorema

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de Bolzano-Weierstrass-I A tem um ponto de acumula ção x, que pela proposi̧cão

anterior é sublimite de {xn }.

Exemplos:

1. {xn } = {1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, · · · }

• Conjunto dos termos A = { xn : n N } = {1, 2, 3 }.• Pontos de acumula ção de A, A = .• Termos que se repetem innitas vezes: Todos.• Sublimites: {1, 2, 3}.

2. {xn } = {1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, · · · }

• Conjunto dos termos A = { xn : n N } = N .• Pontos de acumula ção de A, A = .• Termos que se repetem innitas vezes: Todos.• Sublimites: N.

3. {xn } =02

, 12

, 22

, 03

, 13

, 23

, 33

, 04

, 14

, 24

, 34

, 44

, 05

, 15

, 25

, 35

, 45

, 55

, · · ·

• Conjunto dos termos A = { xn : n N } = Q ∩ [0, 1].• Pontos de acumula ção de A, A = [0 , 1].• Termos que se repetem innitas vezes: Todos.• Sublimites: [0, 1].

4. {xn } = 1, 12

, 1, 13

, 1, 14

, 1, 15

, 1, · · ·

• Conjunto dos termos A = { xn : n N } = { 1/n : n N }.• Pontos de acumula ção de A, A = {0}.• Termos que se repetem innitas vezes: 1.• Sublimites: 0 e 1.

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