Bloco 01

Manual deMatemtica

De l pra c mostra a histria, evoluo,os representates mais significativos e aimportncia da Matemtica.

Conhecenco o Manual de Matemtica

Presente em provas escolares, concursos, vestibulares e,tambm, no dia-a-dia, a matemtica uma ferramenta essencialpara a construo de um futuro promissor.

O Manual de Matemtica foi criado para ajud-lo nessaempreitada.

Ento, mos obra!

Por que...? muitas vezes o aluno, por no ter um referencialde estudo, no sabe o porqu de aprender determinadoassunto, bem como onde usar os conhecimentos adqui-ridos. Neste Boxe, um professor responde a essas dvidas,explicando a importncia de cada tema abordado e trans-formando os conceitos em aplicaes prticas do dia-a-dia.

O Saiba mais mostra a inter-ligao das disciplinas dian-te de um mesmo fenmenoou relaciona assuntos da uni-dade ou do captulo com Te-mas Transversais, levando reflexo, crtica e buscade solues.

Editor:Editor:Editor:Editor:Editor:Raul Maia

Coordenao Editorial:Coordenao Editorial:Coordenao Editorial:Coordenao Editorial:Coordenao Editorial:Eliana Maia Lista

Autor:Autor:Autor:Autor:Autor:Ana Maria de Oliveira

Colaborador:Colaborador:Colaborador:Colaborador:Colaborador:Valria Barbosa Santos

Revisores:Revisores:Revisores:Revisores:Revisores:Ana Paula RibeiroChristina Lucy Fontes SoaresGislene Pereira Rodrigues de Oliveira

Dados Internacionais de Catalogao na Publicao (CIP)(Cmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Oliveira, Ana MariaManual de Matemtica / Ana Maria de Oliveira;

colaboradora Valria Barbosa Santos. So Paulo :DCL, 2005.

ISBN 85-7338-892-7

1. Matemtica I. Santos, Valria Barbosa. II. Ttulo

04-3971 CDD 510.7

ndices para catlogo sistemtico:1. Matemtica : Ensino Mdio 510.7

Gerente de Arte:Gerente de Arte:Gerente de Arte:Gerente de Arte:Gerente de Arte:Daniela Mximo

Capa:Capa:Capa:Capa:Capa:Antnio Briano Jr.

PPPPProjeto Grfico:rojeto Grfico:rojeto Grfico:rojeto Grfico:rojeto Grfico:Geiza de Sousa Caria

Diagramao:Diagramao:Diagramao:Diagramao:Diagramao:Jos Marcos RigamontThiago NieriVirtual Diagramao

PPPPProduo Grfica:roduo Grfica:roduo Grfica:roduo Grfica:roduo Grfica:Roze Pedroso

Proibida a reproduo total ou parcial.Direitos exclusivos desta publicao: Difuso Cultural do Livro Ltda.Rua Manoel Pinto de Carvalho, 80CEP: 02712-120 So Paulo / [email protected]

Sumrio

Apresentao ...................................................................... 7De l pra c ...................................................................... 8

Unidade I LGEBRA

Captulo 1 Teoria dos Conjuntos .................................... 11Captulo 2 Conjuntos Numricos ................................... 17Captulo 3 Expresses Algbricas ................................... 24Captulo 4 Potncias e Razes ......................................... 33Captulo 5 Equao ....................................................... 37

Exerccios Propostos ...................................... 48

Unidade II FUNO E LOGARITMO

Captulo 1 Funo ......................................................... 58Captulo 2 Funo do 1 Grau ...................................... 74Captulo 3 Funo do 2 Grau ou Quadrtica ............... 87Captulo 4 Funo Modular ......................................... 105Captulo 5 Funo Exponencial ................................... 115Captulo 6 Logaritmo................................................... 124

Exerccios Propostos .................................... 149

Unidade III TRIGONOMETRIA

Captulo 1 Introduo Trigonometria ........................ 169Exerccios Propostos .................................... 224

Unidade IV SEQNCIA OU SUCESSO

Captulo 1 Introduo Seqncia ou Sucesso .......... 237Captulo 2 Progresso Aritmtica ................................. 240Captulo 3 Progresso Geomtrica ............................... 248


Unidade V MATRIZES E DETERMINANTES

Captulo 1 Matrizes ...................................................... 268Captulo 2 Determinantes ............................................ 284Captulo 3 Sistemas Lineares ........................................ 297


Unidade VI LOGARITMO

Captulo 1 Fatorial/Nmeros Binomiais eBinmio de Newton ................................... 324Exerccios Propostos .................................... 335

Unidade VII ANLISE COMBINATRIA EPROBABILIDADE

Captulo 1 Anlise Combinatria .................................. 340Captulo 2 Probabilidade ............................................. 349


Unidade VIII GEOMETRIA PLANA

Captulo 1 Geometria Plana ......................................... 368Captulo 2 Geometria Espacial de Posio ................... 390Captulo 3 Geometria Mtrica Espacial ......................... 396


Unidade IX NMEROS COMPLEXOS E POLINMIOS

Captulo 1 Nmeros Complexos .................................. 433Captulo 2 Polinmios/Equaes Polinomiais ............... 450


Unidade X GEOMETRIA ANALTICA

Captulo 1 Introduo Geometria Analtica ............... 474Exerccios Propostos .................................... 515

Unidade XI MATEMTICA FINANCEIRA

Captulo 1 Matemtica Financeira ............................... 523Captulo 2 Noes de Estatstica .................................. 539


Referncias Bibliogrficas eSites para Pesquisa ...................................... 560

Apresentao

Podemos relacionar a Matemtica ao dia-a-dia do alu-no, bem como utilizar os conceitos aprendidos em situ-aes prticas.

Proporcionaremos ao aluno uma breve reviso de l-gebra e geometria, ajudando-o a percorrer novos cami-nhos e aplicar conhecimentos e habilidades anteriormen-te adquiridos.

Este livro tem a preocupao de ajudar o estudante acrescer como cidado, levantando discusses sobrequestes sociais, analisando-as e propondo solues.

Com base em diversas linguagens do cotidiano, levaro aluno a procurar uma linguagem matemtica para ex-plicar os processos matemticos que ocorrem ao seuredor, introduzindo novos conceitos feitos por meio desituaes-problema contextualizadas, visualizando e con-cretizando experincias, integrando-os s diferentes dis-ciplinas.

A inveno dos nmeros

Como foi inventado o nmero?

A inveno do nmeronmeronmeronmeronmero no aconteceu de repente nem foi uma nica pes-soa responsvel por ela. Na verdade, o nmero surgiu da necessidade queas pessoas tinham de contar objetos e animais.

Durante a Pr-Histria, os homens utilizavam pedras, ns de cordas e osprprios dedos para contar.

Foi assim, contando objetos com outros objetos, que a humanidade co-meou a formar o conceito de nmero. Para o homem primitivo, o nmerocinco, por exemplo, estaria sempre ligado a algo concreto: cinco dedos, cin-co vasos etc.

Com os avanos que marcaram o fim da Pr-Histria, a quantidade de ob-jetos de uma coleo passou a ser representada por desenhos (smbolos).Eles foram criados por estudiosos do Antigo Egito para realizar clculos rpi-dos e precisos. Esse fato foi fundamental para o desenvolvimento da Mate-mtica.

Depois dos egpcios, outros povos tambm criaram o seu prprio sistemade numerao, mas somente por volta do sculo III a.C. comeou a se formarum sistema numrico mais prtico e eficiente que todos os outros j criados

at ento: o sistema de numerao romanosistema de numerao romanosistema de numerao romanosistema de numerao romanosistema de numerao romano, em que eram utilizadas as letrasdo alfabeto para representar os nmeros. Esse sistema foi adotado por mui-tas naes.

BrBrmaneman

S

rabe do oeste rabe do leste

Sculo XIculo

Sculo XVculo

Sculo XVI

Os hindus tinham os seus prprios mtodos de clculos, que eram realiza-dos por meio de apenas nove sinais.

A referncia a nove, e no a dez smbolos, significa que o passo maisimportante dos hindus para formar seu sistema de numerao a invenodo zero ainda no havia chegado ao Ocidente.

Ao longo dos anos, os smbolos hindus foram sendo alterados e levados atoda a Europa por meio dos rabes. Com o livro de Al-Khowarizmi, o maisbrilhante matemtico rabe de todos os tempos, os smbolos 0 1 2 3 4 5 6 70 1 2 3 4 5 6 70 1 2 3 4 5 6 70 1 2 3 4 5 6 70 1 2 3 4 5 6 78 98 98 98 98 9 ficaram conhecidos no mundo todo como a notao de Al-Khowarizmi ehoje como algarismos indoalgarismos indoalgarismos indoalgarismos indoalgarismos indo-arbicos-arbicos-arbicos-arbicos-arbicos.

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IPPPPPor que apror que apror que apror que apror que aprender ender ender ender ender lgebrlgebrlgebrlgebrlgebraaaaa?????

Onde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentos sobros sobros sobros sobros sobreeeeelgebrlgebrlgebrlgebrlgebraaaaa?????

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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LGEBRA

Alm de estimular o raciocnio lgico e dedutvel, oestudo da algbra perimite-nos encontrar soluesde determinadas situaes-problema, no nosso dia-a-dia.

Numa empresa freqentemente surgem problemas re-lacionados com custos, com a produo, diviso delucros, etc.

Na Medicina, os mdicos utilizam muitas frmulas ma-temticas, principalmente para calcular a quantidadede remdios que deve ser dada aos pacientes.

A lgebra apenas uma ferramenta. A habilidade deresolver problemas desenvolve-se aos poucos.

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Captulo 1

TEORIA DOS CONJUNTOS

A Teoria dos Conjuntos nos mostra, por meio dos smbolos, uma linguagemmatemtica mais simples e compreensvel, auxiliando as vrias outras cincias.

Conjunto

toda coleo ou classe de objetos bem definidos, o mesmo que agrupa-mento.

Exemplos:a) O conjunto dos nmeros mpares.b) O conjunto dos nmeros primos.

Indicamos os conjuntos por letras maisculas e os elementos por letrasminsculas entre chaves.

Exemplo: M = {a, e, i, o, u}

Representao de um conjunto

Por extenso: enumerando seus elementos, agrupando-os entre chaves.Exemplos:Conjunto dos nmeros pares: {0, 2, 4, 6, 8, ...}

A LGEBRA E A VIDAEm lgebra precisamos respeitar as propriedades entre os

nmeros de um contexto, compreendendo, aceitando e aplicandoregras.

Na vida em sociedade necessrio ter respeito aos direitos edeveres de todos, compreendendo, aceitando e aplicando nossafilosofia de vida, sem prejudicar os outros.

tendo clareza dos pensamentos e conscincia das atitudescorretas que os seres humanos tero condies de exercitar suacidadania e conseqentemente deix-la como exemplo para outrasgeraes.

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Conjunto dos algarismos arbicos: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}Conjunto dos divisores positivos de 25: {1, 5, 25}

Por uma propriedade: destacando uma propriedade comum apenas aosseus elementos.

Exemplos:A = {x / 2 x < 10} = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}D = {x / x 4} = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}

Obs.:Os smbolos (pertence) ou (no pertence) so utilizados para relacionar elementosconjuntos.

Diagrama de Venn:Exemplo:Seja o conjunto:

528

11 14

B

B = {2, 5, 8, 11, 14}

Igualdade

Dois conjuntos so iguais quando possuem os mesmos elementos.Indicao: A=BExemplo:Os conjuntosA = {2, 4, 6, 8, 10, 12} e B = {x / x par, positivo, menor que 14}

Desigualdade

Indicao: A B (negao de igualdade)Exemplo: A = {0, 1, 2, 3}

B = {1, 5, 8}A B

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Subconjuntos

Um conjunto A subconjunto de B se, e somente se, todo elemento de Apertencer tambm a B.

Indicamos que A subconjunto de B, se A est contido em B ou A umaparte de B.

A B ou B AExemplos:

{1, 2} {1, 2, 3, 4}{e, u} {a, e, i, o, u}

importante destacar: A

O conjunto vazio est contido em qualquer conjunto.

B BTodo conjunto subconjunto imprprio de si mesmo.

Obs.:1) Se A no for subconjunto de B, escrevemos A B ou B A (B no contm A).

2) Os smbolos so utilizados para relacionar conjunto com conjunto.

Unio de Conjuntos

Chama-se unio (ou reunio) de um conjunto A com um conjunto B ao con-junto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B.

A B = {x / x A ou x B}

Exemplo:

3 4

5

0

76

A B

A B = {0, 3, 4, 5, 6, 7}

A = {0, 3, 6, 7}B = {3, 4, 5, 6}

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A TERRA, E TUDO O QUEEST SOBRE ELA, INCLUSIVE

O SER HUMANO, PRODUTO DE QU?A gravidade uniu os tomos, formando as estrelas. Com o tempo, as estrelas

explodiram, lanando os novos elementos qumicos no espao, e tornaram-se os corpos celestes. A unio de vrios elementos formou o Sistema Solar.

Para compreendermos e estudarmos esses elementos, precisamos de vriascincias: Matemtica, Fsica, Qumica, Geografia, Astronomia etc.

Interseco de Conjuntos

Chama-se interseco de A com B o conjunto formado pelos elementosque pertencem a A e a B.

A B = {x / x A e x B}Exemplos:a)

3 7

5

1

4 2

A B A = {1, 2, 3, 4}B = {2, 3, 5, 7}A B = {2, 3}

b)

8

10

5

7

A B A = {5, 7}B = {8, 10}A B =

Neste caso, no h elementos que pertencem a A e a B. Portanto, A e B sochamados de disjuntos (A B = ).Diferena de Conjuntos

Chama-se diferena de conjunto entre A e B o conjunto formado pelos ele-mentos de A que no pertencem a B.

A B = {x / x A e x B}

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Exemplos:a)

a e

f

c

db

A B A ={a, b, c, d}B = {a, b, e, f}A B = {c, d}

b)

1 5

73

A B A ={1, 3}B = {1, 3, 5, 7}A B =

Conjunto Complementar

Chama-se complementar de B em relao a A (B A) o conjunto A B, oconjunto dos elementos de A que no pertencem a B.

Notao: BAC = A B

Exemplo:

36

4

10

0

A B A= {0, 3, 4, 6, 10}B = {3, 4, 6}

BAC = A B = {0, 10}

Conjunto das Partes

Chama-se conjunto das partes de B aquele formado por todos ossubconjuntos de B.

Notao:P(B) = {x / x B}

Exemplos:a) A= {b}

P(A) = { ,{b}}b) A = {a, b, c}

P(A) = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}

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Podemos afirmar que:n (P(A)) = 2n(A)

O nmero de elementos do conjunto das partes 2n quando n for o nmerode elementos do conjunto.

Exemplo:Seja B um conjunto de 4 elementos. Determine o total de subconjuntos de B.Soluo:

n(P(B)) = 24

n(P(B)) = 16

Nmero de Elementos da Unio de Conjuntos

Sejam A e B dois conjuntos finitos e n(A) = o nmero de elementos de A;n(B) o nmero de elementos de B; n(A B) = o nmero de elementos deA B e n(A B) = o nmero de elementos de A B.

Note que A B = n(A) + n(B) n(A B)

Obs.: Se A B = , teremos n(A B) = n(A) + n(B) O nmero de elementos da unio de trs conjuntos :n(A B C) = n(A) + n(B) + n(C) n(A B) n(A C) n(B C) + n(A B C)

A B

C

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Exemplo:Numa pesquisa sobre a preferncia em relao a dois jornais, foram con-

sultadas 500 pessoas e o resultado foi o seguinte: 220 delas lem o jornal X,150 lem o jornal Y e 40 lem os jornais X e Y.

Pergunta-se:a) Quantas pessoas lem apenas o jornal X?

180 pessoas

b) Quantas pessoas lem apenas o jornal Y?110 pessoas

c) Quantas pessoas lem jornais?330 pessoas

d) Quantas pessoas no lem jornais?170 pessoas

Soluo:

a) 220 40 = 180b) 150 40 = 110c) 180 + 110 + 40 = 330d) 500 330 = 170

Captulo 2

CONJUNTOS NUMRICOS

Com o sistema de numerao hindu ficou fcil escrever qualquer nmero.0,58,48352Com esses nmeros, criou-se a necessidade prtica de contar as coisas da

natureza, portanto criou-se o nmero natural.

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Os nmeros naturais simplificam mais o trabalho dos nmeros fracionrios.O nmero fracionrio passou a ser expresso como uma razo de dois n-

meros naturais. Exemplo: 89

.

Assim, os nmeros inteiros e os nmeros naturais so chamados de nme-ros racionais.

Podemos colocar esses nmeros sobre uma reta numrica. Ela tem aplica-es prticas muito importantes.

Tomemos como exemplo as linhas do tempo utilizadas em histria.Ela nos ajuda a compreender melhor h quanto tempo pessoas conhecidas,

lderes, cientistas e artistas nos deixaram.

700 a.C.

600 a.C.

500 a.C.

400 a.C.

300 a.C.

200 a.C.

100 a.C.

0

100 d.C.

200 d.C.

300 d.C.

400 d.C.

500 d.C.

600 d.C.

700 d.C.

800 d.C.

900 d.C.

1000 d.C.

1100 d.C.

1200 d.C.

goras

S crates

0 Jesus Cristo

? tia

569? Maom

sculo II a.C.

sculo I a.C.

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1300 d.C.

1400 d.C.

1500 d.C.

1600 d.C.

1700 d.C.

1800 d.C.

1900 d.C.

2000 d.C.

2100 d.C.

Nossos bisavsnasceram no s culo XIX

Ns nascemosno sculo XX

nascero no sculo XXI

1839 Machado de Assis

1903 Portinari

Neste captulo, faremos uma reviso e aprofundaremos nossos conheci-mentos sobre conjuntos numricos.

Conjunto dos Nmeros Naturais () = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...} o zero foi excludo do conjunto .

Conjunto dos Nmeros Inteiros () = {..., 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, ...}Subconjuntos de + = {0, 1, 2, 3, ... } = {..., 5, 4, 3, 2, 1, 0}

NOO DE CONJUNTOA luz proveniente dos objetos atinge nossos olhos.A figura ao lado nos mostra que no vemos somente com

os olhos, mas sim com um conjunto: olhos, nervo ptico ecrebro.

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Conjuntos dos Nmeros Racionais ()Todo nmero racional pode ser colocado na forma

ab

, com a , b e b 0.

= = a

x / x , com a , b e b 0b

Exemplos:

Representao decimal de um nmero

a) 34

= 0,75

b) 12

= 0,5

c) 45

= 0,8

d) 3

100 = 0,03

Esses exemplos referem-se s decimais exatas.

Decimais Peridicas

a) 49

= 0,444... b) 1599

= 0,1515...

Esses exemplos referem-se s decimais no exatas, peridicas, que possu-em um nmero infinito de algarismos.

Podemos representar geometricamente os nmeros racionais sobre uma reta.

4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

7

2

7

6

Manual de Matemtica

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Conjunto dos Nmeros Irracionais ($$$$$)O conjunto dos nmeros irracionais formado por nmeros decimais infini-

tos no peridicos e no podem ser escritos na forma ab

.

Exemplos:a) Radicais do tipo

2 , 3 , 8 (razes quadradas que no so quadrados perfeitos)b) O nmero H = 3,141592...c) O nmero e = 2,718... (conhecido como nmero de Euler)

PODEMOS RELACIONAR AMATEMTICA COM A MSICA?

As fraes desempenham um papel importante na relaoMatemtica (nmeros e formas) e msica (sons).

Um exemplo so as fraes e as notas musicais de um piano.Em cada tecla do piano, o comprimento das cordas corres-

pondente s notas.Considere o comprimento da corda d igual a 1.

2

3

1

2

4

9

1

3

1

41

d

1 r

1 mi

1 f

1 sol

1 l

1 si

1 d

2 d

3r

2 mi

2 f

2 sol

2 l

2 si

2

Como podemos observar, as fraes como 1 2 4

, ,2 3 9

nos do

a relao entre os comprimentos das cordas cujos sons so musi-calmente prximos e que compem as notas musicais d, r, mi,f, sol, l e si.

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Conjunto dos Nmeros Reais ( )O conjunto dos nmeros reais formado pela unio do conjunto (conjunto

dos nmeros racionais) com o conjunto $ (conjunto dos nmeros irracionais).Exemplos:

11; 0,444...; 58

; 10 ; 3,123762...; 2,08.

Resumindo conjuntos numricos:

Intervalos Reais

Denomina-se intervalo qualquer subconjunto dos nmeros reais.Dados dois nmeros reais a e b, com a < b, temos:

PARA QUE SERVE O ZERO?Na Matemtica, a funo do zero importante. O zero

viabiliza a subtrao de um nmero natural por ele mesmo(3 3 = 0).

Se multiplicado por um algarismo qualquer 0 5 = 0,no deixa de ser zero.

Se dividido por qualquer nmero, 0 : 6 = 0, no muda seu jeito.Ser que ele intil?Experimente colocar alguns zeros a direita do valor de um

cheque e voc ver a diferena.Agora, se todos os zeros do universo ficarem ao lado esquerdo

de outro algarismo, nada mudar. Da vem a expresso zero aesquerda que indica na Matemtica insignificncia.

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a b[a, b] = {x / a X x X b}

a b]a, b[ = {x / a < x < b}

a b[a, b[ = {x / a X x < b}

a b]a, b] = {x / a < x X b}

a[a, Z[ = {x / x h a}

a]a, Z[ = {x / x > a}

a] Z, a[ = {x / x < a}

a] Z, a] = {x / x X a}

Unio e Interseco de IntervalosExemplos:Sejam os intervalos ] 2, 1] e [0, 3[, determine:a)] 2, 1] | [0, 3[

2

2

1

0 3

3

]2, 1] | [0, 3[]2, 1] | [0, 3[ = ]2, 3[b) ]2, 1] { [0, 3[

2

0

1

0 3

1

]2, 1] { [0, 3[]2, 1] { [0, 3[ = [0, 1]

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Captulo 3

EXPRESSES ALGBRICAS

As expresses matemticas que apresentam nmeros e letras so chama-das expresses literais ou algbricas.

Exemplos:

a) 3x 4 b) x 2y + 3z c) 4y2 25

a3 b

Valor numrico de uma expresso algbrica

Valor numrico de uma expresso algbrica o nmero que se obtm quandosubstitumos cada letra por um certo nmero.

Exemplos:a) 2x + 9, para x = 1Substitumos o x por 1

2 . (1) + 9 = 7O valor numrico de 2x + 9, para x = 1, 7.

b) abc + 3a, para a = 2, b = 3 e c = 4Soluo:

abc + 3a 2 . 3 . ( 4) + 3 . 224 + 6 = 30

c) 8x3 7xy, para x = 1 e y = 1Soluo:

8 . (1)3 7 . (1) . 18 . (1) +7 = 1

Termos Algbricos

Na expresso algbrica:

4x2 + 8xy 25

a2b

os termos so: 4x2, 8xy, 25

a2b

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Destacamos: o coeficiente e a parte literal em cada termo.

Na expresso dada temos:

4x2 c o coeficiente 4, parte literal x28xy c coeficiente 8, parte literal xy 2

5a2 b c coeficiente 2

5, parte literal a2 b.

Monmios

So expresses (um s termo) em que no aparecem operaes (adioou subtrao).

Exemplos:

a) 4xy b) 3a2 c) 57

x3

Polinmios

uma soma algbrica de dois ou mais monmios.

Exemplos:

a) x2 x + 6 b) 4a3 12

a2 + a 3

Termos Semelhantes

So aqueles que tm a mesma parte literal.Exemplos:

a) 4a2, 2a2 e 21 a

3 so semelhantes, pois tm a mesma parte literal a2.

b) 2xy3, 31 xy4

so semelhantes, pois tm a mesma parte literal xy3.

Contra-exemplo:

1ab

5 e 6a2b no so semelhantes, pois tm a parte literal diferente:

ab n a2 b.

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OperaesSoma Algbrica de Monmios

Exemplos:Efetue as operaes e reduza os termos semelhantesa) 6x + 4y2 2x 5y2 =

= 4x y2

Para reduzir termos semelhantes, adicionamosos coeficientes e conservamos a parte literal.

b) (x2 4x) (4x2 + 5x 2)== x2 4x 4x2 5x + 2= 3x2 9x + 2

ASSEMBLIA NO AROs tipos de dana constituem um meio de expresso para as

abelhas escolherem o local de um novo ninho.A rainha e algumas operrias estudam a regio. De volta ao en-

xame, revelam as direes dos lugares visitados por meio de dan-as. Os bals areos, sempre em forma de oito, traam um eixocujo ngulo em relao ao Sol indica os rumos dos novos endereospropostos. Aos poucos, mais e mais abelhas agregam-se a um dosbals apresentados, mostrando que ele agrada maior parte dacolnia. um ritual de votao.

O novo endereo decidido pelo consenso. As propostas minoritrias sogradualmente abandonadas e todos os insetos passam a voar da mesma ma-neira.

Viu como a Matemtica tambm est no cotidiano das abelhas?Fonte: Superinteressante. abril, 1999.

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Multiplicao e Diviso de Monmios

Exemplos:

a) x2 . ( 3x3) b) (8x4 y2) : ( 2xy) c) (12x3 y4 z2 3x3 y4 z2) : 3xy2 z= 3x5 = 4x3y = (9x3 y4 z2) : 3xy2 z

= 3x2 y2 z

Potenciao e Radiciao de Monmios

Exemplos:

a) ( 3ab2)2 = 9a2 b4 c) 2 4 24x y 2xy=

b) 3

3 9 31 1x y x y2 8

= d)

3 6 231 1

a b ab27 3

=

Multiplicao de Polinmios

Dados os polinmios A(x) = x2 2x + 3 e B(x) = x 2, para calcular seuproduto obedecemos aos seguintes passos:

x2 2x + 3x 2

2x2 + 4x 6x3 2x2 + 3xx3 4x2 + 7x 6

Diviso de Polinmios (Mtodo da chave)

Utilizando o mtodo da chave, dividir A(x) = 2x3 x2 + 3 porB(x) = x 1.

2x3 x2 + 0x + 3 | x 1 2x3 + 2x2 2x2 + x + 1 Quociente

x2 + 0xx2 + x

x + 3x + 1

4 Resto

Manual de Matemtica

28

Note que:

Dividendo = Divisor x Quociente + RestoA(x) = B(x) x Q(x) + R(x)

grau do quociente = grau do dividendo grau do divisor grau do resto < grau do divisor

Produtos Notveis

Quadrado da soma de dois termos

(x + y)2 = (x + y) . (x + y)x + yx + y (x + y)2 = x2 + 2xy + y2

x2 + xy 1 termo xy + y2 2 termo

x2 + 2xy + y2

O quadrado da soma de dois termos igual ao quadrado do primeiro termo,mais duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.

Vamos desenvolver os produtos, usando a regra.

a) (m + n)2 = m2 + 2mn + n2

b) (4 + a)2 = 42 + 2 . 4 . a + a2 = 16 + 8a + a2

c) (2x + y)2 = (2x)2 + 2 . 2x . y + y2 = 4x2 + 4xy + y2

d) 2

2 1a b2

+ = (a2 b)2 + 2 . a2 b .

12

+21

2 = a4 b2 + a2 b +

14

Quadrado da diferena de dois termos

(x y)2 = (x y) . (x y)(x y)2 = x2 2xy + y2

O quadrado da diferena de dois termos igual ao quadrado do primeiro,menos duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.

Exemplos:a) (2x 5)2 = (2x)2 2 . 2x . 5 + 52 = 4x2 20x +25

Manual de Matemtica

29

b)2 2 2

2x x x x 2x1 2 1 1 13 3 3 9 3

= + = + c) (3a3 2a)2 = (3a3)2 2 . 3a3 . 2a + (2a)2

= 9a6 12a4 +4a2

Produto da soma pela diferena de dois termos

(x + y) . (x y) = x2 y2

O produto da soma pela diferena de dois termos igual ao quadrado doprimeiro, menos o quadrado do segundo.

Exemplos:

a) (2x + 3y) . (2x 3y) = (2x)2 (3y)2 = 4x2 9y2

b) (6 + 3b) . (6 3b) = 62 (3b)2 = 36 9b2

c) 2

2 2 2 2 41 1 1 1a a (a ) a5 5 5 25

+ = = Cubo da soma de dois termos

(x +y)3 = (x + y) . (x + y) . (x + y)(x + y)2 . (x + y) = (x2 + 2xy +y2) . (x + y)

(x +y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

O cubo da soma de dois termos igual ao cubo do primeiro, mais trs vezeso quadrado do primeiro pelo segundo, mais trs vezes o primeiro pelo quadra-do do segundo, mais o cubo do segundo.

Exemplos:a) (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3

b) (x + 1)3 = x3 + 3x2 1 + 3x12 + 13 = x3 + 3x2 + 3x +1c) (3 + ab)3 = 33 + 3 . 32 . ab + 3 . 3 . (ab)2 + (ab)3=

27 + 27ab + 9a2 b2 +a3 b3

Cubo da diferena de dois termos

(x y)3 = (x y) . (x y) . (x y)(x y)2 . (x y)(x2 2xy + y2) . (x y)

(x y)3 = x3 3x2 y + 3xy2 y3

Manual de Matemtica

30

O cubo da diferena de dois termos igual ao cubo do primeiro, menos trsvezes o quadrado do primeiro pelo segundo, mais trs vezes o primeiro peloquadrado do segundo, menos o cubo do segundo.

Outros Produtos Notveis Importantes Quadrado da soma de trs termos(a + b + c)2 = (a + b + c) . (a + b + c)(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac

Exemplo:(x + 3y + z) = x2 + (3y)2 + z2 + 2 . x . 3y + 2 . 3y . z + 2xz= x2 + 9y2 + z2 + 6xy + 6yz + 2xz

Soma de dois cubos(a + b) . (a2 ab + b2) = a3 + b3

Exemplo:(x + 3) . (x2 3x + 9) = x3 + 27

Diferena de dois cubos(a b) . (a2 + ab + b2) = a3 b3

Exemplo:(x 2) . (x2 + 2x + 4) = x3 8

Fatorao

Fatorar uma expresso algbrica transform-la em produto de dois oumais fatores.

Fator ComumExemplos:a) 2x + 4yO fator comum 2, determinado pelo M.D.C. de 2 e 4

2x + 4y = 2(x+2y)b) a2b 3ab3

O fator comum aba2b 3ab3 = ab(a 3b2)

AgrupamentoExemplos:a) ax + ay + bx + by

Manual de Matemtica

31

agrupamos os termos com fatores comuns:ax + ay + bx + by

colocamos o fator comum em evidnciaa(x + y) + b(x + y)

colocamos (x + y) em evidncia(x + y) . (a + b)

Portanto,ax + ay + bx + by = (x + y) . (a + b)

b) abx2 + aby2 + cx2 + cy2

= ab(x2 + y2) + c(x2 +y2)= (ab + c) . (x2 + y2)

Diferena de dois Quadrados

Exemplos:Vejamos como se obtm a forma fatorada:a) 9 x2

2

9 3

x x

=

=

9 x2 = (3 + x) . (3 x)b) 4a2 16b6

2

6 3

4a 2a

16b 4b

=

=

4a2 16b6 = (2a + 4b3) . (2a 4b3)

Trinmio do 2 grau

x2 Sx + P = (x + a) (x + b)

Para fatorar o trinmio do 2 grau, devemos tomar

a + b = S e ab = P

soma produto

Manual de Matemtica

32

Exemplos:

a) x2 5x + 4 = (x + 4) (x + 1)S = 4 + 1 = 5 a = 4P = 4 . 1 = 4 b = 1

b) x2 8x + 15 = (x 5) (x 3)S = 8 a = 5P = 15 b = 3

Trinmio Quadrado Perfeito

Exemplo:x2 + 4x + 4

2x x

4 2

=

= x2 + 4x + 4 = (x + 2)2

Verificao de um trinmio quadrado perfeito:

a) Dois de seus termos so quadrados perfeitos (x2 e 4).

b) O termo do meio mais ou menos duas vezes o produto das razes do1 vezes o 3 termo.

(2 x 2) = 4xc) 4a2 12ab + 9b2

VerificaoRaiz: 2a Raiz: 3b 2 2a 3b = 12ab

4a2 12ab + 9b2 = (2a 3b)2

M.M.C. e M.D.C. de expresses algbricas

Para encontrarmos o m.m.c e o m.d.c. de expresses algbricas, bastafatorar cada uma das expresses.

O m.d.c. ser o produto dos fatores comuns, tomados com seus menoresexpoentes.

O m.m.c. ser o produto dos fatores comuns e no comuns, tomados comseus maiores expoentes.

Exemplos:Determine o m.d.c. e o m.m.c. das seguintes expresses:

Manual de Matemtica

33

a) 4x3 y6 e 6x5 y2

m.d.c = 2x3 y2

m.m.c = 12x5 y6

b) x2 4 e 2x + 4 m.d.c. = x + 2 x2 4 = (x + 2) . (x 2) m.m.c. = 2 (x + 2) . (x 2) 2x + 4 = 2(x + 2)

c) x2 9; 4x 12; x2 6x + 9m.d.c. = (x 3) x2 9 = (x + 3) . (x 3)m.m.c. = 4 . (x 3)2 . (x +3 ) 4x 12 = 4(x 3)

x2 6x + 9 = (x 3)2

Captulo 4

POTNCIAS E RAZES

Potncias

Antigamente, os clculos eram efetuados com ns de uma corda, bacos eas primeiras mquinas de calcular.

Hoje os clculos evoluram com a descoberta da quinta operao inventadapelos matemticos: a potenciao.

Nas cincias, para se escreverem nmeros muito grandes ou muito peque-nos usam-se potncias.

Os astrnomos medem a distncia entre as estrelas com uma unidade cha-mada ano luz, que representa a distncia percorrida pela luz em um ano. Essadistncia vale aproximadamente 9.500.000.000.000 km. Para facilitar, escre-vemos esse nmero 1 ano luz = 9,5 . 1012 km.

Podemos perceber que prtico representar nmeros desse tamanho usan-do potncias.

expoentean = b c potncia

base

Para a , b , n .Ento:

=n

n

1a

a, a 0

Manual de Matemtica

34

Propriedades:

a) am . an = am+n d) (a . b)m = am . bm

b) am : an = amn e) m m

m

a ab b

= c) (am)n = am . n

Exemplos:

a) 23 . 24 = 23+4 = 27 g) (32 . 6)4 = 38 . 64

b) 34 . 33 = 34+3 = 31 h) 2 2

2

1 1 13 3 9

= =

c) 51 : 53 = 513 = 54 i) 3

31 2 82

= =

d) 42 : 42 = 42(2) = 44 j) 11

55

=

e) (33)2 = 36

f) (2 . 5)3 = 23 . 53

A POTNCIA E A ENERGIAO Sol nossa maior fonte de energia.Se compararmos o Sol a uma lmpada caseira, perceberemos

que esta tem potncia de 102 W (100W) enquanto o Sol tempotncia luminosa de 4 1026W. Deu para perceber a diferena?

Embora a Terra receba apenas uma pequena parcela da energia liberadapelo Sol (a maior parte vai para o espao), ela muito importante para amanuteno da vida no Planeta.

Devemos tomar cuidado com seus raios ultravioleta, que so prejudiciais sade humana.

l) 3

3 1 133 27

= =

Manual de Matemtica

35

Razes

Qual o nmero positivo que elevado ao quadrado d 64?Basta pensar um pouco e descobrir que esse nmero 8.O nmero 8 ento chamado raiz quadrada de 64.

radical

ndice n b a= raiz

radicando

para a , b e n *Propriedades:

a) n n na b a b = d) ( )p n pn a a=b)

nn

n

a a,b 0

bb= e) n pn m m pa a =

c) n mn m a a=

Exemplos:

a) 3 3 332 3 2 3 6 = = d) ( )3 4 34 2 2=b)

33

3

2 233

= e) 2 4 83 3 4 122 2 2 = =

c) 3 62 2=

Potenciao com expoente racionalm -m

n mn nm n mn

1 1a = a a = =

aaExemplos:

a) 2

3 235 5= c) 12 13

3

=

b) 122 2= d)

25

5 2

12

2

=

Manual de Matemtica

36

Racionalizao de denominadores

Fraes tais como 5 3

2 3 3 2, , e

5 5 3 22 , possuem denomina

dores irracionais. Elas tm de ter seus denominadores transformados em n-meros racionais.

1 caso: O denominador um radical com ndice 2.

a)

2

25

2 5 2 5 2 555 5 5

= =

b)

2

35

3 5 15 1555 5 5

= =

c)

2

12 3

1 3 3 3 32 3 62 3 3 2 3

= = =

2 caso: O denominador um radical com ndice diferente de 2.

a) 5 3

5 5 52 2 2

5 5 53 2 5

3

2

3 2 3 2 3 222 2 2

= =

b)3

3 3 32 2 2

3 3 32 3

12 3

1 3 3 362 3 3 2 3

= =

Manual de Matemtica

37

De um modo geral, o fator racionalizante de n pa n n pa .33333 caso caso caso caso caso: O denominador uma soma ou diferena de dois radicais.

a)

( )( ) ( )

( ) ( )

2 2

23 2

2 3 22 3 23 2 3 2 3 2

2 3 22 3 2

3 2

++ =

+

+= = +

b)

( )22

13 5

1 3 5 3 5 3 5 3 59 5 43 5 3 5 3 5

+

= = =

+

Captulo 5

EQUAO

Resolver uma equao faz parte do nosso dia-a-dia. O que significa resolveruma equao?

Resolver uma equao significa achar um nmero desconhecido x, tornan-do a igualdade verdadeira.

Veja, por exemplo, a equao do 1 grau x + 4 = 2x 1. Se substituirmosx = 5;

x + 4 = 2x 15 + 4 = 2 . 5 19 = 9 (V)Logo x = 5 soluo da equao.Denomina-se equao toda igualdade entre expresses algbricas que se

transforma numa identidade numrica.

Tipos de equaes

Equao do 1 grauax + b = 0

Manual de Matemtica

38

Equao do 2 grauax2 + bx + c = 0

Equao Biquadradaax4 + bx2 + c = 0

Equao Irracional

4x 1 x 2 = +

Equao Modular|x 2| = 4

Equao Logartmicalogx4 = 2

Equao do 1 grau toda sentena matemtica aberta que possa ser realizada na forma:

ax + b = 0 com a 0

Zero ou Raiz

So os valores da incgnita x que tornam a sentena matemtica verda-deira. Para que a raiz seja encontrada, devemos isolar o valor da incgnita

no primeiro membro. A raiz de uma equao do 1 grau igual a: ba

.

Conjunto soluo: b

Sa

=

Se o francs Franois Vite (1540-1603) no comeasse arepresentar quantidades por letras nas equaes, como a + b = c,a matemtica seria escrita com palavras.

Seria complicado fazer clculos se no fosse essa substituio.

Manual de Matemtica

39

Exemplos:a) 2x 1 2

2x 2 1

2x 3

3 3x S

2 2

=

= +

=

= =

b) x 2x 13 55x15

=

6x15

1515

=

x 15x 15 S { 15} =

= =

c)

( )( )

2

2

y 1 y 2 17y y 1 y y

y 1

y y 1

+ =

+ +

+

+

( )( )

y y 2

y y 1

+ ( )17

y y 1=

+

2y 22y 1 y+ +

{ }

2y 17

4y 17 1

4y 16

16y

4y 4 S 4

+ =

=

=

=

= =

Equao Literal do 1 grauDizemos que a equao literal se os coeficientes forem literais.

Exemplos:a) ax + 3a = 2a

ax = 2a 3aax = a

Manual de Matemtica

40

x = aa

isolando x

x = 1 S = {1}

b) ab + (b + 1) x = (a + x) b + a

ab

+ bx + x = ab + bx + a e liminando os parenteses

x = a S = {a}

Equao Impossvel

toda equao que no apresenta soluo. O conjunto soluo vazio.Exemplo:4 + 2x = 10 + 2xEssa equao impossvel porque:2x 2x = 10 4

0x = 6

x = 60

S =

Logo, h que satisfaa a igualdade.

Equao indeterminada

toda equao que apresenta infinitas solues.Exemplo:3x 5 = 3x 53x 3x = 5 + 50x = 0

x = 00

(indeterminao)

Sistemas de equaes lineares com duasincgnitas

H trs mtodos de resoluo desses sistemas: Substituio; Adio; Comparao.

Manual de Matemtica

41

Mtodo da Substituio

Esse mtodo consiste em isolar o valor de uma das variveis em uma dasequaes e depois substituir esse valor na outra.

Exemplo: Dado o sistema:

x 2y 3x 2y 5 =+ =

Isolado x na primeira equao, temos x = 3 + 2y.

Substituindo x = 3 + 2y na segunda equao:

3 + 2y + 2y = 5

4y = 5 3

4y = 2

2y

41

y2

=

=

Substituindo 1

y2

= na primeira equao:

x 3 2y1

x 3 22

x 4

= +

= +

=

O conjunto soluo do sistema formado pelo par ordenado 1

S 4,2

= .

Nesse caso, o sistema determinado (admite soluo nica).

Mtodo da Adio

Devemos adicionar as equaes 1 e 2 de modo que uma das incgnitasdesaparea.

s vezes necessrio preparar o sistema, multiplicando cada equao porum nmero conveniente.

Manual de Matemtica

42

Tomando o mesmo exemplo x 2y 3x 2y 5 =+ =

e multiplicando a equao por (1)

x 2y 3x+ =

2y 5

4y =2

2y =

41

y =2

+ =

=

1S 4,

2

Mtodo da Comparao

Consiste em comparar uma mesma varivel em cada uma das equaes:

x 3 2yx 5 2y= + = isolando uma varivel em um membro.

Comparando:

3 + 2y = 5 2y2y + 2y = 5 3 4y = 2

2y

41

y2

=

=

=

1S 4,

2

Sistemas Equivalentes

So aqueles que apresentam a mesma soluo.Exemplo:

Substituindo 1

y2

= na primeira

equao, temos:

x 2y 31

x 2 32

x 1 3

x 3 1x 4

=

=

=

= +

=

Substituindo 1

y2

= na segunda

equao, temos:

1x 5 2

2x 4

=

=

Manual de Matemtica

43

Determine m e n para que os sistemas x 1y 2== e

+ =+ =

mx 3y 2mx ny 3 sejam equivalentes.

Substituindo x = 1 e y = 2 no sistemamx 3y 2m

x ny 3+ =+ =

( )m 3 2 2m m 6 m 61 2n 3 2n 2 n 1

+ + = = + = = = =

Equao Polinomial do 2 grauEquao Polinomial do 2 grau na varivel x toda equao do tipo ax2 +

bx + c = 0 , com a , b e c .Equao Incompleta

Uma equao incompleta quando b = 0 ou c = 0.Vejamos alguns exemplos:a) 2

2

2

2

3x 3 0 temos a 3, b 0 e c 3

3x 3

3x

3x 1

x 1

x 1 S { 1, 1}

= = = =

=

=

=

= = = +

Sempre que b = 0, as razes sero c c

x ' e x "a a

= =

b)

( )2x 2x 0 temos a 1, b 2 e c 0

x x 2 0

x 0 ou x 2 0x 2 S {0, 2}

= = = =

=

= =

= =

Sempre que c = 0, as razes sero x = 0 e b

x "a

=

(isolando x2)

(extraindo a raiz quadrada)

(fatorando)

Manual de Matemtica

44

Equao Completa

Nesse caso, utilizaremos a frmula de Bskhara, em que:

2 b=b 4ac x =2a

e

Exemplos:

a) x2 5x + 4 = 0 temos a =1, b = 5 e c = 4 = ( 5)2 4 . 1 . 4 = 25 16 = 9

( )

5 3x ' x ' 45 9 2x

5 32 1x '' 1

2

+= =

=

= =

S={1, 4}

Obs.:Sempre que > 0, a equao admite duas razes reais e distintas.

b) 4x2 12x + 9 =0 temos a=4, b= 12 e c = 9. = (12)2 4 . 4 . 9 = 144 144 = 0

( )12 0 12 0x x

2 4 812 3

x ' x ''8 2

3S

2

= =

= = =

=

Manual de Matemtica

45

Sempre que = 0, a equao admite uma nica raiz.c) 2x2 x + 5 = 0 temos a = 2, b = 1 e c = 5 = ( 1)2 4 . 2 . 5 = 1 40 = 39

Como < 0, no existem razes reais S = , mas admite razes comple-xas, como veremos nos prximos captulos.

Relaes entre razes e coeficientes

Consideremos a equao do 2 grau ax2 + bx + c = 0, teremos:

bS x ' x ''a

= + = em que S a soma das razes.

cP x ' x ''

a= = em que P o produto das razes.

Assim, podemos escrever x2 Sx + P = 0, como vimos anteriormente.Tambm podemos colocar uma equao do 2 grau na forma fatorada.

(x x) . (x x) = 0

Exemplos:1) Sejam r e s as razes da equao x2 5x + 4 =0. Calcule:

a) 1 1r s+ b) r2 + s2

a) Para determinar o valor da expresso 1 1r s+ , necessrio acharmos a

soma e o produto das razes.

( )

cbS r s P r saa

5 4S 5 P 4

1 11 1r ss r 5r s 4

= + = = =

= = = =

+

+=

Manual de Matemtica

46

b) r2 + s2 =(r + s)2 = r2 + 2rs + s2

52 = r2 + s2 + 2 . 4r2 + s2 = 25 8r2 + s2 = 17

2) Coloque a equao x2 + 2x 3 = 0 na forma fatorada.Soluo:Primeiramente, acharemos as razes da equao.x2 + 2x 3 = 0 = 22 4 . 1 . (3) = 4 + 12 = 16

2 4x ' x ' 1

2 16 2x2 42

x '' x " 32

= =

=

= =

Colocando na forma fatorada:

(x 1) . (x + 3) = 0

Equao Biquadrada

toda equao do tipo ax4 + bx2 + c = 0, com a 0, a , b ec .

Utilizamos um artifcio, fazendo x2 = y. Assim obtemos uma equaodo 2 grau.

Exemplos:a) x4 9x2 = 0 fazendo x2 = y, temos:

y2 9y = 0 substituindo y = 0 e y = 9y(y 9) =0 x2 = 0 x2 = 9

y = 0 ou y 9 = 0 x = 0 x = 9y = 9 x = 3

S = {3, 0, 3}

Manual de Matemtica

47

b) x4 + x2 2 = 0 1 9 1 3y y2 2

1 3y ' 1

21 3

y '' 22

= =

+= =

= =

y2 + y 2 = 0 = 12 4 . 1 . (2) = 9

Considerando x2 = y, temos:

substituindo y = 1x2 = 1x = 1x = 1S = {1, 1}

Obs.:Se y < 0, no h soluo. Neste exemplo desconsideremos y = 2.

Equao Irracional

Equao Irracional aquela que apresenta incgnita sob radical.A soluo obtida isolando o radical num dos membros, eliminando-o e

elevando os dois membros da equao a uma potncia conveniente.Exemplos:

a) x 3 2 = Verificao

( )2 2x 3 2 = x 3 2 = Substituindo x porx 3 = 4 7 temos:x = 4 + 3 x = 7

7 3 2

4 2

=

=

S = {7} 2 = 2 (V) necessrio verificar se todas as solues satisfazem a equao.

b)

( ) ( )2

2 22

x 25 x 1

1 xx 25

+ + =

= +

x2 + 25 = 1 2x + x2

2x2 + 2x + 24 = 0 Dividindo a equao por 2

Manual de Matemtica

48

x2 x 12 = 0 = ( 1)2 4 . 1 . (12) = 1 + 48 = 49

( )1 7

x ' 41 49 1 7 2x x1 72 2

x '' 32

+= =

= =

= =

Verificao

( ) ( )2 2Para x = 4 para x = 3

4 25 4 1 3 25 3 1

9 4 1 16 3 1

+ + = + =

+ = =

3 + 4 = 1 4 3 = 17 = 1 (F) 1 = 1 (V) S = {3}

EXERCCIOS PROPOSTOS

1) Relacione os elementos e os conjuntos dados, utilizando os smbolos ou .

a) 3 e e) 4 e b) 0 e * f) 0,3 e c)

58

e g) 5 e d) 0,18 e h) 5

10 e

2) Represente os seguintes conjuntos por extenso de seus elementos.a) A = {x / x 3}b) B = {x / 0 < x 4}c) C = {x * / 3 x 1}d) D = {x / 2x2 + x = 0}e) E = {x + / x2 5x + 4 = 0}

Manual de Matemtica

49

3) Calcule o nmero de elementos do conjunto A B, sabendo que A, B eA B so conjuntos com 80, 40 e 20 elementos respectivamente.

4) Sendo A = ] 2, 1] e B = [ 3, 0], determine:a) A B c) A Bb) A B d) ABC

5) Sendo A = ] , 2[, B = [ 1, [ e C = [ 3, 4[, determine A (B C).

6) Assinale a alternativa correta.a) {2} {2, 3} c) {1} {{1}, {2}}b) 3 {3, 4} d) {2} {{1}, {2}}

7) Dado o conjunto B = ] 4, 2], podemos afirmar que:a) 2 B ( ) c) 0 B ( )b) 4 B ( ) d) B ( )

8) Determine a unio dos seguintes intervalos:a) ] 1, 4[ [ 3, 7] c) [ 4, 4] [ 0, 3[b) ] , 1] [ 1, 3]

9) Determine a interseco dos seguintes intervalos:a) ]1, 3] ], 6] c) [1, [ ]2, 1[b) [2, 3] [0, 6] d) ]2, 4] [3, 6[

10) Determine o nmero de elementos de P(A) quando:a) A = {1, 2, 3}b) A = {x / x nmero mpar menor que 9}

11) Efetue as somas algbricas, reduzindo os termos semelhantes.a) 5bc + 8b2 bc 6b2 + 2bcb) 5a2b (2a2b 7a2b) a2bc) 5a2 2b2 + 3a b2 + 2b a2

d) 3xy xz xy xz4 2 3 +

Manual de Matemtica

50

12) Efetue os seguintes produtos:

a) ( abc) (2ab2c) d) (4x2y2) (3xy3)

b) ( )5 21a c ac3 e) ( )

24xy x yxz

3 4

c) 23 8b

4 9

13) Efetue as seguintes divises:

a) (x3y2) : (4xyz) d) (x5y5z5) : (x2yz2)

b) (3x6) : (3x4) e) ( )3 22m n : mn5

c) 2 5 3 25a b c 15ab c

:4 16

14) Calcule as seguintes potncias:

a) (3a2b3c)2 d)

42ab3

b) 0

101a b2 e)

23 2a b : (5a b )

2

c) (2xyz2)3

15) Calcule a raiz quadrada:

a) 29x d) 436a

81

b) 4 2169a c e) 2 6 4

4 2

m n px y

c) 6 4 449m n p

Manual de Matemtica

51

16) Escreva o polinmio que representa o permetro das figuras:

a)3a 3a

2a

4a

b)

4b 4b

a a

2a

17) Calcule os produtos:a) 2x (x y) e) (x 1) (x2 7x +10)b) a2 (a + 2b) f) (3a 2) (a +1)c) 2m (3m2 5m + 7) g) (x2 2x +5) (3x2 + 4x + 2)d) 3a3 (a2 a + 4)

18) Efetue:a) (2x3 14x2 + 30x 9) : (x2 5x + 3)b) (2a3 9a2 + 13a 6) : (a2 3a + 2)c) (x4 x + 1) : (x 2)

19) Desenvolver os produtos notveis:

a) (a + 5)2 d) 2x

13

+ f) (5a

3 y)2

b) (x + 2)2 e) (m 3)2 g) 23

2a5

c) (2 + 3y)2

20) Simplifique a expresso:

( ) ( ) ( )2 2 13a 1 2a 2 2a 2 4 a a4

+ +

21) Fatore os seguintes polinmios:a) 4a 3ax c) 35x3y2 14x2y3

b) 3 5a a a

3 3 3+ + d) x(m + 1) y(m + 1)

Manual de Matemtica

52

e) a(x + y) b(x + y) + c(x + y) g) ax x + ab b

f) 35 10

a a3 3

+ h) 2an + n 2am n

22) Determine o m.m.c:a) 6a2b3c4 e 4a3c2d3 d) 5a + 10, 2a + 4 e 3a + 6b) x2 9 e x2 6x +9 e) xy + 5x e y2 + 10y + 25c) x2 7x, x2 49 e 2x +14

23) Determine o conjunto soluo das equaes:

a) 5 4

x 4 x 2=

+ e) 3(x a) = 2(x + b)

b) 10 2 13x x 6+ = f)

1 a a xa a x ax

++ =

+

c) 5(x + 2) 2(3x 1) = 13 g) x ax

am bm b

+ =

d) ( ) x 64 x 1 32

+ =

24) Resolva os sistemas:

a) 3x y 11x 2y 8 = + = c)

x 5y 243x 2y 4+ = = e)

xy 24

2y

2x 143

= =

b) 2x y 33x 2y 8 =+ = d)

( ) ( )( ) ( )

3 x 2 2 y 3

18 y 2 y 3 2x 3

= + = +

25) Calcule:

a) 80 + 32 23 c) ( ) ( )2 033 11 52 23 7

+ +

b) ( ) ( )1 21

2

2 2 21 2

+

Manual de Matemtica

53

26) Aplique as propriedades da potenciao:

a) 24 22 2 e) [(x2)3]b

b) (3)5 (3) (3)7 (3)3 f) a3x+1 a2x 4

c) (0,1)6 (0,1)3 (0,1)2 g) ( )12 12 10

20 2

8 : 2 4

4 4

d) 2

11 33

h)

6 21 1:

2 2

27) Racionalize o denominador das seguintes fraes:

a) 55

c) 553

b) 2

3 3d) 3 2

ab

a b

28) Resolva as equaes:

a) x2 x 12 = 0 f) 2x 4 5 =

b) x2 11x + 28 = 0 g) 4 x x 4 0+ =

c) (x 3)2 = 9 h) 2x 1 x 3 3 + + =

d) (2x 1) (x 4) = (7 + x) (x 2) i) 3 23 3x 8 x 2+ =

e) x 4x 1 5+ + =

Respostas

1) a) c) e) g) b) d) f) h)

2) a) A = {3, 4, 5, 6, 7, 8, ...} d) D = 1

,02

b) B = {1, 2, 3, 4} e) E = {1, 4}c) C = {3, 2, 1, 1}

3) A B = 100

Manual de Matemtica

54

4) a) [3, 1] b) ]2, 0] c) d) [3, 2[

5) ], 1]

6) d

7) a) V b) F c) V d) F8) a)

1 7

b) 3

c) 4 4

9) a) 1 3

b) 0 3

c) 1 1

d) 3 4

10) a) 8 b) 16

11) a) 6bc + 2b2 c) 4a2 3b2 + 3a2 + 3a + 2b

b) 9a2b d) 13 3

xy xz12 2

12) a) 2a2b3c2 c) 32

b3

e) 4 21

x y z3

b) 6 31

a c3

d) 12x3y5

13) a) 2x y

4z c)

3 24ab c3

e) 25

m n2

b) x10 d) x3yz3

Manual de Matemtica

55

14) a) 9a4b6c2 c) 8x3y3y6 d) 4 8a b81

b) 1 e) 1

10ab

15) a) 3x c) 7m3n2p e) 3 2

2

mn px y

b) 13a2c d) 2 26 2

a a9 3

=

16) a) 12a b) 4a + 8b

17) a) 2x2 + 2xy e) x3 8x2 + 17x 10b) a3 + 2a2b f) 3a2 + a 2c) 6m3 10m2 + 14m g) 3x4 2x3 9x2 + 16x + 10d) 3a5 + 3a4 12a3

18) a) q 2x 4r 4x 3= = +

c) 3 2q x 2x 4x 7

r 15

= + + +=

b) q 2a 3r 0= =

19) a) a2 +10a + 25 e) m2 6m + 9

b) x2 + 4x + 4 f) 25a6 10a3y + y2

c) 4 + 12y + 9y2 g) 29 12

a 4a25 5 +

d) 2x 2x

19 3+ +

20) 9a2 7a + 5

21) a) a(4 3x) e) (a b + c) . (x + y)

b) 2 4a

(1 a a )3

+ + f) 25

a(a 2)3

+

c) 7x2y2 (5x 2y) g) (a 1) . (x + b) d) (x y) . (m + 1) h) (2a + 1) . (n m)

Manual de Matemtica

56

22) a) 12a3b3c4d3 d) 30(a + 2)

b) (x 3)2 . (x + 3) e) x(y + 5)2

c) 2x(x + 7) . (x 7)

23) a) S = {26} e) S = {3a + 2b}

b) S = {32} f) a

Sa 1

=

c) S = {1} g) S = {bm}

d) 20

S9

=

24) a) S = {( 2, 5)} d) S = {(2, 3)} b) S = {(2, 1)} e) S = {(12, 30)} c) S = {( 4, 4)}

25) a) 178

b) 1

16c) 8

26) a) 27 e) x6b

b) (3)16 f) a5x 3

c) (0,1)7 g) 16

d) 31

3 h)

812

27) a) 5 c) 5 45 33

b) 6

9d) 3 2ab

28) a) S = { 3, 4} f) S = {3, 3} b) S = {4 , 7} g) S = c) S = {0, 6} h) S = {1} d) S = { } i) S = {2, 5} e) S = {2}

Bloco 01

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