A Equao de Bernoulli

Miguel Moreira

Outubro de 2003

Contedo

1 Introduo 2

2 A Equao de Bernoulli 2

3 Deduo da Equao de Bernoulli 4

4 Formas da Equao de Bernoulli 6

5 Aplicaes da Equao de Bernoulli 7

5.1 Descarga de reservatrios pressurizados . . . . . . . . . . . . . 85.2 Escoamentos atravs de restries . . . . . . . . . . . . . . . . 95.3 Jactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105.4 Medio de velocidades e caudais . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.4.1 O Tubo Venturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125.4.2 O Tubo Pitot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

6 Outras aplicaes da Equao de Bernoulli 15

7 Concluses 16

1 7/Setembro/2005

1 Introduo

A escolha do tema A Equao de Bernoulli para objecto desta lio deve-se, em primeiro lugar, ao facto de ser um tema da mecnica de fluidos commltiplas, interessantes e importantes aplicaes na Engenharia.

Como se sabe, a Equao de Bernoulli utilizada para, entre outras apli-caes em hidrulica, quantificar velocidades de escoamentos estacionrios dedescarga de reservatrios, estimar a velocidade de uma escoamento atravsduma restrio sua passagem e medir velocidades de escoamentos e os cor-respondentes caudais. A aplicao da Equao de Bernoulli est portantopresente quer nas operaes de previso feitas pelo Engenheiro, quer nascorrespondentes operaes de verificao e experimentao em geral. As-pectos estes que constituem as duas faces do mundo em que um Engenheirose movimenta.

Por outro lado, a maquinaria matemtica e fsica, necessria para justi-ficar o enunciado da Equao de Bernoulli, adequada ao nvel de um alunodo fim do primeiro ano, princpio do segundo ano de um curso de Engenha-ria, possibilitando a ilustrao da aplicao de conceitos de clculo vectoriale de fsica de uma forma integrada, obtendo um resultado de utilidade evi-dente para aluno. Acresce que ao nvel das aplicaes a Equao de Bernoullioferece-nos facilmente, alguns resultados, j conhecidos do aluno e obtidosaplicando outras metodologias. Ora, estes factos constituem elementos ex-tremamente motivadores da aprendizagem.

2 A Equao de Bernoulli

Daniel Bernoulli foi um fsico e matemtico Suo do sculo XVIII. Oriundode uma notvel famlia ligada Cincia particularmente matemtica1

nasceu em 1700 e investigou, entre muitos outros assuntos, as foras as-sociadas a um fluido em movimento. Desenvolveu a teoria cintica dos gasese foi quem pela primeira vez caracterizou a presso de um gs atravs doschoques elsticos, das suas partculas, numa superfcie.

Viria a estabelecer, em 1738, uma das equaes mais utilizadas na mec-nica de fluidos conhecida por Equao de Bernoulli.

A Equao de Bernoulli traduz o princpio de conservao de energianuma mesma linha de corrente num escoamento suposto estacion-rio, com massa volmica constante, invscido, sujeito adicionalmentea foras volmicas de origem gravtica.

1tais como, Jacob Bernoulli notabilizado pelos seus estudos sobre sucesses e sries e

Johan Bernoulli que investigou questes ligadas teoria da integrao.

2 7/Setembro/2005

Lembremos que uma linha de corrente caracterizada pela tangncia dovector velocidade do escoamento em cada um dos seus pontos. Um escoa-mento dito estacionrio quando os parmetros que o caracterizam, taiscomo a massa volmica , a velocidade V, a presso p e outros, no de-pendem do tempo. A massa volmica diz-se constante se no dependerquer do tempo, quer da posio. Um escoamento diz-se invscido quando aviscosidade do fluido nula. Nesta ltima situao o fluido diz-se perfeito.

O estabelecimento da Equao de Bernoulli tem por base a Equao deEuler

DV

Dt= p+ g (1)

a qual representa a Lei Fundamental da Dinmica, ou Segunda Lei de Newton

ma =

Fi (2)

aplicada a um fluido perfeito (invscido) sujeito a foras de origem gravtica.Nesta ltima espresso, m, a e

Fi, representam respectivamente a massa

a acelerao e a soma vectorial das foras exteriores aplicadas.Na expresso (1), , V, p e g representam respectivamente a massa vol-

mica, a velocidade, a presso e a acelerao da gravidade. A derivada DVDt

,

no primeiro membro da Equao de Euler, traduz o conceito de derivadamaterial da velocidade

DV

Dt=

V

t+ (V.)V (3)

que desenvolvido evidencia a presena de um termo de acelerao local Vt

eum outro de acelerao convectiva (V.)V. Este desenvolvimento permite-nos reescrever a equao de Euler na forma

(V

t+ (V.)V

)= p+ g. (4)

Os termos do primeiro membro representam, como j referimos, os termosde acelerao local e acelerao de natureza convectiva das foras volmicasde inrcia. Os termos do segundo membro representam as foras exterioresno elemento de volume, nomeadamente o gradiente da presso p e o pesovolmico g do elemento de volume.

Notemos que , p so campos escalares e V, g campos vectoriais. Ocampo de foras gravtico g, vertical podendo ser representado como

g = kg (5)

em que k o versor unitrio orientado no sentido oposto ao do campo emquesto.

3 7/Setembro/2005

3 Deduo da Equao de Bernoulli

Comecemos por considerar a Figura 1 que representa uma linha de correntede um escoamento planar. Nesta figura podemos observar a representao

z

Linha de corrente

TN

Vector tangente unitrioVector norm al unitrio

T V V=

k

g

rd

dzdsd Tr =

ds

dzsin =

z

Linha de corrente

TN

Vector tangente unitrioVector norm al unitrio

T V V=

k

g

rd

dzdsd Tr =

ds

dzsin =

Figura 1: Linha de corrente.

dos vectores unitrios tangente T e normal N, linha de corrente ilustradaassim como o versor k e o campo gravtico g. O comprimento infinitesimalde arco de linha de corrente est denotado por ds. Iremos supor a linha decorrente parametrizada em termos das coordenadas do referencial definidopelos versores T e N em cada ponto.

Nestas circunstncias poderemos exprimir o vector velocidade V em cadaponto da linha de corrente por

V =VTT+ VNN (6)

em que VT e VN representam, respectivamente, as correspondentes compo-nente tangencial e normal. Como se sabe, por definio de linha de corrente,o vector velocidadeV de um escoamento, tangente a cada um dos pontos dalinha de corrente. Desta forma, numa linha de corrente, a component normalVN da velocidade nula e a componente tangencial igual ao valor absolutode V, tornando-se assim possvel representar a velocidade do escoamento emcada ponto, por

V = VT. (7)

Em (7), V = VT , representa, como j foi referido, o valor absoluto da veloci-dade vectorial V em cada ponto da linha de corrente.

Representemos a Equao de Euler (1) em termos das coordenadas asso-ciadas linha de corrente e na sua direco.

4 7/Setembro/2005

Comecemos por observar que o primeiro membro da Equao de Euler sereduz a

DV

Dt=

(V

t+ V

(VT)

s

), (8)

j que a velocidadeV tem uma componente normal nula na linha de corrente.Notemos que esta ltima expresso ainda se pode escrever como

DV

Dt=

(V

t+ V

(VT)

s

)

=

(V

t+ V

V

sT+V 2

T

s

)

=

(V

t+ V

V

sT

), (9)

j que o termo V 2 Ts

representa uma acelerao normal linha de corrente.Por outro lado, a componente do gradiente de presso p na direcco

tangencial tangencial linha de corrente reduz-se a

(p)T =p

s. (10)

Quanto componente tangencial, linha de corrente, do peso volmico g,considerando a Figura 1, facilmente concluimos que

(g)T = g sin = gdz

ds. (11)

Tendo em conta as expresses (9), (10) e (11) e supondo adicionalmenteo escoamento estacionrio, V

t= 0, a Equao de Euler na direco da linha

de corrente assume a forma

VV

s=

p

s g

dz

ds, (12)

isto ,

s

(V 2

2

)+p

s+ g

dz

ds= 0. (13)

Naturalmente se a massa volmica for constante, obtemos

s

(V 2

2

)+p

s+ g

dz

ds= (14)

s

(V 2

2+ p+ gz

)= 0, (15)

5 7/Setembro/2005

condio esta que s se verifica quando

V 2

2+ p+ gz = constante (16)

ao longo de uma linha de corrente. Esta ltima expresso a Equao deBernoulli.

4 Formas da Equao de Bernoulli

Como foi referido anteriormente, a equao de Bernoulli (16) vlida numlinha de corrente de um qualquer escoamento estacionrio, invscido, demassa volmica constante e sujeito a um campo de foras gravtico.Esta equao estabelece uma relao precisa entre as variveis velocidade V ,presso p e altura z, que caracterizam este tipo de escoamento ao longo deuma linha de corrente. Note-se que nos termos da Equao de Bernoulli estesparmetros no podem variar independentemente uns dos outros.

A Equao de Bernoulli apresentada habitualmente numa das seguintesformas equivalentes:

V 2

2+ p+ gz = constante, (17)

V 2

2+p

+ gz = constante, (18)

V 2

2g+

p

g+ z = constante. (19)

Na forma correspondente expresso (17) cada um dos termos do pri-meiro membro apresenta dimenses de energia por unidade de volume:

o termo V2

2representa a chamada presso dinmica do escoamento,

ou energia cintica por unidade de volume;

o termo p representa a chamada presso esttica do escoamento;

o termo gz representa a energia potencial por unidade de vo-lume.

quantidade

pT = V 2

2+ p

habitual chamar presso total ou presso de estagnao, isto , numponto da mesma linha de corrente em que a velocidade se anula.

6 7/Setembro/2005

Na forma correspondente expresso (18) a Equao de Bernoulli apre-senta termos com dimenses de enrgia por unidade de massa. Finalmente naforma (19) os seus termos tm dimenses de comprimento:

o termo V2

2gdesigna-se habitualmente por altura cintica;

o termo pg

por altura esttica ou piezomtrica;

o termo z, simplesmente altura geomtrica.

De referir que alguns autores designam por altura piezomtrica a quan-tidade p

g+ z e altura total H, a quantidade

H =V 2

2g+

p

g+ z.

5 Aplicaes da Equao de Bernoulli

Se bem que na prtica no existam fluidos perfeitos, emmuitas circunstnciasos efeitos da viscosidade e outros fenmenos dissipativos podem ser despre-zados na presena dos diferentes termos da Equao de Bernoulli.

Na obteno de resultados atravs da aplicao da Equao de Bernoulli,o princpio de conservao da massa habitualmente invocado, da que sejustifique uma breve referncia ao mesmo. Sejam A1 e A2 as reas de duassuperfcies de controlo normais s linhas de corrente de um mesmo tubo decorrente num dado escoamento estacionrio. Nestas circuntncias

2A2V2 1A1V1 = 0,

isto , a quantidade de massa que por unidade de tempo, se acumula entre asduas seces de controlo, nula. Se suposermos adicionalmente que a massavolmica constante, o princpio de conservao da massa assume a forma

A2V2 = A1V1, (20)

habitualmente utilizada nas aplicaes da Equao de Bernoulli.Seguidamente ilustraremos algumas das aplicaes mais usuais da Equao

de Bernoulli.

7 7/Setembro/2005

Almofada gasosa

Lquido

Vlvula

Linhas de corrente

2

1

h

Almofada gasosa

Lquido

Vlvula

Linhas de corrente

2

1

h

Figura 2: Reservatrio pressurizado.

5.1 Descarga de reservatrios pressurizados

Muitos fluidos so armazenados em reservatrios pressurizados: gua paraconsumo domstico, gases combustveis, ar comprimido ou vapor de guaem instalaes industriais, etc. Normalmente, a descarga destes fluidos pararegies com presses inferiores regulada por vlvulas ou orifcios. A velo-cidade de descarga e consequentemente o correspondente caudal de descargapode ser determinado com base na Equao de Bernoulli.

Consideremos a Figura 2 na qual se pode observar esquematicamenteum reservatrio pressurizado no interior do qual mantida uma almofadagasosa a uma presso p1. Uma vlvula no reservatrio permite regular adesgarga do lquido na parte inferior do reservatrio para uma regio a umapresso inferior p2. O escoamento supe-se estacionrio, invscido e a massavolmica constante.

A velocidade de descarga V2 atravs da vlvula pode ser estimada recor-rendo Equao de Bernoulli. Com efeito nas seces 1 e 2 da linha decorrente idealizada

V 22

2g+

p2

g+ z2 =

V 21

2g+

p1

g+ z1. (21)

Notemos tambm que em resultado do princpio de conservao da massa(supondo a massa volmica constante e o escoamento estacionrio)

V1A1 = V2A2,

8 7/Setembro/2005

em que A1 e A2 representam as reas das correspondentes seces normaisde passagem, V1 V2 pois A1 A2. Assim, na equao (5), o termo

V 21

2g

pode ser desprezado na presena do termo V2

2

2g. Deduz-se sucessivamente

V 22

2g=

p1 p2

g+ z1 z2

V2 =

2 (p1 p2)

+ 2g (z1 z2).

Fazendo h = z1 z2 a expresso anterior assume a forma

V2 =

2 (p1 p2)

+ 2gh.

Naturalmente o caudal volmico de descarga pode ser caracterizado pelaexpresso

Q = A2V2.

5.2 Escoamentos atravs de restries

Escoamentos entre reservatrios podem realizar-se atravs de orifcios de pas-sagem limitadores do caudal, isto restries. Veja-se a Figura 3. possvelmostrar, com base na equao de Bernoulli que o escoamento invscido deum fluido atravs de uma restrio realizado a uma velocidade que dependeda diferena de presses entre os dois reservatrios.

Com efeito, observemos a Figura 18 em que o conjunto de linhas de cor-rente representadas caracteriza um tubo de corrente dum escoamento supostoestacionrio, invscido de massa volmica constante. Comecemos por notarque como a rea da seco de passagem A1 muito maior do que a rea daseco de descarga A2. Assim, em resultado do princpio de conservao damassa, a velocidade V1 ser muito menor do que V2, j que (supondo a massavolmica constante e o escoamento estacionrio):

V1A1 = V2A2.

Por outro lado o escoamento verifica-se a uma altura geomtrica z =constante, donde z1 = z2. Desta forma, na Equao de Bernoulli

V 22

2g+

p2

g+ z2 =

V 21

2g+

p1

g+ z1,

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1p

2p

Linhas de corrente

01V

2A

21AA >>

1p

2p

Linhas de corrente

01V

2A

21AA >>

Figura 3: Escoamento invscido atravs de uma restrio de passagem.

poderemos desprezar o termo V2

1

2gna presena de V

2

2

2ge eliminar z1z2, obtendo

V2 =

2 (p1 p2)

. (22)

A expresso obtida permite confirmar, como foi afirmado que a velocidadede passagem do fluido na restrio depende da diferena de presso p1 p2.

5.3 Jactos

Um clssico exemplo de escoamento invscido e estacionrio de um escoa-mento vertical (de gua no seio de ar, por exemplo) com uma velocidade dedescarga V1 suficientemente baixa. Veja-se a Figura 4. Como se sabe, porefeito da tenso superficial, a coluna de lquido instabiliza e fragmenta-se emgotculas aps percorrer uma certa distncia. No entanto iremos supor nesteexemplo que essa distncia no foi ainda percorrida e que o efeito da tensosuperficial insignificante no afectando a presso no interior do jacto. Destaforma podermos considerar a presso esttica, nas seces 1 e 2, no interiordo jacto relacionadas da seguinte forma:

p1 + argz1 = p2 + argz2. (23)

Consideremos, a Equao de Bernoulli aplicada entre as seces 1 e 2:

10 7/Setembro/2005

12

guaAr

1V

2V

1p

2p

1z

2z

D

1

2

guaAr

1V

2V

1p

2p

1z

2z

D

Figura 4: Jacto vertical de gua.

V 22

2g+

p2

g+ z2 =

V 21

2g+

p1

g+ z1. (24)

Resolvendo a expresso (24) em ordem a V2 aps substituir a expresso (23)nesta ltima, obtemos

V 22

= V 21+

2arg (z2 z1)

+ 2g (z1 z2)

= V 21+ 2

(1

ar

)g (z1 z2) . (25)

Notemos que a massa volmica do ar ar muito menor do que a da gua

pois ar 103. Assim podemos simplificar a expresso anterior e obter,

V2 =V 21+ 2g (z1 z2), (26)

expresso esta que caracteriza a velocidad V2 do fluido na correspondenteseco. interessanter observar que este resultado o que se obteria apli-cando directamente o princpio de conservao de energia mecnica a umaporo de fluido em queda livre:

Ec +Ep = constante.

11 7/Setembro/2005

Reforcemos no entanto a ideia de que a simplificao 1 (1 ar

), efec-

tuada, s vlida quando as massas volmicas do fluido em escoamento e dofluido exterior so muito diferentes. Com efeito, se tal no acontecer, tem dese considerar na expresso (25), o factor

(1 ext

), atenuador da acelerao

da gravidade g.A ttulo de curiosidade registemos que a utilizao adicional do princpio

de conservao da massa permite deduzir e quantificar a variao do dimetrodo jacto. Assim, considerando a expresso do referido princpio aplicado sseces 1 e 2 do jacto da Figura 4, suposto, naturalmente constitudo peloescoamento estacionrio de um fludo com massa volmica constante, deduz-se:

V1

(D2

1

4

)= V2

(D2

2

4

)

D2 = D1

V1

V2.

Donde, tendo em conta (26),

D2 = D1

V1

V2

= D1

V1

V 21+ 2g (z1 z2)

= D1

(V 21

V 21+ 2g (z1 z2)

)14

. (27)

5.4 Medio de velocidades e caudais

Em diferentes ocasies necessrio conhecer a velocidade ou caudal de umfluido num tubo ou passagem. Tais medies podem ser realizadas recor-rendo quer ao chamado Tubo Venturi quer ao conhecido Tubo Pitot cujospricpios de funcionamento descreveremos de seguida com base na Equaode Bernoulli.

5.4.1 O Tubo Venturi

O dispositivo conhecido por Tubo Venturi encontra-se ilustrado na Figura5. Para tal, o fluido em escoamento estacionario invscido que se supe demassa volmica constante, obrigado a passar pelo dispositivo referido.

12 7/Setembro/2005

1 2

h

1V

2V

Fluido manomtrico

M

Linha de corrente

1 2

h

1V

2V

Fluido manomtrico

M

Linha de corrente

Figura 5: Tubo Venturi para medio de caudais.

Notemos que em virtude do princpio de conservao da massa teremosa seguinte relao entre as reas das seces de passagem normais A1 e A2 eas respectivas velocidades V1, V2

V1A1 = V2A2. (28)

Por outro lado, atendendo idntica altura geomtrica a que se verifica oescoamento, no dispositivo, a Equao de Bernoulli reduz-se a

V 22

2g+

p2

g=

V 21

2g+

p1

g.

Donde se deduz, recorrendo a alguma lgebra

V 22

= V 21+

2 (p1 p2)

V1 =

2 (p1 p2)((V2V1

)2 1

)

.

Sabendo que p1 p2 = (M ) gh e atendendo expresso (28) conclui-sefinalmente

V1 =

2 (M ) gh((A1A2

)2 1

)

,

13 7/Setembro/2005

expresso esta que caracteriza a velocidade do escoamento em termos doquociente das reas de passagem nas seces 1 e 2 e da diferena de pressesestticas que a se verifica.

Notemos que no dispositivo da Figura (5) o lquido do fluido manomtricodeve ter uma massa volmica maior do que a do fluido em escoamento.

5.4.2 O Tubo Pitot

Na Figura 6 representamos um Tubo Pitot. Este dispositivo inserido doseio do escoamento de forma a fazer coincidir o seu eixo longitudinal coma direco da velocidade.Naturalmente o escoamento suposto invscido,

Fluido manomtrico

Linha de corrente

h

1V

M

1p

21

parede

Fluido em escoamento

Fluido manomtrico

Linha de corrente

h

1V

M

1p

21

parede

Fluido em escoamento

Figura 6: Tubo Pitot.

estacionrio e com massa volmica constante. Consideremos a Equao deBernoulli aplicada nas seces 1 e 2 da linha de corrente que se ilustra nafigura, notando que a altura geomtrica do escoamento constante e que avelocidade V2 nula:

p2

g=

V 21

2g+

p1

g

V1 =

2 (p2 p1)

.

Observemos que p2 p1 = (M ) gh. Assim,

V1 =

2 (M ) gh

. (29)

14 7/Setembro/2005

A expresso (29) permite, da forma descrita, obter a velocidade V1 do escoa-mento em termos dos parmetros h e das diferenas das massas volmicasdo fluido manomtrico e de trabalho. Naturalmente supe-se que a diferenaM positiva.

6 Outras aplicaes da Equao de Bernoulli

Como foi referido, a utilizao correcta da Equao de Bernoulli pressupeque a mesma seja aplicada numa linha de corrente de um escoamento esta-cionrio, invscido com massa volmica constante. No entanto, em muitassituaes de interesse na Engenharia, quer efeitos dissipativos distribudos deorigem viscosa ou turbulenta, quer efeitos dissipativos de natureza singular,no podem ser ignorados. Isto , parte da energia do escoamento ao longoda linha de corrente dissipada. Nestas situaes a adequada modificaoda Equao de Bernoulli pode revelar-se, tambm, de grande utilidade. Tal o caso da situao que ilustraremos de seguida.

Consideremos a conduta horizontal representada na Figura 7 que sesupe com uma seco recta de rea constante. Suponha-se que amassa volmica do fluido real em escoamento estacionrio no seu interior, tambm, constante.

1 2

Linhas de corrente

1 2

Linhas de corrente

Figura 7: Escoamento estacionrio numa conduta horizontal.

Em resultado do processo de dissipao de energia ao longo do trajectodo fluido entre as seces referidas a Equao de Bernoulli assume a forma

V 21

2g+

p1

g+ z1 =

V 22

2g+

p2

g+ z2 + hf (30)

15 7/Setembro/2005

em que hf representa a referida dissipao de energia.Em virtude do princpio de conservao da massa aplicado s seces 1 e

2 deduz-se

A1V1 = A2V2

V1 = V2.

Por outro lado, a altura geomtrica do escoamento mantm-se constante.Donde, z1 = z2.

Assim, destas hipteses, deduz-se com base na formulao (21)

hf =p1 p2

g. (31)

Esta ltima expresso permite quantificar a dissipao de energia distribudaao longo do escoamento entre as seces 1 e 2, em termos da diferena depresso esttica que se pode medir experimentalmente nas correspondentesseces.

O resultado anterior tem um alcance prtico enorme pois possibilita ca-racterizar as condutas em termos das dissipaes que originam em condiessemelhantes de escoamento. Esta possibilidade, permitindo, antecipar e pre-ver as quedas de presso esttica em escoamentos reais, essencial no projectode sistemas de condutas.

7 Concluses

Nesta lio foi deduzida a Equao de Bernoulli

V 2

2+ p+ gz = constante,

com base na integrao da Equao de Euler numa linha de corrente de umaescoamento estacionrio, invscido, com massa volmica constante e sujeito aco do campo gravtico.

Diversas aplicaes elementares da Equao de Bernoulli, que traduz oprincpio de conservao de energia, nas condies das hipteses, foram ilus-tradas, nomeadamente:

previso de caudais em descarga de reservatrios pressurizados;

estimativa de velocidade dum escoamento atravs duma restrio;

estudo de jactos de escoamentos;

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medio de caudais;

determinao de perdas de carga.

As aplicaes ilustradas uma pequena parte das utilizaes da Equaode Bernoulli mostram a enorme utilidade desta equao na Mecnicade Fluidos nos aspectos relacionados com a previso e quantificao defenmenos da hidrulica e nas tcnicas experimentais de medio develocidades de escoamento.

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Referncias

[1] Bird, R. B., Stewart, W. E. & Lightfoot, E. N., Transport Phenomena,Willey International Edition, New York, 1960.

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[4] Kinsky, R., Applied Fluid Mechanics, McGraw-Hill Book Company, Syd-ney, 1989.

[5] Lencastre, A., Hidrulica Geral, Hidroprojecto, 1983.

[6] Middleman, S., An Introduction to Fluid Dynamics, John Wiley & Sons,Inc.,1998.

[7] Potter, M. C. & Wiggert, D. C., Mechanics of Fluids, Terceira Edio,Brooks/Coole, 2002.

[8] Rouse, H., Elementary Mechanics of Fluids, Dover, 1946.

[9] Struick, J., A Source Book in Mathematics, 1200-1800, Harvard Univer-sity Press, 1969.

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