Basica

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MATEMMATEMÁÁTICA BTICA B ÁÁSICASICA

ARITMARITMÉÉTICA BTICA B ÁÁSICASICA

CCÁÁLCULO DO M.M.CLCULO DO M.M.C( UFSC – SC ) Um país lançou em 02/05/2000 os satélites artificiais A, B e C com as tarefas de fiscalizar o desmatamento em áreas de preservação, as nascentes dos rios e a pesca predatória no Oceano Atlântico. No dia 03/05/2000 podia-se observá-los alinhados, cada um em uma órbita circular diferente, tendo a Terra como centro. Se os satélites A, B e C levam, respectivamente, 6, 10 e 9 dias para darem uma volta completa em torno da Terra, então o número de dias para o próximo alinhamento é: RESPOSTA: M.M.C (6, 10, 9) = 90

( UFSC – 2007 ) No ponto de ônibus da Praça X passa um ônibus para a Linha Vermelha de 15 em 15 minutos e um ônibus para a Linha Amarela de 25 em 25 minutos. Se os dois ônibus passaram juntos às 10 horas, na primeira vez em que voltarem a passar juntos pelo ponto serão 10 horas e 40 minutos.

VERDADEIRO OU FALSO

RESPOSTA: FALSO

CCÁÁLCULO DO M.D.CLCULO DO M.D.C

Três rolos de arame que medem respectivamente 24m, 84m e 90m, foram cortados em pedaços iguais e do maior tamanho possível. Então o comprimento de cada pedaço é:

RESPOSTA: M.D.C (24, 84, 90) = 6m

M.D.CM.M.CNúmeros6 e 12 12 6

8 e 24 24 8

x e 2x; x ≠≠≠≠ 0 2x x

3 e 5 15 1

15 e 16 240 1Primos entre si

( UEPG – PR ) Considerando os números naturais p e q, diferentes de zero, sobre o máximo divisor comum (m.d.c.) e o mínimo múltiplo comum (m.m.c.), assinale o que for correto.

01. m.d.c. (p, 1) = p, se p ≠≠≠≠ 102. Se m.m.c. (p,q) = p.q então p e q são números primos. 04. Se p é múltiplo de q então m.m.c. (p, q) = p. 08. Se p é divisor de q então m.d.c. (p, q) = p. 16. m.m.c. (p, 2p) = 2p2

FF

FF

VV

VV

FF RESPOSTA:12

NNºº DE DIVISORES DE UM NDE DIVISORES DE UM NÚÚMEROMERO

QUANTIDADE DE DIVISORES INTEIROS

QUANTIDADE DE DIVISORES NATURAIS

NÚMERO

12 24

360 24 48

( UDESC – 2014 ) A quantidade de números naturais que são divisores do mínimo múltiplo comum entre os números a = 540, b = 720 e c = 1800 é igual a:

a) 75 b) 18 c) 30 d) 24 e) 60 RESPOSTA: e

108



FATORAFATORA ÇÇÃOÃO

CASOS DE FATORACASOS DE FATORA ÇÇÃOÃO1) FATOR COMUM1) FATOR COMUM ax + bx = x(a + b)Agrupamento:Agrupamento:

ax + bx + ay + byx (a + b) + y (a + b)

(a + b)(x + y)

2) DIFEREN2) DIFERENÇÇA ENTRE 2 QUADRADOSA ENTRE 2 QUADRADOS

a2 – b2 = (a + b)(a – b)

3) TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO3) TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

APLICAAPLICA ÇÇÕESÕES

( UFSC 2012 ) O número A = 10150 – 1 é um múltiplo de 4.

VERDADEIRO OU FALSO

VERDADEIROVERDADEIRO

O número inteiro N = 16 15 + 256 é divisível por 17.VERDADEIROVERDADEIRO

1 1N

32 10 7 32 10 7= +

+ −O número é um decimal ilimitado

periódico. Se N for escrtio sob a forma da fraç ão irredutível a/b então a + b é igual a: 1414



EQUAEQUAÇÇÕES DO 1ÕES DO 1ºº GRAUGRAU

FORMA: ax + b = 0FORMA: ax + b = 0

4

1

3

x

2

1x:equaçãodaraizaDetermine =+

−

Complete as frases

I. Se x é um número real, então o triplo desse número é.....3x3x

II. Se x é um número real, então o quadrado desse número é.....xx22

III. Se x é um número real, então a terça parte desse número é..... xx

33

IV. Se n é um número inteiro, então a fórmula que representa um número inteiro e par é.....2n2n

V Se n é um número inteiro, então a fórmula que representa um número inteiro e ímpar é............2n + 12n + 1

I. Se x é um número inteiro, então o seu consecutivo é..........x + 1x + 1

II. Se x é um número inteiro e par, então o seu consecutivo é..........x + 2x + 2

III. Se x é um número inteiro e ímpar, então o seu consecutivo é..........x + 2x + 2

IV. Se x é um número real, então o número que excede x em 5 unidades é ..........x + 5x + 5

V. Se x e y são números reais, então a soma dos quadrados desses dois números é ..........xx22 + y+ y22

VI. Se x e y são números reais, então a soma dos quadrados desses dois números é ..........(x + y)(x + y)22

A soma das idades de um pai e seu filho é 38 anos. Daqui a 7 anos o pai terá o triplo da idade do filho. A idade do pai será:

Gabarito: 39 anosGabarito: 39 anos

( UFSC 2014 ) Se a soma de quatro números primos distintos é igual a 145, então o menor deles é 3.

VERDADEIRO OU FALSO

FALSOFALSO



SISTEMA DE EQUASISTEMA DE EQUA ÇÇÕES ÕES DO 1DO 1ºº GRAUGRAU

ResoluResolu çção ão –– Exemplos:Exemplos:

=−=+

9y2x

6yxa)

=−=+

32y7x

83y2xb)

S = {(5, 1)}

S = {(1, 2)}

−=+

=−

4y

5

x

2

9y

3

x

1

c) S = {(1/3, -1/2)}

Rasgou-se uma das fichas onde foram registrados o consumo e a despesa correspondente de três mesas de uma lanchonete, como indicado abaixo.

UFRGS UFRGS -- RSRS

Nessa lanchonete, os sucos têm um preço único, e os sanduiches também. O valor da despesa da mesa 3 é

a) R$ 5,50b) R$ 6,00c) R$ 6,40d) R$ 7,00e) R$ 7,20

Gabarito: aGabarito: a

UFSC UFSC –– SC SC

Pedro, Luiz, André e João possuem, juntos, 90 CDs. Se tirarmos a metade dos CDs de Pedro, dobrarmos o número de CDs de Luiz, tirarmos 2 CDs de André e aumentarmos em 2 o número de CDs de João, eles ficarão com a mesma quantidade de CDs. Determine o número inicial de CDs de André. Gabarito: 22Gabarito: 22

UFRGS UFRGS –– RS RS O dispensador de dinheiro do caixa eletrônico de um banco foi abastecido apenas com cedulas de R$5,00 e de R$20,00. Um cliente, ao realizar um saque, constatou que o dispensador liberou 6 cedulas. Entre elas, havia pelo menos uma de cada valor. Com base nesses dados, é correto afirmar que a única alternativa que apresenta uma quantia que poderia ter sido sacada pelo cliente é

a) R$ 90,00 b) R$ 95,00 c) R$ 100,00

d) R$ 110,00 e) R$ 120,00Gabarito: aGabarito: a



EQUAEQUAÇÇÕES DO 2ÕES DO 2ºº GRAUGRAU

Forma: axForma: ax 22 + bx + c = 0; a + bx + c = 0; a ≠≠≠≠≠≠≠≠ 00

FFóórmula Resolutiva:rmula Resolutiva:

2aΔbx ±−=

4acbΔ 2 −=

∆∆∆∆ > 0 x1 ≠≠≠≠ x2

∆∆∆∆ = 0 x1 = x2

∆∆∆∆ < 0 x1, x2 ∉ℜ∉ℜ∉ℜ∉ℜ

Exemplos:Exemplos:

a) 2xa) 2x22 –– 5x + 2 = 05x + 2 = 0

b) xb) x 22 –– 6x + 9 = 06x + 9 = 0

c) xc) x 22 –– 4x + 5 = 04x + 5 = 0

x1 = 2 ou x2 = 1/2

x1 = x2 = 3

x1, x2 ∉ℜ∉ℜ∉ℜ∉ℜ



2aΔbx ±−=

4acbΔ 2 −=

∆∆∆∆ > 0 x1 ≠≠≠≠ x2

∆∆∆∆ = 0 x1 = x2

∆∆∆∆ < 0 x1, x2 ∉ℜ∉ℜ∉ℜ∉ℜ

UFPR UFPR -- PRPR

A soma das áreas dos três quadrados ao lado é igual a 83 cm2. Qual é a área do quadrado maior?

a) 36cm2 b) 20cm2 c) 49cm2 d) 42cm2

e) 64cm2

Gabarito: cGabarito: c



2aΔbx ±−=

4acbΔ 2 −=

∆∆∆∆ > 0 x1 ≠≠≠≠ x2

∆∆∆∆ = 0 x1 = x2

∆∆∆∆ < 0 x1, x2 ∉ℜ∉ℜ∉ℜ∉ℜ

UDESC UDESC -- SCSC

a) 0,5cm

b) 1cm

c) 14,5cm

d) 0,25cm

e) 2cmGabarito: aGabarito: a

Para divulgar seus cursos de graduação, uma Universidade deseja confeccionar alguns panfletos. Sabe-se que as dimensões de cada panfleto são 12 cm x 18 cm e que as margens superior, inferior, direita e esquerda devem ser iguais a x

cm. Se a maior área de impressão em cada panfleto é 187 cm2 , então x é igual a:



2aΔbx ±−=

4acbΔ 2 −=

∆∆∆∆ > 0 x1 ≠≠≠≠ x2

∆∆∆∆ = 0 x1 = x2

∆∆∆∆ < 0 x1, x2 ∉ℜ∉ℜ∉ℜ∉ℜ

UFPR UFPR -- PRPR

a) R$ 55,00

b) R$ 60,00

c) R$ 65,00

d) R$ 70,00

e) R$ 75,00Gabarito: bGabarito: b

Durante o mês de dezembro, uma loja de cosméticos obteve um total de R$ 900,00 pelas vendas de um certo perfume. Com a chegada do mês de janeiro, a loja decidiu dar um desconto para estimular as vendas, baixando o preço desse perfume em R$ 10,00. Com isso, vendeu em janeiro 5 perfumes a mais do que em dezembro, obtendo um total de R$ 1.000,00 pelas vendas de janeiro. O preço pelo qual esse perfume foi vendido em dezembro era de:

FFóórmula de Bhrmula de Bh ááskara: Demonstraskara: Demonstra ççãoão

axax22 + bx + c = 0+ bx + c = 0

axax22 + bx = + bx = -- cc MultiplicaMultiplica--se os dois membros por 4ase os dois membros por 4a

4a4a22xx22 + 4abx = + 4abx = -- 4ac4ac AdicionaAdiciona--se bse b22 aos dois membrosaos dois membros

4a4a22xx22 + 4abx + b+ 4abx + b22 = b= b22 -- 4ac4ac

(2ax + b)(2ax + b)22 = b= b22 -- 4ac4ac

2a

4acbbx

4acbb2ax

4acbb2ax

2

2

2

−±−=

−±−=

−±=+



2aΔbx ±−=

4acbΔ 2 −=

a

bxx

21

−=+

∆∆∆∆ > 0 x1 ≠≠≠≠ x2

∆∆∆∆ = 0 x1 = x2

∆∆∆∆ < 0 x1, x2 ∉ℜ∉ℜ∉ℜ∉ℜ

Soma e Produto:Soma e Produto:

a

cxx

21=.



PORCENTAGEMPORCENTAGEM

RAZÃO E PROPORÇÃO

b

a

RAZÃO - comparação

PROPORÇÃO – igualdade de razões

b

a c

d= a . d = b . c

PROPORÇÃO

01) Em uma cidade de 250.000 habitantes, aproximadamente 10.000 foram vacinados contra o vírus H1N1, número muito menor do que as autoridades de saúde previam. Se tomarmos aleatoriamente 50 habitantes dessa cidade, quantos deles se espera que tenham sido vacinados contra o vírus H1N1?a) 2 habitantes.b) 6 habitantes.c) 8 habitantes.d) 12 habitantes.e) 15 habitantes.

250000

10000 x

50

=

25

1 x

50

= x = 2 habitantes

PROPORÇÃO02) O gráfico abaixo apresenta a distribuição em ouro, prata e bronze das 90 medalhas obtidas pelo Brasil em olimpíadas mundiais desde as Olimpíadas de Atenas de 1896 até as de 2004. Considerando-se que o ângulo central do setor circular que representa o número de medalhas de prata mede 96°, o número de medalhas desse tipo recebidas pelo Brasil em olimpíadas mundiais, nesse período de tempo, é:

a) 22b) 24c) 26d) 28e) 30

x

90 360

96

= x = 24 medalhas90 med ------- 360°

x med ------- 96°

03) Para testar a eficiência de um tratamento contra o câncer, foi selecionado um paciente que possuía um tumor de formato esférico, com raio de 3 cm. Após o início do tratamento, constatou-se, através de tomografias, que o raio desse tumor diminuiu a uma taxa de 2 mm por mês. Caso essa taxa de redução se mantenha, qual dos valores abaixo se aproxima mais do percentual do volume do tumor original que restará após 5 meses de tratamento?

a) 29,6% b) 30,0% c) 30,4% d) 30,8% e) 31,4%

3cm

TUMOR INICIAL RAIO DIMINUI 2 mm por mês TUMOR FINAL(5 meses depois)

1cm ------- 10mm

r = 2cm

V = 4⋅π⋅⋅π⋅⋅π⋅⋅π⋅r3

3

VOLUME INICIAL

V = 4⋅π⋅⋅π⋅⋅π⋅⋅π⋅33

3VINICIAL = 36ππππ

VOLUME FINAL

V = 4⋅π⋅⋅π⋅⋅π⋅⋅π⋅23

3 32ππππ/3

VOLUME ESFERA

REGRA DE TRÊS36ππππ 100%

VFINAL = 32ππππ/3

x

x = 29,6%

Em 6 dias de trabalho, com 16 máquinas fabricam-se 720 uniformes. Em quantos dias, com 12 máquinas, serão fabricados 2160 unifo rmes?

Dias Máquinas Uniformes

6 16 720

x 12 2160

GRANDEZAS A B C

COMPARAÇÕESA --- B

A --- C

G.I.P

G.D.P

x . 12 . 720 = 6 . 16 . 2160

x = 24

Um motociclista percorre 200 km em 2 dias, se rodar durante 4 h oras por dia. Em quantos dias esse motociclista percorrerá 500km, se rodar 5 horas por dia?

km dias horas/dia

200 2 4

500 x 5

GRANDEZAS B A C

COMPARAÇÕESA --- B

A --- C

G.D.P

G.I.P

x . 200 . 5 = 500 . 2 . 4

x = 4

30100

= 0,330% =

50100

= 0,550% =

5100

= 0,055% =

PorcentagemChamamos de porcentagem toda razão centesimal, ou seja, razão da forma

100x

AUMENTOS E DESCONTOS

AUMENTAR O PREÇO DE UMA MERCADORIA EM 20% SIGNIFICA MULTIPLICAR SEU VALOR POR: 1,2

AUMENTAR O PREÇO DE UMA MERCADORIA EM 2% SIGNIFICA MULTIPLICAR SEU VALOR POR: 1,02

DIMINUIR O PREÇO DE UMA MERCADORIA EM 20% SIGNIFICA MULTIPLICAR SEU VALOR POR: 0,8

Aumento sucessivo de 10% e 20% no preço de um deter minado produto éequivalente a um único aumento de:

1,1 . 1,2 = 1,32 32%

Quando chegou o inverno, um comerciante aumentou em 10% o preço de cada jaqueta de couro do seu estoque. Terminada a estaçã o, fez uma promoção com 20% de desconto, passando o preço da jaqueta para R $ 176,00. O preço inicial de cada jaqueta, antes do aumento, era:

1º MODO

prepre çço inicial o inicial -- xxaumento de 10%

x + 10%xx + 0,1x1,1x

desconto de 20%1,1x – 20%(1,1)x1,1x – 0,2(1,1)x1,1x – 0,22x 0,88x

prepre çço final o final –– 0,88x0,88x

0,88x = 176x = 176/0,88x = 200

2º MODO

AUMENTAR x em 10% émultiplicá-lo por 1,1 e diminuir em 20% émultiplicar por 0,8

(1,1).(0,8)x = 0,88x(1,1).(0,8)x = 0,88x

0,88x = 176 0,88x = 176 x = 200 x = 200

A base de um retângulo foi aumentada de 25% e sua altura foi diminuída de x%. Determine o valor de x, sabendo que a área do retângulo não se alterou.

b

h

A1 = b . h

1,25b

h – x%h

A2 = 1,25b . (h – x%h)

A1 = A2

b.h = 1,25b . (h – x%h)b.h = 1,25b . h(1 – x%)1 = 1,25(1 – x%)

0,8 = 1 – x%

x = 1 – 0,8x% = 0,2

x = 20%

Um corretor de imóveis oferece um terreno por R$ 100.000,00 àvista. A compra também pode ser realizada por meio do pagamento de duas parcelas iguais de x reais; a primeira parcela deve ser paga no ato da compra e a segunda um ano depois. Determine o valor dex, sabendo que é cobrada uma taxa de juros de 20% ao ano sobre o saldo devedor.

TOTAL: 100 000

1ª parcela: x

Saldo Devedor: 100 000 - x

2ª parcela: 100 000 – x + 20%(100 000 – x)

1ª parcela = 2ª parcela

x = 100 000 – x + 20%(100 000 – x)x = 100 000 – x + 0,2(100 000 – x)x = 100 000 – x + 20 000 – 0,2x2,2x = 120 000

x ≅≅≅≅ 54 545

JUROS

Calcule o valor dos juros e do capital mais juros ( montante) de R$ 100,00 aplicados por três anos a uma taxa de juros de 20% ao ano no regime de juros simples.

JUROS SIMPLES

MONTANTE(C + J)

JUROS POR PERÍODOPERÍODO

1 0,20.100 = 20 120

2 0,20.100 = 20 140

3 0,20.100 = 20 160

J = 60M = 160

FÓRMULAS DO JUROS SIMPLES

J = C.i.t

M = C + J

JUROS

Calcule o valor dos juros e do capital mais juros ( montante) de R$ 100,00 aplicados por três anos a uma taxa de juros de 20% ao ano no regime de juro composto.

JURO COMPOSTO

MONTANTE(C + J)

JUROS POR PERÍODOPERÍODO

1 0,20.100 = 20 120

2 0,20.120 = 24 144

3 0,20.144 = 28,8 172,8

J = 72,8M = 172,8

FÓRMULA DO JURO COMPOSTO

M = C(1 + i) t

Uma pessoa possui um capital de R$ 100.000,00 e des eja obter, ao final de 3 anos, um rendimento de R$ 24.000,00. Sabendo-se que nas a plicações financeiras os juros são compostos e capitalizados anualmente, a a plicação a ser escolhida deve ter uma taxa anual aproximada de:

a) 7% b) 9% c) 5% d) 6% e) 8%

Dados: log 1,24 = 0,093 e 100,031 = 1,07

M = C(1 + i) t

124 000 = 100 000(1 + i)3

124 = 100 (1 + i)3

1,24 = (1 + i)3

log 1,24 = log (1 + i)3

0.093 = 3 log (1 + i)

0.031 = log (1 + i)

100,031 = (1 + i)1,07 = 1 + i0,07 = i

i = 7%

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