Baricentro

Do baricentro até o lado é 1/3 da mediana completa.

Do baricentro até o vértice é 2/3 da mediana toda.

a

aa

b

2b

Razão de Semelhança

2

A8. A figura mostra um paralelogramo ABCD. Se M é ponto médio de CD e BD = 15, a medida de PB é:

a) 8,5

b) 9

c) 10

d) 10,5

A

B C

D

P M

3a

2aa

3a + a + 2a = 15

a = 2,5

PB = 7,5 + 2,5

PB = 10

Teorema da Bissetriz Interna

A

B

CD

AB

BC=

AD

DC

Teorema da Bissetriz Externa

A

AB

BD=

AC

CD

B CD

O triângulo ABC é isósceles, de base AC. Se AM é bissetriz interna, o valor de x é:

a) 13

b) 12

c) 10

d) 9

A

B

M

C

x

4

6

x – 4

x

x – 4=

6

4

4x = 6x – 24

2x = 24

x = 12

Os lados de um triângulo medem 20cm, 24cm e 28cm. Em quanto se deve prolongar o lado menor para que ele encontre a bissetriz do ângulo externo a ele oposto?

a) 120cm

b) 112cm

c) 108cm

d) 100cm

28

20

24

x28

20 + x=

24

x

28x = 480 + 24x

4x = 480

x = 120

Círculo

O

P

r

dA B

DC corda

Arco Menor e Arco Maior

O

A

B

arco menor

arco maior

Toda Perpendicular a uma Corda de um Círculo Traçada de seu Centro, Divide esta

Corda ao Meio

O

A

B

r

r

Disco

O

P

r

Uma Reta é Tangente a um Círculo se, e somente se, ela é Perpendicular ao Raio cujo

Extremo é o Ponto de Tangência

O

A

B

r

r

Por um Ponto Exterior a um círculo podem-se Traçar duas, e somente duas, Tangentes

ao Círculo

O

A

B

R

R

P

Ângulo Central

O

B

A

Ângulo Inscrito

O

B

A

ab

a

b

2a

2b

O ângulo inscrito é metade do ângulo central

Ângulo de Vértice Interior

b

ab

2

a

2

x

x =a + b

2

Ângulo de Vértice Exterior

x =a – b

2

P

A

B

C

D

ab

b

2

a

2

x

a

2=

b

2+ x

Segmentos Secantes Internos

C

D

A

B

P

a

b

b

2

b

2

a

2

a

2

PA

PD=

PC

PB PA . PB = PC . PD

Segmentos Secantes Externos

CB

A

D

P

PA

PC=

PD

PB PA . PB = PC . PD

a

b

a

2

a

2

x

Segmentos Tangente e Secante

C

B

A

P

PA

PC=

PC

PB (PC)2 = PA . PB

aa

2

a

2

x

A21. (PUC – MG) Num círculo de 6m de raio, por um ponto situado a 10m do centro, traça-se uma tangente. O comprimento do segmento da tangente do ponto ao círculo, em metros, mede:

a) 6

b) 7

c) 8

d) 16 0

x

6 6 4

x2 = 16 · 4

x = 8

A22. Na figura, 0 é o centro do círculo. Seu raio mede:

a) 3 3

b) 2 3

c) 4,5

d) 5 0

3

36

x

3 + x

6 · 3 = (6 + x) · x

18 = 6x + x2

x2 + 6x – 18

x =–6 36 +

722

x =–6 + 6 3

2

x = –3 + 3 3

r = 3 – 3 + 3 3 = 3 3

A23. Uma corda de um círculo é perpendicular a um de seus diâmetros e o divide em dois segmentos proporcionais a 1 e 4. A razão entre o comprimento da corda e o diâmetro do círculo é:

a) 0,6

b) 0,7

c) 0,8

d) 0,9 4a a

x

x

4a · a = x2

2a = x

4a

5a= 0,8

Diagonais de um Polígono Convexo

• Diagonal de um polígono é um segmento de reta que tem por extremidades dois vértices não-consecutivos do polígono.

A

B

Número de Diagonais de um Polígono Convexo Seja nn o número de vértices;

Cada vértice faz ligação com todos os outros nn vértices, menos com seus adjacentes e ele próprio, ou seja,

com (n – 3)(n – 3) vértices;

Como há nn vértices, então podemos fazer n.(n – 3)n.(n – 3) ligações;

A

C2

)3.(

nnd

Soma dos Ângulos Internos de um Polígono

Em um polígono de n lados

traçando-se de um dos vértices todas as diagonais possíveis, o polígono fica dividido em (n – 2) triângulos.

Si = (n – 2) . 180º

Ângulo Interno de um Polígono Regular

Todos os ângulos e todos os lados são iguais.

ai =Si

n

Soma dos Ângulos Externos de um Polígono

ai + ae = 180º

Si + Se = 180º . n

Se = 180ºn – (n – 2) . 180º

Se = 180ºn – 180ºn + 360º

Se = 360ºÂngulo Externo de um Polígono Regular

ae =360º

n

aiae

Quadrado Retângulo

l

l

SQuadrado = l2

3 cm

3 cm

S = 3 × 3 = 9 cm2

h

b

SRetângulo = b × h

3 cm

5 cm

S = 5 × 3 = 15 cm2

Paralelogramo Trapézio

h

b

SParalelogramo = b × h

b

h

h

b B

bB

STrapézio =(B + b) ·

h2

Losango

SLosango =D × d

2

r

2pCírculo = 2r

SDisco = · r · r

r

r

R

r

SCoroa = (R2 – r2)

SSegmento = SSetor – STriânguloSegmento Circular

Disco Setor Circular Coroa Circular

SSetor = · r2

360º·

SDisco = r2

Triângulo

a

b ch

STriângulo =a · h

2

STriângulo Retângulo =b · c

2

STriângulo = p(p – a)(p – b)(p – c)l l

l

STriângulo Eqüilátero =l2 3

4

Triângulo Circunscrito

a

b

c

r

r r

STriângulo Circunscrito =c · r

2+

b · r

2+

a · r

2

STriângulo Circunscrito = r ·a + b + c

2

STriângulo Circunscrito = P · r

Triângulo Inscrito

0

a

b

c

h

a

2R=

h

b

STriângulo Inscrito =c · h

2

STriângulo Inscrito =a · b ·

c4R

h =a · b

2R

Triângulo Dado apenas um Ângulo e os Lados Correspondentes

b

a

H

STriângulo =a · H

2

sen =H

b b · sen = H

STriângulo =a · b · sen

2

Triângulo Quadrado Hexágono

30ºaR

l/2 45ºa R

l/2 60ºa R

l/2

Teorema do Seno

Hb

aC B

c

sen C =H

bsen B =

H

C

sen C · b = H sen B · c = H

sen C · b = sen B · c

b

sen B=

c

sen C

Teorema do Cosseno

Hc

b

a

m b – m

c2 = H2 + m2 a2 = (b – m)2 + H2 c2 – m2 = H2

a2 = (b – m)2 + c2 – m2 a2 = b2 – 2bm + m2 + c2 – m2

cos =m

c cos · c = m

a2 = b2 + c2 – 2bc · cos

Na figura, AC é um diâmetro do círculo e as retas r e s são tangentes ao círculo em A e B. Podemos afirmar que:

a) = 2

b) + = 90º

c) = 3

d) + 2 = 90º

C s

B

A

P

r

90 –

90 –

–2 + 180º + = 180º

= 2

Os segmentos PA, PB e QR são tangentes ao círculo da figura em A, B e C, respectivamente. Se PA = 8, calcule o perímetro do triângulo PQR.

B

A

P

C

Q

R

2P = 8 – y + y + 8 – x + x = 16

x

y

8 – x

x

y

8 – y

Um triângulo ABC está circunscrito a um círculo. Os lados AB = 5cm, AC = 8cm e BC = 9cm tangenciam um círculo em M, N e P, respectivamente. Calcule AM.

A

B C

M N

P

x x

y

y z

z

x + y = 5

x + z = 8

y + z = 9

x + y = 5

x + z = 8

–y – z = –9

2x = 4

x = 2

(UFES) Na figura, a medida de , em graus, é

a) 52

b) 54

c) 56

d) 58

32º

58º

2

2 = 58º 2

= 58º

(Mack-SP) Na figura, sabe-se que m(CÂD) = 20º e m(CÊD) = 70º. Então, a medida de AMB é igual a

a) 50º

b) 45º

c) 60º

d) 30ºO

B A

E

D C

M

x

20º

100º

40º

70º

110º50º

x =100º – 40º

2

x = 30º

(VUNESP) Sejam A, B e C pontos distintos no interior de um círculo, sendo C o centro do mesmo. Se construirmos um triângulo, inscrito no círculo, com um lado passando por A, outro por B e outro por C, podemos afirmar que este triângulo

a) é acutângulo

b) é retângulo

c) é obtusângulo

d) pode ser eqüilátero

C

A

B

diâmetro

180º

90º

Na figura, ABC é um triângulo inscrito no círculo, sendo BC diâmetro. A reta t é tangente ao círculo em A; e são os ângulos que t forma com AB e AC, respectivamente, e – = 38º. O ângulo Ĉ do triângulo ABC mede

a) 58º

b) 60º

c) 62º

d) 64º

A

t

B C

90º

– = 38º

+ = 90º

2 = 128º

= 64º

128º

64º

As retas r e s da figura tangenciam o círculo em A e B. Então a medida x do ângulo assinalado é:

a) 60º

b) 65º

c) 70º

d) 75º P

A

Bs

r

x50º 2x

65º

65º

2x = 130º

x = 65º

30º

Na figura, AB = 8 é diâmetro do círculo e P é o ponto médio de AQ. O perímetro do triângulo ABQ é

a) 22

b) 23

c) 24

d) 25

A

P

B

Q

60º

8

4

4

sen 30º =x

81

2 8 =

x

xx = 4

2P = 8 3 = 24

O triângulo é eqüilátero

As bases de um trapézio isósceles circunscrito a um círculo medem 5 e 9. Calcule a medida de cada um dos lados não-paralelos.

x

x x

x

y

yy

y

9

5

2x = 5 x = 2,5

2y = 9 y = 4,5

x + y = 2,5 + 4,5 = 7

A52. Dois lados consecutivos de um quadrilátero circunscrito a um círculo medem 6cm e 8cm. Calcule as medidas dos outros dois lados do quadrilátero, sabendo que seu perímetro é 30cm.

a

a b

b

6

6 – a

6 – a

8

2 + a

2 + a

a + b + 2 + a + b + 8 + 6 = 30

2a + 2b = 14

a + b = 7

l1 = a + b = 7

l2 = a + 2 + b = 7 + 2 = 9

A53. Um quadrilátero convexo está inscrito a um círculo. Dois de seus ângulos internos medem 85º e 113º. A diferença das medidas dos outros dois ângulos internos é

a) 23º

b) 25º

c) 28º

d) 32º

85º

113º

Dois ângulos opostos de um quadrilátero inscrito são sempre suplementares

85º + x = 180º

x = 95º

95º113º + y = 180º

y = 67º

67º

95º – 67º = 28º

Num quadrilátero ABCD, inscrito em um círculo, os pontos A e C são diametralmente opostos e Ĉ = 2Â. Calcule, em radianos, as medidas dos ângulos internos desse quadrilátero.

A

B

C

D

a 2a

2

2

a + 2a =

a =3

2a =23

23

3

;2

; ;2