Experimento

Ministério da Ciência e Tecnologia

Ministério da Educação

Secretaria de Educação a Distância

Números e fuNções

Guia do professor

licença Esta obrá está licenciada sob uma licença Creative Commons

Avalanches

Objetivos da unidadeModelar o fenômeno de avalanches;1. Construir gráficos;2. Linearizar gráficos através de logaritmos.3.

Guia do professor

SinopseEste experimento propõe modelar matematicamente avalanches provoca-das por materiais simples, como milho de pipoca, feijão e um recipiente qualquer. Inicialmente, os alunos produzirão avalanches, verificando suas intensidades pela quantidade de grãos que desmoronam. A partir daí, construirão gráficos com os dados coletados, obtendo uma curva. Aplicando logaritmo torna-se possível analisar a função que modela o fe-nômeno e até fazer algumas previsões.

ConteúdosLogaritmos e suas aplicações.

Objetivos da unidadeModelar o fenômeno de avalanches;1. Construir gráficos;2. Linearizar gráficos através de logaritmos.3.

DuraçãoUma aula dupla.

Avalanches

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Introdução

Este experimento dará noções aos alunos de como ver fenômenos e eventos de maneira sistemática, anotando algumas informações, em ambiente controlável, para fazer uma modelagem matemática. Modelos matemáticos podem ser úteis para descrever, entender ou prever alguns fenômenos da natureza ou da tecnologia. Observe também que o experimento vai mostrar a possibilidade de reproduzir os resultados, dentro de uma margem de erro razoável, que é um dos princípios básicos da ciência experimental. Neste experimento, os alunos são convidados a vivenciar um pouco de como os cientistas desenvolvem seus modelos.

Motivação

O experimento com grãos de feijão ou milho vai simular a essência de uma avalanche. O material é de fácil acesso e pode ser feito sem qualquer instrumento: basta fazer contagem dos grãos que caem ao colocá-los, um a um, no amontoado de grãos que se organiza no estado crítico de escorregar ou não. Usualmente um grão empurra o outro, o qual pode absorver o novo grão se acomodando localmente ou pode empurrar seu vizinho. Na maioria das vezes, um grão de algum lugar acaba rolando montanha abaixo. Outras vezes, dois grãos. E algumas vezes, vários grãos. Temos vários exemplos de que este comportamento coletivo acon-tece em amplitudes e frequências diferentes. É interessante observar que avalanches, desmoronamentos, terremotos, incêndios naturais em florestas, tempestades solares, microfraturas em estruturas metálicas e cerâmicas, extinção de espécies biológicas, ganhos e perdas em econo-mia, congestionamento em trânsito etc seguem equações matemáticas, dentro de algumas simplificações. Isto é, mesmo sendo fenômenos tão complicados e distintos, uma análise matemática mostra e até prevê seu comportamento. Físicos e engenheiros dizem que esses sistemas no limiar de avalanche, desmoronamento etc estão em limites críticos entre estabilidade e insta-bilidade, e que os elementos dos sistemas tendem a se auto-organizar. Professor, o experimento não se trata apenas de modelar queda de grãos em uma pilha ou um amontoado, e sim estudar o método de carac-terizar e depois analisar, usando a função logaritmo, os dados coletados.

fig. 2

fig. 1 Avalanche de neve no monte Everest. Foto por Ilan Adler.

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Etapa 2 Representação gráfica

A primeira constatação a que os alunos devem chegar é que a quantidade de eventos Q decresce com a intensidade I. Quanto mais eventos, menor a intensidade e vice-versa, quanto maior a intensidade menos eventos, isto é, eventos de grande avalanche são mais raros. Convém lembrar o gráfico da função inversa. Para melhor tentar ajustar os dados iniciais, veja o gráfico da função y = 85/x para x > 0. Note que para valores maiores de x, o gráfico já não é fiel aos dados.

O experimento

Comentários iniciais

A divisão da turma em grupos de 3 é importante para estimular o trabalho em grupo e para obter vários eventos de desmoronamento no Fechamento. Os grãos devem ser recolhidos e reaproveitados. Professor, atente para grãos no solo da sala. Além de ser um desperdício, pode provocar escorregões. Peça aos alunos para terem cuidado e, se algum grão cair no chão, recolhê-los para o experimento.

Etapa 1 Coleta de dados

Quanto mais dados, melhor, mas os grupos não devem ter pressa. Consideramos razoável se um grupo chegar a 30 eventos. No entanto, a maior limitação é o tempo da aula e a paciência dos alunos.

fig. 3

I Q

1 54

2 26

3 18

4 4

5 1

6 1

7 2

8 3

9 1

Tabela 1

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No exemplo dado no texto do experimento, obtemos, com alguma margem de erro, b = −2b = −2 e a = 26,4 = 84, 4. Assim, temos uma relação explícita:

Q =84, 4

I2,

Veja o gráfi co superposto ao gráfi co anterior para enfatizar as diferenças:

A partir dos valores de Q, podemos obter os valores relativos ao total de eventos de desmoronamentos durante o experimento. No experimento que fi zemos temos o total de 110. Vamos então defi nir Qr = Q/110 e teremos a seguinte expressão:

Qr =0, 767

I2,

No experimento aconteceu um evento, dentre o total de 110, no qual 9 grãos se desmoronaram, sendo também, o evento de maior intensidade. Com a expressão acima podemos fazer a seguinte previsão probabilística:

Etapa 3 Uma nova representação

A modelagem matemática consiste em ajustar um gráfi co aos dados coletados. A função proposta é a seguinte:

Q =a

Ib

que tem as principais características dos dados, isto é, para constantes positivas a e b, quanto maior a intensidade I, menor a quantidade Q. Para encontrar as constantes, aplicamos a função logaritmo e usamos suas propriedades:

log(Q) = log(a)− b · log(I)

Podemos usar qualquer base. No entanto, para não precisarmos de calculadora científi ca ou computador, usamos a base 2 e listamos alguns valores de logaritmo na base 2 no anexo do experimento.

0

5

0

10

15

20

25

30

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

fig. 4

00

10

20

30

40

10 20 30 40

fig. 5

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Fechamento

Compare os dados obtidos entre os dois grãos. O valor relevante para fazer previsões relativas é o coeficiente b. O exemplo dado no experimento b = 2 .

Em experimentos com areia, obtém-se b menor que 2. E avalanches de neve, b é próximo de 1. Em algumas flutuações magnéticas da Terra e do Sol b é próximo de 1 e em outras, b = 2,3. Para microfraturas, b = 1,7 Cada resultado obtido pode produzir novos modelos matemáticos e melhores previsões.

Avalanches com intensidade de 10 grãos poderão ocorrer com probabilidade maior que 0,7 %, ou melhor dizendo, pode haver mais de 7 eventos em mil nos quais a intensidade da avalanche seja de 10 grãos.

Isto porque para I = 10, Qr = 0, 00767 > 71000.

Para fazer contas fáceis, podemos analisar a seguinte função parecida:

Qr =1

2I2 ,

assim, podemos dizer:

Se � I = 1, Qr = 1/2 = 50%Se � I = 2, Qr = 1/8 = 12, 5%Se � I = 3, Qr = 1/18 ≈ 5, 5%Se � I = 4, Qr = 1/32 ≈ 3, 1%Se � I = 5, Qr = 1/50 = 2%

E assim por diante. Com este tipo de expressão relativa, Qr, podemos fazer pequenas extrapolações que podem ser úteis para fazer previsões de eventos mais raros.

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Bibliografia

Bak, P. How Nature Works: The Science of Self-Organized Criticality. New York: Copernicus. ISBN 0-387-94791-4, 1996.

LaursoN, L; Mikko, A.; Zapperi, S. Power spectra of self-organized critical sandpiles. J.Stat.Mech. 0511 (2005) L001 [arXiv:cond-mat/0509401v1 ]. 2005.

ANdrade, R. Exact Solution for the Self-Organized Critical Rainfall Model. Brazilian Journal of Physics, vol. 33, no. 3, September, 2003.

Variações

Este experimento pode ser feito com areia, porém, o controle na colocação e a medida da intensidade de areia exige mais cuidados. Pode-se usar pequenos copos para colocar mais e mais areia. Quando surgir um desmo-ronamento de areia, recolher a areia e medir em unidades do copo usado. O restante do experimento é similar ao feito com feijão ou pipoca.

Ficha técnica

Ministério da Ciência e Tecnologia

Ministério da Educação

Secretaria de Educação a Distância

Matemática MultimídiaCoordenador GeralSamuel Rocha de OliveiraCoordenador de ExperimentosLeonardo Barichello

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (imecc – unicamp)DiretorJayme Vaz Jr.Vice-DiretorEdmundo Capelas de Oliveira

Universidade Estadual de CampinasReitorJosé Tadeu JorgeVice-ReitorFernando Ferreira da Costa

Grupo Gestor de Projetos Educacionais (ggpe – unicamp)CoordenadorFernando ArantesGerente ExecutivaMiriam C. C. de Oliveira

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AutorSamuel Rocha de Oliveira

RevisoresMatemáticaAntônio Carlos PatrocínioLíngua PortuguesaCarolina Bonturi PedagogiaÂngela Soligo

Projeto gráfico e ilustrações técnicasPreface Design