Autor: José António Fernandes de Freitas Aceite para publicação em 22 de Setembro de 2011.
Transcript of Autor: José António Fernandes de Freitas Aceite para publicação em 22 de Setembro de 2011.
![Page 1: Autor: José António Fernandes de Freitas Aceite para publicação em 22 de Setembro de 2011.](https://reader037.fdocumentos.tips/reader037/viewer/2022102901/552fc13d497959413d8dd4de/html5/thumbnails/1.jpg)
Trigonometria
Autor: José António Fernandes de Freitas
Aceite para publicação em 22 de Setembro de 2011
![Page 2: Autor: José António Fernandes de Freitas Aceite para publicação em 22 de Setembro de 2011.](https://reader037.fdocumentos.tips/reader037/viewer/2022102901/552fc13d497959413d8dd4de/html5/thumbnails/2.jpg)
Aplicações da Trigonometria
A palavra Trigonometria é formada por três radicais
gregos: tri (três), gonos (ângulos) e metron (medir). Daí
vem o seu significado mais amplo: Medida dos Triângulos,
assim através do estudo da Trigonometria podemos
calcular as medidas dos elementos do triângulo (lados e
ângulos).
Com o uso de triângulos semelhantes podemos calcular
distâncias inacessíveis
A Trigonometria é um instrumento potente de cálculo, que
além do seu uso na Matemática, também é usado no
estudo de fenómenos físicos, Eletricidade, Mecânica,
Música, Topografia, Engenharia entre outros.
![Page 3: Autor: José António Fernandes de Freitas Aceite para publicação em 22 de Setembro de 2011.](https://reader037.fdocumentos.tips/reader037/viewer/2022102901/552fc13d497959413d8dd4de/html5/thumbnails/3.jpg)
Alguns exemplos básicos de aplicações práticas da
trigonometria
![Page 4: Autor: José António Fernandes de Freitas Aceite para publicação em 22 de Setembro de 2011.](https://reader037.fdocumentos.tips/reader037/viewer/2022102901/552fc13d497959413d8dd4de/html5/thumbnails/4.jpg)
Distâncias dentro do sistema
solar Distância de planetas inferiores
Quando o planeta inferior (tem a sua órbita menor que a da terra)
em máxima elongação (emax), o ângulo entre a Terra e o Sol, na
posição do planeta, será 90º. Então, nessa situação Sol, Terra e
planeta formam um triângulo retângulo, e a distância do planeta
ao sol será:
![Page 5: Autor: José António Fernandes de Freitas Aceite para publicação em 22 de Setembro de 2011.](https://reader037.fdocumentos.tips/reader037/viewer/2022102901/552fc13d497959413d8dd4de/html5/thumbnails/5.jpg)
Distância de planetas superiores
Considerando o triângulo formado pelo sol, Terra e planeta
(SE’P’), o ângulo entre o Sol e o planeta, visto da terra é 90º, e o
ângulo formado entre a Terra e o planeta é α. Então a distância
entre o Sol e o planeta será:
![Page 6: Autor: José António Fernandes de Freitas Aceite para publicação em 22 de Setembro de 2011.](https://reader037.fdocumentos.tips/reader037/viewer/2022102901/552fc13d497959413d8dd4de/html5/thumbnails/6.jpg)
Determinação do raio lunar
Um observador com ajuda de aparelhos especiais que lhe
forneçam o ângulo em que ele vê a lua e a distância em que a lua
se encontra da Terra, pode descobrir o raio da lua, apenas
utilizando a lei do seno:
substituindo, , o que deduz a fórmula:
![Page 7: Autor: José António Fernandes de Freitas Aceite para publicação em 22 de Setembro de 2011.](https://reader037.fdocumentos.tips/reader037/viewer/2022102901/552fc13d497959413d8dd4de/html5/thumbnails/7.jpg)
Determinação da altura de
casas, montanhas, torres, …
![Page 8: Autor: José António Fernandes de Freitas Aceite para publicação em 22 de Setembro de 2011.](https://reader037.fdocumentos.tips/reader037/viewer/2022102901/552fc13d497959413d8dd4de/html5/thumbnails/8.jpg)
Análise e estudo da frequência
cardíaca.A variação da pressão sanguínea (em mm HG) de uma pessoa, em
função do tempo (em s), é uma função trigonométrica cuja lei é
dada por:
![Page 9: Autor: José António Fernandes de Freitas Aceite para publicação em 22 de Setembro de 2011.](https://reader037.fdocumentos.tips/reader037/viewer/2022102901/552fc13d497959413d8dd4de/html5/thumbnails/9.jpg)
Fenómenos periódicos
Em matemática, as funções trigonométricas são
funções angulares, importantes no estudo dos
triângulos e na modelação de fenómenos
periódicos.
Nós chamamos um fenómeno de periódico
quando este fenómeno se repete após certo
intervalo de tempo (período).
Se um fenómeno é sabidamente periódico,
podemos prever com relativa facilidade o que
ocorre em momentos não observados.
![Page 10: Autor: José António Fernandes de Freitas Aceite para publicação em 22 de Setembro de 2011.](https://reader037.fdocumentos.tips/reader037/viewer/2022102901/552fc13d497959413d8dd4de/html5/thumbnails/10.jpg)
Alguns exemplos de fenómenos periódicos
![Page 11: Autor: José António Fernandes de Freitas Aceite para publicação em 22 de Setembro de 2011.](https://reader037.fdocumentos.tips/reader037/viewer/2022102901/552fc13d497959413d8dd4de/html5/thumbnails/11.jpg)
Movimento das marés
![Page 12: Autor: José António Fernandes de Freitas Aceite para publicação em 22 de Setembro de 2011.](https://reader037.fdocumentos.tips/reader037/viewer/2022102901/552fc13d497959413d8dd4de/html5/thumbnails/12.jpg)
Ciclo menstrual da mulher
![Page 13: Autor: José António Fernandes de Freitas Aceite para publicação em 22 de Setembro de 2011.](https://reader037.fdocumentos.tips/reader037/viewer/2022102901/552fc13d497959413d8dd4de/html5/thumbnails/13.jpg)
As fases da Lua
![Page 14: Autor: José António Fernandes de Freitas Aceite para publicação em 22 de Setembro de 2011.](https://reader037.fdocumentos.tips/reader037/viewer/2022102901/552fc13d497959413d8dd4de/html5/thumbnails/14.jpg)
Movimento de um pêndulo
![Page 15: Autor: José António Fernandes de Freitas Aceite para publicação em 22 de Setembro de 2011.](https://reader037.fdocumentos.tips/reader037/viewer/2022102901/552fc13d497959413d8dd4de/html5/thumbnails/15.jpg)
Ciclo dia e noite (rotação da
Terra)
![Page 16: Autor: José António Fernandes de Freitas Aceite para publicação em 22 de Setembro de 2011.](https://reader037.fdocumentos.tips/reader037/viewer/2022102901/552fc13d497959413d8dd4de/html5/thumbnails/16.jpg)
Função Seno
![Page 17: Autor: José António Fernandes de Freitas Aceite para publicação em 22 de Setembro de 2011.](https://reader037.fdocumentos.tips/reader037/viewer/2022102901/552fc13d497959413d8dd4de/html5/thumbnails/17.jpg)
Dado um ângulo de medida x, a função seno é a
relação que associa a cada x ϵ IR, o seno do
ângulo x, definido pelo número real sen(x).
A função é definida por f(x) = sen(x) ou y =
sen(x)Clique na figura abaixo para visualizar o gráfico
da restrição da função seno ao intervalo [0,
2π].
O traçado representado na figura anterior
corresponde a uma volta no círculo
trigonométrico, de 0 a 2π. Continuando a dar
voltas no círculo, no sentido positivo ou no
sentido negativo, obtém-se o gráfico da função
seno, que pode ser visto como uma sucessão
repetitiva da curva anteriormente apresentada.
![Page 18: Autor: José António Fernandes de Freitas Aceite para publicação em 22 de Setembro de 2011.](https://reader037.fdocumentos.tips/reader037/viewer/2022102901/552fc13d497959413d8dd4de/html5/thumbnails/18.jpg)
A seguir apresenta-se parte da representação
gráfica da função seno, um pouco mais
«estendida» no seu domínio. O gráfico da função
seno é uma curva que se designa por sinusóide.
Clique na imagem anterior e resolva os exercícios 3, 4, 5 e 6 da ficha orientada.
![Page 19: Autor: José António Fernandes de Freitas Aceite para publicação em 22 de Setembro de 2011.](https://reader037.fdocumentos.tips/reader037/viewer/2022102901/552fc13d497959413d8dd4de/html5/thumbnails/19.jpg)
A periodicidade das funções trigonométricas permite que
estas sejam frequentemente utilizadas para definir
modelos matemáticos que ajudam à compreensão de
inúmeros fenómenos periódicos, tais como: marés, fases
da lua, ondas sonoras, órbitas de satélites, etc.
Um modelo muito utilizado para este tipo de fenómenos é
definido por f(x) = a.sen(bx + m) + k, onde os parâmetros
reais a, b e m são, em vários contextos, designados como
amplitude, frequência e desfasamento, respectivamente.
Transformações no gráfico da função seno
![Page 20: Autor: José António Fernandes de Freitas Aceite para publicação em 22 de Setembro de 2011.](https://reader037.fdocumentos.tips/reader037/viewer/2022102901/552fc13d497959413d8dd4de/html5/thumbnails/20.jpg)
Situação 1: Consideremos a função cuja expressão é dada
por y = f1 (x) = sen(x) + k, onde k é uma constante real. A
pergunta natural a ser feita é: “Qual a ação da constante
k no gráfico desta nova função quando comparado ao
gráfico da função inicial y = sen(x)?”Para ajudar na resposta a esta questão clique aqui.
Sugere-se uma pequena investigação sobre esta família de
funções.
Partindo da função seno e recorrendo ao Geogebra, estude a
influência de cada parâmetro no comportamento da função,
nomeadamente em relação ao período, contradomínio, zeros e
extremos.
![Page 21: Autor: José António Fernandes de Freitas Aceite para publicação em 22 de Setembro de 2011.](https://reader037.fdocumentos.tips/reader037/viewer/2022102901/552fc13d497959413d8dd4de/html5/thumbnails/21.jpg)
Situação 2: Ainda podemos pensar numa função seno que
seja dada pela expressão y = f2 (x) = a.sen(x), onde a é
uma constante real, a ≠ 0. A pergunta natural a ser feita é:
“Qual a ação da constante a no gráfico desta nova função
quando comparado ao gráfico da função inicial y =
sen(x)?”Para ajudar na resposta a esta questão clique aqui.
![Page 22: Autor: José António Fernandes de Freitas Aceite para publicação em 22 de Setembro de 2011.](https://reader037.fdocumentos.tips/reader037/viewer/2022102901/552fc13d497959413d8dd4de/html5/thumbnails/22.jpg)
Situação 3: Consideremos agora uma função seno que
seja dada pela expressão y = f3 (x) = sen(x + m), onde m é
uma constante real, m ≠ 0. A pergunta natural a ser feita
é: “Qual a ação da constante m no gráfico desta nova
função quando comparado ao gráfico da função inicial y =
sen(x)?”
Para ajudar na resposta a esta questão clique aqui.
![Page 23: Autor: José António Fernandes de Freitas Aceite para publicação em 22 de Setembro de 2011.](https://reader037.fdocumentos.tips/reader037/viewer/2022102901/552fc13d497959413d8dd4de/html5/thumbnails/23.jpg)
Para ajudar na resposta a esta questão clique aqui.
Situação 4: Consideremos agora uma função seno que seja
dada pela expressão y = f4 (x) = sen(bx), onde b é uma
constante real, b ≠ 0. A pergunta natural a ser feita é:
“Qual a ação da constante b no gráfico desta nova função
quando comparado ao gráfico da função inicial y = sen(x)?”
![Page 24: Autor: José António Fernandes de Freitas Aceite para publicação em 22 de Setembro de 2011.](https://reader037.fdocumentos.tips/reader037/viewer/2022102901/552fc13d497959413d8dd4de/html5/thumbnails/24.jpg)
Agora que já estudou o efeito de cada parâmetro
separadamente, chegou o momento de os colocar a todos em
ação.
O gráfico da função f(x), representado a negro, foi gerado
aleatoriamente.
O seu desafio é encontrar os valores dos coeficientes a, b, c e d
da função g(x) (a vermelho) de modo que o gráfico desta função
seja igual ao gráfico de f(x).
Para resolver o desafio clique aqui.
![Page 25: Autor: José António Fernandes de Freitas Aceite para publicação em 22 de Setembro de 2011.](https://reader037.fdocumentos.tips/reader037/viewer/2022102901/552fc13d497959413d8dd4de/html5/thumbnails/25.jpg)
Função Cosseno
![Page 26: Autor: José António Fernandes de Freitas Aceite para publicação em 22 de Setembro de 2011.](https://reader037.fdocumentos.tips/reader037/viewer/2022102901/552fc13d497959413d8dd4de/html5/thumbnails/26.jpg)
A função cosseno é a correspondência unívoca que associa a
cada número real x o valor do cosseno de x, tal como definido
no círculo trigonométrico.
Clique na figura abaixo para visualizar o gráfico da restrição da
função cosseno ao intervalo [0, 2π].
![Page 27: Autor: José António Fernandes de Freitas Aceite para publicação em 22 de Setembro de 2011.](https://reader037.fdocumentos.tips/reader037/viewer/2022102901/552fc13d497959413d8dd4de/html5/thumbnails/27.jpg)
A seguir apresenta-se parte da representação gráfica da função
cosseno, um pouco mais «estendida» no seu domínio.
O gráfico da função cosseno é o transformado do gráfico da
função seno pela translação horizontal associada ao vetor
(-π/2 ; 0).
Clique na imagem anterior e resolva os exercícios 14, 15, 16 e 17 da ficha orientada.
![Page 28: Autor: José António Fernandes de Freitas Aceite para publicação em 22 de Setembro de 2011.](https://reader037.fdocumentos.tips/reader037/viewer/2022102901/552fc13d497959413d8dd4de/html5/thumbnails/28.jpg)
Função Tangente
![Page 29: Autor: José António Fernandes de Freitas Aceite para publicação em 22 de Setembro de 2011.](https://reader037.fdocumentos.tips/reader037/viewer/2022102901/552fc13d497959413d8dd4de/html5/thumbnails/29.jpg)
A função tangente é a correspondência unívoca que associa a
cada número real x, que não pertença a
{x ϵ IR : x = (π/2) + k π, k ϵ Z}, o valor da tangente de x, tal
como definido no círculo trigonométrico.Clique na figura abaixo para visualizar o gráfico da restrição da
função tangente ao intervalo [0, 2π], para os valores de x onde a
tangente está definida.
![Page 30: Autor: José António Fernandes de Freitas Aceite para publicação em 22 de Setembro de 2011.](https://reader037.fdocumentos.tips/reader037/viewer/2022102901/552fc13d497959413d8dd4de/html5/thumbnails/30.jpg)
A seguir apresenta-se parte da representação gráfica da função
tangente, um pouco mais «estendida» no seu domínio.
Clique na imagem anterior e resolva os exercícios 20, 21, 22 e 23 da ficha orientada.
![Page 31: Autor: José António Fernandes de Freitas Aceite para publicação em 22 de Setembro de 2011.](https://reader037.fdocumentos.tips/reader037/viewer/2022102901/552fc13d497959413d8dd4de/html5/thumbnails/31.jpg)
Observe, agora, como as funções trigonométricas também
podem representar figuras interessantes.
Figura 1 – clique aqui.
Figura 2 – clique aqui.
Figura 3 – clique aqui.
FIM
![Page 32: Autor: José António Fernandes de Freitas Aceite para publicação em 22 de Setembro de 2011.](https://reader037.fdocumentos.tips/reader037/viewer/2022102901/552fc13d497959413d8dd4de/html5/thumbnails/32.jpg)
Ficha técnica
Autor da atividade : José António Fernandes de Freitas
Licença da atividade: Creative Commons da Casa das Ciências