Mestrado Integrado em Engenharia Informatica e Computacao 2014 - 20153a Folha de Exercıcios

ANALISE MATEMATICA 13.10.2014 a 17.10.2014

1 Primitivacao imediata ou por decomposicao

1. Calcule os integrais

(a)∫ √

exdx

(b)∫

cotxln (sinx)

dx

(c)∫

5√4−9x2dx

(d)∫

31+x

· 6√− ln (1 + x)dx

2. Calcule uma primitiva das seguintes funcoes

(a) 5√x·cos2 (

√x)

(b) 3√6+9x2dx

(c) (9x2 − 4)−1/2

(d) 5xx2−4

3. Considere a funcao x1+x4

(a) Determine as suas primitivas

(b) Determine a primitiva que se anula quando x = 0

(c) Qual a primitiva que tende para 1 quando x � ∞ ?

4. Determine a primitiva das seguintes funcoes

(a) cos2 x

(b) cos 3x · cos 5x

(c) 4x3−x√9−x4

2 Primitivacao por partes

1. Calcule os seguintes integrais

(a)∫ex · cos (x)dx

(b)∫arcsin xdx

(c)∫x arcsin 1

xdx

Rui Ribeiro 2014-15 1

(d)∫

1(x2+1)2

dx Sugestao: some e subtraia x2 ao numerador

2. Deduza a formula de recorrencia da primitiva da funcao cosn x,∨n ∈ N

3 Solucao de alguns problemas

Exercıcio 1

1. .a) 2

√ex + C b) ln (ln (sinx)) +K

c) 53· arcsin (3x

2) + C d) −18

7· (− ln (x+ 1))7/6

2. .a) 10 · tan (

√x) +K b) arcsh( 3x√

6) + C

c) 13· arch(3x

2) + C d) 5

2· ln (x2 − 4) + C

3. .a) 1/2 · arctanx2 + C b) 1/2 · arctanx2 b) 1/2 · arctanx2 + 4−π

4

4. .a) 1/2 · (x+ 1

2sin(2x)) + C b) sin (8x)

16+ sin (2x)

4+ C

c) −2√9− x4 − 1/2 · arcsin x2

3+ C

Exercıcio 2

1. .a) 1/2 · ex(sinx+ cosx) b) x · arcsinx+

√1 + x2 + C

c) x2

2arcsin 1

x+

√x2−12

+ C d) 1/2 · arctanx+ x2(x2+1)

+ C

2.∫cosn xdx = 1

nsinx cosn−1 (x) + n−1

n

∫cosn−2 (x)dx

Rui Ribeiro 2014-15 2