Aulas REM Capitulo 3

7/28/2019 Aulas REM Capitulo 3

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RESISTNCIA DOS MATERIAIS

Capitulo 3


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RESISTNCIA DOS MATERIAIS

1 SEMESTRE DE 2012

PROF. FERNANDO KUBLAI HUNG MIRANDA


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3.0 Vigas e Eixos de Transmisso

3.1 ToroUma barra cilndrica fixa em uma extremidade submetida a um esforo de

toro por um conjugado de torque T na outra extremidade, como

apresentado na figura abaixo

Esta solicitao e uma toro uniforme quando se considera homogneo o

material da barra. Em outras palavras isto quer dizer que todos os pontos de

cada circunferncia de qualquer seo transversal tem o mesmodeslocamento rotacional.

Fig. 3.1 Representao de uma barra cilndrica sob um carregamento de toro.


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3.2 Deformaes torcionais e a frmula da toro

Um plano que passa pelo eixo do cilindro sofre uma deformao tal que o

ngulo sobre uma circunferncia funo da distncia x entre este crculo

e a extremidade engastada. A simples deduo ou observao prtica

revelam que o ngulo aumenta com o aumento de x. Para determinar a

relao entre ambos, importante em muitos casos prticos, necessrio em

primeiro lugar um estudo das tenses em cada plano de seo transversal.

Considerando uma poro elementar da barra, de comprimento dx, o

processo de toro pode ser entendido como o cisalhamento de dois planosprximos, conforme a figura:

Fig. 3.2 Seo transversal infinitesimal sob esforo de toro.


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A observao pratica demonstra que o angulo de distoro g de uma

superfcie elementar varia linearmente com o raio, atingindo o valor mximomax na borda, conforme a equao:

= (r/R) max

Considerando que as deformaes ocorrem dentro do limite de

proporcionalidade e os ngulos so proporcionais aos raios, as tenses de

cisalhamento tambm sero. A figura 3.3 ilustra a distribuio de tenses ao

longo de uma seo transversal circular.

= (r/R) max

Figura 3.3 Distribuio das tenses de cisalhamento devido a toro.


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O torque T pode ser obtido pela integrao do produto das forcas elementares

dF devido ao cisalhamento pela distancia (raio) ate o centro O, conforme aequao

T = r dFUma vez que dF = dA, onde dA so as reas elementares, substituindo na

equao acima pode-se escreverT = r t dA

Assim, substituindo da equao de acordo com a igualdade:

T = r (r/R) max

dA = (max

/ R) r2 dA

A integral no segundo membro da expresso, r2 dA, representa o momentopolar de inrcia Jda seo transversal em relao ao seu centro O. Destaforma fica definida a relao entre torque e tenso mxima conforme as

equaes


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Outro aspecto que vale mencionar e o fato das tenses de cisalhamento

ocorrerem sempre em pares perpendiculares. Assim, em um corte hipottico deum eixo cilndrico conforme Figura 3.4, ha tenses ao longo do eixo, de

mesmos valores das tenses na seo transversal.

Figura 3.4 Pares de tenso de cisalhamento em um eixo circular sob toro.

Momento de inrcia mede a distribuio da massa de um corpo em torno de

um eixo de rotao. Quanto maior for o momento de inrcia de um corpo, maisdifcil ser faz-lo girar.
http://pt.wikipedia.org/wiki/Eixo_de_rota%C3%A7%C3%A3ohttp://pt.wikipedia.org/wiki/Eixo_de_rota%C3%A7%C3%A3o


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3.3 ngulo de toro

Tomando um eixo circular de comprimento L e raio R, torcido em um angulo

de toro , marca-se na sua superfcie um elemento de rea formado por

dois crculos adjacentes e duas geratrizes muito prximas. Antes da atuao

de qualquer esforo, o elemento se apresenta como indicado na figura 3.5a.

Apos a aplicao de um momento toror o elemento se transforma em um

losango de acordo com a figura 3.5b. Neste caso, dois lados do elemento

so formados por crculos, que permanecem inalterados. Assim, a

deformao de cisalhamento deve ser igual ao angulo formado pelaslinhasAB e AB.

A figura 3.5b mostra que quando e pequeno, pode-se expressar o

comprimento do arcoAA por AA=L. . Ao mesmo tempo, na seotransversal extrema temos que AA=R. . Desta forma,


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Figura 3.5 Angulo de toro e angulo de cisalhamento.

Considerando que a tenso aplicada no exceda o regime elstico do material

em nenhum ponto do eixo e possvel aplicar a Lei de Hooke escrevendo max =

max . G. Assim, substituindo os valores possvel escrever a equao.

Finalmente, Igualando as

equaes obtemos a expresso:


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3.4 Transmisso de potncia

As principais especificaes a serem consideradas no projeto de eixos de

transmisso so a potncia a ser transmitida e a velocidade de rotao do

eixo. O projetista dever selecionar materiais e dimenses adequadas, de

modo que a mxima tenso de cisalhamento admissvel no seja excedida

quando o eixo transmitir a potncia requerida na velocidade especificada.

A potncia transmitida por um eixo se relaciona com o torque aplicado e

com a velocidade angular () em radianos por segundo, de acordo com a

expresso:

Sabendo que =.f, onde f a freqncia do movimento de rotao, isto ,

o nmero de revolues por segundo, pode-se escrever a equaoconforme a

Expressando a freqncia f em Hz e o torque em N.m, a potncia ser

expressa em N.m/s, isto , em watts (W)


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Exemplo:

Uma barra circular vazada de ao cilndrica tem 1,5 m de comprimento e

dimetros interno e externo, respectivamente, iguais a 40 mm e 60 mm. (a)

Qual o maior torque que pode ser aplicado barra circular se a tenso de

cisalhamento no deve exceder 120 MPa? (b) Qual o valor mnimo

correspondente da tenso de cisalhamento na barra circular?

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