A Engenharia e a Arquitetura não devem ser vistas como duas profissões distintas, separadas, independentes uma da outra. Na verdade elas devem trabalhar como uma coisa única.

Um Sistema Estrutural definido pelo conjunto de Elementos Estruturais (lajes, vigas, pilares, fundações) deve ter presente em sua concepção tanto uma visão Técnica (Engenharia) como também uma Expressão Arquitetônica (Arquitetura).

1. Definição dos Elementos Estruturais

Laje: estruturas laminar, onde duas dimensões são da mesma ordem de grandeza e a terceira acentuadamente de menor dimensão.

As lajes em um Sistema Estrutural estão, na maioria das vezes, apoiadas em vigas, podando também, em certos casos, estarem apoiadas diretamente sobre pilares.

Viga: estrutura reticular, onde uma das dimensões é preponderante em relação às outras duas.

As vigas em um Sistema Estrutural podem estar apoiadas diretamente sobre os pilares como também sobre outras vigas.

Pilar: estrutura reticular, onde uma das dimensões é preponderante às outras duas.

Os pilares em um Sistema Estrutural estão apoiados nas fundações.

Fundação: estrutura tridimensionalmente monolítica, onde as três dimensões são da mesma ordem de grandeza.

As fundações em um Sistema Estrutural estão apoiadas em estacas ou diretamente sobre o terreno.

2. Tipos de Apoio e Reações

Engaste

3 reações de apoio: - reação momento (M), - reação horizontal (H), - reação vertical (R), logo: 3 incógnitas.

Apoio fixo

2 reações de apoio: - reação horizontal (H), - reação vertical (R), logo: 2 incógnitas.

Apoio móvel

1 reação de apoio: - reação vertical (R), logo: 1 incógnita.

3. Tipos de Estruturas

Hipostática Menos de 3 incógnitas

São instáveis

Exemplos: estrutura com um apoio fixo (2 incógnitas), ou 2 apoios móveis (2 incógnitas), ou 1 apoio móvel (1 incógnita)

Isostática 3 incógnitas Resolvidas com as três equações da

estática

Exemplo: estrutura com um apoio fixo e um apoio móvel (3 incógnitas), ou um engaste (3 incógnitas)

Hiperestática

Mais de 3 incógnitas

Necessitam outras equações além das três

equações da estática

Exemplos: estrutura com 2 engastes (6 incógnitas), ou 1 engaste e um apoio móvel (4 incógnitas), ou 1 engaste e um apoio fixo (5 incógnitas) ou 2 apoios fixos (4 incógnitas)

Cálculos das reações

� Viga V4

ΣMV6 = 0

positivo: horário +6 . 6,00 . 3,00 - RV9 . 6,00 = 0 RV9 = 18kN

ΣV = 0

positivo: baixo para cima

RV6 + 18 - 6 . 6,00 = 0 RV6 = 18kN

ΣH = 0

positivo: esq. para dir. HV6 = 0 HV6 = 0

1. Pórticos

D definição

Estrutura linear plana, com cargas coplanares, cons tituída por barras retas ligadas entre si.

E exemplo

Exemplos de pórticos:

Concreto Madeira

Aço

Esquema de Carregamentos, Forças e Esforços para um Pórtico

Para cada Barra Esforço externo (P)

Esforços Internos Força Normal ( N ) Força Cortante ( V ) Momento Fletor ( M )

Esforços Tração ou Compressão Cisalhamento Flexão

Tensões

Tensão normal de Tração ou de

Compressão ( σ σ σ σT ou σσσσc )

Tensão de Cisalhamento ( τ τ τ τ ) Tensão de Flexão ( σ σ σ σf )

Barra Horizontal

Barra Vertical

O observação

A força cortante (V) que tende a cortar a barra vertical tem direção horizontal e a força cortante (V) que tende a cortar a barra horizontal tem direção vertical. Portanto, um mesmo tipo de força tem direções diferentes em um mesmo pórtico. O mesmo raciocínio vale para as forças normais às barras (N).

Introdução

Há diversos tipos de pórtico podendo-se fazer uma divisão em duas categorias distintas:

- Quanto a geometria: pórtico plano (bi-dimensional); pórtico espacial (tri-dimensional).

- Quanto a estaticidade: pórtico hipostático, pórtico isostático, pórtico hiperestático.

O nosso estudo será realizado considerando-se os pórticos isostáticos planos, que são a base para a compreensão de pórticos mais complexos.

Tipos de Pórticos Isostáticos Planos

Pórtico bi-apoiado

Este tipo de pórtico está sustentado por dois apoios, sendo um deles um apoio fixo e o outro um apoio móvel. Com estes dois apoios o pórtico apresentará 3 (três) reações de apoio (RA, RD e HD) que são as três incógnitas a serem encontradas. Estas três incógnitas podem ser encontradas através da aplicação das três equações da estática,

ou seja, ΣH = 0, ΣV = 0 e ΣM = 0.

Pórtico engastado e livre

Este tipo de pórtico está sustentado por um único apoio, um apoio engastado. Com este apoio o pórtico apresentará 3 (três) reações de apoio (RA, HA e MA) que são as três incógnitas a serem encontradas. Estas três incógnitas podem ser encontradas através da aplicação das três equações da estática,

ou seja, ΣH = 0, ΣV = 0 e ΣM = 0.

Pórtico tri-articulado

Este tipo de pórtico está sustentado por dois apoios, sendo ambos fixos. Este pórtico apresenta também uma articulação em uma de suas barras onde o momento é nulo (ponto C). Com estes dois apoios o pórtico apresentará 4 (quatro) reações de apoio (RA, HE, RE e HE) que são as quatro incógnitas a serem encontradas. Estas quatro incógnitas não podem ser encontradas somente com a aplicação das três

equações da estática, ou seja, ΣH = 0,

ΣV = 0 e ΣM = 0. Além destas há a necessidade de uma outra equação que, neste caso, leva em consideração a articulação presente em uma das barras. Sabe-se que na articulação o

momento é nulo, portanto: ΣMarticulação = 0, completando assim a quarta equação necessária para o cálculo das quatro reações de apoio.

Convenções

Para a obtenção dos máximos esforços (Nmax, Vmax, Mmax) em cada barra, é necessária a adoção de uma convenção de sinais para o cálculo e para o desenho dos diagramas destes esforços.

� Cálculo:

seção em barra horizontal (convenção positiva)

seção em barra vertical (convenção positiva)

olhando as cargas à esquerda da seção

olhando as cargas à direita da seção

olhando as cargas abaixo da

seção

olhando as cargas acima da

seção

O observação

Diferença entre força cortante e força normal à seç ão transversal: A força cortante (V) é perpendicular à direção da barra, com a tendência de cortar esta barra. A força normal à seção transversal (N) tem a mesma direção da barra, sendo normal ao plano da seção transversal desta barra.

� Desenho

para barras horizontais para barras verticais

Para obtenção do Momento Fletor (M), Força Cortante (V) e Força Normal (N) em um pórtico, é necessário o cálculo destes esforços em alguns pontos significativos. Estes pontos são:

� Nós do pórticos (seção na barra vertical e seção na barra horizontal); � Pontos de aplicação da cargas concentradas (seção imediatamente à esquerda e à

direita ou abaixo e acima, dependendo da direção da barra); � Início e fim de cargas distribuidas.

Exemplo 1

Cálculo dos diagramas de momento fletor, força cort ante e força normal à seção transversal de um pórtico.

Resolução:

� Reações de apoio:

Cálculo da reação de apoio R B

O somatório dos momentos em relação ao ponto A é igual a zero.

(sentido horário é positivo)

ΣMA = MFE+ MFC + MRB = 0

ΣMA = 25.2 - 15.1 - RB.5 = 0

Logo: RB = 7kN

Cálculo da reação de apoio R A

O somatório das forças verticais é igual a zero.

(de cima para baixo é positivo)

ΣV = FE+RA+RB = 0

ΣV = 25 - RA - 7 = 0

Logo: RA = 18kN

Cálculo da força horizontal H A

O somatorio das forças horizontais é igual a zero.

(da esquerda para direita é positivo)

ΣH = HA + FC

ΣH = HA - 15 = 0

Logo: HA = 15kN

Momentos Fletores (M), Forças Cortantes (V) e Força s Normais (N)

� M, V e N no ponto A (fazendo uma seção no ponto A e olhando as cargas abaixo desta seção)

MA = 0

Não tem força que provoca momento em relação a este ponto

VA = -15

Força cortante perpendicular a direção da barra e no sentido negativo

VA = -HA

NA = -18

A força é normal à seção transversal na mesma direção da barra e no sentido negativo

NA = -RA

� M, V e N no ponto D ab (fazendo uma seção abaixo do ponto D e olhando as cargas abaixo desta seção)

MDab = -

15.3 = -45

Momento em relação ao ponto D

VDab = -

15

Força cortante perpendicular a direção da barra e no sentido negativo

VDab = -HA

NDab = -

18

A força é normal à seção transversal na mesma direção da barra e no

sentido negativo

NDab = -RA

� M, V e N no ponto D dir (fazendo uma seção à direita do ponto D e olhando as cargas à esquerda desta seção)

MDdir =

-15.3 = -45

Momento em relação ao ponto D olhando as cargas à esquerda

VDdir =

18

Força cortante perpendicular a direção da barra e no sentido positivo

VDdir = RA

NDdir =

-15

A força é normal à seção transversal na mesma direção da barra e no sentido negativo

NDdir = -HA

� M, V e N no ponto E esq (fazendo uma seção à esquerda do ponto E e olhando as cargas à esquerda desta seção)

MEesq

= 18.2-15.3 = -9

Momento em relação ao ponto E olhando as cargas à esquerda

VEesq

= 18

Força cortante perpendicular a direção da barra e no sentido positivo

VEesq = RA

NEesq

= -15

A força é normal à seção transversal na mesma direção da

barra e no sentido negativo

NEesq = -HA

� M, V e N no ponto E dir (fazendo uma seção à direita do ponto E e olhando as cargas à esquerda desta seção)

MEdir =

18.2-15.3 = -9

Momento em relação ao ponto E olhando as cargas à esquerda

MEdir = MRA + MHA

VEdir =

18-25 = -7

Em relação a RA: força cortante perpendicular a direção da barra e no sentido positivo

Em relação a FE: força cortante perpendicular a direção da barra e no sentido negativo

VEdir = RA - FE

NEdir = -

15

A força é normal à seção transversal na mesma direção da barra e no sentido negativo

NEdir = -HA

� M, V e N no ponto F esq (fazendo uma seção à esquerda do ponto F e olhando as cargas à direita desta seção)

MFesq = -

15.2 = -30

Momento em relação ao ponto F olhando as cargas à esquerda

VFesq = -7

Força cortante perpendicular a direção da barra e no sentido negativo

VFesq = -RB

NFesq = -

15

A força é normal à seção transversal na mesma direção da barra e no sentido negativo

NFesq = -FC

� M, V e N no ponto F ab (fazendo uma seção abaixo do ponto F e olhando as cargas abaixo desta seção)

MFab =

15.2 = 30 Momento em relação ao ponto F

VFab = 15

Força cortante perpendicular a direção da barra e no sentido positivo

VFab = FC

NFab = -7

A força é normal à seção transversal na mesma direção da barra e no sentido negativo

NFab = -RB

� M, V e N no ponto C ac (fazendo uma seção acima do ponto C e olhando as c argas abaixo desta seção)

MCac = 0 ---

VCac = 15

Força cortante perpendicular a direção da barra e no sentido positivo

VCac = FC

NCac = -7

A força é normal à seção transversal na mesma direção da barra e no sentido negativo

NCac = -RB

� M, V e N no ponto C ab (fazendo uma seção abaixo do ponto C e olhando as cargas abaixo desta seção)

MCab = 0 ---

VCab = 0 ---

NCab = -7

A força é normal à seção transversal na mesma direção da barra e no sentido negativo

NCac = -RB

� M, V e N no ponto B (fazendo uma seção no ponto B e olhando as cargas abaixo desta seção)

MB = 0 ---

VB = 0 ---

NB = -7

A força é normal à seção transversal na mesma direção da barra e no sentido negativo

NB = -RB

Quadro Resumo

Ponto M (kN.m) V (kN) N(kN) A 0 -15 -18

D abaixo -45 -15 -18 direita -45 18 -15

E esquerda -9 18 -15 direita -9 -7 -15

F esquerda -30 -7 -15 abaixo 30 15 -7

C acima 0 15 -7 abaixo 0 0 -7

B 0 0 -7