Aula02 Eme 301 Parte1

EME 301 – Mecânica dos Sólidos

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Profa. PatriciaEmail: [email protected]

IEM – Instituto de Engenharia MecânicaUNIFEI – Universidade Federal de Itajubá

2 – ESTÁTICA DOS CORPOS RÍGIDOS

� 2.1 – Vetores Posição e Deslocamento;

� 2.2 – Momento de uma Força;

Capítulo 2 - Estática dos Corpos Rígidos 2

� 2.3 – Momento de uma Força em relação a um Eixo;

� 2.4 – Momento de um Conjugado;

2.1 – Vetores Posição e Deslocamento

� O vetor posição r é definido como um vetor fixo que localiza um ponto do espaço em relação a outro.

� Por exemplo, se r estende-se da origem das


� Por exemplo, se r estende-se da origem das coordenadas, O, para o ponto P(x, y, z), então r pode ser expresso na forma do vetor cartesiano como:

x y z= + +r i j k


� O módulo desse vetor representa a distância entre a origem do


x y z= + +r i j k

a origem do sistema coordenado e o ponto P.


� A adição vetorial da origem para a extremidade dos 3 componentes


x y z= + +r i j k

3 componentes dá o vetor r.


Observação:

� Em manuscritos o vetor posição r é representado por uma letra com uma flecha em cima ( ).r

�


em cima ( ).

� Então, na forma do vetor cartesiano:

ˆ ˆ ˆr x i y j zk= + +�

r


� Se r é o vetor posição orientado do ponto A ao ponto B, então:

+ =r r r


A B

AB B A

+ == = −r r r

r r r r

( ) ( )( ) ( ) ( )

B B B A A A

B A B A B A

x y z x y z

x x y y z z

= + + − + +

= − + − + −

r i j k i j k

i j k


� Em algumas literaturas, esse vetor r que vai de um ponto no espaço a outro ponto


a outro ponto qualquer é conhecido como vetor deslocamento.

( ) ( ) ( )AB B A B A B Ax x y y z z= = − + − + −r r i j k

Exemplo 1

O homem mostrado na figura puxa a corda com uma força de 70 lb. Represente essa força, que atua sobre o suporte A, como vetor cartesiano e


como vetor cartesiano e determine sua direção.

2.2 – Momento de uma Força

� Fornece a tendência dessa força de provocar a rotação de um corpo em torno do ponto ou de um eixo.

Seja Fx que age perpendicularmente


perpendicularmente ao cabo da chave inglesa e está localizada a uma distância dy do ponto O.


� Fx tende a provocar um giro do tubo em torno do eixo z.

Essa tendência de rotação é chamada de torque, ou momento de


torque, ou momento de uma força ou momento(MO)z.

Fx e dy estão no plano xyque é perpendicular ao eixo do momento (z).


� Fz tende a provocar rotação no tubo em torno do eixo z?

Não, a tendência de giro é em torno

do eixo x,


do eixo x, produzindo o

momento (MO)z

Fz e dy estão no plano yzque é perpendicular ao eixo (x).


� Se uma força Fy é aplicada à chave, nenhum momento é produzido em relação ao ponto O.

Haverá ausência total


de giro do tubo, pois a linha de ação da força passa pelo

ponto O.


O momento de uma força Fem relação ao ponto O, ou ao eixo que passa por Operpendicularmente ao plano, é um vetor Mo , cuja


é um vetor Mo , cuja intensidade (ou módulo) é igual ao produto do módulo da força pela distância perpendicular desse ponto até a linha de ação da força.


E a direção deste vetor é perpendicular ao plano

oM Fd=


perpendicular ao plano formado pelo ponto e a força. O sentido do momento é determinado pela ‘regra da mão direita’.


� Se um sistema de forças se situa em um plano xy, o momento resultante MRO do sistema pode ser determinado adicionando-


determinado adicionando-se os momentos de todas as forças algebricamente:

ROM Fd+ =∑

Exemplo 2

Determine o momento resultante das quatro forças que atuam na haste, em relação ao ponto O.



Observações - Produto escalar:

cosAB θ⋅ =A B


� O resultado é um escalar!

cosAB θ⋅ =A B


Observações - Produto vetorial:

( )AB senθ× =A B u


� O resultado é um vetor!

( ) CAB senθ× =A B u


Observações - Propriedades:

� Não-comutativo

× ≠ ×A B B A


ou

× = − ×A B B A


Observações - Propriedades:

� Multiplicação por escalar

( ) ( ) ( )a a a× = × = ×A B A B A B


� Lei distributiva

( ) ( ) ( )( )

a a a

a

× = × = ×

= ×

A B A B A B

A B

( ) ( ) ( )× + = × + ×A B D A B A D


Observações - Produto vetorial de um par de vetores unitários cartesianos:

0

0

× = × = − × =× = × = − × =

i j k i k j i i

j k i j i k j j


0

0

× = × = − × =× = × = − × =

j k i j i k j j

k i j k j i k k


� Produto vetorial de dois vetores A e B, expressos na forma de vetores cartesianos

( ) ( )( ) ( ) ( )

x y z x y z

y z z y x z z x x y y x

A A A B B B

A B A B A B A B A B A B

× = + + × + +

= − − − + −

A B i j k i j k

i j k


Esta equação pode ser escrita como

( ) ( ) ( )y z z y x z z x x y y xA B A B A B A B A B A B= − − − + −i j k

x y z

x y z

A A A

B B B

× =i j k

A B


� O momento de uma força pode ser expresso na forma de produto vetorial:

= ×OM r F


r é o vetor posição traçado de O até

qualquer ponto sobre a linha de ação de F


� Do cálculo vetorial:


( )OM rF sen F r sen Fdθ θ= × = = =r F


� Princípio da Transmissibilidade

F aplicada no ponto A

F deslizante e pode agir

A= ×OM r F


F deslizante e pode agir em qualquer ponto sobre sua linha de ação, produzindo o mesmo momento

B C= × = ×OM r F r F


Finalmente, o momento MO pode ser resolvido por meio de um determinante:

= × =i j k


x y z

x y z

r r r

F F F

= × =OM r F


E como seria determinado o momento resultan-te de um sistema de forças?


( )R = ×∑OM r F

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