aula-entropia.pdf

Departamento de Engenharia Naval e Oceânica da USP – PNV-2321 Termodinâmica e Transferência de Calor

ENTROPIA – INTRODUÇÃO

Verifique que a desigualdade de Clausius, ∫ ≤ 0T

Qδ é válida para

todos os ciclos motores e de refrigeração, reversíveis e irreversíveis. Em que casos a integral acima é nula? Para um ciclo motor reversível (Carnot), a troca de calor ocorre apenas nos processos 2-3 e 4-1, os quais são isotérmicos:

Desta forma, a integral cíclica acima é:

L

L

H

H

LH T

Q

T

QQ

TQ

TT

Q

T

Q

T

Q −=+=+= ∫∫∫∫ ∫1

4

3

2

1

4

3

2

11 δδδδδ

Se HT e LT são expressas em uma escala termodinâmica de

temperatura, então L

L

H

H

T

Q

T

Q ≡ . Logo ∫ = 0T

Qδ para o Ciclo de

Carnot (motor reversível).

T

v

1

2 3

4

(+)QH

(-)QL

(-)W B(+)W T



Vamos agora considerar um ciclo motor irreversível e admitamos, para efeito de comparação, que o calor fornecido ao fluido pela fonte quente, HQ , é o mesmo do Ciclo de Carnot. Sabemos que nenhum ciclo motor irreversível pode produzir o mesmo trabalho do Ciclo de Carnot, ou seja:

RI WW <

Pela Primeira Lei: ( )ILHI QQW −= e ( )RLHR QQW −= , portanto:

( ) ( )RLHILH QQQQ −<− , ou ainda: ( ) ( )RLIL QQ > . Desta forma, para o ciclo irreversível a integral cíclica é:

( )∫ <−= 0

L

IL

H

H

T

Q

T

Q

T

Qδ

O que mostra que ∫ ≤ 0T

Qδ para todos os ciclos motores,

reversíveis e irreversíveis.



Mostre que a Segunda Lei permite definir a entropia como uma propriedade de um sistema Segunda Lei para um ciclo reversível

δ QT

=∫ 0

Para um ciclo entre os estados 1 e 2 através dos caminhos A e B reversíveis tem-se:

δ δ δQ

T

Q

T A

Q

T B=∫ =

∫ +

∫0

1

2

2

1 (1)

Se houver um outro caminho reversível, C, entre os estados 1 e 2 tem-se:

δ δ δQ

T

Q

T C

Q

T B=∫ =

∫ +

∫0

1

2

2

1 (2)

Comparando (1) e (2) tem-se:

δ δQ

T

Q

TA C

=

∫ ∫

1

2

1

2

Como os caminhos A e B são quaisquer tem-se que o integrando é uma diferencial exata e o seu valor só depende dos estados inicial e final da substância. Desta forma podemos definir uma outra variável de tal forma que:

dSQ

T rev

=

δ



Esta variável é denominada de entropia e é uma propriedade da substância

S SQ

T rev

2 11

2

− =

∫

δ

A variação de entropia de uma substância, ao ir de um estado 1 para 2 é a mesma se o caminho é reversível ou irreversível.



Mostre que em um Ciclo de Carnot a variação de entropia no processo de recebimento de calor da fonte quente deve ser igual (em módulo) à variação de entropia no processo de rejeição de calor para a fonte fria. Consideremos novamente o Ciclo de Carnot, onde queremos agora mostrar que 1423 SSSS −=− :

Pela definição de entropia, RT

QdS

≡ δ, é claro que a variação

de entropia ao longo de um processo adiabático reversível é nula:

∫∫ ===−2

1

2

1

12 00

TT

QSS

δ

Temos assim que, no Ciclo de Carnot acima, 21 SS = e 43 SS = e que, portanto, 1423 SSSS −=− .

T

v

1

2 3

4

(+)QH

(-)QL

(-)W B(+)W T



Analise a variação de entropia nos processos de um Ciclo de Carnot e esboce o ciclo em um diagrama T x S. Defina graficamente o rendimento térmico do ciclo Processo 1 -2 - PROCESSO ISOTÉRMICO S S

Q

T TQ

Q

Trev H H

2 11

2

1

21 21− =

= =∫ ∫

δ δ (aumento de entropia)

( )S S T QH2 1 1 2− =

Portanto o calor fornecido é igual a área 1-2-b-a-1 Processo 2-3 PROCESSO ADIABÁTICO REVERSÍVEL - ISOENTRÓPICO S S2 1 0− = Processo 3-4 PROCESSO ISOTÉRMICO

S SQ

T TQ

Q

Trev L L

4 33

4

3

43 41

− =

= =∫ ∫

δ δ (diminuição da entropia)

43L34 QT)SS( =−

Portanto, o calor retirado é igual a área 3-b-a-4 Processo 4-1 PROCESSO ADIABÁTICO REVERSÍVEL - ISOENTRÓPICO S S4 1 0− =



RENDIMENTO TÉRMICO

ηtermico

liq

H

W

Q

area

area b a= = − − − −

− − − −1 2 3 4 1

1 2 1



Verifique que para um processo qualquer vale a relação:

T

QdS

δ≥ .

Para um processo reversível a igualdade implicada acima é a

própria definição de entropia: RT

QdS

≡ δ.

Para um processo irreversível, este importante resultado pode

ser derivado diretamente da desigualdade de Clausius, ∫ ≤ 0T

Qδ.

Para tanto, tomemos os dois ciclos ( )AB121 →→ e ( )CB121 →→ mostrados abaixo, onde, por hipótese, A e B são processos reversíveis e C é um processo irreversível. Portanto,

( )AB121 →→ é um ciclo reversível e ( )CB121 →→ é um ciclo irreversível.

A

B

C1

2



Pela desigualdade de Clausius, teremos:

Para o ciclo ( )AB121 →→ : 01

2

2

1

=

+

= ∫∫∫BA

AB T

Q

T

Q

T

Q δδδ

e

Para o ciclo ( )CB121 →→ : 01

2

2

1

<

+

= ∫∫∫BC

CB T

Q

T

Q

T

Q δδδ

Substituindo a primeira equação na segunda, temos:

CAT

Q

T

Q∫∫

>

2

1

2

1

δδ

Como o processo A é reversível, temos que

( ) ∫∫

==−2

1

2

1

12A

A T

QdSSS

δ.

A entropia é uma propriedade, logo 12 SS − não depende do

processo e, portanto, ( ) ( )∫∫ =2

1

2

1

CA dSdS . Combinando esta última

equação com a desigualdade acima, temos ( )C

C T

QdS ∫∫

>2

1

2

1

δ. E

como tanto o processo C quanto os estados 1 e 2 são arbitrários, deve-se ter, para qualquer processo irreversível que:

T

QdS

δ>



A área sob a curva representativa de um processo reversível em um diagrama T x s é numericamente igual ao calor trocado. Por que o mesmo não é válido para um processo irreversível? Foi visto que para um processo irreversível tem-se:

dSQ

T irr

>

δ (1)

Esta equação pode ser reescrita como:

dS

Q

TS Sger ger= + ≥δ δ δ 0 (2)

Seja um processo reversível

δ Q TdS= e δ W pdV= (3)

Para um processo irreversível tem-se δ δQ TdS T Sirr ger= − (4) A partir da Primeira Lei tem-se

δ δQ dU Wirr irr= + (5)

Relação termodinâmica TdS dU PdV= + (6) Com (4), (5) e (6) obtém-se:



δ δW pdV T Sirr ger= − (7)

Portanto, para uma mudança de estado envolvendo a mesma

variação de entropia tem-se

a) a transferência de calor no processo irreversível é menor que

no processo reversível

b) o trabalho no processo irreversível é menor do que no

processo reversível

Conclusões

a) Existem dois modos de aumentar a entropia de um

sistema:

a.1 transferência de calor ao sistema

a.2 fazer percorrer um processo irreversível

b) Existe um único modo de diminuir a entropia de um

sistema:

b.1 transferindo calor do sistema

c) Para um processo adiabático o aumento de entropia está

sempre associado com as irreversibilidades

d) Para os diagramas p x V e T x S tem-se

d.1 para um processo irreversível o trabalho não é

igual a pdV∫ e, portanto, a área abaixo da curva



que representa este processo no diagrama p x V

não representa o trabalho

d.2 para um processo irreversível o calor transferido

não é igual a TdS∫ e, portanto, a área abaixo da

curva que representa este processo no diagrama T

x S não representa o calor transferido

aula-entropia.pdf

Documents

Transcript of aula-entropia.pdf