Contagem

Eduardo Henrique Fernandes RosaMaicon Henrique de Oliveira

2015

Teoria, Exemplos e ExercciosA combinatria um ramo da matemtica cujas ideias so simples, mas por vezes ajudam aresolver de forma rpida problemas que demandariam enormes quantias de tempo e trabalhobraal.

Inicialmente temos dois princpios de contagem que, embora simples, nos permitem resolveruma vasta gama de problemas. So eles:

Princpio 1 (Aditivo). Dados um conjunto A com m elementos e um conjunto B com nelementos, A e B sem elementos em comum, ento o conjunto A B ter m+ n elementos.Princpio 2 (Multiplicativo). Se uma primeira deciso d1 pode ser tomada de m maneiras, ese tomada a primeira deciso, uma segunda deciso d2 puder ser tomada de y maneiras, entoo nmero de maneiras que podemos tomar sequencialmente as decises d1 e d2 x y.

Alm dos dois princpios, temos tambm a noo de permutao de um conjunto finito, oqual se utiliza da ideia de fatorial.

Definio 3 (Permutao Simples). O nmero de modos de ordenar n objetos distintos

n(n 1) 1 = n!.

O nmero n! dito n fatorial.Cada ordenao dos n objetos chamada uma permutao simples de n objetos e o nmero

de permutaes simples de n objetos distintos representado por Pn = n!.

Exerccio 4. Uma porta s aberta quando usamos simultaneamente a chave e o carto cor-retos. Se voc possui sete chaves e oito cartes, quantos testes devemos fazer para garantir quea porta ir abrir?

Exerccio 5. a) De quantos modos possvel colocar um rei negro e um rei branco em casasno adjacentes de um tabuleiro de xadrez?

b) E se fossem dois reis brancos iguais?

Exerccio 6. Um pano formado por cinco listras, que devem ser coloridas usando-se apenasas cores vermelho, azul e verde, no devendo listras adjacentes ter a mesma cor. De quantosmodos pode ser colorido o pano?

Exerccio 7. Quantos nmeros naturais de quatro algarismos distintos (na base 10) existem?

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Exerccio 8 (OBM 2005). Num relgio digital, as horas so exibidas por meio de quatro al-garismos. O relgio varia das 00:00 s 23:59, Quantas vezes por dia os quatro algarismosmostrados so todos pares?

Exerccio 9. Quantos nmeros naturais de 5 algarismos (na base 10), que sejam menores que50000 e divisveis por 5, podem ser formados usando apenas os algarismos 2, 3, 4 e 5?

Exerccio 10. De quantos modos 12 rapazes e 12 moas podem se sentar em 12 bancos de doislugares cada, de modo que em cada banco fiquem um rapaz e uma moa?

Exerccio 11. Quantos subconjuntos possui o conjuntos M = {1, 2, 3, , 10}?Exerccio 12. Quantos so os nmeros naturais pares que se escrevem (na base 10) com quatroalgarismos distintos?

Exerccio 13. De quantos modos podemos formar uma roda com 15 crianas? excelente

Exerccio 14. De quantos modos podemos dividir 12 pessoas em dois grupos de 6 pessoas cada?

Exerccio 15. Seja n = p11 p22 pkk um nmero natural na sua forma fatorada. Ento, npossui exatamente

(1 + 1)(2 + 1) (k + 1)divisores inteiros positivos. Incluindo 1 e n.

Exerccio 16. Cada casa de um tabuleiro 4 x 4 pode ser pintado de azul ou vermelho. Dequantas maneiras podemos pintar o tabuleiro todo?

Exerccio 17 (OBM 2004). De quantos modos diferentes podemos pintar (usando apenas umacor) as casas de um tabuleiro 4 x 4 de modo que cada linha e cada coluna possua exatamenteuma casa pintada?

Exerccio 18. De quantos modos podemos por quatro torres de quatro cores diferentes em umtabuleiro 8 x 8 de modo que nenhuma delas ataque a outra?

Exerccio 19. Uma embarcao deve ser tripulada por oito homens, dois dos quais s remamdo lado direito e um apenas do lado esquerdo. Determine de quantos modos essa tripulaopode ser formada, se de cada lado deve haver quatro homens.

Exerccio 20. Determine a quantidade de nmeros de quatro dgitos tais que toda sequnciade trs algarismos consecutivos formado por elementos distintos.

Exerccio 21 (OBM 2005). Num tabuleiro quadrado 5 x 5, sero colocados trs botes idnticos,cada um no centro de uma casa, determinado um tringulo. De quantas maneiras podemoscolocar os botes formando um tringulo retngulo com catetos paralelos as bordas do tabuleiro?

Exerccio 22. Quantos anagramas da palavra vetor vetor possuem vogais separadas?

Exerccio 23. Determine a quantidade de divisores positivos de 3600. Quantos desses divisoresso pares? Quantos so quadrados perfeitos?

Exerccio 24 (IMG 2006). Um calendrio digital exibe a data: dia, ms e ano, com 2 dgitospara o dia, 2 dgitos para o ms e 2 dgitos para o ano. Por exemplo, 01 01 01 correspondea primeiro de janeiro de 2001. Em frente ao calendrio h um espelho. Considerando apenasos nmeros que no perdem sentido ao se refletirem, determine quantos dias do sculo, ao serefletirem no espelho, correspondem tambm a uma data.

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Exerccio 25 (Rssia). Um nmero natural n dito elegante se pode ser escrito como soma decubo com um quadrado (n = a3 + b2, onde a, b N).Entre 1 e 1000000 existem mais nmerosque so elegantes ou que no so?

Exerccio 26. De quantas formas podemos por oito pessoas em uma fila se Alice e Bob devemestar juntos, e Carol deve estar em algum lugar atrs de Daniel?

Exerccio 27. Esmeralda tem uma gaveta com senha, que consiste de trs nmeros, em sequn-cia. Porm, ela esqueceu a senha. Ela se lembra de que dois dos nmeros da sequncia so 17e 24, mas no se lembra a ordem dos nmeros. H 40 possibilidades para o terceiro nmero.Se ela faz uma tentativa a cada 10 segundos, em quantos minutos ela abre a gaveta?

Exerccio 28. Quantos divisores positivos de 1099 so mltiplos de 1088?

Exerccio 29. Em um comit, cada membro pertence a exatamente trs subcomits e cada sub-comit tem exatamente tr es membros. Prove que a quantidade de membros igual a quantidadede subcomits.

Exerccio 30. De um baralho de pquer, sacam-se simultaneamente 5 cartas.

a) Quantas so as extraes possveis?

Quantas so as extraes nas quais se forma:

b) um par?

c) dois pares?

d) uma trinca?

e) um "four"?

f) um "full hand"(trs cartas de um grupo e duas em outro grupo)?

g) uma sequencia (5 cartas de grupos consecutivos, no sendo todas do mesmo naipe)?

h) um "flush"(5 cartas do mesmo naipe, no sendo elas de 5 grupos consecutivos?

i) um "straight flush"(5 cartas de grupos consecutivos, todas do mesmo naipe)?

j) um "royal straight flush"(10, valete, dama, rei e s de um mesmo naipe)?

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