Introduo aos Modelos Probabilsticos Prof. Sebastio de Amorim

UNICAMP 2007

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2007 Prof. Amorim UNICAMP

Estatsticas de Ordem

Seja X uma varivel aleatria, com certa f.d.p. fX. Suponha n observaes independentes de X:

X1, X2, X3, , Xn. Vamos agora ordenar os valores observados:

X(1), X(2), X(3), , X(i), , X(n)

Na notao acima, usual no estudo de

estatsticas de ordem, X(1) o menor valor entre as n observaes de X; X(2) a segunda

menor, e assim por diante, at a maior de todas, X(n). Nesta seo investigaremos o

comportamento probabilstico de X(i), a i-sima estatstica de ordem de X1, X2, X3, , Xn, e

chegaremos a resultados muitssimo interessantes que, quando bem compreendidos e

assimilados pelo estudante, promovero no mesmo uma pequena mas substantiva revoluo

intelectual.

Comecemos com as estatsticas de ordem extremas: X(1) e X(n).

Seja x

X XF x P{X x} f y dy

, a funo de distribuio acumulada de X. Vamos agora

deduzir a expresso da f.d.p. de X(1).

Teorema A f.d.p. de X(1) dada por f(1)=n[1 FX(x)]n-1fX(x).

Prova: Note primeiro que o evento {X(1) >x} { X1 >x, X2>x, X3>x, , Xn>x}. Logo

P{X(1) x} = 1 P{X(1) > x} = 1 P{X1 >x, X2>x, X3>x, , Xn>x}

= 1 [ P{Xx} }n = 1 [ 1 P{X x} ]

n = 1 [1 FX(x)]

n

Mas a fdp f(1)(x) a derivada de F(1)(x), logo,

11 1 1 1 1 1n n nX X X Xd d d df x F x F x F x n F x F xdx dx dx dx

Portanto,

1

11 nX Xf x n F x f x

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Q.E.D.

De forma anloga encontraremos a fdp de X(n).

Teorema A fdp de X(n) dada por f(n)(x)= n[FX(x)]n-1fX(x).

Prova: Basta notar que {X(n) } { X1 x, X2 x, X3 x, , Xn x}. Logo,

F(n)(x) = P{X(n) x} = P{ X1 x, X2 x, X3 x, , Xn x} = [ P{X x} ]n

Logo

1

1 1 1

n n

X X X

d d df x F x F x F x n F x f x

dx dx dx

Q.E.D.

Exemplo:

Seja X~U(0, 1), logo, f(x)=1, em (0, 1), e 0 fora deste intervalo; FX(x)=x, para 0

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Prova: A condio para que X(i) seja igual a x, que,

uma das n observaes caia numa vizinhana estreita de x: entre x e x+x, para um x

muito pequeno. Existem n alternativas para a observao que cair naquele intervalo.

das (n-1) observaes restantes, (i 1) caiam abaixo de x. Existem 11inC opes

alternativas para estas observaes.

As demais (n i) caiam acima de x+x. claro, so as observaes restantes, no

existe alternativa.

Assim:

P{X(i)[x, x+x)} 11

1 1i n ii

n X X X Xn C F x F x x F x x F x

n

11

0 1 1i n i X Xi

x n X Xi

F x x F xf x Lim n C F x F x x

x

Lembrando que X X

X Xx

F x x F xf x Lim

, o resultado segue imediatamente.

Q.E.D.

A figura ao lado compara as

funes de densidade de

probabilidade de X~N(0, 1),

com a de X(10.000), o maior

valor observado numa

seqncia de 10.000

observaes independentes

de X. interessante notar

que, embora valores como

x=4 seja muito raros em

uma normal padro, eles so bastante provveis, quando se fala do maior resultado em dez mil

observaes independentes de X~N(0, 1).

O estudo do comportamento probabilstico das estatsticas de ordem trs revelaes

interessantes sobre fenmenos como o do inevitvel aparecimento de valores extremos em

populaes muito grandes. Tomemos, por exemplo, o caso das habilidades congnitas para

alguma disciplina ou atividade do complexo multivariado do interesse humano. Cada criana

0

1

2

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

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vem ao mundo, parece, com uma predisposio congnita para jogar futebol, e esta

predisposio natural, este nvel de habilidade congnita, varia muito entre as crianas. No ,

aqui inapropriado supor que este F (ndice de futebol) varia entre as crianas segundo uma

distribuio normal, com um

certo valor mdio

caracterstica natural do

gnero humano e uma

certa varincia idem.

Assim, a maioria das

crianas estaria na faixa de

mediocridade futebolstica

congnita. Qualquer criana

deste grupo, interessando-se desde cedo pelo futebol, e sendo exposta prtica do mesmo,

evoluiria para ser, na juventude e vida adulta, um peladeiro clssico, uns melhores e outros

piores, mas peladeiro, no mximo um timo varzeano de fim de semana. Acima desta faixa

intermediria de, digamos, um e meio desvio padro abaixo e acima da mdia, comea a

regio dos futebolistas de algum destaque. Penso que um jovem com habilidade congnita

entre 1,5 e 2 desvios padres, e que tenha ao longo da vida cultivado esta habilidade,

participar do time da faculdade e, no emprego, ser o craque do time de sua repartio, sendo

sempre convidado para jogar. No oposto simtrico estariam os pernas de pau contumazes.

Geralmente esses nunca desenvolvem gosto pelo jogo e, no futebol, sero no mximo

torcedores. Os que insistirem em jogar sero os pernas de pau, vtimas das gozaes usuais

nas peladas. Acima dos 2,5 e at os 3,5 desvios padres esto as crianas que, se forem

exposta ao jogo e cultivarem o gosto e a prtica, sero levadas para participar das peneiras

dos times profissionais e algumas podero seguir carreira profissional, e talvez venham a fazer

nome na segundona do brasileiro.

Acima da linha dos 3,5 desvios padres acima da mdia, comea a faixa da turma do potencial

srio. Com uma freqncia de 232ppm, eles so talentos extraordinrios. Existem, no Brasil,

entre os marmanjos apenas, e de mamando a caducando, uns 20 mil indivduos que vieram ao

mundo com um nvel de habilidade congnita para o jogo do futebol nesta faixa. curioso

pensar que muitos deles talvez no tenham tido, ou no venham a ter, nenhuma exposio ao

jogo do futebol, e passaram ou venham a passar a vida sem nunca saber deste seu dom

natural. Imaginem se Pel houvesse nascido numa senzala, 100 anos antes.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

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Agora, na faixa superior aos 4, 5 ou 6 desvios padres, esto os craques absolutos e

histricos. Baseado na

teoria da probabilidade,

em particular nos

teoremas demonstrados

acima, que Pel,

Garrincha, os Ronaldos

e Maradona vieram ao

mundo naquela regio

rarefeita do talento

congnito extremo para

jogar futebol e tiveram, claro, a sorte de terem sido notados ou se notarem a tempo.

Outros, no expostos a tempo ao jogo do futebol, certamente passaram ou passaro a vida em

branco em futebol nunca sabendo do gigantesco prmio com que foram congenitamente

contemplados pela natureza. Na figura acima vemos tambm a fdp de X(100.000.000) em cem

milhes de observaes de X~N(0, 1).

Uma maneira de se visualizar o

que significa estar a 6 desvios

padres acima da mdia

atravs do parmetro altura.

Imagine uma populao humana

masculina adulta. Supor para a

estatura dos indivduos desta

populao, uma distribuio

normal, com mdia igual a 175

cm, com um desvio padro de

8cm, bem razovel. Assim, um

indivduo situado a 6 desvios

padres acima da mdia, teria

223 cm de altura e, ao lado de

um indivduo com estatura

mdia (175 cm), estabeleceria uma relao de estatura semelhante representada na figura

acima.

Embora, tenhamos nos referido aqui habilidade para o futebol e estatura dos seres humanos,

as idias apresentadas valem para qualquer das habilidades intelectuais ou fsicas, ou mesmo

as caracterstica antropomtricas dos mesmos. Pense nas habilidades potenciais congnitas

para as cincias, em suas diversas vertentes, as artes, as relaes humanas. Que tal a

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2

3

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

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habilidade potencial congnita para ... Matemtica. Um garotinho acima da linha dos 6 desvios

padres acima de mdia resolver, de cabea, sistemas equaes lineares com trs equaes

e trs variveis, j aos 7 anos de idade.

(continua...)

Normal Extrema: Probabilidades nas caudas da Normal

z P[X>+z] z 1-(z) =

P[X>+z]

z

1-(z) =

P[X>+z]

1,281551566 10-1

1,0 1,586553E-01 8,0 6,220961E-16

2,326347874 10-2

1,5 6,680720E-02 8,5 9,479535E-18

3,090232306 10-3

2,0 2,275013E-02 9,0 1,128588E-19

3,719016485 10-4

2,5 6,209665E-03 9,5 1,049452E-21

4,264890794 10-5

3,0 1,349898E-03 10,0 7,619853E-24

4,753424341 10-6

3,5 2,326291E-04 10,5 4,319006E-26

5,199337582 10-7

4,0 3,167124E-05 11,0 1,910660E-28

5,612001242 10-8

4,5 3,397673E-06 11,5 6,595771E-31

5,997807011 10-9

5,0 2,866516E-07 12,0 1,776482E-33

6,361340804 10-10

5,5 1,898956E-08 12,5 3,732564E-36

6,706022333 10-11

6,0 9,865880E-10 13,0 7,998828E-38

7,034479173 10-12

6,5 4,015999E-11 13,5 1,061269E-40

7,348796103 10-13

7,0 1,279976E-12 14,0 1,096607E-43

7,650018175 10-14

7,5 3,197442E-14 14,5 6,057495E-48

15,0 5,530710E-50