Aula 1 - Estatística Unicamp

Departamento de Estatística - IMECC – UNICAMP ME 414 – Fundamentos de Probabilidade e Estatística para a Pesquisa Experimental

Prof. Sebastião de Amorim

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Introdução à Teoria da Probabilidade

Fascículo 1 – FUNDAMENTOS

Espaço de Probabilidades

Experimento aleatório é qualquer ação cujos resultados só podem ser antecipados em termos

probabilísticos. Arremesse uma moeda ou um dado; compre um bilhete de loteria; faça uma viagem,

case, tenha um filho, plante uma árvore, faça uma prova... Tudo, mesmo as ações mais prosaicas e

aparentemente previsíveis, determinísticas, apresentam, pelo menos sob certos ângulos, aspectos

probabilísticos (ou aleatórios, ou estocásticos, mas nunca... nunca, “randômicos”).

Algumas classes de experimentos aleatórios terão papeis especialmente importantes no

desenvolvimento dos conceitos fundamentais da teoria da probabilidade. Vamos dar a esses

experimentos denominações especiais. Experimento Binário é qualquer experimento que admite apenas

dois resultados possíveis; o arremesso de uma moeda – com resultados possíveis Cara e Coroa – é o

exemplo mais prosaico. Mais genericamente, denominaremos os dois resultados Sucesso e Fracasso e

representaremos por Ep o experimento binário no qual a probabilidade de sucesso é p. Outra classe

muito útil, que representaremos por Dm, corresponde ao arremesso de um dado hipotético de m lados.

Ao arremesse de um dado comum representaremos, portanto, por D6.

Neste curso vamos desenvolver uma abordagem matemática simples, objetiva e surpreendentemente

poderosa para tratar os experimentos aleatórios. Para isto precisamos organizar uma base mínima de

trabalho. Comecemos com a definição de alguns conceitos essenciais como espaço amostral, evento,

classes fechadas de eventos, função probabilidade, probabilidade condicional, independência, etc. Se

você sentir uma relação próxima com a introdução à teoria elementar dos conjuntos, não estranhe. E,

absolutamente, não saia da aula de hoje sem ter perfeitamente claras todas essas definições.

Espaço Amostral: é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.

Geralmente representados por , os espaços amostrais são também referidos como conjunto universo.

Se o experimento é o arremesso de uma moeda, = {cara, coroa}; para o arremesso de um dado, =

{1, 2, 3, 4, 5, 6}. Na forma genérica de experimentos binários, teremos = {S, F}. Já para Dm,

correspondente ao arremesso de um dado de m lados, = {1, 2, 3, … m}. Experimentos mais complexos

podem não ter espaços amostrais tão clara e obviamente construídos; ou podem ser construídos de

diversas maneiras alternativas, dependendo do ponto de vista, conforme veremos adiante. Um

elemento genérico de será representado por .

Espaços amostrais podem ser enumeráveis – finitos ou infinitos – ou não enumeráveis. No início

estaremos considerando a primeira categoria apenas, a dos enumeráveis. Mais tarde a segunda

categoria entrará em cena.



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O experimento composto por dois arremessos sucessivos de uma moeda tem espaço amostral = {CC,

Cc, cC, cc}. Por outro lado, considere o seguinte experimento aleatório: arremesse uma moeda,

repetidamente, até obter a primeira coroa. O espaço amostral associado a esse experimento é = {C,

cC, ccC, cccC, ccccC, …}, onde C representa o resultado em que o primeiro lançamento já resultou em

cara, e ccC corresponde a duas coroas antes de cara e o fim o experimento. E eis aí um exemplo de

espaço amostral enumerável infinito.

Evento: é qualquer subconjunto de , inclusive o vazio (representado por ) e o próprio . Um espaço

amostral finito, com n elementos (isto é, de cardinalidade n) tem 2n

eventos diferentes. Em outras

palavras: a classe de todos os eventos de um espaço amostral finito, de cardinalidade n, tem

cardinalidade 2n. Verifique.

Geralmente representaremos eventos por letras latinas maiúsculas e seus elementos por minúsculas.

Classes – conjuntos cujos elementos são conjuntos – serão geralmente representadas por letras latinas

maiúsculas manuscritas.

Partição: É qualquer classe de eventos mutuamente disjuntos, cuja união é o universo. Uma partição

binária divide o universo em apenas dois elementos, por exemplo, {A , Ac}, com A. Vamos

convencionar que {, } não é uma partição de . Ou, se você preferir, pode considerá-la a partição de

em uma (?) parte.

Sobre partições:

Sejam P1 e P2 duas partições de . Diz–se que P2 é um refinamento de P1 (uma partição mais fina que

P1 ) quando qualquer elemento de P1 ou é também elemento de P2 ou é a união dois ou mais

elementos de P2, sendo que pelo menos um dos elementos de P 1 é a união de dois ou mais elementos

de P2. Neste caso, dizemos que P 1 é uma subpartição de P2.

O diagrama ao lado ilustra a ideia: P2

é um refinamento tanto de P1

quanto de P3. Não existe, contudo,

esta relação entre P1 e P3. Explique.

Dizemos que duas partições diferentes de , P1 e P2, guardam entre si uma relação ordinal, se ou P1 é

um refinamento de P2, ou P2 é um refinamento de P1. Assim, no diagrama acima,

existe uma relação de ordem, hierárquica, entre P1 e P2 e entre P2 e P3, mas não

entre P1 e P3. Representaremos essas relações por P1 P2 e P3 P2 para indicar que,

numa escala de refinamento crescente, tanto P1 quanto P3 precedem P2.



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Nota: uma classe enumerável de subconjuntos de ou é uma partição de , ou define uma partição de

. Na figura ao lado, qual é a partição induzida por {A, B, C}?

Sejam duas partições de . A superposição de P1 e P2 (construa uma boa definição para superposição

de duas partições) é uma partição de que refina tanto P1 quanto P2. Na figura uma ilustração gráfica

da ideia. Se P2 fosse um refinamento de

P1, então a superposição de P1 e P2

seria igual a P2.

Vamos agora o conceito de álgebra (ou campo), fundamental na construção formal da Teoria da

Probabilidade.

Álgebra: é qualquer coleção não vazia de eventos, A, com as seguintes propriedades:

1. Se AA, então AcA. (a coleção é fechada em relação à operação de complementação)

2. Se AA e BA então ABA . (a coleção é fechada em relação à operação de união)

Em outras palavras, uma classe de subconjuntos de é uma álgebra ela for fechada com relação a

operações de complementação e de união. Representaremos classes em geral, e álgebras, em particular,

por letras latinas maiúsculas manuscritas, como, por exemplo, A, F, P, etc. A classe {, } é uma

álgebra. Outra: {, A, Ac, }, onde A. Verifique.

Desafio: Qual é a menor (isto é, com menor número de elementos) álgebra que contem a classe de

eventos { A, B, C}?

Neste curso consideraremos sempre, em experimentos discretos, portanto com espaços amostrais

finitos ou não, mas sempre discretos, a álgebra completa, isto é, com todos os subconjuntos de .

Exercícios sobre álgebras:

1. Dê exemplos de experimentos aleatório com espaço amostral enumerável, finito e infinito, e com espaço

amostral não enumerável.

2. Mostre que se A é uma álgebra de subconjuntos de , então A e A.

3. Mostre que uma álgebra é também fechada para operações de intersecção, ou seja, se A e B pertencem à

álgebra, então AB também pertence.

4. Mostre que se A é uma álgebra e AiA, i=1, 2, 3, …, m, então

a. ⋃ A

b. ⋂ A Nota: Lembre-se que (⋃

) ⋂

5. Mostre que se P1 e P2 , duas partições de , são tais que P1 é uma subpartição de P2, então A1A2,

onde A1 e A2 são as álgebras geradas por P1 e P2 , respectivamente.



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6. Seja o experimento aleatório binário elementar do lançamento de uma moeda. Construa o seu espaço

amostral, , e a classe de todos os seus subconjuntos. Mostre que esta é uma álgebra.

7. Seja experimento aleatório composto por três arremessos sucessivos de uma moeda.

a. Construa seu espaço amostral.

b. Qual a cardinalidade da classe composta por todos os subconjuntos de ? Ela é uma álgebra?

c. Construa os seguintes eventos de :

i. O primeiro resultado é C

ii. O número de caras é maior que o de coroas

iii. O número de caras é igual ao de coroas

d. Qual seria a cardinalidade de se o experimento binário elementar fosse repetido não três,

mas 10 vezes? E a da classe de todos os subconjuntos de ?

8. Vamos representar por D6 o experimento aleatório correspondente ao arremesso de um dado comum.

Então ={1, 2, 3, 4, 5, 6}.

a. Mostre diretamente que a classe de todos os eventos de tem cardinalidade 26 (poderia

também dizer a classe de todos os subconjuntos... mas estamos armando o palco para um curso

de Probabilidade. Então...).

b. Mostre que a classe acima é uma álgebra de eventos de .

c. Mostre que a classe { , {1, 2}, {3, 4, 5, 6}, } também é.

d. Construa, termo a termo, a menor álgebra possível de eventos de que contenha os eventos

{1, 2, 3} e {5, 6}.

e. Idem, para os eventos {1, 2, 3, 4} e {4, 5}.

Nota: Um espaço amostral pressupõe um experimento aleatório, assim como um evento pressupõe um espaço amostral, que

pressupõe um experimento aleatório. Uma álgebra, é claro, pressupõe um espaço amostral, e assim por diante.

Átomo de uma Álgebra: é qualquer elemento indivisível da álgebra. Em outras palavras, se A é uma

álgebra, se AA é um átomo dessa álgebra, e B é um subconjunto próprio, não vazio de A, então BA.

Desafio 1: Mostre que a classe de todos os átomos de uma álgebra forma uma partição de .

Partição geratriz: A classe de todos os átomos de uma álgebra forma uma partição de . Dizemos que

esta partição é a geratriz da álgebra. Seus elementos são os blocos mínimos da álgebra, dos quais todos

os seus outros elementos (quando os houver), são formados por uniões 0 a 0, 1 a 1, 2 a 3 , etc. Assim,

qualquer elemento de uma álgebra ou é o vazio, ou um átomo, ou uma união de 2 ou mais átomos.

Álgebra Induzida por uma partição: é a menor álgebra que contem todos os elementos daquela

partição. Cerifique-se que:

Toda partição de induz uma álgebra, que é a menor álgebra que contém a partição.

Se P2 é um refinamento de P1, então a álgebra induzida por P1 está contida na álgebra

induzida por P2.



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Desafio 2: Descubra – e demonstre – pelo menos um bom teorema relacionando as álgebras induzida

por P1 , P2 e Supp(P1 , P2). [Você ainda não tem um bom teorema com seu nome? Então?]

Desafio 3: Sejam P1 e P2 duas partições de e A1 e A2 as respectivas álgebras induzidas. Mostre que

se P1 é um refinamento de P2, então A1 A2

Estamos agora prontos para definir probabilidade.

Probabilidade: É qualquer função real não negativa P, definida numa álgebra A, (isto é, P:A R)

satisfazendo às duas condições:

i- Se AA então P(A)+P(Ac)=1 (lembre se que AA A

cA )

ii- Se AA e BA são disjuntos (i. é, AB=), então P(AB)=P(A)+P(B)

Ao trio (, A, P) denomina-se espaço de probabilidades.

Uma função de probabilidade é um caso particular de função de medida (nas quais a medida do

universo é 1). Ela dá a medida, pelo critério de sua probabilidade, de eventos em A,.

Eventos mensuráveis: Um evento A é dito mensurável no espaço de probabilidades (, A, P) se AA,

e, portanto, tem um valor de probabilidade bem definido.

O adjetivo mensurável diz que o evento tem, associada a ele, uma probabilidade (uma medida) bem

definida. Uma vez que P é uma função definida em A , eventos não pertencentes a A não têm um

valor P associado. São, portanto, não mensuráveis no espaço de probabilidades considerado. Por outro

lado, e são sempre mensuráveis, e sempre com P()=0 e P()=1, respectivamente o evento

impossível e o evento certo (eu prefiro inevitável).

Exemplo:

Seja = {a, b, c, d} e A álgebra induzida pela partição P = { {a} , {b, c}, {d} }, logo,

A ={ , {a}, {b, c}, {d}, {a, b, c}, {a, d}, {b, c, d}, }

Vamos agora, definir, uma função P: A R, qualquer, arbitrariamente, mas obedecendo às condições

definidoras de função de probabilidade, P()=0. Agora, escolhendo valores para os átomos. Por exemplo:

P( {a} )=0,20 P( {b, c} )=0,50 P({d})=0,30

Consequentemente (complete):

P{a, b, c} = ______ P{a, d} = ______ P{b, c, d} = ______



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e P()=_____

Nesse exemplo definimos uma função completamente abstrata – no sentido de não vinculada a nenhum

experimento aleatório real – mas, formalmente, com a estrutura de uma função de probabilidades. A

propósito, no espaço de probabilidades que construímos tente determinar P{a, b, c}. O evento {a, b, d},

não é mensurável.

Note que para se definir completamente uma função de probabilidades, basta escolher valores não

negativos quaisquer para os átomos, mas que somem 1. Para os demais elementos, aplica-se o axioma da

aditividade, uma vez que qualquer outro elemento da álgebra é a união de dois ou mais átomos.

Experimentos binários são aqueles que possuem apenas dois resultados possíveis. O lançamento de

uma moeda é o exemplo mais corriqueiro de experimento aleatório; seu espaço amostral é ={Cara,

coroa}, onde C representa Cara. No arremesso de uma moeda P{C}=P{c}=0,5. O experimento binário

genérico Ep, com espaço amostral representado por {S, F}, para sucesso e fracasso, tem P{S}=p, uma

constante no intervalo [0, 1].

Exercícios:

9. Considerando o experimento aleatório D2, do arremesso de uma moeda (equivalente a um dado de dois

lados), construa um modelo de probabilidades completo, com função de probabilidade coerente com as

propriedades reais do mesmo.

10. Repita para D6, o caso do arremesso de um dado comum.

11. Seja o experimento composto de quatro arremessos sucessivos e independentes de uma moeda.

a. Construa um modelo probabilístico natural completo para o experimento.

b. Calcule as probabilidades dos seguintes eventos:

i. Caras e coroas em número igual

ii. Nenhuma cara

iii. Três caras

12. Conforme combinado, seja D5 o experimento aleatório correspondente ao arremesso de um dado de 5

lados (veremos adiante que, para exercícios com dados, o D5 é aritmeticamente mais conveniente que o

D6). Considere agora o experimento composto por duas realizações sucessivas e independentes de D5, ao

qual denominaremos D52.

a. Verifique que o espaço amostral relativo a D52 (vamos representá-lo por 2), é o produto

cartesiano do espaço amostral de D5 (1) por si mesmo: 2 = 11.

b. O resultado acima pode ser generalizado para D5n?

c. Considerando D52, mostre os seguintes eventos:

i. A soma dos resultados parciais é 5

ii. O primeiro resultado é o dobro do segundo



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iii. 5(x1-1)+x2-1 = 10, onde representamos por xi o resultado numérico no i-ésimo

lançamento.

d. Qual a cardinalidade do evento Am={ (x1, x2) ; 5(x1-1)+x2-1=m } para todo mN?

e. Operacionalmente falando, como você construiria um dado de 36 lados, perfeito, usando um

dado perfeito de 6 lados?

f. Considerando D52, e a álgebra completa A , isto é, com todos os subconjuntos de 2, (qual a sua

partição geratriz?), defina uma função P: AR, que seja uma função de probabilidades, e que

faça sentido, fisicamente, no contexto.

Sequências de Arremessos de uma Moeda

Com um arremesso de uma moeda, o espaço amostral tem apenas dois elementos: 1={c C}. Com dois

arremessos sucessivos de uma moeda, podemos pensar em dois experimentos separados e considerar o

mesmo espaço amostral duas vezes, separadamente, ou considerar um único espaço amostral

envolvendo, conjuntamente, os dois arremessos: 2={cc cC Cc CC}. Com três arremessos? Simplesmente

faça 3={ccc ccC cCc Ccc cCC CcC CCc CCC} e poderemos construir um espaço de probabilidades – com a

álgebra completa e a função natural de probabilidades, que dá a eventos unitários a mesma

probabilidade 0,125. Acomodando as três repetições do experimento elementar E0,5, poderemos tratar

de questões como “qual a probabilidade de 2 caras, dado que a primeira foi cara?”. Ora, simplesmente:

* + * + * + * +

* +⋂* +

* +

* +

* +

Seria complicado fazer esses cálculos sem um espaço de probabilidades englobando as três repetições

num único experimento composto E0,53.

À medida que novos arremessos forem sendo feitos, o espaço amostral vai ficando cada vez mais

refinado e mais complexo:

Com 8 repetições o espaço amostral terá 256 e a álgebra completa, 2256

=10log10(2)

=1,16x1077

elementos,

muito maior que o número de átomos necessários para construir toda a Via Láctea. Para o experimento

E0,58 devemos construir um espaço amostral partindo de 8, mesmo que estejamos interessados em

responder questões sobre o resultado do primeiro arremesso. De outra forma, como você responderia,



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por exemplo, à pergunta: qual a probabilidade do primeiro resultado ser cara dado que o total de caras

nos oito lançamentos foi 4?

Uma questão teórica importante que logo iremos atacar é o estudo de resultados assintóticos em

sequências infinitas de repetições um experimento aleatório. No caso simples de uma sequencia infinita

de arremessos de uma moeda, o que acontece com a frequência relativa de caras quando n? Se a

sua intuição diz que ela converge (em probabilidade, um conceito novo) para 0,5, ela está correta. Logo

provaremos este resultado rigorosamente, e o faremos num contexto muito mais geral. Para isto

precisamos então entender o comportamento probabilístico de uma sequência infinita de arremessos

de uma moeda. Devemos pois acomodar nosso espaço amostral, preventivamente, em . Acontece

que esse conjunto, mais que infinito, é não enumerável, estando em relação biunívoca com o intervalo

[0, 1] dos reais. Vejamos.

Na representação binária dos reais, valores xR no intervalo [0, 1] são representados por sequências de

0’s e 1’s, precedido de [0,]. Assim, 0,1=1/2, 0,01=1/4, 0,11=1/2+1/4=3/4, e assim por diante. De um

modo geral, sendo r1, r2, r3, … os símbolos na sequência, com ri igual a 0 ou 1, conforme o símbolo na i-

ésima posição da sequência, temos

∑

Sequências finitas representam números ou números do tipo 2-n

, ou soma de um número finito de

parcelas desse tipo. Sequências infinitas periódicas representam racionais como:

1/3=0,0101010101010101010...

1/5=0,00110011001100110011…

1/7=0,001001001001001001001…

Sequências aperiódicas são os irracionais:

(2)-1 =0,0110101000001001111001100110011111110011101…

/4 =0,1100100100001111110110101010001000100001011…

Cada uma dessas sequências de 0’s e 1’s representa um resultado possível de uma sequência infinita de

arremessos de uma moeda, com coroa e cara sendo representados, respectivamente, por 0 e 1. Existe

pois uma associação biunívoca entre o e o intervalo [0, 1]. Tendo que considerar, conceitualmente,

sequências infinitas de repetições de um experimento aleatório – de arremessos de moedas, em

particular – devemos dizer adeus ao conforto conceitual dos espaços amostrais finitos ou infinitos mas

enumeráveis, e encarar o continuum dos reais. Vamos, pois considerar o conjunto dos reais, R. A álgebra

completa, nesse caso, é desnecessariamente complexa, incluindo verdadeiras monstruosidades (peço

desculpas aos matemáticos) topológicas. Para a Teoria da Probabilidade é suficiente a e Borel,

representada por B, e definida (vagamente) como a menor -álgebra de subconjuntos de R que contém

todos os intervalos da forma (-, x], para xR. Se você quiser, imagine B como a interseção de todas as

-álgebras de subconjuntos do R que contém todos os intervalos da forma (-, x], para xR. É fácil



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mostrar que, sendo uma -álgebra, B contém também todos os intervalos da forma (-, x), (x, ), [x,

), [x1, x2], etc., alem de todas as uniões enumeráveis de intervalos desses tipos. Subconjuntos unitários

de R também pertencem a B. Exemplos de prova:

( ) ⋃ (

]

, logo (-, x), sendo a união enumerável de elementos de B

também é elemento de B.

{x} = (-, x][x, ) logo {x}, sendo a interseção de dois elementos de B, também pertence a

B.

Contendo todo intervalo de reais e qualquer subconjunto de R formado pela união enumerável daquelas

classes de intervalos, e todo subconjunto unitário, B oferece ambiente adequado ao desenvolvimento

da Teoria de Probabilidade.

Independência e Probabilidade Condicional

Podemos agora introduzir o conceito de independência.

Eventos Independentes: Seja um espaço de probabilidades (, A, P), qualquer – mas, por enquanto,

ainda discreto, finito ou não – e sejam A e B dois eventos mensuráveis. Diz que A e B são eventos

independentes, se P(AB)=P(A)P(B). Note que se A e B são mensuráveis, AB também o é.

Nota: continuando o exercício anterior...

g. Encontre pares de eventos independentes em (2, A, P). Note que o termo independente não é

arbitrário; como P foi definida aqui de forma a ser coerente com o experimento concreto a que

se refere, ele faz sentido, mesmo do ponto de vista de senso comum. Os eventos {(x1, x2)2 ;

x1<3 } e {(x1, x2)2 ; x2>4 } são independentes, por exemplo. Encontre outros pares.

O conceito de independência tem importância central em Probabilidade.

Probabilidade Condicional: Sejam dois eventos mensuráveis, A e B, com P(B)>0. A probabilidade

condicional de A, dado B, representada por P(A \ B) é dada pela expressão:

( ) ( ⋂ )

( )

Note que, se A e B são independentes, então P(A\B)=P(A), revelando mais claramente o significado de

independência: a probabilidade de ocorrer o evento A, dado que ocorreu o evento B, é igual à

probabilidade de ocorrer o evento A, isto é, a ocorrência ou não do evento B não influi na probabilidade

de ocorrência do evento A: eles são, estocasticamente, independentes.

Exemplo:



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Seja o experimento composto D53, com 3 = 111, de cardinalidade 5

3. Vamos definir o espaço de

probabilidades com A, a álgebra completa (com todos os 2125

subconjuntos de 3. este número é um

trilhão de vezes maior que o número de gotas d’água nos oceanos da Terra.) e P a função de

probabilidade natural para esse experimento, isto é, a que dá a cada elemento da partição geratriz a

mesma probabilidade 5-3

=0,008. A partição geratriz da álgebra completa é a que divide o espaço amostral

em subconjuntos elementares, no caso, 125 deles. O valor de P já está, implicitamente, definido para

todos os átomos da álgebra, portanto a função P já está completa e univocamente definida. Como a

probabilidade de cada evento elementar é igual a 5-3

, a probabilidade de qualquer evento mensurável

(nesse caso, todos são) é igual à cardinalidade do evento vezes 5-3

. Podemos agora calcular a

probabilidade de alguns eventos especiais:

A = {o primeiro e o terceiro resultado são iguais a 2} ={212, 222, 232, 242, 252} portanto, P(A)=5-2

B = {A soma dos resultados parciais é igual a 6} = {114, 123, 132, 141, 213, 222, 231, 312, 321, 411}, logo

P{B)=105-3

.

Como exercício calcule P(Ax), onde Ax={a soma dos três resultados parciais é x}, para x=3, 4, …, 15.

Podemos também calcular algumas probabilidades condicionais, por exemplo, calcule P(A\B), para A={ da

soma dos 3 resultados parciais ser maior que 12} e B={o primeiro resultado é menor que 4}.

Ora, A={355, 445, 446, 454, 455, 535, 544, 545, 553, 554, 555} e B={1,2,3}11, portanto com

cardinalidade 75 e probabilidade 0,6.

Como AB={355}, com probabilidade 5-5

, concluímos que P(A\B)=5-3

/0,6 = 1/75. Compare com

P(A)=11/125.

Probabilidades em repetições independentes de um mesmo experimento

Sejam agora uma partição mensurável (isto é, todos seus elementos são mensuráveis) P={A1, A2, … , Am}

e um evento mensurável B. Podemos enunciar agora o Lema do Valor Total.

Lema do Valor Total: Seja o espaço de probabilidades (, A, P), uma partição mensurável P = {A1, A2, … }

e um evento mensurável B, então:

( ) ∑ ( ) ( ).

Prova: o evento B pode ser escrito como uma união de

eventos mensuráveis disjuntos: ⋃ ,

logo ( ) ∑ ( ) , e o resultado segue da definição de probabilidade condicional

P(B\Ai)=P(BAi)/P(Ai), ou P(BAi) = P(Ai) P(B\Ai).

Exemplo:



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Sejam três urnas com dez bolas cada. As bolas são idênticas, exceto na cor: algumas são amarelas (a) e

outras são brancas (b). O número de bolas amarelas é 8, 6 e 1 nas urnas 1, 2 e 3, respectivamente. Um

experimento aleatório é realizado em dois estágios. No

primeiro uma urna é sorteada, ao arremesso de um dado de

5 lados, segundo a regra:

{1}urna 1 {2}urna 2 {3, 4, 5}urna 3

No segundo estágio, da urna sorteada, uma bola é retirada ao acaso.

Qual a probabilidade do resultado ser uma bola branca?

O espaço amostral para este experimento pode ser escrito na forma ={1a, 1b, 2a, 2b, 3a, 3b}, onde o

número representa a urna e a letra, a cor. Seja A a álgebra completa e seja P a função de probabilidades

natural para o caso. Considere a partição mensurável {U1, U2, U3} , onde U1= {a urna sorteada é a 1} = {1a,

1b}, e assim por diante. Já os eventos A e B são, respectivamente, {1a, 2a, 3a} e {1b, 2b, 3b}. Então,

P{1a}=P(U1A)=P(U1)P(A\U1).

Pelas características do experimento, a função de probabilidades naturalmente associada ao mesmo deve

satisfazer:

P(U1)=0,2 P(U2)=0,4 P(U3)=0,4

e P(A\U1)=0,8 P(A\U2)=0,6 P(A\U3)=0,1

com P(B/Ui)=1-P(A\Ui), para i=1, 2, 3.

Logo P{1a} = 0,20,8 = 0,16. Da mesma forma o valor da função de probabilidades natural pode ser

determinado para os demais átomos, ficando, portanto, completamente determinada. Mas, pelo lema do

valor total,

P(B) = P(U1)*P(B\U1) + P(U2)*P(B\U2) + P(U3)*P(B\U3)

= 0,2*0,8 + 0,2*0,6 + 0,6*0,1 = 0,16 + 0,12 + 0,06

= 0,34.

No exemplo acima, adotando-se a função de probabilidades naturalmente associada ao experimento

real, a probabilidade condicional de A, dado U1 é, por construção, 0,8, o número de bolas amarelas

sobre numero total de bolas na urna 1. Generalizando, P(A\Ui) pode ser determinada por construção, e

P(B\Ui)=1-P(A\Ui). Por outro ângulo, contudo – invertendo a ordem natural do experimento –, surge

uma questão interessante, cuja resposta não decorre diretamente por construção: qual a probabilidade

de U1, dado A? Para isto precisamos do Teorema de Bayes, um resultado muito importante, e com

amplíssimas consequências.



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Teorema de Bayes: Seja o espaço de probabilidades (, A, P), uma partição mensurável P = {A1, A2, … } e

um evento mensurável B de probabilidade não nula, então ( ) ( ) ( )

∑ ( ) ( )

.

Prova: A prova é imediata e decorre da definição de probabilidade condicional e do lema do valor total:

( ) ( ⋂ )

( )

( ⋂ )

∑ ( ) ( )

, uma vez que, da definição de probabilidade condicional,

( ⋂ ) ( ) ( ).

Exemplo:

Continuando o exemplo anterior, por construção, sabemos que P(U1)=0,20. Podemos agora calcular

P(U1\A). Do Lema do Valor Total, temos: ( ) ∑ ( ) ( ) = 0,20,8+0,20,6+0,6*0,1 = 0,34

assim, ( ) ( ) ( )

.

Compare P(U1\A) e P(U1). Interprete este resultado.

Exercícios:

13. Um sistema físico tem três estados possíveis: 1, 2 e 3. Um marca passo clica a cada segundo. A cada clique

do marca passo, o sistema pode mudar de estado, segundo a matriz de transição ao

lado. Entenda assim essa matriz: se, num determinado instante, o sistema se

encontra no estado 1, por exemplo, independentemente de como ele chegou ao

estado 1, no clique do marca passo ele continuará em 1 com probabilidade 0,60;

mudará para o estado 2, com probabilidade 0,30, ou para o estado 3, com

probabilidade 0,10. Considere que, no instante 0 o sistema se encontra no estado 1.

a. Qual a probabilidade de que, imediatamente após o segundo clique ele esteja no estado 1? E no

estado 2? E no 3?

b. A partir da matriz de transição em um passo, dada acima, Você consegue construir a matriz de

transição em dois passos?

c. Dado que imediatamente após o segundo clique ele se encontra no estado 2, qual a

probabilidade de que seu estado anterior tenha sido o 3?

d. Dado que imediatamente após o segundo clique ele não se encontra no estado 2, qual a

probabilidade de que seu estado anterior não tenha sido o 2?

para

1 2 3

de

1 0,60 0,30 0,10

2 0,30 0,50 0,20

3 0,10 0,60 0,30

Aula 1 - Estatística Unicamp

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