INTRODUÇÃO À ENGENHARIA 2013

AULA PRÁTICA NO 06 – LOGARÍTMO E ESCALAS LOGARÍTIMICAS – 01 A 05 DE ABRIL

PROFS. ANGELO BATTISTINI, SELMO TORQUETTO E JULIO LUCCHI

NOME RA TURMA

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Objetivos do experimento: Nesta atividade estudam-se os conceitos de logaritmos e a construção de escalas logarítmicas, bem como um exemplo de utilização

Conhecimentos desenvolvidos durante a aula: Funções exponenciais e logarítmicas, escalas.

Habilidades necessárias:.

Atitudes esperadas: A partir da aula espera-se que o aluno.

INTRODUÇÃO: Exponenciação é a operação que define que um determinado número que é multiplicado por ele mesmo um certo número de vezes. Por exemplo, se multiplicarmos 4 vezes o número 2 teremos:

2.2.2.2 = 16

Ao invés de repetir a base (no caso, 2) várias vezes, podemos representar essa operação por um exponencial.

24 = 16

Sendo que neste caso o “2” é chamado de “base” e o 4 de “expoente”:

O logaritmo é a operação inversa da exponenciação. Assim, se quisermos saber quantas vezes o numero “2” deve ser multiplicado por ele mesmo para obter 16, calculamos o logaritmo de 16 na base 2, matematicamente escrevemos assim:

log2 16 = 4

Embora qualquer número possa servir de “base” para o cálculo de logaritmos, as mais comuns são 10, ”e” (“e” é um número irracional de valor 2,718281828459045...) e 2.

ALGUMAS CONVENÇÕES:

Se a base do logaritmo não é mostrada, entende-se que essa base é 10. Portanto, “log” é o mesmo que “log10”.

Para a base “e” escreve-se “ln”, ou seja loge = ln

PROPRIEDADES:

1. log(a.b) = log(a) + log(b)

2. log(a/b) = log(a) – log(b)

3. log(1) = 0

4. log(1/a) = - log(a)

5. log(a)b = b.log(a)

6. logb(a) = log(a)/log(b)

OBS.: não existem logaritmos de números negativos nem logaritmo de 0.

Antes de existirem calculadoras eletrônicas, para realizar multiplicações ou divisões entre dois números, o uso dessas propriedades tornava-as muito mais fáceis. Simplesmente se achavam os logaritmos dos dois números (para multiplicar e dividir) ou o primeiro número (potência ou raiz, onde um número já é um expoente) em uma tabela de logaritmos comuns, realizava-se uma operação mais simples neles, e se encontrava o resultado numa tabela. Réguas de cálculo realizavam as mesmas operações usando logaritmos, mas mais rapidamente e com menor precisão do que usando tabelas.

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figura 1: Detalhe de uma régua de cálculo

ESCALAS LOGARÍTMICAS: Na engenharia, quando analisamos comportamentos de alguma grandeza que varia muito, isto é, muitas ordens de grandeza*, a representação gráfica do fenômeno pode ser feita com escalas logarítmicas, que são uma forma de representar a grandeza com uma variação não linear, ou seja, ao invés de utilizarmos 1, 2, 3, 4, 5, ...... usamos uma variação que pode ser em décadas (1, 10, 100, 1.000, 10.000, ...... ) ou em oitavas** (1, 2, 4, 8, 16, 32,......).

ATIVIDADE PRÁTICA:

1. Com o auxilio de uma calculadora científica, calcule os valores dos logaritmos dos números indicados na tabela (use 4 algarismos significativos):

n log(n)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

* Veja na aula prática número 5 a definição de ordem de grandeza. ** Na música, uma oitava significa a oitava nota de uma escala. Se iniciamos a escala em Dó, teremos Dó (1a), Ré (2a), Mi (3a), Fá (4a), Sol (5a), Lá (6a), Si (7a) e Dó (8a). Essa última nota, a oitava da escala, possui o dobro da frequência da primeira. Se prosseguirmos na escala, o próximo “Dó” terá o dobro desse ultimo e assim por diante. Por isso, a cada vez que dobramos o valor da frequência, temos uma “oitava”. Assim, quando criamos uma escala logarítmica de base 2, dizemos que está construída em oitavas.

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2. Ainda com o uso da calculadora, determine os logaritmos dos números listados abaixo:

n log(n)

20

200

2.000

20.000

200.000

2.000.000

0,5

0,05

0,005

0,0005

0,00005

0,000005

3. Observe os resultados. Agora, SEM USAR CALCULADORA, preencha a tabela:

n log(n)

30

400

8.000

2,8451

1,9542

4,4771

6,4771

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4. CONSTRUINDO UMA ESCALA LOGARITMICA.

Para construir uma escala logarítmica, façamos o seguinte:

a) Estabelecemos um comprimento padrão (L) que corresponderá a uma década qualquer (de 1 a 10, ou de 10 a 100, ou de 0,01 a 0,1 ...). No nosso caso, usaremos a década de 1 a 10.

b) Agora, marcamos na escala o valor 2 (lembre que log(1) = 0 e que log(10) = 1). Como log(2) = 0,3010, para calcular o ponto onde será colocado o 2 (P2) fazemos:

Assim, se, por exemplo, a distância de 1 a 10 for de 10 cm, a distância de 1 a 2 será de 3,01 cm.

c) Da mesma forma, para marcar o 3, log(3) = 0,4771:

d) Agora, na figura abaixo, termine a escala, marcando os valores de 4, 5, 6, 7, 8 e 9.

e) Observe que se fizéssemos a escala em outra “década”, o procedimento seria o mesmo. Então, complete a escala logarítmica para a década de 10 a 100 (até o 30 fizemos pra você, complete com 40, 50, 60, 70, 80 e 90) :

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f) Agora, “juntamos” as duas décadas (complete a escala):

g) Podemos também fazer décadas para números menores que 1 (e maiores que zero). Crie uma escala “log” que vá de 0,01 até 1:

7. Utilizando escalas logarítmicas para fazer contas (produto e divisão):

Para fazer um produto usando escalas “log”, usamos a propriedade log(a.b) = log(a) + log(b). Por exemplo, para fazer a conta 2 x 3, “somamos” os logaritmos de 2 e 3, observe na figura que colocamos o “1” da escala superior sobre o 2 (primeiro fator), “caminhamos” até o 3 na escala superior e o resultado (6) “aparece” na escala inferior:

Algumas vezes, a escala não é grande o suficiente para o resultado, por exemplo, 5 x 4:

Se a escala tivesse a década seguinte (de 10 a 100), o 5 ficaria sobre o 20, mas nossa escala vai somente até 10. Nesses casos, o que fazemos é colocar o 10 (e não o 1) sobre o primeiro fator, o resultado deverá ser multiplicado por 10:

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Em um papel à parte, construa duas escalas “log” exatamente iguais e verifique algumas multiplicações simples.

OBS.: Como não existem log(0) e log de números negativos, A ESCALA LOGARÍTIMICA NÃO TEM ZERO NEM NÚMEROS NEGATIVOS.

CONCLUSÕES:

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Holtzapple, M. T. e Reece, W. D.; Introdução à Engenharia; LTC Editora, 2006.

Rodrigues, Neves; Logaritmos; EDILD, 1968.